dx dy の意味は？★２
dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？
微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…
微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ
※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/ >>407
何番の書き込みのことをいっているのだ？ だよね
微笑じゃない
→０の部分が微小の意と解釈できるけど
そこは無限小で 極限の概念の基本的なところを
しっかり押さえていれば
全然あいまいなことはない 普通の場合、単独では微分形式を表すし
積分記号∫と一緒のdx、dyは測度を表す >>416
定義されてると思うなら論理式で定義を書いてみたら？
不可能だろうけど ∃δ > 0, ∀Δｘ, 0 < |Δｘ| < δ >>419
閉論理式ワロタ
任意のδ>0に対してδ<|2δ|なので
∀δ > 0, ∃Δｘ, ¬(0 < |Δｘ| < δ)
よって偽
Δx→0が未定義じゃないとか「dxは微小変位」が厳密な定義とか言ってるやつって結局この程度の馬鹿しかいないんだよな >>420
>>Δx→0が未定義じゃないとか
全然未定義じゃない >>421
だったら論理式で定義を書いてみたら？
ちなみに>>419の論理式は「実数には最大値が存在する」って意味の論理式で、もちろん偽だよ ∃δ>0, Δx∈A，B⊂A，∀h(h∈B→0<|ｈ|<δ) >>424
今度は集合Aに関する論理式かよワロタ
A=∅ならばΔx∈Aが存在しないので偽
A≠∅ならばδ=1, ΔxはAの元, B=∅とすることで∀h(h∈B→0<|ｈ|<δ)が真となるので全体も真
よってこの論理式は集合Aが空でないことと同値
で、集合Aが空でないことが何の定義になるんだよｗｗｗ >>423
じゃあ君はどんな言語で定義を示してくれるの？ >>422
Δｘ→0はΔｘが０に近づくとき、であって近づくとは言っていない。 すべてのδより大きいΔｘをとって定義できなくしても
すべてのΔｘより大きいδをとって定義をすればおｋ >>433
意味の取れない部分が多々あるんだけど、
1) まずそれは>>432の質問に対する回答ってことでいい？だとするとそれは「Δｘが０に近づくとき」の定義と解釈することになるけど
2) 「すべてのδより大きいΔｘをとって」や「すべてのΔｘより大きいδをとって」とは「∀δ, Δx>δを満たすΔxをとって」や「∀Δx, δ>Δxを満たすδをとって」という意味でいい？だとするとそのようなΔxもδも存在しないけど >>435
質問の意図が分からないけど、実数には0や1が存在するよ
それよりまず>>434の質問2つに答えろよ
はいかいいえの二択なんだから >>437
お前が書いた文章に関してお前がどういう意図で書いたか聞いてるんだからお前にしか聞きようがないだろ >>377 >>388
を書いた者だけど、つくづくレベル低いスレだな
的を外した聞きかじりの用語の羅列ばかり
誰か>>377の問いかけに答えてくれないものだろうか？ >>441
数学的には不正確だけど、物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思う f(x)dxが原始関数の微分dF(x)になるというのが面白い >>444
物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思うけど、数学的には不正確、って言えばいい？ https://ameblo.jp/dance-dice/entry-12653770556.html
＞この無限小概念恐らくほぼ全ての工学者が理解しないまま使っています。博士号を取得した研究者や大学教授などに聞いても
＞「多分エンタルピーとか微分方程式の解法の操作とか本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいないと思う・・」
＞という意見をよく聞きます。そもそも教えられてないんだから分からないのも当然なんです。
そなの？ｗ ほぼ全ての工学者というか数学科を除くほぼ全ての理工系が理解してないし理解してないことを自覚してない >>449
そんなことないよ
むしろ素朴な概念として理解できてる
その拡張はしないってだけ >>448
数学科の本だって、意味をズバリ書いた参考書はあれこれ探してやっとあるって状況なのに？ 物理の人にたまによく聞かれるのは
なんで
(∂P/∂V)_T(∂V/∂T)_P(∂T/∂P)_V=-1
なのかってこと >>452
微分形式なんて多様体論の教科書ならどれでも載ってる >>454
意味をズバリやのに構文だけの微分形式とかｗ >>455
どういうこと？
微分形式が意味を持たないと思ってる？ 意味が無いのにいきなり計算規則が発生するというのは不可解ｗ >>458
何言ってんだお前
微分形式は多様体上の共変テンソル場だろ >>461
それ抽象的すぎて何も言っていないのと同義かと。
結局微少増分って元のアイディアがあって、その性質を突き詰めて考えるとそうなるってやつでしょ？
その結果、どうしてその計算規則が成り立つかわからんから >>448 みたいに「博士号を取得した研究者や大学教授
も本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない」という惨状に繋がっているんじゃないの？ >>本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない
それは「本当の意味で」の意味にもよるだろう >>462
> そうなるってやつでしょ？
伝聞調に見えるけどお前自身が微分形式の定義理解して書いてる？
中身知らずにポエム聞きかじっただけで理解したつもりになってない？ >>464
それこそ微少増分程度の理解ですまして疑問符いっぱい状態。
というか、授業がどんどん先に進むから戻ってじっくり考えるってことができなかったし、しっかり理解できていたなら
