分からない問題はここに書いてね 470

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/27(金) 05:14:52.63

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね 469
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1626533729/

(使用済です: 478)

数学@5ch掲示板用
☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

☆激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題
　サービス終了

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 01:14:14.95

>>794
　(d/dt)(X-Y) = (A-B)(X-Y),
　X - Y = (X。-Y。) e^{(A-B)t} = c e^{(A-B)t}　　… (1)

　(d/dt)(AY-BX) = 0,
　AY(t) - BX(t) = AY。- BX。= (A-B)d　　… (2)

A≠B のときは
　X(t) = (c A e^{(A-B)t})/(A-B) + d,
　Y(t) = (c B e^{(A-B)t})/(A-B) + d,

A=B のときは
　X(t) = X。+ c A t,
　Y(t) = Y。+ c B t,

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 01:18:11.38

>>792
　f(x,y) = e^x + y^2,
　g(x,y) = 2xy + sin(y),
より
　∂f/∂y = 2y = ∂g/∂x,
よってポテンシャルΦが存在します。
　Φ(x,y) = e^x + x･y^2 - cos(y) + c,

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 01:33:44.02

>>799
>A=B のときは
>　X(t) = X。+ c A t,
>　Y(t) = Y。+ c B t,
X。- Y。= c

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 16:32:47.97

>>793
余談ですが…

(1)　各仕事に含まれる人数 (ブロックサイズ) が一定 (7)
(2)　各人を含む仕事の数 (繰り返し数) が一定 (r)
(3)　23人の内の4人を選んだとき、その4人を含む仕事の数 (会合数) が一定 (λ)
をみたすとき、これを 4-(23,7,λ)デザインとよぶ。

組合せ論的な考察から、次式が成り立つことが分かる。
　(仕事の総数) = λ･C(23,4)/C(7,4) = 253λ,
　r = λ･C(23-1,4-1)/C(7-1,4-1) = 77λ,

特に、λ=1 のとき 4-(23,7,1)デザインのことを
シュタイナー・システムといい、S(4,7,23) とかくこともある。

これの自己同型群が4重可移で、M_23 とかかれるMathieu群である。

別冊数理科学「群とその応用」サイエンス社 (1991)
　永尾汎「Mathieu群」　　p.36-40
　景山三平「ブロックデザイン」　p.150-158

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 17:03:06.90

>>793
こんなんほっとけよ
何言ってるか意味わからんやろ
甘やかすからバカのさばるんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 17:17:56.82

>>793
組合せ論的な考察
￣￣￣￣￣￣￣￣
　一人(a)をきめ、aと異なる3人の順列 (b1,b2,b3) と仕事Bの組 (b1,b2,b3,B) で a,b1,b2,b3 がすべてBに含まれるようなものの個数を二通りに計算する。

　aと異なる3人 b1,b2,b3 を任意に選ぶと、a,b1,b2,b3 の4人を含む仕事はちょうどλ個ある。(λ=1)
b1,b2,b3 の取り方は、22人から3人を取り出す順列の個数だけあるから 22!/19! = 3! C(22,3) 通りある。
∴　上のような組の総数は 3! C(22,3) λ である。

一方、aを含む仕事はr個あるが、各仕事Bに対して上のような組は Bからa以外の3人の順列 b1,b2,b3 を取り出す仕方の数 6!/3! = 3! C(6,3) だけある。
このような組の総数は 3! C(6,3) r である。

∴　3! C(22,3) λ = 3! C(6,3) r,
∴　r = λ･C(22,3)/C(6,3),
∴　(仕事の総数) = (23/7)r = λ･C(23,4)/C(7,4),

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 17:43:59.86

y‘ = y＾2 － xy + 1
において
y0 = ax + b の形の解を持つとすると
a,bはどうもとめますか
また一般解はどうもとめたらいいですか

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 19:04:04.88

>>804
構うなというとムキになってさらにアホレス重ねる
しかも数学いたではもはや同じいと言っていいdesignの話を得意げに
バカなんじゃないの？
それとも自演か？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 21:10:31.84

