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dx dy の意味は？★２

0346１３２人目の素数さん
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2023/04/09(日) 15:05:18.12ID:o8snySRk
>>340
(Tは温度の)dTとかも、完全断熱状態は不可能だから原子・分子1個分変化の温度変化量（理論計算上は、あっても）とか意味なさないしな。
0348１３２人目の素数さん
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2023/04/11(火) 01:19:05.50ID:IcWsdUip
>>343
ふむふむ。場所と数値の対応を空間と考えるわけね。で、その数値が線形じゃなきゃいけないというわけか。

じゃ、数値として「重力による位置エネルギー」なんてのはどう？
0350１３２人目の素数さん
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2023/04/11(火) 11:08:47.16ID:jQJ0fivW
>>348
もしかして高校生？
それなら先に線形代数の教科書を読むことを勧める
一冊まるまるじゃなくて、線形写像の説明が出てくるところまででいいから

その上で誤解してそうな部分を指摘しておくと、ここでいう線形っていうのは線形空間の元である(=足し算や実数倍ができる)っていう意味ではなく、線形関数である(=fを関数(=場所と数値の対応)、x,yを位置ベクトル、aを実数としたとき、af(x)=f(ax)及びf(x+y)が成り立つ)という意味ね
そして、重力による位置エネルギーは関数ではあるけれど、線形関数ではないので、双対空間を考える際の例としてはあまりよくない
それと、>>343にも同じ意味のことを書いたけれど、線形関数が空間になるのではなく、線形関数を集めた集合(=ものの集まり)が空間になる
0352１３２人目の素数さん
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2023/04/11(火) 12:14:39.26ID:RW/k9SVI
>>348
>数値として「重力による位置エネルギー」
それ線形なの？
0354１３２人目の素数さん
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2023/04/11(火) 18:16:50.04ID:rQUqH/nf
>>353
我々のいる3次元空間を定義域とした線形関数なんてそりゃあある程度人為的に作らないとないよね
だって0写像除いて原点定まるし
0355１３２人目の素数さん
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2023/04/13(木) 15:53:42.70ID:j3V49MiF
双対空間の元が場所に対応した線形関数になっているってこと？
例えば、座標(a,b) に対応して 関数 y=ax+b みたいなのがいっぱいあって、その集合が相対空間って理解でOK？
0356１３２人目の素数さん
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2023/04/13(木) 21:26:53.01ID:2AHfoj+d
>>355
違う
まず、大学以上の数学でいう「〇〇空間」は、必ずしも我々のいる3次元空間のような「位置を元に持つ集合」のことではない
例えばベクトル空間の元は数列だったり関数だったりピカチュウだったりすることもある
とりあえず今は、「〇〇空間」という名前でも、そういう名前がついてるだけのただの集合だと思っていい
それを踏まえて、R^3(3次元ユークリッド空間)の双対空間の元は3変数関数のうち線形関数であるものである
例えばf(x, y, z)=8x+y-10zとなるような関数fやg(x, y, z)=-3x+2zとなるような関数gがR^3の双対空間の元である
こういったfやgは必ずしもR^3の元と一対一に対応してる必要はない

で、線形代数の教科書は学部一年生向けに書かれているため、こういう初学者にありがちな誤解に対する注意も書かれてたりするのもあって、あなたは一度線形代数の教科書を読んどいた方がいいと思う
0357１３２人目の素数さん
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2023/05/04(木) 13:32:56.11ID:lirrvs3p
いきなり大学1年向け線形代数教科書より旧課程の行列高校参考書のほうがいいかもしれん。古本屋にもあまりないから通販くらいかな。
0358１３２人目の素数さん
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2023/05/06(土) 18:46:31.69ID:1fD62zhx
ベクトル空間の元がピカチュウてのは思い浮かばんなー
曼荼羅の仏の代わりにピカチュウを並べたんか？
0359１３２人目の素数さん
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2023/05/07(日) 00:09:05.51ID:3565NU//
>>358
{ピカチュウ, ベトベトン, タケシ}が張る自由ベクトル空間の元ピカチュウ(=1ピカチュウ+0ベトベトン+0タケシ)とか
0360１３２人目の素数さん
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2023/05/15(月) 18:17:17.20ID:m6Up1w8L
めーーーーちゃちっちゃい幅のxってイメージ
0361１３２人目の素数さん
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2023/05/25(木) 07:49:00.03ID:F2s8KCd7
2回微分のd2y/dx2って分子分母単独で何か意味あるますか?代数的な小難しい定義はパステイラー展開辺りと絡めて量として何か表すかなと
0362１３２人目の素数さん
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2023/05/29(月) 11:29:38.58ID:PfG0Uh/3
dy/dx＝e^x すごいな　何度解いても
dy/dx＝e^x　というか、というワケでぢやなくて
dy/dx＝e^x+C だろ？　というか、コレを解くと　んーーー
dy/dx＝e^x+Cx+C かな❓　違うのかな　とにかく
無限回やれば、
dy/dx＝e^x+C+Cx2+Cx3+Cx4+・・・・・・　になるか？🤔
e^xって無限に微分しまくっても、定数とかゼロにならない
ってことは、e^xってマクローリン(テイラー)展開しても
ゼッタイ誤差がゼロにならないのか
というか、dxとかdyって無限小だろ❓
εδ論法のδぢゃないかな？　ていうかδより小さいかもね🤔
モチロン、そんな実数は存在させませーーーーん
っていう霊感をピピっと感じちゃいました。
0363１３２人目の素数さん
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2023/10/08(日) 13:13:46.26ID:5zJBfMmN
混乱を避けるため
微分形式を表すときはdx
無限小を表すときはΔx
という風に区別したほうがいい
0366１３２人目の素数さん
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2023/10/29(日) 23:53:14.40ID:XIwjen5M
↑合ってんだよアフォｗ
0369１３２人目の素数さん
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2023/10/30(月) 07:22:06.03ID:BrQUzVO2
>>33
>ホモロジーは余代数になる
H(X×X)→H(X)\otimesH(X)
は？
0370１３２人目の素数さん
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2023/10/31(火) 03:53:23.03ID:TTwB0+p3
>>363-368
意味ありげなライプニッツ記法を恨むイギリスのニュートンシンパぐらいの時期の数学水準がお似合いや。
0371１３２人目の素数さん
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2023/10/31(火) 11:41:02.52ID:0NKYaWxB
>>369
てことで一般には
コホモロジーは代数になるが
ホモロジーは余代数にはならない
0372１３２人目の素数さん
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2023/11/01(水) 10:40:25.89ID:FRQ9rdQB
ということを昔自主ゼミで知った
0374１３２人目の素数さん
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2023/11/01(水) 22:52:56.91ID:FRQ9rdQB
外積と対称積
0376１３２人目の素数さん
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2023/11/02(木) 07:20:10.41ID:y5+5KTpX
ルベーグ測度
0377１３２人目の素数さん
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2023/11/04(土) 05:21:28.07ID:0ZP64CIh
話を最初に戻すけど
dy/dxは分数じゃないけど分数のように扱うことができるのはなぜ？という疑問

