dx dy の意味は?★2
>>198 の測度を使えば ∫_R dx = 1 x = 2y とおくと ∫_R dx ≠ ∫_R 2dy = 2 >>199 極座標の例では f:X→Y、(r,θ)→(x,y)では、(r,θ)における長方形Dが、(x,y)においてはバウムクーヘンの切れ端f(D)みたいなものに変換されますよね?X=Y=R^2 その測度間の変換は比例関係にあるというのが通常の変数変換の公式です μ_Y(f(D))=r*μ_X(D) μ_X、μ_YはX,Yの測度 >>196 の例では f:X→Y、x→x+1によって、Xでの[0,1]区間CがYでの[1,2]区間f(C)へと移動しています X=Y=[>>196 における(R,Σ,μ)] もし仮に、上の極座標と同様の関係が成り立つのであれば μ_Y(f(C))=0∝μ_X(C)=1となるはずです しかしそうではないということは、通常の常識は通用していないということですよね? >>204 こちらの方がわかりやすいですね 通常の変換公式使うと答えが合いません >>204 Mは1次元多様体 p∈M (U, φ)は、pを含む座標近傍Uで、U〜R、φ(p) = 0となるもの。 ω∈Ω^1(M)、ωはU上でf(x)dx、M\U上では0と表せるとする。fはなめらかな関数で、f(0)≠0とする。 Rの測度として、>>198 のδ_0を取った場合を考える。 ∫_M ω = ∫_R f(x)dx = ∫_R f(x)dδ_0 = f(0) (V, ψ)は、pを含む別の開近傍で、V〜R、ψ(p) = 0。 V上でωはg(y)dy、M\V上では0と表されるとする。このとき、 ∫_M ω = ∫_R g(y)dy = ∫_R g(y)dδ_0 = g(0) よって、f(0) = g(0)。 U∩V上では、ψ○φ^(-1)(x) = 2xと表されるとする。 このとき、 ∫_R g(y)dy = ∫_R g(2x) 2dx = 2g(0) ≠ g(0)(矛盾) なるほど よくよく考えたら、変数変換でヤコビアンが出るという事実が測度に依存するなんて当たり前でしたね 物理の人とかはdxdyとかを微小体積としてヤコビアン出してるわけです そうできるのは、dxを微小量として考えているからであって、微小変化量というのは明らかにルベーグ測度の考え方です ・微分形式は体積(測度)とは独立 ・Lebesgue測度とはたまたま一致する ことが示されたのでは? いや、 @ Lebesgue測度では、微小変化量の2次以降の部分は消える A その構造をたまたま代数的に実現できる道具があったので、それを微分形式の定義にした のでは?やはり微小変化量が本質。余接ベクトル場は方便 厳密さを謳えるような和書の「カレント」の理論の教科書ってないの?。 >>210 逆ではないのかと思う すべては微分形式からはじまる >>213 >>204 で見たとおり、微分形式じゃルベーグ測度以外の積分と整合しないじゃん つまり、微分形式は特別な場合に上手くいくだけのただのツール >>213 微分形式を使って>>204 を説明してください 多様体においては、微分形式と整合 しない測度は排除されるべきなのだよ 微分形式での測度って体積要素だろ ルベーグ測度に対応する体積要素が dx 他の測度は別の体積要素になる ディラック測度のような測度はカレントの理論が必要 微分形式は関手性と座標変換によって特徴付けられるわけだから 座標変換を変えることによって、Lebesgue測度以外の測度に対しても、微分形式のように振る舞うベクトル束を構成できる? (U, φ_U), (V, φ_V), (W, φ_W)を3つの座標近傍 φ_V○φ_U^(-1) =: φ_VUなどと書くことにして、 座標変換fに伴うJacobianに相当するものを∂fなどと書くことにすると U∩V∩W上で、 ∂φ_UW ∂φ_WV ∂φ_VU = 1 みたいな条件が必要になると思うけど >>217 前半はそうじゃないと思いますよ ある体積要素でのあるサイクルの積分が実際のサイクルのルベーグ測度と一致するかどうかとは無関係に、微分形式である限り変数変換すればヤコビアン出てきちゃいますよね? 変数変換でヤコビアンが出るという性質は、測度に依存したものであることが先ほど示されたので、やはり微分形式と積分を両立させるには測度に依存した議論が必要になると思います >>218 何を言ってるのかわかりません 座標変換を変えるってなんですか? で変えるとなにがどう微分形式のようなベクトル束ができると言ってるのでしょうか あとStokesの定理を成り立たせるためには、外微分も変えなきゃいかんね @ n次元多様体Mに対して、次数付けられたベクトル空間 Ω(M) = Ω^0(M)⊕...⊕Ω^n(M) と、線形写像d: Ω^k(M) →Ω^(k+1)(M)が存在。 A 多様体の射f: M → Nに対して、引き戻しf*: Ω(N)→Ω(M)が存在 B 座標近傍(U, φ)上で、k次の成分がf(x)dxみたいに書けて、別の座標近傍(V, ψ)とそこでの表示g(y)dyを取ると、nCk次行列T(y)があって f(x)dx = T(y) g(y)dy をみたす(k = 0, 1, ..., n) 微分形式の場合は、dは外微分で、TはJacobi行列(から作られる行列)だったわけだが dとTを適切に選べば、ルベーグ測度以外でも多様体上の積分と同じ理論を作れるか? とりあえずは、Stokesの定理を成り立たせるのが目標 あと、de Rhamコホモロジーの類似もできるといい だから d○d = 0 も要求 難しいと思いますね R上のディラック測度δ_0を考えます y=x+1として 1=∫[-1/2,1/2]dx≠∫[1/2,3/2]f(y)dy=0 fとしてなにを選んでもこうなってしまうので、少なくとも、Ω^1(M)の元dxをそのまま積分記号と解釈することは難しいのではないかと思います >>217 よくよく考えたらこれでいい気がしてきました >>224 の場合は、通常の測度と微分形式を用いて、ディラックのδ関数使って 1=∫[-1/2,1/2]δ(x)dx=∫[1/2,3/2]δ(y-1)dy=1 これでいいですもんね δ関数の正当性とか考え始めるとカレントが必要ってことなのでしょう であと問題になるのは、任意の測度を微分形式の言葉に書き直せるのかってところですけどそこらへんはどうなんでしょうか というか違いますね 私なんか勘違いしてましたけど、多様体の測度と、チャートで映されたユークリッド空間の測度は別にしないといけないんですね 多様体上に変な測度を考えるときは、ルベーグ測度を用いたユークリッド空間上で非自明な体積形式を考えてそれに関するルベーグ測度を用いた積分を行えば良い ですが、この方法で全ての多様体上の測度を尽くせるかはよくわからないと 微分形式と全く同じく、たとえばMが2次元なら Ω^0 = M上の関数 Ω^1 = M上の関数を係数としてdx, dyで張られる Ω^2 = M上の関数dxdyで張られる とすればよいのでは。 で、別のdx', dy'をとったときに dx = A(x', y')dx' + B(x', y')dy' dy = C(x', y')dx' + D(x', y')dy' dxdy = E(x', y')dx'dy' という座標変換が必要。 