面白い問題おしえて～な 37問目
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(前スレ)
面白い問題おしえて～な 36問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1622242743/
過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/
避難所？
http://jbbs.shitaraba.net/bbs/read.cgi/study/12583/1621393482
過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/ 過去スレ (続き)
31 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/
33 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/
34 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/
35 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1614399625/
36 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1622242743/ 表のでる確率が0.6のコインを投げて表がでると賭金3倍に、裏がでると賭金が0になるギャンブルを行う。
毎回資金の一定割合を賭金にして資金が2倍になるまで続ける。
賭金の割合をいくつにすればギャンブル回数が最小になるか。 転載
こんなのあった
α、β、γをα+β+γ=πである鋭角とする
この時直方体XAFB-CEYDで
XBYEとXCYFのなす角がα、
XCYFとXAYDのなす角がβ、
XAYDとXBYEのなす角がγ
となるものが取れる
らしい Σ[n=0,∞] (1/2)^n / C[3n,n] をπとlog(2)を含む有理数係数の式で表し、それが成り立つことを示せ ググるとこんなのは出てくるけどアルゴリズムは出てこないな
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~matsu/Hyper-Arith/asakura.pdf >>4
u=tanα、v=tanβ、w=tanγ、a=1/√vw、b=1/√wu、c=1/√uvとおく
uvw=u+v+wよりa^2+b^2+c^2=1である
3辺の長さがa,b,cの直方体を考えると、対角面の法線ベクトルは
(a,-b,0),(0,c,-a),(b,-c,0)とおけるからそれらのなす角の余弦、正弦の組み合わせは
bc/√((a^2+b^2)(a^2+c^2))、a/√((a^2+b^2)(a^2+c^2)、
ca/√((b^2+c^2)(b^2+a^2))、b/√((b^2+c^2)(b^2+a^2)、
ab/√((c^2+a^2)(c^2+b^2))、c/√((c^2+a^2)(c^2+b^2)、
であり、正接が
a/bc=u、b/ca=v、c/ab=w
によりこれが求める直方体である 近似値
Σ[n=0,∞] 1/((2^n) C(3n, n)) = 3Ｆ2(1/2, 1, 1；1/3, 2/3；2/27) = 1.1849590120910735276403292 以前同じの出したか覚えてないけど自分の中で未解決なので投稿
一変数整係数多項式 f,g∈Z[x] の組 (f,g) であって
(x^2+3)f(x)^2 + 1 = g(x)^2
を満たすものは (0,±1) 以外に存在するか f(z) = e^(-iz^2)/(1+e^(2(√π)z)) に関して(iは虚数単位)
±R,±R+i√πを頂点とする長方形(R>0)の経路積分の留数解析のみで
(1) ∫[-∞,∞] sin(x^2) dx = √(π/2)
(2) ∫[-∞,∞] cos(x^2) dx = √(π/2)
を示せ >>10
(x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たす f(x),g(x)∈C[x] を全て求めることにする。
deg g≧2 のときを考える。自動的に deg f≧1 である。
n＝deg f≧1, m＝deg g≧2と置く。(x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2により、
両辺の最高次を比較して 2n＋2＝2m なので、n＋1＝mである。
(x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を微分して、2xf^2＋(x^2＋3)2ff'＝2gg'なので、
C[x]において f｜gg' である。(x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 により、C[x]において
gcd(f,g)＝1なので、C[x]において f｜g'であり、g'＝qfなるq(x)∈C[x] が取れる。
deg g≧2により、deg g'≧1なので、自動的に q≠0 であり、
deg g'＝deg q＋deg fである。すなわち、m－1＝deg q＋n である。
n＋1＝mだったから、deg q＝0である。よって、q は0でない定数であり、
f＝(1/q)g' となる。これを(x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 に代入して、
(x^2＋3)(1/q)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 …(1)
となる。g(x)の最高次の係数をa≠0として、(1)の両辺の最高次の係数を比較すれば
(1/q)^2(ma)^2＝a^2なので、q＝±m であり、f(x)＝±(1/m)g'(x) となる。
そして、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2となる。 (x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 を微分すると
2xg'(x)^2＋(x^2＋3)2g(x)g'(x)＝m^2 * 2g(x)g'(x) なので、deg g'≧1 により
xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝m^2g(x) … (2)
である。g(x)＝Σ[i＝0～m] a_i x^i, a_m≠0 と置いて、(2)から地道に係数を比較する。
mの偶奇に応じて計算の仕方が少し変わるので、ここは場合分けになる。
いずれの場合も、a_i が具体的に決まって、ある具体的な h_m(x)∈C[x]とある a∈C－{0} に対して
g(x)＝ah_m(x)という形になる。また任意のb∈C に対して、g(x)＝bh_m(x)は(2)を満たすことが(逆算で)確かめられる。
そして、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 にg(x)＝bh_m(x), g'(x)＝bh_m'(x)を代入してx＝0での値を見ると、
bの値が決まり、b＝±c_m (c_mはmごとに決まる唯一の値)という形になる。
g(x)＝±c_mh_m(x) が (x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 を満たすことを示すのだが、
まず g(x)＝±c_mh_m(x) は既に(2)を満たしているので、つまり ((x^2＋3)g'(x)^2＋m^2－m^2g(x)^2 ) ' ＝ 0
が成り立つことになる。よって、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2－m^2g(x)^2＝C なる定数Cが取れるので、
x＝0を代入すると、b＝±c_m の取り方から 0＝C と計算できるので、確かに (x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 が成り立つ。 このことから、各 m ＝ deg g ≧ 2 ごとに唯一の H_m(x) が存在して、
(f(x),g(x))＝((α/m)H_m'(x),βH_m(x)) (α,β∈{－1, 1})
という4つのみが (x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たすことが分かる。H_m(x)は、具体的には次のようになる。
m＝2l, l≧1のとき： H_m(x)＝Σ[i＝0～l]( Π[k＝0～i－1] (2(l－k)(l＋k))/(3(k＋1)(2k＋1)) ) x^{2i}
m＝2l＋1, l≧1のとき： H_m(x)＝(√(－1))((2l＋1)/√3)Σ[i＝0～l]( Π[k＝0～i－1] (2(l－k)(l＋k＋1))/(3(k＋1)(2k＋3)) ) x^{2i＋1}
ただし、Π[k＝0 ～ －1](…) ：＝ 1 と規約する。
あとは、deg g＝1, deg g＝0, g＝0 のケースが残っている。
deg g＝1 のときは、個別に計算して解(f,g)を求めると、その解は
＞ m＝2l＋1, l≧1のとき： H_m(x)＝(√(－1))((2l＋1)/√3)Σ[i＝0～l]( Π[k＝0～i－1] (2(l－k)(l＋k＋1))/(3(k＋1)(2k＋3)) ) x^{2i＋1}
の部分でl＝0とした場合に一致するので、上の表現でl＝0を許容したものに吸収される。
deg g＝0のときは、(f,g)＝(0,±1)となる。g＝0のときは、解(f,g)は存在しない。
これで全ての解が求まった。この中で f(x),g(x)∈Z[x]を満たすものを探すと、m＝2l＋1, l≧0 のときは、
H_m(x)の係数に (√(－1))/√3 が入っているので自明に不適。m＝2l, l≧1 のときは、H_m(x) の最高次の係数が
Π[k＝0～l－1] (2(l－k)(l＋k))/(3(k＋1)(2k＋1)) になっているが、これは整数にならないことが計算できるので、
やはり不適。よって、(f,g)＝(0,±1)しかない。 n×n整数行列のなす環Mn(Z)の自己同型はある可逆行列Aを用いてX→AXA^-1と書けることを示せ >xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝m^2g(x)
もうここまで行ったら解いちゃった方が早くね？
g(x) = cosh(c + i m sinh^(-1)(x/sqrt(3)))
だってby 大先生
積分定数cが純虚数でなければ実数値関数になりえず、その場合でも有界にしかならない >>15
R=Mn(Z)とおく
MをZのn個の直和として自然にR加群とみなす
φ:Mn(Z)→Mn(Z)を環の同型写像としてMをφを通した後作用させることによりR加群とみなした物をNとおく
MとNはR加群として同型であるから(∵ projective, indecomposableだけど森田対応Mod(R)≡Mod(Z)によりそれは同型の意味をのぞいてただひとつ)
よってR加群としての同型a:M→Nが取れるが、これを行列表示したものが求める行列である >>16
＞積分定数cが純虚数でなければ実数値関数になりえず、その場合でも有界にしかならない
m＝deg g として、m＝2l, l≧1 のときは、>>14により
(f(x),g(x))＝((α/m)H_m'(x),βH_m(x)) (α,β∈{－1, 1})
が (x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たすので、特にα＝β＝1として、
(f(x),g(x))＝((1/m)H_m'(x),H_m(x)) かつ (x^2＋3)H_m'(x)^2＋m^2＝m^2 H_m(x)^2
となる。つまり(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 となる。微分すると
2xg'(x)^2＋(x^2＋3)2g(x)g'(x)＝m^2 * 2g(x)g'(x) なので、deg g'≧1 により
xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝m^2g(x) … (2)
である。つまり、g(x)＝H_m(x) は(2)を満たす。ここで、
H_m(x)＝Σ[i＝0～l]( Π[k＝0～i－1] (2(l－k)(l＋k))/(3(k＋1)(2k＋1)) ) x^{2i}
は有理数係数のm次多項式であるから、少なくとも Q[x] の範囲内で、
(2)の自明でない解 g(x)∈Q[x] が各 m＝2l, l≧2 に対して必ず存在する。 例：
g(x)＝H_2(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝2 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝2^2g(x) が成り立つ。
例：
g(x)＝H_4(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝4 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝4^2g(x) が成り立つ。
例：
g(x)＝H_6(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝6 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝6^2g(x) が成り立つ。 すまん。くだらない記述ミスを発見してしまった。
>>13
＞ (x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 を微分すると
＞ 2xg'(x)^2＋(x^2＋3)2g(x)g'(x)＝m^2 * 2g(x)g'(x) なので、deg g'≧1 により
＞
＞ xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝m^2g(x) … (2)
ここは記述ミスで、正しくは
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 を微分すると
2xg'(x)^2＋(x^2＋3)2g'(x)g''(x)＝m^2 * 2g(x)g'(x) なので、deg g'≧1 により
xg'(x)＋(x^2＋3)g''(x)＝m^2g(x) … (2)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
となる。つまり、(x^2＋3)g(x)の部分が記述ミスで、正しくは (x^2＋3)g''(x) ということ。
その他の部分はちゃんと「 (x^2＋3)g''(x) 」のつもりで計算してるので問題ないはず。 >>18-19も、記述ミスの部分をそのままコピペしてるので意味不明になってるが、
「(x^2＋3)g(x)」の部分を「(x^2＋3)g''(x)」に差し替えると正しい記述になる。
一応修正しておくと、たとえば>>19は次のように修正される。
例：
g(x)＝H_2(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝2 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g''(x)＝2^2g(x) が成り立つ。
例：
g(x)＝H_4(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝4 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g''(x)＝4^2g(x) が成り立つ。
例：
g(x)＝H_6(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝6 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g''(x)＝6^2g(x) が成り立つ。 >>18
あれ？
解あんの？
なんで大先生時間違ってるんだろう
積分定数どう考えても一個しかないよな？
sqrt問題かな？ >>20
え？そこ？
f | gg'
と次数みて
g' = mf (m: const )
まではあってるでしょ？
なら
m^2(x^2+3)(g')^2 +1= g.^2
までは間違いないし一階の常微分方程式で解空間は一次元のはずなんだけどな >>23
まず、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 は1階の微分方程式ではない。
また、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 の両辺を微分するときに、
右辺には g(x)^2 が出現しているので、微分した後には g(x)g'(x) が出現するが、
左辺は g(x)^2 ではなく g'(x)^2 が出現しているので、微分した後には
g(x)g'(x) ではなく g'(x)g''(x) が出現する。最終的に得られる(2)は
・ xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝m^2g(x)
ではなくて(もしこれなら1階の微分方程式だが、これは記述ミス)、正しくは
・ xg'(x)＋(x^2＋3)g''(x)＝m^2g(x)
というもで、g, g', g'' に関する2階の微分方程式になっており、これが正しい形。 さすが大先生
ページの下の方見たら２次式になるって断言されてるよ ＞まず、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 は1階の微分方程式ではない。
↑すまん、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 自体が「1階」なのは言葉として合ってるな。
(さっきの記述ミスといい、なんか変なところで引っ掻き回してしまう自分がいる・・・)
で、(2)は「g''」まで含まれてるのが正しい形のはずで、この問題の厄介なところは、
少なくともQ[x]の中に解が存在してしまうところ。なので、整数係数であることを用いて
早めに矛盾を導こうとしてもなかなかうまくいかなくて、結局は泥臭い方法で
解の全体像を解ききらないとキリがなさそうなところ。 まぁオレらは(1)みたいに定数項のある線形方程式の形出てきたらとりあえず定数項消して消したくなるけどな
大先生はお構いなしに解いてくれるからな
(1)は係数の範囲を実数まで広げた場合の与えられた条件の必要十分条件だけど(2)は解が膨れて要らない解消す作業が必要になる
人間が手でやるならそれでも(2)を持ち出した方が楽だけどな 線形じゃないわw
しかし大先生よくこんなのいともかんたんに解いてくれるよな >>21について、一応、H_2(x), H_4(x), H_6(x) の3つを具体的に書き下しておく。
H_2(x)＝1+(2/3)x^2
H_4(x)＝1+(8/3)x^2+(8/9)x^4
H_6(x)＝1+6x^2+(16/3)x^4+(32/27)x^6
g(x)＝H_2(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 2 で、xg'(x)+(x^2+3)g''(x) = 2^2g(x) が成り立つ。
g(x)＝H_4(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 4 で、xg'(x)+(x^2+3)g''(x) = 4^2g(x) が成り立つ。
g(x)＝H_6(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 6 で、xg'(x)+(x^2+3)g''(x) = 6^2g(x) が成り立つ。 オレも訂正
大先生にお伺い立てる時に√の中の±逆にしてた
どおりてへんな虚数解出てくるわけだ
(1)の正しい解は
(cosh^2( a sinh^(-1)(x/sqrt(3)) + c) - 1)
コレが多項式g(x)になるとすると(x/√3)=sinh(t)とおいて
g(√3 sinh(t)) = cosh^2(at + c)-1
がtについての恒等式
t→∞での挙動を考えて2aは整数
左辺がsinh^k(t)で展開できていて右片にsinh(at)の項が出てくるから結局aは整数
右辺のバラした時cosh(at)の係数がcosh(c)、sinh(at)の係数が-sinh(c)
この商tanh(c)が左辺の係数を見てQ(√3)に入る必要があるがリンデマンの定理に反するから不可能
大先生のお力お借りしてもそんなには楽にならんな >>31
このやり方だと「>>12の(1)を満たすg(x)は多項式にならない」と言ってるように見えるのだが、
多項式g(x)であって(1)を満たすものは無限に存在するよ？
まず、(1)の q は実際には q＝±m (ただし m＝deg g) なので、
(x^2＋3)(1/m)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 …(1)
これを満たすg(x)であって、多項式であるものを作りたいわけだが、
たとえば、>>30の多項式H_2(x),H_4(x),H_6(x)について、
g(x)＝H_2(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 2 で、(x^2＋3)(1/2)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 が成り立つ。
g(x)＝H_4(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 4 で、(x^2＋3)(1/4)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 が成り立つ。
g(x)＝H_6(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 6 で、(x^2＋3)(1/6)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 が成り立つ。
一般に、m＝2l, l≧1 として、g(x)＝H_m(x) と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = m で、
(x^2＋3)(1/m)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 が成り立つ。 >>32
ホント？
大先生に聞いてみるから(1)の多項式解出してみて >>33-34
こちらでも事前に、>>32で挙げた3種類について
大先生に検算してもらってるので、3つとも大丈夫のはず。
もともとの問題は、(x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たす
f(x),g(z)∈Z[x] を見つける話だったが、>>14で示したように、
(f(x), g(x))＝((1/2)H_2'(x), H_2(x)) ＝ ( (2/3)x , 1+(2/3)x^2 )
(f(x), g(x))＝((1/4)H_4'(x), H_4(x)) ＝ ( (4/3)x+(8/9)x^3 , 1+(8/3)x^2+(8/9)x^4 )
(f(x), g(x))＝((1/6)H_6'(x), H_6(x)) ＝ ( 2x+(32/9)x^3+(32/27)x^5 , 1+6x^2+(16/3)x^4+(32/27)x^6 )
の3種類は f(x),g(x)∈Q[x] かつ (x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たす。
これも大先生に検算してもらったので大丈夫のはず。 >>14で既に書いたことだが、より一般的に、m≧1 として、
(f(x),g(x))＝(±(1/m)H_m'(x), ±H_m(x)) (符号は4種類全てのどれでもよい)
と置くと、f(x),g(x)∈C[x], deg g = m かつ (x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 が成り立つ。
逆に、m≧1として、f(x),g(x)∈C[x], deg g = m かつ (x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を
満たす f(x),g(x) は (f(x),g(x))＝(±(1/m)H_m'(x), ±H_m(x)) の4種類しかない。
m＝0のときが残っているが、この場合、
f(x),g(x)∈C[x], deg g = m かつ (x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たす f(x),g(x) は
(f(x), g(x)) ＝ (0,±1) しかない。
そして最後に、deg g = －∞ つまり g＝0 の場合は、解f(x),g(x) は存在しない。
これで全ての解が出揃ったが、この中でZ[x]内の解は(f(x), g(x)) ＝ (0,±1)
しかない(詳しくは>>14に書いたとおり)。
なお、mが偶数のときは、(f(x),g(x))＝(±(1/m)H_m'(x), ±H_m(x)) は必ず Q[x] の元になっており、
特に、(x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たすQ[x]内の f(x),g(x) は無限にある。
このことから、Z[x] の性質を使うことで早めに矛盾を導くのはたぶん難しくて、
多項式の解(f(x),g(x))を全て求めた後で初めて「Z[x]内の解は(f,g)＝(0,±1)のみ」
が言えるという地獄の様相を呈している。 やり直し
右辺バラして
(cosh(2at+2c) + 1 )/2 -1
=cos(2c)cosh(2at) + sinh(2c)sinh(2at)+1)/2 -1
しかしc=0でなければsinh(2at)がsinh(t)の多項式でなければならず、そのためには2aが奇数にならなければいけないが、今kは整数だから不可能
よってc=0と決まる
でcosh(2at)をsinh(t)の多項式で表したものが解になる x = (√3) sinh(t),
とおくと
dx/dt = (√3) cosh(t),
G(t) = g(x),
dG/dt = g '(x)(dx/dt) = g '(x)(√3)cosh(t),
d^2G /(dt)^2 = g "(x) (dx/dt)^2 + g '(x)・d^2 x/(dt)^2
= g "(x)・3cosh(t)^2 + x g '(x)
= (x^2 +3) g "(x) + x g'(x)
= m^2 g(x) … (2)
= m^2 G(t),
∴ G(t) = c･e^(mt) + c'e^(-mt), >>14
すごい、解けてる…ありがたい…
元々は「ペル方程式の解は一般に見つけにくいらしいけど、
平方数に近い場合とか特殊な条件に絞ればいけるのでは？」と思って
(x^2+1)f(x)^2 + 1 = g(x)^2
のZ[x]解を調べてみたのがきっかけ。
実際この場合は無数にあるんだけど、よく考えたら
ここで得た解の情報は >>10 でも使えたんだな、と解答見て初めて気づいた…orz 連続な関数f(x)について
任意の実数xでf(x)が
f(f(x)-x)=f(f(x)+x)
を満たすならばf(x)は定数関数である
は正しいか？ 水酸化水素を飲んだ人間の
200年以内の死亡率は100% VがRベクトル空間で写像F,G: R×V→V(注 線形とかではないただの射像)について二項演算
(a,x)⊕(b,y)=(a+b,x+y+F(a,b))
(a,x)⊗(b,y)=(ab,bx+ay+G(x,y)
がR×V上に単位元を持つ可換環の構造を与えるとする
この時写像f:R→Vで
F(a,b)=f(a)+f(b)-f(a+b)
G(a,b)=bf(a)+af(b)-f(ab)
を満たすものが取れる事を示せ lim_{n \ to \infty} (1/n)*\sum_{k=1}^n k*log(cos(1/(n-k+2))
が収束することを示し、その収束値を α とすると
3/2 < e^(-2α) < 2
が成り立つことを示せ。 α=-(1/2ζ(2)+1/12ζ(4)+1/45ζ(6)+‥)
かな いや
1/2(ζ(2)-1)+1/12(ζ(4)-1)+‥
か まず
和=Σ[k=2,n+1]((n+2)/n-k/n)logcos(1/k)‥①
log(cos(x) = Σcic^iをマクローリン展開としてそのI次までの打ち切り近似Σ[j≦i]cjx^jをfi(x)とすれば
| logcos(x) - fi(x)|≦A(4/3)^i (∀|x|≦1/2)‥②
を満たすAが取れる(∵収束半径は1)
特に|logcos(x)|≦Bx^2(∀|x|≦1/2)
となるBも取れる
ここで
Σ[k=2,n+1] | (k/n) log(cos(1/k) |
≦Σ[k=2,n+1] | (k/n) B(1/k^2) |
=O((logn)/n)
つまり①の後半の項の寄与分は０
前半部をマクローリン展開した打ち切り近似の誤差項を評価する
それは②より
Σ[k=2,n+2]A(1/k)^i
≦Σ[k=2,n+1]A(4/3)^i(1/k)^i
≦ΣA(4/3)^i∫[3/2,n+3/2](1/k)^idk
=A(4/3)^i1/(i+1)(3/2)^(-i+1)
=A(8/9)^i/(i+1)
あとはexplicitにAやBを決定して極限値を望む制度で計算可能である π+log2は有理数か.
(ベイカーの定理は認めていいです) >>41
多項式なら簡単なんだがｗ
なかなか解けない マクローリン展開
log(cos(x)) = Σc_i･x^i
c_0 = 0,
c_2 = -1/2,
c_4 = -1/12,
c_6 = -1/45,
c_8 = -17/2520,
c_10 = -31/14175,
c_12 = -691/935550, >>50
ベイカーの定理使っていいなら
はてなブログ/entry/2017/06/25/143500
↑これの系６からπ+log2>0より
π+log2 = -2i log(2i) + log2
は超越数 テスト
https://integers.はてなブログ.com/entry/2017/06/25/143500 >>6 系統のより簡単な問題:
Σ[n=0,∞] C[4n,n] (27/100)^(2n) = 5/3 を示せ >>57
>>6
1/((3n+1)C[3n,n]) = Γ(2n+1)Γ(n+1)/Γ(3n+2) = Β(2n+1,n+1)
= ∫[0,1] t^(2n) (1-t)^n dt
(Γ,Βはガンマ関数、ベータ関数)より
Σ[n=0,∞] x^(3n+1)/((3n+1)C[3n,n])
= ∫[0,1] xdtΣ[n=0,∞](t^2(1-t)x^3)^n
= ∫[0,1] xdt/(1-t^2(1-t)x^3)
この式をxで微分してx=(1/2)^(1/3)を代入
Σ[n=0,∞] (1/2)^n / C[3n,n]
= 4∫[0,1](1+t^2-t^3)/(2-t^2+t^3)^2 dt
= (4/125)∫[0,1]{15/(1+t)^2 + 15(7-4t)/(2-2t+t^2)^2 - 1/(1+t) - (18-t)/(2-2t+t^2)}dt
= (270+11π-12log(2))/250 >>53
正解です
というかこのブログの系10にありましたか >>50
難しくて解けなかったわ。
「有理数かどうかを判定する」って部分が引っ掛け問題だな。
どうせなら
問い. π+ln(2) が超越数かどうか判定せよ
って言ってほしかった。高卒のワイにも分かるように… （ '‘ω‘） >>46
について徒然なるままに
すでに述べられてるように
logcos(x)=Σc_k x^k
をマクローリン展開として
α = Σc_k ((ζ(2k)-1) = -0.32896268059492134
-1鬱陶しいので
β = Σc_k ((ζ(2k)) = -0.9447114983236895
について考えるとする
値はざっくり計算させた値だけど上の２つの差
=-0.615748817729
が
ln(cos((1)))
=-0.615626470386
でそこそこあってるはず(丸め誤差上等の計算なので誤差項評価するだけ無駄)
さてさて大先生の出してきたc_kの値からコレは簡単に一般項求まって
c_n = ( (2^(2*n))-1)/(2^(2*n) )* ζ( 2*n ) * (4^n)/n/pi^(2*n)
と綺麗に求まる
ζ(2n)/π^(2n)はベルヌーイ数で書ける有理数でここまでは丸め誤差なしで気分良く求められる
しかしコレにζ(2n)かけて足し合わせる段階でかなり必然的に丸めざるを得なくなる(回避はできなくはないがかなり面倒、丸め上等しかやる気にならん)
さりとてexplicitにβの値を表示する方法も見つからん
一般項にB_2n^2の形が出てくる級数になって気分良くはもとまらない
まぁ無理なんかな
実際出題も近似値求めよだしな ζ(2n) / π^{2n} = － (-4)^n * B_{2n} / (2*(2n)!),
c_n = － (4^n -1)/n * ζ(2n) / π^{2n}
= (-4)^n (4^n -1) B_{2n} / (2n*(2n)!),
近似値
α = -0.32974258434031867311905769899937833476606066811972515418371883313992717643116601753785337951958517164538
β = -0.94536905472633293526609521540827019811699609206609798837271471777594170631719038689429214813862409338202 >>11
留数定理より
∫[長方形] f(z)dz = 2πi Res[z=(√π)i/2] f(z) = (1-i)√(π/2)
一方
|∫[垂直方向] f(z)dz| < (1/R)/(1-e^(-2R√π)),
∫[水平方向] f(z)dz = ∫[-R,R]{f(x)-f(x+i√π)}dx = ∫[-R,R] e^(-ix^2)dx
したがってR→∞で
∫[-∞,∞] e^(-ix^2)dx = (1-i)√(π/2)
このアイデアは1940年ごろに発見されたものでガウス積分とそれに関連する積分が
技巧的な関数の留数のみで計算できるというものです
この技巧的な関数の作り方は検索すればいろいろ出てきます
文献：L. Mirsky, The probability integral, Math. Gazette 33 (1949) p.279 >>56
t=27/100, Γを|z|=1を正の向きに一周する線積分路として
∫[Γ] (t/27)^n(z^3+3/z)dz/z = C[4n,n]t^n
の総和が|t|<27/256においては積分と可換だから
与式左辺
=∫[Γ]1/(1-t/27(z^3+3/z))dz/z
=∫[Γ]z^4/(1-t/27(z^4+3))dz/z
となりこの右辺の留数計算すれば良い
t=27/100の場合分母の根は全て単根でありρをその根のひとつとするとf(w)=1-t/27(t+3)とおいて
res(z=ρ,z^4/(zf(z^4)))
=lim[z→ρ](z-ρ)z^4/(zf(z^4))
=lim[z→ρ](z^4-ρ^4)z^4/(zf(z^4))/(z^3+z^2ρ+zρ^2+ρ^3)
=1/4lim[w→ρ^4](w-ρ^4)/f(w)
である
ここで対象となる積分核の極ρは絶対値が1未満のf(z^4)=0の解であり、すなわちf(w)=0の解の4乗根であり1/3の4乗根である
それらよっつのρにおいて留数は
1/4lim[w→ρ^4](w-ρ^4)/f(w)
=1/4lim[w→ρ^4](w-1/3)/f(w)
=5/12
であるから求める積分値は5/3である >>64
あ、f(w)=1-t/27(w+3)やね
あと与式左辺＝...ではなく与式左辺×2πi＝... まだ違うw
f(w)=1-t/27(w+3)^4
その上であたりの積分核の中も^4抜けてるわ >>67
プチエンジェルとかエプスタイン島みたいな
いいかたやめろ 条件から代数的に上手く導くだけかと思ったけど、何らかの極限操作を使う(極限が使えることも示す)必要がありそうな気がして・・・ >>43のヒント
まず示すのは問題の設定の元で
π:R×V→Rを自然な射影とするとき、環準同型φ:R→R×Vでπφが恒等写像になるものが取れる事を示せ
と同じになってる事がポイント
実際そのような写像はr→(r,f(r))の形を取らねばならず、このf(x)が求める条件を満たす
このφの作り方はZornの補題か超限帰納法か
φ:S→S×Vまで作れたとしてr∈R＼SをとってきてφをS[r] (Sにrを添加してできる環)まで拡張する
rの行き先は(r,x)の形になるけどそれが“環準同型”になるようにxを選ばないといけないけどどのように選べばいいかを吟味しないといけない Zornの補題(プチエンジェル)
超限帰納法(エプスタイン島) n次元多様体がn-1次元多様体の展開図で表される条件 こういう構成慣れてないからよくわからんけど
追加するrがSと代数的関係があるときは、その関係式をV側に翻訳することでf(r)がs,f(s'),F(t,t')(s,s',t,t'∈S)たちとの関係式で書けて決まる
しかも、その関係式はVの積構造の性質からf(r)に関して1次式なのでf(r)は一意に決まる
代数的関係がないときは自由にf(r)を決める
そしてRとVの環構造が連動してることから、この決め方はwell-defined
という感じか・・・ Vの環構造という言葉はよくないか
R×Vの環構造のV部分の構造という意味 有限群論の範疇で、あまり演習問題のようなものとして広くは知られていないけれど、問題として面白く教訓的な問題を求む。 だいぶ正解に近づいてると思います
整理しまず
設定
環準同型φ:S→R×Vが与えられてる
R≠Sなのでr∈R＼Sをとってきてφの拡張ψS[r]→R×Vを作りたい
この設定でよく使われるのは“多項式環のユニバーサリティ”というのを使う方法です
すなわち上の設定で
Sに不定元tを添加した多項式環なら簡単に環準同型を作れる、すなわち
r∈Rを自由に選ぶとき環準同型Φt:S[t]→RをΦ(t)=rとなるように構成できる
r∈Rとx∈Vを自由に選ぶとき環準同型Ψrx:S[t]→R×Vをφの拡張でΨrx(t)=(r,x)となるように取れる
です
この時S[r]は自然にS[t]/kerΦrなので結局問題は
kerΦr⊂kerΨrxとなるようなr,xを見つけることができるか？
となります
そのためには都合の良いr,xを両方見つけることになりますが、まずはrです
もちろんkerΦrがなるべく小さいものを撮るようにすれば後で楽になります
すでに気づかれてる通りrが、S上超越的に取れる時はkerΦr=0なので終了です、xは好きな元を取れます
それが不可能な場合、すなわちR/Sが代数拡大の場合が問題です
その場合なるべくkerΦrを小さく取る方法として最初に思いつくのはrがS上モニック、すなわち最小多項式がモニックになるものを取る場合でこの場合にはkerΦrはモニック最小多項式で生成される単項イデアルになるのでだいぶxの選定が楽になります
それが無理な時、すなわちR/Sの商体が一致していてSが整閉整域の場合は整拡大が取れなくなります
しかしその場合には
任意のr∈R＼Sについて付値vをSの元が全てv進付値でv(r)<0となるようにとれる
という事実を利用すればketΦrが単項イデアルになるrを見つけることができます
とりあえずkerΦrが単項イデアルでないとxの選定がメチャクチャ難しくなります >>77
詳しくありがとう
想像以上に闇深・・・
しかし、もう少し簡単に示せないか考え中
環でやると難しいけど
g(a,b)=e^(-a)((G(e^a,e^b)-G(e^a,0))e^(-b)-F(0,0))
とおくと
(a,x)+(b,y)=(a+b,x+y+g(a,b))
でR×Vが加法群になっていて(問題を加法のみで設定し直す)
これに対してg(a,b)=h(a)+h(b)-h(a+b)が示せれば
分配律によるFとGの関係によってf(r)が
rh(logr)+F(0,0) (r>0)
F(0,0) (r=0)
F(r,-r)-rh(log(-r)) (r<0)
と取れることが分かる
つまり問題が加法構造のみの場合で示せれば良い うーん、しかし結局これはGの(a,0)における連続性みたいな仮定がないと上手くいかない方法か 良い作戦だと思います
それができればいいんですがおそらくなかなか難しいでしょう
実はFの方だけなんとかすればいいのなら話はもっと簡単なんです
やはりπ:R×V→Rを自然な射影とします
πが群準同型なら群準同型φ:R→R×Vをπφ=1と取れる時、πを“分裂全射(split epimorphism”と呼んでいつそれが可能かはとてもよく研究されてます
ひとつの条件として
・Rの可法群が自由群の時(Rの可法群が射影的(projective)の時)
・kerπ=Xが可除的(divisible)時(=入射的(injective)の時)
で今回の場合、Xはベクトル空間なので可法群としては可除的であり上の条件の下の条件を満たすので可能であるとわかります
ところでこの話はある論文が元ネタなんですが今ご紹介したお話はその論文の定理１です
まず可法群の方をなんとかしようと考えるのはまさにまず考えて見るべき事ですね
そしてその発展版が>>43の問題でその論文の定理２なのです
全射群準同型がいつ分裂するかは上で述べた通り割とスッキリ方がつくんですが環準同型がいつ分裂全射かはかなり難しい問題で、実はそれにも研究があり、それを利用すれば話が終わります
しかしその研究でやってる事がまさに>>77でやってる事です
体の分裂問題はsplitting algebra problemと呼ばれて特に有限次元の場合はBrauer群と呼ばれる整数論の世界でとても大切な話に繋がります
>>43はその手の話の一部？になってるお話です アホな質問だけど
上の設問 >>50 について。
文章を以下のようにAからBへ変えた場合、
難易度ってどのくらい変わる？
Bの方だと…簡単すぎる？あるいは、ちょっとだけ簡単になるくらい？
A. π+log2は有理数かどうか答えよ。
B. π+log2は超越数であることを示せ。 >>81
全然知らなかったけど面白そうな話だね
素朴な準同型の話からそんな深い話に繋がってるとは
勉強も兼ねてその論文読みたいんだけど教えてもらうことは出来ないんだろうか
なんなら関連論文でもいいので >>82
頭悪すぎて釣りだと思いたいけど釣られてみる
>>50は京大の有名な「tan1°は有理数か.」をもじっただけだろ
それにベイカーの定理を認めていいとあるから直ぐに無理性を示すべきことが分かるだろ >>84
間接的に無理性を示しているだけで
>>50 の回答で示しているのは超越性やろがい！
頭の良さそうなあなたに聞きたい。
>>50 について超越性を経由せずに
直接、無理性を示す解法を答えてみ。 ↓これです
タダで読めます
Some Functional Equations in Groups and Rings.