自分なりの直感的理解を書くけどこれで合ってる？

dyとかdxとかは無限小の概念
この点がΔ表記との違い
要するに、lim(Y→0)とかlim(X→0)なので
分数自体が定義されない
∞/∞が数でないのと同じ

ただ、極限値は有限の値なので分数表記できるし矛盾なく計算できる
0379１３２人目の素数さん
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2023/11/04(土) 14:17:32.65ID:0ZP64CIh
>>378
君はどうやら中学生みたいなのでさようなら👋
0380１３２人目の素数さん
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2023/11/04(土) 14:33:27.12ID:Hd+RkqEo
ライプニッツ記法は変数変換がなんか分数っぽく直感的にできる
ある意味では微分形式として正当化できる。
0384１３２人目の素数さん
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2023/11/04(土) 19:00:07.07ID:YeW6FE7J
日本の教科書終わってるなｗ
0386１３２人目の素数さん
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2023/11/04(土) 22:51:46.55ID:38wyn8QN
>>382
何にでも載ってるだろ
微分幾何学べよ
0387１３２人目の素数さん
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2023/11/04(土) 23:22:32.26ID:0W+oH0g5
まず微分作用素としての
接ベクトルの定義から
0388１３２人目の素数さん
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2023/11/05(日) 00:59:36.54ID:BR7I8ifb
おいおい大丈夫か？
Δと微分記号で使うdは同じだと盛大に勘違いしてる奴がいるぞw しかも自信満々なのが痛いw

Δとdの使い分け
https://science.shinshu-u.ac.jp/~tiiyama/?page_id=9128

Δ は 2 つの値の「差」を意味します。
(例えば、ΔU は 2 つの状態での内部エネルギー U の差 )

差をとるときは、常に「新しい方から古い方を引く」と覚えておいてください。(中略)
dU という表記が出てくるときがあります。これは ΔU と同じように 2 つの状態のエネルギー差を表しているのですが、その差が無限小まで小さくなっていることを表しています。

初歩中の初歩ですよマジで
0391１３２人目の素数さん
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2023/11/05(日) 05:40:08.92ID:WtePLvZ5
>>388
同じでもいいやん
0392１３２人目の素数さん
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2023/11/05(日) 14:18:12.34ID:ZLXDCpHP
>>386
大抵の本は >>390 みたいな説明が書かれていて、直感的には分かるが厳密性に欠けるんじゃね？とハテナマークが壮大につくわけで。
0393１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 09:03:44.67ID:4HoFsi7p
接線とか接平面で理解したらいいだけでは？
0394１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 10:42:34.23ID:DN7G53u1
>>392
どの程度の厳密性を求めるかにもよるだろう
0395１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 11:21:54.92ID:AJDimmk/
>>394
他の学問ならまだしも、数学である以上論理学に還元できるレベルの厳密さが必要だよね
0396１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 12:32:22.71ID:DN7G53u1
論理学に還元できるレベルのことだと分かるなら
実際に厳密にそれを実行する必要はない
ラッセルとホワイトヘッドがやったことを
いちいちすべての数学でやってもしょうがない
0397１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 16:35:17.34ID:RVEkBJTR
だからって、「微小変位」みたいなのに戻れってのは抵抗感があまりにも大きすぎる。
0398１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 17:03:48.94ID:VoR2jbkn
どこがどう厳密じゃないのか一切言わないからな

