dx dy の意味は？★２
dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？
微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…
微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ
※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/ >>380
ホントの意味は何にバッチリ書いているの？ >>382
トゥー多様体とか多様体の教科書なら載ってると思う おいおい大丈夫か？
Δと微分記号で使うdは同じだと盛大に勘違いしてる奴がいるぞw しかも自信満々なのが痛いw
Δとdの使い分け
https://science.shinshu-u.ac.jp/~tiiyama/?page_id=9128
Δ は 2 つの値の「差」を意味します。
(例えば、ΔU は 2 つの状態での内部エネルギー U の差 )
差をとるときは、常に「新しい方から古い方を引く」と覚えておいてください。(中略)
dU という表記が出てくるときがあります。これは ΔU と同じように 2 つの状態のエネルギー差を表しているのですが、その差が無限小まで小さくなっていることを表しています。
初歩中の初歩ですよマジで >>388
ニュートン記法とかランダウの記号のほうがいいの？ Δｙ＝ｆ'(ｘ)Δｘ ＋ αΔｘ 但しΔｘ→0のときα→0
これが答えだ >>386
大抵の本は >>390 みたいな説明が書かれていて、直感的には分かるが厳密性に欠けるんじゃね？とハテナマークが壮大につくわけで。 >>392
どの程度の厳密性を求めるかにもよるだろう >>394
他の学問ならまだしも、数学である以上論理学に還元できるレベルの厳密さが必要だよね 論理学に還元できるレベルのことだと分かるなら
実際に厳密にそれを実行する必要はない
ラッセルとホワイトヘッドがやったことを
いちいちすべての数学でやってもしょうがない だからって、「微小変位」みたいなのに戻れってのは抵抗感があまりにも大きすぎる。 どこがどう厳密じゃないのか一切言わないからな
ところで最近の日本人が使う「接ベクトル」という用語法は間違ってるはず 数学は論理がすべてとか言ってる奴こそ１００年前から進歩していない >>398
微小とかが嫌だって書いているだろうにｗ >>396
「～のことだと分かる」って日本語の意味がよく分からないんだけど >>400
dy≒Δｙとする事ができる程の微小という事 >>397
無限小でイイでしょ？
数列なら{1/n}は無限小
超準解析持ち出す必要も無し
持ち出して来てもいいけど >>399
数学は論理が全てではなくて、他にお気持ちとか重要なものはあるけど、それもこれも論理的正しさがベースにあってこそ >>402-403
曖昧過ぎるｗ
超準解析使うなら、「ここの理論は普通の数学者が忌み嫌う特殊理論を使いますよ！」みたいなのをはっきりと明記して欲しい。 だいたい書いてる趣旨を誤認してるのは読んでないからだろうシナ >>407
何番の書き込みのことをいっているのだ？ だよね
微笑じゃない
→０の部分が微小の意と解釈できるけど
そこは無限小で 極限の概念の基本的なところを
しっかり押さえていれば
全然あいまいなことはない 普通の場合、単独では微分形式を表すし
積分記号∫と一緒のdx、dyは測度を表す >>416
定義されてると思うなら論理式で定義を書いてみたら？
不可能だろうけど ∃δ > 0, ∀Δｘ, 0 < |Δｘ| < δ >>419
閉論理式ワロタ
任意のδ>0に対してδ<|2δ|なので
∀δ > 0, ∃Δｘ, ¬(0 < |Δｘ| < δ)
よって偽
Δx→0が未定義じゃないとか「dxは微小変位」が厳密な定義とか言ってるやつって結局この程度の馬鹿しかいないんだよな >>420
>>Δx→0が未定義じゃないとか
全然未定義じゃない >>421
だったら論理式で定義を書いてみたら？
ちなみに>>419の論理式は「実数には最大値が存在する」って意味の論理式で、もちろん偽だよ ∃δ>0, Δx∈A，B⊂A，∀h(h∈B→0<|ｈ|<δ) >>424
今度は集合Aに関する論理式かよワロタ
A=∅ならばΔx∈Aが存在しないので偽
A≠∅ならばδ=1, ΔxはAの元, B=∅とすることで∀h(h∈B→0<|ｈ|<δ)が真となるので全体も真
よってこの論理式は集合Aが空でないことと同値
で、集合Aが空でないことが何の定義になるんだよｗｗｗ >>423
じゃあ君はどんな言語で定義を示してくれるの？ >>422
Δｘ→0はΔｘが０に近づくとき、であって近づくとは言っていない。 すべてのδより大きいΔｘをとって定義できなくしても
すべてのΔｘより大きいδをとって定義をすればおｋ >>433
意味の取れない部分が多々あるんだけど、
1) まずそれは>>432の質問に対する回答ってことでいい？だとするとそれは「Δｘが０に近づくとき」の定義と解釈することになるけど
2) 「すべてのδより大きいΔｘをとって」や「すべてのΔｘより大きいδをとって」とは「∀δ, Δx>δを満たすΔxをとって」や「∀Δx, δ>Δxを満たすδをとって」という意味でいい？だとするとそのようなΔxもδも存在しないけど >>435
質問の意図が分からないけど、実数には0や1が存在するよ
それよりまず>>434の質問2つに答えろよ
はいかいいえの二択なんだから >>437
お前が書いた文章に関してお前がどういう意図で書いたか聞いてるんだからお前にしか聞きようがないだろ >>377 >>388
を書いた者だけど、つくづくレベル低いスレだな
的を外した聞きかじりの用語の羅列ばかり
誰か>>377の問いかけに答えてくれないものだろうか？ >>441