Authors
B. Jessen
J. Karpf
A. Thorup
https://www.mscand.dk/article/view/10889 >>86
マジでありがとう
なるほど、多面体の不変量からの流れ(？)でもあったのか >>88
そうです
ここでDehn Invariantの話を小耳に挟んでなんじゃそりゃと思って勉強してたら出てきた話
こんな話がまさかのDehn Invariantにつながるとかびっくらこいた
どうやったらこの話をSydlerの定理に結びつけようと思いつけるのか
世界の天才達の慧眼は想像を絶する >>41
f(x)をxが有理数の時1 無理数の時0
としてみてはどうだろうか
x:有理数 f(1-x)=f(1+x)=1
x:無理数 f(0-x)=f(0+x)=0
しかしこのとき明らかにfは定数関数ではない
…とここまで考えてfが連続という条件を思い出した
しかし、ということはxを有理数に限定した時にf(x)≡f(0)が真かどうかを示せればいいわけだな
後は任せた >>85
おまえベイカーの定理の主張わかってないだろ？？
その主張があれば、ほぼ関係ないということが分からないのか？？
π+log(2)が「有理数」と仮定すると
π+log(2)=pとおいて
(-i)*log(-1) + log(2) + (-p)*1 =0
となり、{log(-1),log(2),1}の(代数的数の集合)上線型独立であることに矛盾
これだけだろ
ベイカーが分かってるかどうかが全てだろ >>91
ベイカーの定理の主張を正確に言ってみろ低知能 >>95
あれ？？ 他人に対しては逃げるなとか言っておいてお前自身は逃げるの？
早くベイカーの定理の主張を正確に言えよ プロおじという共通の敵が消えたことで仲間割れを始めたぞ
必要悪というやつだったか 〔定理〕
α_1, ……, α_n を0ではない代数的数とする。
もし log(α_1), ……, log(α_n) がQ上線形独立であるならば、
{1, log(α_1), ……, log(α_n)} は代数的数体上線形独立である。
-----------------------------------------------------------
(系1)
α_1, ……, α_n, β_0 を0ではない代数的数、
β_1, ……, β_n を代数的数としたとき、
β_0 + (β_1)log(α_1) + …… + (β_n)log(α_n) ≠ 0,
(系2)
α_1, ……, α_n, β_0, β_1, ……, β_n を0ではない代数的数としたとき、
e^(β_0)・(α_1)^(β_1)・……・(α_n)^(β_n) は代数的数でない。
(系3)
α_1, ……, α_n を 0でも1でもない代数的数とする。
β_1, ……, β_n を 代数的数とし、
{1, β_1, ……, β_n} はQ上線形独立としたとき、
(α_1)^(β_1)・……・(α_n)^(β_n) は代数的数でない。
(系3) で n=1 とすることにより、ゲルフォント=シュナイダーの定理が導かれる。 >>96
ググレカス。
ベイカーの定理をそのまま解釈すればいいだけ。
それで分からないなら、もっと勉強してこい。 ∫[0, 1] (∫[0, x] 1/(1+t^2) dt) dx の値を求めよ。
高校生的な(arctanを使わない)解法で。 >>103
> ∫[0, 1] (∫[0, x] 1/(1+t^2) dt) dx
= 1 × ∫[0, 1] 1/(1+t^2) dt - ∫[0, 1] (x/(1+x^2) dx
= ∫[0, π/4] dθ - 1/2 ∫[0, 1] (1/(1+u) du
= π/4 - 1/2 log2 >>103
積分順序の交換をしないなら
∫[0, 1] (∫[0, x] 1/(1+t^2) dt) dx（x=tanθと置く）
= ∫[0,π/4] (∫[0,tanθ] 1/(1+t^2) dt) dθ/cos^2θ（t=tanαと置く）
= ∫[0,π/4] (∫[0,θ] dα) dθ/cos^2θ
= ∫[0,π/4] θdθ/cos^2θ（部分積分）
= π/4 - ∫[0,π/4] tanθdθ
= π/4 + [logcosθ]_{0,π/4}
= π/4 + log(1/√2)
= π/4 - (1/2)log2 >>103
やっぱりなぁ。
部分積分だけで解けるわけないよなぁ。
わかってたさ、うすうすは。
置換積分か。 前スレ738
＞四面体ABCDの
＞稜ABとCDの双方に直交する直線をP、
＞稜ACとBDの双方に直交する直線をQ、
＞稜ADとBCの双方に直交する直線をRとするとき、
＞直線P、Q、Rが一点で交わるのは、元の四面体ABCDがどのような性質をもつ場合か？
式を地道に立てて解いてみたところ、
(↑AB・↑CD)((↑AC×↑DB)・(↑AD×↑BC))＝(↑AC・↑DB)((↑AD×↑BC)・(↑AB×↑CD))＝(↑AD・↑BC)((↑AB×↑CD)・(↑AC×↑DB))＝0
という関係式を得た。
すなわち以下の１つ以上が成り立つ、ということらしい。
#1 ↑AB・↑CD＝↑AC・↑DB＝↑AD・↑BC＝0
#2a ↑AB・↑CD＝(↑AD×↑BC)・(↑AB×↑CD)＝(↑AB×↑CD)・(↑AC×↑DB)＝0
#2b (↑AC×↑DB)・(↑AD×↑BC)＝↑AC・↑DB＝(↑AB×↑CD)・(↑AC×↑DB)＝0
#2c (↑AC×↑DB)・(↑AD×↑BC)＝(↑AD×↑BC)・(↑AB×↑CD)＝↑AD・↑BC＝0
#3 (↑AC×↑DB)・(↑AD×↑BC)＝(↑AD×↑BC)・(↑AB×↑CD)＝(↑AB×↑CD)・(↑AC×↑DB)＝0 (1) トーラス(ドーナッツ状の図形)の単純グラフは必ず次数が6以下の点が存在することを証明せよ.
(2) トーラスに描かれた地図(飛び地無し)は7色で塗り分け可能であることを示せ. (3 おまけ) トーラスに描かれた地図(飛び地無し)で6色では塗り分けられないものを求めよ. 尿瓶のやり口とは違うし割と有名問題ではあるが、トーラス上に図を書く必要があるから面倒 >>104 は
∫ (∫[0,x] 1/(1+t^2) dt) dx
= ∫ (x ')･(∫[0,x] 1/(1+t^2) dt) dx
= x・∫[0,x] 1/(1+t^2) dt - ∫ x・(1/(1+x^2)) dx
= x・∫[0,x] 1/(1+t^2) dt - (1/2)log(1+x^2),
0<x<1 で定積分すれば
= ∫[0,1] 1/(1+t^2) dt - (1/2)log(2)
= ∫[0,1] (1-t^2+t^4-t^6+…) dt - (1/2)log(2) (等比級数)
= 1 -1/3 +1/5 -1/7 + … - (1/2)log(2)
= π/4 - (1/2)log(2),
ライプニッツの公式を使えば arctan 使わずにできる。。。
部分積分は使ってもいいの？
高木先生：
だって昔から言うぢゃありませんか、
「ブブンのことはブブンでせよ」と。 いやコレは由緒正しい数学の問題でしょ
そんなびっくりするほど難しい定理を使うわけでもないし >>110の解答ですが、トーラス上の図は正方形の境界に同値関係を入れたものに表現してもらって構いません >>111
彼に謝ったほうがいいぞ
「私の無学が原因であなたを尿瓶扱いしてすみませんでした」とな >>117
素晴らしい
想定していたのもそんな感じです
大正解！ >>104 について。ど素人質問で申し訳ないんやけど、()がある場合と無い場合で数式の意味が変わったりするの？ V(n)をn次の3変数同次多項式のなす実ベクトル空間とする
例えば2x^4-x^3y+5xyz^2∈V(4)である
反対称化写像A(n):V(n)→V(n)を
(Af)(x_1,x_2,x_3)=Σ[σ∈S_3]sgn(σ)f(x_σ1,x_σ2,x_σ3)
とする
このときlim[n→∞]dim(kerA(n))/nを求めよ
また、その値になることを示せ 何か重要な事を書き込もうと思ったけど
よく考えたら高校レベルのテーマだった。
だから、このスレに書くのは止めて高校向けのスレに書くことにする。
みんな、さようなら、ばいばい ノシ >>123
im A(n)は次数nの交代式で(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)×対称式とかけるn次式でその空間の次元はn-3次対称式のなす空間S(n-3)の次元に等しい
よってdim ker A(n) = dim V(n) - dim S(n-3)である
dim V(n) = (n+1)(n+2)/2
は容易
dim S(n) = 1/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))のn次の係数
であり
1/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))のn次の係数
=(x + 2)/(9 (x^2 + x + 1)) - 17/(72 (x - 1)) + 1/(8 (x + 1)) + 1/(4 (x - 1)^2) - 1/(6 (x - 1)^3)
である
前3項の|n次の係数|はO(1)
後2項のそれはそれぞれn+1, 1/6×(n+1)(n+2)/2
であるから
dim S(n-1) = 1/12 n^2 + O(n)
以下ry >>125
せっかく答えてもらった後で申し訳ない
出題ミスってた・・・
n次の単項式のうち指数にカブりのあるものの数をa(n)とする
例えばn=5のときx^0y^0z^5,xyz^3,x^2yz^2,…など9種類なのでa(5)=9
このとき
lim[n→∞]a(n)/n
を問いたかった >>126
では(xy)^0z^n〜(xy)^[n/2]z^(0か1)型が[n/2]+1次、類するのがあと2型あり、被りはなしか1次元
よってa(n)=3([n/2]+1)-(0か1)
以下ry >>119
尿瓶ジジイ＝尿瓶洗浄係＝職種の言えない医療従事者
開業医スレを荒らしに行って入院勧告を受けているのが尿瓶洗浄係。
内視鏡スレを荒らし行ったが業界ネタを全く投稿できないのが尿瓶洗浄係。 >>128＝尿瓶プロおじ＝尿瓶ジジイ＝医者アピールに必死な証拠出せないニセ医者 尿瓶はいつまで爺臭い顔文字とnCr(a,b)とかいうおかしな表記使い続けるの？
なんで数学と関係ない話唐突に始めるの？
なんで業界ネタ（笑）を披露して必死に医者アピールしてるの？ こいつらも哀れな尿瓶の被害者なのかもしれん
まだこのスレに尿瓶は来てないのにその話ばかりしてる ∫[-∞,∞] e^(-ax^2) cos(bx) dx, a>0,b∈R を複素積分や級数展開を使わずに求めよ
ただし∫[-∞,∞] e^(-x^2) dx = √π は既知とする J(b) = ∫[0,∞] e^(-ax^2) cos(bx) dx
ば (bに関して一様に) 収束するが、積分記号下で b に関して微分して
J '(b) = ∫[0,∞] e^(-ax^2) (-x) sin(bx) dx.
|sin(bx)| ≦1 で、これも一様に収束するから、この微分が許される。さて、
J '(b) = [ (1/2a)e^(-ax^2) sin(bx) ](x=0,∞) - (b/2a)∫[0,∞] e^(-ax^2) cos(bx) dx
= - (b/2a)J(b),
(d/db)log|J(b)| = -b/2a,
log|J(b)| = -bb/4a + C,
J(b) = c e^(-bb/4a).
定数cを求めるために b=0 と置けば
c = J(0) = ∫[0,∞] e^(-ax^2) dx = (1/2)√(π/a).
故に
J(b) = (1/2)√(π/a) e^(-bb/4a),
高木貞治「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第4章, §48, [例6] p.170 >>134
正解です
解析概論に答えがありましたか（確認不足ですまない） >>113
Leibnizの級数を求める方法は、「解析概論」を見ると
Arc tan を使う方法 (第4章、§52, [附記] p.186) と
Fourier級数による方法 (第6章、§77, p.281-282)
があるらしい。 >>136
ちなみにLeibnizの級数を初等幾何のみで求める方法が
小林昭七「円の数学」に書いてある 別に有名な教科書に載ってる問題でもいいでしょ？
そもそも素人が自作問題作ってもほとんど駄作にしかならない Σ[n=2,∞] cos(n)/log(n) は収束するか
収束するなら近似値を10桁求めよ >>139
発散する
∵ ) cos(n)/log(n) はre(n)≧2において正則、かつa≧2において一様に
| lim[y→∞]cos(a+iy)/log(a+iy) exp(-2πy) |
≦ lim[y→∞]1/log(2) exp(-2πy) | = 0
かつ
| lim[x→∞]∫[0,∞]cos(x+iy)/log(x+iy) exp(-2πy) dy|
≦ lim[x→∞]1/log(x) ∫[0,∞]exp(-2πy) dy = 0
であるから Abel–Plana の和公式から
Σ[n=2,∞]cos(n)/log(n)
= 1/2 cos(2)/log(2) + ∫[2,∞]cos(x)/log(x)dx
+ ∫[0,∞](cos(2+iy)/log(2+iy) - cos(2-iy)/log(2-iy))/(exp(2πy)-1)dy
である
第3項の積分は|cos(2±iy)|〜exp(y)により収束する
第2項の積分は
∫[2,X]cos(x)/log(x)dx
= cos(X)/log(X)-cos(2)/log(2)
- ∫[2,X]sin(x)/(x log(x))dx
= cos(X)/log(X)-cos(2)/log(2) - Si(X) + Si(2)
- ∫[2,X]Si(x)/x dx
となり発散する >>140
いいところまで行ってるんですが、最後で間違ってます
∫[π/2,∞]cos(x)/log(x)dx
= Σ[n=1,∞](-1)^n∫[-π/2,π/2]cos(x)/log(x+πn)dx
= Σ[n=1,∞](-1)^n*|単調に0に減少する項|
だからこの交項級数の部分和はコーシー列をなして収束します ざっと －1.342218 ぐらい？ (叩き台)
Σ[n=2,∞] sin(n+1/2){1/ln(n) - 1/ln(n+1)} ≒ 0.152094 を使った。 まぁ近似値出せはええやろ
誤差項が多項式オーダーでしか出ないやつしかないと1/Nに誤差抑えるのにザックリNに比例したオーダーの計算求められる
[/10^10に抑えるなら10^10回とか、二乗でも10^5×定数
しかもこれだけやると丸め誤差も巨大になって最後の方の桁がどれくらいあてにならんかも評価しないといけない
Doubleまで計算する程度の標準ライブラリでは無理
10桁となると非標準の4倍精度くらいのやつ持ってくるか、そもそももっと収束早い表示見つけてくるかだけど大して数学的に意味もない計算にそんな頑張るのはやる気出ん これ何て読むん？
強い者。
きょうじゃ？つわもの？ もっと収束の早い表示を見つけろと。
生姜ねぇな…
cos(n) = (-cos(n-1) + 2cos(n) - cos(n+1)) /[2(1-cos(1))],
を入れると
Σ[n=2,∞] cos(n)/log(n) = {-cos(1)/log(2) + cos(2)･(2/log(2)-1/log(3)) + Σ[n=3,∞] cos(n)･(-1/log(n-1) +2/log(n) -1/log(n+1)) }/[2(1-cos(1))]
= －1.3422195105 ぐらい？ >>147
端末とかいう難しい言葉を使う男の人って… 夏草や兵どもが夢の跡
↑ 松尾芭蕉 (五月十三日、平泉)
つわもの >>148
cos(n) = (cos(n-2)-4cos(n-1)+6cos(n)-4cos(n+1)+cos(n+2))/[2(1-cos(1))]^2,
とか
望むだけ収束を早くできる？ そのタイプでは所詮O(n^(-k))程度で必要な計算回数が1/精度程度にしかならないので10^10とかには届かない もう少し詳しく言えばアーベルの和公式一回で誤差はO(1/n)程度になる
しかしこれでは10^10回計算しないとダメでできなくはないがやりたくない
精度をO(1/n^2)にあげれば10^5で済む
この辺が1番の落とし所だけど当然丸め誤差が10^5程度は出るので下3〜4桁は信用できない
すると10^10まで精度出すには計算ライブラリの方は10^15とかで計算してくれないとダメ
しかし普通のCのライブラリとかだとダメ
非標準なやつなら山のようにネットに転がってるからそれでできるけどな
しかしやっぱりそもそもO(r^n)くらいのオーダーで収束するやつ見つけてこないと
まぁあるにはあるけどな 訂正
倍精度だと有効桁数16桁
10^10と思ってた
記憶違い
しかしO(1/n^2)だとちょっと信用できない
O(1/n^3)で10^4くらいの近似でならまぁいけるか？
しかしこれでも丸め誤差が10^4×10^(-16)出てしまう
O(1/n^3)の係数部分次第では危ない
ともかく10^10という値が標準ライブラリだとギリギリ危ない数値なんだよな >>148
惜しい、小数点以下１０位が正しくないです
純粋な数学の問題としては
「Σ[n=1,∞] 1/(n^3 sin^2(πn/√2)) は収束するか」
の方が簡単で面白いかも >>155
どうやって出した？
ホントに合ってる？ >>156
計算しやすい単純な積分に持ち込んで近似すれば
wolfram先生が任意の精度で答えてくれます 近似値を１０桁というが
小数点以下１１位のところを
切り捨てるのか四捨五入するのか悩む >>151
－1.3422195104 になった？
(10桁目はあやしいけど) >>160
とりあえずこの方針では9桁が限界のようなので方針を変えた方がよいかと
ところでcos(n)の高階差分を取るのはどういう意味があるの？
部分和分？収束の加速法の一種？ >>151
俺の結果は
－1.342219510174558025
になった… S = Σ[n=4,∞] cos(n){1/log(n-2) - 4/log(n-1) + 6/log(n) - 4/log(n+1) + 1/log(n+2)}
= －0.11149043710615104
を利用して
Σ[n=2,∞] cos(n)/log(n)
= cos(2)/log(2) + cos(3)/log(3)
+ {S - cos(4)/log(2) + (4cos(4)-cos(5))/log(3) + (cos(2)-4cos(3))/log(4) + cos(3)/log(5)}/[2(1-cos(1))]^2
= －1.342219510174558025
>>151 の式で十分なことが分かった。 >>161
部分和分といえばそうかも。
cos(n) の差分をとってアーベル総和すると 1/log(n) の方が差分になり、
およそ O(1/n)倍になる。
{1/log(n) - 1/log(n+1)} ～ 1/{n･log(n)^2}
{1/log(n-1) - 2/log(n) + 1/log(n+1)} ～ 1/{n^2･log(n)^2}
これでもバーゼル以上の速度になる。
{1/log(n-2) - 4/log(n-1) + 6/log(n) - 4/log(n+1) + 1/log(n+2)} ～ 6/{n^4･log(n)^2}
参考書
一松 信「数値計算」至文堂 近代数学新書 (1963)
第3章, 第1節, §42. 級数求和法, p.164-167 >>164
正解です
>>139 のこちらで用意していた解答をあげます
f(z) = (e^(-iz)/log(z))/(1-e^(-2πiz)) と置き、
Cを虚軸に平行で点3/2を通る線分と半径m中心3/2の右半円を合わせた経路とすると
留数定理より
Σ[n=2,m+1] cos(n)/log(n) = Re∫[C] f(z)dz
右半円の積分はO(1/log(m))→0 (m→∞)
したがって
Σ[n=2,∞] cos(n)/log(n) = -Re∫[-∞,∞] f(3/2+iy)idy
= ∫[-∞,∞]Im(e^(-3i/2+y)/log(3/2+iy))/(1+e^(2πy)) dy
この積分は収束するので和も収束
この積分（急減少する解析関数のR上積分）は安直な近似で高精度になり
(出典:https://core.ac.uk/download/pdf/82501038.pdf)
∫[-∞,∞] f(3/2+iy) dy ≒ Σ[n=-n1,n2] f(3/2+inΔy)Δy
これを約13桁で近似するには大まかに
Δy≒π/(13log10)≒1/10, n1≒13log10/Δy≒300, n2≒13log10/(Δy(2π-1))≒57
と設定しwolfram先生に計算してもらうと
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%CE%A3%5Bn%3D-300%2C57%5D%28e%5E%28-3i%2F2%2Bn%2F10%29%2Flog%283%2F2%2Bi+n%2F10%29%29%2F%281%2Be%5E%282%CF%80n%2F10%29%29%2F10&;lang=ja
この虚部が近似値で
-1.342219510175
一方、実部はΣ[n=2,∞] sin(n)/log(n) の値に対応します
文献によるとy=sinh(t)で変数変換するとさらに精度がよくなって
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%CE%A3%5Bn%3D-220%2C153%5D%28e%5E%28-3i%2F2%2Bsinh%28n%2F40%29%29cosh%28n%2F40%29%2Flog%283%2F2%2Bi+sinh%28n%2F40%29%29%29%2F%281%2Be%5E%282%CF%80+sinh%28n%2F40%29%29%29%2F40&;lang=ja
虚部を取ると
-1.34221951017455809126131778428822570588391891536680437
最後の桁まで正しいことはΔy,n1,n2を少し変化させて数字が変わらないとで確認します まぁしかしやっぱり数値出す系での回答としてはやっぱり解答できてないやろ
本気で数値を必要な桁数出せって問題でたら
・正確な値出す式を作る
・その数値をだすための積分、関数を計算するためのライブラリ用意する
・そのライブラリの計算誤差がいくらかきちんと信頼できるソースで調べる
・出てきた誤差全部足し合わせて要求される値以下である事を示す
までやらなきゃ数学的には答えになってない いずれにせよ肝心要の計算は大先生に頼むしかない、というのが
面白い問題 大石進一(早大･理工) 編著：「精度保証付き数値計算の基礎」コロナ社 (2018)
311p．4950円
http://www.coronasha.co.jp/np/isbn/9784339028874/
(大意)
訳の分からない誤差を、拾い集めて暖め合おう～ (襟裳岬) いや、ホントに数学科で数値計算やってたやつなら自分でやるよ
大先生に頼んだらなんて許されるはずないからなw
俺も学生時代多倍長精度のライブラリ使って計算したりした事は練習程度ではある
で円周率いっぱい計算して遊んだりはした
今回のが難しいのは元のΣcos(n)/log(n)でやってしまうとちょっと工夫するだけではO(1/n^k) (k =1,2,3..)程度の誤差が出てしまう事
Euler-MaclaurinとかAbel-Planaとか使えばO(r^n)が出てきてやっと実用になる
しかしコレだと数値積分ライブラリも必要になってこいつが結構誤差出してくれる
しかも数値積分の理論ってかなり難しくてライブラリの機能100%使い切るのなんて専門家でないと無理なんだよな
大先生の数値積分のドキュメントも専門用語のオンパレードでわけわからん
長々説明あって結局どんだけの誤差出るんだかサッパリわからなかったりする k階階差をとったときの誤差が ～ O(1/n^k) ならkを大きくとればよい。
k=12 ぐらいにすれば n=10 項ぐらいになって、手で計算できるはず。
しかし実際は ～ O(k!/n^k) なので
nの上限が同程度なら、kを大きくとれないんだよな。。。 ハマり中
アーベルプラナの和公式なら
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%8A%E3%81%AE%E5%92%8C%E5%85%AC%E5%BC%8F
Integrate[x^2,{x,3/2,5/2}]+ I * Integrate[( (3/2+I*y)^(2)- (3/2-I*y)^(2) -(5/2+I*y)^(2)+(5/2-I*y)^(2))/(Exp[2*Pi*y] - 1), {y, 0, Infinity}]
↑これ4になるはずなのに4.25になるorz
何が違う？ わかった
前提条件満たしてないや
お騒がせしました イヤ違う、やっぱり
lim[y→∞] exp(-2πy)(x±y)^2 = 0 (3/2<x<5/2)
だからいけるはず
何がおかしいんだろ？ (1) (n次元)閉円盤は可算個の閉集合と、(n次元)ルベーグ測度におけるゼロ集合との非交和であることを証明せよ.