ところで最近の日本人が使う「接ベクトル」という用語法は間違ってるはず
0399１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 17:09:06.59ID:VoR2jbkn
数学は論理がすべてとか言ってる奴こそ１００年前から進歩していない
0402１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 20:10:20.65ID:VoR2jbkn
>>400
dy≒Δｙとする事ができる程の微小という事
0403１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 21:52:48.92ID:W0cso/Z5
>>397
無限小でイイでしょ？
数列なら{1/n}は無限小
超準解析持ち出す必要も無し
持ち出して来てもいいけど
0404１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 22:41:38.42ID:BibX6e7B
>>399
数学は論理が全てではなくて、他にお気持ちとか重要なものはあるけど、それもこれも論理的正しさがベースにあってこそ
0405１３２人目の素数さん
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2023/11/06(月) 23:54:01.29ID:RVEkBJTR
>>402-403
曖昧過ぎるｗ
超準解析使うなら、「ここの理論は普通の数学者が忌み嫌う特殊理論を使いますよ！」みたいなのをはっきりと明記して欲しい。
0406１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 00:20:59.50ID:VbFajO2c
>>405
ワカランなら別にいいよ
0407１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 00:22:06.63ID:VbFajO2c
だいたい書いてる趣旨を誤認してるのは読んでないからだろうシナ
0409１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 10:31:00.67ID:ivDADiXg
>>397
390のどこに「微小変位」が必要？
0411１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 11:16:34.50ID:ivDADiXg
Δxは単なる変位では？
0412１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 11:25:50.26ID:VbFajO2c
だよね
微笑じゃない
→０の部分が微小の意と解釈できるけど
そこは無限小で
0415１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 13:53:50.92ID:SLlI+vpk
極限の概念の基本的なところを
しっかり押さえていれば
全然あいまいなことはない
0416１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 14:09:32.87ID:SSuvZGNJ
>>413
未定義語じゃなく、「収束する」な
0417１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 15:15:33.24ID:eAJ2AoXz
普通の場合、単独では微分形式を表すし
積分記号∫と一緒のdx、dyは測度を表す
0419１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 19:48:27.29ID:SSuvZGNJ
∃δ > 0, ∀Δｘ, 0 < |Δｘ| < δ
0420１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 20:12:12.70ID:vJtxykk/
>>419
閉論理式ワロタ
任意のδ>0に対してδ<|2δ|なので
∀δ > 0, ∃Δｘ, ¬(0 < |Δｘ| < δ)
よって偽

Δx→0が未定義じゃないとか「dxは微小変位」が厳密な定義とか言ってるやつって結局この程度の馬鹿しかいないんだよな
0421１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 21:59:23.19ID:ivDADiXg
>>420

>>Δx→0が未定義じゃないとか

全然未定義じゃない
0422１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 22:30:51.29ID:EwFVtkuX
>>421
だったら論理式で定義を書いてみたら？
ちなみに>>419の論理式は「実数には最大値が存在する」って意味の論理式で、もちろん偽だよ
0423１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 23:09:10.78ID:ivDADiXg
>>422
論理式の問題などではない
0424１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 23:27:36.94ID:SSuvZGNJ
∃δ>0, Δx∈A，B⊂A，∀h(h∈B→0<|ｈ|<δ)
0425１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 23:58:09.69ID:EwFVtkuX
>>424
今度は集合Aに関する論理式かよワロタ
A=∅ならばΔx∈Aが存在しないので偽
A≠∅ならばδ=1, ΔxはAの元, B=∅とすることで∀h(h∈B→0<|ｈ|<δ)が真となるので全体も真
よってこの論理式は集合Aが空でないことと同値

で、集合Aが空でないことが何の定義になるんだよｗｗｗ
0427１３２人目の素数さん
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2023/11/08(水) 00:17:35.65ID:HaeF5xg3
既に定義済みなので必要なし
0428１３２人目の素数さん
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2023/11/08(水) 07:04:44.39ID:HaeF5xg3
対角線の近傍内の点
0429１３２人目の素数さん
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2023/11/08(水) 08:27:10.85ID:vXRh60v7
>>422
Δｘ→0はΔｘが０に近づくとき、であって近づくとは言っていない。
0430１３２人目の素数さん
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2023/11/08(水) 08:28:46.65ID:HaeF5xg3
Δはdiagonal
0433１３２人目の素数さん
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2023/11/08(水) 16:42:38.69ID:vXRh60v7
すべてのδより大きいΔｘをとって定義できなくしても
すべてのΔｘより大きいδをとって定義をすればおｋ
0434１３２人目の素数さん
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2023/11/08(水) 17:06:51.66ID:yWqWZedh
>>433
意味の取れない部分が多々あるんだけど、
1) まずそれは>>432の質問に対する回答ってことでいい？だとするとそれは「Δｘが０に近づくとき」の定義と解釈することになるけど
2) 「すべてのδより大きいΔｘをとって」や「すべてのΔｘより大きいδをとって」とは「∀δ, Δx>δを満たすΔxをとって」や「∀Δx, δ>Δxを満たすδをとって」という意味でいい？だとするとそのようなΔxもδも存在しないけど
0435１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/08(水) 17:51:26.55ID:vXRh60v7
じゃあ何が存在すんだよｗ
0436１３２人目の素数さん
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2023/11/08(水) 18:46:49.74ID:yWqWZedh
>>435
質問の意図が分からないけど、実数には0や1が存在するよ