普通の微分形式の場合は、A, B, C, D, Eはヤコビ行列から決まった。 今回は、与えられた測度での積分の座標変換と整合するように定める。 あとは、ストークスやドラームを外微分dを適切に定義する必要がある。 >>227 > ストークスやドラームを ストークスやドラームが成り立つように ストークスを考えるには、境界上の積分が必要だから、R^nの測度というより R, R^2, ..., R^n すべてに何らかの意味で一貫した測度が入ってなきゃいかんね そこはRの測度が最初にあって、その積測度で良さそう まぁ自分の中で第一義に何をもつてくるのかは自由だわな しかし理系の人間が話し合って、例えば何を最初に教えるかという議論をするなら話違ってくる もちろんその場合は微分形式一択やろ これだけ現代数学、現代物理学を学んでいく上で避けて通れない概念も中々ない まず微分形式と解釈した場合の主だった定理や公式を理解した上で、その上でイヤイヤこんな解釈もあると進のはいいやろけど そんな事考えるのはまず学部の数学一通り全部理解した後の話だよ ディラック測度の積測度ってなに? δ_a×δ_bは、 (a, b)を含むなら1、含まないなら0? 第一成分への射影がaを含む or 第二成分への射影がbを含むなら1、そうでなければ0? あと、測度に完備性を要求するなら、積取ったあとに完備化しないといけない >>204 ,224 そうはならない x,yそれぞれに測度を勝手に導入して 微分形式だけ変換しても一致するわけないだろ 測度とは長さ面積体積などの計量の一般化なのだから それらが対応するように変換しなければ そもそも積分の変数変換とは呼ばないのだよ そんなの当たり前のことだ ディラック測度δ_0はディラックのδ関数と微分形式によって dδ_0(x)=δ(x)dxと解釈することはできる x=2yとするなら dδ_0(x)=δ(x)dx=δ(2y)d(2y)=(1/2)δ(y)2dy=δ(y)dy=dδ_0(y) よって f(0)=∫_Rf(x)dδ_0(x)=∫_Rf(2y)dδ_0(y)=f(0) x=y-1とするなら dδ_0(x)=δ(x)dx=δ(y-1)d(y-1)=δ(y-1)dy=dδ_1(y) f(0)=∫_Rf(x)dδ_0(x)=∫_Rf(y-1)dδ_1(y)=f(0) そもそも 変数変換で値が変わらないように測度が対応するからこそ積分の変数変換と呼ばれるのだよ x=gIy)という変数の対応でdx=g'(y)dyなのだから これで積分が変わらないように測度が対応するのが理の当然 >>237 煽りたいんだろうけどつまんないから消えてくれないかな 自分の存在価値を認識していないからこそ居座ってるんだろうけど >>236 こいつのヤバさは、他人の書き込みを読まない上に、妄想全開の俺理論を自信満々に書いちゃうところ 誰も聞いてないのに唐突に言霊とか占星術とかの話を仕出すヤバい奴に似ている >>236 話が噛み合ってない 野球の話をしているのに、「オフサイドというルールがある」とか言い出してるようなもん >>225 >任意の測度を微分形式の言葉に書き直せるのか できるように書くことはできる ディラックのδ関数がまさにそれ F(D,f(x))=∫_Df(x)dF=∫_Df(x)F'dx みたいに書くだけ >>243 アホかね 積分の変数変換で積分値が変わっちゃそりゃ変数変換とは呼ばない これが根本原理なのだよ 俺はただそれだけ言っているに過ぎない 測度の方が対応せねばならないってだけ >>245 > アホかね 鏡に向かって言ってんのか? "話が噛み合ってない"んじゃなくて、明確に"間違っている"んだよなあ…… そもそも誰も 「変数変換で積分値が変わる」 なんて言っとらんがな >>249 理解できて何より だから測度側が対応せねばならないわけ はぁ 必要なら書き込むしそうでなければ書き込まないというだけ 当たり前の理の当然でしょ? | 0 ♪シツモンッチャマ!新スィィ彼ピッピ )ノ゛相性知リタィカラ… ) 2人の14星座… b 教ェテクラハィ♪クラハィ♪♪ | (>>241 )ノ゛ゥラナィ!ナィナィ!! Σ0 ( ) クダラナィ!!! ( ) ( )! ! !Σ◇゛ 0♯ ( )ノ゛ 当タッテルカラ! ( ) ! ! □ 0♯ 教ェテァゲナィシ (`∆´#) 先生ニ言ィッケテャル! (ノ□٩)♯ Ω …デ、占ィ嫌ィナ>>241 ッチャマゎ、 ♐射手座カナニカナノ? ッテ…教ェテクレテモコッチゎ♯ 教ェテャラネェカラナァ? # 0# (`△´#) ィキナリdisカョ? (ノ◇٩) 数板ラシィゼ! √ >>227 取れるなら一通りしかないのは明らかだが、取れるのかな? φ: V → Uで変数変換したときに ∫_U f(x)dx = ∫_V f(φ(y))ψ(y)dy の形のψ(y)が存在するかどうか? >>178 微分形式を考えるのは、積分のためではない。 だから代数多様体でも余接ベクトル空間を考えるのが役に立つ。 積分との関係は、ルベーグ積分のときのみうまくいき、ルベーグ測度以外ではうまく行かないのはあなたの言うとおり。 そのとおり 積分のための微分形式ではない 微分形式のための積分なのだ 知ったかぶったことをどうしてそんなに得意げに書き込めるの? >>258 >fにも自乗可積分などの条件を課すことが必要そう(MがコンパクトならOK?) fに条件がいるかどうかは考えている積分の定義(測度の定義)による >>263 ここで発作起こしてたのは松坂くんではなく劣等感婆さんという別人です 松坂くんと比べると学力は圧倒的に劣等感婆さんのほうが上です 日英翻訳にもStokesの定理が成り立つ ∫_ねぎ green onion = ∫_玉ねぎ onion (dy/dx)は(d/dx)yであって割り算ではない (d/dx)は、いわゆる『導分』である 微分形式は、複素多様体や代数多様体でのリーマン・ロッホの定理に出てくる。 可微分多様体では、微分形式は、ドラームコホモロジーの定義で必要となる。 積分は難しく考えないほうがいいな 単に〈ω,D〉という内積みたいなもの 測度論は測度論であって数学ではない 応用集合論の一種だと思ってればいい ルベーグ積分とか、それを必要とする 特殊な人間以外はやらなくてよいし >>273 お前ルベーグ積分を知らないだろ。 積分を使う者にとって、ルベーグ積分の各種定理は非常にありがたい定理だろ。 測度論をやるのは、積分を使う者には無意味と思うよ。 だから、コンパクトサポートの連続関数の積分を拡張するというやり方で、ルベーグ積分を定義すれば良い。 >>273 >測度論は測度論であって数学ではない >応用集合論の一種だと思ってればいい ? 知ってるとか知らないとかいうよりむしろ ルベーグ測度は一種のハール測度だからな ハール測度はつねに存在し本質的にひとつ ルベーグ測度はハール測度だが 「一種の」とはどういう意味なんだ? 実数上に定義されたのがルベーグ測度という意図では ハール測度はもっと一般の位相群の場合として >>5 この前、読んだときはさっぱりわからなかったが MTなんとかってyoutuberのおしゃべり聞いて 一般相対論おもい出したら理解できた。 