数学的には不正確だけど、物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思う f(x)dxが原始関数の微分dF(x)になるというのが面白い >>444
物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思うけど、数学的には不正確、って言えばいい？ https://ameblo.jp/dance-dice/entry-12653770556.html
＞この無限小概念恐らくほぼ全ての工学者が理解しないまま使っています。博士号を取得した研究者や大学教授などに聞いても
＞「多分エンタルピーとか微分方程式の解法の操作とか本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいないと思う・・」
＞という意見をよく聞きます。そもそも教えられてないんだから分からないのも当然なんです。
そなの？ｗ ほぼ全ての工学者というか数学科を除くほぼ全ての理工系が理解してないし理解してないことを自覚してない >>449
そんなことないよ
むしろ素朴な概念として理解できてる
その拡張はしないってだけ >>448
数学科の本だって、意味をズバリ書いた参考書はあれこれ探してやっとあるって状況なのに？ 物理の人にたまによく聞かれるのは
なんで
(∂P/∂V)_T(∂V/∂T)_P(∂T/∂P)_V=-1
なのかってこと >>452
微分形式なんて多様体論の教科書ならどれでも載ってる >>454
意味をズバリやのに構文だけの微分形式とかｗ >>455
どういうこと？
微分形式が意味を持たないと思ってる？ 意味が無いのにいきなり計算規則が発生するというのは不可解ｗ >>458
何言ってんだお前
微分形式は多様体上の共変テンソル場だろ >>461
それ抽象的すぎて何も言っていないのと同義かと。
結局微少増分って元のアイディアがあって、その性質を突き詰めて考えるとそうなるってやつでしょ？
その結果、どうしてその計算規則が成り立つかわからんから >>448 みたいに「博士号を取得した研究者や大学教授
も本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない」という惨状に繋がっているんじゃないの？ >>本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない
それは「本当の意味で」の意味にもよるだろう >>462
> そうなるってやつでしょ？
伝聞調に見えるけどお前自身が微分形式の定義理解して書いてる？
中身知らずにポエム聞きかじっただけで理解したつもりになってない？ >>464
それこそ微少増分程度の理解ですまして疑問符いっぱい状態。
というか、授業がどんどん先に進むから戻ってじっくり考えるってことができなかったし、しっかり理解できていたなら
ここでグチグチ言わんよｗ 微分形式に関して多様体論の教科書の導入部分に書かれてるようなことを1から説明してみるか
まず、流れとしてはR^nにおいての接平面だの微分形式だのの定義があって、それの拡張として多様体での定義が得られる。
以下ではR^nをn次元縦ベクトルのなす集合、R_nをn次元横ベクトルのなす集合とする。またUをR^nの開集合、f: U→Rとする。
【微分の定義】
任意に点x∈Uをとる。以下の式が成り立つ横ベクトルA∈R_nが存在すれば、「関数fは点xで微分可能」という。
f(x+h)=f(x)+Ah+o(h) (h→0)
このときAをfの点xにおける微分係数といい、f'(x)と表す。fが任意の点で微分可能ならfは微分可能といい、導関数f': U→R_nが定義される。以下fを微分可能であるとする
【R^nにおける微分形式の定義】
任意に点x∈Uをとる。f'(x)∈R_nなので以下のように線形関数df_x: R^n→Rを定義できる。
df_x(v)=f'(x)v
これが任意の点xで定義されるから、Uの元を添字にもつ線形写像の族dfを定義できる。このdfをfの外微分という。
【微分形式の直感的意味】
点p∈Uをとる。微分の定義より
f(p+h)-f(p)=df_p(h)+o(h) (h→0)
が成り立つ。逆に言えばこのような線形関数df_pが存在することが微分可能性の定義とも言える。気持ちとしては点pの近くで関数f(p+h)-f(p)を線形関数df_pによって近似できるということ。
【dxについて】
第i座標への射影(x_1, …, x_n)→x_iをx_iと書く。(多項式関数のイメージ。記号の濫用なので注意。)するとdx_iは第i座標への射影となる。特にn=1ならば(このとき一般的にx_1と書かずxと書くが)xは恒等関数なので、dxは恒等関数である。
【多様体について】
多様体とはざっくり言えば座標を一つ与えればR^nの議論に落とし込める空間のこと。なので多様体の接平面や微分形式は、座標を一つ与えればR^nの接平面や微分形式が誘導されるように定義される。詳細は自分で勉強して。
要するにdfは微小量ではなく線形関数です、という話 >>467
やっぱ微小量がいいなあ
nonstandard解析で 位相もnonstandardでmonadだっけ
アレでやった方がいいような気がする >>467
長文書いて画面占領すれば勝ちと思ってるAhoh(アホウ) 微小量では近似的な関係にすぎないところを
厳密になりたつように改良したのが微分形式 >>468
メタ定理ってあんまり使いたくないんだよな ∫F(x)dxのdxは微分形式から定まる測度
という意味で、本来ならば、∫F(x)[dx]
のように区別して書くべきところだけど
単にdxと書かれるから混乱が生じている dx:微分形式
δx:微小量
Δx:無限小
[dx]:測度
みたいな区別をして教えるべき >>390
現代数学っていうのはそもそもこういう変数の関係式？みたいなもので記述する建て付けになっていないんだけどな
まあここの奴らは理解できないしする気もないんだろうが 