それよりまず>>434の質問2つに答えろよ
はいかいいえの二択なんだから
0438１３２人目の素数さん
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2023/11/09(木) 00:02:02.52ID:b+6xWo5P
>>437
お前が書いた文章に関してお前がどういう意図で書いたか聞いてるんだからお前にしか聞きようがないだろ
0439１３２人目の素数さん
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2023/11/09(木) 05:10:32.32ID:p/K1taSK
クッサ
0440１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/09(木) 07:06:19.86ID:1ZwzN0Uh
田舎者たち
0441１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/09(木) 14:59:53.80ID:fDzcuy02
>>377 >>388
を書いた者だけど、つくづくレベル低いスレだな
的を外した聞きかじりの用語の羅列ばかり

誰か>>377の問いかけに答えてくれないものだろうか？
0442１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/09(木) 20:17:16.12ID:p/K1taSK
バカにはむーりー。
0443１３２人目の素数さん
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2023/11/09(木) 22:37:10.97ID:b+6xWo5P
>>441
数学的には不正確だけど、物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思う
0446１３２人目の素数さん
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2023/11/10(金) 09:16:39.43ID:cyl4Hcbk
f(x)dxが原始関数の微分dF(x)になるというのが面白い
0447１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/10(金) 14:18:33.82ID:KxjkkWzW
>>444
物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思うけど、数学的には不正確、って言えばいい？
0448１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 00:12:25.12ID:g3geMlEw
https://ameblo.jp/dance-dice/entry-12653770556.html

＞この無限小概念恐らくほぼ全ての工学者が理解しないまま使っています。博士号を取得した研究者や大学教授などに聞いても
＞「多分エンタルピーとか微分方程式の解法の操作とか本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいないと思う・・」
＞という意見をよく聞きます。そもそも教えられてないんだから分からないのも当然なんです。

そなの？ｗ
0449１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 18:45:17.83ID:VM1+NUJR
ほぼ全ての工学者というか数学科を除くほぼ全ての理工系が理解してないし理解してないことを自覚してない
0450１３２人目の素数さん
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2023/11/11(土) 19:43:12.32ID:PBRHU33B
>>449
そんなことないよ
むしろ素朴な概念として理解できてる
その拡張はしないってだけ
0451１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 20:31:49.03ID:8yU7EMOV
>>390が理解できるか理解できないかだろ
0452１３２人目の素数さん
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2023/11/11(土) 20:41:47.85ID:g3geMlEw
>>448
数学科の本だって、意味をズバリ書いた参考書はあれこれ探してやっとあるって状況なのに？
0453１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 21:10:50.97ID:PBRHU33B
物理の人にたまによく聞かれるのは
なんで
(∂P/∂V)_T(∂V/∂T)_P(∂T/∂P)_V=-1
なのかってこと
0460１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/12(日) 13:57:41.72ID:xiujlBcd
現代数学そんなんばっかりヤー
0462１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/12(日) 17:05:01.24ID:mnfmYQME
>>461
それ抽象的すぎて何も言っていないのと同義かと。
結局微少増分って元のアイディアがあって、その性質を突き詰めて考えるとそうなるってやつでしょ？
その結果、どうしてその計算規則が成り立つかわからんから >>448 みたいに「博士号を取得した研究者や大学教授
も本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない」という惨状に繋がっているんじゃないの？
0463１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/13(月) 03:09:15.69ID:Y7Xk5f++
>>本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない

それは「本当の意味で」の意味にもよるだろう
0464１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/13(月) 16:22:18.48ID:NKfcmFD+
>>462
> そうなるってやつでしょ？
伝聞調に見えるけどお前自身が微分形式の定義理解して書いてる？
中身知らずにポエム聞きかじっただけで理解したつもりになってない？
0466１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/13(月) 23:59:34.74ID:3ivFNyzC
>>464
それこそ微少増分程度の理解ですまして疑問符いっぱい状態。
というか、授業がどんどん先に進むから戻ってじっくり考えるってことができなかったし、しっかり理解できていたなら
ここでグチグチ言わんよｗ
0467１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/20(月) 16:39:07.33ID:1aWSKqzz
微分形式に関して多様体論の教科書の導入部分に書かれてるようなことを1から説明してみるか

まず、流れとしてはR^nにおいての接平面だの微分形式だのの定義があって、それの拡張として多様体での定義が得られる。
以下ではR^nをn次元縦ベクトルのなす集合、R_nをn次元横ベクトルのなす集合とする。またUをR^nの開集合、f: U→Rとする。
【微分の定義】
任意に点x∈Uをとる。以下の式が成り立つ横ベクトルA∈R_nが存在すれば、「関数fは点xで微分可能」という。
f(x+h)=f(x)+Ah+o(h) (h→0)
このときAをfの点xにおける微分係数といい、f'(x)と表す。fが任意の点で微分可能ならfは微分可能といい、導関数f': U→R_nが定義される。以下fを微分可能であるとする
【R^nにおける微分形式の定義】
任意に点x∈Uをとる。f'(x)∈R_nなので以下のように線形関数df_x: R^n→Rを定義できる。
df_x(v)=f'(x)v
これが任意の点xで定義されるから、Uの元を添字にもつ線形写像の族dfを定義できる。このdfをfの外微分という。
【微分形式の直感的意味】
点p∈Uをとる。微分の定義より
f(p+h)-f(p)=df_p(h)+o(h) (h→0)
が成り立つ。逆に言えばこのような線形関数df_pが存在することが微分可能性の定義とも言える。気持ちとしては点pの近くで関数f(p+h)-f(p)を線形関数df_pによって近似できるということ。
【dxについて】
第i座標への射影(x_1, …, x_n)→x_iをx_iと書く。(多項式関数のイメージ。記号の濫用なので注意。)するとdx_iは第i座標への射影となる。特にn=1ならば(このとき一般的にx_1と書かずxと書くが)xは恒等関数なので、dxは恒等関数である。
【多様体について】
多様体とはざっくり言えば座標を一つ与えればR^nの議論に落とし込める空間のこと。なので多様体の接平面や微分形式は、座標を一つ与えればR^nの接平面や微分形式が誘導されるように定義される。詳細は自分で勉強して。