>>782
粉の粒径が目の分解能より大きいから。(17字)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 21:12:59.96

π > 3 > e

(参考)
　π = 3.14159265358979
　e = 2.71828182845904

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 21:14:33.01

>>805
代入すると
左辺=y'=(ax+b)'=a
右辺=(ax+b)^2-(ax+b)x+1=(2ab-b)x+b^2+1
だから
xの係数と定数部分を見比べて
2ab-b=0、a=b^2+1 を得る
これを解いて
a=1,b=0もしくはa=1/2,b=i/√2
(実解を求める場合、後者は不適)

一般解は前者の解を特解として用いてy=z+xとおけば
z'=z^2+xz
z=1/wとおけば-w'=1+xwとなり
w=-f(x,c)exp(-x^2/2), f(x,c)≡∫[c to x]exp(t^2/2)dt
と解ける
よってy=x-exp(x^2/2)/f(x,c)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 21:25:36.25

　π^π > 3^π > π^3 > 3^3 > e^π > π^e > e^3 > 3^e > e^e,

(参考)
　π^π = 36.4621596072079
　3^π = 31.5442807001975
　π^3 = 31.0062766802998
　3^3 = 27.0
　e^π = 23.1406926327793
　π^e = 22.4591577183610
　e^3 = 20.0855369231877
　3^e = 19.8129907452746
　e^e = 15.1542622414793

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 21:27:24.95

>>809
y=x-exp(x^2/2)/(f(x,0)+C) とするべきか

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 21:44:30.55

π^(π^π) > e^(π^π) > π^(e^π) > π^(π^e) > e^(e^π) > e^(π^e) > π^(e^e) > e^(e^e),

(参考)
　π^(π^π) = 1.34016418300634×10^18,
　e^(π^π) = 6.8440743006965×10^15,
　π^(e^π) = 3.19442279626556×10^11,
　π^(π^e) = 1.46408873973996×10^11,
　e^(e^π) = 1.12169586224676×10^10,
　e^(π^e) = 5.67398607050580×10^9,
　π^(e^e) = 3.41931840648216×10^7,
　e^(e^e) = 3.81427910476021×10^6,

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/24(日) 23:46:21.28

e^π>22を示せ。
（類題　1999東大理系入試第6問）

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 00:32:16.54

>>811
ん

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 00:52:04.03

π>4/2+4/3 - 4/8/3 - 4/27/3 = 505/162
e^π> 1+(505/162)+(505/162)^2/2+(505/162)^3/6
+(505/162)^4/24+(505/162)^5/120
+(505/162)^6/720+(505/162)^7/5040
= 56447703426421361 / 2602870608208896
≒ 21.686711298055847

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 03:12:34.23

>>813
　π > 3 + (14/99),

e > Σ[k=0,5] 1/k! = 163/60,
　e^3 > (163/60)^3 > 4320000/(60^3) = 20,

　e^(14/99) > 1 + (14/99) + (1/2)(14/99)^2
　　> 1 + (14/99) + 98/(9999)
　　= 1 + (1512/9999)
　　> 1 + 0.15
　　= 23/20,

　e^π > e^3･e^(14/99) > 20･(23/20) = 23,

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 04:30:44.76

>>813
　π > 3.14
　e > 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 163/60,
　e^3 > (163/60)^3 > 4320000/(60^3) = 20,

　e^0.14 > 1 + 0.14 + (1/2)0.14^2 + (1/6)0.14^3 > 1.15
辺々掛けて
　e^π > e^3.14 = e^3 ･ e^0.14 > 20 ･ 1.15 = 23,

e^π > 22　を示せ。
http://www.youtube.com/watch?v=5CXdQihmKxw 09:28,
　鈴木貫太郎

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 04:47:26.92

>>779
e^π と π^e　どっちがでかい？
http://www.youtube.com/watch?v=LuPHrYPGrIs 06:31,
　鈴木貫太郎

e^π と π^e　どっちが大きい!? (筑波大)　(数Ⅲ微分)
http://www.youtube.com/watch?v=XEjm4stW7uI 04:58,
　3浪阪大生たぴおか【数学解説ch】

