話を最初に戻すけど
dy/dxは分数じゃないけど分数のように扱うことができるのはなぜ？という疑問

自分なりの直感的理解を書くけどこれで合ってる？

dyとかdxとかは無限小の概念
この点がΔ表記との違い
要するに、lim(Y→0)とかlim(X→0)なので
分数自体が定義されない
∞/∞が数でないのと同じ

ただ、極限値は有限の値なので分数表記できるし矛盾なく計算できる