要するにdfは微小量ではなく線形関数です、という話
0468１３２人目の素数さん
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2023/11/20(月) 21:03:25.23ID:mGrD9qP0
>>467
やっぱ微小量がいいなあ
nonstandard解析で
0469１３２人目の素数さん
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2023/11/20(月) 21:04:12.41ID:mGrD9qP0
位相もnonstandardでmonadだっけ
アレでやった方がいいような気がする
0471１３２人目の素数さん
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2023/11/21(火) 09:09:16.83ID:P91Hf6On
微小量では近似的な関係にすぎないところを
厳密になりたつように改良したのが微分形式
0473１３２人目の素数さん
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2023/11/21(火) 21:05:51.77ID:xqhq4zSt
>>467は>>390と全く同じなんだがｗ
0475１３２人目の素数さん
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2023/11/21(火) 22:32:08.37ID:P91Hf6On
∫F(x)dxのdxは微分形式から定まる測度
という意味で、本来ならば、∫F(x)[dx]
のように区別して書くべきところだけど
単にdxと書かれるから混乱が生じている
0476１３２人目の素数さん
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2023/11/21(火) 22:52:22.62ID:Q4KrBHYQ
>>475
f(x)dxで1-formでしょ？
0477１３２人目の素数さん
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2023/11/22(水) 00:02:32.51ID:+pjWx480
dx:微分形式
δx:微小量
Δx:無限小
[dx]:測度
みたいな区別をして教えるべき
0480１３２人目の素数さん
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2023/11/22(水) 00:43:16.11ID:WsDwy1Le
>>390
現代数学っていうのはそもそもこういう変数の関係式？みたいなもので記述する建て付けになっていないんだけどな
まあここの奴らは理解できないしする気もないんだろうが
0481１３２人目の素数さん
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2023/11/22(水) 00:50:51.91ID:WsDwy1Le
例えば「Δx→0のときα→0」の定義を論理式で書け、って言われても不可能でしょ？
そういうことよ
0482１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/22(水) 03:04:04.20ID:+Th2VTl4
>>479
別に測度いらないってこと
0484１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/22(水) 21:11:15.29ID:+Th2VTl4
ハラハラw
0485１３２人目の素数さん
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2023/11/24(金) 23:49:02.87ID:OE2Tx1Ie
高瀬正仁の『dxとdyの解析学』は、意欲作で「天下りの定義からは微積分の意味は聞こえてこない」なんて煽っている
けど、基本部分は dx は微少増分って扱いなんだよな。
0487１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/25(土) 14:05:42.63ID:4zvj8R60
高木貞治の解析概論の説明では、1変数の関数の微分とは局所的な接線の方程式であると理解するしかないみたいなんだけど。

https://imepic.jp/20231125/507160
0489１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/25(土) 16:32:35.97ID:c9x88JtY
高木ってゲーデルより30歳以上ジジイだからな
そんなやつが厳密に数学してるわけないという
0490１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/25(土) 17:17:38.37ID:YwBKstAN
>>489
お前はもっと曖昧模糊だけどな
0492１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/26(日) 09:10:06.60ID:fBv1vyoe
>>487
接線の「気持ち」としてはわかるにしても
解析概論のその説明はいろいろとおかしいな
まず「積分」を先に考えて、「微分」はそれの
「逆操作」とみなすほうがいいのかもしれんね
そうすれば、ε-δも当面は必要ないのではないか
楕円関数も楕円積分の逆として理解できる様に
0494１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/26(日) 11:06:44.44ID:t8ndT9vF
>>492
積分をリーマン積分で定義するならどうせε-δが必要になる(それも分割の大きさに対するε-δだから関数の極限のε-δ以上にややこしい)
ルベーグ積分でも正項級数の定義くらいは必要になる
それに微分を積分の逆として定義すると、max(0, x)が微分可能になったり、f(x)=1の導関数が一意に定まらなくなったりする(導関数とほとんど至る所で一致するすべての関数が導関数になる)
0495１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/26(日) 11:32:45.57ID:fBv1vyoe
なんだか怖いね
ジョークが通じないというか
関わりたくないタイプ
0500１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/12/05(火) 18:14:38.43ID:7+0i0NU3
論理式をまともに扱えないのにイキって使って事故った物理屋がTwitterで炎上中
ここの住人と重なる部分がある
0501１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/06(水) 15:27:55.66ID:pYygn0Mk
考えてみると、子供向け質問回答で「山に登ると太陽に近づくが寒くなる」というのも、地球〜太陽の距離L=1億5千万kmにとっては山の高さ最大8.8ｋｍは
dLにも満たない距離だな。
0502１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/08(金) 22:49:38.39ID:cjQoQU7+
太陽光が地面を温めて
地面が空気を温める
という説明で充分だろ
空気が太陽光を通す事も必要か？
0503１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/15(金) 02:42:49.36ID:7Qvy7wd8
この問題、Youtubeでも結構動画に上がっている。でも、正直に意味は不明とか、微分形式で定義づけられているけどわからんとか
超準解析で詳しく定義されているようだが、理解不能とか…正直に意味はないと考え単に計算規則として提示している人は正直で…好感がモテた。
でも、意味は無いのに計算規則だけ出てくるのは解せない。
0505１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/19(火) 00:26:00.82ID:M+zafjgf
定義はどうせ次の計算規則が成立するモノとかで定義するんじゃないのか？
0506１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/19(火) 13:42:21.44ID:ExCJHSAY
下手に計算規則で定義すると