(2) 閉円板は可算個の閉集合の非交和か？ >>174
大先生は正解のようですね。(17/4)
a=3/2, b=5/2 として
∫[a, b] x^2 dx = (b^3-a^3)/3 = 49/12,
∫[0, ∞] y/(e^{2πy}-1) dy
= Σ[k=1, ∞] ∫[0, ∞] y e^{-2kπy} dy
= Σ[k=1, ∞] [ -(1+2kπy)/(2kπ)^2・e^{-2kπy} ](y=0,∞)
= Σ[k=1,∞] 1/(2kπ)^2
= (1/2π)^2 Σ[k=1,∞] 1/k^2
= (1/2π)^2 (π^2)/6
= 1/24, >>179
という事はやはりおかしいのはwikiの方？
どっかでa,bが整数出ないと成立してない話が混じってる？ >>173
Wikipediaが間違っている
正確なステートメントは以下の通り:
a,bが非整数の時:
Σ[n=ceil[a],floor[b]] f(n)
= ∫[a,b] f(x) dx
+ i∫[0,∞] {f(a+iy)/(E^(2πy-2πia)-1)-f(a-iy))/(E^(2πy+2πia)-1)}dy
- i∫[0,∞] {f(b+iy)/(E^(2πy-2πib)-1)-f(b-iy))/(E^(2πy+2πib)-1)}dy
Wikiの誤りの原因は、
証明のaまたはbだけずらすときに分母の処理が抜け落ちていることにある >>181
ありがとう
とりあえず今晩間違い探ししてみるよ 次のような図を考える。
http://www.creative-hive.com/creativehive/uploader/uploader.cgi?mode=downld&;no=4861
円弧に対応する円は同一である必要はなく、端点ＡＣで図のようになっていればいい。光線というのは図のようにＢから出ている３本の線である。
もし、領域、１，２，３に円が内接するならば、領域４にも円が内接することを示せ。 >>183
一般に2円Γ1,Γ2が異なる2点A,Bで交わるとし、CがΓ1に内接しΓ2に外接するとする
直線ABの距離d(C)と半径をr(C)とするときr(C)/d(C)は定数である
問題の図においてACを通る３つの円をうちから順にΓ1,Γ2,Γ3としBから出ている３つの半直線を左から順にl,m,nとする
mに接しΓ2に接し、Γ1に外接、またはΓ3に内接する領域1,2,3,4にある円をC1,C2,c3C3,C4とする
関数d,rを前段の議論のそれとする
前段の議論により
r(C1)/d(C1)=r(C2)/r(C2)
r(C3)/d(C3)=r(C4)/r(C4)
である
また
C1とC3の共通外接戦の交点が直線AC上⇔r(C1)/d(C1)=r(C3)/r(C3)
C2とC4の共通外接戦の交点が直線AC上⇔r(C2)/d(C2)=r(C4)/r(C4)
である
以上で示された >>184
天下り式で何を言ってるか分からない。本問は、図から明らかに初等幾何の問題である。そして、定理の示し方は一般的に見当がつかず
恐ろしく難解なものになると考えられる。これを想定して上の解答を読むと様々なことが天下り式ないし、参考書の引き写しのように書いてあり
認められない サイコロのようなものがあり、２６回振ったところ、６つの面がそれぞれ、
４，５，４，２，７，４回出た。
１／６づつ出るはずと考えると、４回か５回あたりが妥当な回数だが、
２回とか７回とかの面もある。
このサイコロのようなものは、歪んでいると考えるべきか、
それとも、歪んでなくても十分起こりえる範囲と考えるべきか？
そして、なぜこれが「面白い問題」スレに出されたか考えて欲しい。
（これこそが面白いはず。） >>185
>>183
一般に2円Γ1,Γ2が異なる2点A,Bで交わるとし、CがΓ1に内接しΓ2に外接するとする
直線ABの距離d(C)と半径をr(C)とするときr(C)/d(C)は定数である
∵) Cの中心をP(C)、Γiの中心をFi、半径をri、P(C)とFiの距離をfi(C)とおく
r(C)+f1(C) = r1‥①
r2+f2(C)=r(C)によりf1(C)+f2(C)=r1+r2であるからP(C)の軌跡は楕円の一部をなす
P(C)から準線までの距離h(C)。離心率をeとするとf1(C)=e h(C)である
このh(C)はd(C)の一次式だからf1(C)=a d(C) + bとおける
①に代入して
r(C)=-ad(C)-b + r1
となる
C→Aの極限においてr→0、d→0であるから定数項は0でありr(C)はd(C)に比例する >>187
それは初等幾何の範囲で定理として認められているのか 共通外接線の観点は初等幾何の王であり、本件の問題が共通外接線の類題であることから共通外接線に着目するのは自然といえるが
共通外接線の性質を知らないものにはきついし、また上の説明では共通外接線の性質だけからの証明になってなくて 論理飛躍した定理を用いている
>>188
認められてない
しかしある程度以上の力のある人間なら主張を買いとけば証明自体は自然な流れでできてしまうので“容易に示せる”で許してもらえるレベル
読者層のレベルによる 上の比例定理を証明できるかはどうでもよく、この問題を見たときにこの比例定理を思いつくこと自体が困難だから 解答として美しいとは言えない
他方共通外接線は初等幾何の中心だし、本問の図には共通外接線があるから、そこから証明できればいいが、上では、できていない
また本問のような問題に対し、解答の分量が少なく、バランスも悪い >>190
その人、本人のレベルが恐ろしく低いくせに、自分が理解できないことは絶対認めないマンだから相手にしたらダメなやつだぞ。
なんせ分量で判断するくらいだからw >>192
本人のレベルが恐ろしく高い場合には、 そのことしか理解できない ないし できない奴ぐらいしか今の日本には残っていないからどうでもいい
例えば昭和はともかく 平成時代は、 数オリなら数オリで、それでは金がとれるが数オリのことしか分からないとか、そんな奴ばかりだった
それに昭和は腐ったから否定されたしな >>102
まぁもうこの問題終わったし描く事もないな >>184
初等幾何の問題は通常 小中高等学校生に教えるところだが、この比例定理は、普通、小中高校生が自然に問題を検討して思いつくものではないから
解答としては華麗にすぎ、数十分程度で思いつくものではない
またくそつまらないので、この問題の模範解答の場所はアップしないが 模範解答では もっと華麗に解いている 幾何学のもっとも美しい問題で、数オリに出るようなものは、 何か簡単な点を Introduceすることを思いつけば簡単に解けるとか、ユークリッドの公理
つまり角度の関係だけで解ける 補助線 補助円を多く作成することにより解く、 もっとも驚異的な場合であっても レンマ（補題）を作ることが要請される
ことからすると、この問題は終わったとは言えないだろう。 模範解答では、 この問題を解くために、 レンマ＝補題を３つ作成しているし、
本問を本格的に解くのは難しい
それから上の解答ではまず解答になっているかどうかも検証されていない このスレってプロおじの影に隠れてるけどやばいやつ結構いるよな キチガイが多すぎてまともな数学徒がみんないなくなってしまったスレ >>186
問題的にはχ二乗検定で解けるんよね？
何が面白いのか分からないから教えて欲しい >>184
この証明は何を言っているのか分からないし 俺が見た模範解答では、もっと長い議論をしていたし、補題 （ ちなみにレンマを作る作業というのは
数学的に重要とされている ） も３つあったから、本件の定理は、定理自体が極めて美しいのに対して、その証明には根気がいるから
この問題はそんなに簡単ではない。それからこの定理は非常に美しくそれが分からないとかクソ >>197
やばいっていうか基本、数学はキチガイじゃないとムリだからな
昭和時代にガチでやっていた奴らは、 刑務所の工場みたいなところで働いて超集中してみんなでやって盛り上がっていた真夏
しかしそんなものは３５年以上前に流行り廃れたんだよ >>200
そうですね。
「何が面白いのか」はちょっと保留させていただいて、
次のような場合だったら、回答はどうなるだろうか。
実は、６面の内、望ましい面が一つと、望ましくない面が一つあったとする。
２６回振った内、各面が出た回数は、
４，５，４，２，７，４
で同じだが、２回しか出なかった面は、望ましくない面で、
７回出た面は、望ましい面だったとする。
つまり、望ましくない面は少なく、望ましい面は多く出て出ていたとする。
この場合、「サイコロのようなもの」には何らかの細工が施されていると考えるべきか
それとも、歪みが無くても十分起こりえる範囲と考えるべきか？ 正7角形a0a1a2a3a4a5a6を考える
直線a3a4と直線a1a6の距離をg
直線a3a4と直線a2a5の距離をh
としたとき
この正7角形の面積が√7ghとなることを示せ >>43
の用意してた解答をうp
>>86の論文よめば書いてあるんだけど
せっかく用意してたので
定理
VがRベクトル空間で写像F,G: R×V→V(注 線形とかではないただの射像)について二項演算
(a,x)⊕(b,y)=(a+b,x+y+F(a,b))
(a,x)⊗(b,y)=(ab,bx+ay+G(x,y)
がR×V上に単位元を持つ可換環の構造を与えるとする
この時写像f:R→Vで
F(a,b)=f(a)+f(b)-f(a+b)
G(a,b)=bf(a)+af(b)-f(ab)
を満たすものが取れる
自然な射影をπ:R×V→Rとする
主張は環準同型φ:R→R×VでπφがRの恒等写像でさらに関数R→Vでφ(a)=(a,-f(a))とかけるものが存在する事と同値である
Rの部分環Sと関数f:S→Vの組みで
・φ(a)=(a,-f(a))とおくときφは環準同型となる
ものの全体に制限で順序を入れると帰納的順序となるからZornの補題により極大元(S,f)が取れる
S≠Rとして矛盾を導く
φを上記のようにとる
R＼Sの元rを選び多項式環S[t]からRへの準同型ψをψ(t)=rとするとき、rをうまく選定すればkerψが0か、単項イデアルであるように取れる 続き
実際rがS上超越的ならkerψ=0である
Sの全商体KにおいてがR/K代数的で非自明ならrをS上モニックであるようにとればよい
R=Kとする
仮定によりK≠Sである
よってSは非可逆元aを持つ
そこでr=1/aとおく
kerψが(at-1)で生成される事を示す
P(t)がkerψの元とすると多項式Q(t)∈K[t]をP(t)=(at-1)Q(t)を満たすように取れるが定数項から順に係数比較してQ(t)∈S[t]となり主張が示された
以上によりkerψが単項生成となるようにrが選出できるとわかった
次にx∈Vを取るとき準同型ψx(a):S[t]→R×Vをψx(a) = φ(a)、ψx(t)=(r,x)で定められるものとする
xをうまく選定すればkerψ⊂ketψxとできる事を示す
まず帰納的に任意のP(t)∈S[t]に対しy∈Vを任意のxに対し
ψx(P(t)) = (P(r), P'(r)x + y)
を満たすようにとれる事を示す
degPが定数aならy = -f(a)ととればよい
P(t)=tQ(t)+aとかけるときy∈Vを
ψx((P(t))
=(r,x)⊗(P(r),P'(r)x+a)⊕(a,-f(a))
=(rP(r)+a, P(r)x + rP'(r)x+y+G(r,P(r)) -f(a) +F(rP(r),a) )
が成立するようにとれるから主張は示された
そこでP(t)をkerψの生成元とするときy∈Vを上記の性質を満たすように選ぶときP'(r)x=-yとなるxを選べばよいが、今Sは標数0の体の部分環だからP'(r)≠0によりコレは可能である
以上によりxの選定が終わった
結局kerψ⊂kerψxであるから自然な準同型S[t]/kerψ→S[t]/kerψxが引き起こされ、さらに自然な同型S[t]/kerψ→S[r]と準同型S[t]/kerψx→R×Vによりφの拡張が得られたから矛盾を得る >>205
の話が面白いのはこの話誰がどう見てもかなり抽象度の高い話であんまり使い所なさそうな話なのに、この話をうまく使ってSydlerの定理(Dehnの定理の逆)
定理
多面体が切り貼り同値であるのはその体積とDehn不変量が等しいそのときである
を示して見せた事
しかも使い方がめっちゃ素晴らしく(定理をうまく2回使う)ちょっと感動ものでした
興味ある人は挑戦してみて下さい 何をもって面白いというのか分からない
あえて面白いというなら、研究以来 ２０００年を経過した初等幾何学において、２１世紀を過ぎてもまだ次のような珍しい問題があった
三角形ABCの外接円をωとする。ωに接線Ｌが接している。辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡを軸にＬを対称移動させてできる線で囲まれる三角形の外接円をΛとする。
ωとΛは接することを示せ。 >>204
面白くない解答
g = cos(2π/7) - cos(6π/7)
= 2sin(2π/7)sin(4π/7) (和積公式)
= 2sin(2π/7)sin(3π/7),
h = cos(4π/7) - cos(6π/7)
= 2sin(π/7)sin(5π/7) (和積公式)
= 2sin(π/7)sin(2π/7),
gh = (1/2)sin(2π/7){8sin(π/7)sin(2π/7)sin(3π/7)}
= (1/2)(√7)sin(2π/7),
S = 7sin(π/7)cos(π/7)
= (7/2)sin(2π/7)
= (√7)gh, Π[k=1,n-1] {2sin(kπ/n)} = n, >>209
ある瞬間には犬で、次の瞬間には猫になっている動物
という可能性もある(?)
その辺の気まずさは、一般化学の教科書をのぞいてみるとよく分かる。
北アメリカで評判の高い教科書の１つには次のような調子の説明がある。
"Ｏ_3の実際の電子構造は 図1.7の (Ⅱ) にも (Ⅲ) にも対応せず、この2つ
の構造の中間の共鳴混成 (resonance hybrid) と呼ばれる電子構造を持っている。
共鳴という言葉が使われたのはまことに不幸なことで、そのためにＯ_3の電子構
造が実際に (Ⅱ) になったり (Ⅲ) になったりしているのだと思い込む人がある
が、これは正しくない。もし、かりに、犬と猫のあいの子ができたとすると、
それは両親の特性が混じりあった動物になり、ある瞬間には犬で、次の瞬間には
猫になっているわけではない。"
これでは初学者の頭はますます混乱するばかりだろう。 (後略)
･出 典
藤永 茂：「入門 分子軌道法」講談社ｻｲｴﾝﾃｨﾌｨｸ (1990) §1.3 フタを開けたら犬になってた(!)
シュレディンガーもそこまでは考えなかったのでは？ >>216
その理屈はおかしい。
キメラやウナギイヌでさえ
広義では犬である。 前>>107
>>204
直感で言って√7ghにはならない。
gh√7か(√7)ghだと思う。
正七角形の一辺の長さをaとすると、
△a1a2a3=△a2a3a4=ah/2
△a1a3a4=ag/2
正七角形の面積Sは、
S=ah+ag+△a0a3a4
=a(h+g)+a√｛(g^2/h^2)a^2-a^2/4｝
=a(h+g)+a^2√(g^2/h^2-1/4)
等脚台形a1a2a3a4=等脚台形a2a3a4a5
=△a1a2a3+a1a3a4=h(a+a2a5)/2=h(a+a1a4)/2
=ah/2+ag/2=h(a+a2a5)=h(a+a1a4)
ag=ha1a4=ha2a5
ここまでまあまぁおもしろかった。 >>218
お前キメラ見て
「あ！犬だ！」ってなるのかよ >>187
r2+r(C)=f2(C) ね 外接してるし
r1=r(C)+f1(C)と足し合わせてf1(C)+f2(C)=r1+r2だからその後には影響しない
後半は初等幾何っぽくないけど
楕円であることを利用して
準線をABと平行にΓ1側奥にとって
焦点からの距離と準線からの距離の比が一定
f1(C)= e(1/e*r1-d(C))
(C->Aのときf1(C)=r1であることを用いた)
①に代入してr1=r(C)+e(1/e*r1-d(C))
変形してe*d(C)=r(C)
でどうかな この問題は共通外接線がみえているから共通外接線の性質から解くのが普通
それ以外の解法では普通分かるはずがないので、上のように唐突な定理を使っているのは論理的に考えてもおかしい
結論先に有りき、参考書の引き写しと言われても仕方がない >>210
「選挙は仏滅が避けられ、大安が好まれる」・・・(★)
みたいな話は聞いたことは無いでしょうか？
>>203で記した4,5,4,2,7,4 という数字(※)は、戦後行われた26回の衆議院選挙の投票日を、
先勝,友引,先負,仏滅,大安,赤口 で分類すると、それぞれ何回あったかを整理したものです。
仏滅が２回で大安が７回、他は４回か５回ということです。
★は当たっていそうに見えますが、カイ二乗検定では作為を認定できないと思います。
>>何が面白いのか教えてくれ
★は正しそうだが、そうとは断定できない。★を正しいと示す何らかの方法は無いか？
あるいは、そもそも★は正しくないのか？．．．このあたりの考察を楽しんで欲しかったということです。
先入観を排除して欲しかったため、選挙や六曜のことは伏せ、「サイコロのようなもの」と表現しました。
※参照 2021/7/6 トラノモン ニュース さすがに別人が出題者装ってるだけでしょ
でなきゃこんな頭のおかしいことは書けない 約数をm個もつ正の整数のなかで最小のものをf(m)とすると、n以上の任意の正の整数xに対しf(x)≧f(n)となるnの条件を求めよ。 まぁ参考書の引き写しでもなんでもええわ
もちろんr(C)とd(C)の比率調べてみようとか自分一人では思いつけんかったかもしれん
それで構わん
残念ながら神様は俺には大した才能を与えてはくれはらんかったからな
しかし俺には偉大な先人の残してくれた山ほどの遺産がある
うぉすげぇ、なんでこんな事思いつけるんやだけの連続
多分それで俺の数学人生は終わり
しかしそれで構わん
美しい定理に出会えればそれでいい
それが自分が発見したものかどうかなんぞどうでもいい 余裕のない日本で数学をすること自体がそもそもおかしいわけだ
フェルマーの最終定理のように、証明に４００年かかるものに携わるだけでも世間的にみたら論外だろう
経済中心の日本の考え方からしたら本当に数学をするなど、ありえず、そんなのをしているのは無期懲役囚くらいになるわけだ
大体２ちゃんのスレッドには 分かりません 解けませんという正直な解答がないからね
むかし、ニコニコ動画で 数学オリンピックに出たアメリカ人、中国人出場者および、リーダーの動画があったが
驚異的に難しい問題に対して、出場者は 「この問題は・・・、ちっ、解けなかったよ」と正直に言っていた、更に「お手上げだ」とかなんとか
数学にはそういう種類の問題がある、つまり、 こんなものは無理だ、手が届かない、というのもあるんだよ
だからこそ数学はやばい 数学の定理は、 偉大であるだけでなく、 驚異的に美しいものを含むからこそ 更に手が届かない むろん 数学の定理だけでなく一般に自然科学の法則を発見することは全て偉大であり その真理を踏まえて美に至ることはエレガントである
しかし、そんな偉い人は昔はいたが今の日本には残っていないし 尊敬されるようなものではない
そして参考書などの引き写しなら容易だが、 数オリに出題予定だった 上の円の問題は 驚異的な難問に属する
模範解答では、 補題＝レンマという一般に設定するのが困難な定理を構築して証明しているし、別証明では、 円錐を交差させて平面と交わる図形を考察する
などの離れ業をやってのけている >>218
犬だったのか。
28日は土用の丑らしいけど、
ウナギ高いからウナギイヌ食うってワケにはいかねぇんだなー んなやらそうな事言うほど努力なんぞしたことないやろが >>186
https://i.imgur.com/82wmZnV.png
二項分布B(26,1/6)の95%信頼区間を連続関数化して計算すると
0.777089 8.029034
となるので、
歪んでなくても十分起こりえる範囲と考えるべき というのが俺の結論。 サイコロを２回振ったらどちらも１の目がでた。
この確率は1/6*1/6=0.02777で0.05未満なので、このサイコロは歪である。
サイコロを２回振ったら１，２と目が続いた。
この確率は1/6*1/6=0.02777で0.05未満なので、このサイコロは歪である。
サイコロを２回振ったら１，３と目が続いた。
この確率は1/6*1/6=0.02777で0.05未満なので、このサイコロは歪である。
以下、同様。
この世の中には歪なサイコロしか存在しない。
∴示された 前>>219
>>204
正七角形の面積Sは、
S=ah+ag+a√(g^2/h^2-1/4)
ピタゴラスの定理より、
a^2/4+g(1+g^2/h^2)=a^2g^2/h^2
これで出るかなぁ？
余弦定理だとgとhの関係しか出そうにないし。
a^2(g^2/h^2-1/4)=g(1+g^2/h^2)
a^2=(4gh^2+4g^3)/(4g^2-h^2)
S=(g+h)√｛(4gh^2+4g^3)/(4g^2-h^2)｝
+ √｛(4gh^2+4g^3)/(4g^2-h^2)｝√(g^2/h^2-1/4)
= (g+h)√｛(4gh^2+4g^3)/(4g^2-h^2)｝
+ √｛(4gh^2+4g^3)/(4h^2)｝
=(g+h)√｛(4gh^2+4g^3)/(4g^2-h^2)｝
+ √(gh^2+g^3)/h
これを通分して計算したら=gh√7になるってことか。 頑張って解こうと思ってもらえる問題出せるのも一つの才能 >>204
作図の練習
https://i.imgur.com/0SnC9N9.png
作図できたら長さや面積は計算できるので
> (g=abs(b34-b16))
[1] 1.756759
> (h=abs(b34-b25))
[1] 0.7818315
> sqrt(7)*g*h
[1] 3.633912
1辺の長さが１の正７角形の面積は
> 2*ABC2S(a[4],a[5],a[6])+2*ABC2S(a[4],a[6],p[7])+ABC2S(a[4],p[7],a[1])
[1] 3.633912
検算終了。 >>237
正七角柱の両底面に正七角錐をくっつけた立体の寸法を調整したらなんとかできそう えんぴつサイコロ方式で
細長い正二十一角柱でええやろ サイコロを振って最初から１の目が何回連続してでたら、このサイコロは歪（いびつ）といえるか？
適宜、歪の定義を定めて検討せよ。
例：１のでる確率をpとしてpの95%信頼区間が1/7<p<1/5であれば歪ではない、と定義する。 ・球に外接する多面体
・重心と外心が一致する
・重心における各面の立体角が等しい
この条件で等確率サイコロ作れる？ >>247
まだ条件が足りない
その条件だと切頂二十面体(正五角形と正六角形でできたサッカーボールみたいなやつ)も当てはまるが
実際には正六角形の面がやや出やすい ちなみにWikipediaを見ると120面体の等確率サイコロはあるね 丸い角が出てもいいなら
球を重心が等しくなるように切断面が円になるようにn個の平面で切断するとかはどう？ 実数論の公理で、 a≧a (反射律）っていうのがありますが、 何が反射しているんですか？
それからなぜ a=aではなく 上にa>aがひっついているんですか？ a＞aは成立しないのでは？ 正n角錐を2つ用意して底面をくっつけて、2n個ある面に2面ずつ1～nの数字を割り振れば等確率サイコロにならないかな？ 半径r 高さ2r の円柱を用意する。
上から円錐を円柱の中心点めがけて作りくり抜く。
次に下からも同じように円錐をくり抜く。
こうするとの残った部分の体積は
半径r の球の体積と等しい。
ふしぎ！ 前>>239つづき。
>>240俺一人だけ解こうとしてるよね。
S=(g+h)√｛(4gh^2+4g^3)/(4g^2-h^2)｝ + √(gh^2+g^3)/h
=｛h(g+h) √(4gh^2+4g^3)+√(gh^2+g^3)(4g^2-h^2)｝/h√ (4g^2-h^2)
=｛h(g+h) √(4gh^2+4g^3)+√(4g^3h^2+4g^5-gh^4-g^3h^2)｝/h√ (4g^2-h^2)
=｛2h(g+h) √(gh^2+g^3)+√(4g^5+3g^3h^2-gh^4)｝/h√ (4g^2-h^2)
=｛2h(g+h) √(gh^2+g^3)+√(4g^2-h^2)(g^3+gh^2)｝/h√ (4g^2-h^2)
=｛2h(g+h) √(gh^2+g^3)｝/h√ (4g^2-h^2)+｛√(4g^2-h^2)(g^3+gh^2)｝/h√ (4g^2-h^2)
=｛2(g+h) √(gh^2+g^3)｝/√ (4g^2-h^2)+√(g^3+gh^2)/h
これ以上簡単にはならんなぁ。 >>250
丸い角有りなら正n角柱の端を丸める方が楽かと >>252
その手法は投げ方に依るとしか言えない
投げるというのがどの方向に回転がかかるのかで変わる コインを1回だけ投げ、表が出たら10人に、裏が出たら10000人に次のようなメールが届くことになっている。
「このメールを受け取った人間のうち無作為に選ばれた1人に、3日後に100万円をプレゼントします。」
あなたのもとにこのメールが届いて、3日後に運営から100万円もらえたとする。
このときコインが表だった条件付き確率を求めよ。 >>242
おい尿瓶クソジジイ
何が練習だよ、お前なんかいらないからさっさと消えろ >>258
既に答がでているけど、計算式は
> # P[H|M]=P[M|H]P[H]/P[M|H]P[H]+P[M|!H]P[!H]
> (1/10)*(1/2)/((1/10)*(1/2)+(1/10000)*(1/2)) |> MASS::fractions()
[1] 1000/1001 >>260
尿瓶洗浄係に送る尿瓶洗浄ネタ問題
職種を言わない医療従事者が尿瓶洗浄係であるかを調べるために次のような試験を行った。
コインを投げて表がでたら「尿瓶洗浄係です」「尿瓶洗浄係ではありません」のどちらかを正直に答える。
コインを投げて裏がでたら尿瓶洗浄係か否かに関わらず「尿瓶洗浄係です」と答える。
罵倒厨にこの試験をしたところ「尿瓶洗浄係です」と答えた。
試験に使われたコインを調査したところ１000回投げると表が777回でた。
罵倒厨が尿瓶洗浄である確率の95%信頼区間を求めよ。 >>262
これのパクリか？
尿瓶に「あなたは尿瓶洗浄係ですか」という質問を五回する。ただし、
尿瓶は、「はい」か「いいえ」と答える前にさいころを振り
1 または2の目が出たときは正直に答え、3または4の目が出たときは うその答えを言い、
5または6の目が出たときは1/2の確率で正直に答えるものとする。
(1) 尿瓶が尿瓶洗浄係のとき、「はい」と答える回数が3である確率を求めよ。
(2) 「はい」と答える回数が3であるとき、尿瓶が尿瓶洗浄係である確率を求めよ。 >>254
高さzの水平面で切った断面積を考える。(-r≦z≦r)
(円柱) - (円錐) = πr^2 - πz^2 = π(r^2 -z^2) = (球)
カヴァリエリのパスタ >>258に引っかかっている人が多いが答えは1/2だ
なぜなら数ある対象の中から10人に選ばれてから1人に選ばれるのと、10000人に選ばれてから1人に選ばれるのは
結局1人だけを選ぶことになるので同じ確率だからだ
最初にメールが届いた時点で、10000人にメールが送られた確率は10人に送られた確率の1000倍高く
その後自分が当選した時点で10人に入っている確率の方が1000倍高いので、相殺されてトントンになる >>265
円柱に限らずに成立するんか？
三角柱や四角柱(立方体)、六角柱でも
くり抜いたらああいう立体
(プリズム2つをくっつけた立体)が出来るんか？ >>258
[表]/[裏]→0、の極限を考えてみれば答えは明らか >>264
今回は事前確率分布を設定する必要があるからちょっと違うね。 各成分が整数で、どの列どの行の和もNであるようなN×N行列の行列式はN^2の倍数になることを示せ 尿瓶とそれに構うやつらのせいでまた問題が流れる
構うにしても短文で構えと言いたい >>262
本人が正直に答えにくい事項の調査には有効な方法である。
〇〇したことがありますか？という調査に
コインを投げて表がでたか裏がでたかは調査を受ける人しか知らない。
表がでたら「〇〇したことはあります」「〇〇したことはありません」のどちらかを正直に答える。
裏がでたら〇〇したことがあるかどうかとは無関係に「〇〇したことがあります」と答える。
「〇〇したことがあります」と答えたときに、〇〇したことがある確率を求めよ、という問題。
〇〇には尿瓶洗浄のほかに、カンニングとかヤリ逃げとかsodomyとか、いろいろ応用が効くｗ
当然ながら、事前確率分布によって事後確率分布は影響を受ける。
職種を言わない医療従事者が尿瓶洗浄である確率は限りなく１に近いと思う。
ライセンスを持って仕事をしていたら、ちゃんと臨床検査技師とか視能訓練士とか名乗るのが普通。
まあ、百歩譲って尿瓶洗浄である確率を一様分布として計算。
コインの表がでる確率も777/1000でこれも二項分布に従っての値と想定して計算に組み込むと( ・∀・)ｲｲ!! >>186 >>200の出題者として、コメントしておきます。
186の設定では、出目のばらつき具合が重要でカイ二乗検定がふさわしい。
しかし、200の設定では、次のように問題を読み替えます。
大安:+1、仏滅:-1、その他:0 とポイントを与える事とします。
{1,-1,0,0,0,0}という数字が書かれたサイコロを26回振ったところ、
ポイントの合計が5になった。サイコロに細工はあるか？
「出目の合計が5以上になる確率」は、
Sum[Coefficient[((x+1/x+4)/6)^26,x,k],{k,5,26}]
等で計算でき、 0.0622798... という値を取ります。
0.05未満だったら、「細工ありと考えられる」等と言えるのですが、微妙な値で
「断言するには到らないが極めて疑わしい」とか、「危険度6.2%で細工があると言える」等が妥当。
もし、次の選挙が大安に行われたら、27回振りでポイント6以上を取る確率=0.0302521...
なので、茶を濁さず言えるような問題になりかわります。 >>266
シミュレーション結果は
sim=\(n10=10,n10000=10000){
money=FALSE # 賞金獲得有無の初期値
while(money==FALSE){ # 賞金獲得まで繰り返す
coin=rbinom(1,1,1/2) # 1:表 0:裏
mail=ifelse(coin==1,n10,n10000) # 表なら10 裏なら10000
money=sample(mail,1)==1 # mailから１つ選んで1なら賞金獲得
}
return(coin) # 1:表 0:裏を返す
}
replicate(1e6,sim()) |> mean()
> replicate(1e6,sim()) |> mean()
[1] 0.998983
で
> 1000/1001
[1] 0.999001
を支持する。 >>274
エントリーに５以下の数値があるとカイ二乗検定はあてにならないから使うなと習った覚えがあるんだが。 スレタイ読めないどころか架空の職業を得意顔で語る尿瓶ジジイ() もう一度>>258について説明するが
コインの表が出たら10人に、裏が出たら10000人にメールが送られるんだから
そのメールが自分に届いたということは、まず10人じゃなくて10000人に送られている可能性が高いわけよ
この時点での表であった条件つき確率は1/1001
その後100万円が当選したということは可能性は次の2通り
(i) 1/2で表が出て、メールを送る対象者10人に選ばれて、さらに1/10に当選した
(ii) 1/2で裏が出て、メールを送る対象者10000人に選ばれて、さらに1/10000に当選した
メールを送る対象人数をxとすれば
(i)が起こる確率は1/2*10/x*1/10=1/2x
(ii)が起こる確率は1/2*10000/x*1/10000=1/2x
でどちらの確率も同じ
したがって表であった条件つき確率は1/2 f(x)は任意の実数xで連続な関数.
関数列{f_n(x)}を
f_1(x)=f(x),
f_n+1(x)=f(f_n(x)) (n=1,2,3,…)
で定義するとき,
命題
「lim[n→∞]f_n(x)=xならば任意の自然数nでf_n(x)=xである」
は正しいか？ あるaでf(a)=b(≠a)とするとlimf_n(b)→aになってしまう >>186
サイコロの各面のでる事前確率がDir(1,1,1,1,1,1）のディリクレ分布に従うと勝手に決める。
事後確率分布からカイ二乗検定でp値を算出（Yatesの補正つき）するとp値は
> summary(p)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000 0.1778 0.3859 0.4169 0.6345 1.0000
このこのサイコロのようなものは、歪んでいる確率は、危険率5%とすると
> mean(p<0.05)
[1] 0.080774 >「出目の合計が5以上になる確率」
出目の合計が5になる確率より、小さいのは合計が-26から-6のときも該当するのではないでしょうか？
片側検定にする必然性はありますか？ >>281
仮定より
f(x) = lim(n→∞)f_n(f(x)) = lim(n→∞) f_(n+1)(x) = x. >>280
レスありがとうございました。
メールが送られる全候補者数は、表がでようが裏がでようが変わらないんだな。
そこを考慮してシミュレーションをデバッグ
（10000人だとシミュレーションに時間がかかるので、100人に減らしてメール送付候補者を1000人にした）
sim=\(n10=10,n10000=100,N=1000){ # N:メール送付候補者数
money=FALSE # 賞金獲得有無の初期値
while(money==FALSE){ # 賞金獲得まで繰り返す
coin=rbinom(1,1,1/2) # 1:表 0:裏
if(coin==1) mail=sample(N,n10) # 表なら全体からn10人選ぶ
else mail=sample(N,n10000) # 裏なら全体からn10000人選ぶ
money=sample(mail,1)==1 # mailから１つ選んで1なら賞金獲得
}
return(coin) # 1:表 0:裏を返す
}
1万回のシミュレーションで
> replicate(1e4,sim()) |> mean()
[1] 0.4989
仰せの通り、ほぼ1/2になりました。 >>274
サイコロの各面の出る確率の95%信頼区間が1/6-1/12 < p < 1/6+1/12を満たすときに
サイコロは歪んでいない、と定義する。（即ち、信頼区間幅を1/6に設定）
この条件を満たすディリクレ分布のパラメータの最小値を計算すると12.233が得られる
Dir(12.233,12.233,12.233,12.233,12.233,12.233)に従う乱数を100万個を使って
{1,-1,0,0,0,0}という数字が書かれたサイコロを26回振るシミュレーションを行って
ポイントの合計を出すと
https://i.imgur.com/RKNOQeO.png
ポイント合計値の95%信頼区間は-3.4～3.4なので
合計が5になるサイコロは歪んでいると結論できる。
各面のでる確率の95%信頼区間幅を1/4まで許容するなら
ポイント合計値の95%信頼区間は-5.3～5.3になるので
このサイコロは歪んでいないという結論になる。 >>286
両直線とも原点を通るから、求める直線を y=mx とおく。
↑a = (1,1)
↑b = (1,m)
↑c = (1,7)
とおくと
∠(a,b) = ∠(b,c)
cos∠(a,b) = cos∠(b,c)
|(a・b)|/|a| = |(b・c)|/|c|, (← 内積)
(1+m)/√2 = ±(1+7m)/√50,
5(1+m) = ±(1+7m),
m = 2, -1/2,
y = 2x と y = -x/2.
(別解)
2(m の傾角) = (1の傾角) + (7の傾角),
tanの倍角公式から
2m/(1-mm) = (1+7)/(1-1･7) = -4/3,
0 = 4(mm-1) - 6m = 2(m-2)(2m+1),
m = 2, -1/2,
y = 2x と y = -x/2. 二点間の距離の(-2)乗を「引力」と呼ぶ
一辺の長さ1の正方形の中に三点を置いたとき、引力の総和の最小値を求めよ. >>268
高さを2hとすれば
断面積が k(hh-zz) の形になるから、ある回転楕円体になる。
(プリズム2つをくっつけた立体) は出来ない。 一辺が (√2)(√3 - 1) = 1.03527618 の正△ のとき
(3/8)(√3 + 1)^2 = 2.7990381
大きすぎ… >>297
これは４になったから最小値じゃないな。 プログラムで探索させても２．５未満はみつからないなぁ。
g=\(x,y) 1/sum((x-y)^2)
G=2.5
while(G>=2.5){
x=runif(2)
y=runif(2)
z=runif(2)
G=g(x,y)+g(y,z)+g(z,x)
}
while loopから抜け出せないまま >>302
「有限体積内」だけならinfは0だな
例えばグラフy = e^(-x) を[0,∞)×[0,1]に制限した空間とか >>303
ちゃんとコンパクト集合と言わないと反例出てしまうか コンパクト領域だから最小値持つ
内点一個でもあれば極小足り得ない
全部外点
[0,1]×[0,[]とする
x座標の最小値が0でなければ極小でない
同様にxの最大値1、yの最小値0、yの最大値1
∴少なくとも一点隅
一点原点としてよい
残り2点は{1}×[0,1]と[0,1]×{1}
結局S(x,y)=1/[1+x^2)+1/(1+y)^2+1/((x-1)^2+(1-y)^2)の最小値求めればよい
x,y≠0,1で極値をとるとするとgrad=9によりx=yが必要
この時
S(x,x)=2/[1+x^2)+1/(2(x-1)^2の最小値求めればよい
コレは0<x<1で最小値もたない
よってy=0または1としてよい
y=oの時S(x,0)は凸関数だからx=1/2の時最小値13/5=2.6
y=1の時明らかにx=0の時最小値2.5 >>295
プリズムっていう言葉が悪かったわ。
柱を金太郎飴のようにスライスしていったのを
面積0からちょっとずつ大きくして1枚ずつ重ねた感じでいいんだよね。
つまり、N角形の錐 (三角錐やピラミッドやN角錐やコーン)を
上下に2つくっつけた形になる…であってるよね。 「科学理論の是非は
それが経験と合致するか否かによって
評価される」 (学院長) >>312
…錐だと (h-|z|)^2 に比例してしまい
hh-zz の形にならない… >>287◎
もしよかったら次のも考えてみて
f(x)は任意の実数xで微分可能な定数関数ではない関数.