>>812
e^(e^π) < π^(π^e)　を示せ。
http://www.youtube.com/watch?v=vUHFtKVp9b0 19:07,
　式変形チャンネル

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 05:14:06.22

>>814
この場合は被積分関数の形がいいからどっちの表記でも変わらないね

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 06:58:01.23

>>819
NO

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 08:24:59.53

半径R[m]の天体の上空から半径r[m]の円の範囲を照らすライトを当てたときに
何か所からライトを当てれば全ての地表面を照らすことができるでしょうか？
このライトは高さを上下させても明るくなる半径は不変であるとします。
ただし、ライトの真下の点から外周の点までの直線距離をrとします。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 08:31:00.11

>>821　訂正
×真下の点
〇真下の地表面の点

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 08:35:27.21

2か所

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 12:50:13.37

変数関数 Q(x, y) は領域 D = {(x, y) | a < x < b, c < y < d} で C 1 級であるとする
また、c < p < d とする
このとき, D において次が成立することを示せ ∂ /∂x(∫【y→p】 Q(x, η)dη) = ∫【y→p】∂/ ∂x (Q(x, η)) dη

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 12:50:43.72

これの証明の仕方が分からないです

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 15:27:14.88

{ ∫【y→p】 Q(x+h, η)dη　- ∫【y→p】 Q(x, η)dη } / h
=∫【y→p】{ Q(x+h, η) - Q(x, η) }/h dη
=∫【y→p】 ∂x Q(x+θ*h , η) dη (0<θ(x,η,h)<1)
→　∫【y→p】 ∂x Q(x, η) dη (h→+0)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 17:08:38.39

>>826
ありがとうございます
Θをつけなければならない理由は何ですか？
また*hはどういう意味でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 17:25:29.38

あかんね
平均値の定理、あるいはテーラーの定理だけど定理で述べられてるのは0<θ<1)を満たすθが存在するだけでそのθは上の式ではηの関数として選択してるけどそれが可測関数になるとは限らない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 17:43:38.37

[平均値の定理]
Q(x) は [a,b] において連続、(a,b) において微分可能とする。然らば
　{Q(x+h) - Q(x)}/h = (∂/∂x)Q(x+θh),　　0<θ<1,
なる θ(x,h) が存在する。(Lagrange)

高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　第2章微分法,　§18　定理20．　p.48

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 18:07:56.70

∫【y→p】 ∂x Q(x+θ*h , η) dη
= ∫【y→p】{ ∂x Q(x, η) + ∂x Q(x+θ*h , η)- ∂x Q(x, η) } dη
= ∫【y→p】 ∂x Q(x, η) dη + ∫【y→p】g(x,η,h) dη
( g(x,η,h) := ∂x Q(x+θ*h , η)- ∂x Q(x, η) )

QがC1なので Dで ∂x Q は連続
コンパクト集合 K := [x,x+α]×[y,p] ⊂ D の上で ∂x Q は一様連続なので
∀ε>0, ∃δ>0, h<δ ⇒ |g(x,η,h)| < ε
よってこのとき　|∫【y→p】g(x,η,h) dη | ≦ |y-p| * ε →0 (ε→0, h→0)
以下略

θが可測かどうかなんてカンケーないよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 18:23:47.16

=∫【y→p】 ∂x Q(x+θ*h , η) dη (0<θ(x,η,h)<1)

↑θはηにdependする関数
ηについて可測でなければこの式は意味をなさない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 20:31:40.23

{ Q(x+h, η) - Q(x, η) } / h = ∂x Q(x+θ*h , η)
ηごとにθの存在が保証されているので (選択公理を使えば) 関数としての θ=θ(η) を構成できる.
そしてそれがどんな関数か不明でも ∂x Q(x+θ*h , η) の連続性は左辺が保証してくれている
QがC1 だから ∂x Q(x, η) も連続、だから g(η) も連続で積分可能
h を十分小さくすれば ∫[y,p] g(η) dη はいくらでも小さくできる (∵ コンパクト空間上での一様収束性)
以下略