MTなんとかって人すごすぎ。 >>158 うん。 俺は全くの独学で一般相対論に挑戦したもんだから dxやdyをバンバン使った定理の導出がしっくりいかなかった。 それらを微小な物理量をとして使いまくってるし。 微分形式つう考え方を昨日知って、かなり納得した。 ほかのスレを読むとらさらにいろいろあるんだな。 こりゃまだまだ勉強のしがいがあるね。 数学は概念の関係性を明らかにする学問。 dx,dyは無限小と見てもいいし、 線形写像と捉えてもいい。 集合論や圏論などを用いて基礎づけられ、 合理的考えることができればそれで良い。 定めたルールから逸脱しなければ良いのだ。 Total calculus ∂x ∂y=dx+dy ∂^2 xy=dx+dy Total calculus ∂x∂y=dx+dy ∂^2ζ2)xy=dζ(1)x+dζ(1)y ∂^2ζ(2)=(dx+dy)/xy ∂^2π^2/6=(dx+dy)/xy ∂^2π^2=6(dx+dy)/xy xy∂^2=6(dx+dy)π^-2 🍎algebra Infinite addition of normal natural numbers ±1±2±3±4±5±6±・・・・・・±∞≒±1/12⇔ 0=0, 0=0/0, 0=±∞/0, 0=±0/±∞, 0=±∞/±∞ ±1/12=±0,±∞±1/2,±1,±2,±3,±4±,5,±6,±7,±8,±9,±10,±11,±12 when -1/12⇔=0=⇔π^2/6 -1≈=π^2=e^πi ±1≈0=decimal e^πi +1≒0⇔ →↑↓→e^πi±1←↑↓← The type of space-time is ζ、Γζη、ξ 0→M⇔➗⇔÷⇔2π^2 6・・・・・・π^2 ★ 6・・・・・・π^2 It is renormalizable by supersymmetry transformation. Censoring the ζ(n) function, where n is the number of all mathematical symbolic digits used in the equation under consideration, returns the desired equation. dxは無限小ではないだろう 無限小とか数学に必要なのか? まずもってdxは微分形式だわな そこから適当な測度がえられる 地球上(簡単のため真球として)の1平方mは、事実上dsとみなせる。地面の1平方mの正方形を見て、「地球は丸いから平面からずれた曲面球面だと気にする人はいないだろう。 生物学の微分方程式もあるけど、1個体をdxとして扱う。 無限にも階層があるわけだけども そうすると、無限小にも階層がある? 大学化学で、「dxはわかりやすくいうと1mol当たりの…」と説明していた先生いたが1原子・分子当たりの変化量といったほうが実態に近いかな。 1molでは微小量というには多すぎるし。もっとも1原子・分子当たりの変化は感知不能なレベルかもしれん。 生物変化数としてのdxは、人口76億人の1人分の変化・影響は微分量とみなせる、という感じかな。 親族にとっては1人の死は一大事だが世界全体への影響は微分相当量なわけで。 数学は、物理学などと違って、 SI単位というような概念はないよ。 単位があると数学にならない。 超巨大数が無限大のような性質になるな。グラハム数×グラハム数は誤差の範囲でしかない。グラハム数↑2にすぎない。 11^2を微分近似計算すると120、真値は121だから、1しか違わないのは意外。10→11は、微小変化とはいえないぐらいに、けっこう違うと思ったが。 巨大数にはいろいろな種類のものがあるし それに応じてその逆数を考えることにして 無限小にもいろいろあることにすればいい? dy ----- dx 分子分母の共通のdを約分すると y/x という間違い。 >>313 巨大数nがいくら大きかろうとnはただの自然数だし、1/nもただの有理数だよ >>310 1の分解 あたりから数学をやり直したら? >>316 単位を1のことだと思ったのか。 そういう誤解がないように、 わざわざSI単位という言い方をしたのだが。 m, kg, sなんて数学書には出てこないだろう。 物理単位なしでその概念を基礎付けるのが数学。 ゲージ原理も次元解析もじゅうぶん数学。 >>318 ディラックのデルタ関数みたいなカレントの理論の線積分はじゅうぶん自然単位系だろ。 >>319 物理学でも高度な数学や最先端の数学を用いるよ。 それは当たり前でしょう。 また物理学では物理単位がないと意味がないのに 対して、数学では物理単位は普通いらないよ。 実際、数学書には物理単位は 書かれていないでしょう。 超関数関係の数学書も物理単位はないよね。 例として単位をつけた例題があることもあるけど、 それは本質ではないでしょう。 数学では物理単位は関係ないんだよ。 地球上での球面の影響と公差を考えてみると、戸建住宅の床の傾き許容度は3/1000、 100mのす水平直線は地球の丸みの影響で0.8mmのずれが生じる。100mの直線加速器は この補正が必要。しかしオリンピック100m走トラックは、高低差10cm以内が公差・長さは1/1万 なので加速器のような超精密機でない限り100m直線は地球の丸み影響考慮ほとんど不要。 戸建住宅(長くて10m四方)の直線・正方形・立方体等は微積分的なdx・dS・dVと見ていいだろう。 ガウス発散定理とかも直線・直平面近似は。球体を地球サイズとして考えたらイメージしやすい。 天下りでなく 得体のしれないところから せりあがってくるように書かれた 微分形式のtextはありますか dx,dyを捉える方法は、 物理学や工学で教えているような、 0でない微小量というのが一番いい。 歴史的にはこのような直感で理解していたのだ。 数学的にはこれでは意味不明だからダメだが、 応用上、この理解で問題になることはまずない。 >>323 エタールに海水面位上昇する時に付くウォーターマークの縞々状に理解してます。 >>324 コホモロジーが応用上使われてないとでも思ってんのかよ >>326 使われていない。 使っている企業はない。 それからどうやって利益をだすのか。 >>327 >>使っている企業はない。 最近有名なのはこれ↓ Persistent cohomology for data with multicomponent heterogeneous information Zixuan Cang, Guo-Wei Wei Persistent homology is a powerful tool for characterizing the topology of a data set at various geometric scales. When applied to the description of molecular structures, persistent homology can capture the multiscale geometric features and reveal certain interaction patterns in terms of topological invariants. However, in addition to the geometric information, there is a wide variety of non-geometric information of molecular structures, such as element types, atomic partial charges, atomic pairwise interactions, and electrostatic potential function, that is not described by persistent homology. 