関数列{f_n(x)}を
f_1(x)=f(x),
f_n+1(x)=f(f_n(x)) (n=1,2,3,…)
で定義するとき,
命題
「lim[n→∞]f_n(x)=f(x)ならば任意の自然数nでf_n(x)=xである」
は正しいか？ 尿瓶洗浄係＝職種の言えない医療従事者
開業医スレを荒らしに行って入院勧告を受けているのが尿瓶洗浄係。 >>316＝尿瓶＝証拠の出せない自称医者笑＝医者板にも数学板にも居場所がないゴミ笑 平面上に14点A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,Nがある。
A,B,Cはこの順にDを中心とする同一円上にあり、
E,B,Fはこの順にGを中心とする同一円上にあり、
H,I,J,K,L,Cはこの順にMを中心とする同一円上にある。また、
J,B,N,Mはこの順に同一線上にあり、
H,E,A,M,G,D,F,Cはこの順に同一線上にある。さらに、
JM=4NM, KI=KL, ∠MNC=4∠MNG, ∠JMC=∠MEI=∠MFL=2∠GNA=90° が成り立っている。
このとき、∠IKLの角度を求めよ。 尿瓶洗浄係がいないと診療所の経営もうまくいかないよ。
これを シビリアン・コントロール という。 【臨床問題】
当院では新入院患者には新型コロナウイルス抗原検査をすることになっている。
昨日、3人に抗原検査を行って全員陰性であったので一般病棟に入院となった。
抗原検査はPCR検査と比べて感度が低いことが知られている。
> 多くの抗原検査の感度は50%～90%の範囲に留まります。
https://www.aireikai.jp/news/detail.php?seq=178
ということなので
抗原検査の感度の最頻値を70%、95%信頼区間を50～90%とする。
3人のなかに新型コロナウイルス感染者が1人以上いる確率の中央値と95%信頼区間を求めよ。 【臨床問題】
某国から80人が飛行機で来日した。空港検疫での抗原検査で全員が陰性であった。
抗原検査の感度の最頻値を70%、95%信頼区間を50～90%とするとき
80人中に感染者が何人いるかを推定したい。
感染者数の中央値と95%信頼区間を求めよ。 >>321
応用問題
80人のうち過半数が感染している確率を求めよ。 尿瓶向け臨床問題
尿瓶に「あなたは尿瓶洗浄係ですか」という質問を五回する。ただし、
尿瓶は、「はい」か「いいえ」と答える前にさいころを振り
1 または2の目が出たときは正直に答え、3または4の目が出たときは うその答えを言い、
5または6の目が出たときは1/2の確率で正直に答えるものとする。
(1) 尿瓶が尿瓶洗浄係のとき、「はい」と答える回数が3である確率を求めよ。
(2) 「はい」と答える回数が3であるとき、尿瓶が尿瓶洗浄係である確率を求めよ。 >>315
ちょっとまどろっこしい方法かも…
287と同様にして f(f(x))=f(x).
ゆえに、x∈Im(f) ならば f(x)=x.
fは連続なので Im(f) は閉集合であり、
なおかつfは定数でないので Im(f) はある閉区間 [a,b] (a<b) を含む。
区間 [a,b] において常に f'(x)=1 なので、f の微分可能性より、
実数 t>b であって f(t)>f(b) を満たすものが存在。
同様に t<a であって f(t)<f(a) を満たすtの存在も言える。
以上の議論より、Im(f) は自身に含まれるどんな有界閉区間も含むので、Im(f) = R.
したがって、任意の実数 x について f(x)=x. fは連続なので Im(f) は閉集合であり
そんな事一般には言えんやろ しかし大筋はあってるな
imfは2点を含む
inf imf = a, sup imf = bとおいて以下同じ議論でa=-∞、b=∞を示せばいいな >>327
ああそうか一般には成り立たないなこれ
f(x)=x に意識が向きすぎてた、すまない
よく見たら他にも終盤の文言とかガバってるな
撤回したいけど大枠は >>328 の通りでいけそうなので、回答を完成させたい方はご参考になって
中途半端で申し訳ないけど自分は忙しくなるのでドロンしまつ Π[p:prime](p^3 + (-1)^(p%3))/(p^3 - (-1)^(p%3)) = 7/5 を示せ
ただしp%3はpを3で割った余りとする >>318 は ∠IKLの角度を求めるより
∠KMC と ∠KMH の比を求めよ、とかのほうが面白いかもしれんね >>325
違うね、感染からの期間によって抗原検査の陽性率が異なるから定数ではないね。
臨床やっていな奴にはわからないみたいだなぁ。 >>333
Π[p:prime](p^3 + (-1)^(p%3))/(p^3 - (-1)^(p%3))
=Π[p:prime](1 + (-1)^(p%3)p^(-3))^2/(1-p^(-6))
=(28/27)^2Π[p:prime](1 - (-1)^χ(3,2,p)p^(-3))^2/(1-p^(-6))
=(28/27)^2ζ(6)/L(3,2,3)
=(28)/(27)^2(π^6/945)/(4π^3/81√3)^2
= 7/5 まあ、キットのメーカーによってもバラツキがあるのは臨床医なら知っている。
コロナの検査をやったことのない尿瓶洗浄係は知らんだろうけどね。 あかん間違えた
>>339
アホ〜wwwwwwwwwwwww >>340
尿瓶洗浄係⇒キットのメーカーや感染からの期間によって感度が変わることを知らない
は正しいが
キットのメーカーや感染からの期間によって感度が変わることを知らない⇒尿瓶洗浄係
というわけではない。
後者が正しいなら、悠仁親王も尿瓶洗浄係ということになる。 >>342
抗原検査もPCR検査もやったことないだろ。
自動化されているから内視鏡やカテより全然簡単。
尿瓶洗浄係だと施行できる公的資格がないけどね。
職種の言えない医療従事者＝尿瓶洗浄係（罵倒厨の公理） 内視鏡の問題です
よろしくお願いいたします
尿瓶に「あなたは尿瓶洗浄係ですか」という質問を五回する。ただし、
尿瓶は、「はい」か「いいえ」と答える前にさいころを振り
1 または2の目が出たときは正直に答え、3または4の目が出たときは うその答えを言い、
5または6の目が出たときは1/2の確率で正直に答えるものとする。
(1) 尿瓶が尿瓶洗浄係のとき、「はい」と答える回数が3である確率を求めよ。
(2) 「はい」と答える回数が3であるとき、尿瓶が尿瓶洗浄係である確率を求めよ。 >>320
この計算問題はprevalenceを無視した実地臨床から乖離した数字遊びであることは臨床医やっていたらわかるが、
尿瓶洗浄が日常業務じゃ指摘できないだろうなぁ。
尚、感度や特異度が定数であるというのは妄想。
検査キットのバラツキ以外にも検体採取や試薬の取り扱いでバラツキがでるのは実地臨床やっていたらわかる。
例えば、粘稠な検体は偽陽性率が高いと報告されている。 >>348
臨床問題です
よろしくお願いします
尿瓶に「あなたは尿瓶洗浄係ですか」という質問を五回する。ただし、
尿瓶は、「はい」か「いいえ」と答える前にさいころを振り
1 または2の目が出たときは正直に答え、3または4の目が出たときは うその答えを言い、
5または6の目が出たときは1/2の確率で正直に答えるものとする。
(1) 尿瓶が尿瓶洗浄係のとき、「はい」と答える回数が3である確率を求めよ。
(2) 「はい」と答える回数が3であるとき、尿瓶が尿瓶洗浄係である確率を求めよ。 Π[p%3=1] (p^3 -1)/(p^3 +1)・Π[p%3≠1] (p^3 +1)/(p^3 -1)
Π[p%3=1] (1-p^{-3})^2 /(1-p^{-6})・Π[p%3≠1] (1+p^{-3})^2 /(1-p^{-6}) ,
Π[p：prime] 1/(1-p^{-6}) = Π[p：prime] Σ[k=0,∞] (p^{-6})^k = Σ[n=1,∞] n^{-6} = ζ(6),
まで分かった。あとは
Π[p%3=1] (1-p^{-3})・Π[p%3≠1] (1+p^{-3}) = 28 / (27√L(3,2,3)),
だけど… >>348おい尿瓶ジジイ
>>349にさっさと答えろよ こんなの見つけた
mathoverflow.net/questions/84812/values-of-dirichlet-l-funcions-at-natural-numbers >>348＝尿瓶ジジイってなんで数学板でもわざわざ自称医者に必死なんだろうな？
どうせ誰も信じてないから意味ないのに
必死になればなるほど胡散臭くなるって頭がないんだなw >>353
さんくす
(大意)
コンヴィニはファミマに吸収されたけど、JR吹田駅の方は健在らしい… >>349
さすが内視鏡問題
なかなか難しい
ポイントは
1,2が出たら正直、3,4が出たら嘘、5,6が出たら1/2で正直という条件にある
この問題では5,6が出た後、正直じゃなかった場合どうなるか設定されていない
嘘、無言、でたらめ、矛盾、奇声、全く設定されていないのでわからないが、少なくとも正直な発言をしないことは確か
つまり1/2で正直、1/3で嘘、残り1/6は正直以外の何か、である
(1)は簡単
1/2で「はい」、1/2でそれ以外のことをするので
(5C3)/(2^5)=10/32=5/16
(2)は条件付き確率だが
尿瓶洗浄係であるときに「はい」3回になる確率はさきほど見たように5/16
問題は尿瓶が尿瓶洗浄係でない場合
「はい」と答えるのは3,4が出た場合、あるいは5,6が出て1/2正直判定を免れた場合の可能性もある
したがって「はい」1回である確率は1/3≦p≦1/2でありそれ以上の絞り込みは不可能
「はい」3回になる確率を計算すると
(5C3)*p^3*(1-p)^2=10*p^3*(1-p)^2
p^3*(1-p)^2をqとおくと尿瓶洗浄係である条件付き確率は
(5/16)/(10q+5/16)=5/(160q+5)
1/3≦p≦1/2より
4/243≦q≦1/32
1/2≦5/(160q+5)≦243/371
以上の計算より尿瓶洗浄係である確率は1/2と243/371の間であり
それ以上絞り込むにはさらなる条件が必要である L(3,2,3)の値はL関数と特殊値とか知らなくてもBernoulli多項式のFourier級数表示でいけるみたいだな
Bn(x)=-2n!Σ[k:1〜]cos(2kπx-nπ/2)/(2kπ)^n
にn=3,x=1/3入れてB3(x)=x^3-3/2x^2+1/2xだから
1/27=12Σsin(2kπ/3)/(8k^3π^3)=3√3/(4π^3)L(3,2,3)
よりL(3,2,3)=4π^3/(81√3) Bernoulli多項式のFourier級数表示
ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%A4%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
wikiも貼れんのはどうなってんの？ 発熱外来に必要な臨床問題
新型コロナの蔓延している某国からの患者が発熱外来を受診した。
母国語しか喋れず病歴が全く不明であるため、この患者が新型コロナである検査前確率は一様分布を仮定する。
抗原検査キットの感度・特異度に関しては様々な報告がある。検体の粘稠度が高いと偽陽性がでやすいとも報告されている。
感度の最頻値0.7[95%信頼区間0.5-0.9],特異度の最頻値0.95[95%信頼区間0.9-0.99]とする。
この患者を検査したところ陰性であった。
(1)この患者が感染している確率の中央値と95%信頼区間を求めよ。
(2)この患者の感染確率が0.5以上であればPCR検査を追加することになっている。追加のPCR検査が必要となる確率を求めよ。 発熱外来に必要な臨床問題
尿瓶が発熱外来を受診した。
スレタイが読めず病歴が全く不明であるため、この患者が新型コロナである検査前確率は一様分布を仮定する。
尿検査キットの感度・特異度に関しては様々な報告がある。検体の粘稠度が高いと偽陽性がでやすいとも報告されている。
感度の最頻値0.7[95%信頼区間0.5-0.9],特異度の最頻値0.95[95%信頼区間0.9-0.99]とする。
この患者を検査したところ陰性であった。
尿瓶が尿瓶洗浄係である確率を求めよ >>354
医師が羨ましければ再受験でもすればいいのに。
同期には２割くらいが学卒再受験組だったな。
東大卒か京大卒。
当時は阪大医学部には学士入学制度があったから阪大卒はいなかった。
医師板で尿瓶洗浄係の再受験に関する投稿があったぞ。 尿瓶>>364が医者のこと羨ましいと思ってるだけだろw >>364おい尿瓶クソジジイ
>>362にさっさと答えろよ 医者である自分が羨ましがられているという妄想があるようだな 自分の居心地のいい妄想ワールドから抜けられなくなった人
もう戻れんやろな そんな尿瓶>>364に現実を教えてやろうとしてるのに恩知らずなジジイもいたもんだな
それともバカにつける薬ないのか？ 「シビニャン」ていうシビン形ネコのゆるキャラ作らない？ 無視するというのは、いてもいいという誤ったメッセージを送ることになるんだが そうだが3行くらいにとどめてくれないか
>>362みたいなレスは実質尿瓶がもう1人いるようなものだからな >>330
イメージが湧きずらかったので具体例をかくと
Im fが閉にならないのってf(x)=e^xとかだよね
問題の条件は満たさないけど
閉区間を含むことをちゃんと証明すると
fが定数関数でないことからf(x1)=a f(x2)=b a≠bとなるx1,x2 a,bが存在する
対称性からa<bとする
任意のc∈[a,b]にたいして平均値の定理からあるx3が存在してf(x3)=cよってc∈Im f
つまり[a,b]⊆Im f
ちなみに可微分という条件を外すと
fを0以下で0 1以上で1 0から1まではx
みたいな関数が可微分以外の条件をみたしちゃうから結構重要な条件っぽい
そしてf’が連続という条件を使わないとtを使った区間の延長ができない
ε-δからあるt>bがあってf’(t)はf’(b)±εの範囲に収まっているという条件を満たす
よってf(t)=f(b)+∫_b^t f’(x)dxよりf(t)>f(b)
そして条件よりf’(t)=1でなくてはならないので新しいbをtとして帰納的に拡張できる
(ただし厳密に言えばδの総和が有限になってしまわないかチェックしなくてはいけない
しかし定義域がRであることから矛盾が導ける)
以上からsup_x f(x)=∞
同様にinf_x f(x)=-∞
よってf(x)=x f'が存在すればいいやろ
a= inf imf, b = sup imf, b < ∞とすると
im f は異なる2点を含むからa<b
a< x<bに対してf(x)=xだから
f(b) = lim[x→b-0] f(x) = lim[x→b-0] x = b
さらに
lim[x→b-0]( f(x) -f(b))/( x-b )
= lim[x→b-0]( x - b )/( x-b ) = 1
一方でx>bのときf(x)≦f(b)であるから
lim[x→b+0]( f(x) -f(b))/( x-b )
≦lim[x→b+0]( f(b) - f(b) )/( x-b ) ≦ 0
で矛盾 自作です有名題だったらすみません。
n個の実数a[1],a[2],...,a[n].
1≦i≦nの任意のiについてb[i] = Σ(j:1→n) |a[i] - a[j]| とする(||は絶対値)。
b = min(b[i]) , B = max(b[i]) (1≦i≦n) とすると、
b/B ≧ n-1 を示せ。
a[1],a[2],...,a[n]を実数じゃなくて2次元以上の点に変えて||を距離にしても成り立ちそうだけど、証明が思いつくのは一次元だけでした。 >>378
b/B ≧ n-1
ではなく
b/B ≧ 1/(n-1)
でした。 b=b(i),B=b(k)とする
|ai-aj|+|ai-ak|≧|aj-ak|
だから
Bの各項|ak-aj|はb=b(i)より小さい
Bは(n-1)項あるので(n-1)b≧B 三角不等式を j=1,2,…,n (j≠k) でたすと
b + (n-2)|ai - ak| ≧ B,
|ai - ak| ≦ b ≦ B, 実数から実数への連続関数 f:R→R が任意の実数 x,y について
f(x+f(y)) = f(x) + f(y)
を満たす時、fを全て求めよ f(x) - x = g(x),
とおくと
g(x+f(y)) = g(x),
だけど… f=0は自明に解なのでf≠0とする
するとf(y)=c≠0なるyが存在する
f(x+c)=f(x)+cより
x=nc+ε, ε∈[0,c)のときf(x)=f(ε)+ncとなり
f(x)は(0,f(0))と(c,f(0)+c)を結ぶ連続関数を階段状に繋げたものになる
特にfは全射である
各xにおいてx=f(y)なるyを取れば
f(x)=f(0+f(y))=f(0)+f(y)=x+f(0) >>382
Gをimfで生成される加法群とする
f(x+g) = f(x)+g (∀g∈G)
よりGが稠密ならfは一次式
Gが稠密でなければG=aZとなるaがとれるが、このときimf⊂aZかつimfが連結よりfは定数
∴f(x)=ax+bとおける
与式に代入して(a,b)=(0,0),(1,any) >>384 >>385
正解です。
有名問題にこんなの無かったっけ？とか思いながら取り組んでみたけど、
連続性を仮定しないとどうにも進まなくなって、妥協でできた問題でした 連続性がなければもっといくらでも作れる
Rの可法群の部分群Gを任意に選んでR=∪(xi+G)をcosset decomp.とする
各xiに対してgi∈Gを好きに選んでおく
任意の実数はx=xi+g(g∈G)と一意に表されるから
f(x) = gi + g
と定める
x = xi + g、y = xj + h (g,h∈G)
の時
f(x+f(y))
= f( xi + g + gj + h )
= gi + g + gj + h
= f(x) + f(y)
で条件を満たしているとわかる ∫[0,∞](x^(-x) - (2x)^(-2x))/x dx を求めよ 肉の中心温度は75℃1分の加熱で大腸菌・サルモネラによる細菌性の食中毒予防になるという。
63℃30分加熱も同等の効果で、必要な加熱時間はf(t,z)=10^((75-t)/z)で算出できるとのこと。
zは細菌によって異なり、芽胞等を除けば5～8であるという。
https://foods-plus.jp/衛生管理/z6330/#6330-2
zに一様分布を仮定して、59℃（アクチンが変性せずミオシンのみ変性する温度の範囲）で加熱するときに
何分加熱すれば食中毒予防できるか？加熱時間の最頻値、中央値を求めよ。 前>>335
>>318
作図すると、
接弦定理が考えられるが、
可能性としては、
∠IKL=∠GNA=45° >>388
f(a)=-∫[0,∞](ax)^(-ax)(log(ax)+1)dx
とおく
この積分は容易に計算できてf(a)=1/aである
積分はaに関して局所一様に可積分だからaについて1〜Aで積分して
log(A)=∫[0,∞]((x)^(-x)-(Ax)^(-Ax))/xdx
である
(∵ d/da (ax)^(-ax))/xdx = -(ax)^(-ax)(log(ax)+1) ) >>394
正解です
この問題を解くための補題：
f(x)が微分可能で lim[x→0]f(x)=p, lim[x→∞]f(x)=q,
I=∫[0,∞](f(ax)-f(bx))/x が収束するなら
I=(p-q)log(b/a)
が成り立つ
例
∫[0,∞](e^(-ax) - e^(-bx))/x dx = log(b/a),
∫[0,∞]((1+2/x)^(-x) - (1+1/x)^(-2x))/x dx = (1-1/e^2)log(2) f'(x)になんの縛りなくても∫[0,∞] f'(tx)dx をt:a→bで積分してf[0,∞](f(bx)-f(ax))/xdxになる？
x→0,x→∞で収束しても途中で無限に揺れてて変な事起こりそうな気もする ∫sin(tx)/x dxのような場合はダメですね
とりあえず連続かつ絶対可積分関数で抑えられるという条件はいると思う 13個のベーグルがある
そのどんな12個をとっても重さの総和が等しい6個ずつに分けられるという
全てのベーグルは同じ重さである事を示せ それぞれの重さをmi(1≦i≦13)、全部の重さをSとする
S=mi+2(mi以外のあるmjたち6個の和)
という13個の連立式が成り立つが
これを表現する行列はmod2で単位行列であり特に正則
よって解はmi=S/13のみ 糞問投下
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 5 5 1
1 5 7 11 8 1
1 6 9 19 21 13 1
1 7 11 29 40 43 21 1
1 8 13 41 65 97 85 34 1
この三角形の規則を述べよ 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 5 8 13 21
1 3 5 11 21 43 85
1 4 7 19 40 97 117
1 5 9 29 65 181 441 不等式
∫_0^∞ x^(-x) dx ＜ 2
を証明せよ >>402
n行目
a_0 = a_1 = 1,
a_{m+1} = a_m + (n-1)a_{m-1},
1行目は a_m = 1,
2行目はフィボナッチ数だが… もういろいろとバレてるな
正確にはこういう数列
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1…
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…
1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341…
1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159…
1, 1, 5, 9, 29, 65, 181, 441, 1165, 2929…
1, 1, 6, 11, 41, 96, 301, 781, 2286, 6191…
1, 1, 7, 13, 55, 133, 463, 1261, 4039, 11605…
縦a個目、横b個目にあてはまる数は次式で表される
((1+√(4a-3))^b-((1-√(4a-3))^b)/(2^b*√(4a-3))
要するにフィボナッチ数列の一般項の√5部分を
√1, √5, √9, √13, √17…√(4k-3)…に置き換えて並べただけの話
たぶんTwitterで見かけたネタだったと思う
この数列はa=kのときに次の値をとる
1, 1, k+1, 2k+1, k²+3k+1, 3k²+4k+1, k³+6k²+5k+1, 4k³+10k²+6k+1, k⁴+10k³+15k²+7k+1, 5k⁴+20k³+21k²+8k+1,…
係数がパスカルの三角形を斜めに切断したものになることもわかるだろう 面倒な規則…
>>403
0<x<1 について
x = e^(-t) (t>0)
とおくと
x^(-x) dx = e^{-x･log(x)} dx
= Σ[k=1,∞] 1/{(k-1)!}・{-x･log(x)}^(k-1) dx
= Σ[k=1,∞] 1/(k!)・{-log(x)}^(k-1) d(x^k)
= Σ[k=1,∞] 1/(k^k)・(1/(k-1)!) t^(k-1) d(e^(-t))
=-Σ[k=1,∞] 1/(k^k)・(1/(k-1)!) t^(k-1) e^(-t) dt,
0<x<1 で積分して
∫[0,1] x^(-x) dx = Σ[k=1,∞] 1/(k^k)・(1/(k-1)!)∫[0,∞] t^(k-1) e^(-t) dt
= Σ[k=1,∞] 1/(k^k) ～ 1.291285997
< Σ[k=1,5] 1/(k^k) + Σ[k=6,∞] 1/(k^6)
= Σ[k=1,5] {1/(k^k) - 1/(k^6)} + ζ(6)
= Σ[k=1,5] {1/(k^k) - 1/(k^6)} + (π^6)/945
= 0.27395840 + 1.01734306
= 1.29130146
x>1 をどうするか (訂正)
0<x<1 について
x^ｋ = e^(-t) (t>0)
とおく。 10人を円形の広場の中に入れる
感染症対策のために、人と人との距離が最短でも1mになるように配置する必要がある
そのような配置が可能である円形の広場の面積の最小値はいくつか？
ただし、人は点とみなしてよいことにする >>389
自問自答（尿瓶洗浄係なら自演とかいうんだろなぁ）
一様分布乱数を発生させて分布をだすと
https://i.imgur.com/69s6xgA.png
肉を冷蔵庫から出して
(1)細菌が増殖しやすい5～55℃を短時間にして
(2)中心温度を57～60℃を数時間、維持する。
(1)はオーブンの最高出力にするとして、
何度になったら温度設定を60℃に落とせばいいかは試行錯誤。
55℃でやったら余熱で中心温度が70℃まで上がってしまった。
嫁からは好きにすればいいけど食中毒だけは避けろと言われている。
ビーフジャーキーは60℃で6時間で作った。
油は水より熱伝導が劣るようだから、これくらいの時間の方が安心だな。 >>398
こういうの面白いね！
ぜんっぜん分からないけど！ >>410
1辺の長さが１の正10角形の外接円の面積を計算すると
> pi*r^2
[1] 8.224796 それなら正9角形にして真ん中に1人配置すれば、もう少し小さく出来ちゃう 内側2人にして外側を少し口の開いた8角形にしたら、もう小さく出来そうだけど計算がダルい >>414
レスありがとうございます。
その配置だと
> (r=abs(p[1]-o))
[1] 1.461902
> pi*r^2
[1] 6.71408
になりました。 まぁ自演やろ
尿瓶にレスしてこれまでどれだけのスレが荒らされてきたか見てきたらとてもじゃないが尿瓶にはレス付けられんからな 尿瓶洗浄係＝職種を言えない医療従事者＝罵倒厨＝自演認定厨 >>411（補足）
鶏肉でサラダチキンを作ったけど、これは65℃2時間にした。
キャンピロバクターが心配なので。稀にギランバレー症候群が起こるし。
熱媒体が空気だから中心温度をリアルタイムで計測して食中毒予防の基準を満たしているか確認した方が( ・∀・)ｲｲ!! >>418
医師板にまで荒らしの遠征にいって、基地外扱いされて入院勧告を受けたのが尿瓶洗浄係。
内視鏡スレも荒らしていたけど、尿瓶洗浄係ゆえに業界ネタを全く投稿できず。 尿瓶洗浄係は底辺シリツ医大スレも荒らしていたけど、シリツ卒であることがバレて逃亡していたなぁ。 ハドソン川の地下のトンネルを通る50本のケーブルがあります
トンネルの東西の端でどのケーブルが繋がっているのかわからなくなって調べることになりました
このために西の端でいくつかのケーブルのペアを作り繋ぎ合わせて東の端でどのペアが通電しているかのテストを繰り返す事にします
ケーブルの構造上コレしかできません
1人で行うので何度か川を渡らなければなりません
なるべく少ない回数で作業を行うには何回川を渡る必要があるでしょうか？ 尿瓶はいつまで爺臭い顔文字使い続けるの？
なんで業界ネタ（笑）を披露して必死に医者アピールしてるの？ 尿瓶は医師免許と卒業証書の提示から逃亡し続けてるなぁw 前>>393
>>423
渡らなくていいだろうが。
トンネルがあるんだから。 Wire Identification Problem >>43
F,GはR×Rからの写像ではないのか？ 定義がよくわからない
もしそうだとすると、二項演算の意味もよくわからなくなるが >>431
F,GはR→Vです
⊕:(R×V)×(R×V)→R×Vをa,b∈Rとx,y∈Vに対して
(a,x)⊕(b,y)=(a+b,x+y+F(a,b))
で定義します
⊗も同様に定義してR×Vが単位元を持つ可換環になるという設定です >>403
>>408
f(t) = log((1+t)^(-1-t)) - log((1+2t+(3/2)t^2+t^3/2+t^4/24)e^(-3t))
と置くと
f''(t) = -(t^3/(1+t))(192+456t+384t^2+140t^3+20t^4+t^5))/(24+48t+36t^2+12t^3+t^4)^2
≦ 0 (t≧0)
であり、t≧0でf'(t),f(t)は単調減少で0以下より
∫[0,∞](1+t)^(-1-t)dt
≦ ∫[0,∞](1+2t+(3/2)t^2+t^3/2+t^4/24)e^(-3t)dt
= 1/3+2/9+1/9+1/27+1/243
一方
∫[0,1]x^(-x)dx
= Σ[n=1,∞]n^(-n)
< 1+1/2^2+1/3^3+1/4^4+(1/5^5)/(1-1/5)
ゆえに
∫[0,∞]x^(-x)dx
< 1+1/2^2+1/3^3+1/4^4+(1/5^5)/(1-1/5) + 1/3+2/9+1/9+1/27+1/243
= 77727427/38880000
< 2 f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y),
g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y)
をみたすようなf, g: R→Rをすべて求めよ。 >>434
連続性もなんもなし？
そんなんで決まるん？ そもそも当たり前だけど最低でもφ:R→Rを任意の環準同型としてf(x)=φ(cos(x)、φ(sin(x))は条件満たしてしまうから解は無限個はあるよな 定義域の方の変換でも作れるよな
だからφ:R→Rを環準同型、ψ:R→Rを加法群の準同型とする時
f(x)=φ(cos(ψ(x)))、g(x)=φ(sin(ψ(x))
は全部条件満たす
これくらいしかないを示せ？ >>401
規則性が無いというのもまた規則である。
次元が無いというのもまた次元の欠如という新しい次元だといえる。 そうか
結局答えはRの可法群からCの乗法群への準同型φを用いて
f(x)=re(φ(x))、g(x)=in(φ(x))
と表されるものの全体
これ以上には簡約して答えるのは無理っぽいな ∫[0,∞] (1/n!) t^n e^{-3t} dt = (1/3^{n+1})∫[0,∞] (1/n!) T^n e^{-T} dT = 1/(3^{n+1})
∫[1,∞] x^{-x} dx < 172/243 = 0.707818930
∫[0,1] x^{-x} dx < 5578603/4320000 = 1.291343287
より
∫[0,∞] x^{-x} dx
= ∫[0,1] x^{-x} dx + ∫[1,∞] x^{-x} dx
< 5578603/4320000 + 172/243 = 77727427/38880000
= 1.291343287 + 0.707818930 = 1.999162217
< 2
でござるか。おみごと
なお、
∫[0,∞] x^{-x} dx
= ∫[0,1] x^{-x} dx + ∫[1,∞] x^{-x} dx
= Σ[k=1,∞] k^{-k} + ∫[1,∞] x^{-x} dx
= 1.29128599706 + 0.70416996044
= 1.99545595750 >>439
φ, ψ：R→C を
φ(x) = f(x) + i･g(x),
ψ(x) = f(x) - i･g(x),
とおくと、題意は
φ(x+y) = φ(x)･φ(y),
ψ(x+y) = ψ(x)･ψ(y),
と表わせる。 >>425
俺は朝鮮人に羨望の意はないから
パスポートを見せろとかいわないぞ。
職種の言えない医療従事者=尿瓶洗浄係は医師がやっぱり羨ましいんだね。再受験すればいいのに。
俺の同期は２割位は学卒だったな。
大半は東大卒か京大卒だった。数学科卒もいたな。 >>442
例えば尿瓶をニセ人間って罵倒したとき、それは人間を羨んでることになるのか？
あと朝鮮人アピールしてるやつがその証拠出せなかったら偽物じゃねってなるぞ そもそも朝鮮人やコメディカル(妄想)を罵倒してる時点で尿瓶はゴミカス >>445
ニセ人間とかニセ朝鮮人とかいう罵倒する人はまず、いないからね。
日本国民はかくあるべしという本人の考える理想像から外れると非国民というレッテルを貼るよね。 >>446
ライセンスを持って仕事をしていれば職種が言えるからねぇ。
視能訓練士とか臨床心理士とかいろいろ。 >>448
おーおー名乗れ名乗れ
それだけなら誰でもできるw 立体行列a_(i,j,k)(1≦i,j,k≦n)に実数を対応させる写像が
各行、各列、各階に対し双線型かつ反対称であるとき
n≧2ではゼロ写像しかないことを示せ そんな事が正しいなら任意のベクトル空間３つの反対称積V∧V∧Vが０になってしまう それとは話が違います
立体行列を立体に書いたときに各行、各列、各階に対する線型性と反対称性です なんで？
V∧V∧Vの双対空間がV×V×V上の三重線形、反対称写像の空間ですがな 実際n=3でベクトルu,v,wに対してf(u,v,w)=det[u,v,w]) で定めると三重線形、反対称になる
3次元だとこの写像の定数倍しかない(∵dim V =3ならdimV∧V∧V=C[3,3]=1)、n≧3ならC[n,3]はゼロ以上やろ むかしDolbeault先生が
多くの学生はここでつまずくと
教えてくれた >>457
それは普通の行列つまり平面行列3×3の話であって立体行列とは関係ないです
n次の「平面」行列式がV∧…∧Vの元だという話と今回の話は違います >>459
もう何言ってるか分からん
少なくとも数学の世界で三重線形、反対称と言ったら>>457の意味にしか取れない
既存の言葉で定着してる用語を自分で勝手に違う意味で使ってはいけない
ちゃんと数式で問題を出さんとダメ 具体的に3×3×3=27個の成分を持つ立体行列に対して、そのV∧V∧Vから作られるという非ゼロ写像は何ですか？ >>481
だから書いてるやん？
det([u,v,w])が27次元空間上の三重線形、反対称写像やん？ (u,v,w)∈V^3=R^9なので成分9つしかないですよね？ >>463
dim V=3ならdimV^3=27だから
成分は27個ある >>463
各u,v,wが3次元のベクトル空間の元やん
そう書いたやろ？
でなきゃdetなんか定義できんやろ？
u,v,wが各3次元やから全部で27次元やん？ 具体的に(X_1)〜(X_27)を要素として書き下してください >>463でもう自分が何言ってるのかがわかってないんだなとしか思えない ([0,0,1],[0,0,1],[0,0,1]),
([0,0,1],[0,0,1],[0,1,0]),
‥
([1,0,0],[1,0,0],[1,0,0]) >>470
それは十分理解してます
多分、勘違いされてるのはこの部分ですね
27個の要素を立体に書いたとき、各行を入れ替えてみてください
これは(u,v,w)→(u,w,v)などではないです うそこけ
明らかな27次元空間を9次元とか言ってみたり般教レベルの線形代数が理解できとらんのは明らかや
各行を入れ替えてみてください
これは(u,v,w)→(u,w,v)などではないです
だから通常の線形代数で反対称というならその意味にしか取られない
違う意味で使うならその言葉は使わずきちんと相手に伝わる言葉で書け
うろ覚えの理解できてない用語を使うな 立体行列などという標準的でない用語を使うのだから、それぞれの用語も最低限は定義しないと。
少なくとも、私には双線形が何を指しているのかわからん。 >>473
いやいや
そもそもu=(u_1,u_2,u_3)等と書いたとき
(u,v,w)には9つの成分しか出てこないです
これはVの直積(直和)とテンソル積を混同してると思われます
テンソル積ならば(u,v,w)ではなくΣa_ijk e_ie_je_kと書かれなければいけません >>476
だからそれがわかってないって言ってんだよ？
(u,v,w)という三つ組に対してそれを(u,v,w)と書いたらそれは9成分しかないけど、元の空間はu,v,wの選びで3次元ずつあって27次元なんだよ
そもそもこの27次元の空間から9次元の空間への写像は線形ではない
例えば
([1,0,0],[0,1,0],[0,0,1])と([0,1,0],[0,0,1],[1,0,0])と([0,0,1],[[1,0,0],[0,1,0])の和は([1,1,1],11,1,1],[1,1,1])ではない
前者のfの値は3で後者のfの値は0
この違いすらわかっとらんやろ >>478
集合としての直積V×V×Vのことを言ってるのであれば、これは何次元とか以前にベクトル空間ではないので次元は定義できませんよ >>477
1988=11111000000 (二進数)
だからn:1〜37でn=32の場合を除いて(1988+n)/n ≡ 1 ( mod 4 ) 普通の高校生にも分かるような解法を思いつかなかったことに窮して突拍子もない解法をかくなクズ
>>483
ここは高校生限定スレでもなんでもないわカス なんかスレが良くない流れになってしまって申し訳ない
>>453について補足すると
各階における双線形性というのは
例えば1階部分(これはn×n行列)に関して線形
各階における反対称性というこは
例えば1階部分と2階部分を入れ替えたときに符合が反転する
ということです >>482
この解法を試験時間内に自分で思いついて記載したなら天才だが、このスレでの反応に窮して参考書を引き写しただけならゴミクズ 工学部生なら、２進数などの変換を扱えるが一般の数学者は、どうでもいいから扱わないので解法が邪道
また２進数を使ったのに窮して２行程度で解答を収めており意味不明
少なくとも、 ２０２１Ｃ３７を４で割った余りを求めよ、という問題に対しての解答としてはボツでクソ >>486
もちろん過去の天才達のアイデアは使わせてもらってるけどこのレベルは完全に頭にはいつとるわw
偉大な数学文化の歴史を受け継いでるものとミーハーの傍観者の違いだよww >>482
解答になっていない、他にエレガントな方法を思いつかなかったから 天下り式の解法 クソ >>488
二進表示は数学者でも普通に扱うと思うけど
自然数全体Nとその有限部分集合全体F(N)の一対一対応F(N)->N作るときとか 扱わない。 そこには何も面白い定理がなく、工学への応用しかないから この謎のスペースの取り方なんなの。 気持ち悪い。
改行のしかたもおかしいし。 ２０２１Ｃ３７を４で割った余りを求めよ
これ去年の東大理系の問題なんだよな。東大では、いきなりこの一行問題ではないが、 これを求めるための 補題（レンマ）を３つ用意してこれを証明させ
最後にその補題を利用してこの値を求めるという出題になっている。だから、補題を立てて重要補題を証明し、それを用いてこの値を求める解法を思いつかなかった
時点でカス 数学者の多くが評価する華麗な方法があるのに、２進数とかいう醜悪な方法で解いたバカがお前 補題 １ K、Lを正の奇数、A,Bを整数とし、 KA=LBが成立しているとする。 Kを４で割った余りがLを４で割った余りと等しいなら、Aを４で割った余りは
Bを４で割った余りに等しい。
補題 ２ 正の整数a,bがa>b を満たしている。 A=4a+1C4b+1 B= aCb に対して、 KA=LBをみたす正の奇数 K,Lが存在する。
補題 ３ a,bは同様とし、 a-bは２で割りきれるとする。 4a+1C4b+1 を４でわった余りは aCb を４で割った余りと等しい。
以上が東大の問題 アホか
もちろん出題してる方がなぜ37という数字を選んだのか、なぜ(1984+n)/nが1〜37まで全て2addic integerになるのか、なぜ36をのぞいて全て1になるのか全部理由がある
キチンと数学勉強した人間なら全部見える
受験数学のの段階では残念ながらまだそれに一瞬で気づけるほどの教程にないから誘導つけて道筋教えてやってるんだよ
受験数学レベルで落ちこぼれてしまったアホにわかるわけないやろ
偉大な先人の偉業に畏敬の念も持てず訳のわからんカスみたいな俺様価値観で数学文化の傍らで妙ちきりんな数学音頭踊ってるだけやろ
アホか
消えろカス この人やたら東大とか京大の過去問やりたがるけど、modも分からないおじいちゃんなんだよ。
そのくせ、自分が理解できない解法はすべてクソ呼ばわりするから相手にしない方がいいよ。 >>479
だから言ってんだよ
わかってないなぁ
V×V×Vは9次元のV⊗V⊗Vの部分集合とみなして、その中で多重線形性を持つ写像がV⊗V⊗Vに自動的に拡張されるんだよ(テンソル積のユニバーサリティ)
さらにそれが反対称ならV∧V∧VにをFactor throuhするのかが交代積のユニバーサリティ
さっきのwikiのページの内容もわかってないやろ？
ちゃんと27次元空間からの線形写像もexplicitに書いてあるやん？ アホはお前だ。世が世なら、東大は、 ２０２１C３７を４で割った余りを求めよ、という一行問題を出し
>>498
の補題は隠しておくだろう。そして受験界では、数オリに匹敵する超難問が出たと言って騒がれる。
解けなかったからと言って発狂するな >>502
補題なんぞ見なくても解けてますがなwwww
アホですかwwwwww >>501
最初の立法行列の問題からずれまくっていることに
気がついているのかいないのか
側から見たら血しぶきを上げているのに
平然として歩き続けているように見えますよ >>501
だから何言ってるか分からんのだよ
元の問題の用語の使い方なら普通の線形代数の言葉なら>>501の意味にしか取れない
そうでないのが題意ならキチンと数式用いて問題出せと言ってるのにそれもやらない
しかもやってくる反論は般教レベルもよくわかってないアホみたいな反論してくるからどうしようもないんだよ 分かってくれてる人もいるようで良かったです
>>485にも書いたように線形性や反対称性は平面の行列式の場合をそのまま立体に拡張したものです だから>>485
では意味が分からんというに
これも普通の線形代数の用語の使い方なら>>501の意味にしかならん
君の感覚なんかエスパーでない俺には分からん
キチンと数式で表現しろよ
fの定義域はどこ？
それが三重の線形性を持つの定義は？
反対称の定義は？
全部普通の線形代数の世界で使われる意味なら>>501にしかならん
どれが普通の定義からずれてるの？ >>507
もう諦めてわかりやすい言葉で
丁寧に説明してあげたらどうですか とりあえずわかってもらえんから“普通の”線形代数での双線型や対称、反対称の定義から
まずは双線型性から
Vをn次元ベクトル空間としてf:V×V(テンソル積ではない、直積)→Rが双線型写像であるとは
f(u+v,w)=f(u,w)+f(v,w), f(ku,v)=....