ここでグチグチ言わんよｗ 微分形式に関して多様体論の教科書の導入部分に書かれてるようなことを1から説明してみるか
まず、流れとしてはR^nにおいての接平面だの微分形式だのの定義があって、それの拡張として多様体での定義が得られる。
以下ではR^nをn次元縦ベクトルのなす集合、R_nをn次元横ベクトルのなす集合とする。またUをR^nの開集合、f: U→Rとする。
【微分の定義】
任意に点x∈Uをとる。以下の式が成り立つ横ベクトルA∈R_nが存在すれば、「関数fは点xで微分可能」という。
f(x+h)=f(x)+Ah+o(h) (h→0)
このときAをfの点xにおける微分係数といい、f'(x)と表す。fが任意の点で微分可能ならfは微分可能といい、導関数f': U→R_nが定義される。以下fを微分可能であるとする
【R^nにおける微分形式の定義】
任意に点x∈Uをとる。f'(x)∈R_nなので以下のように線形関数df_x: R^n→Rを定義できる。
df_x(v)=f'(x)v
これが任意の点xで定義されるから、Uの元を添字にもつ線形写像の族dfを定義できる。このdfをfの外微分という。
【微分形式の直感的意味】
点p∈Uをとる。微分の定義より
f(p+h)-f(p)=df_p(h)+o(h) (h→0)
が成り立つ。逆に言えばこのような線形関数df_pが存在することが微分可能性の定義とも言える。気持ちとしては点pの近くで関数f(p+h)-f(p)を線形関数df_pによって近似できるということ。
【dxについて】
第i座標への射影(x_1, …, x_n)→x_iをx_iと書く。(多項式関数のイメージ。記号の濫用なので注意。)するとdx_iは第i座標への射影となる。特にn=1ならば(このとき一般的にx_1と書かずxと書くが)xは恒等関数なので、dxは恒等関数である。
【多様体について】
多様体とはざっくり言えば座標を一つ与えればR^nの議論に落とし込める空間のこと。なので多様体の接平面や微分形式は、座標を一つ与えればR^nの接平面や微分形式が誘導されるように定義される。詳細は自分で勉強して。
要するにdfは微小量ではなく線形関数です、という話 >>467
やっぱ微小量がいいなあ
nonstandard解析で 位相もnonstandardでmonadだっけ
アレでやった方がいいような気がする >>467
長文書いて画面占領すれば勝ちと思ってるAhoh(アホウ) 微小量では近似的な関係にすぎないところを
厳密になりたつように改良したのが微分形式 >>468
メタ定理ってあんまり使いたくないんだよな ∫F(x)dxのdxは微分形式から定まる測度
という意味で、本来ならば、∫F(x)[dx]
のように区別して書くべきところだけど
単にdxと書かれるから混乱が生じている dx:微分形式
δx:微小量
Δx:無限小
[dx]:測度
みたいな区別をして教えるべき >>390
現代数学っていうのはそもそもこういう変数の関係式？みたいなもので記述する建て付けになっていないんだけどな
まあここの奴らは理解できないしする気もないんだろうが 例えば「Δx→0のときα→0」の定義を論理式で書け、って言われても不可能でしょ？
そういうことよ 高瀬正仁の『dxとdyの解析学』は、意欲作で「天下りの定義からは微積分の意味は聞こえてこない」なんて煽っている
けど、基本部分は dx は微少増分って扱いなんだよな。 高木貞治の解析概論の説明では、1変数の関数の微分とは局所的な接線の方程式であると理解するしかないみたいなんだけど。
https://imepic.jp/20231125/507160
高木ってゲーデルより30歳以上ジジイだからな
そんなやつが厳密に数学してるわけないという >>487
接線の「気持ち」としてはわかるにしても
解析概論のその説明はいろいろとおかしいな
まず「積分」を先に考えて、「微分」はそれの
「逆操作」とみなすほうがいいのかもしれんね
そうすれば、ε-δも当面は必要ないのではないか
楕円関数も楕円積分の逆として理解できる様に >>487
局所線形化写像とかの現代数学っぽく聞こえる言い換えを言い返ししたくなる。 >>492
積分をリーマン積分で定義するならどうせε-δが必要になる(それも分割の大きさに対するε-δだから関数の極限のε-δ以上にややこしい)
ルベーグ積分でも正項級数の定義くらいは必要になる
それに微分を積分の逆として定義すると、max(0, x)が微分可能になったり、f(x)=1の導関数が一意に定まらなくなったりする(導関数とほとんど至る所で一致するすべての関数が導関数になる) なんだか怖いね
ジョークが通じないというか
関わりたくないタイプ 論理式をまともに扱えないのにイキって使って事故った物理屋がTwitterで炎上中
ここの住人と重なる部分がある 考えてみると、子供向け質問回答で「山に登ると太陽に近づくが寒くなる」というのも、地球〜太陽の距離L=1億5千万kmにとっては山の高さ最大8.8ｋｍは
dLにも満たない距離だな。 太陽光が地面を温めて
地面が空気を温める
という説明で充分だろ
空気が太陽光を通す事も必要か？ この問題、Youtubeでも結構動画に上がっている。でも、正直に意味は不明とか、微分形式で定義づけられているけどわからんとか
超準解析で詳しく定義されているようだが、理解不能とか…正直に意味はないと考え単に計算規則として提示している人は正直で…好感がモテた。
でも、意味は無いのに計算規則だけ出てくるのは解せない。 数学は各自が勝手に定義して良いのだ
でも定義は明記しろよ 定義はどうせ次の計算規則が成立するモノとかで定義するんじゃないのか？ 下手に計算規則で定義すると
次の計算規則(i)(ii)が成り立つ非空集合SとS上の二項演算*の対(S, *)をチャオちゅ～ると定義する
(i) 任意のSの元aに対してa*a=a
(ii) 任意のSの元aに対してa*a≠a
みたいなレベルの無意味な定義になりかねないんだよね 受精卵は質量・体積の観点からすると、ほとんどが卵子由来。ゲノム情報は半々だが。精子残骸は受精後卵子に分解・吸収される。卵子細胞核まで泳ぎ切るかどうか不明だが。男・精子は卵子質量体積からすると微分量dmなのか。 