次の計算規則(i)(ii)が成り立つ非空集合SとS上の二項演算*の対(S, *)をチャオちゅ～ると定義する
(i) 任意のSの元aに対してa*a=a
(ii) 任意のSの元aに対してa*a≠a

みたいなレベルの無意味な定義になりかねないんだよね
0507１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/19(火) 14:53:10.01ID:vJk88FwX
受精卵は質量・体積の観点からすると、ほとんどが卵子由来。ゲノム情報は半々だが。精子残骸は受精後卵子に分解・吸収される。卵子細胞核まで泳ぎ切るかどうか不明だが。男・精子は卵子質量体積からすると微分量dmなのか。
0508めだかの学校
垢版 |
2024/03/19(火) 15:45:18.10ID:m4LUFK3v
やはり微分（全微分）は微分形式を学ばないと理解できないのか？
20年くらい前やはり同じ話題があがり
　　微分は数でもないし、関数でもない
というレスを見て考え込んでしまった。
　純粋数学とは全く無縁の自分は「微小変化」で満足しているけどwww
0512１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/19(火) 23:03:22.86ID:EJrt/yJO
dx ≒　dy なら、dx≒0.001でいいんぢゃなーーい
0514１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/20(水) 19:02:55.66ID:x8KFPbip
ごちゃごちゃ言わないでtangentBundleとcotangentBandleの定義を眺めたらいいのに
0519１３２人目の素数さん
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2024/03/22(金) 12:15:09.89ID:x9+L0zvm
>>518
厳密に言えば多様体に
厳密でない言い方をすれば、ユークリッド空間に埋め込まれてるとは限らない曲線や曲面やその他曲がった多次元空間に
0520１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/23(土) 01:12:01.52ID:gMwBe72B
とりあえず厳密じゃなくてもなんとなく納得できる回答が欲しい人はいると思う。
だから、これだけ紛糾しているわけだ。

局所的にユークリッド空間とみなせる空間に接線を接空間とかに拡張したもの…でなんとなく通じるんじゃないの？
後でそれじゃ厳密性が不足するなら注意を付け足せば良いわけだし。
0521１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/23(土) 13:24:22.26ID:oTMUBg0r
>>512
実際、原子質量からすると電子質量は無視できるしな。水素原子と水素イオンの質量差＝電子1個の質量は無視。
0522１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/23(土) 13:26:31.64ID:la6VuWST
>>520
個人的に「局所的にユークリッド空間とみなす」的な考え方は案外しっくりこないんだよね
例えば曲線に座標を与えても「直線と見なしてる」って感じがしなくて、あくまでも「曲線の各点と直線の各点を対応させてる」だけというか
0523１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/23(土) 13:40:45.37ID:oTMUBg0r
＞局所的にユークリッド空間

地球上の数mの範囲とか
0525１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/23(土) 15:14:58.26ID:gMwBe72B
>>522
結局、dx dy の定義で微小増分ってのが曖昧で嫌だってのを、多様体の空間が「局所的にユークリッド空間とみなせる」ってのに
単に置き換えて満足しているのかも…？うーん。
0527１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/26(火) 13:21:40.88ID:HpXS7lLW
接空間を「局所的にユークリッド空間とみなす」なんて考える必要あるか？
最初に微分と接線を学んだ時も「局所的に直線とみなす」なんて思った事ないぞ
0528１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/26(火) 17:22:57.35ID:umzhxECP
まあ、曲線を拡大して見て、局所的に直線になっていると捉えることは可能だな。
0530１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/26(火) 20:47:39.04ID:ul2VYFRV
>>527
接線って曲線を近似する直線なわけだけど、「近似」って近くて似てるけど異なるものなのよね
0534１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/28(木) 19:13:35.60ID:YaoH9RHd
微分の定義からして
f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a))→0 (x→a)
であるのみならず
(f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a)))/(x-a)→0 (x→a)
だからね
f(a)+f'(a)(x-a)がf(x)を近似してないってのは無理がある
0535１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/03/29(金) 14:14:52.86ID:k4bFXZdE
>>530
接線を重解として考えれば微分係数の厳密値が出るな。dxやεだと、超微小量だとしてもズレは0ではないし。
εδ論法や対角線論法とかで無限小は考慮されるが。（対角線論法は2^nというところを見落としているから論外）非代数関数への拡張は難しいかもしれんが。
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/38/38-8.pdf
あと、変分δxもdxのように、積の公式とか成り立つんだろうか。
0538１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/02(火) 12:37:08.18ID:jGCEL89q
dy/dxをdxとdyに分離できるならdxもd×x(ｄ掛けるx)とうように分離できるかな。
0539１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/02(火) 16:10:32.37ID:9fKf9myp
掛けるというか作用ね
昔はf(x)もfxと書いてた
sin,cos.tan.log,exp等名残
0540１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/07(日) 10:07:36.78ID:kGb4JOWj
結局、dx dy って「局所的にユークリッド空間とみなせる空間（多様体）に接線を接空間とかに拡張したもの」でいいんかいな？