を満たす写像のこと
この場合定義域はあくまで線形空間でもなんでもない2n次元の空間
しかしそれでは線形代数使えなくて不便だからV⊗Vというn^2次元の空間を用意してテンソル積のユニバーサリティ
thm
V×V上の双線型写像とV⊗V上の線形写像にはナチュラルな同型がある
を用いて時に同一視する
fが対称:⇔f(u,v)=f(v,u)
fが反対称:⇔f(u,v)=-f(v,u)
これに準じて3階のテンソル積でもこのままの言葉を用いるのが線形代数の通例
この意味ならf(u,v,w)=det([u,v,w])は多重線形、反対称、非自明な写像
この意味以外で通例と違う事表現したいならチキンと数式で表せっての 写像f:R^(n×n×n)→Rで
f(a_(1,1,1),a_(1,1,2),…,a_(n,n,n))
を例えば階ごとに
f(M_1,M_2,…,M_n)と表示したときに
(M_kはa_(1,1,k),a_(1,2,k),…,a_(n,n,k)からなるn×n行列)
線形性
f(M_1,…,λM_k+μN_k,…,M_n)
=λf(M_1,…,M_k,…M_n)+μf(M_1,…,N_k,…,M_n)
反対称性
f(M_1,…,M_k,…,M_l,…,M_n)=-f(M_1,…,M_l,…,M_k,…,M_n)
を満たし
さらに行と列についても同様のことを満たすとする >>497
一般の数学者が華麗な証明とは考えない、強力な方法などを用いた証明 例 ロピタルの定理 ラーグランジュ乗数法など >>485
線形がすでに意味不明。
立体行列とやらは線形写像なの？ >>515
立体行列についてはn×n×n個の実数の並びと思って下さい
線形性については>>512を見て下さい
ロピタルの定理は、いわば、神が、ズルとして用意した特別な定理であり、本来はエッレガントな式変形をほどこして解くべき極限の問題を
ズルであるこの定理で解いたら意味がないから。 神が、ロピタルの定理を用意したのは、当然有用だからであり
このほか、神が、初等幾何学に対して、ライプニッツやベクトル、複素数による解法を与えているのは、神が、幾何を美しいものと考えながらも
苦労して解く有用性がないと軽蔑しているからである >>518
神はサイコロ遊びをするだけでなく
イカサマまでやる。 >>512
512の条件は485と同じことを言っていますが
もとの453とは違いませんか？ >>520
同じです
>>453を説明したのが>>512です まぁ大体何を言ってるのかわかったかな
ベクトル空間Vの基底(vi)を定めてf(vi⊗vj⊗vk)と並べたものを“立体行列”と言ってるんやろ
エディントンのεなら
[[0,0,0],[0,0,1],[0,-1,0]]
[[0,0,-1],[0,0,0],[1,0,0]]
[[0,1,0],]-1,0,0],[0,0,0]]
になる
立派な反対称立体行列ですわなw まだ伝わってなさそう…
エディントンのその写像を具体的に書くと
f({a_(i,j,k)})=a(123)-a(132)+a(231)-a(213)+a(312)-a(321)
ということですかね？
これは>>512の条件を満たしていません ε_(ijk) = 1 (ijk) = (123),(231),(312)
= -1 (ijk) = (132),(321),(213)
= 0 otherwise
日本で云う右捻子の法則？ 繰り返しますが>>453の問題は平面(つまり普通)の行列式の性質を立体に拡張したものです
各行、各列、各階の入れ換えで反対称なのであって
行と列、列と階の入れ換えではないです！ >>526
繰り返さなくて結構
もう数式でキチンと書く気がないなら消えろ >>528
アレをかけてると言ってるからダメなんだよ
みんな伝わってないやろ？
最初定義域はR^(n^3)って書いてるよな？
なのになんで途中から3変数かんすうになってんの？
3変数関数なら定義域はV×V×V違うんか？なら次元は3n次元やろ
で直積集合やったらテンソル積ちゃうやん？
次元合わんやろ
そういう数学勉強してたら絶対間違わんような基本的な感覚が身についてないんだよ
エディントンの話もそう
>>524でなんかミョウチキリンな式書いてるよな？
左辺にi,j,kあるよな？
そのi,j,k事に右辺の値が変わらんかったら定数関数になるやろ？
右辺のどこにi,j,kがある？
そういう式書いて気持ち悪くならないとこでダメダメなんだよ
もういい
消えろ >>529
まず楽しくやりましょう…
どこも3変数になんかなってないですよ
a_(1,1,1)…a_(n,n,n)の添字はn×n×n個なのでn^3変数です
M_kにまとめてからも間に「…」があるのを見て下さい
M_k(n×n変数)がM_1…M_nまであってn^3変数です
エディントンの式の左辺は書き方省略しましたが
f({a_(ijk)})というのはf({a_(ijk)}(1≦i,j,k≦3))の略で
a_(111)からa_(333)までの27変数です >>530
お前あれだけ無礼な物言いしといてよく今更楽しくやりましょうとか言えるな？ ５１２で書かれた
>>反対称性
>>f(M_1,…,M_k,…,M_l,…,M_n)=-f(M_1,…,M_l,…,M_k,…,M_n)
では二つのnxn行列M_k, M_lを入れ替えていますが
これは最初の453で出題された文章の
>>各行、各列、各階に対し双線型かつ反対称
に含まれていますか。
そうでなかったら何らかの丁寧な説明が必要だと思いますが >>453
n×n×n 立体行列から実数への写像 f であって、双線形かつ反対称なものを一つとる。
双線形より f は、n×n×nの立体行列 X = (x_ijk)_(i,j,k=1,2,…,n) であって
･n個の成分を除いて全て0
･どの二つの非0成分も同じ行、列、階に属さない
ようなもの全体の像で決まる。
つまり、このようなXのfによる像が0であることを示せば良い。
簡単のためXのn個の非0成分が x_mmm=1 (m=1,2,…,n) のみである場合を考えると、
X' = (n個の非0成分が x'_112, x'_221, x'_333, x'_444, x'_555, … ,x'_nnn = 1 のみである立体行列)
について反対称性から f(X) = -f(X').
X'' = (n個の非0成分が x''_122, x''_211, x''_333, x''_444, x''_555, … ,x''_nnn = 1 のみである立体行列)
について反対称性から f(X') = -f(X'').
X''' = (n個の非0成分が x'''_222, x'''_111, x'''_333, x'''_444, x'''_555, … ,x'''_nnn = 1 のみである立体行列)
について反対称性から f(X'') = -f(X''') が成り立つことがわかる。
ところで X'''=X なので、結局 f(X) = -f(X) = 0 が導かれる。
添字や成分が異なる場合も同様。（終）
結局三回入れ換えをしたら元に戻るってのがポイントなのかしらね >>531
530の態度の無礼さは横から見ていても明白ですが
453は一応自己矛盾はしない問題で
解答も正しいと思われますが
その点に関してはいかがですか >>533
正解です！
まさしく3回の入れ換えがポイントですね
無事、解いてくれる方がいて安心しました… >>535
453をちゃんと解いてくれる人がいたのは
よかったですが
531と
532へのケアもよろしく 前>>427訂正。
>>286 y=xとy=7xのなす角の二等分線をy=axとおくと、
y=7xとx軸がなす角θについてcosθ=1/√50, sinθ=7/√50
cos｛(θ+45°)/2｝=1/(a^2+1)=√[｛1+cos(θ+45°)｝/2]
1/(a^2+1)=｛1+cos(θ+45°)｝/2
=｛1+cosθ(√2/2)-sin(√2/2)｝/2
2/(a^2+1)=1+(cosθ-sinθ)(√2/2)
4/(a^2+1)=2+(cosθ- sinθ)√2
=2-(6/√50)√2
=4/5
a^2=4
a=2
∴y=2x
y=2xに垂直なy=-x/2も角二等分線。 >>286
y=x 上の点 A(5,5) A '(-5,-5)
y=7x 上の点 B(1,7) B '(-1,-7)
とおく。
OA = OA' = OB = OB ' = 5√2
ABの中点 M(3,6)
∴ 角二等分線 OM： y = 2x,
同様に y=-x/2 も角二等分線。 >>.534
自己矛盾してるかどうかとか知りません
そもそも双線型性という単語を完全に誤解してる
既に書いたけど双線型性とは本来V×Vの2n次元空間上定義された関数の性質
その双線型性写像とV⊗V上の線形写像が一対一に対応するというのが本来の意味
ところが三重の双線型は何故か“V⊗V⊗V上の双線型性写像”という謎の概念を持ち出してくる
全く意味不明
完全に自分の理解部族で誤解してるのを“伝わってない”だのなんだの無礼な言動の連続
挙句の果てにケアよろしくとはどういうつもりなんか分からん
ネットの向こうで書いてる人間をまるで人間扱いしてない
もう2度と来ないで欲しい 1. x^y = y^xなる相異なる実数x,yは存在するか
2. x^y = y^z = z^xなる相異なる実数x,y,zは存在するか 1. 存在する
1<x<e<y または 1<y<e<x のとき
log(x)/x = log(y)/y をみたす (x,y) … eで最大
(x,y) = (-2,-4) (-4,-2) p, q, r, s, t, u を整数として p^2 + q^3 + r^4 + s^5 + t^6 + u^7 と表せない整数は存在するか。 >>543
(p^2 + q^3 + r^4)
+ z^3 (p^2+q^3+r^4)
1. まず、 p^2 + q^3 +r^4 で全ての正の整数を表す事が出来る事を頑張って示す。
2. 1の結果を用いることで 負の整数 も表す事が出来ると示す。
3. 1,2 より、 全ての整数が表現できると示す。
楽勝やで >>543
80年代の数学オリンピックの過去問でありそう (小並感) >>540
題意を誤解しまくった人間ではなく
「誤解にいつ気づくのかな」
と思いながら横で見ていた人間ですが
次第にいら立ちを募らせるだけのようだったので
「あなたの誤解ですよ」とメッセージを送ったつもりでしたが
「血しぶきを上げながら歩いている」などと失礼な言い方だったので
伝わらなかったようでした
そこで「丁寧に説明してください」とお願いしたのですが
問題の条件をやや強いものに置き換えて式で書かれたので
その点の説明があった方がよいのではと思った次第です
舌足らずのため、今度は出題者を怒らせる結果になったようですが
結局正答者が出たのでよかったと思います >>544
ん！？
もしその 1. が示せたら p^2+q^3+r^4+s^5 だけで事足りることになるけど、
そんなうまくいくかねぇ… もし確信があるならその 1. の証明を頑張って考えてみてほしい >>541
2. 存在する
nを自然数として
log(2n)/(2nlogx)=x^(2n/x)
の解をaとしたとき
x=-a, y=2n, z=(2nloga)/log(2n)
例えばn=1のとき
x=-1.26886…, y=2, z=0.68706… >>546
誤解もへったくれもない
そもそも出題者は“行列式の高階への拡張”のつもりだったんだろう
そんな風な事も書いてたしな
しかしもちろんそんなものは大昔からずっと考えられてた
その一つが紹介した“エディントンのε”、すなわち反対称、多重線形なテンソル
もちろん「超列式の高階版です」と言われたらこっちの意味にしか取らない
結局最後の最後までずっと“双線型性”に対したまんまV⊗V⊗V上の双線型写像とか言ってる
3階の話で9次元と27次元の話を混同してたし現時点でもまだわかってないんやろ
まだ27個の引数がある関数とか言ってる
今でもまだ”行列式は多重線形性を持つ反対称なテンソルであるもの”の意味を履き違えてるんやろ
そもそも行列式はそれ自体はあくまで“2n次元の直積空間からの双線型写像”であってテンソルではない、定義域の次元は2n
それをユニバーサリディを使ってV⊗V上の“線形写像”と見做してやっと“テンソル”になる、そしてそこの上ではただの線形写像だしV⊗Vというでかい空間ただ一つを引数とする“線形写像”で引数がn^2個の関数などどこにも出てこない、もちろんそれが“多重線形である”などという性質も持たない、多重も何も引数一個しかないんだから
つまり現時点ですら出題者は自分の作った“俺様双線型写像”の定義を与えてない、それができてない事の認識がいまだにないのも、そもそも“定義域が2n次元の直積空間上の関数である行列式をn^2次元の線形写像であるテンソルに拡張する”という話を未だに理解できてないからやろ
まぁここまで説明してもまだわかってないようやからおそらく未来永劫理解する日は来んのやろけどな >>551
荒れてるね～
誰か三行で頼む
と横やりを入れられたくないから端的に言いますが
453の問題文の
各行、各列、各階に対し双線型
は「各行、各列、各階に対し線型」でなければならないという指摘ですね >>552
それも違うと言われたなよ
もちろんV⊗V⊗Vは27次元空間(n=3の場合)なのだから27個の基底を持つ
Vの基底をe1,e2,e3とすればe1⊗e1⊗e1〜e3⊗e3⊗e3を使って27個の実数に対しそれらを係数とする線形結合でV⊗V⊗V上の27変数関数と見れなくはない、というか自然な方法でみなすならそれしかない
でそうやるのかと思って付けたレスで返ってきたのが「まだ伝わってないみたいですね」だからもう完全に意味不明
もちろんそれで無理クリ27変数関数として見做して“反対称”なるものを定義したとしても線形代数の本来の意味からはかけ離れてるんだが、それも“違う”というんだから違うんやろ 意思疏通には定義を式で書かないとダメ
もっとも見てる方はアンジャッシュのコントみたいで面白いが >>550
うん、用意してあります。
結論を言うと答えは"存在しない"、つまり全ての整数をあの形で表せるから、
その証明を考えてからみてほしい まーもっとも式を書いてもV×V×Vが９次元なのか27次元なのか混乱してる時点でダメダメなんだが >>555
おお、マジですか
ある程度初等的に解けますか？高度な道具なしで >>557
解答には最低限、多項式とmodの知識があれば可能だけど
想定解答では、簡単に済ませるため加群とか既約剰余類群に関するちょっとした性質を使ってます >>557 >>558
あれだろ。
6つの項のうち、
重要な3つを使って全ての奇数 を。
(残りの3つも同様に使って全ての奇数を)
重要な3つに残りの3つを合わせれば
全ての偶数と負の整数も表せる、ような気がしなくもない。 係数を上手く調整したnの2次式、3次式をp,q入れて、中間項をr=n^4,s=n^5,t=n^6とかも利用しつつ相殺させてお釣りとしてnの1次式出すみたいにするんじゃないかな >>542
1. 存在する
nを自然数として
log(x)/(-x) = log(2n)/(2n)
の解をaとしたとき
x=-a, y=2n,
例えばn=1,2のとき
x=-23/30, y=2,4 前>>537
>>543
7^2+6^3+5^4+4^5+3^6+2^7=2771
2772は表せないと思う。 数学は教養 （ つまり類題を解いたことのある経験 定理を知っている ）で決まるのか、それとも、自分の頭でひらめくことで決まるのか
同じ試験問題に挑むにしても、あらかじめ、演習を多くやった人間は、なにもやってないところから考える人より有利になるが何か問題はないのか
>>560
それな
前にも似たような問題でその作戦で行けたかんだけど今度のは次数が違うから難しい やはり2〜6次でうまく一次式作って7次式はmod調整のような気がする
７次の最高次をキャンセルするのは難しいやろ >>543 のヒント
p, q, r, t をうまく n の多項式で表せば、 p^2 + q^3 + r^4 + t^6 を n の一次式にできる >564-567
それは俺も考えていたよ (マウント) でもまぁs^5使わないで済むのはヒントかな？
しかしだったらmod調整にs^5使えないのかという話になる
できる一次式一次の係数の素因子に11とか31とかが出てくるのかな？ 前>>562
>>566
52^2 + 4^3 = 2768なら、
2772=52^2+4^3+r^4+s^5+t^6+u^7
r^4+s^5+t^6+u^7=4
表せるの？ >>544 >>559
我ながら最高に中卒の書き込みでワロタw
みんな賢いなぁ と関心する
祝日の昼過ぎ （ '‘ω‘) サイコロを n 回投げて出た目のすべてにわたる積が平方数となるような確率を、nの陽な形で表せ。 >>567
ダメだ
見つからん
ヒントおながいします
tは何次？ >>581
ヒント
想定解答では、p, q, r, t の次数はそれぞれ 2, 2, 1, 1 でできた >>580
(3+2^n+3^n)/(8×3^n) >>583
そのくらいであれば考えてもらいたかったけど、まあ今回だけってことで
p, q, r, t, p^2+q^3+r^4+t^6 がそれぞれ2,2,1,1,1次になる時、
q^3+t^6 は4次でなければならない.
q^3+t^6 = (q+t^2)(q+ωt^2)(q+ω^2t^2) (ただしωは1の原始三乗根)
と分解できるが、右辺の三つの因子のうち複素数がからむ二つは明らかに2次であるため、
残りの q+t^2 は定数でなければならない。 >>567
みっけ
(3x^2-18x+387)^2+(3x+1)^4+x^6+(-x^2-30)^3
=122770 - 13920 x
残念ながら13920=2^5×3×5×29だから5と7ふたつ使わないとmod調整できないな 見つけ方‥と言っても計算機にかけただけ
とりあえずt=xである解があるか探してみた
なければ次に進むつもりだったけどあった
r + t^2 = constなのでr = -x^2+fとおける
(ax^2+bx+c)^2 + ( dx + e )^4 + x^6 + (-x^2 + f )^3
が一次式という条件を整理してa,d,eから残り全ての係数が決定して
b = - 2*d^3*e/a
c = ( ( a^2 + d^4 )^2/3 - b^2 - 6*d^2*e^2 ) /2/a
f = -(a^2+d^4)/3
が必要条件
その時の一次の項、定数項の係数は
deg1 = 2*b*c+4*d*e^2
deg0 = c^2 + e^4 + f^3
となる
これらが全部整数になる条件はめんどくさすぎて断念
で計算機にお願いする
https://ideone.com/2UaawE
とりあえずa,dが3の倍数である事が必要なのはすぐわかる(十分ではない反例もすぐ出る)からa,d,eに3,3,1とか小さいのから何個かやってみたらすぐ見つかる
出てきた一次の係数がどれくらいいい数字になるかも運次第
さすがに一次の係数がsquare freeになる(十分)条件とか求めるのは断念したけどまぁすぐ見つかって結果良ければ全てよし イベルメクチン論文は捏造？ プレプリントの闇
https://medical.nikkeibp.co.jp/leaf/mem/pub/blog/kurahara/202107/571165.html
・600人中410人の年齢が偶数であり、偶然では片づけられない偏りが生じている
・48歳の患者さんが34人、58歳の患者さんが31人いる一方で、50歳の患者さんが3人、53歳の患者さんが4人しかいない。天文学的に低い確率の事象である
・フェリチンの下1桁が「3」になっている症例が3つしかない（確率的には0～9で均等になるはずだが、この偏りが起きるのは100億分の2の確率である）
・ヘモグロビンの下1桁が2～5のものが82％であり、偶然では片づけられない偏りである
問題
偶然では片づけられない偏りの数値を計算せよ。
計算に必要な数値があれば
https://steamtraen.blogspot.com/2021/07/Some-problems-with-the-data-from-a-Covid-study.html
を参照のこと (1)600人中410人の年齢が偶数であり、偶然では片づけられない偏りが生じている
偶数である確率が1/2であるのは自明ではないので、事前確率分布を一様分布とし、
偶然では片づけられない偏り＝１兆分の１以下でしか起こらない事象として
計算すると、
主張(1)が正しい確率は
0.7373
７割程度となった。賢者の検算希望。 (2) 48歳の患者さんが34人、58歳の患者さんが31人いる一方で、50歳の患者さんが3人、53歳の患者さんが4人しかいない。天文学的に低い確率の事象である
人口ピラミッドがわかればいいのだが、各年齢の構成比が同一として計算すると
Χ-squared = 47, df = 3, p-value = 3.476e-10
年齢差が最小の４８歳と５０歳の数値で計算すると
X-squared = 25.973, df = 1, p-value = 3.462e-07
天文学的に低いかどうかは主観による。 >>588
うお、7乗の項不要だったのか！素晴らしい…
想定解答は
(81x^2-108x+306)^2 + (-9x^2-54)^3 + (9x+6)^4 + (3x)^6 = -58320x - 62532
を使うもので、58320 = 2^4 * 3^6 * 5 だから7乗まで必要だったんだけど、
多項式側に意外と自由度があったんだね
（とは言え人力でやるなら、解をいっこ見つけるので一苦労だろうから
問題としては7乗まででちょうど良かったのかしら）
お見事でした！ 前>>573
>>543
2772は異なる整数p,q,r,s,t,uで題意のように表せられなかった。 (3)フェリチンに関しては400件のうち3件らしい。
Kyle Sheldrick discovered that of the 400 values of the variable "serum ferritin before treatment", only three end in the digit 3.
末尾が3である確率を1/10として二項検定すると
p-value = 1.83e-14となって
100億分の2の確率よりずっと小さい。
末尾が3である確率が1/10であるというのも自明ではないが
3である事前確率を一様分布にするのも極端すぎるので3である確率の平均値を1/10,95%信頼区間を[1/11,1/9]とすると
p値は
summary(p.value)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000e+00 1.000e-15 1.700e-14 5.818e-12 2.070e-13 1.937e-08
でやはり、100億分の2の確率よりずっと小さい。 >>597
3である事前確率を一様分布にすると
> summary(p.value)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000000 0.000000 0.000000 0.008739 0.000000 1.000000
平均＜0.01なのでやはり、捏造が疑われる。 フムフム
確率が０でないってことは
起こり得るってことだよね。 19^2 + 2^3 + 7^4 + 1^5 + (-1)^6 + 0^7 = 2772
19^2 + 2^3 + 7^4 + 0^5 + (-1)^6 + 1^7 = 2772 >>592
(4) 400人のヘモグロビン濃度の数値の末尾の数字の頻度は
last.digit 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
frequencey 21 25 75 79 112 62 9 5 1 11
均等に分布を帰無仮説にすると
> chisq.test(hb)$p.value
[1] 1.571624e-67 医者板でやってくんない？
みんな統計できるんだろ？ >>603
下1桁が2～5のもの で検討。
ヘモグロビン濃度の値を11.6～15.2の正規分布として400個乱数発生させて末尾の数字が2～5になる割合を算出。
これを1000万回繰り返して末尾の数字が2～5になる割合の99.99%信頼区間を計算すると
lower upper
0.3025 0.4925
となる。
・ヘモグロビンの下1桁が2～5のものが82％であり、偶然では片づけられない偏りである
の結論を支持する結果になった。 0≦C≦1とする
ヒモの両端を真っ直ぐな棒にくっつける.