以下省略 Cite as: arXiv:1807.11120 [q-bio.QM] (or arXiv:1807.11120v1 [q-bio.QM] for this version) https://doi.org/10.48550/arXiv.1807.11120 「高度な理論をお勉強しても実社会では役に立たない!」とか言うやつの生きてる社会が低レベルなだけ、ということがよく分かる例 >>327 本質的理解から目をそむけ、利用できるかって面だけで無理やり物事を理解しようとするから、日本企業が 出す電化製品は過去の焼き直しがメインで、リモコンはやたら複雑で誰も使わないマニアな機能がつくだけで 本質的で画期的な進化は期待できないのでは? >>328 論文を書くには役に立ってそうだね。 しかし利益が出ないと意味がない。 応用とはそういうもの。 その論文に基づいて、 特許なりなんなりを取得して、 誰かが企業して成功したら役に立つと認めるよ。 >>331 稼働し始めた量子コンピュータに対しても 同じことがいえるだろうか 宣伝ばかりで中身がない 本当に実現できるなら暗号鍵なんか 簡単に破られてしまうだろう? >>335 >>宣伝ばかりで中身がない >>本当に実現できるなら暗号鍵なんか >>簡単に破られてしまうだろう? 稼働を始めたということは これから素晴らしい中身が 伴うのだが、その結果 今用いられている暗号鍵なんか 簡単に破られてしまうのは問題であろうということで 将来に向けての課題をも提示しており 大いに宣伝の価値あり 米国におけるプラズマの成功と 同等以上の功績である >>335 もしかして量子コンピューターが実現されてないと思ってる? スレタイの事に興味を持って勉強しているんだけど、双対空間って要するに普通に我々の空間それぞれの地点に、気圧とか気温とか 数値になるものが想定できて、それぞれの数値を空間とみなすことができる…みたいな理解でおKなの? >>340 に関して言及するなら「それぞれの数値を空間とみなすことができる」の部分にちょっと認識の怪しさを感じる 一つ一つブラッシュアップしていくなら、まず「それぞれの数値の集まりが空間とみなすことができる」のがより正確 ここでは何かしらのモノが空間になるわけではなく、モノの集まりが空間になる 次に「その場所と数値の対応の集まりが空間とみなすことができる」のがより正確 「東京の気温」みたいな特定の「数値」ではなく、「どこどこの気温はいくら」っていう場所と数値の対応の集まりが双対空間 で、一応最後に「その場所と数値の対応の中で線形なものの集まりが空間とみなすことができる」のがより親切 例に出してる「気圧」とか「気温」が線形になるなんてイカれた状況が起こる確率は0なので、自分の理解を確認するなら例の不適切な部分は理解してるというエクスキューズがほしい で、そもそも上記の部分で本当に誤解してるのかどうかも曖昧な状態でこんだけ細々した説明をするのは面倒だからスルーが安牌ではある 喩え話でわかろうとしないでそのまんま受け入れるのが重要だと思うの そうしないとその先いずれ躓くと思うの >>340 (Tは温度の)dTとかも、完全断熱状態は不可能だから原子・分子1個分変化の温度変化量(理論計算上は、あっても)とか意味なさないしな。 >>343 ふむふむ。場所と数値の対応を空間と考えるわけね。で、その数値が線形じゃなきゃいけないというわけか。 じゃ、数値として「重力による位置エネルギー」なんてのはどう? >>348 もしかして高校生? それなら先に線形代数の教科書を読むことを勧める 一冊まるまるじゃなくて、線形写像の説明が出てくるところまででいいから その上で誤解してそうな部分を指摘しておくと、ここでいう線形っていうのは線形空間の元である(=足し算や実数倍ができる)っていう意味ではなく、線形関数である(=fを関数(=場所と数値の対応)、x,yを位置ベクトル、aを実数としたとき、af(x)=f(ax)及びf(x+y)が成り立つ)という意味ね そして、重力による位置エネルギーは関数ではあるけれど、線形関数ではないので、双対空間を考える際の例としてはあまりよくない それと、>>343 にも同じ意味のことを書いたけれど、線形関数が空間になるのではなく、線形関数を集めた集合(=ものの集まり)が空間になる >>350 訂正 f(x+y)の部分はf(x+y)=f(x)+f(y) >>348 >数値として「重力による位置エネルギー」 それ線形なの? >>353 我々のいる3次元空間を定義域とした線形関数なんてそりゃあある程度人為的に作らないとないよね だって0写像除いて原点定まるし 双対空間の元が場所に対応した線形関数になっているってこと? 例えば、座標(a,b) に対応して 関数 y=ax+b みたいなのがいっぱいあって、その集合が相対空間って理解でOK? >>355 違う まず、大学以上の数学でいう「〇〇空間」は、必ずしも我々のいる3次元空間のような「位置を元に持つ集合」のことではない 例えばベクトル空間の元は数列だったり関数だったりピカチュウだったりすることもある とりあえず今は、「〇〇空間」という名前でも、そういう名前がついてるだけのただの集合だと思っていい それを踏まえて、R^3(3次元ユークリッド空間)の双対空間の元は3変数関数のうち線形関数であるものである 例えばf(x, y, z)=8x+y-10zとなるような関数fやg(x, y, z)=-3x+2zとなるような関数gがR^3の双対空間の元である こういったfやgは必ずしもR^3の元と一対一に対応してる必要はない で、線形代数の教科書は学部一年生向けに書かれているため、こういう初学者にありがちな誤解に対する注意も書かれてたりするのもあって、あなたは一度線形代数の教科書を読んどいた方がいいと思う いきなり大学1年向け線形代数教科書より旧課程の行列高校参考書のほうがいいかもしれん。古本屋にもあまりないから通販くらいかな。 ベクトル空間の元がピカチュウてのは思い浮かばんなー 曼荼羅の仏の代わりにピカチュウを並べたんか? >>358 {ピカチュウ, ベトベトン, タケシ}が張る自由ベクトル空間の元ピカチュウ(=1ピカチュウ+0ベトベトン+0タケシ)とか 2回微分のd2y/dx2って分子分母単独で何か意味あるますか?