多様体っていつ使うの・・・？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/17(日) 11:22:56.75

物理専攻だが何に使うのかわからん

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/17(日) 13:19:07.63

終了

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/17(日) 16:39:56.92

～再開～

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/17(日) 17:24:26.23

ID:cecYqGUt
ほんとこういうのはよく分からんな
自分の書き込みが何の役にも立ってないことが分からないのだろうか

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/17(日) 17:30:12.14

お前も同じだから安心しろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/17(日) 19:17:52.81

物理だったらシンプレクティック形式使うだろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/17(日) 20:13:40.46

>>14
解析力学を多様体の言葉で書き換えるやつかな
情報幾何とかもだけど座標系によらない=多様体使えるみたいなノリがあるよね
数学者からすると大域的な量が効いてこないならR^n座標で十分なんじゃないかとツッコミを入れたくなるやつ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/21(木) 00:32:22.71

？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/21(木) 00:32:32.19

うんこ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/22(金) 09:32:17.21

>>15
＞数学者からすると
＞「大域的な量が効いてこないならR^n座標で十分なんじゃないか」
＞とツッコミを入れたくなるやつ

数学科あるある

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/22(金) 10:19:56.83

対象の真の姿がR^(2n+1)に埋め込んだとたんに
見えなくなってしまうということはないか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/22(金) 10:34:38.29

>>19
埋め込みの話は一切していない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/22(金) 10:43:17.11

>>19
だな

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/23(土) 22:47:04.81

>>15
> 大域的な量が効いてこないならR^n座標で十分
どういうこと？くやしく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/23(土) 22:47:47.43

俺は多様体を使うのはcoordinate-freeに議論したいときだと思う

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/23(土) 23:47:11.42

座標によらないことより大域的な貼り合わせ情報が多様体らしさだと自分は思う
まぁ見解は人によるだろうね

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 07:21:08.77

>>23
そういう意味ではR^nも多様体だけどね
coordinate-freeにできるから

>>24
>大域的な貼り合わせ情報が多様体らしさだと自分は思う
やっぱ特性類だな

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 07:22:46.29

R^n上で複雑な方程式を解くのが解析学者で
幾何学者は複雑な空間上で簡単な方程式を解く

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 07:49:32.93

>>26
幾何学者は空間の形を特徴づける情報の抽出に関心があるから別に間違ってない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 08:21:31.26

>>25
＞そういう意味ではR^nも多様体だけどね
＞coordinate-freeにできるから

そういう意味じゃなくてもR^nは多様体でしょ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 15:41:49.61

電磁気学でちょっと出て来たな
微分形式で式整理するとマクスウェル方程式が滅茶苦茶綺麗になる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 21:35:38.35

相対論とか素論とかの方で出てくるけど知らなくても特に困らない
ホモロジーとかの方が知らないと困る気がする(ヒモとかゲージの難しい方にいかない限りは困らないけど)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 22:13:36.82

素粒子論を最近は素論というのか

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 22:28:44.24

結構前から言う気がする

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 08:38:00.29

素粒子論そりゅうしろん物質の究極とみなされる構成要素とその運動を研究する学問。狭義には、理論的研究に限定してこのことばが用いられるが、素粒子に関する実験的研究をもあわせて素粒子物理学とよばれることが多い。

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/04(木) 22:38:52.30

物理学で有名な米谷先生の米谷は
「よねや」と読むことを
BSの放送大学を見て初めて知った

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/17(水) 18:36:09.55

流体から時間を省いたのが多様体

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/20(土) 21:24:54.34

時間のパラメータを表に出さずに
フローの長時間存在の証明をカバーすることができるか

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/20(土) 23:15:52.45

今でしょ

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/21(日) 07:34:24.91

何が？

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/24(水) 12:53:58.93

Paneitz operatorの謎

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/29(月) 08:36:20.15

被引用度数が200以上で
unpublishedなものとしては最大らしい

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/04(土) 19:23:57.46

多様体　第三号

〈哲学：考えること〉と〈詩：語ること〉の
あわいをぬって、西欧深層の500年を旅する特集号。
ルネサンス期の詩人ポリツィアーノによる農人礼讃や、
ドイツ・ロマン派の詩人ノヴァーリスによる
フィヒテ研究。詩人マラルメと映画人ロメールとの架空対話、ナチス収容所を体験した二人、哲学者ヴァールの詩と、作家デルボーの散文詩。いずれも初訳。特別掲載として、火刑に処された哲学者ブルーノの中期重要作の抄訳と、米国南部料理の研究家ルイスをめぐる論考を収める。詩人や哲学者だけでなく書店人・取次人が筆を揮う連載も充実。今号も新たな造本設計で贈る。
デザイナーは新鋭・北田雄一郎。