棒とヒモが囲う面積が一定となるようにヒモを動かして、(ヒモの長さ)+C×(ヒモ両端の距離)を最小にするとき、ヒモと棒の成す角を求めよ. >>604
職種の言えない尿瓶洗浄係はどうだろうねぇ？
開業医スレや内視鏡スレを荒らすことしかしてないから。
製薬会社の商用パンフレットとか怪しげな統計処理が散見されるので新薬説明会では俺はよくツッコミを入れていた。
昨今はコロナの影響でMRの訪問自体がなくなった。 統計スレだと相手にされないからここで喚いてんだろw
察してやれw >>607
だから医者板でやってくんない？
医者ならみんな統計できるんだろ？ 前から思ってたんだがこの板はワッチョイとかないのか？ >>607
あとなんで職種が言えないと尿瓶洗浄係になるの？ {(ax-c)^2 + d}^2 + q(-x^2-b)^3 + (ax+c)^4 + qx^6
= (2a^4 - 3qb)x^4 + (aa(12cc+2d) - 3qbb)x^2 - 4acdx + (cc+d)^2 - qb^3 + c^4,
2a^4 - 3qb = 0,
aa(12cc+2d) - 3qbb = 0,
a=3, b=6, c=2, d=30, q=9 のとき -720(x+1) -52 >>615
qが素で出てるやん
^3と^6で括れてないやん s>1とするとき以下の等式を複素積分を使わずに示せ
∫[0,∞] 1/(1+x^s) dx = (π/s)/sin(π/s) 積分を0〜1と1〜∞で分けて級数展開して計算すれば
1+Σ[1,∞](-1)^(n-1) 2/((sn)^2-1)
一方でsinの無限積を対数微分して得られる
πzcot(πz)=1+Σ[1,∞] 2z^2/(z^2-n^2)
と1/sinx=cot(x/2)-cot(x)を合わせて
πz/sin(πz)=1+Σ[1,∞] (-1)^(n-1) 2z^2/(z^2-n^2)
これにz=1/sを入れる >>619
正解です
なお変数変換1/(1+x^s)=tでベータ関数表示しΓ関数の相反公式からも示せます >>621
1/(1+x^s)=tと置くとx=(1/t-1)^(1/s), dx=(1/s)(-1/t^2)(1/t-1)^(1/s-1)dt
より
∫[0,∞] 1/(1+x^s) dx = ∫[0,1](1/s)(1/t)(1/t-1)^(1/s-1)dt
= (1/s)∫[0,1] t^(-1/s)(1-t)^(1/s-1)dt
= (1/s)Β(1-1/s,1/s)
= (1/s)Γ(1-1/s)Γ(1/s)/Γ(1)
ここで相反公式Γ(1-x)Γ(x) = π/sin(πx)より
= (π/s)/sin(π/s) >>612
医療従事者と自己紹介しても職種が言えないのはライセンスがないからだと思うね。
ライセンスをもって仕事をしていれば、普通は職種を言うから。
別に医師でなくても視能訓練士とか言語療法士とかね。
それが言えないのだからライセンスなしの仕事だと思う。
尿瓶洗浄ならライセンスなしでやれる。 道端で誰も聞いてないのに職種アピールするの？
飲食店で誰も聞いてないのに職種アピールするの？
ここは数学板、医学とは無縁の場所で誰も聞いてないのに職種アピールするの？ 内視鏡スレでアングルロックの話を出したらワイヤーが劣化するというレスがついたなぁ。
尿瓶洗浄係の荒らしはスルーされている。
尿瓶洗浄係じゃ業界ネタを書けないからね。 職種を言うだけなら誰でもできるけど
>>624は>>627への返答として成立してない 「なんで数学板で医者アピールするの？」
「職種が言えなければ尿瓶洗浄係！ｗ」
全くつながってない あ、もしかして尿瓶洗浄係だと思われたくないから医者だってアピールしてんのか？ >>423
レスつかないのでヒント
必要な移動回数はケーブル回収までで2往復、つまり
1）西の端でいくつかつなぎ合わせる
2）東の橋で検査
3）西の端に戻ってつなぎ直す
4）再検査
この時点で全てのケーブルのつながりが判明します
西の端のケーブルを回収するのにもう一度西の端行くのもカウントすれば2往復です
そこをカウントしないなら1往復半で済みます
今回は検査できるのは東の端限定ですが両サイドどちらでも通電検査できるなら
1）西の端でいくつかつなぎ合わせる
2）東の橋で検査、いくつかつないでおく
3）西の端に戻って検査
この時点で全て判明する事もできます これ日経サイエンスのパズルでも出てたよね
条件の説明がやや面倒な点を除いたらかなり良い問題だと思う というかググったら答え出ちゃってたからそれ読んで満足してしまったよ まぁ有名な問題だからなぁ
しかしその割にスパーンと気持ちよく説明するやつしかないからもっといいやりようがありそうと思って論文が出たりするんだろな >>423
面倒なのでケーブルは10本とする
西の端のケーブルの端に1〜10のラベルをつけて東の端はa〜jでラベル付けする
最初は西の端で3-4,5-6,7-8,9-10を結び通電する4組みを記録して2回目は2-3,4-5,6-7,8-9を結び通電する4組を記録する
a〜jの各々について一回めに通電した組み同士を赤線で結び、2回目に通電したものを青線で結んで辺の数が8のグラフを作る
このグラフの性質を考えると
①赤線も青線も繋がってない孤立点(1番に繋がってる点)がひとつ、赤線のみ繋がってる点(2番に繋がってる点)がひとつ、青線のみ繋がってる点(10番に繋がってる点)がひとつ、残りは赤線、青線ひとつずつと繋がってる
②連結成分は2個
になる
②の理由は連結成分数は西の端で2-3を繋げても連結成分数は変わらない、元々この2点は東の橋でいずれかの青線で繋がっているからである
3-4を繋いでもやはり連結成分数は変わらず、以外2〜10まで全てを繋いでも連結成分数は変わらないから変わらない
よって連結成分数は高々2であるが1と繋がってる組は他と繋がってないので連続成分数は少なくとも2とわかる
よってできるグラフは孤立点一個と残りは一本のpathになる
例えば
c,h=d-g=b-a=f-i=j-e (cが孤立点-が赤線、=が青線)
であるとすると
1-c,2-h,3-d,4-g,5-b,6-a,7-f,8-i,9-j,10-e
と決まる >>648
URLsで分かった、
ブラクラ注意！マックが壊れて爆発する 俺はマックでなくモス派だから特に問題ない
>>648の記事では
問題
黒玉2個、白玉2個が入った箱の中から玉を2つ取り出してそのうち1個が白玉であったとき、もう片方も白玉である確率
について
同時に2個取り出した場合は1/6、1個取り出してからもう1個取り出した場合は1/5
という答えになってるんだよ あえておかしさを見いだすなら、わざわざ面倒な方法で答えを出しているところくらいか？
2問目は残っているのが白1黒2なんだから1/3でいいし、3問目は5通りのうち1通りだから1/5でいい >>647
草引きしないとな。 熱中症に気を付けて… 平面上の4本の直線が与えられます
どの2本とも平行ではなく、どの3本とも共通の点で交差していないとします
それぞれの線の上をおばけ虫がある一定の速度で這っています（各おばけ虫の速度は同じとは限りません）。
幽霊なので、2つの虫がたまたま衝突しても、お互いに途切れることなく這い続けます。
6つの衝突のうち5つが実際に起こったとします。
6つめも同様に起こることを証明してください。 >>652
白白だけ白A白Bと白B白Aを数えているのがおかしいな
白B白Aを除いて5通りのうち1通りだから1/5だわ 2個取り出して別の袋に入れ、そこから無作為に1つ取り出したら白だった。残る1つも白である確率は？だったら1/6かな？ >>654
時間も含めて3次元で考えれば2匹の軌道直線を含む平面A内の2点を結ぶ直線が3匹目の軌道であり、これは平面Aと3匹目の這う直線の時空面Bの交差直線に一致する
4匹目の軌道直線も同様に平面Aと4匹目の這う直線の時空面Cの交差直線になる
よって3匹目と4匹目の軌道は平面A,B,Cの共通点で自動的に交わる >>606
これ紐の両端をくっつければいいだけじゃないの？ 無理クリ問題文を物理っぽく書こうとして失敗してるんやろw イヤ、問題文が失敗とまでは言えないか
「紐は可変長、紐の端も自由端、何故か紐と端の和が一定」と言われるとなんか現実にそぐわなさすぎてどうなんとも思うけど「紐は伸び縮みしない、棒にまとわりついていくだけ」と解釈できなくもないな
物理っぽく書こうとするとその手の世界でよくある“暗黙の了解”が入り込んでくるからな すみません>>606の出題者ですが
ヒモの長さは自由ということです
数学的に問題を書くならこうです
0≦C≦1とする
xy平面上の曲線の両端点がx軸に接しているとする.
曲線とx軸が囲む領域の面積が一定のもとで、
(曲線の長さ)+C×(曲線の両端点の距離)
を最小にするとき、曲線とx軸とがなす角度を求めよ
>>662
ヒモと端の和は一定である必要はありません
囲う面積が一定なだけです >>664
線ではなく点が接しているだけなのでそうはなりません 点がx軸上にあるって言わない？普通
それともなんか違うの？ >>667
同じことです
言い方が紛らわしかったらすみません >>663
ありゃ、そうやね
となるともう物理的に解釈するのはほとんど不可能に見える両端点間の距離が無ければ二次元世界のシャボン玉の問題とかみなせなくはないけど
今回は紐って言ってるからな
“紐”って言ってしまうと暗黙に“固定長”と思い込んでしまう誤解を不必要に誘発してしまう 素朴な疑問だけど、質量0の粒子ってさ、
例えば、光の粒子である光子や量子力学の量子
あれって摩擦とか表面張力とか起こりうるの？
電子は…質量があるから別か…、
運動する速度が光の粒子などと比べるとやけに遅いし…。 自然数p,qに対して、
p*q*|π-p/q|の最小値を求めよ. irrationality measure決まってないから無理っぽい p=355, q=113 のとき最小値 0.01070124545 きっとp/q=22/7だな
これが最強の近似値のはずだ p = 22, q = 7
これでいいよ、もう
22/7 = ほぼπ p=22, q=7 のときは 0.194731347172
最小ではありません。 irrationality measureが2より真に大きければ最小値なしが答えになる
もし０でない最小値が答えならπのirrationality measureは2と決定する事になる >>656
最初に取り出した球が白なら残る１つは白黒黒のどれかだから白である確率は1/3じゃないのかな？ >>653
除草しました。
wwwoJT8w → ___oJT8_ >>680（補足）
球を1,2,3,4として奇数が白、偶数が黒とする。
2個取り出す組み合わせは
(1,2) (1,3) (1,4) (2,3),(2,4),(3,4)の
6通りで各々の確率は1/6
2個から最初に取り出した球が白である確率は
(1,2)のとき 1/6*1/2
(1,3)のとき 1/6*1
(1,4)のとき 1/6*1/2
(2,3)のとき 1/6*1/2
(2,4)のとき 1/6*0
(3,4)のとき 1/6*1/2
最初に取り出した球が白であるときに二つ目も白である確率は
(1/6*1) / (1/6*1/2+1/6*1+1/6*1/2+1/6*1/2+1/6*0+1/6*1/2) = 1/3 πを 有理化して q/p への近似
および代用できる近似有理数の覚え方
・分母であるpの側はたいてい素数である事に注意！！
・ 22/7 … 覚え方。分母p は1桁の素数の7であると覚えておく。
ここから逆算すると 自然数 7を3.14倍して
自然数22 が出てくる。これでp,q は揃った。
・ 355/113 … 覚え方。 分母p は3桁の素数の序盤にある113 であると覚えておく。
ここから逆算すると 自然数 113 を3.14倍して355が出てくる。
もしくは…女子大生を2人用意して胸を思い浮かべろ。
"みこ子 & 良い美 のオッπ"
これで 22/7, 355/113 をいつでもπのかわりに使えるね。 >>645
尿瓶洗浄係＝職種の言えない医療従事者、あんたのことだよ。
開業医スレを荒らしに行って入院勧告を受けているのが尿瓶洗浄係。
シリツ医大スレで尿瓶洗浄係はシリツ卒であることが判明している。
ライセンスをもって仕事をしていれば、普通は職種を言うからね。
別に医師でなくても視能訓練士とか言語療法士とかね。
それが言えないのだからライセンスなしの仕事だと思う。
尿瓶洗浄ならライセンスなしでやれる。 元の問題はパイを近似する問題じゃないだろ
分子と分母の積もかけた数値の最小値だからいくら近似が近くても
求める値はでかくなりうる π<p/qとして、pをxで置き換えて
x(x-qπ)という2次函数になるが
x = qπ/2 あたりで最小になるはずだろ?
qいくらでも多くしても、最小値候補がでてきそうだが
答えは 355 113なのか? >>686
そんなことはないな
その最小値がいくつになるか考えずに言ってた √2のirrationality measureは2だから
p*q*|√2-p/q|なら最小値あるのかな？ p,q が「ペル方程式」の解のとき
pp - 2qq = ±1,
となるが
p |q√2 - p| ≒ 1/2 > √2 -1. (p,q) = (7,5) (17,12) (41,29) (99,70) … >>684
尿瓶いつになったら医者の証拠出すんだよ >>690
>>692
なるほど
コメントありがとうございます >>694
尿瓶洗浄係＝職種の言えない医療従事者、あんたのことだよ。
開業医スレを荒らしに行って入院勧告を受けているのが尿瓶洗浄係。
内視鏡スレでは業界ネタが投稿できず、尿瓶尿瓶と連呼して誰からも相手にされていない。
プレセデックスのネタを書いたらsedationが話題になって議論が続いている。 >>696
自称医者のくせにタイポしか能がない上に証拠出せないゴミで数学板でも医者板でも全く相手にされてない尿瓶はアンタだよw
いつになったら気づくんだ？ >>698
ところが、尿瓶洗浄係は医療従事者を名乗ったが職種が言えないんだよなぁ。
開業医スレや内視鏡スレで業界ネタを書けないからライセンスなしの業務に従事していると思われる。
ライセンスなしでできるのが尿瓶洗浄ということ。 >>697
尿瓶洗浄係だと内視鏡スレで話題になっていたプレセデックスの一般名すら知らんだろ？使ったこともないだろうし。 >>699
だから？
誰にでもできることをそんなに重要視するのはなんで？ >>700
尿瓶は証拠もない自称医者
アピール必死で滑稽だね a,b,c > 0、
ab+bc+ca+abc=4 のとき、
a+b+c ≧ ab+bc+ca.
ベトナム1996らしい めっちゃむずいやつ
フロップタウンの市民は毎週会合を開き、町の政治について、特にダウンタウンに新しいショッピングモールを建設することを支持するかどうかについて話し合っています。
会議の間、各市民は自分の友人（なぜかいつも奇数人いる）と話をし、翌日には（必要であれば）ショッピングモールに関する自分の意見を自分の友人の多数派の意見に合わせるように変更します。
最終的には、1週間おきに意見が同じになることを証明してください。
コメント : 意見のパターンは有限個（市民がn人いれば2^n）しかないので、しばらくするとパターンがサイクルすることは明らかです。
ここでの主張は、この最終的なサイクルは周期2（または1）しかないというものです。
いったいなぜそんなことが起こるのでしょうか？ 市民全員が奇数人の友人を持つということは市の人口は必ず偶数になるね >>699
でっち上げの医療従事者を連呼して得意顔で語る自称医者()なんかリアルどころか掲示板でもゴミ扱いは当然だよなぁ？ >>707
それは正しいかもしれませんが持ってる解答では使いません 前>>573
>>706
題意より自分はショッピングモール建設について賛成とか反対とか意思を持っておらず友人の多数派の意見を支持する。
仮に先週の会合で賛成が多数派で今週の会合でも賛成が多数派なら、
ショッピングモールは建設されてしまう。
反対しますという意思表示を悟られることなくショッピングモール建設を阻止するには、
隔週で反対が多数派になればいい。
そうなれば永遠にショッピングモールは建設されないし、なに反対したはんの？ って目で見られることもない。
∴示された。 >>708
業界ネタにはちゃんとレスがつく。
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1625605940/72
一方、尿瓶洗浄係は
内視鏡スレでは業界ネタが投稿できず、尿瓶尿瓶と連呼して誰からも相手にされていない。 >>706
A → B が友人関係のとき、 B → A の友人関係が
暗黙で条件になるというのがキモだな。
「友人と話をする」の部分を
「そいつが友人だと思っている人と話をする」
に置き換えればかなり簡単になりそうだな。
A → B は友人関係だけど、
BはAを友人と思ってねぇから BはAと無関係で。
それなら解けそう。 >>712
レスもらえて喜んでるの微笑ましいと一瞬思ったけど、お前はもう
「構ってもらえて嬉しい（ｷｬｯｷｬｯ」
が許される年じゃないな >>711 なんでそんな寂しい事言うんや。
>>711の意見を反映させ
>>706 の条件を変えた変化型 (難しくない版) が >>713
友人の条件は 「対称性のある両方向の矢印で結ばれた点Aと点B」 ではなく…
「片方向の矢印でも良い点A から 点B」 もOK とする (Aが一方的にBを友人と思っているケース)
>>713 で解いて見たら…
そんなに難しくないはず。 >>715
そもそも向き付きのグラフなら周期奇数もあり得ます
A→B、B→C、C→A
が友人と思ってる向きのとき(つまりAはBの意見だけで翌週の意見が決まり‥)なら(A,B,C)=(賛成、反対、反対)からスタートすると周期3です >>712
数学板なんだから、数学の業界ネタ書けよ。 >>712
少なくともここではゴミ扱いだぞ？それに自演ってバレバレですけどw >>712
スレタイも読めないガイジはお引き取りください >>717
あ、本当だ、単純すぎたわ。
友人の数 = 真の友人N人 + 友人だと思っている相手 M人
こういう条件をつけないと問題にならんな。 >>682
百万回シミュレーションして検算。
> y=replicate(1e6,sample(sample(4,2))%%2==1)
> z=y[,y[1,]]
> sum(z[2,])/ncol(z)
[1] 0.3335205 自分で出題して誰にも相手にされないから自分で解く尿瓶 自然数p,qに対して、
|(p^2)*√5 - p*q|の最小値を求めよ. (p,q) = (4,9) のとき最小値 4(9 - 4√5) = 0.22291236
(p,q) が「ペル方程式」の解
qq - 5pp = ±1,
のとき
p |p√5 - q| ≒ 1/(2√5) > 2(√5 -2),
(p,q) = (1,2) (4,9) (17,38) (72,161) … >>728
残念ながら不正解
もっと小さな解があります >>729
ごめんなさいこちらの見間違いでした
>>728大正解！ >>717
ちなみに主張が正しければ各住人の賛成、反対のパターンは
賛賛賛‥、反反反‥、賛反賛‥、反賛反‥
のいずれかに落ち着くハズですが全パターン表れる解もあります
住人がA1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,D1,D2で
Aiの友人はBj,Ck,Dlの7人
Bjの友人はAi,Ck,Dlの7人
Ckの友人はAi,Bj,Ck'の7人
Dlの友人はAi,Bj,Dl'の7人
で初期が
Ai,Ckは賛、Bj,Dlは反からスタートすると
Ai,Bj,Ck,Dlの意見はそれぞれ
賛反賛‥、反賛反、賛賛賛‥、反反反‥
とループします √5は正規連分数展開の循環節の長さが1だから優しいんだよな
循環節の長さが増えても計算量ちょっと増えるだけで面白味がそこまで増えるわけでもないけど ピーター君はｎという正の整数が書かれたカードをもっている。数字が偶数のときはそれを２で割り、奇数のときはそれを
３倍して１を足し、そのカードをジョン君に渡す。ジョン君は渡されたカードを２で割ってピーター君に渡す。ピーター君は、渡されたカードの
数が偶数ならば、２で割り、カードの数が奇数になるまでジョン君と一緒に２で割る操作を繰り返す。カードの数が奇数になったときは、それ
を３倍して１を足したものを相手に渡し、以後同じ操作を繰り返す。このような作業を繰り返したとき、有限回の操作で、一番最初のカードの数
どのような整数であっても、必ずピーター君またはジョン君が１と書かれたカードを持つことになることを示せ。 有名な未解決問題であるコラッツの問題をつまらん文章題に仕立てあげたうえに日本語もおかしい
最後の行に『ピーター君またはジョン君が』とあるが
1→4→2→1の周期があるのだから『ピーター君が』で充分 以下の極限を調べよ
lim[x→+0]lim[n→∞]Σ[k=1,n]sin(k^2 x)/k >>740
それほんとに解ける？
最近未解決問題はるアホ多いからなぁ イヤ
イヤ、できるやん
Σ[k=1,n]sin(k^2 x)/k
= Σ[k=0,n]sinc(k^2 x) kx
= sinc(0)×0/2 + sinc(n^2x)×nx
+ ∫[0,n]sinc(t^2x)txdt
+ ∫[0,∞](sinc((iy)^2x)-sinc((-iy)^2x)-sinc((n+iy)^2x)+sinc((n-iy)^2x))/(exp(2πy)-1)dy
第1項は0、第2項は任意のxでn→∞のとき→0は明らか
第3項→ ∫[0,∞]sinc(t^2x)txdt
= ∫[0,∞]sin(t^2x) dt /t
= (1/2)∫[0,∞]sin(u) du/u
でxに依らない定数
第4項はx固定してn→∞で一様可積分で
第4項→∫[0,∞](sinc((iy)^2x)-sinc((-iy)^2x))/(exp(2πy)-1)dy
さらにx→0でも一様可積分で→0
結局残るのは第3項のDirichlet積分だけやな
=
im[x→+0]lim[n→∞]Σ[k=1,n]sin(k^2 x)/k >>741
ヒント
x=π/2のとき和は発散
x=π/3のとき和はlog(2)/√3に収束
x=π/4のとき和は発散
x=π/5のとき和は√(2-2/√5)log((1+√5)/2)に収束
x=π/6のとき和は発散 >>743
あれ？
>>742間違ってる？
どれか発散する？ あれ？
確かにx=π/4のときは発散するな
一般に2べきの時は発散するのか
あれ？
どの項が発散してるんやろ >>744
そもそもAbel–Plana formulaの適用条件を満たさない
なぜならarg(z)=π/4のとき z=(√i)y=((1+i)/√2)yで
sin(z^2 x)/(e^(-2πiz)-1)=O(exp(xy^2-√2πy))でy→∞で発散するので
積分路を虚軸に移動できない え？
でも前回cos(n)/log(n)の時はピタッと計算できてたよ？ あ、いや違う
今回はsin(k^2x)で分子の方が2乗オーダーだからか なるほど
で結局L関数の特殊値の和で展開した時に単位指標成分が0でないやつは発散、0のやつは収束するんやな 前>>710
>>734
ピーター君が50と書かれたカードを持っていたとすると、
２で割り25と書きなおしてジョン君に渡した。
ジョン君は渡されたカードを２で割ってピーター君に渡すから、
25を2で割って12.5だ、
絶対奇数になることはないから、
３倍して１を足し、そのカードをジョン君に渡すことはない。
もちろん偶数でもないから、２で割り、カードの数が奇数になるまでジョン君と一緒に２で割る操作を繰り返すこともない。
カードの数が奇数になったときは、それを３倍して１を足したものを相手に渡し、以後同じ操作を繰り返すけど、さっきも言ったように絶対奇数にはならない。
ただ、ピーター君またはジョン君が１と書かれたカードを持つことになる可能性までは否定しない。
好きかもしれない、1が。ピーター君またはジョン君または二人ともが。 前>>750
>>734
ピーター君が20と書かれたカードを持っていたとすると、
２で割り10と書きなおしてジョン君に渡した。
ジョン君は渡されたカードを２で割ってピーター君に渡すから、
10を2で割って5
ピーター君が受けとった5は奇数だから３倍して１を足し、5×3+1=16
16と書いたカードをジョン君に渡した。
偶数だからジョン君は２で割り、16÷2=8
8をピーター君に返した。
カードの数が奇数になるまでジョン君と一緒に２で割る操作を繰り返すから、
8÷2=4がジョン君に、
4÷2=2がピーター君に、
2÷2=1がジョン君に渡された。
カードの数が奇数になったので、
ジョン君は1を３倍して１を足した1×3+1=4をピーター君に渡し、
ピーター君は4が偶数なので2で割り4÷2=2をジョン君に渡した。
ジョン君は2を2で割って2÷2=1をピーター君に渡した。
∴ピーター君とジョン君はどちらも１と書かれたカードを持つことになる。
ピーター君が19を持っていたら19×3+1=58をジョン君に渡した。
ジョン君は58÷2=29をピーター君に渡した。
ピーター君は29×3+1=88をジョン君に渡した。
ジョン君は88÷2=44をピーター君に渡し、
ピーター君は44÷2=22をジョン君に、
ジョン君は22÷2=11をピーター君に渡した。
ピーター君は11×3+1=34をジョン君に、
ジョン君は34÷2=17をピーター君に渡し、
ピーター君は17×3+1=52をジョン君に、
ジョン君は52÷2=26をピーター君に、
ピーター君は26÷2=13をジョン君に、
ジョン君は13×3+1=40をピーター君に渡した。
ピーター君は40÷2=20をジョン君に渡したから、
さっき最初に20を持ってたピーター君の立場をジョン君に味あわしてやった。
結局19を持つことは20を持ってたことと同じ。
ここまでできた。 >>739
尿瓶洗浄係がシリツ卒とバレて狼狽していて滑稽。 >>753
尿瓶が証拠も出せないただの尿瓶だとバレて大変滑稽w サイコロを使ったゲームを考える
最初にAさんが好きな面を上にしてテーブルの上に置く
次にBさんがそのサイコロを好きな方向に横に1回倒す
次にAさんがサイコロを好きな方向に横に1回倒す
次にBさんがサイコロを好きな方向に横に1回倒す
・・・・・
と延々繰り返し、今まで出た目の合計値を最初に3桁にしてしまった人の負け
プレイの一例
Aさんが3の面を上にしてサイコロをテーブルの上に置く
この時点での合計値は3
↓
Bさんがサイコロを横に倒して5の目を出す (3の面から倒すので選べる目は1,2,5,6のいずれか。3を再度出すことや、裏側にある4を出すことは不可能)
この時点での合計値は8
↓
Aさんがサイコロを横に倒して6の目を出す(5の面から倒すので選べる目は1,3,4,6)
この時点での合計値は14
・・・・・
といった具合に続けて、最初に合計値を100以上にしてしまった方が負けになる
問題
このゲームで互いが最善を尽くした場合、AさんとBさんどちらが勝つか
Aさんが勝つ場合は最初に選ぶべき目を答えよ
Bさんが勝つ場合は、Aさんが最初に4を出した場合に次にBさんが選ぶべき目を答えよ x+y+z=lcm(x, y, z)+1
をみたす整数の組(x, y, z)をすべて求めよ >>755
書き出してみると合計を9で割ったあまりが1番左の値でサイコロの上面が1〜6それぞれに回って来た時その時下表の数字の書いてある場所なら
0 → × × × × × ×
1 → 4 4 × × 4 4
2 → 2 3 2 2 3 2
3 → 3 3 6 6 3 3
4 → 5 × 5 5 × 5
5 → 4 4 × × 4 4
6 → 3 3 × × 3 3
7 → 2 3 2 2 3 2
8 → 5 1 1 1 1 5
の面を表に向けると必ず×のところに移動し、逆に×の位置からは数字の書いてある場所にしか移動できない
よってこのゲームは後手必勝 >>756
lcm=lとおきx=l/a,y=l/b,z=l/cとおく
a≧b≧cとして良い
条件は
1/a+1/b+1/c=1+1/l
c≧3ならLHS≦1で矛盾
c=1なら1/a+1/b=1/l≦1/aにより矛盾
∴ c=2
この時
1/a+1/b=1/l+1/2
b≧4ならLHS≦1/2で矛盾
b=1ならL1/a+1/2=1/l≦1/aにより矛盾
∴b=2,3
(i) b=2のとき
1/a=1/lよりa=l
∴x=l/a=1, y=z=l/2
しかしこの時lcm(1,l/2,l/2)=l/2で矛盾
(ii) b=3のとき
1/a=1/l + 1/6 > 1/6よりa≦5
∴(a,l) = (3,6),(4,12),(5,30)が必要
逆にコレらの時
(a,b,c,l,x,y,z) = (3,3,2,6,2,2,3),(4,3,2,12,3,4,6),(5,3,2,30,6,10,15)
でコレらは条件を満たす
∴ >>757
正解だけど合計値が97のあたりから最善手が変わってくることに注意 その表、合計98のとき1の面で手番きたらどうするの？ >>760
ですね
99くらいから書き出していくと90、81、72は後手必勝とわかるけど間の8個は微妙に変わる
しかし81あたりからループする
本問1〜9が知りたいところなのでループした時点で勝ち 書き出した結果
小さい順に書いてるけど99からスタートとして下がっていく
数字マスにしかいけないところには×、×にいける時はその数を書き込む地道な作業
よくよく見たら〜96でループしてる
81 → × × × × × ×
82→ 4 4 × × 4 4
83 → 2 3 2 2 3 2
84 → 3 3 6 6 3 3
85 → 5 × 5 5 × 5
86 → 4 4 × × 4 4
87 → 3 3 × × 3 3
88 → 2 3 2 2 3 2
89 → 5 1 1 1 1 5
90 → × × × × × ×
91 → 4 4 × × 4 4
92 → 2 3 2 2 3 2
93 → 3 3 6 6 3 3
94 → 5 × 5 5 × 5
95 → 4 4 × × 4 4
96 → 3 3 × × 3 3
97 → 2 1 1 1 1 2
98 → × 1 1 1 1 ×
99 → × × × × × × ちなみに正十二面体のサイコロでやると周期は26になるけど最後らへんの例外が900行もあるという カジノの定番のギャンブルで 「赤か黒か」 の勝負、
「資金を2倍にしつづければ絶対に儲かる」って奴あるじゃん？
あれって何で日本国の国家予算、アラブの王族、アマゾンのベゾスさんの
ポケットマネーでやらないの？
「赤か黒か の運試し」 → 「ただの金の積み合い」
これに持ち込める時点でほぼ勝利確定じゃん？
2000円で開始して、40戦を続けたとしても
40京(けい)円の現金があれば出来る。
****
最初、1回戦目には2千円を「赤なり黒なり」にかけて
それから掛け金を2倍にして次の試合を続ける
(n 戦目では2^n 千円を に 賭ける)。
これを繰り返すといつかプレイヤーにとって
キリの良い金額(例えば1億円～40京円)で
1勝する瞬間が(高確率で)やってくる…よね、理論上。
**** >>765
おれが自民党総裁だったら
ぜったい、これをやって年金増やすわ。
だってこの規模の資金力なら
金の積み合い で負ける訳ねぇじゃん。 >>765
効率、期待値が悪いからかと
ビジネスや公共事業に投資したほうが効率がいいか
そうでなくとも損が出たとしても国民が潤うからかと
ギャンブルだとそうではない 前>>751
>>755
先手が6で後手が5を8回やって合計88なら絶対勝てる。
17手目が6のとき5で合計99 先手は出せない。
17手目が4のとき6で合計98 先手は1が出せない。
17手目が3のとき1+2+1+2+1で合計98 先手は1が出せない。
17手目が1のとき5+4+1,5+3+2,5+1+4でいずれも合計99 先手は出せない。 >>764
周期29やな
h t t p s://ideone.com/hwjEPB よく知らないんだけど、多面サイコロが与えられたときに必勝法の有無を判定する簡単な方法があったりする？
もっと言えば、いくつかの状態と遷移に伴う重みが与えられた有向多重グラフの場合とか 必勝法はいつでもあるやろ
それがパパッと計算できるような簡単なやつか否かという問題でしかない そうか全然ゲームの話知らなかったけど、こういうパス無しの有限ゲームの場合は常に必勝法あるらしいね
話を戻して多面サイコロなら表の上手い作り方がある？ >>706 分からん
一方的な友人関係だとするとループが形成できて票数は一定みたいな状況が作り出せる
でも3-5-3人でループを作ってそのうち一人は3グループで共通とかだったらかなり複雑なサイクルが作れそうだ
賛成が奇数人だったらという条件なら行列mod 2とかで簡単にわかるんだけどな >>706
ヒントです
正直この問題ノーヒントで解けない
友達であるA,Bに対してA→B、B→Aと矢印を書いて向き付きのグラフを考えます
この矢印で例えばA→BでAがBに対する会合でBの意見がどうなるかを観察します会合の後のBの意見が会合前のAの意見に一致するときこの会合においてこの矢印は採用されたと考え、一致しない時はこの矢印は棄却されたと考えます
例えば市民がA1,A2,A3,B1,B2,B3で友人関係はAiとBjの間だけに存在して全部で9個あるとします
初期の意見が(A1,A2,A3,B1,B2,B3)=(賛,賛,反,反,反,賛)としましょう
1回目の意見交換で意見は(A1,A2,A3,B1,B2,B3)=(反,反,反,賛,賛,賛)と変わります
この意見交換で(A1,B3)の意見は(賛,賛)から(反,賛)と変化したのでA1→B3は採用されB3→A1は棄却されたとわかります
採用された矢印は12,棄却された矢印は6です
2回目の会合では(A1,A2,A3,B1,B2,B3)=(賛,賛,賛,反,反,反)と変わります
この2回目の意見交換で採用された矢印は18,棄却された矢印は0となります
採用された矢印は増え、棄却された矢印は減りました
何故か？
です >>777
それもうプププランドくらいの愚民じゃねぇか >>776
イヤ、そこまであまくはありません
自分の友人が全て同じ意見にならない限り棄却数が0になる事はありませんが>>731の例のようにいつまでも賛成、反対入り混じってる例があるので
しかし棄却数が減り続けることはないのでいつか定数になります
もう分かったと思いますが実は
「総採用数、総棄却数が定数となった時点以降は周期2で循環する事を示せ」
です
>>777
そうです
以降(賛,賛,賛,反,反,反)と(反,反,反,賛,賛,賛)の繰り返し んじゃあ、元々の
> 最終的には、1週間おきに意見が同じになることを証明してください。
ってなんなの？ 意見交換は毎週なので“一週おきに”は“周期2”の意味ですよ
その辺の言葉の解釈で曖昧さが残るのは不本意ということで原文にはコメントで注意書きがついてるし、その部分も転載してあります 周期1だと解釈してたことにビックリだ
ちょっと考えればわかることなのに まぁ日常会話の文章は曖昧だからなぁ
ちなみに元の問題文の原文は
Prove that eventually, the opinions held every other week will be same.
every other week が一週おきにの意味になるらしい
こんなのあったっけと日常会話の文の難しさを改めて痛感
この文の後にコメントが続いて誤解のないように周期2(または1)との注釈が続く
The claim here is that the cycle has only period 2 ( or 1 ).