代数的な小難しい定義はパステイラー展開辺りと絡めて量として何か表すかなと dy/dx=e^x すごいな 何度解いても dy/dx=e^x というか、というワケでぢやなくて dy/dx=e^x+C だろ? というか、コレを解くと んーーー dy/dx=e^x+Cx+C かな❓ 違うのかな とにかく 無限回やれば、 dy/dx=e^x+C+Cx2+Cx3+Cx4+・・・・・・ になるか?🤔 e^xって無限に微分しまくっても、定数とかゼロにならない ってことは、e^xってマクローリン(テイラー)展開しても ゼッタイ誤差がゼロにならないのか というか、dxとかdyって無限小だろ❓ εδ論法のδぢゃないかな? ていうかδより小さいかもね🤔 モチロン、そんな実数は存在させませーーーーん っていう霊感をピピっと感じちゃいました。 混乱を避けるため 微分形式を表すときはdx 無限小を表すときはΔx という風に区別したほうがいい あほぉーーーーーーーーーッ!!! あほぉーーーーーーーーーッ!!! >>33 >ホモロジーは余代数になる H(X×X)→H(X)\otimesH(X) は? >>363-368 意味ありげなライプニッツ記法を恨むイギリスのニュートンシンパぐらいの時期の数学水準がお似合いや。 >>369 てことで一般には コホモロジーは代数になるが ホモロジーは余代数にはならない dx∧dy dx・dy これの違いが分かる人いる? ∫∫f(x,y)dxdy この場合のdxdyは外積と対称積のどちらですか 話を最初に戻すけど dy/dxは分数じゃないけど分数のように扱うことができるのはなぜ?という疑問 自分なりの直感的理解を書くけどこれで合ってる? dyとかdxとかは無限小の概念 この点がΔ表記との違い 要するに、lim(Y→0)とかlim(X→0)なので 分数自体が定義されない ∞/∞が数でないのと同じ ただ、極限値は有限の値なので分数表記できるし矛盾なく計算できる >>378 君はどうやら中学生みたいなのでさようなら👋 ライプニッツ記法は変数変換がなんか分数っぽく直感的にできる ある意味では微分形式として正当化できる。 >>380 ホントの意味は何にバッチリ書いているの? >>382 トゥー多様体とか多様体の教科書なら載ってると思う おいおい大丈夫か? Δと微分記号で使うdは同じだと盛大に勘違いしてる奴がいるぞw しかも自信満々なのが痛いw Δとdの使い分け https://science.shinshu-u.ac.jp/ ~tiiyama/?page_id=9128 Δ は 2 つの値の「差」を意味します。 (例えば、ΔU は 2 つの状態での内部エネルギー U の差 ) 差をとるときは、常に「新しい方から古い方を引く」と覚えておいてください。(中略) dU という表記が出てくるときがあります。これは ΔU と同じように 2 つの状態のエネルギー差を表しているのですが、その差が無限小まで小さくなっていることを表しています。 初歩中の初歩ですよマジで >>388 ニュートン記法とかランダウの記号のほうがいいの? Δy=f'(x)Δx + αΔx 但しΔx→0のときα→0 これが答えだ >>386 大抵の本は >>390 みたいな説明が書かれていて、直感的には分かるが厳密性に欠けるんじゃね?とハテナマークが壮大につくわけで。 >>392 どの程度の厳密性を求めるかにもよるだろう >>394 他の学問ならまだしも、数学である以上論理学に還元できるレベルの厳密さが必要だよね 論理学に還元できるレベルのことだと分かるなら 実際に厳密にそれを実行する必要はない ラッセルとホワイトヘッドがやったことを いちいちすべての数学でやってもしょうがない だからって、「微小変位」みたいなのに戻れってのは抵抗感があまりにも大きすぎる。 どこがどう厳密じゃないのか一切言わないからな ところで最近の日本人が使う「接ベクトル」という用語法は間違ってるはず 数学は論理がすべてとか言ってる奴こそ100年前から進歩していない >>398 微小とかが嫌だって書いているだろうにw >>396 「~のことだと分かる」って日本語の意味がよく分からないんだけど >>400 dy≒Δyとする事ができる程の微小という事 >>397 無限小でイイでしょ? 数列なら{1/n}は無限小 超準解析持ち出す必要も無し 持ち出して来てもいいけど >>399 数学は論理が全てではなくて、他にお気持ちとか重要なものはあるけど、それもこれも論理的正しさがベースにあってこそ >>402-403 曖昧過ぎるw 超準解析使うなら、「ここの理論は普通の数学者が忌み嫌う特殊理論を使いますよ!」みたいなのをはっきりと明記して欲しい。 だいたい書いてる趣旨を誤認してるのは読んでないからだろうシナ >>407 何番の書き込みのことをいっているのだ? だよね 微笑じゃない →0の部分が微小の意と解釈できるけど そこは無限小で 極限の概念の基本的なところを しっかり押さえていれば 全然あいまいなことはない 普通の場合、単独では微分形式を表すし 積分記号∫と一緒のdx、dyは測度を表す >>416 定義されてると思うなら論理式で定義を書いてみたら? 不可能だろうけど ∃δ > 0, ∀Δx, 0 < |Δx| < δ >>419 閉論理式ワロタ 任意のδ>0に対してδ<|2δ|なので ∀δ > 0, ∃Δx, ¬(0 < |Δx| < δ) よって偽 Δx→0が未定義じゃないとか「dxは微小変位」が厳密な定義とか言ってるやつって結局この程度の馬鹿しかいないんだよな >>420 >>Δx→0が未定義じゃないとか 全然未定義じゃない >>421 だったら論理式で定義を書いてみたら? ちなみに>>419 の論理式は「実数には最大値が存在する」って意味の論理式で、もちろん偽だよ ∃δ>0, Δx∈A,B⊂A,∀h(h∈B→0<|h|<δ) >>424 今度は集合Aに関する論理式かよワロタ A=∅ならばΔx∈Aが存在しないので偽 A≠∅ならばδ=1, ΔxはAの元, B=∅とすることで∀h(h∈B→0<|h|<δ)が真となるので全体も真 よってこの論理式は集合Aが空でないことと同値 で、集合Aが空でないことが何の定義になるんだよwww >>423 じゃあ君はどんな言語で定義を示してくれるの? >>422 Δx→0はΔxが0に近づくとき、であって近づくとは言っていない。 すべてのδより大きいΔxをとって定義できなくしても すべてのΔxより大きいδをとって定義をすればおk >>433 意味の取れない部分が多々あるんだけど、 1) まずそれは>>432 の質問に対する回答ってことでいい?だとするとそれは「Δxが0に近づくとき」の定義と解釈することになるけど 2) 「すべてのδより大きいΔxをとって」や「すべてのΔxより大きいδをとって」とは「∀δ, Δx>δを満たすΔxをとって」や「∀Δx, δ>Δxを満たすδをとって」という意味でいい?