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/25(土) 19:41:06.84

質問の意図がよく解らないんだが、
多様体は、球面やドーナツ面を一般化したもので、
数学の研究対象として扱うのは自然だと思うのだが。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/09(日) 11:15:33.47

w=±√zを二価の～とかじゃなく普通に関数だと思いたかったら定義域をz平面じゃなくリーマン面（多様体）とする必要がある

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/09(日) 19:19:19.99

複素関数論やらないとあんまり有難味分からないかもしれない

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/09(木) 11:38:22.17

そうなんかいな

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/24(日) 23:03:09.89

カオスの定義がしやすい

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/12(火) 20:23:17.83

一般相対性理論

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/14(日) 03:36:20.98

超弦理論では、時空の余剰次元が6次元の（実）カラビ・ヤウ多様体の形をしていると予想されている。

(10次元の超対称性空間) / (観測可能な4次元時空) ≅ (6次元の実カラビ・ヤウ多様体)

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/17(水) 06:41:38.00

多様体の例を３つあげよ
ただしユークリッド空間、球、（実および複素）射影空間以外で

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/25(月) 12:29:48.50

>>43
分岐点があるから、厳密には多様体ではない

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/25(月) 12:57:24.99

>>50
リーマン面は多様体だよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/25(月) 15:19:49.22

0の近傍はユークリッド平面の開集合と同相になり得ない

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/25(月) 16:51:59.93

>>41
多陽性
リクルートキャリア

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/25(月) 20:11:39.06

>>52
なぜ？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/25(月) 21:42:36.64

それは√zのリーマン面は分岐被覆だから
0は特異点なのはすぐに分かる

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/26(火) 00:02:14.81

0は特異点ではないよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/26(火) 00:49:36.53

状態空間

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/26(火) 08:18:40.72

一般にはorbifoldになるけどなんかの設定があればn≦3なら多様体構造をrecoverできるんだったような。
サーストンの定理だっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/26(火) 09:44:15.13

サーストンなんかこんな初等的な段階では
必要ない

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/27(水) 06:11:12.69

分岐被覆の特異性が何であるかは
グラウエルトとレンメルトが解決した

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/29(金) 09:16:37.84

何のための多様体論か
みんな誰もわかってない

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/31(日) 23:00:12.43

>>61
何のためなん？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/31(日) 23:37:02.31

考察対象として自然だし深く研究できるし、それで十分じゃね
何のためかなんて考えたところで応用どころか純粋数学の中でさえ何の生産性もない

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/31(日) 23:46:28.96

リーマンはガウスの曲面論の一般化をした

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/01(月) 06:50:48.26

曲率が定義できる空間

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/04(木) 22:45:30.18

本質的にR^nに埋め込むことが出来ない微分可能多様体はなかったはず。確かホイットニーの埋め込み定理だっけ、その辺の話で一番簡単な多様体論の本に書いてある。
ただまあ、局所座標同士の座標変換の話だけで現実にどういう形かわからなくてもそういうことが保証できるのは確かに面白い。

「平行な直線は一点に交わる」という考え方は結構自然で、
実際どこまでも平行な線路を書いてみるとそう「見える」わけだけど、
こういう世界を数学的に書いてみようとすると最終的に射影空間というものになる。
射影空間というのがどういう図形かは定義するだけならたいして難しくない
（実際絵を描くときのパースの利かせ方を同値類で表現してやればいい）し、座標系は定義できる。
ただこいつがどんな形なのかは、言われてみると簡単だけどなかなか思いつかない。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/04(木) 22:47:37.18

さらにいうと、地球が球だというのも、なかなか信じられない話だけど、まあ自分の周りは平面と考えたほうが
しっくりくるよねという非常に素朴な感覚からスタートしても球面であることと矛盾しないというのもまあ、
多様体論的発想だよね。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/04(木) 22:53:05.00

>>0049
穴が１個のトーラス、２個のジーナス、３個のジーナスｗ

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/04(木) 22:57:48.69

ナッシュはリーマン多様体の等長埋め込みが可能であることを
証明した

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/04(木) 23:11:07.63

トーラスで思い出したが、
R^3に埋め込まれた連結な閉曲面（境界の無いコンパクトな部分多様体）が全部、
１個の多角形に展開できる（等長的でなくてよい）ことって、
トポロジーの入門書では暗に仮定してるけど、証明見たことない。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/04(木) 23:36:45.84

Jostの本では丁寧に証明していた
代数幾何でないリーマン面の本ではたいてい証明している。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 00:03:07.07

Jostってユルゲンヨストだっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 01:41:22.37

ただまあ、学部段階だとベクトル解析もフーリエ解析も工学部の１年の数学の到達段階に達成しないまま
卒業できてしまう勉強の仕方には明らかに問題がある。

実際、ベクトル解析はrotrotみたいな演算はリーマン計量入れない松本だ松島だ村上だの多様体では扱えない。
ラプラシアンも。さらに超関数が出てくる場合にも扱えるような多様体論は大学にあったGTMをざっと見ても出てこなかった。
いや、超関数、放送大学の電磁気の講義の一番最初で出てくるからｗ
超関数で言うとナイキスト定理の多変数版も数学の教科書で見たことがない。これも工学部１年ぐらいの数学。

まあそりゃ崩れるよ。九大のＭＦＩみたいに一流の応用数理学者から直接密に副専攻で指導受けられるなら
もう少しまともに数学を理解できるかもしれんが、そのルートが無いなら放送大学でもつかって学ぶしかない。

因みに、数学科唯一の強みである記号論理が使える点についても・・・残念ながら放送大学の記号論理で
現代数学概説Ⅱと同程度の集合論にはなってるというｗつまり、放送大学でその単位を取れた人ならまあ
並みの数学科の学生ぐらいには理解してるだろうということだｗ

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 01:49:28.65

まあベクトル解析も記号がぐちゃぐちゃで、別のものを同じ記号で表しすぎで、かつ記号がシステマティックじゃない。
結構多くの数学者がベクトル解析の本を書いてるけど、rotrotのような演算のとこで結局いきずまってホッジスター持ち出すとかね
そんだけ大道具使ったなら必要なことは全部書かれてるだろうと思いきや直交曲線座標での演算子の座標変換は表現できてない。
まあ、直交曲線座標のあたりはもはやベクトル解析は記号になってねぇからね。

ただこの辺は自力でも厳密な証明を作れなくはない。一方、超関数の扱いはちょっと厳しいかなぁと思う。

物理だと一番典型的なガウスの発散定理の応用例が電荷のガウスの法則なんだけど、
こいつが、逆二乗関数を微分するとディラックのδになることを使うのだが、ディラックのδにガウスの発散定理を
適応してよい理由が（一応グリーンの定理で似たようなシチュエーションが複素関数論で出るが）きちんと書いてある
数学書も見たことがない。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 01:52:47.82

>>74
秋月調和積分論の最初のほうにカレントの理論の話が載ってる。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 01:56:07.83

素晴らしい。数学のやつってそれがあるだけで文化として美しいみたいなことふかしてて初歩的なことの中身わかってねぇやつ多いけど答えが返ってくる。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 01:58:00.69

調和積分論に関連してというわけではないが、
因みにラプラシアンの座標変換を直交曲線座標とは限らない一般の座標で表現したものってみたことある？

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 02:23:31.75

>>77
等温座標系の話したいの？
むしろ調和積分論と関連付けて

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 05:16:26.61

>>78
いや、単に弾性体の変形をもう少しすっきりとした理論に出来ないかなと思ってる。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 08:43:35.76

弾性体なら倉西(父)理論というのがある

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 10:12:53.73

統計多様体

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 17:22:33.50

>>0080 サンクス

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 20:00:51.57

>>77
場の古典論にスカラーのΔφが書いてあった
Δφ = (1/√|g|) ∂_i ((√|g|) g^{ij} ∂_j φ)

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 20:17:16.55

場の古典論か。放送大学の場と時間空間の物理で少しかじった。
あれ全部物理流のやり方でテンソルを駆使してやってるからベクトル解析とか微分形式と俺の頭で完全に対応ついてねぇんだよな。
勉強せねば。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/05(金) 21:09:53.95

g_ijはリーマン計量を、直交座標とは限らない局所座標系で表現したものだと思うが、
確かにその逆行列で書いてやればいけんことはないか。無論逆行列を微分の外に出してやると
直交性がないと結構形が汚くなりそうだけどね。

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/07(日) 09:00:49.87

式が長くてもきれいなら許せる

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/16(火) 21:11:29.58

積分公式はみな結構長い

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/18(木) 07:46:52.81

元が短くても一般化すると長くなるのが普通

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/18(木) 22:49:00.41

ケーラー幾何ならかなり短くなる

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/19(金) 11:28:54.44

>>89　等角だから？

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/19(金) 12:38:29.06

ケーラー恒等式による

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/26(金) 00:41:05.47

>>1
多様体を使わず物理ができるんか？

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/29(月) 12:12:24.56

ファイバー束は必要

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/01(水) 10:43:45.44

145位