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 21:25:17.62

>>832
略してもあかん
選択公理で出鱈目に選んだ関数でできたθ(x,η,h)<1) はηの関数として可積分とは限らない
するとθから作られた合成関数∂x Q(x+θ*h , η) をηに関して積分できない
ならば

=∫【y→p】 ∂x Q(x+θ*h , η) dη (0<θ(x,η,h)<1)

という式は何ら数学的意味を持たない
この行が入ってる限り証明は失敗するしてる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 21:26:33.95

なんで選択公理がでてくんの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 21:43:40.76

>>833
{ Q(x+h, η) - Q(x, η) } / h = ∂x Q(x+θ(η)*h , η)
左辺が η 区間 [y,p] で連続(とうぜん可積分)なのに、右辺が可積分かどうかを心配するの？

>>834
h ごとに対応する θ の値が一つとは限らないから
あと上の人が θの関数形に拘ってる感じだったから念のために書いた

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 21:46:13.23

>>835
微積分の範疇の話なので関係ないと思うが

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 11:12:15.67

すいません。
バカなのでどなたかご教授頂きたいのですが、
x=(y-z)/z
と言う式を
z=
にする場合はどの様な式にすれば良いのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 11:23:59.09

両辺にz(!=0)をかけると
xz=y-z
両辺にzを足すと
xz+z=y
左辺をzで括ると
(x+1)z=y
両辺x+1(x!=-1)で割ると
z=y/(x+1)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 11:46:39.80

>>838
ありがとうございます。
早速エクセルで試してみたのですが、違う解になってしまいました
私が何か勘違いしてるのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 11:49:27.44

>>838
再度試したところ出来ました！！
本当にすいません。。
また、本当に本当にありがとうございました！！！

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 14:10:01.33

>>821
各ライトは、高さ方向で rr/2R の部分の地表面を照らし、
面積は πr^2 です。
これは一辺が(√3)r の正三角形を含みます。
(面積～ (3√3)/4・r^2)
全ての地表面の面積は 4πR^2 なので
　(16π/3√3)(R/r)^2 個以上必要でしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 17:47:59.37

3点(0,0),(1,0),(0,1)と(x,y)の距離がすべて有理数となるものを全て求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 19:34:54.58

∫[-N→N](1/(a|x|^3+1))dx
三角関数を使う感じかと思ったらaって係数あるし絶対値ついてるし３乗だしで全然分からないです

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 19:52:35.57

2∫[0->N](1/(ax^3+1))求めれば良くてx^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)と因数分解できるから部分分数分解してあとは三角関数が使える形になる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 19:55:45.54

>>843
まず絶対値については積分範囲-N〜Nを-N〜0と0〜Nに分けて考えれば絶対値を外せる
-N〜0の積分は0〜Nの積分と一致するので後者の2倍として計算する
aについてはa^(1/3)x=tと変数変換すれば1/(t^3+1)の計算に帰着できる
最後に1/(t^3+1)の積分はt^3+1=(t+1)(t^2-t+1)を利用して部分分数展開をする
1/(t^3+1)=b/(t+1)+(ct+d)/(t^2-t+1)として係数b,c,dを決める
b=1/3,c=-1/3,d=2/3
1項目はすぐlogとして積分可能
2項目はt^2-t+1=(t-1/2)^2+3/4と平方完成して
2y/(y^2+1)の形と1/(y^2+1)の形に分ける
前者はlog(y^2+1)、後者はarctan(y)として積分可能

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 20:30:01.72

>>842
ヘロンの三角形の一般的表現をいじるのかな
x≠0, y≠0で解が見つかりそうにない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 20:43:50.07

未解決問題

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 21:50:53.68

問題というわけではないのですが大雑把に球（風船）の体積を求めたいとき簡単に求める式がほしいのですが検索してもたどり着けませんでした。
20％くらいずれても構わないので良さそうなもの教えて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 21:58:26.39

有名な公式ありますよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 21:58:38.25

>>848
風呂に沈めて水位の上昇から求める。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 22:01:44.38