「局所的にユークリッド空間とみなせる空間」の厳密な定義は、指定した点の近く（近傍）に開集合を取るとユークリッド空間の
性質に無限に近くなるモノが取れるなどで行うとして。曖昧な考えでテキトーｗ
0541１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/07(日) 10:40:22.31ID:cdvHXkED
>>540
適当でいいんだよ
0542１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/07(日) 11:23:24.02ID:f0UdZ9sX
わかってさえいればの話
0545１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/18(木) 19:37:47.83ID:qI+kaR63
多様体ってユークリッド空間の貼り合わせというよりは曲面の貼り合わせって印象
0546１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/18(木) 20:09:33.02ID:9DQ6O8eP
>>545
T2=[0,1]×[0,1]/<(x,0)〜(x,1),(0,y)〜(1,y)>も？
0547１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/18(木) 22:42:17.71ID:W65yRImT
大域的な問題を局所的に解いて
貼り合わせによって解を構成する
0549１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/19(金) 07:46:36.26ID:p6YqavVz
トーラスも多様体として扱うならそりゃ貼り合わせとして扱うことになるでしょ
0550１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/19(金) 10:04:52.64ID:fnpmo5F/
ユークリッド空間の商空間として扱っても
多様体として扱うことになるだろう
0551１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/19(金) 11:02:11.62ID:ksY4e4ty
円周の直積とみなしても
多様体として扱うことになるだろう
0552１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/19(金) 17:36:52.26ID:p6YqavVz
>>550
ならないでしょ
多様体からテキトーに商空間を作っても一般には多様体にならない
商空間として構成しても、結局貼り合わせであることを確認しない限りただの位相空間じゃん
0553１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/19(金) 18:14:44.31ID:bZSXXXrr
>>552
トーラスのことと思うよ
0554１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/19(金) 18:43:29.48ID:p6YqavVz
>>553
トーラスも商空間として構成しただけでは多様体にはならなくて、座標を貼り合わせて初めて多様体になるわけじゃん
そして多様体として扱って多様体としての構造を見ている間は構成を忘れて座標の貼り合わせとして扱うことになるでしょ
0555１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/19(金) 20:44:31.54ID:bZSXXXrr
>>554
いや別にそこ反論してるわけではなく
R^2→T^2で多様体として扱ってるってことを>>550は言いたいのだろうってこと
もちろん座標も込めてさ
0556１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/20(土) 16:39:11.20ID:lgVZM1FC
>>552
テキトーにではなく適当に作れば多様体になる
0557１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/20(土) 20:30:20.11ID:lgVZM1FC
多様体の商空間が多様体になるための条件
0558１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/21(日) 17:48:58.53ID:WRaJc4pY
可解多様体とか
0561１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/28(日) 09:42:51.86ID:JbWAVbl4
外微分形式の理論 Paperback – November 10, 2017
by 松田 道彦 (著)
See all formats and editions
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外微分形式の方法は、従来の1階偏微分方程式の解法を一新した。まず、座標系によらず自由に駆使する基礎を与え、特性系の概念のもとに偏微分方程式の古典的求積論を統一する。包合系の理論の最近の発展をも紹介。
0562１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/28(日) 21:36:00.74ID:gjKINs88
>>561
その本は、無限小とか a1dx1+a2dx2+a3dx3 とかの表現を最初から扱っているので>>1の疑問には答えないのかも。
0563１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/29(月) 11:06:45.92ID:or3lrBic
外微分形式の理論―積分不変式 (1964年) Unknown Binding
by エリー・カルタン (著), 矢野 健太郎 (翻訳)
0564１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/29(月) 23:12:35.54ID:Hr3zU5cv
>>563
こっちは微分方程式を元にしていて、なにやら物理学系統の匂いが。
いずれにせよ極小時間とか使っているし。
0565１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/29(月) 23:18:19.27ID:W8AYFE3P
問題なかろ
0568１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 11:53:21.45ID:dZrmuZxS
明確な意味を述べると授業の欠席者が増える
0570１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 13:25:39.52ID:eeZTB8FP
そもそもこのスレ自体>>1が疑問を解決するために立てたわけではあるまい
前スレならともかく
0571１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 20:51:54.70ID:CMtddt7Z
>>568
明確な定義のアイディアの骨子を知りたい！天下り的なものじゃなく。
「～を拡張したもの」程度で良いんだよ。
0574１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 09:17:12.88ID:sgJI4piv
100位
0575１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 09:18:59.56ID:8OeQUrrJ
>>1
>根底に潜むだろう思想

それってどんなん？
0576１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 09:22:23.77ID:8OeQUrrJ
微積分のdxとかdyを微分形式だというのは、説明になってない
dxとかdyって余接空間のただの基底だから
そんでもって∂f/∂xとか∂f/∂yもただの係数だから

関数の線形近似が理解できて初めて微分形式とかも理解できるから
0577１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 09:26:45.98ID:8OeQUrrJ
もしかしてdfとかdxが数だったら
単純に割り算してdf/dxが求まるとか思ってる？
それ素人の初歩的妄想的誤解

結局差分商の差の部分を小さくしていった場合の極限が微分係数だから
極限が心理的に受け入れられないからって、
極限抜きの方法なんか求めるのは○違いだよ
0578１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 09:30:08.70ID:8OeQUrrJ
df=(df/dx)dx　って書いたところで、