だとするとそのようなΔxもδも存在しないけど >>435 質問の意図が分からないけど、実数には0や1が存在するよ それよりまず>>434 の質問2つに答えろよ はいかいいえの二択なんだから >>437 お前が書いた文章に関してお前がどういう意図で書いたか聞いてるんだからお前にしか聞きようがないだろ >>377 >>388 を書いた者だけど、つくづくレベル低いスレだな 的を外した聞きかじりの用語の羅列ばかり 誰か>>377 の問いかけに答えてくれないものだろうか? >>441 数学的には不正確だけど、物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思う f(x)dxが原始関数の微分dF(x)になるというのが面白い >>444 物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思うけど、数学的には不正確、って言えばいい? https://ameblo.jp/dance-dice/entry-12653770556.html >この無限小概念恐らくほぼ全ての工学者が理解しないまま使っています。博士号を取得した研究者や大学教授などに聞いても >「多分エンタルピーとか微分方程式の解法の操作とか本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいないと思う・・」 >という意見をよく聞きます。そもそも教えられてないんだから分からないのも当然なんです。 そなの?w ほぼ全ての工学者というか数学科を除くほぼ全ての理工系が理解してないし理解してないことを自覚してない >>449 そんなことないよ むしろ素朴な概念として理解できてる その拡張はしないってだけ >>448 数学科の本だって、意味をズバリ書いた参考書はあれこれ探してやっとあるって状況なのに? 物理の人にたまによく聞かれるのは なんで (∂P/∂V)_T(∂V/∂T)_P(∂T/∂P)_V=-1 なのかってこと >>452 微分形式なんて多様体論の教科書ならどれでも載ってる >>454 意味をズバリやのに構文だけの微分形式とかw >>455 どういうこと? 微分形式が意味を持たないと思ってる? 意味が無いのにいきなり計算規則が発生するというのは不可解w >>458 何言ってんだお前 微分形式は多様体上の共変テンソル場だろ >>461 それ抽象的すぎて何も言っていないのと同義かと。 結局微少増分って元のアイディアがあって、その性質を突き詰めて考えるとそうなるってやつでしょ? その結果、どうしてその計算規則が成り立つかわからんから >>448 みたいに「博士号を取得した研究者や大学教授 も本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない」という惨状に繋がっているんじゃないの? >>本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない それは「本当の意味で」の意味にもよるだろう >>462 > そうなるってやつでしょ? 伝聞調に見えるけどお前自身が微分形式の定義理解して書いてる? 中身知らずにポエム聞きかじっただけで理解したつもりになってない? >>464 それこそ微少増分程度の理解ですまして疑問符いっぱい状態。 というか、授業がどんどん先に進むから戻ってじっくり考えるってことができなかったし、しっかり理解できていたなら ここでグチグチ言わんよw 微分形式に関して多様体論の教科書の導入部分に書かれてるようなことを1から説明してみるか まず、流れとしてはR^nにおいての接平面だの微分形式だのの定義があって、それの拡張として多様体での定義が得られる。 以下ではR^nをn次元縦ベクトルのなす集合、R_nをn次元横ベクトルのなす集合とする。またUをR^nの開集合、f: U→Rとする。 【微分の定義】 任意に点x∈Uをとる。以下の式が成り立つ横ベクトルA∈R_nが存在すれば、「関数fは点xで微分可能」という。 f(x+h)=f(x)+Ah+o(h) (h→0) このときAをfの点xにおける微分係数といい、f'(x)と表す。fが任意の点で微分可能ならfは微分可能といい、導関数f': U→R_nが定義される。以下fを微分可能であるとする 【R^nにおける微分形式の定義】 任意に点x∈Uをとる。f'(x)∈R_nなので以下のように線形関数df_x: R^n→Rを定義できる。 df_x(v)=f'(x)v これが任意の点xで定義されるから、Uの元を添字にもつ線形写像の族dfを定義できる。このdfをfの外微分という。 【微分形式の直感的意味】 点p∈Uをとる。微分の定義より f(p+h)-f(p)=df_p(h)+o(h) (h→0) が成り立つ。逆に言えばこのような線形関数df_pが存在することが微分可能性の定義とも言える。気持ちとしては点pの近くで関数f(p+h)-f(p)を線形関数df_pによって近似できるということ。 【dxについて】 第i座標への射影(x_1, …, x_n)→x_iをx_iと書く。(多項式関数のイメージ。記号の濫用なので注意。)するとdx_iは第i座標への射影となる。特にn=1ならば(このとき一般的にx_1と書かずxと書くが)xは恒等関数なので、dxは恒等関数である。 【多様体について】 多様体とはざっくり言えば座標を一つ与えればR^nの議論に落とし込める空間のこと。なので多様体の接平面や微分形式は、座標を一つ与えればR^nの接平面や微分形式が誘導されるように定義される。詳細は自分で勉強して。 要するにdfは微小量ではなく線形関数です、という話 >>467 やっぱ微小量がいいなあ nonstandard解析で 位相もnonstandardでmonadだっけ アレでやった方がいいような気がする >>467 長文書いて画面占領すれば勝ちと思ってるAhoh(アホウ) 微小量では近似的な関係にすぎないところを 厳密になりたつように改良したのが微分形式 >>468 メタ定理ってあんまり使いたくないんだよな ∫F(x)dxのdxは微分形式から定まる測度 という意味で、本来ならば、∫F(x)[dx] のように区別して書くべきところだけど 単にdxと書かれるから混乱が生じている dx:微分形式 δx:微小量 Δx:無限小 [dx]:測度 みたいな区別をして教えるべき >>390 現代数学っていうのはそもそもこういう変数の関係式?みたいなもので記述する建て付けになっていないんだけどな まあここの奴らは理解できないしする気もないんだろうが 例えば「Δx→0のときα→0」の定義を論理式で書け、って言われても不可能でしょ? そういうことよ 高瀬正仁の『dxとdyの解析学』は、意欲作で「天下りの定義からは微積分の意味は聞こえてこない」なんて煽っている けど、基本部分は dx は微少増分って扱いなんだよな。 高木貞治の解析概論の説明では、1変数の関数の微分とは局所的な接線の方程式であると理解するしかないみたいなんだけど。 https://imepic.jp/20231125/507160 高木ってゲーデルより30歳以上ジジイだからな そんなやつが厳密に数学してるわけないという >>487 接線の「気持ち」としてはわかるにしても 解析概論のその説明はいろいろとおかしいな まず「積分」を先に考えて、「微分」はそれの 「逆操作」とみなすほうがいいのかもしれんね そうすれば、ε-δも当面は必要ないのではないか 楕円関数も楕円積分の逆として理解できる様に >>487 局所線形化写像とかの現代数学っぽく聞こえる言い換えを言い返ししたくなる。 >>492 積分をリーマン積分で定義するならどうせε-δが必要になる(それも分割の大きさに対するε-δだから関数の極限のε-δ以上にややこしい) ルベーグ積分でも正項級数の定義くらいは必要になる それに微分を積分の逆として定義すると、max(0, x)が微分可能になったり、f(x)=1の導関数が一意に定まらなくなったりする(導関数とほとんど至る所で一致するすべての関数が導関数になる) なんだか怖いね ジョークが通じないというか 関わりたくないタイプ 論理式をまともに扱えないのにイキって使って事故った物理屋がTwitterで炎上中 ここの住人と重なる部分がある 考えてみると、子供向け質問回答で「山に登ると太陽に近づくが寒くなる」というのも、地球〜太陽の距離L=1億5千万kmにとっては山の高さ最大8.8kmは dLにも満たない距離だな。 太陽光が地面を温めて 地面が空気を温める という説明で充分だろ 空気が太陽光を通す事も必要か? この問題、Youtubeでも結構動画に上がっている。でも、正直に意味は不明とか、微分形式で定義づけられているけどわからんとか 超準解析で詳しく定義されているようだが、理解不能とか…正直に意味はないと考え単に計算規則として提示している人は正直で…好感がモテた。 でも、意味は無いのに計算規則だけ出てくるのは解せない。 数学は各自が勝手に定義して良いのだ でも定義は明記しろよ 定義はどうせ次の計算規則が成立するモノとかで定義するんじゃないのか? 下手に計算規則で定義すると 次の計算規則(i)(ii)が成り立つ非空集合SとS上の二項演算*の対(S, *)をチャオちゅ~ると定義する (i) 任意のSの元aに対してa*a=a (ii) 任意のSの元aに対してa*a≠a みたいなレベルの無意味な定義になりかねないんだよね 受精卵は質量・体積の観点からすると、ほとんどが卵子由来。ゲノム情報は半々だが。精子残骸は受精後卵子に分解・吸収される。卵子細胞核まで泳ぎ切るかどうか不明だが。男・精子は卵子質量体積からすると微分量dmなのか。 やはり微分(全微分)は微分形式を学ばないと理解できないのか? 20年くらい前やはり同じ話題があがり 微分は数でもないし、関数でもない というレスを見て考え込んでしまった。 純粋数学とは全く無縁の自分は「微小変化」で満足しているけどwww >>508 むしろ微分形式のほうが 純粋数学色なく実用ツールとして有用ですらある。 逆だろ 微分(接空間)が分からんのに微分形式が分かる訳がない >>510 あるいは多変数のほうが現実的具体的で簡単明瞭な可能性もある。 dx ≒ dy なら、dx≒0.001でいいんぢゃなーーい ごちゃごちゃ言わないでtangentBundleとcotangentBandleの定義を眺めたらいいのに >>510 接空間って要するに接線を2次元とか3次元とかに一般化したモノでしょ? >>518 厳密に言えば多様体に 厳密でない言い方をすれば、ユークリッド空間に埋め込まれてるとは限らない曲線や曲面やその他曲がった多次元空間に とりあえず厳密じゃなくてもなんとなく納得できる回答が欲しい人はいると思う。 だから、これだけ紛糾しているわけだ。 局所的にユークリッド空間とみなせる空間に接線を接空間とかに拡張したもの…でなんとなく通じるんじゃないの? 後でそれじゃ厳密性が不足するなら注意を付け足せば良いわけだし。 >>512 実際、原子質量からすると電子質量は無視できるしな。水素原子と水素イオンの質量差=電子1個の質量は無視。 >>520 個人的に「局所的にユークリッド空間とみなす」的な考え方は案外しっくりこないんだよね 例えば曲線に座標を与えても「直線と見なしてる」って感じがしなくて、あくまでも「曲線の各点と直線の各点を対応させてる」だけというか >局所的にユークリッド空間 地球上の数mの範囲とか >>522 結局、dx dy の定義で微小増分ってのが曖昧で嫌だってのを、多様体の空間が「局所的にユークリッド空間とみなせる」ってのに 単に置き換えて満足しているのかも…?うーん。 接空間を「局所的にユークリッド空間とみなす」なんて考える必要あるか? 最初に微分と接線を学んだ時も「局所的に直線とみなす」なんて思った事ないぞ まあ、曲線を拡大して見て、局所的に直線になっていると捉えることは可能だな。 >>527 接線って曲線を近似する直線なわけだけど、「近似」って近くて似てるけど異なるものなのよね 円に1点だけ共通部分があるのが接線 何も近似してない >>531 びっくりするかもしれねぇけど円以外の曲線も接線を持つんだぜ! 近似の定義はεδ法みたいな形式で記述できるんじゃないの? 微分の定義からして f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a))→0 (x→a) であるのみならず (f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a)))/(x-a)→0 (x→a) だからね f(a)+f'(a)(x-a)がf(x)を近似してないってのは無理がある >>530 接線を重解として考えれば微分係数の厳密値が出るな。dxやεだと、超微小量だとしてもズレは0ではないし。 εδ論法や対角線論法とかで無限小は考慮されるが。(対角線論法は2^nというところを見落としているから論外)非代数関数への拡張は難しいかもしれんが。 https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/38/38-8.pdf あと、変分δxもdxのように、積の公式とか成り立つんだろうか。 dy/dxをdxとdyに分離できるならdxもd×x(d掛けるx)とうように分離できるかな。 掛けるというか作用ね 昔はf(x)もfxと書いてた sin,cos.tan.log,exp等名残 結局、dx dy って「局所的にユークリッド空間とみなせる空間(多様体)に接線を接空間とかに拡張したもの」でいいんかいな? 「局所的にユークリッド空間とみなせる空間」の厳密な定義は、指定した点の近く(近傍)に開集合を取るとユークリッド空間の 性質に無限に近くなるモノが取れるなどで行うとして。曖昧な考えでテキトーw >>540 あの意図不明な多様体の定義はその解釈で理解可能なのか? 多様体ってユークリッド空間の貼り合わせというよりは曲面の貼り合わせって印象 >>545 T2=[0,1]×[0,1]/<(x,0)〜(x,1),(0,y)〜(1,y)>も? 大域的な問題を局所的に解いて 貼り合わせによって解を構成する トーラスも多様体として扱うならそりゃ貼り合わせとして扱うことになるでしょ ユークリッド空間の商空間として扱っても 多様体として扱うことになるだろう 円周の直積とみなしても 多様体として扱うことになるだろう >>550 ならないでしょ 多様体からテキトーに商空間を作っても一般には多様体にならない 商空間として構成しても、結局貼り合わせであることを確認しない限りただの位相空間じゃん >>553 トーラスも商空間として構成しただけでは多様体にはならなくて、座標を貼り合わせて初めて多様体になるわけじゃん そして多様体として扱って多様体としての構造を見ている間は構成を忘れて座標の貼り合わせとして扱うことになるでしょ >>554 いや別にそこ反論してるわけではなく R^2→T^2で多様体として扱ってるってことを>>550 は言いたいのだろうってこと もちろん座標も込めてさ >>552 テキトーにではなく適当に作れば多様体になる 外微分形式の理論 Paperback – November 10, 2017 by 松田 道彦 (著) See all formats and editions はじめての本の購入で10%ポイントプレゼント 外微分形式の方法は、従来の1階偏微分方程式の解法を一新した。