アルキメデスktkr

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 22:04:48.62

球体の体積

球 = 球を包む円柱(シリンダー) から短い円錐 (コーン)2つを削り取った分。

半径r の時
V = 円柱 - 2 x (円錐)
V = {πr^2 * 2r } - 2{(πr^2 * r /3)}
= 2πr^3 - 2(πr^3 /3)

= 4/3 * (πr^3)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 22:07:23.32

風呂に沈めるぞ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 22:08:52.06

球体の表面積

まず、球を側面が4つしかない
立方体を拡張して観念上の特殊な立体だと考える。
(通常の立方体は当たり前だが
サイコロのように6つ面があるものしか存在しえない)

側面が4つしかない架空の立方体の表面を考えると
側面の円が4枚あると考えて

S = 4 * πr^2

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 22:09:23.40

風船は回転楕円体である
ttps://www.araitoys.co.jp/project/image/fusenpack.pdf

2021/10/26(火) 22:10:51.89

定理は丸暗記すると忘れちゃうからね。

こうやってその定理の求め方を
1つ手前、2つ手前、もしくは定義…などから
積み重ねて自分で計算して求めるやり方を覚えておくと良い。

2021/10/26(火) 22:11:58.98

>>852 >>854
うーん、小学校の塾の先生みたいな
模範的な解説。自画自賛せずにはおられぬ。（　'‘ω‘）

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 23:19:31.42

VIPから

1 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/10/26(火) 21:46:46.352 ID:SlBDvJKM0
たかし君は、川を目指しています。川は直線状で、たかし君と川の真ん中(たかし君から川に下ろした垂線上)にたかし君の苦手な犬がいて、たかし君の歩く速度は犬との距離に比例しています。

たかし君が川に出来るだけ速く行くにはどのようなルートで歩けば良いでしょう？

解いてたらスレが落ちた
似た問題は前にここで見た気がする
スタート地点 (-1, 0)
初速度1
ゴールは直線x=1
とおいて数値計算で解が出せるはず

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 23:34:10.49

>>858
これ面スレの問題やろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 01:43:08.30

>>842
たとえば
　(x, y) = ((mm-nn)/(2mn), 0)　　(2mn/(mm-nn), 0)
もあるけど、(x, y) が有理数となる必要はないし…

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 02:24:07.40

a,bを正の実数とするとき、a^bとb^aの大小を比較せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 02:37:01.00

>>845

2/(t^3 +1) = {(tt-t+1) - tt + (t+1)}/(t^3 +1)
　= 1/(t+1) - tt/(t^3 +1) + 1/(tt-t+1),
これをtで∫すると
∫ 2/(t^3 +1) dt
　= log(t+1) - (1/3)log(t^3 +1) + (2/√3)arctan((2t-1)/√3),

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 02:46:54.63

>>861
A = a^b = (a^1/a)^ ab
B = b^a = (b^1/b)^ab

関数 f(x) = x^(1/x) を微分して
極値をとるのは x = e だと分かる。

x =< e の範囲では、右肩上がりのグラフなので
a>b ならば A>B (逆もしかり)
e < x の時、右肩下がりのグラフなので
a>b ならば A<B (逆もしかり)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 03:09:58.64

>>861
対数をとると
　b･log(a) と a･log(b)
ab で割ると
　log(a)/a と log(b)/b
これの大小と同じ。
これは eで最大(1/e)となる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 05:45:09.75

>>859
おもスレか探してみる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 05:46:44.09

>>864
aがa<eの範囲にあり、bがe<bの範囲にあるときは簡潔な記述ができますでしょうか

**864** · 2021/10/27(水) 06:43:27.33

log(a)/a と log(b)/b の比較になります。
a=2 と b=4 のように　同じ log(x)/x 値を共有する相棒が求まれば良いんですが…
簡単に求まりそうにありません。
(例)　a=2, b=3 のとき　a^b < b^a

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 06:53:28.07

>>842
(1,1) も加えた4点 (単位正方形の4頂点) の場合は未解決のようなので
(x,y)を全て求めるのは難しいかも

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1632656669/

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/10/27(水) 12:32:52.20

前>>775
>>858
犬を中心に半時計回り、距離を変えず横目で睨みつつ川岸と正対したら最短で川に飛びこむ。
∵右方向が見えにくいから。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 17:04:25.66

微分方程式のこのふたつがわからないです
y``－ 2y`+ y = e^t cost
y``－ 2y` + y = t^2

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 17:09:26.54

そうか

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 18:02:28.74

>>870
y"+ay'+by=f(t)型の微分方程式はまずy"+ay'+by=0の基本解を求める
これは二次方程式x^2+ax+b=0の解α,βを用いてy=Ce^(αt)+De^(βt)となる(C,Dは定数)
ただし重根α,αの場合はy=Ce^(αt)+Dte^(αt)となる
完全な解はこの基本解と特解との和になる
特解はf(t)がn次多項式の場合、解がtのn次多項式と仮定して代入して係数を調節して求める
f(t)がe^tcostの場合、解がe^tcosとe^tsintの和と書けると仮定して係数を調節して求める

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 18:16:37.98

>>870
二階微分方程式 : y''－ 2y' + y = f(t) を解く

演算子法的に書くと　(D-1)² y = f(t)
Y(t) := (D-1)y とすると (D-1)Y = f(t) つまり　Y' = Y + f(t)
(D-1)y = Y(t) = exp(t) * ∫[0,t] f(s) exp(-s) ds =: g(t) が解の一つとなっている
よって y' = y + g(t)
同様にして y(t) = exp(t) * ∫[0,t] g(u) exp(-u) du = ... = ∫[0,t]ds { f(s) * (t-s)* exp(t-s) }
これが方程式の特解である

次に y''－ 2y' + y = 0 の解 (斉次解)を求める
y = e^{λt} とすると (λ-1)² y = 0 ∴ y = e^{t}
重根解なので y = t*e^{t} も解である.
よって斉次一般解は y = (A + B*t )*e^{t}

全ての解は斉次一般解と特解の和で表せる
y = (A + B*t )*e^{t} + ∫[0,t]ds { f(s) * (t-s)* exp(t-s) }

f(t) = e^t * cos(t) = ( e^{(1+i)t} + e^{(1-i)t} )/2 なので積分は難しくない
f(t) = t^2 の場合も簡単

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 20:11:48.74

既出ならすみません
∫_0^∞ log(x)/(1+e^x) dx = -(1/2)(log(2))^2
が成立するそうなのですが、計算方法がわかりません

広義積分∫_0^∞ log(x)/(1+x^2) dxなどの計算法で良くある、
下図のような積分経路で複素積分するという方法で計算しようとしたのですが、e^z+1のゼロ点が無限にあるのでどうもうまく計算出来ませんでした

もし計算方法をご存知の方がいましたらご教示いただけたら幸いです

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 20:16:27.93

wolfmanでもそうだね

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 20:24:19.73

>>875
そうですね
wolframで色々な広義積分をいじっていたらこれが出てきました
もしかしたらpro版なら計算法なども表示されるんですかね？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 20:31:34.13

計算過程も表示できるよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 20:43:42.89

　e^{-t} y(t) = z(t)　とおくと与式より
　z "(t) = f(t)*e^{-t},
∴　z(t) = ∬[0,t] f(t")*e^{-t"} dt" dt'

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 21:07:36.38

>>870
　y(t) = (-cos(t)+A+B*t)*e^{t},
　y(t) = t^2 +4t +6 + (A+B*t)*e^{t},

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 22:59:14.20

△ABCの辺AB,BC,CAを直径とする3つの円を描く。
このとき△ABCの内部の任意の点はいずれかの円に含まれることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/27(水) 23:41:08.52

〔補題〕
各辺の外側に正三角形 △ABD, △BCE, △CAF および
それらの外接円を描く。
このとき⊿ABCの内部の任意の点はいずれかの円に含まれる。

(略証)
定義により
　∠D = ∠E = ∠F = 60°
また
　∠APB + ∠BPC + ∠CPA = 360°
∴　いずれかの角は 120°以上
∴　いずれかの円の内部にある。　(終)