「df/dxってなんだ？」
「dfをdxで割った値だよ」
とかいってるならそれ無意味なトートロジーだよな

df/dxは先に決まってるんで、それをdfをdxで割ったものとか言っても意味ない
0579１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 09:41:44.60ID:8OeQUrrJ
ところで「（多変数写像）変数変換でヤコビアンが出る」のは
線型写像で近似してるからだぞ
その行列がヤコビ行列で、行列式がヤコビアン
線形代数わかってないなら、ヤコビアンわかるわけないからな
陰関数定理、逆関数定理がわからんとかいってるのも
もとをたどるとそもそも線型写像で近似してることが
わかってない場合が多い
対応する線型代数の命題を理解せずして理解できるわけないから
0580１３２人目の素数さん
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2024/05/01(水) 11:56:43.66ID:tkbookfX
>>571
関数f:R^n→Rが滑らか、任意の点p∈R^nとすると、横ベクトル(∂f/∂x1(p), …, ∂f/∂xn(p))により線形写像df_p: R^n→Rが得られる
これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる
これを拡張して、関数f: M→Nが滑らか、任意の点p∈Mとすると、上手いことやれば線形写像df_p: (Mの点pにおける接空間)→(Nの点f(p)における接空間)が得られる
これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる
0581１３２人目の素数さん
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2024/05/01(水) 21:51:51.07ID:fmjEF4yW
>>580
ふむふむ
0582１３２人目の素数さん
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2024/05/01(水) 22:09:21.11ID:sgJI4piv
Given a connected complex manifold $M$ of dimension $n$, let $\mathcal{O}_M\to M$ be the structure sheaf of $M$, i.e. the sheaf of germs of holomorphic functions on $M$, and let $\frak{m}_x$ be the maximal ideal of $\mathcal{O}_{M,x}$, i.e. the set of germs at $x\in M$ of holomorphic functions vanishing at $x$. Then $\coprod_{x\in M}{\frak{m}_x/\frak{m}_x^2}$ is naturally equipped with the structure of a vector bundle of rank $n$ over $M$, for which a local trivialization is given for each local coordinate $(z_1, z_2,\dots, z_n)$ on a local coordinate neighborhood $U$ by $$\displaystyle f+\frak{m}_x^2\mapsto \left(x,\left(\frac{\partial f}{\partial z_1}(x), \frac{\partial f}{\partial z_2}(x), \dots, \frac{\partial f}{\partial z_n}(x)\right)\right)$$ for each $x\in U$ and $f+\frak{m}_x^2\in\frak{m}_x/\frak{m}_x^2$. The bundle $\coprod_{x\in M}{\frak{m}_x/\frak{m}_x^2}$ is called the cotangent bundle of $M$.
0583１３２人目の素数さん
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2024/05/04(土) 13:21:56.51ID:myAjc1vp
加算不加算は、ヨーロッパ言語の加算名詞の考えから来てるのかな。
0584１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 08:28:58.59ID:IVZzp+jD
denumerable
0585１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 10:12:21.66ID:IVZzp+jD
innumerable
0586１３２人目の素数さん
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2024/05/06(月) 18:51:15.83ID:ZxBZ9IvW
微分形式を計算規則で公理的に定義する立場って存在すんの？
多様体上の関数上の加群であることくらいは記述できても、自由加群であることとか合成(特に制限)に関することを上手く記述できそうだと思えないが
0588 警備員[Lv.10][苗]
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2024/05/07(火) 18:32:24.32ID:9LgougMS
分数になったり分数にならなかったり
約分できたりできなかったり
人を惑わすための記号です
0589１３２人目の素数さん
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2024/05/07(火) 19:04:20.28ID:5E2dMoXD
>>587
見た感じ、確かに微分形式の集合が満たす代数構造ではあるが、「多様体Mの微分形式とはこういう代数系の元のことである」と定義できる類のものではないな
一応>>505の問いに肯定的に答える方法が存在するかって疑問なんだが
0590１３２人目の素数さん
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2024/05/14(火) 19:22:23.31ID:P0cKpxiS
単なる微分形式の多元環じゃなく
多様体と関連するならライプニッツ則を含んだ定義しかないだろ
0591１３２人目の素数さん
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2024/05/15(水) 00:33:41.98ID:EQ3/SQn8
物理学にしろ幾何学にしろ
座標系に依存しない
コーディネートフリーに理論を記述したい。
0593１３２人目の素数さん
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2024/05/16(木) 13:51:57.87ID:dOg/6qA3
自然現象違って実験のしようがないから、無限とか虚数とか数学概念の一部は結局人間の脳内にあるじゃないの？
0595１３２人目の素数さん
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2024/05/16(木) 19:45:02.32ID:W3TcXR3J
論理式という文字列によって表現可能なもののみが数学的対象だよ
そして虚数は余裕で論理式で表現できるし、超準解析の無限小は少し特殊な論理体系を使わないと表現できない
0597１３２人目の素数さn
垢版 |
2024/06/08(土) 19:42:12.52ID:HKo3244h
クイズ。
円 x^2 + y^2 = 1 を
( 1, 0 ) で
微分できる or できない ?
0600１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/06/20(木) 19:15:54.15ID:rnLLWG/C
微分できるのは関数であって、図形ではない
接線があるのは図形であって、関数ではない
円は図形なので微分はできないが、接線がある
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