多分ネイティブにとってもさっきの文章は曖昧なんやろな
英文でも日本語の文章と同じような曖昧さが入るのがちょっと面白かった 1週おき と 1週ごと
この2つをごちゃ混ぜにして覚えた大人になる奴がいる。
国語の授業で寝ているタイプのやつ。 漸化式
a(1)=1、h*a(n+1) = h*a(n) - (a(n))^2
を解け。 >>786
お前が解け。
なんでそこで命令形なの？ >>775
住人Aの友人Bのうちt回目の意見交換の後A→Bで採用された数をx、棄却された人数をyとする
まずt回目の意見交換の前とt+1回目の意見交換の後でAの意見が同じである場合を考える
この時Aの友人BのうちB→Aで採用された数はx、棄却された数はyである
一方でt回目の意見交換の前とt+1回目の意見交換の後でAの意見が変わった場合をにはAの友人BのうちB→Aで採用された数はy、棄却された数はxであるがAは多い意見に変化しているのでy>xである事もわかる
従って特に採用された数はx→yと増加し、棄却された数はy→xと減少する
結局Aを走らせて和を取ると
・全ての住人がt回目の意見交換の前とt+1回目の意見交換の後で意見が変わらない場合、総採用数も総棄却数も変化せず、
・1人でも意見が変わっていれば総採用数は増加し総棄却数は減少する
以上により主張は示された 解ける目処が立ってからにしようと思ったけど自力ではどうにもならなそうなので、
こないだ思いついたものを投稿。つまり答えは用意できてないです
次を満たす整数の組 {a_ij}_(1≦i≦2, 1≦j≦4) は存在するか：
任意の整数の組 (p,q) に対して、4つの変数 x_j (1≦j≦4) についての連立方程式
p = Σ_(1≦j≦4) a_1j･(x_j)^2,
q = Σ_(1≦j≦4) a_2j･(x_j)^2
は整数解を持つ >>790
考えてみると
「面白い問題」って矛盾してるな
「面白い」は愉快に感じること
「問題」は困難を及ぼすもの
つまり面白い問題なんて存在しないはずだ 解けない問題に出会えて幸せと思えないドMでない者に数オタを名乗る資格はない >>793
国語力なしおorz
解けない問題に出会えて幸せと思えるドMでない者に数オタを名乗る資格はない アスペだけど失礼します。
>>792
小僧、貴様は言葉の幅を広く捉えすぎて
全く変テコな解釈をしている。
文脈からして、興味深い問い、
英語でいうところの "interesting/inspiring questions in math".
本来ならば「興味深い問いを紹介してクレメンザ」
ってスレタイにすべきだな。 以下の微分についての説明って解釈として正しいですか？
h を dx に置き換えるのって…有り無し？
↓↓ ↓
辺の長さ x で正方形S1をつくる
面積はS1=x^2 である
辺をそれなりの長さ h (h > 0) だけ 延長して
辺の長さ (x+h) で正方形S2をつくる
面積はS2 = (x+h)^2 である
ここで面積の差 をdS とすると…
dS = S2-S1
= (x+h)^2 - x^2 = 2hx + h^2
ここで両辺を h で割ると
dS/h = (2x + h) … E1
長さhをゼロに近づけていくと…
右辺は
Lim(h-->0) { 2x+h } = 2x … E2
左辺は 「 hがxの延長上であり、微小であるので dx と置き換えられる」
よって Lim(h-->0) { dS/h } = dS/dx … E3
従って E1、E2, E3 から
dS/dx = 2x を得る。
↑↑↑ 当たり前っぽいけど示しにくいやつ
盤上のレミング
n×nのチェス盤の各マスには、8つの近傍領域のいずれかを指す矢印が描かれています（端のマスであれば、あるいは盤外をさす事もある）。
ただし、隣り合うマス（対角線上のマスも含む）の矢印は、45度以上方向が違っていてはいけないことになっています。
レミングは、いずれかのマスからスタートして、矢印に沿ってマスを移動していきます。
彼はボードから落ちる運命にあるのでしょうか？ >>798
マスの有限列 {c_i}_(i=0,1,…,∃n) であって、次の(a),(b)を全て満たすものをループと呼ぶことにする：
(a) c_0=c_n.
(b) 各 i=1,…n について、c_(i-1) と c_i は一つ以上の点を共有する.
また、ループ l={c_i}_(i=0,…,n) について、n を l の長さと呼ぶことにする。
ループ l に対して l の"写像度" d(l) を次のように定める。
まず、i=1,…,n に対して g(i) = g_l(i) の値を
･c_iの指す方向がc_(i-1)より45ﾟ正の方角であれば 1/8,
･c_iの指す方向がc_(i-1)より45ﾟ負の方角であれば -1/8,
･c_iの指す方向がc_(i-1)と一致すれば 0
と定める。これを用いて d(l) の値は Σ_(i=1,n) g(i) と定義する。
ループが持つ制約(b)に注意すると、ループの写像度は必ず整数になることが導ける。
同じ長さnを持つループ l={c_i}, l'={c'_i} が次を全て満たす時、二つは"隣接している"と言うことにする：
･ i=1,…,n のうちただ一つの例外を除いて c_i = c'_i.
･ 例外となるiについて c_i と c'_i は一つ以上の点を共有する.
二つのループ l,l' について
|d(l)-d(l')|
= | g_l(i) + g_l(i+1) - g_l'(i) - g_l'(i+1) |
≦ 4･1/8 = 1/2
であるが、d(l) も d(l') も整数なので両者は一致する。
任意のループは同じ長さを持つ任意のループから隣接するループを辿って移り変わることができるので、
全てのループの写像度は、同じマスだけからなるループの写像度0と等しい。 >>800
訂正（20行目）
誤
二つのループ l,l' について
正
隣接する二つのループ l,l' について
あとはマスが指し示す隣接マスへの移動がループをなすならば写像度が1になることを示せばOK.
交差とかの可能性を排除するのがやや面倒そうだけどどうかね >>800
正解です
想定解と本質的に同じ
一応想定解はポアンカレホップの定理というのを使います
レミングの軌道が単純閉曲線になるとする(定義から自己交差とかはありえない)
軌道で囲まれた領域をDとおく
マス目の真ん中ぎ格子点になるように座標を取り隣接する格子点を結んで正方形をいっぱい作る
さらに各正方形を斜めに分割して直角二等辺三角形に分ける
その際レミングの軌道が全て辺に乗るようにしておく
各直角二等辺三角形の頂点はマス目の中心なので向きが指定されている向きの指定を辺に滑らかに伸ばす
この向きの指定で直角二等辺三角形を一周した時の“回転数”が0なので向きの指定を三角形全体に伸ばせる
このようにしてD上で定義されたベクトル場でどこでも0ではなく、∂D上でその方向ベクトルとXの向きが高々45°しか違わないものが彫られた
∂Dの外側に少しカラー近傍を延長してD⊂Eとし、さらにXを∂E上外向きになるように定めておく
するとポアンカレホップの定理より
Σ[ρ:Xの零点] index(X,ρ) = χ(E)
であるが左辺はXに零点がないので0、右辺は1により矛盾する
もちろん本問くらいならポアンカレホップもへったくれもないんですが、こういうたわいもないパズル問題でこんな大定理使うとちょっと楽しい >>802
やはり位相幾何学の知識で殴る系統の問題だったかｗｗ
もし各マスの矢印の方向に制約が無くて完全ランダムだったら、
右下に行くマス↘と右上に行くマス↗の間で交差が生じ得るけど、
考えてみればここも45ﾟ制約でちゃんと排除されてくれるんだな
しかし（滑らかな）閉曲線が自己交差を持たなければ回転数が±1になる証明に
どんな定理使ってたかとか、ぱっと出せないあたり勉強不足を痛感した… n(>2)個の点が白か黒で塗られているとする。どちらの色も少なくとも一つはある。
両端が黒い辺すべての長さの合計をA（両端が白をB）、両端が白と黒一つずつの辺のすべての長さの合計をCとすると
C > (A + B)/(n - 2)が成り立つことを示せ。
間違ってたらすみません。 黒点を Pi、白点を Qj とする。
黒点の数を p, 白点の数を q とする。
題意より
p + q = n > 2, p ≧1, q ≧1,
Σ[1≦i<i'≦p] Pi Pi' = A,
Σ[1≦j<j'≦q] Qj Qj' = B,
Σ[1≦i≦p] Σ[1≦j≦q] Pi Qj = C,
さて、⊿不等式から
Pi Qj + Pi' Qj ≧ Pi Pi' (1≦i<i'≦p)
可能な (i<i') および j の総和をとると
(p-1)C ≧ q A
同様に、⊿不等式から
Pi Qj + Pi Qj' ≧ Qj Qj' (1≦j<j'≦q)
可能な i および (j<j') の総和をとると
(q-1)C ≧ p B,
辺々たすと
(n-2) C ≧ q A + p B, R^4空間において(1,2,3,4)の座標を並べ替えて出来る24点はある部分3次元空間内で凸多面体の頂点を成す
この多面体の体積を求めよ 例)
19路盤で石の取合いがない場合は p=181, q=180, n=361 かな。 >>806
3次元部分空間 w+x+y+z = 10 なのでコレやな
ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E9%A0%82%E5%85%AB%E9%9D%A2%E4%BD%93 n=2,3,4,5,6のとき
√2、√3^3、√4^5、√5^7、√6^9、
マジか >>811
正解です
なので一辺aを√2として体積は32ですね
>>812
これ自分も4次元まで見てそうなるとは思ったんですが5,6次元でも確かめられたということでしょうか
とても不思議です なるほどわかった
件の図形は超平面
x1+‥xn=n(n+1)/2
のTesselationを与えるけどその変換群は第i成分がn-1、残りの成分が-1であるベクトルviの加減で生成される平行移動で生成される
vi・vi=n(n-1)
vi・vj=-n (i≠j)
でグラミアンは
gram(v1,‥,v(n-1)) = n^(2n-3)
なので一個の体積は√(n^(2n-3))になる
すげぇ >>796
誰か答えてください。
視覚的に理解しやすいように
幾何学？ で正方形1とそれを少し大きくする面積の増分で
微積分を説明しようとしてみました。
せめて 間違っているか正しいのか
だけでも答えてください。 f(x) = x^2 のある点での勾配 = 導関数を
求めるのは単なる公式から x^2 微分して → 2x と
求められるがその意味を直感的にすると…。
実は正方形の面積 と 「その増分」 で
このように視覚的に表せる…といいたかった。 視覚的というか、やってる計算はほぼ微分の定義じゃないか >>819
おっしゃるとおりです。
関数 f(x) = なんとか の関数の勾配を求めたり、
座標から速度を求めたりする図の説明をよく見ます。
あれをもっと直感的に捉えられるようにしてみました。
x^2 や x^3 なら、正方形・立方体の面積・体積の
増加量で実体があるから見たままで分かりやすい。
(関数の勾配や速度、の表現だとそれ自体が目に見えないので)
増加しただけの面積や体積の値を
計算してみるとその関数の勾配(速度、導関数)と
同じになるのがわかります。
>>820
高校数学の質問スレにしたけど無視されました。
大学以上の数学を知っている人に
判断してもらいたかったのでこのスレが一番適切かと。 ここは質問スレではありません
大学レベルの質問スレは既にあります 某高校入試問題
2次方程式 x^2 + (√2 - 2√3 - 2√6)x + (5 + 6√2 - 2√3 - √6) = 0 を解け。
実際の問題では誘導があるが、数学板の諸君なら誘導なしで解けるはず。 ん？判別式D=18だから解の公式から答えでちゃうけど >822
そんなスレないよ、検索したけど。
>>823
それはy = x^2 などの関数のある区間の面積を求めるのに
積分を使う奴でしょう。
関数の勾配や関数のある区間の面積の話じゃなくて
私の解説は全く違ったアプローチです。
「x軸、y軸の関数のグラフ、 勾配や区間 という語を全く使わない」
直感的な微分についての説明です。
S = f(x) = x^2 で表される関数を
1辺の長さ がx の正方形の面積の話へ置き換えます。
ここでは、関数のグラフを書いたり、勾配という言葉を使う必要もありません。 >>827
ありがとうございます！
「スレチだよ」 と注意してくれる方も良い人ですが、
きちんと誘導先のスレのURLを貼る男の人って
リアルでも仕事が出来そうで凄く良い人っぽい。 >>824
x -√3 -√6 = X
とおくと
(左辺) = XX + (√2)X - 4 = (X-√2) (X+2√2),
X = √2, -2√2. 余計なこと考えないで解の公式ゴリ押しの方がマシな気がする 直交変換
p = (w+x-y-z)/2,
q = (w-x+y-z)/2,
r = (w-x-y+z)/2,
s = (w+x+y+z)/2,
すなわち
w = (p+q+r+s)/2,
x = (p-q-r+s)/2,
y = (-p+q-r+s)/2,
z = (-p-q+r+s)/2,
により
>>808 ⇔ s=5
24頂点は この3次元空間に含まれ
{|p|,|q|,|r|} = {0,1,2}
∴ 稜長 √2 の切頂八面体 話変わるけど
小学生くらいの知能テストにある
立方体や三角コーンなどを袈裟斬りにした時の
断面図を選べって問題、
あれってめっちゃむずかしったよな。 以下n=5の場合を考えるが一般でも同じである
超平面H:x+y+z+u+v=15の領域
x,y,x,u,v≧1,
x+y,x+z,...,u+v≧1+2,
x+y+z,x+y+u,...z+u+v≧1+2+3,
x+y+z+u,...,y+z+u+v≧1+2+3+4
定義される多面体をPとおく
H上の平行移動
t1(x,y,z,u,v) = (x+4,y-1,z-1,u-1,v-2),
...
t5(x,y,z,u,v) = (x-1,y-1,z-1,u-1,v+4)
で生成されるAutHの部分群をGとおく
補題
A(1,2,3,4,5)はPの頂点であり(2,1,3,4,5),(1,3,2,4,5),...(1,2,3,5,4)の4点が隣接点である
∵ ) Pに属する事は明白である
Aは方程式
x=1‥①,
x+y=1+2‥②,
x+y+z=1+2+3‥③,
x+y+z+u=1+2+3+4‥④
を満たす
また(1,7/2,7/2,7/2,7/2),(3/2,3/2,,4,4,4),(2,2,2,9/2,9/2),(5/2,5/2,5/2,5/2,5)はPの境界で①〜④の点であるから①〜④はPの面であるとわかる
よってAはPの頂点である
さらに
(2,1,3,4,5)は②,③,④,
(1,3,2,4,5)は①,③,④,
(1,2,4,3,5)は①,②,④,
(1,2,3,5,4)は①,②,③
を満たすからAの隣接点である
主張
Pは(1,2,3,4,5),(2,1,3,4,5),...,(5,4,3,2,1)の凸包である
∵ ) これらの点は全てPの頂点である
さらに隣接点を取る操作で閉じているからPの頂点の全体と一致する 補題
PはGの基本領域である
すなわち単位元でないt∈Gに対し
intP∩int(tP)=φ
であり
∪[t∈G]gP = H
である
∵ ) Gの元tは少なくとも一つが0である非負整数a1,a2,..a5によってt=a1t1+‥a5t5と書くことができる
a1≧a2≧...の場合を考える
この時は
t = (a1-a2)t1 + (a2-a3)(t1+t2)+...+(a4-a5)(t1+t2+t3+t4)
である
ai-a(i+1)=bi、t1+..ti=uiとおいて書き直せば
t=b1u1+‥+b4u4
である
tが単位元でないならいずれかのbiが0でない
内点(X,Y,Z,U,V)をとる
そのtによる像を(X',..V')とする
b4>0のとき1+2+3+4<X+Y+Z+Uより1+2+3+4+4b4<X'+Y'+Z'+U'となる一方でPの内点はx+y+z+u<2+3+4+5だからこの場合はよい
b4=0,b3>0のとき1+2+3≦X+Y+Zより1+2+3+6b3<X'+Y'+Z'となる一方でPの内点はx+y+z<3+4+5だからこの場合もよい
b3=b4=0,b2>0のとき1+2≦X+Yより1+2+6b2<X'+Y'となる一方でPの内点はx+y<4+5だからこの場合もよい
b2=b3=b4=0,b1>0のとき1≦Xより1+4b1<x+y+zとなる一方でPの内点はx<5だからこの場合もよい
以上により最初の条件は示された
Pの面x=1はt1によってx=5に移るが、従ってPの面x=1の内点ははP∪T1^(-1)Pにおいては内点に入る
他の面についても同様であるから任意のt∈Gに対してtPの面Sの内点は十分大きなGの部分集合Sにおいて多面体∪[t∈S]tPの面には含まれなくなる
よってS⊂int∪[t∈S]tP⊂int∪[t∈G]tPとなり、int∪[t∈G]tPは開集合である
閉集合である事は容易であるから∪[t∈G]tPはH全体となる
定理
Pの体積は√(5^7)である
∵ ) t1〜t4の平行移動量のベクトルをv1〜v4として
|vi|^2=(5-1)^2+(5-1)=5×(5-1)、
vi・vj=-(5-1)×2+(5-2) = -5
であるからそのグラミアンは
(5^2)^(5-1)-5×(5-1)×(5^2)^(5-2)
=5^(2×5-3)
であるからその基本領域の体積は√(5^(2×5-3))である あ、それこそ、この表示において切頂八面体の1/8象限内の形って立方体を袈裟斬りで半分にした形じゃないか
だから体積が2^3÷2×8=32というのもすぐ分かる まぁ切頂正八面体である事は示すだけなら
(1,1,4,4),(1,4,1,4),...,(4,4,1,1)
の凸包である正八面体の12本の辺から2点ずつ等間隔にとってるだけやから当たり前っちゃ当たり前 (w, x, y, z) = (1,1,4,4) (1,4,1,4) (1,4,4,1) (4,1,1,4) (4,1,4,1) (4,4,1,1)
を直交変換により 三次元空間 s=5 内の正八面体
(p, q, r) = (-3,0,0) (0,-3,0) (0,0,-3) (0,0,3) (0,3,0) (3,0,0)
に移る。稜長は 3√2。
各稜の三等分点が24頂点 玉が1つ入った袋がある。コインを投げ表なら袋の外で用意した玉を1つ袋に入れ、裏なら袋から1つ玉を外に取りだす操作を行う。玉が袋からなくなった時点で操作を終了する。この操作をn回繰り返した後、袋に玉が残っているようなコインの裏表のでかたは何通りか。二項係数を用いて表わせ。 C[ n, (n-1)/2 ] ( n : odd )
C[ n, n/2 ] ( n : even ) 平面上に、次の条件を満たすように点を配置する
・どの3点を選んでも一直線上にはない
・どの2点間の距離も有理数である
このとき点を無限に置くことができることを示せ >>843
条件をつけ忘れた
・どの3点を選んでも一直線上にはない
・どの2点間の距離も有理数である
・どの点の(x,y)座標も有理数である
これでお願いします 有理数の無限集合Sで任意の元aについて√(1+a^2)が有理数となるようなものをとっておく
a∈Sに対しP(a)を(1,a)としQ(a)を線分OP(a)上の点でOP(a)×OQ(a)=1となるようにとる、すなわちQ(a)はP(a)のx^2+y^2=1に対する反転とする
この時Q(a)は全て(x-1/2)^2+y^2=1/4上にあるのでどの3点も同一直線上にない
一方で△OP(a)OP(b)と△OQ(a)Q(b)は相似比がOP(a):OQ(b)、すなわちOP(a);1/OP(b)の相似な三角形であり、P(a)P(b)が有理数だからQ(a)Q(b)も有理数である
・ >>845
うまい構成法だね
想定解でも円を利用してるけど
これに条件『どの4点も同一円周上にない』をつけ足したものは未解決らしく
今のところ6つまでしか置くことができてないらしい 1+p^2/q^2=r^2/s^2 (pqrsは整数 pq rsは互いに素)
を満たす有理数p/qが無限にあるとまだ証明できてないぞ
もっともやり方は簡単で
a^2+b^2=c^2(かつ最大公約数は1)の解は無限個存在することを使えば
q=s=b p=a r=cとして条件を満たす集合Sが得られる 球体上の曲線
単位球面上の閉曲線が2π以下の長さを持つ場合、その曲線はある半球体に含まれることを証明せよ。
コメント 大円(半球の境界)の長さが2πなので、これは成り立つように思えます。
しかし、どうやってそれを証明しましょう？ >>850
曲面上の閉曲線の二点間の測地距離の最大値をD、曲線の長さをLとすれば
D≦(1/2)*Lが成り立つ
なぜならば、D＞(1/2)*Lを仮定すると、ある二点x,yが存在して、d(x,y)＞(1/2)*Lとなるが、L=孤xy+孤yx≧2*d(x,y)＞Lとなり、矛盾
したがって単位球面上の長さ2πの閉曲線は
D≦π となり、Dを達成する二点を結ぶ大円上に頂点を持つ半球に曲線が含まれる >>851
> したがって単位球面上の長さ2πの閉曲線は
> D≦π となり、Dを達成する二点を結ぶ大円上に頂点を持つ半球に曲線が含まれる
ここには何故？
何故任意の2点間距離がπ以下なら半球に含まれてしまうのでしょう？
ところで>>850は“2π以下”になってますが”2π未満”にしておいて下さい
DeepL自動翻訳が“less than”を“以下”と訳してました
まぁ以下でも成り立ちますけど本質的でないめんどくささが発生するだけなので未満でよろしくお願いします >>844
forall n∈N, O(0, 0), A(3n, 0), B(0, 4n) 条件を満たす３点を無限に選べること、と題意を解釈。 動点P,Qがd(P,Q)=1を満たしながらPがxy平面、Qがxz平面を動く時の線分PQの通過領域をK1、
動点P,Qがd(P,Q)=1を満たしながらPがxy平面、Qがyz平面を動く時の線分PQの通過領域をK2、
動点P,Qがd(P,Q)=1を満たしながらPがxz平面、Qがyz平面を動く時の線分PQの通過領域をK3
とする
K1∩K2∩K3の体積を求めよ a = p/q, (pp + qq = rr)
とすると
P(a) = (1, a) = (1, p/q)
Q(a) = (q/r)^2 (1, p/q)
OP(a) = r/q = 1/OQ(a),
同様に
b = p'/q' (p'p' + q'q' = r'r')
とすると
P(b) = (1, b) = (1, p'/q')
Q(b) = (q'/r')^2 (1, p'/q')
OP(b) = r'/q' = 1/OQ(b),
これらより
P(a)P(b) = |p/q - p'/q'| = |pq'-p'q|/qq',
Q(a)Q(b) = |pq'-p'q|/rr'
よって有理数。 >>843-844の想定解
cosθ,sinθが共に有理数となるθをとる
(1,0),(cos2θ,sin2θ),(cos4θ,sin4θ),(cos6θ,sin6θ),…(cos2nθ,sin2nθ)…
は全て単位円周上にあり、2点間の距離は全て有理数である θ/πが有理数でcosθ,sinθが有理数になることってあるっけ？ >>850
長さ2π以外とする
曲線の長さをLとして曲線を長さL/2の２つの弧C1,C2に分割し、分割した点をP,Qとする
球の中心をOとする
P,QがO対称であるならC1,C2はいずれも大円の半分であり、両方を含む閉半休が存在するのは容易(注: 長さ2π未満ならこれはありえない)
P,QがO対称でないとする
この時P,Qを結ぶ測地線が２つ決まり短い方の中点をN、Nを中心とする閉半球をH、Hの境界をE、QのE対称点をQ'とする
C1がEと共有点を持たないならC1はHの内部に含まれる
そうでないとしてC1とEの共有点のうちPに最も近い点をR1、C1のR〜Qの部分をEに対して対称に折り返して得られる、PQ'を結ぶ曲線をC1'とする
C1'はPQ'を結ぶ曲線で長さL/2以下だからPQ'を結ぶ大円の半分でありEとの共有点はR1ただ一点である
よってC1は閉半球Hに含まれる(注: 長さ2π未満ならこれはありえない)
C2についても同様であるから主張は示された 前>>769
>>850
単位球を南北に分け、
北半球と南半球の境界線を赤道とすると、
赤道の長さは2π
今、球体面上の閉曲線の長さは最大で2πだから、
赤道を跨がないように閉曲線をとれば、
北半球または南半球に属する。
∴示された。 難しそうで.....
並んだコイン
テーブルの上には様々な額面のコインが並んでいます。 アリスはどちらかの端のコインを選んでポケットに入れ、次にボブもどちらかの端のコインを選び、ボブが最後の一枚をポケットに入れるまで交互に続けます。
アリスは，少なくともボブと同じだけの金額を獲得するようにプレイできることを証明しなさい．
自分でコイン（または乱数）を使って試してみてください。50枚の代わりに4枚か6枚でいいです。 でも、もしかしたらアリスには最高の戦略は必要ないかもしれません。 この先を読む前に、この問題を解いてみて下さい。
一人で解けた先例を作るチャンスですよ。(訳注:本問ある問題集の問題、出題者に言わせればコレはチャンス問題) 3以上の奇数枚だったら成り立たないね
左から順に 1,1,1,10,1,1,1 みたいに並んでたら後手のボブに必勝戦略がある ははあ、わかったぞ
2n個のコインのうち左からi番目の価値が a[i] 円だったとして、
Σ_(i=1,n)a[2i-1] と Σ_(i=1,n)a[2i] のうち大きい方に属するコインをとっていけば良い
アリスが片方に属するコインをとり続ける限り、
ボブはもう片方に属するコインをとらざるを得ないと…よくできてるなあ >>863
様々な額面のコインってことは最初に端に他の全てのコイン合計より額面が高いコインがあったらアリス必勝？ >>865
正解です
つまり端から白黒白黒‥と塗って行って白の合計が黒の合計以上ならAliceは白を全取りすればいいし反対なら黒を全取りすればいい
解いた後の解後感が気持ちよかった >>866
Bobが最高の戦略で望んでも引き分けが最高です
Alice必不敗ゲームとでも言うべきか ちなみに出題文の
“アリスには最高の戦略は必要ないかもしれません”
とは例えば
10,1,1,10,1,1,1,1
で前から白黒白黒‥の場合Aliceは全白取りまたは全黒取り戦略で半分はとれます
しかし最適戦略は
・まず左端の10(白)とる
・以降は全黒取りに切り替える
で23点取るのが最適
しかし最適戦略でなくても全白取りか全黒取りで半分は取れます 答えを知ってみれば単純な話だ
自力で思いつくのはなかなか難しいが 分数の和
自然数n>1が与えられたとき、pとqが互いに素であり、0＜p＜q≦nであり、かつp＋q＞nである組みp,qから得られる分数1/pqを全て合計しなさい。
その結果が常に1/2であることを証明せよ。 ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;選択権がアリスにあるから、
;;;;;;;;;;/∩∩ ∩∩ /＼;;;;;;;;アリス必勝。
;;;;;;;;/((^o`^｡^))/「;;;;;;;;;;;;;;;;金勘定できねえ輩なら？
;;;;;;;/ っц'υ⌒υ／|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;そんときは50%の確率で
;;;;;‖￣UUυυ‖ |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ボブだ。
;;;;;‖ □ □ ‖ ／|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;まぁでも、
;;;;;‖______‖／ |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ふつうに考えたら、
￣￣￣￣￣‖ |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;勝つほうを
□ □ □ ‖ ／|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 選ぶやろ。
＿＿＿＿＿‖／ |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; あはは……
￣￣￣￣￣‖ |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 俺って頭いいだろ。
□ □ □ ‖ ／|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
＿＿＿＿＿‖／ |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
￣￣￣￣￣‖ |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
□ □ □ ‖ ／|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
＿＿＿＿＿‖／ |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
￣￣￣￣￣‖ |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
□ □ □ ‖ ／|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
＿＿＿＿＿‖／ |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
￣￣￣￣￣‖ |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
□ □ □ ‖,彡ミ､;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
＿＿＿＿＿‖川` , `; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
＿＿＿＿＿‖/U⌒U､ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
￣￣￣￣￣￣;_~U U~ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
>>863前>>862 >>871
n-1のとき条件を満たしnのとき条件を満たさなくなる(p,q)というのはp,q≦n-1かつ(p,q)=1かつp+q=nなるものだけど
これはnのとき新たに追加される(p,n),(q,n)へ
1/(pq)=1/(pn)+1/(qn)
と過不足なく分解されるため総和は不変 2n回コインを投げて、n回表が出る確率をP[n]としたとき、極限 lim(n→∞)n*P[n]^2を求めよ. >>874
lim n (C[2n,n]/2^n)^2
=lim n (1/√πn)^2 (∵ スターリング)
=1/π >>874
lim n ( C[2n,n] / 2^{2n} )^2
= lim n ( (2n-1)!! / (2n)!! )^2
= lim n ( 1/√πn )^2 (∵ ウォリス)
= 1/π. (略証)
おいらの無限乗積表示
sin(x) = xΠ[k=1,∞] {1 - (x/kπ)^2}
に x=π/2 を代入すると、
1 ≒ (π/2)Π[k=1,n] {1 - 1/(2k)^2}
= (π/2)Π[k=1,n] (2k-1)(2k+1)/(2k)^2
= (π/2) (2n-1)!!(2n+1)!!/[(2n)!!]^2,
= π(n+1/2) (C[2n,n]/2^{2n})^2, (n→∞) 2n回コインを投げて、n回表が出る確率をP[n]としたとき、Σ[n=1,∞]P[n]/(2n+1)を求めよ ΣC[2n,n]/4^n x^(2n+1)/(2n+1) = asin(x)
∴ Σ[n=1,∞]P[n]/(2n+1)
= asin(1)
= π/2 マクローリン展開
1/√(1-xx) - 1 = Σ[n=1,∞] (C[2n,n]/2^{2n}) x^{2n}
= Σ[n=1,∞] P[n] x^{2n},
0<x<1 で積分して
arcsin(x) - x = Σ[n=1,∞] P[n]/(2n+1)・x^{2n+1},
∴ π/2 - 1 = Σ[n=1,∞] P[n] /(2n+1), 超難問
ランダムインターバル
数直線上の点1,2,3,‥,1000を無作為に対にして500個の区間を作る。 これらの区間の中で、他のすべての区間と交差するものがある確率は何％か？
訳注) ここで無作為とは1000!/2^500/500!通りあるペアリングの中から一つを等確率で選ぶと言う意味
解答見て「こんなん思いつくかボケー」となること請け合いです >>883
ついでに
他の全ての区間と共有点を持つ個数をxとする
P(x≧k)となる確率を求めよ
解答の中で「同様の方法でこうなる」と結果だけ書いてあります
>>883はx≧1の確率で、確かにある方法で計算すればk=2でも3でも同じとわかります
逆に言えばk=1で既に超無理ゲー問題 1000!/2^500/500!通りあるペアリング
からしてわからん。 >>886
そうです
>>885
受験数学のいわゆる“同じものを含む順列”使います
例えばn=3ならAABBCCを並べた順列の数が6!/(2!2!2!)しかし例えばABACBC,BABCACは同じペアリングを与えるけど、順列は違うけどペアリングが同じになるのが3!あるので結局ペアリングの数は(2n)!/(2^n n!)=(2n-1)!!です 前>>872
>>883
1/(1000!/2^500/500!) ちなみに>>884の発展版の答えは
k=0の場合から順に並べて
1,2/3,2/5,8/35,8/63,16/231,.... >>884
P(x >= k) = Σ_{i = 0}^{[k / 2]} k! / ((k - 2i)! i! (-2)^i Π_{j = 0}^{i - 1} (2k - 2j - 1)) >>883
神のお告げによると、2/3だな。
お告げ
> mean(replicate(1e6,sim(10)))
[1] 0.66667 たしかに点4つや6つで試すと2/3になるな
理由はわからんが 数を減らして
ランダムインターバル
数直線上の点1,2,3,‥,10を無作為に対にして5個の区間を作る。 これらの区間の中で、他のすべての区間と交差するものがある確率は何％か？
とすると
総当たりで指折り数えると
2419200/3628800=2/3が得られた。
10を他の偶数にしても2/3になった。 >>894
尿瓶とは医療従事者を名乗りながら職種がいえない尿瓶洗浄係のことである。
どうやらシリツ卒らしい。
国立大学医学部卒の同業者なら
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1619305649/781
のように正しい判断ができる。 >>896
尿瓶さん日本語通じてますか？
数字ずれてると指摘してるんですけど >>898
k -> k+1 に置き換えて
Σ_{i = 0}^{[(k + 1) / 2]} (k + 1)! / ((k - 2i + 1)! i! (-2)^i Π_{j = 0}^{i - 1} (2k - 2j + 1)) >>899
なるほど、あってます
しかしもっとスッキリした表示があります >>899
ちなみにどうやって出したんですか？
最初の5項ほど合ってるので合ってるとは思いますが >>883-884
ヒントです
この問題はノーヒントは無理ゲー
与えられたペアリングに対して[1,2n]の整数にラベルA(1),B(1),...,A(n),B(n)を以下のようにつけていく
・A(1)=n
・B(k-1)が左半分([1,n]の元)のときはA(k)は右半分[n+1,2n]の元)の中の未ラベルの1番左、B(k-1)が右半分のときはA(k)は左半分の中の未ラベルの1番右
・A(k)が定まったときB(k)は常に相方
また区間[A(k),B(k)]をIkとする
さてこの設定でP(x≧1) = 1/3を示すのに必要なのは
・x≧1⇔I(n-1)とI(n-1)が共有点を持つ‥(❇︎)
です
何故ならはA(n-1),A(n),B(n-1),B(n)の4点のペアリングを変更すれば異なる３つのペアリングが作れますが、この“組み替え”でI(1)〜I(n-2)は変化しません
そして組み替えで生じる3つのペアリングのうちI(n-1)とI(n)が共有点を持つペアリングと持たないペアリングが2:1に対応することがわかります
よって(❇︎)が示されればx≧1である事象とx=0である事象が2:1に対応することがわかります >>890
(k+1)! / (2k+1)!! = 2^(k+1)･[(k+1)!]^2 / (2k+2)! 他のすべての区間と交差するような区間 を「支配区間」と呼びます。
I(j-1) と I(j) が逆向きのとき、I(1) ～ I(j) は支配区間でない。
最後のk+1区間 I(n-k), …, I(n) が同じ向きならば、I(n-k+1) ～ I(n) はk個の支配区間である。
P(x≧k) は最後のk+1区間、I(n-k) ～ I(n) の向きで決まるから、
k+1 区間の問題に帰着する。
A(…) ≦ k+1 < B(…)
を満たす組合せは [(k+1)!]^2 とおり。
k+1個の区間の選び方は (2k+1)! / 2^(k+1) とおり。
辺々割れば 2^(k+1)･[(k+1)!]^2 /(2k+2)! = (k+1)! /(2k+1)!!
数学セミナー, エレ解, 2018年1月号, 出題1
P.ウィンクラー・著「とっておきの数学パズル」日本評論社 (2011) §4.9
296p．2640円 坂井 公, 岩沢宏和, 小副川 健・訳
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/5638.html 岩沢宏和：『「とっておきの」確率パズル』, 数学セミナー 2011年8/9月号, 日本評論社
p.70 J. ジャスティツ による解らしい。 >>904
そうです
ネタ本はPeter Winklerのパズル本です
ただしその本ではP(x≧1)の場合しか扱っておらず
主張
I(j-1) と I(j) が逆向きのとき、I(1) ～ I(j) は支配区間でない。
最後のk+1区間 I(n-k), …, I(n) が同じ向きならば、I(n-k+1) ～ I(n) はk個の支配区間である。
は示されてないはずです
ただし私の持ってるのは原著の方で訳本の方は訳者が証明載せてるのかもしれません
なので上の主張についてはまだ挑戦者募集中とします
まぁしかしこのA,Bのラベリングが天才的すぎてコレさえ与えられたら後はルーチンワークに近いかも
しかしルーチンワークバカにするやつで数学できるやつはいない any k<n は "with slightly more care" で解けるとありますが…
主張 (上)
I(j-1) と I(j) が逆向きのとき、I(1) ～ I(j) は支配区間でない。
(略証)
1≦L<j とする。
・I(L) と I(j) が逆向きのとき
B(j) - A(j) - A(L) - B(L) の順で
I(L) と I(j) は共有点をもたない。
とくに I(j-1) と I(j) は共有点をもたない。
・I(L) と I(j) が同じ向きのとき
条件をみたす最大のLをL。とする。L ≦ L。≦ j-2
I(L。+1) と I(j) は逆向き
B(L) - A(L) - A(L。+1) - B(L。+1) の順で
I(L) と I(L。+1) は共有点をもたない。
∴ I(L) は支配区間でない。 【ほしのあすかちゃん 無茶苦茶可愛い！！！】 ■■ https://imgur.com/a/bxbOGL9 ■■
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※ブルマを穿いたプロの女の子たちの画像約300枚 その①
■■ https://imgur.com/a/kOcr1WO ■■
※ブルマを穿いた素人の女の子たちの画像558枚
■■ https://imgur.com/a/TR3mDpr ■■
いやぁ、ブルマ姿の女の子って、本当にいいもんですね。
※今夜はブルマ姿の女の子たちを遅くまでごゆっくりとご鑑賞ください。
じゃ、またね。 イベルメクチンを３日投与した群と偽薬投与群での重症化（救急外来での６時間以上観察や入院が必要となった場合）を比べた比較試験で
重症化はイベルメクチン群で86/677、偽薬群で95/678でrelative riskが0.91(95%信頼区間0.69-1.19)と示されている。
https://i.imgur.com/fsmpyVt.png
https://dcricollab.dcri.duke.edu/sites/NIHKR/KR/GR-Slides-08-06-21.pdfより抜粋
死亡率に関してはMortality relative risk : 0.82 (0.44-1.52)と記載されているのみである。
イベルメクチン群と偽薬群での死亡者数は各々いくつかを推定せよ。 A(0,0), B(0,3), C(2√3,5), D(4√3,3), E(4√3,0)とする
五角形ABCDEを互いに合同な4つの図形に分割せよ >>911
ABCDEの辺およびその内部をKとする.
∀r0, r1 ∈ K r0 ~ r1 <=> ∃q ∈ Q s.t. r1 = r0 + (q, 0)
として関係~を定義し, ~による同値類をCとする.
また、Snを有理数全ての数列とし, Qn := C + (Sn, 0)とする.
Pi := Σ[n = 0, ∞]Q{4n + i}とすれば
P0, P1, P2, P3 は題意を満たすKの部分集合である.■ Cは同値類というか同値類から代表を選んだ集合なんかな
Snが有理数を適当に並べたものだとすればPiたちはなぜ合同と言えるんだろうか >>911
ヒントプリーズ
もちろん全部多角形だよね？
何角形？
凸？ >>915
凸四角形
まあ数学というよりパズルなんであまり深く考えない方がいいかと >>911
できた
F(2√3,0)、G(1.5√3,4.5)、H(2√3,1)、I(2.5√3,1.5)として
□FHBA、□IHBG、□GCDI、□FHDE [0,1]に値を持つ数列a[k] (k≧1) に対して関数列f[k](x) (k≧0) を以下のように定める
f[0](x) = x
f[k](x) = f[k-1](x) - a[k] ( f[k-1](x) ≧ 0 )
f[k-1](x) + a[k] ( f[k-1](x) < 0 )
このとき任意のk≧0に対し方程式
f[k](x) = -x
は[0,1]に解を持つ事を示せ >>921
ざくっと.
f[k]は, f[k-1]の非負の領域をa[k]だけ下げて, 負の領域をa[k]上げる関数.
なので, 高々有限の点を除き連続でdf/dx=1.
不連続点aに対してh→+0のとき-f[k](a-h)→f[k](a).……★
故に任意のk, 任意のx∈[0,1]に対して-1≦f[k](x)≦1.……☆
f[k](x)=-xが[0,1]で解を持たないとすればあるkが存在し次のいずれかを満たすとき.
1)任意のx∈[0,1]でf[k](x)>0.
2)不連続点の隙間をy=-xが通る.
1)はあるx∈[0,1]でf[k][x]>1となるので☆と矛盾.
2)通過する不連続点のx座標をaとすると全てのx∈[a,1]に対して|f[k](x)|>xなので(★),
あるx∈[a,1]で|f[k](x)|>1となり矛盾. >>922
わかりにくいので補足.
1)任意のx∈[0,1]でf[k](x)>0.
ではなく
1)任意のx∈[0,1]でf[k](x)<-x, または, 任意のx∈[0,1]でf[k](x)>-x.
いずれの場合も[0,1]に不連続点は存在しえずそのことから容易に矛盾を導ける. >>923
> >>922
> わかりにくいので補足.
> 1)任意のx∈[0,1]でf[k](x)>0.
> ではなく
> 1)任意のx∈[0,1]でf[k](x)<-x, または, 任意のx∈[0,1]でf[k](x)>-x.
>
> いずれの場合も[0,1]に不連続点は存在しえずそのことから容易に矛盾を導ける.
イヤ流石にこれは通らんでしょ
何故ならレス中であなたが示したf[k](x)の必要条件は
・|f[k](x)は[-1,1]に値を持つ
・不連続点は有限個、連続点では傾き1の直線
・右連続
くらい
しかしこの性質持つ関数でy=-xと共有点持たない関数なんてすぐ作れますよ？ >>924
不連続点aに対してh→+0のとき-f[k](a-h)→f[k](a). >>925
あ、ほんとだ
ごめん
右連続のチェックだけじゃなかったのか
失礼しました
なら導出のためのポイントは押さえてますね
正解です
後はその条件からキッチリ解答作れる腕力の問題ですがそこはまぁどう頑張っても2レス分くらいはかかるのでいいでしょう
とはいえまぁ出題した手前、解答は誰もあげないならあげますが今日は眠いので寝ます
明日の晩までお待ちを 〔類題〕
A'(0,-1) B(0,3) C(2√3,5) D(4√3,3) E'(4√3,-1) H(2√3,1) とする。
六角形A'BCDE'Hを互いに合同な4つの図形に分割せよ。
http://www.phoenix-c.or.jp/~tokioka3/tokioka_mondai/
A問題 問題461 (1) 今更ですが...
>>876
2^n→4^n
ですが正解です
ビュフォンの針で円周率が出るのはまあそうだろうなと思うけど
コイントスだけで円周率が計算できるのは少しロマンを感じました >>921
以下全ての関数の定義域はx≧0に制限する
x=0は不連続点とみなす
帰納法によりx>1に対してf[k](x)>-1は示されるから方程式がx≧0で解を持つ事を示せば十分である
またa[k]>0の場合に示せば十分である
kを固定しf[k](x) = f(x)とおく
f(x)は区分的に連続で連続である区間ではx-f(x)は定数である
さらに不連続点は有限個で不連続点aではf(a) = f(a+0) = -f(a-0)でありさらにf(a)<0である
特に|f(x)|は定義域全体で連続である
まずg(x)=x-|f(x)|、h(x)=x+f(x)とおき
im g ⊂ im h ‥(❇︎)
を示す
pを最大の不連続点とすると[p,∞)においてg(p)=h(p)、g(x)≦h(x)、g(x)もh(x)も広義単調増加だから、この範囲で(❇︎)は成立する
また隣接する２つの不連続点p<qを取ればやはり[p,q)においてg(p)=h(p)、g(x)≦h(x)、g(x)もh(x)も広義単調増加だから、この範囲でも(❇︎)は成立する
以上により全ての範囲で(❇︎)は成立する
ここでg(x)は連続関数でg(0)=0-|f(0)|≦0, g(1)=1-|f(1)|≧0なので[0,1]に零点を持つ
故にh(x)=x+f(x)もx≧0に零点を持つ >>927
「合同なn個の図形に分割せよ」でもいいけど… 任意の合同なn個に分割可能な図形は円以外は必ずこういう形になるのかな？ >>932
少なくともn=2のときは直ちに違うとわかるはずだが >>933
そうじゃなくてどんな自然数nを選んでも合同なn個の図形に分割可能な図形って意味で >>935
長方形、ドーナツ型とかいろいろありそうだが それは>>931的な図形や円の組み合わせだし…
周期的でない、とでも言えばいいのかな 対辺で両隣と接するような、平行四辺形の連鎖
A1A2B2B1, A2A3B3B2, A3A$B4B3, … 図形Lを
┏┓
┃┗┓
┗━┛
とする
自然数nに対してLをn倍に拡大した図形をLnとする
Lnはn^2個のLに合同な図形に分割できる事を示せ 思いついて気になったけどわからなかったので投稿
0,1 のみの値をとる確率変数の独立な可算属 X = { X_n }_(n=1,2,…) であって、
次を満たすものは存在するか：
事象『X_n = 1 を満たすnの個数は高々有限』が起きる確率は0より大きく、1より小さい 思いついて気になったけどわからなかった問題を投稿する場所ではない >>940
外接円を単位円とする。
O (0,0) R=1
A (sin(40), cos(40))
B (-(√3)/2, -1/2)
C ((√3)/2, -1/2)
BC = √3,
とする。
G (sin(40)/3, {cos(40)-1}/3) = 2sin(20)/3・(cos(20), -sin(20)
∴ OGの傾き -20°
I (sin(20), cos(20)-1) = 2sin(10)・(cos(10), -sin(10))
∴ OIの傾き -10°
∴ ∠IOG = (-10°) - (-20°) = 10°
なお、r = {cos(20) - 1/2}R = 0.43969262R
OI = √{R(R-2r)} = 2Rsin(10) …… Euler-Chappleの式 ついでですが
↑OH = 3↑OG
= R・(sin(40), cos(40)-1)
= 2Rsin(20)・(cos(20), -sin(20)) … Euler線
= ↑OA - (0, R)
BC = R√3, CA = 2Rsin(40), AB = 2Rsin(80), … 正弦定理
AH = R, BH = 2Rcos(40), CH = 2Rcos(80),
AI = {2cos(20) -1}R = 2r,
BI = 2Rsin(40) = CA,
CI = 2Rsin(20), >>940
外接円の半径を1、垂心をH、cosA、cosB、cosCのi次基本対称式をciとして
OH・OH=4c1^2-8c2-3 = 2sin20
OI・OI.=3-2c1 = 2sin10
OH・OI=c1-2c2 = 2(sin20)^2
∴cos∠HOI=2(sin20)^2/(2sin(20)2sin(10))=cos10 >>941 がちゃんと解けたのでご報告
気になる方は挑戦してみてどうぞ 前>>872
>>940
作図より∠OCG=40°-30°
=10°
∠IOG=∠OCGが示せれば∠IOG=10° >>940
ひたすら座標上に作図して
https://i.imgur.com/H1whMWA.png
> I
center
0.6974654+0.2538567i
> O
center
0.5+0.2886751i
> G
[1] 0.6237045+0.2436504i
> Angle(I,O,G)
rad deg
1 0.1745329 10
１０°とでました。 >>949
Xiが独立な確率変数でP(Xi=0)=piとおく
事象Eを
E : { w | #{ i | X = 1 } < ∞ }
としP(E)>0と仮定する
さらにEiを
Ei : { w | Xj = 0 ∀j≧i }
とすれば
E = ∪Ei
であるから単調収束定理より
P(E) = sup P(Ei) > 0
である
特にあるiをP(Ei)>0と選べる
ここでP(Ei)=qiとおく時、qi=Π[j≧i]jであり、lim qjが0でないあたいに収束するから任意のe>0にたいし整数i0をk>j>i0→1-e≦qj/qk≦1を満たすように取とれる
jを固定してk→∞として1-e≦qj (∀j>i0)であるから
P(Ej) ≧ 1-e (∀j>i0)
でsupをとってP(E)≧1-eである
eは任意であったからP(E)=1 IOGを計算する関数を作ってきりのいい数字を探してみた。
> IOG(40,80)
IOG = 10 °
> IOG(45,75)
IOG = 7.5 °
> IOG(30,60)
IOG = 15 °
> IOG(20,60)
IOG = 20 ° 平面のYたち
(Yλ|λ∈Λ} は平面の互いに共有点を持たない部分集合からなる空間でそれぞれYと同型、すなわち複素座標て{z | z^3∈[0,1]}で表される部分集合のなす空間と同相とする
Λは高々可算無限である事を示せ >>928
>コイントスだけで円周率が計算できるのは少しロマンを感じました
ロマンを体感してみた。
https://i.imgur.com/jxWgP6B.png
n y
[1,] 1e+00 4.000000
[2,] 1e+01 3.221089
[3,] 1e+02 3.149456
[4,] 1e+03 3.142378
[5,] 1e+04 3.141671
[6,] 1e+05 3.141601
[7,] 1e+06 3.141593 >>953
ワクチン接種をすませた医療従事者と言っていたので職種を聞いたが答えない。
言うのが恥ずかしいライセンス不要の仕事であろう
∴尿瓶おまる洗浄係と認定。
卒業大学を聞いても答えない。
言うのが恥ずかしい大学卒であろう。
∴シリツ卒と認定。 >>951
正解です！極限の取り方が柔軟で素晴らしい。。
可算無限個の歪んだコインを投げた時の
『表が無限回出る』事象と『表が有限回しか出ない』事象の間の隔たりについて
考えてみてできた問題でした >>956
証書を出せと言ったにもかかわらず出せない＝自称だけのただの尿瓶と認定 >>943-944
O (0, 0)
A (sin(C-B), cos(C-B))
B (-sin(A), -cos(A))
C (sin(A), -cos(A))
I (sin(C)-sin(B), cos(B)+cos(C)-1)
H (sin(C-B), 2cos(B)cos(C)-cos(A)) = 3G,
OI = R√{3 -2cos(A) -2cos(B) -2cos(C)},
OH = R√{3 +2cos(2A) +2cos(2B) +2cos(2C)} = 3OG, >>954
面白スレ24問目 401,465,476 >>883-884
>>904の支配区間という用語のもとに
主張
xを支配的区間の数とするとき
I(n-x+1)〜I(n)は支配的
特に支配的区間はこのラベリングの最後のx個に固まって出てくる
∵ ) 以下[1,2n]を二つのサイド[1,n]と[n+1,2n]に分ける
nについての帰納法
n=2では容易なのでn≧3とする
n≦kで正しいとしてn=k+1と仮定する
(I) I(n)が支配的であるとき
(A(n),B(n))を取り除いたペアリングに対して考える時、支配的区間の数がちょうど一減るがラベリングは変わらないので帰納法の仮定を用いればI(n-x+1)〜I(n-1)が支配的となりこの場合は主張が成立する
(II) I(n)が支配的でないとき
A(n),B(n)が逆サイドにあるとすればA(1)〜A(n-1)はI(n)に含まれるゆえI(n)は支配的となり仮定に矛盾
よってA(n)とB(n)は同サイド
(a) A(n-1)とB(n-1)が同サイドであるとき
A(n)とA(n-1)は逆サイド,B(n-1),B(n)はさらにその外側となる
よって任意のk:1〜n-2に対し、A(k)はA(n-1)とA(n)に挟まれ、I(n-1)とI(n)はA(k)に関して逆側となるからI(k)はI(n-1)とI(n)のいずれかと必ずdisjoint
よってこの時x=0で主張は成り立つ
(b) A(n-1)とB(n-1)が逆サイドである時
A(n)とA(n-1)は同サイドでB(n)はさらにその外側
よってI(n-1)とI(n)はdisjoint
A(n-2)はI(n-1)の中でB(n-2)はI(n)の逆サイドだからA(n-2)もB(n-2)もA(n-1)に関してI(n)の逆側
よってI(n-2)とI(n)はdisjoint
よって(A(n-1),B(n-1))を取り除いた2n-2点のペアリングを考えるとき、ラベリングによる順番は変化せず、最後２つのI(n)がI(n-2)とdisjointだから帰納法の仮定よりI(n-1)以外には支配的な区間はない
I(n-1)もI(n)とdisjointより支配的ではないからこの時x=0で主張は成り立つ□ >>961
> >>954
> 面白スレ24問目 401,465,476
なんか違うの出てくる
番号合ってる？ >>964
イヤ、出てきた
まだ読めてないけどなんか大変やな >>959
俺は朝鮮人が羨ましいと思わないから証拠にパスポートを出せとか言わないよ。
尿瓶おまる洗浄係も羨ましくないから証拠をだせとは言わない。 >>960
r = R{cos(A) + cos(B) + cos(C) - 1},
AI = 4R sin(B/2) sin(C/2),
BI = 4R sin(C/2) sin(A/2),
CI = 4R sin(A/2) sin(B/2),
AH = 2R cos(A),
BH = 2R cos(B),
CH = 2R cos(C), >>966
誰も自分のこと尿瓶おまる洗浄係だなんて主張してないが？
尿瓶は妄想ひどすぎる
何が見えてるんだ？ PQベクトルを[PQ]とする
a=[OA]、b=[OB]、c=[OC]、
cosA,cosB,cosCのi次基本対称式をci、
sinA,sinB,sinCのi次基本対称式をsiどする
a・a=b・b=c・c=1、b・c=cos2A、c・a=cos2B、a・b=cos2C
[OH]=a+b+c、s1[OI]=sinA a + sinB b + sinC c
s3/s1=(1/2)(c1-1) (∵s1=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) ＋ 倍角)
s2=c1+c2 (∵加法定理) >>968
こういう推論
ワクチン接種をすませた医療従事者と言っていたので職種を聞いたが答えない。
言うのが恥ずかしいライセンス不要の仕事であろう
∴尿瓶おまる洗浄係と認定。
卒業大学を聞いても答えない。
言うのが恥ずかしい大学卒であろう。
∴シリツ卒と認定。 尿瓶は自分を嫌ってる大勢の人を、同一人物の自演かなんかだと思ってるのかな？ >>971
内視鏡スレで尿瓶を連呼している、尿瓶おまる洗浄係だね。 >>973
シリツ医大スレでシリツ卒であることが判明している。 >>973
その人はこっちにもいるの？
>>975
スレタイ読めない、人のはなし聞けないやつは中卒
くらいには正しいかもね 一応言っとくけど、僕は尿瓶が医者であることはあんまり疑ってないからね >>975
お前それで推論って言うの？医者を標榜する人間が？診断もそういうものの推し進め方をするのか？
テメェのは推論て言わねーよ臆測って言うんだよこのバーカ、そんなんじゃあ害悪診断頻発してそーだなぁオイこら？
はーいゴ・シ・ン！ゴ・シ・ン！ゴ・シ・ン！ゴ・シ・ン！誤診頻発で懐に金を貯め込んでませんか～～～？
いや誤診じゃないか不正診断か、はーいフ・セ・イ！フ・セ・イ！フ・セ・イ！金を貯めて込んでなくても
病院での点数稼ぎや、ええ格好しぃをしてそうだなぁああ!?ぁああ？
もしテメェが手術台に挙げられる日が来たら麻酔無しで全臓器摘出だなぁ、お前には臓器1つさえ勿体ない！ >>975
推論の力が皆無であることが納得出来る。 s3 = sin(A)sin(B)sin(C),
s1 = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2),
c1 = 1 + 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),
+ 倍角公式から。
あるいは
s3 = ⊿/2RR,
s1 = (a+b+c)/2R,
c1 - 1 = r/R,
と ⊿ = (a+b+c)r/2 から。
加法公式から
sin(A)sin(B) = -cos(A+B) + cos(A)cos(B)
= cos(C) + cos(A)cos(B), >>975
開業医の先生方に聞いてみたら…
639 卵の名無しさん[sage] 2021/08/22(日) 16:04:40.03 ID:A7G8KCjA
>>624
教育の機会均等に反するシリツ医大卒が平等を唱えるとは何のジョークだよ、と思うな。
641 卵の名無しさん[sage] 2021/08/22(日) 17:19:34.18 ID:cn6J7Ulk
どなたか>>639＝トケジのことをお医者さんだと思ってる先生いらっしゃいますか？認めてあげないと発狂しちゃうみたいで
646 卵の名無しさん[sage] 2021/08/22(日) 21:29:25.14 ID:SCD0fEeB
>>641
質問を変えよう。
>>639＝トケジのことを診てくださるお医者さんはいますか？
このあと1レスも付かずww アホシリツ医大卒でも正解できる医師国家試験の問題を発展させてみる
https://i.imgur.com/mLxpUrf.png
問題
ｐ値を算出する統計処理が、両群が等分散であると仮定したｔ検定であるときにその分散を値を計算せよ。
オマケ
尿瓶おまる洗浄係が医師板の内視鏡スレで尿瓶を連呼して荒らしているけど、
よほど尿瓶が好きなんだなぁ、まあ、日常業務として尿瓶を扱っているから当然かもしれん。
俺は内視鏡検査が好きだから内視鏡ネタを連呼しているけどね。
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1625605940/
今日は瀑状胃に遭遇して何かと勉強になった。 酷い問題やな
医師の世界の統計の知識なんかこんなもんか >>985
【臨床応用発展問題】
入院日数の分布は正規分布に従うと仮定する。
（生データがあれば分布の形を前提としないBootstrapを使いたいところだが）
(1) 抗生剤A投与症例が抗生剤B投与症例よりも短い確率を計算せよ。
(2) 抗生剤A投与症例が抗生剤B投与症例よりも入院期間を２日以上短縮させている確率を計算せよ。 >>987
アホシリツ医大卒を合格させるための試験だからね。
んで、分散値が計算できないならアホシリツ医大卒と同レベルということになるね。 違う
一応問題としては成立しているが、あくまで選択肢があってその中では答えがひとつしかあり得ないから
つまりそもそもの問題文のレポートの内容だけではレポートとして完成していない
まぁレポートとして完成するための全文を載せる必要はないのだが
そしてまた>>988のようなアホな事書いてバカを晒す >>990
(1)(2)が計算できない薬屋のいいなりになるアホ医者を養成しているってこと。
あんたもその類じゃねぇの？ 等分散の正規分布の平均値をｔ検定したと想定すると図のような分布を比較したことになる。
https://i.imgur.com/DtiJAXN.png 入院期間が何日短縮されたら臨床的に意味があるかを考えずにｐ値を出しても意味がないね。
あるダイエット法で前後で平均3gの差があったら有用と言えるかという話。 開業医の先生方に聞いてみた
639 卵の名無しさん[sage] 2021/08/22(日) 16:04:40.03 ID:A7G8KCjA
>>624
教育の機会均等に反するシリツ医大卒が平等を唱えるとは何のジョークだよ、と思うな。
641 卵の名無しさん[sage] 2021/08/22(日) 17:19:34.18 ID:cn6J7Ulk
どなたか>>639＝トケジのことをお医者さんだと思ってる先生いらっしゃいますか？認めてあげないと発狂しちゃうみたいで
646 卵の名無しさん[sage] 2021/08/22(日) 21:29:25.14 ID:SCD0fEeB
>>641
質問を変えよう。
>>639＝トケジのことを診てくださるお医者さんはいますか？
1日経っても何も返答ありませんねw
>>994＝尿瓶のこと医者どころか患者だと思ってる奴なんざ誰もいないってこった
かわいそうに ま、当然だよね
尿瓶>>994はスレタイも読めないもんww >>985
想定解はeだろうけど、
厳密にいえば、
A群B群の母集団での平均値の差がないときに標本平均の差が1.5日以上になる確率が3.6%である
だから正解はなしだな。 >>995
俺の評価はこれね
【ウハも】 開業医達の集い 29診 【粒も】
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1590224597/324
324 名前：卵の名無しさん[] 投稿日：2020/05/31(日) 22:15:23.57 ID:i5PrzpCy
統計学理解できるのは普通に立派 >>998
評価されてるならその板からこっち来んなよ。
ここでは自称医者関係は全員ゴミクズ >>995
こんな投稿もあったなぁ。
【ウハも】 開業医達の集い 29診 【粒も】
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1590224597/329
329 名前：卵の名無しさん[sage] 投稿日：2020/06/01(月) 01:14:14.49 ID:r9sj5BY5
統計先生、昨日はいろいろと質問に答えてくださって有難うございました
ID:UNsifMgf です
実は先生に謝らないといけないことがあります
ID:RgFhWO7Cも私なんです
先生が、なかなか質問に答えてくださらなかったんで、>>264みたいなことを書けば
先生の性格のことだからすぐに答えてくれるだろうと思い書き込みました
案の定でしたｗ
煽るようなことを書いて申し訳ありませんでした
最後に一つだけ、パートだけでどのくらい月収があるかだけ教えていただけませんか？
パート生活に憧れているのはマジです
先生の様にパート生活で収入を得ながら、好きな統計学の勉強の時間もとれる
そんな生活に憧れます
自分はフランス語と英語の勉強に使える時間を取りたいです このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
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