問題文中の円は、補題中の弓形を含む。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 00:01:23.73

各辺の外側に正三角形書いてそこの頂点中心にしてもいけるな
フェルマー心で分けられる３つの領域が全部カバーされる
どこか一角が120°越えててもいける

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 00:18:03.15

D, E, Fを中心にすると、
中心角が60°、円周角は30°
Pにおける角の一つは150°以上でないと…

>>881 の３つの円はフェルマー点で交差する。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 00:39:14.65

おっと
そうだ
各正三角形の重心が中心ね
まぁフェルマー心の作図の仕方なんだけど

2021/10/28(木) 05:09:31.65

>>866
a < e < b のように凸をまたぐような a,b については
全くレベルが違う話になる。
(調べたけど大学の普通の解析学では
扱っていない)

e = 2.7182818281... の時、
a = 2.5, b = 3.0 とおく。

2.5^(3) vs 3^(2.5)
この2つの大小関係すら
計算機で求めない限りは分からない。
(大学レベルの)代数的には解けない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 05:27:07.44

　(2.5)^3 = (5/2)^3 = (5^3)/(2^3) ＝ 125/8 = 15.625
　3^(2.5) = (3^2)√3 = 9*1.7320508… = 15.588457…
よって
　(2.5)^3　>　3^(2.5)

**Cavalieri** · 2021/10/28(木) 07:40:50.63

>>852
球の中心を原点、円柱の軸をz軸とすると断面積S(z)は
　円柱　S(z) = πr^2,
　球　　S(z) = π(r^2 - z^2),
　円錐　S(z) = πz^2,

>>854
表面積(z ～ z+dz の部分)は
　円柱　2πr dz,
　球　　2πr dz,
　円錐　2π(√2) z dz,

2021/10/28(木) 07:56:34.14

>>886
e をまたぐ a,b についてはどうしようもない
っていう事実のちょうどいい実証(ﾃﾞﾓﾝｽﾄﾚｰｼｮﾝ)になってるね。

解くためにはそうやって機械的・電卓的な計算をして
最後には実数にして並べて比較するしかねぇよな。
(片方が無理数になっちゃうし)

(論理的でもなく代数的でもなく)
四則演算によるゴリ押しが現実的な解き方やね
もっと賢い解き方があるんやろうか？

>>887
おまえ、それ小・中学生に教えられる？
dz とかそういう表現は高校以上だよ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 08:05:52.65

新キチガイがデビューしました

2021/10/28(木) 08:10:22.53

問い. a = 10^11 vs b = 11^10 のような場合は
もっと簡単に求められるのにね。

10^11 (?) 11^10
( (?) の部分には > = < など不等式のいずれかが入るとする)

まず両辺を底10で対数をとる

log_10 (10^11) (?) log_10 (11^10)

11 * log_10 (10) (?) 10 * log_10 (11)

11 * 1 (?) 10* log_10(11)

11/10 (?) 1og_10(11) / 1

11/10 (?) 1og_10(11) / log_10(10)

ここで、 11 と 10 の距離、 log_(11) と log_(10) の
それぞれの距離について考える。
一般に「正の実数 p,q において対数の低 base が正の実数であれば
pとqの距離は必ず log_base (p) と log_base (q) より大きい」
ことが成立する。
従って 11/10 の方が大きい。
以上より (?) へ入れるべき記号は > である。

　　　10^11 > 11^10

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 13:57:55.34

元の質問者ではないのだけど
>>874 が気になってるので誰かお願いします

>>876, >>877
[ステップごとの解説] ボタン(※)が出てこないので
Pro版契約しても計算過程の表示は無いんじゃないかと思います

※ ∫_0^∞ 1/(1+e^x) dx ←例えばこんなのだとボタンが出ます
解説の一部しか見せてくれませんが困ってる時には良いヒントになります

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 16:46:37.43

多分
Σ(-1)^n/n( γ + log(n) )
になりそう

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 17:43:37.15

長辺が3,短辺が2,長い方の対角線の長さが4の平行四辺形の短い方の対角線の長さを求めてください

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/10/28(木) 18:42:10.92

前>>869
>>893
余弦定理よりcosθ=(4+9-16)/(2・2・3)=-1/4
cos(π-θ)=1/4=(4+9-x^2)/(2・2・3)
13-x^2=3
x^2=10
∴x=√10

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 18:44:47.77

関数fが区間Iにおいて導関数f’をもつとき，次の定理が成り立ちます、
　導関数f’がIにおいて(強い意味で)増加ならば、fはIにおいて凸である．f’がIにおいて(強い意味で)減少ならば，fはIにおいて凹である．
この文章は誤植ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 19:49:53.38

非負整数kについて、
fₖ(x) = x ... [ k = 0 ]
fₖ(x) = fₖ₋₁(x) × x^(fₖ₋₁(x)) ... [ k > 0 ]

とした時、方程式
x^(fₖ(x)) = n

の解はランベルトのW関数 W(・) の反復合成べきと n=e^a を使って
x = exp(Wﾟᵏ⁺¹(a))

と表せることが分かりました。

kを大きくした極限の解
x = lim[k→+∞]exp(Wﾟᵏ⁺¹(a))
は a>0 のとき x→+1 と考えていいのでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 20:39:11.52

>>893
辺の長さを a,b,a,b　対角線の長さを d1, d2 とする。
第二余弦定理より
　d1^2 = aa + bb - 2ab cosθ,
　d2^2 = aa + bb + 2ab cosθ,
辺々たすと
　d1^2 + d2^2 = 2(aa+bb),
また
　d1･d2 = √{(aa+bb)^2 - (2ab cosθ)^2}
　　　< aa + bb,　　　　　(トレミー)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/28(木) 22:03:03.67

方程式x^2-4x+1=0の2つの実数解のうち、大きい方をαと置く。
α^2021の1の位の数字は何か。

**891** · 2021/10/28(木) 22:04:14.34

>>874 の件

・x/(e^x-1)　= { x + x^2/2! + x^3/3! +... -(...) }/(e^x-1)
= 1- x^2*{1/2!+x/3!+...}/(e^x-1)

・∫[ε,2ε] log(x)/(1+e^x) dx
= ∫[ε,2ε] log(x)/x * x/(1+e^x) dx
= ∫[ε,2ε] log(x)/x dx - ∫[ε,2ε] log(x)*x*(1/2!+x/3!+...)/(e^x-1)
= [(1/2)log(x)^2][ε,2ε] + o(1)
= (1/2)*{(log(2)+log(ε))^2 - log(ε)^2 } + o(1)
= (1/2)log(2)^2 + log(2)log(ε) + o(1)

・∫[2ε,∞] 1/(e^x-1) dx
= ∫[2ε,∞] (1-e^{-x})'/(1-e^{-x}) dx
= [ log(1-e^{-x}) ][2ε,∞]
= -log(1-e^{-2ε}) = -log(1+e^{-ε}) -log(1-e^{-ε})
= -log(2-1+e^{-2ε}) - log(ε) - log(1 -ε/2! +ε^2/3! -...)
= -log(2) - log(ε) + o(1)

・1/(e^x+1) = 1/(e^x-1) - 2/(e^{2x}-1)

以上をまとめて
∫[ε,∞]log(x)/(1+e^x)dx
= ∫[ε,∞]log(x)/(e^x-1) dx -2∫[ε,∞]log(x)/(e^{2x}-1) dx
= ∫[ε,∞]log(x)/(e^x-1) dx -∫[2ε,∞]log(x/2)/(e^x-1) dx
= ∫[ε,2ε]log(x)/(e^x-1) dx + log(2)∫[2ε,∞] 1/(e^x-1) dx
= (1/2)log(2)^2 + log(2)log(ε) +log(2)*(-log(2) - log(ε)) + o(1)
= -(1/2)log(2)^2 + o(1)

参考
https://math.stackexchange.com/questions/2585960/evaluate-int-0-infty-frac-log-x1ex-dx
少し補足しただけでほぼそのまま頂いた.
他の解き方もいくつか載ってる

https://www.searchonmath.com
latex数式で検索できるサイトが役に立った