【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)のrがどんな数でも、x,yの比は変わらないので、x^2+y^2=(x+1)^2…(2)のみを検討する。
(2)をy=2とおいて、(2^2-1)=2{x}…(3)と変形する。
(3)はx=3/2となる。
(2)のyを任意の有理数として、(y^2-1)=2{x}…(4)と変形する。
(4)のxは、(3)のxの(y^2-1)/3倍となる。
∴n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。