まず、座標系によらず自由に駆使する基礎を与え、特性系の概念のもとに偏微分方程式の古典的求積論を統一する。包合系の理論の最近の発展をも紹介。 >>561 その本は、無限小とか a1dx1+a2dx2+a3dx3 とかの表現を最初から扱っているので>>1 の疑問には答えないのかも。 外微分形式の理論―積分不変式 (1964年) Unknown Binding by エリー・カルタン (著), 矢野 健太郎 (翻訳) >>563 こっちは微分方程式を元にしていて、なにやら物理学系統の匂いが。 いずれにせよ極小時間とか使っているし。 そもそもこのスレ自体>>1 が疑問を解決するために立てたわけではあるまい 前スレならともかく >>568 明確な定義のアイディアの骨子を知りたい!天下り的なものじゃなく。 「~を拡張したもの」程度で良いんだよ。 >>1 >根底に潜むだろう思想 それってどんなん? 微積分のdxとかdyを微分形式だというのは、説明になってない dxとかdyって余接空間のただの基底だから そんでもって∂f/∂xとか∂f/∂yもただの係数だから 関数の線形近似が理解できて初めて微分形式とかも理解できるから もしかしてdfとかdxが数だったら 単純に割り算してdf/dxが求まるとか思ってる? それ素人の初歩的妄想的誤解 結局差分商の差の部分を小さくしていった場合の極限が微分係数だから 極限が心理的に受け入れられないからって、 極限抜きの方法なんか求めるのは○違いだよ df=(df/dx)dx って書いたところで、 「df/dxってなんだ?」 「dfをdxで割った値だよ」 とかいってるならそれ無意味なトートロジーだよな df/dxは先に決まってるんで、それをdfをdxで割ったものとか言っても意味ない ところで「(多変数写像)変数変換でヤコビアンが出る」のは 線型写像で近似してるからだぞ その行列がヤコビ行列で、行列式がヤコビアン 線形代数わかってないなら、ヤコビアンわかるわけないからな 陰関数定理、逆関数定理がわからんとかいってるのも もとをたどるとそもそも線型写像で近似してることが わかってない場合が多い 対応する線型代数の命題を理解せずして理解できるわけないから >>571 関数f:R^n→Rが滑らか、任意の点p∈R^nとすると、横ベクトル(∂f/∂x1(p), …, ∂f/∂xn(p))により線形写像df_p: R^n→Rが得られる これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる これを拡張して、関数f: M→Nが滑らか、任意の点p∈Mとすると、上手いことやれば線形写像df_p: (Mの点pにおける接空間)→(Nの点f(p)における接空間)が得られる これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる Given a connected complex manifold $M$ of dimension $n$, let $\mathcal{O}_M\to M$ be the structure sheaf of $M$, i.e. the sheaf of germs of holomorphic functions on $M$, and let $\frak{m}_x$ be the maximal ideal of $\mathcal{O}_{M,x}$, i.e. the set of germs at $x\in M$ of holomorphic functions vanishing at $x$. Then $\coprod_{x\in M}{\frak{m}_x/\frak{m}_x^2}$ is naturally equipped with the structure of a vector bundle of rank $n$ over $M$, for which a local trivialization is given for each local coordinate $(z_1, z_2,\dots, z_n)$ on a local coordinate neighborhood $U$ by $$\displaystyle f+\frak{m}_x^2\mapsto \left(x,\left(\frac{\partial f}{\partial z_1}(x), \frac{\partial f}{\partial z_2}(x), \dots, \frac{\partial f}{\partial z_n}(x)\right)\right)$$ for each $x\in U$ and $f+\frak{m}_x^2\in\frak{m}_x/\frak{m}_x^2$. The bundle $\coprod_{x\in M}{\frak{m}_x/\frak{m}_x^2}$ is called the cotangent bundle of $M$. 加算不加算は、ヨーロッパ言語の加算名詞の考えから来てるのかな。 微分形式を計算規則で公理的に定義する立場って存在すんの? 多様体上の関数上の加群であることくらいは記述できても、自由加群であることとか合成(特に制限)に関することを上手く記述できそうだと思えないが 分数になったり分数にならなかったり 約分できたりできなかったり 人を惑わすための記号です >>587 見た感じ、確かに微分形式の集合が満たす代数構造ではあるが、「多様体Mの微分形式とはこういう代数系の元のことである」と定義できる類のものではないな 一応>>505 の問いに肯定的に答える方法が存在するかって疑問なんだが 単なる微分形式の多元環じゃなく 多様体と関連するならライプニッツ則を含んだ定義しかないだろ 物理学にしろ幾何学にしろ 座標系に依存しない コーディネートフリーに理論を記述したい。 自然現象違って実験のしようがないから、無限とか虚数とか数学概念の一部は結局人間の脳内にあるじゃないの? 論理式という文字列によって表現可能なもののみが数学的対象だよ そして虚数は余裕で論理式で表現できるし、超準解析の無限小は少し特殊な論理体系を使わないと表現できない クイズ。 円 x^2 + y^2 = 1 を ( 1, 0 ) で 微分できる or できない ? 微分できるのは関数であって、図形ではない 接線があるのは図形であって、関数ではない 円は図形なので微分はできないが、接線がある read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる