分からない問題はここに書いてね 467
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
〔前スレ．989〕
正方形 ABFD がある。
辺ABの中点をK、△AKFの垂心をHとするとき、↑AH を ↑AB と ↑AD で表せ。
(略解)
□ABFD の中心を O (0,0) とし、
A (0, 0)
B (1, 0)
F (1, 1)
D (0, 1)
とすると
K (1/2, 0)
H (x, y)
KH ⊥ AF = (1,1) より
x = 1/2 - y,
FH ⊥ AB = (1,0) より
x = 1
∴ y = -1/2,
これより
↑AH = x↑AB + y↑AD. 訂正
□ABFD の中心を (1/2, 1/2) とし、…
〔問題996〕
一辺の長さが1の正八面体Vを、その1つの面に平行な平面αで切り、2つの立体AとBに分ける。
AとBの体積比が X：(1-X) であるとき、αによるVの切断面の面積をXで表わせ。
ただし 0<X<1 とする。
* Vの体積は (1/3)√2, ある牧場で２２頭の牛を飼うと４８日で草がなくなります。
３０頭ならば２４日で草がなくなります。このとき，
７８頭の牛を飼うと何日で草がなくなりますか？
ただし，牧場の草は一定の割合で生え続けるものとします。 この問題のような、不等式でゆるく束縛された独立でない2変数を扱う方法を教えて下さい。
0≦a≦1,0≦b≦1,-3/2≦a-2b≦1/2を満たしながら実数a,bが動くとき、(a-b)(a-2b)(a-4b)のとりうる値の範囲を求めよ。
（出典:『大学への数学4月号』学力コンテスト） >>3
原点Oから平面αまでの有向距離をhとすると
-1/√6 ≦ h ≦ 1/√6,
断面積 S = ((√27)/8)(1-2hh),
体積分率 X = 1/2 + ((3√6)/16)h(3-2hh),
∴ h = (√2)cos{(π + arccos[(8/√27)(X-1/2)])/3},
これを S = ((√27)/8)(1-2hh) に入れる。 千葉逸人さんについて、あるYouTubeの動画で天才数学者として紹介されていました。
本当ですか？ >>4
牛１頭が１日に食べる草の量を１ユニットとします。
牧場の最初の草量を y(0), t日後の草量を y(t), 1日の増殖率を k とします。
牛が22頭のとき
(dy/dt) = k･y - 22a,
y(t) = a{22 - (22 - k･y｡/a)exp(kt)}/k,
22 - k･y｡/a = 22exp(-48k),
牛が30頭のとき
(dy/dt) = k･y - 30a,
y(t) = a{30 - (30 - k･y｡/a)exp(kt)}/k,
30 - k･y｡/a = 30exp(-24k),
これらより
exp(-24k) = 4/11,
k = 0.04215
ky｡/a = 19.091
牛が78頭のとき
(dy/dt) = k･y - 78a,
y(t) = a{78 - (78 - k･y｡/a)exp(kt)}/k,
78 - k･y｡/a = 78exp(-kt),
t = 6.66 日 実数xに対して、{x}はxを超えない最大の整数を表す。
数列a[n]を、以下のように定義する。
・a[1] = m
・a[n+1] = a[n] - {√a[n]}
・n=Nでa[n]が初めて0になったとき、a[N]をこの数列の末項とし、a[n+1]以降の項は定義しない。
ただしmは正整数の定数である。以下の問いに答えよ。
（1）どのようなmについても、数列a[n]には末項が存在する、すなわちa[n]は無限数列とならないことを示せ。
（2）a[n]=7となるnが存在するようなmのうち、m≦kであるものの個数をf(k)とおく。lim[k→∞] f(k)/kを求めよ。 n2乗＋n3乗=n×n×（n＋1）の証明を
わかりやすく教えてくれ あ、いや{x}がガウス記号か
なんでそんなオリジナル記号使うんだよ
アホか suppose m > 7 then ∃n a[n] = 7 iff m = k^2+1 or m = k^2 + k + 1 ∃k (∵induction)
∴ lim f(n)/n = 0 >>4
単利でいくなら (a, k, y。は定数)
牛が22頭のとき
y = y。- (22a-k)t,
48 (22a-k) = y。
牛が30頭のとき
y = y。- (30a-k)t,
24 (30a-k) = y。
これらより
k = 14a,
y。= 64・6a,
牛が78頭のとき
y = y。- (78a-k)t
= a{64・6 - (78-14)t}
= 64 a (6-t),
∴ t = 6 (日) >>16
なんでk=14になったの?
yの横の。はなんですか? 48 (22a - k) = y。
24 (30a - k) = y。
辺々引くと
24{2(22a - k) - (30a - k)} = 0,
14a - k = 0,
y は牧場に生えてる草の量
y。は y の初期値
a は牛1頭が1日に食べる草の量
kは1日に増加する草の量 AB<BC<CAの△ABCを、1つの頂点が対辺に重なるように折る。
折り重なった部分の面積を最大にする折り方を述べよ。 どれかの角の角の二等分線で折ったときが一番大きくならない？ >>5
f(a,b) = (a-b)(a-2b)(a-4b)
はa,bについて連続なので、
最大点/最小点 の候補は (1)内部の極点 と (2)境界。
(1)
∂f/∂a = 3aa - 14ab + 14bb = 0, → b = {(7±√7)/14}a,
∂f/∂b = -7aa + 28ab -24bb = 0, → b = {(7±√7)/12}a,
交点は (0,0) のみ。
(2) 変数の動きうる範囲を求める。境界は
(0,0) - (1/2,0) - (1,1/4) - (1,1) - (1/2,1) - (0,3/4) - (0,0)
を頂点とする六角形。
境界上での増減を調べる。
(0, 3/4) で 最小値 -27/8 = -3.375
(1, (7+√7)/12) で 最大値 (10+7√7)/108 = 0.26407647
0.80381261 >>24
低レベルな文句つけるくらいなら解答出してみろ低学歴w >>5
(a-b)(a-2b)(a-4b)の分布
https://i.imgur.com/JVTpqOk.png
尿瓶洗浄係に期待値がだせるかな？ >>27
こんな高校生が解くような問題で何やってんのw
解けないの？この程度が？ 半径1の円C上を相異なる3点P,Q,Rが動く。△PQRの重心をG、内心をIとするとき、GIの最大値を求めよ。 s1=cosP+cosQ+cosR,
s2=cosPcosQ+cosQcosR+cosRcosP
外心O,内心I,垂心H,重心Gとおく
OH^2=4s1^2-8s2-3
OI^2=3-2s1
OH•OI=s1-2s2
9GI^2=4s1^2-24s1+4s2
未定定数法より極値は
sin2P+6sinP-3cosQ-3cosR
=sin2Q+6sinQ-3cosR-3cosP
=...
が必要でP=Q=Rが必要、この時極小値0
∴最大値なし >>31
三角形が長さ２の線分になるときの値が2/3 >>33
三角形が線分に限りなく近づけばGIが限りなく2/3に近づく >>32
Rを固定して
-pi <= x <= pi
-pi <= y <= pi
P(cos(x),sin(x))
Q(cos(y),sin(y))
R(1,0)
として3dグラフを描画
https://i.imgur.com/F9xCG8N.mp4 >29を改題
半径1の円C上を相異なる3点P,Q,Rが動く。
△PQRの重心をG、内心をI,外心をOとするとき、
△GIOの面積の取りうる範囲をもとめよ。 また適当に思いつきで
それがあかんというのに
なんもわかってない >>38
さらに改題
半径1の円C上を相異なる3点P,Q,Rが動く。
△PQRの重心をG、内心をI,垂心をHとするとき、
（１） G,I,Hの取りうる領域の面積を求めよ。
（２） Rを(1,0)に固定したときに、G,I,Hの取りうる領域の面積を求めよ。 >>43
鈍角三角形だと垂心は三角形の外部に位置するから内心を垂心に変えると面白そう。
[問題]
半径1の円C上を相異なる3点P,Q,Rが動く。
△PQRの重心をG、垂心をHとするとき、GHの長さが取りうる範囲を求めよ
作図というもっともprimitiveな方法だと
0<=GH<2という結果が得られた。
解析解は知らん。 >>29
2等辺Δの場合は
P(-cos(R), sin(R)) Q(-cos(R), -sin(R)) R(1, 0)
G ({1-2cos(R)}/3, 0) = (-(1-4ss)/3, 0)
I (-(1-2s), 0)
r = 2s(1-s),
ここに
s=sin(R/2) (0<R<π, 0<s<1)
GI = | (1-2s) - (1-4ss)/3 | → 2/3 (R→0) 一辺の長さがaである正八角形ABCDEFGHの周上に、3点P,Q,Rを△PQRの面積が最大となるようにとることを考える。
（1）点P,Q,Rの少なくとも1つは、正八角形の頂点と一致することを示せ。
（2）点Pは点Aと一致しているとする。点Q,Rの位置を述べ、また△PQRの面積を求めよ。 >>47
外接円の半径をrとする
QRを止めてPを動かした時面積が最大であるからPが頂点にあるか、Pを含む辺のいずれかの端点にPを移動しても面積が変わらないものが取れる
それをSTUとする時PQR→STUの変形で常に面積が変化しない
(2)頂点がA〜Hのいずれかである△STUの面積の最大を考える
∠Aが鈍角ならSを対頂点に取り直したの時の方が面積が大きくなるから∠Sは鋭角か直角
∠T,∠Uも同様であるから△STUは△ADFか△ACGあるいはこれらを回転させたもののいずれかである
前者のとき
△STU=2r^2sin45°sin45°sin90°=r^2
後者のとき
△STU=2r^2sin4567.5°sin67.5°sin45°=(1+√2)/2r^2
より△STUは△ADFまたはそれを回転させたいずれかの三角形である
(1)変形PQR→△STUの逆を辿れば面積を変えず△PQRに至れるが△ADFで動かせる頂点はDをCの向きに動かすか、FをGの向きに動かすしかない
そしてDをCまで動かさない限り、あるいはFをGまで動かさない限り他の頂点は動かせない
以上により面積が最大値をとるのはPQが最大辺のばあいはPQが長さ2rsin3pi/8)の対角線でRがその対辺上にある時である
他の場合はこれに準ずる (1/a)+(1/b)＝(2/3)ⁿを満たす自然数(a,b,n)の組を全て求めよ 1200sin60
60=1200-ーーーーーー
sin-1
アークsineを出すのにどう計算したら良いんやろか？ (2/3)^nは三進整数だからa=3^k,n=3^lとおける
wlog k≧l として良い
LHS = (3^(k-l)+1)/3^k
によりk=nかつ3^(k-l)+1=2^n
n>2の時、3^(k-l)+1≡0 (mod 8)により解なし
以下ry a≦bである正整数の組(a,b,c)で、
(a!)*(b!)=c!
であるものをすべて求めよ。 >>49
(a,b,n) = (2,6,1) (3,3,1) (6,2,1) (3,9,2) (9,3,2)
>>52
(a, b, c) = (1, b, b) (a, a!-1, a!) >>51
> (2/3)^nは三進整数だから
大嘘orz
任意の3進付値以外のvに対してv進整数
従って特にv(a)=v(b)
a=3^kc, b=3^lc,c≡±1(mod3)とおける
wlog k≧l として良い
LHS = (3^(k-l)+1)/(c3^k)
によりk=nかつv2(3^(k-l)+1)≧nが必要(ただしv2は2進付値)
∴n≦2
以下ry >>47
プログラミングして探索すると
https://i.imgur.com/vn0ArHs.png
> ABC2S(p[8],p[3],p[5]/2+p[6]/2)/(abs(p[1]-p[2]))^2
[1] 2.06066
最大三角形の面積は2.06066*a^2 x,yは自然数（０は入れない）
∀x∃y(x-3y=0)
↑は
x=3、y=1としたときに成立するのでTrueですよね？ 結果としてTrueではあるが理由はデタラメ
問題の回答としては完全に間違い 216×280mmのラッピングフィルムを長方形の縦長の同じサイズの3枚に切る場合、
縦横は何mmになりますか？
出来れば途中式もお願いします >>59
１つだけ存在の例を挙げるだけでは不可ですか？ >>61
216mmのほうを縦にするのか280mmのほうを縦にするのか >>63
280mmの方です
┌┬┐
│││
├┴┤
└─┘
こうです >>64
そう切って3枚を合同にすることは出来ない >>62
∀x とあるのだから x=1 についても x-3y=0 となるyが存在しなければならないが、どう思う？ >>66
x=1に対してyの値はとれないですね。
だから、Falseが正解だと思います。
ありがとうございました。 >>59
ごめん……
x,yが自然数という条件を見逃してたorz >>65
なるほど、そうでしたか
ありがとうございます
では、出来るだけ同じ形と同じ大きさにするにはどういうサイズで切ればいいでしょう >>61
縦 280mm, 横 72 mm または
縦 216mm, 横 280/3 mm
ムダなし
>>64
横は 216 / 2 = 108 mm,
縦は 280 - 108 = 172 mm,
* 108×(216-172) の長方形がムダになる。7.857% >>30
s3 = cosP cosQ cosR,
とおくと
⊿条件 (s1)^2 - 2s2 + 2s3 = 1,
実根条件 D = ((s1)^2 - 4s2)(s2)^2 - s1(4(s1)^2 - 18s2)s3 - 27(s3)^2 ≧ 0,
∴ (5s1 - 6 - (3-2s1)^{3/2}) /2 ≦ s2 ≦ (5s1 - 6 + (3-2s1)^{3/2}) /2, >>53
> >>52
> (a, b, c) = (1, b, b) (a, a!-1, a!)
コレどうやったの？ >>57
４角形から１２角形まで面積が最大になるときを描画。
https://i.imgur.com/fn6YTiT.png
多角形の一辺の長さを１として面積は
1] 0.5
[1] 0.7694209
[1] 1.299038
[1] 1.582786
[1] 2.06066
[1] 2.77625
[1] 3.259319
[1] 3.939175
[1] 4.848076 a>1 のとき (a^x - a)・(x-1) ≧ 0,
(左辺) = {(9/2)^x - (9/2)}(2^x) + (2^x -2)/2,
(左辺)・(x-1) ≧ 0, >>73
一辺の長さが１だから、外接円の半径は
R = 1/{2sin(π/n)},
⊿の頂点がn角形の頂点にあるとする。間隔を k,L,m とすれば
k + L + m = n,
S(k,L,m) = (1/2)RR{sin(2kπ/n) + sin(2Lπ/n) + sin(2mπ/n)}
sin は上に凸だから、k,L,m が近い方が大きい。
n = 3q + r (r=-1,0,1)
ならば
(k, L, m) = (q, q, q+r)
とする。
S = (1/2)RR{2sin(2qπ/n) + sin(2(q+r)π/n)},
R = 1/{2sin(π/n)}, r=0, n=3q のとき
S = (3√3)/4・RR,
r=±1, n=3q±1 のとき
S = (1/2)RR{(3√3)/2 - (1-cosδ)[(√3)(2+cosδ) 干 sinδ]},
δ = 2π/3n → 0 (n →∞) A君はそれぞれ1,2,...,nと書かれたn枚のカードを、B君はそれぞれ1+k,2+k,...,n+kと書かれたn枚のカード（手札）を持っている。ただしkは1以上の整数である。
A君とB君が同時に、手札から1枚のカードを無作為に出し、書かれている数が大きい方を勝利とする。出したカードは手札に戻さない。
これをn回繰り返すとき、相手より多く勝利を得た方を勝者とし、互いに勝利数が同じ場合は引き分けとする。
A君が勝利する確率をnとkで表せ。 〔問題〕
図のように三角形ABCとABを直径とする半円とが２点P, Qで交わっています。
辺ACのうち、APの部分の長さは６cmです。
また ∠BAC = 45° ∠ACB = 60° です。
(1) BとPの距離を求めなさい。
(2) 半円の面積を求めなさい。
(3) 赤色の部分の面積を求めなさい。(* 弧BQより内側で⊿ABCの外側の部分) >>78
a>0 のとき (a-1)(x-1)(a^x-a) ≧ 0, A君はそれぞれ1,2,...,nと書かれたn枚のカードを、B君はそれぞれ1+k,2+k,...,n+kと書かれたn枚のカード（手札）を持っている。ただしkは1以上の整数である。
A君とB君が同時に、手札から1枚のカードを無作為に出し、書かれている数が大きいカードを出した方を勝利とする。互いのカードに書かれた数が同じ場合は引き分けとする。出したカードは手札に戻さない。
これをn回繰り返し、相手より多く勝利を得た方を勝者とする。互いに勝利数が同じ場合は引き分けとする。
A君が勝者となる確率をnとkで表せ。 6辺の長さがa,b,c,d,e,f(a<b<c<d<e<f)である四面体Tがある。
Tを空間内の直線lの周りに一回転させてできる立体を考えるとき、その体積を最小とするlの取り方はただ一通りであるか。 (1/a)+(1/b)＝(2/3)ⁿを満たす自然数(a,b,n)の組を全て求めよ >>83
(1)BP=AP=6
∴6cm
(2)半円ABQP=π(3√2)^2/2=9π
(3)半円ABQPの円弧の中心をOとすると、
扇形OBQ-二等辺三角形OBQ=9π(30°/180°)-(1/2)(3√2)^2sin30°
=3π/2-9(1/2)
=(3π-9)/2
=0.21238898038……
∴0.21238898038c㎡ >>88
ひたすら、作図して検算
https://i.imgur.com/JLN3zc0.png
> abs(B-P)
[1] 6
> # (2)
> abs(A-Q)^2*pi ; 18*pi
[1] 56.54867
[1] 56.54867
> # (3)
> abs(A-Q)^2*angle(B,Q,R)/(2*pi) * pi - abs(B-R)*Im(Q)/2 ; (3/2)*pi - 9/2
[1] 0.212389
[1] 0.212389 >>71 の導出は
D = {(α-β)(β-γ)(γ-α)}^2 … 差積の2乗
= (1/27)[4(s1s1-3s2)^3 - (2s1^3 -9s1s2 +27s3)^2]
= (1/27)[4(s1s1-3s2)^3 - {2s1^3 -9s1s2 +(27/2)(1+2s2-s1s1)}^2]
= (1/4)(3+2s1-s1s1 + 4s2){(3-2s1)^3 - (2s2-5s1+6)^2}
= (1/8){(3-2s1)(s1-1)+(9-s1+8s2)}{(3-2s1)^3 - (2s2-5s1+6)^2}
≧ 0 (← 実根条件)
ところで 1≦s1≦3/2, 9-s1+8s2≧0 より
(3 + 2s1 - s1s1 + 4s2) > 0,
∴ (3-2s1)^3 - (2s2-5s1+6)^2 ≧ 0,
[面白スレ３５．558-560,567-568] 相異なる自然数
a, b, c (a＜b＜c) があり，
どの２つの和も
残りの数で割ると１余るとする。
(1)
a＋b を c で割ったときの商は？
(2)
a＋c を b で割ったときの商は？
(3)
a, b, c を求めよ。 >>85
n=5, k=1のとき1/60
n=6, k=1のとき1/60
だけは出せた。 >>94
n=7 k=1 で 13/315
n=7 k=2 で 1/840
も出てきた。 (1)
1 < a+b-1 ≦ 2(b-1) ≦ 2(c-2) だから商は１
c = a+b-1,
(2)
b < c ≦ a+c-1 = 2a+b-2 ≦ 3b-4 だから商は２
2b = a+c-1,
(3)
b = 2(a-1), c = 3(a-1),
b+c-1 = 5a - 6 がaで割り切れるから、
aは6の約数 2, 3, 6 統計学の勉強のやる気が出ません。
勉強のコツを教えて下さい。 >>97
統計学がつまらないというのが最大の原因だと思います。
ですので、統計学にも興味深い話があるのかどうかを調べることが必要であると考えます。 f∈C^1(R)とし、g(x)=f(x-1)とする
この時、線型常微分方程式df/dx=gを満たすfを求めよ
これが解けません
どなたか教えてくれませんか >>99
df(x)/dx=g(x)=f(x-1)
の特性方程式は
λ-e^(-λ)=0
この特性方程式の解は無限個あってλ1,λ2,...,λk,...とすると
f(x)=Σck e^(λk x)
が解
詳しくは"Delay differential equation"で検索 カントールの共通部分定理って何言いたいのかさっぱりなんだか、わかりやすく説明できる人いる？ nを正整数の定数とする。
(1) ∫[-1,1] x^n-ax+b dx を最小にする実数a,bをnで表せ。
(2)∫[-1,1] |x^n-αx+β| dx を最小にする複素数α,βをnで表せ。 >>97
これで興味が沸くかなぁ？
統計を巡る格言
“Statistics are like bikinis. What they reveal is suggestive, but what they conceal is vital.”
捏造を見破るためには統計学の理解が必要。
呪文：「ド底辺シリツ医大が悪いのではない、本人の頭が悪いんだ」を唱えると甲状腺機能が正常化するという統計処理の捏造をやってみる。
TSH ： 0.34～4.0 TSH：μIU/mlを基準値として（これが平均±２×標準偏差で計算されているとして）呪文前と呪文後のデータを正規分布で各々５０個つくる。
負になった場合は検出限界以下として０にする。
http://i.imgur.com/k7MbKQ0.jpg
同じ平均値と標準偏差で乱数発生させただけなので両群には有意差はない。
横軸に呪文前のTSHの値、縦軸にTSHの変化（呪文後－呪文前）をグラフしてみると
http://i.imgur.com/GQ5X23P.jpg
つまり、呪文前のTSHが高いほど呪文後はTSHは下がり、呪文前のTSHが低いほど呪文後のTSHは上がるという傾向がみてとれる。
これを線形回帰して確かめてみる。
回帰直線のパラメータは以下の通り。
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.3812 0.3323 7.165 4.10e-09 ***
before -1.0351 0.1411 -7.338 2.24e-09 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.8365 on 48 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.5287, Adjusted R-squared: 0.5189
F-statistic: 53.84 on 1 and 48 DF, p-value: 2.237e-09
p = 2.24e-09 なので有意差ありとしてよい。
ゆえに、「ド底辺シリツ医大が悪いのではない、本人の頭が悪いんだ」という呪文は甲状腺機能を正常化させる。
ここで問題、この統計処理のどこが誤っているか？ 平面上に定円Cが与えられている。
いま、直線lをCと相異なる2点で交わるように引く。lとCで囲まれる領域をD、CからDを除いた領域をEとする。
一般に、Eを通りDを通らない直線mで、mとCで囲まれる領域がDと合同になるようなものを引くことは可能か。可能ならばmの引き方を説明せよ。
ただしmを引く際には、定規とコンパスのみを用いることとする。 >>107
エスパーできんのやけど？
描き直してくれる？
Cとlで囲われてるとこ２つ出るやん？
どっちかがD？
さすがにココは２つ合わせたものがDだとするとDはCの囲む円盤になってしまうから
どっちか選んでるんだとエスパーするにしてもそこから先
CからDを除いた領域をEとする。
どこやねん？
円周から領域取り憑いて領域って何？ >>100
λ-e^(-λ)=0が無限個の解を持つとは、複素数の範囲で全て求めるって事ですか？
実数の範囲だと解は一個になりそうな気がしたので気になりました
という事は、微分方程式の解fはとんでもない三角関数の無限和に帰着される事が何と無くｲﾒｰｼﾞ出来ました
下手するとその無限話が収束しない恐れも有りそう
これ、昨年度末の微分方程式の期末試験で選択問題になっていて、選んだ人間が軒並み撃沈したんですよ…
それにしても特性方程式がλ-e^(-λ)と持っていくのがなかなか技巧的ですね
>>100 >>107
定規とコンパスだけなら筆記用具がないから無理。 全く分からん
意味が
単に最初のDとぶつからないようにすれば良いだけならlを中心対称に作図したものをmにすればいいだけだし (n!)*n^2=m!
を満たす正整数の組(n,m)をすべて求めよ。 m≧n+2→m!/n!=(n+2)(n+1)>n^2
∴m=n+1
∴m!/n!=n+1=n^2
解なし 確率の問題で解き方がわからないので教えてください。
赤、青、白の三色の球が入っている箱から、球を次のルールで取り出すゲームを考える。
プレイヤーは、一回の挑戦で一個の球を無作為に取り出し、引いた球の色に応じて以下を行う。
赤:ゲームを終了する。
青:引いた青球を箱の中に戻し、ゲームを続行する。
白:引いた白球を捨て、ゲームを続行する。
この挑戦をゲームが終了するまで繰り返す。
最初、箱の中には赤球がL個、青球がM個、白玉がN個あるものとする。
問1 L=M=N=2のとき、一回目の挑戦でゲームが終了する確率、二回目の挑戦でゲームが終了する確率、三回目の挑戦でゲームが終了する確率、をそれぞれ求めよ。
問2 このゲームの終了時点でそれまでに青球を引いた回数がa、白球を引いた回数がbのとき、プレイヤーには(b-a)の点数が与えられるものとする。
L=M=1のとき、点数の期待値が正になる最小の自然数Nを求めよ。
問2がよくわかりませんでした。よろしくお願いします。 >>117
白玉N個の時のb-aの期待値をEn
白がi玉ある状態をSiとし、Siの間に引いた青玉の数の期待値をFiとする
En = -Fi + P(白を引いて状態Siが終わる)×(1+E(n-1))
である
状態Siの続く回数の期待値は状態Siが終了する条件が全i+4球中i+2個ある赤又は白を引くまでの回数の期待値だから(i+4)/(i+2)
最後の一球は青玉出ないのでFiは2/(i+2)
白を引いて状態Siが終わる確率はi個ある白、2個ある赤のうち、白を引いて終わるかだからi/(i+2)
∴ En = -2/(n+2) + n/(n+2)(1+E(n-1))
. = n/(n+2)E(n-1) + (n-2)/(n+2)
コレとE0=-1から
E1=-2/3,E2=-1/3,E4=0,E5=1/3 >>109
>λ-e^(-λ)=0が無限個の解を持つとは、複素数の範囲で全て求めるって事ですか？
そうです
>下手するとその無限話が収束しない恐れも有りそう
だから、fがC^1(R)になるように係数ckに以下の条件を課します
λkの複素共役をλk'とするときck=ck' かつΣ|ck λk|<∞
多分これが想定される解答かな >>118
解けるのは解けるけど答えだけ見るとすごいシンプルな式になる
もっと鮮やかな導出がありそうだな f(x)=e^x-px
に最小値が存在し、かつその値がpであるという。実数pの値を求めよ。 これが解けません
(1/a)+(1/b)＝(2/3)ⁿを満たす自然数(a,b,n)の組を全て求めよ >>118
とりあえずL=M=2という値には意味はなくて漸化式は
En=n/(n+L)E(n-1)+(n-M)/(n+L)
E0=-M/L
で解くと
En=n/(L+1)-M/L
分からん
なんでこんな気持ちのいい値になるんや？ >>119
実係数ckの条件間違えてた
特性方程式よりRe(λk)=-log|λk|, |e^(λk x)| = e^(-log|λk| x) =|λk|^(-x)
だから正しくは
λkの複素共役をλk'とするときck=ck'∈R かつΣ|ck|・|λk|^(1-x)が定義域で各点収束 >>123
わかった
青玉一個に着目してゲーム終了までにその青玉が引かれる回数の期待値は赤玉L個、青玉１個で赤玉引くまでの青玉引く回数の期待値だから(L+1)/L-1=1/L
よってこの青玉の期待値への寄与分は-1/L
白玉一個に着目してゲーム終了までにその白玉が引かれる回数の期待値は赤玉L個、白玉１個で赤玉より白玉を先に引く確率に等しいから1/(L+1)
よってこの白玉の期待値への寄与分は1/(L+1)
よって求める期待値はN/(L+1)-M/L O
O F O F T O T
O S T T ？F？
T
T T T S ？S S N
?に共通するアルファベットとその根拠は？ >>122
1/3+1/3=2/3
1/2+1/6=2/3
1/3+1/9=4/9
(略解)
ある自然数 n に対して
{(3^n)+1}/(2^n)=N が整数 …(*)
となるとき，
(1/N)+(1/(N*3^n))=(2/3)^n
となる．Nが偶数のとき，
N→(3/2)N, n→n+1
の変換により，素因数 2 の個数だけ
別解が作れる．
(*) の命題が成り立つのは n=0, 1 のとき．□ >>121
f '(x) = e^x - p,
p>0 のとき最小値が存在する。
x = ln(p),
f(x) = p[1-ln(p)]
これが p に等しいから p･ln(p)=0,
p>0 だから ln(p)=0
p=1. >>117
N＝１～４で点数 b-a の分布をシミュレーション
https://i.imgur.com/jmT7EO3.png
点数の期待値が正になる最小の自然数は３と予想。 >>132
ありがとうございます。
実際に>>132さんの解法だとN=2で期待値0なので答えはN=3になりそうですね。 >>132
N=1～9まで
https://i.imgur.com/6tzIQq6.png
Nが１増えると期待値が0.5増えているのがみてとれた。
これからの予想式はN/2-1 >>135
モード値（最頻値）を出してみた。
https://i.imgur.com/xnC1Tqp.png
N=5までは最頻値は0なのがみてとれる。 前>>88
>>117
1回目は赤=2/6=1/3
2回目は白赤+青赤=(2/6)(2/5)+(2/6)(2/6)
=2/15+1/9
=(2×3+1×5)/45
=11/45
3回目は白青赤+白白赤+青白赤+青青赤
=(2/6)(2/5)(2/5)+(2/6)(1/5)(2/4)+(2/6)(2/6)(2/5)+(2/6)(1/6)(2/6)
=4/75+1/30+2/45+1/54
=(4×18+45+2×30+25)/1350
=(72+45+60+25)/1350
=202/1350
=101/675
あってるかなぁ？ >>128
ありがたいのだが，
(1/N)+(1/(N*3^n))=(2/3)^n
の形以外に解が無いことの証明ができていないのでは？ >>135
あとはこれを数学的帰納法で証明できればいい。
それは賢者にお任せ。 >>138
100万回実験した結果。
> mean(y['count',]==1) ; 1/3
[1] 0.333436
[1] 0.3333333
> mean(y['count',]==2) ; 11/45
[1] 0.24403
[1] 0.2444444
> mean(y['count',]==3) ; 101/675
[1] 0.16854
[1] 0.1496296
おまけのコード
sim <- function(L=2,M=2,N=2){
pick <- function(x){ # x -> (picked, rest)
i=sample(length(x),1)
list(picked=x[i], rest=x[-i])
}
balls=rep(c('red','blue','white'),c(L,M,N))
a=0 # how many times blue balls drawn
b=0 # how many white balls drawn
count=0
while(T){
count=count+1
(drawn=pick(balls))
if(drawn$picked=='blue'){ # if blue picked, restore & continue
a=a+1
balls=c(drawn$rest,'blue')
}else{
if(drawn$picked=='white'){ # if white picked, remove & continue
b=b+1
balls=drawn$rest
}else{
break # if red picked, quit
}
}
}
return(c(score=(b-a),count=count))
}
y=replicate(1e6,sim())
mean(y['count',]==1) ; 1/3
mean(y['count',]==2) ; 11/45
mean(y['count',]==3) ; 101/675 おもちゃが完成したので遊んでみる。
L=M=N=2のときの得点と終了までの回数の分布
https://i.imgur.com/QtdeBis.png >>138
青青赤は(2/6)(2/6)(2/6)じゃね？
(2/6)(2/5)(2/5)+(2/6)(1/5)(2/4)+(2/6)(2/6)(2/5)+(2/6)(2/6)(2/6)＝227/1350＝0.168148
でシミュレーション結果と合致。 >>100
LambertＷ関数を複素数に解析接続したでござるな。
λ_0 = W。(1) = 0.5671432904
λ_1 = W_1(1) = -1.5339133198 + 4.3751851531ｉ
λ_2 = W_2(1) = -2.4015851049 + 10.7762995161ｉ
λ_3 = W_3(1) = -2.8535817554 + 17.1135355394ｉ
λ_4 = W_4(1) = -3.1629527388 + 23.42774750375i
λ_5 = W_5(1) = -3.3986921968 + 29.7313107078ｉ
λ_n = W_n(1) ≒ - log|θ| + θｉ, θ = (2n-1/2)π. >>117
最初、箱の中には赤球がL個、青球がM個、白玉がN個あるとき
n回目の挑戦でゲームが終了する確率は一般解が出せるのだろうか？
場合分けが大変そう。 前>>138
>>4
草がx日でなくなるとして、
草の生える割合をykg/日
1日1頭で食べる草をzkg/日とすると、
生えていて、かつ食べられていない草のField,Ｆとおいて、
22頭で48日だから、Ｆ+48y=22z×48
30頭で24日だから、Ｆ+24y=30z×24
78頭でx日だから、Ｆ+xy=78z×x
1式2式を辺々引くと、24y=(22-15)×48z
y=14z
2式よりＦ=30・24z-24・14z
=24・16z
=384z
3式より64xz=384z
x=6
∴6日 オリンピックは悪魔バアル崇拝
ブリタニカ国際大百科事典
https://www.britannica.com/topic/Baal-ancient-deity
Baal=バアル → バビロニア語Bel＝ベル → ギリシャ語Belos=Zeus → 日本語ゼウス
末日聖徒イエスキリスト教会 聖句ガイド
https://www.churchofjesuschrist.org/study/scriptures/gs/baal?lang=jpn
バアルはバビロンのベルやギリシャのゼウスと同じとも考えられる
バール（バアル）について記載された文献あれこれ
http://www5.cncm.ne.jp/~ryuji-t/kenkyu/baal.htm
町の両区域ともその中央に囲いがあり、一方は壮大堅固な壁をめぐらした王宮であり、他方は「ゼウス・ベロス」の青銅の門構えの神殿である。
「ベロス」はバールのギリシア的転訛で、ゼウスと同一視して、「ゼウス・ベロス」となっている。
オリンピックの起源 // 悪魔バアルを祀る人類最大の宗教儀式
https://blog.goo.ne.jp/nasaki78/e/48895b3900d2803866456995e3be643d
悪魔バアルを祀る宗教儀式 | mariaのブログ
https://ameblo.jp/the-snark2/entry-12412725822.html
古代オリンピック 生きた人間の心臓をつかみ出す
https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4c/7a/09fd10fe20481f1c4331a6727eca5da5.png
悪魔バアルとは誰？
https://www.gotquestions.org/Japanese/Japanese-who-baal.html
バアル礼拝は官能主義に根ざし、神殿での儀式的な売春行為を含んでいました。 神が現れる時、様々な「しるし」「兆し」が示される。その実現例
↓
http://lavender.5ch.net/test/read.cgi/contemporary/1561503978/
このスレに日月神示を調べ続けていた者が色々書きこんでいる
↓
日月神示やアセンションとか
https://mao.5ch.net/test/read.cgi/occult/1606283054/
当人いわく「神様と対面した」「聖書の預言通り、盗人が来るような時間＝午前２時に家に来て罰せられた」らしい
そいつは去年の夏頃から、オカルト板やツイッターで延々
「日本の神様の正体は旧約聖書の創造主だ」「五輪とはゼウス崇拝であり、偶像崇拝の神罰が下されている」と警告し続けていた
そいつが立てた別スレ
↓
日月神示を考えるスレッド
https://mao.5ch.net/test/read.cgi/occult/1610162866/
警告通り、神罰が加速している
バアルの祭典まで猶予は少ない
本文を読んだ方々は、バアル崇拝を阻止して、救世に動かねばならない 前>>151
>>117
1回目は赤=2/6=1/3
2回目は白赤+青赤=(2/6)(2/5)+(2/6)(2/6)
=2/15+1/9
=(2×3+1×5)/45
=11/45
3回目は白青赤+白白赤+青白赤+青青赤
=(2/6)(2/5)(2/5)+(2/6)(1/5)(2/4)+(2/6)(2/6)(2/5)+(2/6)(2/6)(2/6)
=4/75+1/30+2/45+1/27
=(4×18+45+2×30+50)/1350
=(72+155)/1350
=227/1350 こんな事してレス流してなかった事にしたいんだろうけど書いてしまった事は消せない
よく考えてから書けばいいのに
思いつきですぐ書くから恥かくんだよ 前>>157
>>19
一見ACが長いときは、AをCに折りかえすといい。
∵せやて∠Aと∠Cの大きさが、∠Bと比べて相対的に小さいから。
一方ABがじゅうぶん短く、∠Aと∠Bの大きさが∠Cと比べて相対的に大きいときは、
BをAC上のめいいっぱいA寄りに折りかえすといい。
P.S.なんならはみ出すぐらいの勢いで。 赤球の個数(L)、青球の個数(M) は一定。
k回の挑戦で白球をb回引いたとすると 白球は N-b 個。(a=k-b)
その確率を P_k(b) とおく。
P_o(b) = δ_{b,0}
P_{k+1}(b) = P_k(b)M/(L+M+N-b) + P_k(b-1)(N+1-b)/(L+M+N+1-b),
生成関数を
G_k(x) = Σ[b=0, N] P_k(b) x^{N-b},
とおく。
G_o(x) = x^N,
Ω： x^{N-b} → (M x^{N-b} + (N-b) x^{N-b-1})/(L+M+N-b),
をみたす線形演算子Ωは
G_k(x) を G_{k+1}(x) に移すだろうなぁ。
例)
Ω: f(x) → exp(-Mx)(d/dx)[exp(Mx)･x^{-L-M}∫[0,x] y^{L+M-1}･f(y)dy] >>149
n回目の挑戦でゲームが終了する確率は
Σ[b=0,N] P_{n-1}(b) L/(L+M+N-b)
= L ∫[0,1] x^{L+M-1} G_{n-1}(x)dx
かな。 ついでに
P_k(0) = (M/(L+M+N))^k,
P_k(k) = {N!/(N-k)!} / {(L+M+N)!/(L+M+N-k)!},
P_k(b) = 0 (b>k, b>N)
G_o(x) = x^N,
G_1(x) = M/(L+M+N)・x^N + N/(L+M+N)・x^{N-1},
G_2(x) = (M/(L+M+N))^2・x^N + MN/(L+M+N)・[1/(L+M+N) + 1/(L+M+N-1)]・x^{N-1}
+ N(N-1)/[(L+M+N)(L+M+N-1)]・x^{N-2}, >>165
結局できてないの？
わかったところ書いてるだけ？ xy平面上に定点A(-1,-1),B(1,1)と曲線C:y=x^(2n+1)(-1<x<1)がある。
C上を点Pが動くとき、∠APBが最小となるPのx座標を求めよ。 前>>159
>>167
n=0のときy=x
∠APB=45°に限りなく近づき、
x=-1ならP(-1,-1)だがこれは題意より不可。
∴∠APBは45°を超える限りなく45°に近い最小の値をとりうる。
n→-∞のときx=y^∞
∠APB=45°に限りなく近づき、
x=1ならP(1,-1)だがこれは題意より不可。
∴∠APBは45°を超える限りなく45°に近い最小の値をとりうる。 前>>170
>>167
n=0のときy=x
∠APB=45°に限りなく近づき、
x=-1ならP(-1,-1)だがこれは題意より不可。
∴∠APBは45°を超える限りなく45°に近い最小の値をとりうる。
n→-∞のときx=y^∞
∠APB=45°に限りなく近づき、
x=1ならP(1,-1)だがこれは題意より不可。
∴∠APBは45°を超える限りなく45°に近い最小の値をとりうる。
以上より∠APBを最小にするPのx座標は、
-1より大きく限りなく-1に近い最小の数または1より小さく限りなく1に近い最大の数 円環方程式
(x_1)^2-x_2
=(x_2)^2-x_3
=...
=(x_(n-1))^2-x_n
=(x_n)^2-x_1
を解け。ただしn≧3とする。 n=3 のとき
(a, a, a)
(b, b, b)
(a, -2.8042377788, 2.02418935)
(a, 1.2732277223, -0.140985840)
(b, -2.524189346, 2.30423778)
(b, -0.3590141600, -1.773227722)
ここに a, b は 2tt + t - 2√2 - 3/2 = 0 の解
a = －{1+√(13+16√2)}/4 = - 1.7422176658829284376
b = {-1+√(13+16√2)}/4 = 1.2422176658829284376 相手にしない方がいい
どうせ解答持ってない思いつき問題だよ >>172
自明な x_1 = x_2 = … = x_n は除くんだよね。 無理やろ
こんなので一般解が綺麗に出るならロジスティックス
x_(n+1)=x_n^2+a
の周期項が綺麗に求まることになる α、β、γは複素数で、α+β+γ=0,|α|≦1,|β|≦1,|γ|≦1を満たす。
この条件下でα、β、γが変化するとき、以下の複素数zが動いてできる領域D内で、複素平面の原点Oからの距離が最大となる点wを求めよ。
z=α+β(1-i)+γ(-2+3i) >>160
f(x) = (Mx-L-M) (λx-1)^{M/λ -L-M-1},
のとき
Ω： f(x) → λf(x) 超平面の のでは最大値を乗らないこととU(1)の作用での不変性からα=1、β=1、γ=1のいずれかが成立するとして良い
α=1のとき、同じく|β|=1、|γ|=1といずれかとしてよい
|β|=1のとき、
β=-exp(θi)、γ=exp(θi)-1) (-π/3≦θ≦π/3)としてよい
以下ry >>181
その方針だと計算の泥沼に入り込みます
ガンマを消去してαとβの一次独立なベクトルと見る解法でお願いします >>182
なんでやねん
zの軌跡は6個円弧合わせただけやろ α=1の時
z=(3-4i)β-1+3i=(-3+4i)γ+2-i
でβ、γを単位円周上を自由に動かすときそれぞれ中心-1+3i、2-iで半径5の円周上を動く
>>181の軌跡は2円の交点で切り取られる円弧２つ合わせたもの
この作業あと2回するだけ 2変数実係数多項式f,g∈R[x,y]が代数的に独立なとき(もしかして既約で十分ですかね…)、
f=g=0を満たす点(x,y)∈R^2は有限個ですよね？
存在範囲をf,gから判断することは可能でしょうか >>187
ありがとうございます
解集合の上界を見積もるのは一般には難しいんでしょうか？ >>167
数値解
> data.frame(n,x)
n x
1 1 0.8164809
2 2 -0.8173920
3 3 0.8331863
4 4 -0.8481919
5 5 -0.8609030
6 6 0.8716082
7 7 0.8806125
8 8 -0.8883207
9 9 0.8949819
10 10 0.9007938
11 11 0.9059070
12 12 0.9104451
13 13 0.9144971
14 14 0.9181679
15 15 0.9214882
16 16 0.9245151
17 17 0.9272777
18 18 0.9298420
19 19 0.9321936
20 20 0.9343775 >>167
f := f(t) = t^{2n+1}, P = (t, f) として
APB外接円の中心 (x,y)を求める. それには垂直二等分線を二本引いて交点を求めればよい.
(t-1)(x -(t+1)/2) + (f-1)(x -(f+1)/2) = 0
(t+1)(x -(t-1)/2) + (f+1)(x -(f-1)/2) = 0 ...(1)
この円に 曲線C[t∈(0,1)] {点対称なので半分だけ考えれば十分} が 内接する条件は
(x - t, y - f) ⊥ (1, f') ...(2)
(1)より
(t-1)(x -t) + (f-1)(x -f) = { -(t-1)^2 -(f-1)^2 }/2
(t+1)(x -t) + (f+1)(x -f) = { -(t+1)^2 -(f+1)^2 }/2
∴ (x - t, y - f) ∝ (
+(f+1)*((t-1)^2+(f-1)^2) -(f-1)*((t+1)^2 +(f+1)^2) ,
-(t+1)*((t-1)^2+(f-1)^2) +(t-1)*((t+1)^2 +(f+1)^2)
)
(2) と f ’ = (2*n+1)*f/t より
t * (x - t) + (2*n+1)* f * (y -f ) = 0
特に n=2 の場合を考えて整理すると
5*t^10 + 10*t^8 + 6*t^6 + 2*t^4 - 5*t^2 - 2 = 0
解: t = 0.8173906... よって P = ( ±0.8173906... , {略} )
cosθ = (AP^2 + BP^2 - AB^2)/(2*AP*BP)
= ((t-1)^2+(f-1)^2 + (t+1)^2+(f+1)^2 - 8)/(2*sqrt(((t-1)^2+(f-1)^2)*((t+1)^2+(f+1)^2)))
θ = acos(...) = 142.94785... [deg]
一般的な解析解は存在しない
n→∞ 極限では
P → (±1, 0)
θ → 90 + atan(1/2) = 116.56505... [deg]
>>188
共有点の個数=曲線fの次数×曲線gの次数
ただし複素平面内での個数だから実平面ではこれ以下
等号成立する時もあるので簡単にはこれより良い評価はでない >>191
すみません
知りたいのは解集合(x,y)の存在範囲です
これをf,gの係数などから見積もりたいんです >>178
α+β+γ = 0 より
βを固定した時、γが動けるのは緑の領域: E(β)
z = α + β*(1 - i ) + γ * (-2 + 3i)
= β*( - i ) + γ * (-3 + 3i)
= β*exp(-iπ/2) + γ*3√2 * exp(+i3π/4)
この時の z可能領域: D(β) は E(β)を 3√2 スケールして 135° 回転、 β*exp(-iπ/2) だけ平行移動して得られる.
D = ∪D(β) {|β|≦1} である.
よって β は円周上, γ = β exp(+i3π/4) にて |z| 最大となる. {図形的に明らか}
β = exp(iθ) と置けば
z = β*exp(-iπ/2) + γ*3√2 * exp(+i3π/4)
= ( exp(-iπ/2) + 3√2 * exp(+i3π/2) ) * exp(iθ)
= -( 1 + 3√2 ) * exp(iθ)
|z| = 1 + 3√2 = 5.24264...
以下の問題に対する解答は合っていますか？
問題： Let φ(x) be a formula. What does ∀z∀y((φ(x)∧φ(y) )→ z=y) assert?
解答： z ≠ y ならば φ(x) または φ(y) のどちらかは成り立たない。 こういう問題を試験で出題したとき、採点者は間違っていなければすべて正解にするんですかね？
それとも、普通の日常後に直したときに「自然な」解答でないといけないとか言い出すんですかね？
そうすると、主観が入りますよね。 例えば、
What does the formula ∃x∀y(￢(y ∈ x)) say in English?
という問題の解答を、
ある集合 x があって、任意の y に対して、 x は y を含まない
と解答したら正解でしょうか？
それとも、「x は空集合である」と書かないと不正解になりますか？ 1番の箱からn番の箱までのn個の箱があり、各箱には赤玉と白玉が1つずつ入っている。
いま、1番の箱の中から無作為に1つの玉を選び、2番の箱に入れる。その後、2番の箱の中から無作為に1つの玉を選び、3番の箱に入れる。同様な方法で、k番の箱からk+1番の箱へ玉を移動することを、k=1,2,...,n-1の順に行う。
以下、n≧3とする。
（1）n-1番の箱からn番の箱へと玉を移動し終えたあと、1番の箱とn番の箱に同じ色の玉が入っている確率をnで表せ。
（2）n-1番の箱からn番の箱へと玉を移動し終えたあと、m番の箱とn番の箱に同じ色の玉が入っている確率をp[m,n]とする。m=1,2,...,n-1に対してp[m,n]の取りうる値の範囲をm,nで表せ。
またその範囲をa[m,n]≦p[m,n]≦b[m,n]の形で表したとき、極限値lim[n→∞] b[m,n]-a[m,n] を求めよ。 n番目の箱に赤2白1か、白2赤1のいずれかしかない
赤も白も必ず入っているので箱mと箱nに同じ色の玉が入っている確率は1 >>196
不正解です。
(理由)
… say in English ? と訊いてるのに日本語で解答したから。 【誤りの指摘を受け修正しました】
1番の箱からn番の箱までのn個の箱があり、各箱には赤玉と白玉が1つずつ入っている。
いま、1番の箱の中から無作為に1つの玉を選び、2番の箱に入れる。その後、2番の箱の中から無作為に1つの玉を選び、3番の箱に入れる。同様な方法で、k番の箱からk+1番の箱へ玉を移動することを、k=1,2,...,n-1の順に行う。
n-1番の箱からn番の箱へと玉を移動し終えたあと、最後にn番の箱から無作為に1つの玉を選んで1番の箱に入れ、操作終了とする。
以下、n≧3とする。
（1）操作終了時に、1番の箱に白と赤の玉が両方とも入っている確率をnで表せ。
（2）操作終了時に、m番の箱に白と赤の玉が両方とも入っている確率をp[m,n]とする。m=1,2,...,n-1に対してp[m,n]の取りうる値の範囲をm,nで表せ。
またその範囲をa[m,n]≦p[m,n]≦b[m,n]の形で表したとき、極限値lim[n→∞] b[m,n]-a[m,n] を求めよ。 >>178
プログラムを組んで極大値（多分、最大値）を求めると
> y[1]
[1] 5.242641
> (α=y[2]*exp(1i*y[3]))
[1] 0.4180602+0.6416404i
> (β=y[4]*exp(1i*y[5]))
[1] -0.9830244+0.1834751i
> (γ=-α-β)
[1] 0.5649641-0.8251155i
おまけのコード
https://ideone.com/tpPsbz Riを箱iから赤を引く事象としqi = P(Ri | R1)とする
q1=1
q(i+1)
= P(R(i+1) | Ri )P( Ri | R1 ) + P(R(i+1) | ￢ Ri)P(￢Ri|R1)
=2/3qi + 1/3(1-qi)
=1/3qi +1/3
qi = (1/2)(1/3)^(i-1) + 1/2
(2)m≧2の時
p[m,n] = P(m-1回目の玉の色とm回目の玉が同色)=1/3
p[1,n]=qn= (1/2)(1/3)^(n-1) + 1/2
∴a[m,n]=b[m,n]=1/3 (m≧2)
a[1,n]=b[1,n]= (1/2)(1/3)^(n-1) + 1/2 訂正
(2)m≧2の時
p[m,n] = P(m-1回目の玉の色とm回目の玉が同色)=2/3
p[1,n]=qn= (1/2)(1/3)^(n-1) + 1/2
∴a[m,n]=b[m,n]=2/3 (m≧2)
a[1,n]=b[1,n]= (1/2)(1/3)^(n-1) + 1/2 >>200
n=12のとき１００万回シミュレーション
1番の箱に白と赤の玉が両方とも入っている確率
> mean(replicate(1e6,sim(n=12,m=1)))
[1] 0.499794
どうやら、1/2みたいだな。
おまけのコード
https://ideone.com/50CcxA >>204
n=12だと
0.50000282251463479なのか、どうりでｎが大きくなるとシミュレーションじゃ全部1/2にみえるはずだな。 え、1番の箱以外は、操作終了時に白玉と赤玉が共に入っている確率が2/3（定数）になるんですか n=5のとき1000回試行して1番の箱に白と赤の玉が両方とも入っている割合pの分布
https://i.imgur.com/wlAc57l.png
> summary(p)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.4600 0.4958 0.5060 0.5062 0.5170 0.5540
ｐの平均値0.5062 中央値0.5060
i=5のとき >202の
qi = (1/2)(1/3)^(i-1) + 1/2 ＝ 0.5061728なのでシミュレーションの平均値とほぼ一致。
ｐが0.5以下になる割合
> mean(p<=0.5)
[1] 0.366 >>207
n=5の時のシミュレーション
m番目の箱に紅白玉の入る確率
m=1以外では2/3と返ってきた。
> data.frame(m=1:5,p=apply(re,2,mean))
m p
1 1 0.505164
2 2 0.666808
3 3 0.666481
4 4 0.666589
5 5 0.666742 Set Theory: A First Course (Cambridge Mathematical Textbooks) 1st Edition
by Daniel W. Cunningham (Author)
この本は公理に基づく集合論の入門書です。
例えば、 P <-> Q の定義は、 (P, Q) = (T, T) または (P, Q) = (F, F) のとき、かつそのときに限り T になる
というものです。
以下の公理2つを用いて、 A, B を集合とする。 A ∈ B ならば、￢(B ∈ A) が成り立つことを証明せよという問題があります。
Pairing Axiom:
∀u∀v∃A∀x(x∈A <-> (x = u ∨ x = v))
Regularity Axiom:
∀A(A≠Φ → ∃x(x∈A ∧ x ∩ A = Φ)
この問題の解答を以下のように普通の言葉で書いてもいいのでしょうか？
Pairing Axiomにより、 x ∈ C <-> (x = A ∨ x = B) となるような集合 C が存在する。
この C を {A, B} と書くことにする。
{A, B} ≠ Φ だからRegularity Axiomにより、 x ∈ {A, B} ∧ x ∩ {A, B} = Φ を成り立たせるような集合 x が存在する。
{A, B} の定義により、 (x = A ∨ x = B) ∧ x ∩ {A, B} = Φ を成り立たせるような集合 x が存在する。
A ∈ B ∩ {A, B} だから、 B ∩ {A, B} ≠ Φ である。よって、A ∩ {A, B} = Φ でなければならない。
ゆえに、 ￢(B ∈ A) でなければならない。
この問題の後のページをパラパラ見てみると、この本自体、証明は普通の言葉で書いているようです。 >>210
集合論や記号論理学で定義される言語(対象言語)と、その言語を記述するための言語(メタ言語)は違いますよね ｉ番目の箱に
色1の玉が２つ残る確率 … (1/3)q_{i-1}
色1の玉が残らない確率 … (1/3)(1-q_{i-1})
白玉と赤玉がともに入った箱の数の期待値は
(2/3)(n-1) + (1/2){1 + 1/3^{n-1}),
白玉２つの箱、赤玉２つの箱の数の期待値は
(1/6)(n-1) + (1/4)(1 - 1/3^{n-1}), x(x+1)(x+2)=1
t^3-t=1（x+1=t）
ここで、t=a+bかつab≠0とすると、
(a+b)^3-a-b-1=0
3ba^2+3ab^2-a-b
a^3+b^3-1+(a+b)(3ab-1)=0
いま、「a^3+b^3-1=0かつ(a+b)(3ab-1)=0」を満たす(a,b)の組を1つ求める。
t≠0よりa+b≠0で、したがって3ab=1
b=1/3aを代入し、
a^3+(1/27a^3)-1=0
27a^6-27a^3+1=0、さらにa^3=Xとして
27X^2-27X+1=0
X=(9±√69)/18
よって
a={(9±√69)/18}^1/3
b=1/3{(9±√69)/18}^1/3
x=-1+[{(9±√69)/18}^1/3]+[1/3{(9±√69)/18}^1/3] 袋の中に赤玉n個、白玉n個、青玉n個の合計3n個の玉がある。
袋から玉を1つ無作為に取り出し、取り出した順に先頭から一列に並べていく。
3n個すべて並べ終わったあと、列の先頭から玉を1つずつ取り除いていく。いずれか1つの色の玉がすべて取り除かれた時点で、まだ取り除かれていない玉の個数mを数える。
mの期待値をE[n]とするとき、極限値lim[n→∞] E[n]/3nを求めよ。 ある赤玉より先に白玉が全て取り出されてしまう確率は1/(n+1)
その赤玉より先に青玉が全て取り出されてしまう確率は1/(n+1)
その赤玉より先に青白玉が全て取り出されてしまう確率は1/(2n+1)
∴その赤玉が取り出される確率は1-2/(n+1)+1/(2n+1)
∴ E[n] = 3n ( 1-2/(n+1)+1/(2n+1) ) 二項分布 Binom (n=1000回, μ=41/81)
0.451～0.460 1.71523875
0.461～0.470 10.08944551
0.471～0.480 40.18870372
0.481～0.490 108.55963213
0.491～0.500 199.07002481
0.501～0.510 247.94966003
0.511～0.520 209.78887903
0.521～0.530 120.52987960
0.531～0.540 46.98123108
0.541～0.550 12.40775202
0.551～0.560 2.21630100
0.0 ～0.495 249.80570915
0.0 ～0.500 359.83623261
0.0 ～0.516 743.15112670
0.0 ～0.517 763.11378679 >>214
a = {(9±√69)/18}^(1/3),
b = 1/(3a) = {(9干√69)/18}^(1/3),
t = a + b = {(9±√69)/18}^(1/3) + {(9干√69)/18}^(1/3), = {(9+√69)/18}^(1/3) + {(9-√69)/18}^(1/3)
= 0.986991206 + 0.337726751
= 1.324717957
をプラスチック比と云うらしい。 2^{1, 2, 3} = {Φ, {1}, {2}, [3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3}}
が成り立つことをフォーマルに証明せよ。
2^{1, 2, 3} ⊂ {Φ, {1}, {2}, [3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3}}
はどうやってフォーマルに証明するのでしょうか？ x ∈ 2^{1, 2, 3} とする。
1 ∈ x ∨ ￢(1 ∈ x) が成り立つ。
2 ∈ x ∨ ￢(2 ∈ x) が成り立つ。
3 ∈ x ∨ ￢(3 ∈ x) が成り立つ。
(1) 1 ∈ x ∧ 2 ∈ x ∧ 3 ∈ x の場合
(2) ￢(1 ∈ x) ∧ 2 ∈ x ∧ 3 ∈ x の場合
…
(8) ￢(1 ∈ x) ∧ ￢(2 ∈ x) ∧ ￢(3 ∈ x) の場合
と8つの場合に場合分けできる。
たとえば、
(2) ￢(1 ∈ x) ∧ 2 ∈ x ∧ 3 ∈ x だとする。
y ∈ x とする。
x ∈ 2^{1, 2, 3} だから、 x ⊂ {1, 2, 3} である。
よって、 y ∈ {1, 2, 3} である。
y = 1 ∨ y = 2 ∨ y = 3 である。
￢(1 ∈ x) だから y ≠ 1 である。
よって、 y = 2 ∨ y = 3 である。
2 ∈ x ∧ 3 ∈ x だから、
∀y(y ∈ x <-> y ∈ {2, 3}) が成り立つ。
Extensionality Axiomにより、
x = {2, 3} ∈ {Φ, {1}, {2}, [3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3}} である。
同様にして、他の7つの場合について、 x ∈ {Φ, {1}, {2}, [3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3}} が成り立つ。
ゆえに、 2^{1, 2, 3} ⊂ {Φ, {1}, {2}, [3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3}} が成り立つ。 Tc2-20/100-20×100=80
Tc2は84
なぜ84になるかわかりません
計算の順番を教えてください (Tc2 - 20)/(100 - 20) = 80/100 = 4/5,
[20,100] を５等分する。
20 36 52 68 84 100
100の隣が Tc2 実数のべき集合に入れる全順序の例が1つ欲しいんですが、なんかありませんか 4次方程式
x(x+1)(x+2)(x+3)=1
の解き方を教えて下さい。 >>229
左辺=(x^2+3x)(x^2+3x+2)=(x^2+3x+1)^2-1 方程式は(x^2+3x+1)^2=2と変形できる
あとは二次方程式x^2+3x+1=√2とx^2+3x+1=-√2をそれぞれ解く nを正整数の定数とする。
xについての方程式
(x+1)(x+2)…(x+n)=1…(*)
について以下の問いに答えよ。
（1）(*)の実数解で、-1より大きく0より小さいものが存在することを証明せよ。
（2）（1）の性質を持つ実数解の個数を求めよ。 >>231
n=1のとき成立しない
n≧2のときf(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)の増減と境界値を調べればよい
以下略 kを正整数の定数とする。
正整数nが0≦k≦n≦2kを満たしながら動くとき、二項係数の和
C[n,k]+C[2k,n]
の最大値を与えるnをkで表せ。 >>234
✕0≦k≦n≦2k
○0<k≦n≦2k 数直線Rの部分集合の中に、
・区間ではない
・区間の和集合でもない
ような非可算集合は存在するのでしょうか？ k≧lに対して
f(k)=C[2k,k]+1-(C[2k,k+l]+C[k+l,l])≧0
を示す(i.e. n=k,2kのときmaxを示す)
k=lで自明、k=l+1のとき
f(l+1)=C[2l+1,l+1]+1-(2l+2)
によりよい
k≧l+2とする
f(k)≧C[2k,k](1-(1-l/(k+1))‥(1-l/(k+l))-(l+1)/(k+l+1)‥k/(k+k)
ここで
(1-l/(k+1))‥(1-l/(k+l))+(l+1)/(k+l+1)‥k/(k+k)
≦1-l/(k+1)+1/2^(k-l)
ここで
l/(k+1)≧1/2^(k-l)⇔2^k/(k+1)≧2^l/l
であるがk=l+2で成立し、左辺がk≧1で単調増大だからk≧l+2全体で成立 完備束の定義ですが、松坂和夫著『集合・位相入門』では、以下の定義です：
「順序集合 M において、その任意の空でない部分集合が（M の中に）上限および下限を有するとき、 M は完備束であると言われる。」
ですが、Wikipediaなどを見ると、
「順序集合 M において、その任意の部分集合が（M の中に）上限および下限を有するとき、 M は完備束であると言われる。」
という定義です。
そこで質問ですが、順序集合 M が松坂和夫著『集合・位相入門』における定義で完備束であり、 最大元または最小元をもたないことはありますか？
M の任意の元は空集合の上界かつ下界ですので、 M に最大元および最小元があれば、松坂著の定義とWikipediaなどの定義は一致することになります。
逆に、 M に最大元または最小元がなければ、空集合には下限または上限が存在しないことになります。 x^4+x^2-2ax-a^2+1を因数分解せよ
a=0、a=1を代入し因数分解、そこからa=aを類推すれば解けたのですが、あまり使わない解き方だったので、他の因数分解の問題にも使える手法で解いていただけませんか？ >>242
x^4+x^2-2ax-a^2+1
=-a^2-2ax+x^4+x^2+1
=-(a+x)^2+x^4+2x^2+1
=(x^2+1)^2-(x+a)^2
=（以下略）
xで見ると4次式だがaで見ると2次式に過ぎないことを利用する C[n,k] + C[2k,n] の最小値は
n = [(8k+1)/5] (k≠6)
n = 10 (k=6)
のときかも。 k, n, log{C(n,k)+C(2k,n)}
---------------------------------------
2, 1.77855 k, k -0.09805
5, 1.613404k, k -0.38663
10, 1.59104 k, k -0.54275
20, 1.582555k, k -0.5391
50, 1.578106k, k +0.0293
100, 1.57672 k, k +1.386
200, 1.5760285k, k +4.442
n ≒ (π/2)k かな？ 前>>171
>>242
x^4+x^2-2ax-a^2+1=0
aについて整理すると、
a^2+2ax-(x^4+x^2+1)=0
a^2+2ax+x^2-(x^4+2x^2+1)=0
(a+x)^2-(x^2+1)^2=0
(x^2+x+a+1)(x^2-x-a+1)=0 三角形ABCの3つの辺の長さをa,b,cとする。この時、次の問いに答えよ。
(1)等式a^3+b^3+c^3=3abcが成り立つとき、三角形ABCはどんな三角形であるか。
(2)不等式（1/a+b-c）+(1/b+c-a)+(1/c+a-b)≧9/a+b+cが成り立つことを示せ。
(3)不等式(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≦abcが成り立つことを示せ。
(1)は因数分解をして、「a+b+c>0より（多項式）=0、式変形して{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2=0、等式が成り立つのはa=b=cのとき、よって正三角形」
としました。
(2)(3)が解けず悩んでいます。a,b,cが三角形の辺(>0)なので、相加・相乗平均の関係や、三角形の辺の不等式を使おうとしたのですが√の中が計算途中で止まってしまいました。
(1)が誘導だったとして、つながりがあまりわからなかったのでその点も含めて教えていただけないでしょうか。 分母にかっこないとわからない
対称性で右辺はエスパーできるが左辺は無理 (3)は簡単
s=(a+b+c)/2, u=s-a,v=s-b,w=s-cとして
左辺=8ubw
右辺=(v+w)(w+u)(u+v)←これの()内にam-gm使えばいい (2)の左辺が1/(a+b-c)+‥なら両辺を2/3倍して
左辺×2/3=(u+v+w)=AM
右辺×2/3=3/(1/u+1/v+1/w)=HM
なのでAM≧HMで成立 >>248-250
ありがとうございます。お察しの通り、(2)のカッコ部分を間違って記載していました…
（左辺各項の分母はa+b-c,b+c-a,c+a-bでした）
見直しの大切さも再確認できました、本当にありがとうございました！ べき乗についての質問なんですが
xの10乗の値Zがあってxの値を電卓で求めるための方法を教えて下さい
パソコンで=Z^(1\10)と入力すればいいのはわかってるのですが手計算で出来ないものかと思いまして… >>252
関数電卓を使いたくないという意味なら常用対数表を使えばいい >>252
●関数電卓
x [累乗] 0.1 [＝] の順に操作する
●[√]キーのある普通の電卓
1) 1 を置く
2) [×] x [＝] [√] [√] [√] [√] の操作を、
計算結果が同じになるまで繰り返す
3) [×] [＝] [＝] [√] の順に操作する
●[√]キーのない普通の電卓
[×] [＝] [×] [＝] [＝] [＝] [＝] の操作で10乗が計算できるので、10乗してもとの数になる数をひたすら探す >>254訂正
Z から x を求めるんだった
x と書いたところで Z を置く操作をする あ、やっぱり試行錯誤するしかないんですね
例えば10乗の結果ならルートで５回目の結果までは出せるのに
何か元のxに辿り着く手は無いのかなあとふと思ったもので
ありがとうございました >>245
k, n, log{C(n,k)+C(2k,n)}, C(n,k)/C(2k,n)
--------------------------------------------------
2, 1.778550k, k -0.09805478, 2.114350
5, 1.613404k, k -0.38663285, 1.433872
10, 1.591040k, k -0.54274965, 1.354733
20, 1.582555k, k -0.53910840, 1.325655
50, 1.578106k, k +0.02928496, 1.310766
100, 1.576715k, k +1.38563639, 1.306047
200, 1.576036k, k +4.44193424, 1.303790
--------------------------------------------------
n ≒ (π/2 + 1/[47.6log(k)-55.3]) k,
C(n,k)/C(2k,n) ≒ 1.288 + 1/[15.6log(k)-19.3], 3辺の長さが3,4,5の直角三角形の形をした折り紙Pがある。また、Pから1つの頂点を選ぶ。
Pを1回折り、選んだ頂点がその対辺と重なるようにする。
このような頂点の選び方、折り方は色々あるが、そのなかで折り紙が重なる部分の面積を最大にする折り方と、最小にする折り方を求めよ。 a,b,cが三角形の3辺の長さとなるとき、
{a/(3a+b+c)}+{b/(a+3b+c)}+{c/(a+b+3c)}
の取りうる値の範囲を求めよ。 a+b+c=1としてよい
この時1/(1+2a)も...も...も超平面a+b+c=1上上に凸だからその和も上に凸
故に値域は(頂点での値,最大値]
∴値域は(1/3,3/5] 世間でパラドクスといわれるものには
・ホントのようなウソ
・ウソのようなホント
・真性パラドクス
の3種類に分類されると聞いたのですがホントですか？ >>262
命題の真理値は、真、偽、判別不能の
いずれかである
を言い換えただけで
全体として正しい命題といえる >>247
(3) Lehmusの不等式
なお、 (左辺)：(右辺) = 2r：R,
佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
例2.2.3 p.71
演習問題2.39 p.86 >>260
a+b+c=2s (一定) としてよい。
f(x) = x/(2s+2x) は上に凸で、
(与式) = f(a) + f(b) + f(c)
≦ 3f((a+b+c)/3)
= 3f(2s/3)
≦ (a+b+c)/{2s+2(a+b+c)/3}
= 2s/(2s + 4s/3)
= 3/5, (最大) a[1]=0,a[n+1]=❲(a[n]+2022)/3❳
で与えられる数列{a[n]}に現れる整数は何種類あるか。
ただし❲x❳でxの整数部分を表す。 [(1,0),(2,674),(3,898),(4,973),(5,998),(6,1006),(7,1009),(8,1010),(9,1010),(10,1010),(11,1010),(12,1010),(13,1010),(14,1010),(15,1010),(16,1010),(17,1010),(18,1010),(19,1010),(20,1010),(21,1010),(22,1010),(23,1010),(24,1010),(25,1010),(26,1010),(27,1010),(28,1010),(29,1010),(30,1010)] この問題の答えは結局[(π/2)k]ですか？
kを正整数の定数とする。
正整数nが0<k≦n≦2kを満たしながら動くとき、二項係数の和
C[n,k]+C[2k,n]
の最大値を与えるnをkで表せ。 微妙
そもそもfloorの方になる事にも微妙やし
その付近まで言えたとしてもfloorとceilのどちらかに絞れるかもしれんけどそこで手詰まりになりそうではある 微妙
>>258 の近似式からは出ないんぢゃね？ (最小値) >>268
与式より
(a[n-1]+2019)/3 < a[n] ≦ (a[n-1]+2022)/3,
a[n] - 1009.5 > (a[n-1]-1009.5)/3 > …… > (a[1]-1009.5)/3^(n-1) > - 0.5 (n≧8)
a[n] - 1011 ≦ (a[n-1]-1011)/3 ≦ …… ≦ (a[1]-1011)/3^(n-1) < 0,
∴ 1009 < a[n] < 1011, (n≧8)
∴ a[n] = 1010 (n≧8)
∴ 8種類以下。
ところで、
> ただし (x) でxの整数部分を表す。
のは少数派で、誤解する人もいそう。 >>259
折り紙を作図して計測
最大になるときの折り方
https://i.imgur.com/zw8V0LD.png
面積の数値解
> calc(opt.max$maximum,A=3i,B=0i,C=4+0i,print=TRUE)
[1] 2.666462
最小になるときの折り方
https://i.imgur.com/dMEcaII.png
面積の数値解
> calc(opt.min$minimum,A=9/5+12/5*1i,B=0i,C=5+0i,print=TRUE)
[1] 1.269507 >>274
PC上で折って面積を計算すると
最小になるのは長さが４の辺に頂点が重なるように折る場合のようである。
頂点をずらして重なる三角をGIF動画化。
厳密解の求め方は賢者にお任せ。
https://i.imgur.com/enVyZ9e.gif >>278
重なる領域の三角形の面積を追加表示。
最小値がどれくらいか体感できる。
https://i.imgur.com/eGP6TVN.gif 前>>246
>>259
重なり部分を最大にする折り方は、
長さ3の最短辺上の直角からxいった点を折り、
2番目に長い長さ4の辺が、
長さ5の最長辺とぴったり重なるときとすると、
直角三角形の面積は、
重なっている直角三角形と重なっていない直角三角形の和だから、
(3×4)/2=4x+x/2
6=9x/2
x=4/3
重なる面積は4x=16/3(最大)
重なり部分を最小にする折り方は直角を最長辺上のどこかに折り返すと、
2×3/2=3(最小) >>277
A(0,0)
B(3,0)
C(0,4)
P(0,p)
とおく。
AB=3: y = 0,
AC=4: x = 0,
BC=5: x/3 ＋ y/4 = 1,
BPの二等分線Lは
(x-3)^2 + y^2 = x^2 + (y-p)^2,
y = (6x+pp-9)/(2p),
AB との交点Q
Q((9-pp)/6,0)
BQ = (9+pp)/6,
BC との交点R
R(3(9-p)(1+p)/2(9+4p), 2(9+pp)/(9+4p))
S(p) = BQ・(9+pp)/(9+4p) = (9+pp)^2/{6(9+4p)},
S '(p) = 2(9+pp)(pp+3p-3)/(9+4p)^2 = 0
より
p = (√21 - 3)/2 = 0.791287847478
のとき最小.
S(p) = (7√21 - 27)/4 = 1.2695074661727 >>274 >>281
解析解ありがとうございます。
プログラム解と合致していたので安心できました。
Pを移動させて重なりの三角形の面積の変化をグラフにすると
https://i.imgur.com/ELTBIsv.png
各点の命名は以下の通り。
https://i.imgur.com/2KrIrKQ.png >>282
座標設定して微分するだけの問題を出題しました。高校数学の微分すらできなかったのですね。あなた向けの練習問題を出しておきます。
以下の関数f(x)をxで微分しなさい。
（1）f(x)=(2-x)/(x^2+4)
（2）f(x)=sin(x)cos(x)/e^(-x^2)
（3）f(x)=xe^(cos(x)) >>282
p=4*tとして
面積 (9+p^2)^2/(6*(9+4*p))
を赤丸にしてグラフに重ねてみました。
https://i.imgur.com/73A7L9O.png >>285
プロおじは尿瓶洗浄係なの？
なんで答えてくれないの？ >>283
尿瓶洗浄係より、スクリプトにさせた方が速いな。
> Derive <- function(...) D(str2expression(...),'x')
> Derive('(2-x)/(x^2+4)')
-(1/(x^2 + 4) + (2 - x) * (2 * x)/(x^2 + 4)^2)
> Derive('sin(x)*cos(x)/e^(-x^2)')
(cos(x) * cos(x) - sin(x) * sin(x))/e^(-x^2) + sin(x) * cos(x) *
(e^(-x^2) * (log(e) * (2 * x)))/(e^(-x^2))^2
> Derive('x*e^(cos(x))')
e^(cos(x)) - x * (e^(cos(x)) * (log(e) * sin(x)))
ver4.0以後は入力がstr2expressionで入力が楽になった。 >>283
座標を手作業で求めるのは面倒なのでおもちゃ箱に関数化して使っている。作図道具も随分増えた。
式で渡さずに数値を渡すだけだから数値解しか返ってこない。
エラー処理が手抜きなので０で除算したりする欠陥品もある。
例：
# a-b と c-d の交点の座標を返す
intsect <- function(a,b,c,d){
a1=Re(a) ; a2=Im(a)
b1=Re(b) ; b2=Im(b)
c1=Re(c) ; c2=Im(c)
d1=Re(d) ; d2=Im(d)
if((a2-b2)*(c1-d1)==(a1-b1)*(c2-d2) | (a-b)*(c-d)==0) return(NULL)
if(a1==b1 & c1!=d1) return( a1+1i*((d2-c2)/(d1-c1)*(a1-c1)+c2) )
if(a1!=b1 & c1==d1) return( c1+1i*((a2-b2)/(a1-b1)*(c1-a1)+a2) )
p=(a2-b2)/(a1-b1)
q=(c2-d2)/(c1-d1)
x= ((p*a1 - a2) - (q*c1 - c2))/ (p-q)
y= p*x - (p*a1 - a2)
return( x + 1i*y )
}
# 直線ABにCからおろした垂線の足Hの座標を複素数で返す
# 0<t<1なら線分AB上の点
ABC2H <- function(A,B,C){
if(is.complex(c(A,B,C))){
a1=Re(A) ; a2=Im(A)
b1=Re(B) ; b2=Im(B)
c1=Re(C) ; c2=Im(C)
}else{
a1=A[1] ; a2=A[2]
b1=B[1] ; b2=B[2]
c1=C[1] ; c2=C[2]
}
a=c(a1,a2) ; b=c(b1,b2) ; c=c(c1,c2)
t=(-a1*b1+a1*c1-a2*b2+a2*c2+b1^2-b1*c1+b2^2-b2*c2)/(a1^2-2*a1*b1+a2^2-2*a2*b2+b1^2+b2^2)
H=t*c(a1,a2)+(1-t)*c(b1,b2)
if(is.complex(c(A,B,C))){
return(list(t=t,H=H[1]+1i*H[2]))
}else{
return(list(t=t,H=H))
}
} (1/a)+(1/b)＝(2/3)ⁿを満たす自然数(a,b,n)の組を全て求めよ (1/a)+(1/b)＝(2/3)ⁿを満たす自然数(a,b,n)の組を全て求めよ pを有理数の定数とする。
(1/a)+(1/b)=p^n
を満たす自然数の組(a,b,n)を全て求めよ。 a=3^et、b=3^fu(t,uは3と互いに素)とおく
e≧fとしてよい
t≠uならある3以外の素数pが存在してp進付値vがv(t)≠v(u)となるが、この時左辺はv値整数でないから矛盾
∴ 3^(n-e) = 2^n×t/(1+3^(e-f))
右辺は三進単数だからn.=e、2^n | 1+3^(e-f)‥①
1+3^(e-f) ≡ 2,4 ( mod 8 ) よりn=0,1,2
e-f ≦ e = n ≦ 2 ‥②
②を満たす(e-f,n)の組みから①を満たすものをとればよい なんでプロおじは自分が尿瓶洗浄係かどうか答えてくれないんだ～？ C[2n,n]/{Σ[k=1,2,...2n] C[2n,k]}
はどの程度ですか？1/2nより大きくて1/√nより小さいくらいでしょうか？
どの程度のオーダーか教えて下さい 質問というかなんか変な感覚に陥ってる
ベクトル(1,1,1)を２回の回転行列でx軸に重ねようとしたら
45°、45°の回転じゃないんだなw
感覚的には45°45°なんだけど
１時間くらい図を描きながら変な沼にハマってた >>297
ありがとうございます。
スターリングの公式ですね、失念していました。 １回でやるなら (0,1,-1)軸のまわりに 54°44' (四面体角の半分) 回す。
[x'] [ 1/√3, 1/√3, 1/√3 ] [x]
[y'] = [ -1/√3, 1/(2√3) + 1/2, 1/(2√3) - 1/2 ] [y]
[z'] [ -1/√3, 1/(2√3) - 1/2, 1/(2√3) + 1/2 ] [z] x=1/2
y-1/2*1/a^n*sin(m*loga)=-1/tan(m*loga)*(x-(1+1/2*1/a^n*cos(y*loga))
y1=1/tan(m*loga)*1/2*(1+1/a^n*cos(m*loga)+1/a^n*sin(m*loga))
y2=1/tan(m*logb)*1/2*(1+2/a^n*cos(m*loga)+2/a^n*sin(m*loga)+1/a^n*cos(m*logb)+1/a^n*sin(m*logb))
y3=1/tan(m*logc)*1/2*(1+2/a^n*cos(m*loga)+2/a^n*sin(m*loga)+2/a^n*cos(m*logb)+2/a^n*sin(m*logb)+1/a^n*cos(m*logc)+1/a^n*sin(m*logc))
y1=y2=y3のときn=1/2になる y1=1/tan(m*loga)*1/2*(1+1/a^n*cos(m*loga)+1/a^n*sin(m*loga))
y2=1/tan(m*logb)*1/2*(1+2/a^n*cos(m*loga)+2/a^n*sin(m*loga)+1/b^n*cos(m*logb)+1/b^n*sin(m*logb))
y3=1/tan(m*logc)*1/2*(1+2/a^n*cos(m*loga)+2/a^n*sin(m*loga)+2/b^n*cos(m*logb)+2/b^n*sin(m*logb)+1/c^n*cos(m*logc)+1/c^n*sin(m*logc))
y1=y2=y3のときn=1/2になる >>298
45°と 54ﾟ44' (四面体角の半分)
45°と 35ﾟ16'
かなあ >>274
A(0,0)
B(3,0)
C(0,4)
P(3(1-t),4t) 1/5≦t≦3/5,
とおく。
AB=3: y = 0,
AC=4: x = 0,
BC=5: x/3 ＋ y/4 = 1,
APの二等分線Lは
x^2 + y^2 = (x-3(1-t))^2 + (y-4t)^2,
y = {(9-18t+25tt) - 6(1-t)x}/(8t),
ABとの交点を Q(q,0) とする。
q = (9-18t+25tt)/(6(1-t)), 1/5≦t≦3/5,
ACとの交点を R(0,r) とする。
r = (9-18t+25tt)/(8t), 1/5≦t≦3/5,
S(t) = ⊿PQR = qr/2 = (9-18t+25tt)^2 /{96 t(1-t)}
t=1/5 で最大値 S(t) = 8/3, >>305
0<= t <=1とすると
直角の頂点が長さ５の斜辺にくるように折って重なる三角形の面積はこんな二峰性のグラフになるね。
https://i.imgur.com/H1tznTW.png 元々3辺a,bcで出題厨が出して誰もが手出さなかった適当問題
レスつかなかったから3,4,5にした
今度は簡単すぎてクズ化してレスつかず
結局極端に簡単か、極端に難しいかの両極端にしかならない
無視してれば流れていくだけの問題を蒸し返して荒らす
ホントに迷惑 自作ですが分からないので投下してみます。
以下の二分法のアルゴリズムによって実数 x > 1 の平方根 √x （の近似値）を計算するプログラムを実験していたところ、
x が特定の平方数の場合は整数のみを経由して √x に到達することがあることを発見しました。
【アルゴリズム】 実数 x > 1 を入力値として x の平方根 √x （の近似値）を計算する。
(1) left := 1, right := x とする。
(2) middle := (left + right) / 2 とし、 middle^2 を計算する。
(3) middle^2 == x ならば middle を √x として出力してアルゴリズムを終了する。
middle^2 > x ならば right := middle,
middle^2 < x ならば left := middle
として(2)に戻る。
【実行例】 x → … の形で middle の途中経過を書く。
2 → 1.5 → 1.25 → 1.375 → 1.4375 → 1.40625 → 1.421875 → 1.4140625 → …
3 → 2 → 1.5 → 1.75 → 1.625 → 1.6875 → 1.71875 → 1.734375 → 1.7265625 → …
4 → 2.5 → 1.75 → 2.125 → 1.9375 → 2.03125 → 1.984375 → 2.0078125 → …
9 → 5 → 3
16 → 8.5 → 4.75 → 2.875 → 3.8125 → 4.28125 → 4.046875 → 3.9296875 → …
25 → 13 → 7 → 4 → 5.5 → 4.75 → 5.125 → 4.9375 → 5.03125 → 4.984375 → …
49 → 25 → 13 → 7
225 → 113 → 57 → 29 → 15
961 → 481 → 241 → 121 → 61 → 31
3969 → 1985 → 993 → 497 → 249 → 125 → 63
さて、入力値 x を平方数 x = n^2 とするとき、上のアルゴリズムによってやがて √x = n に到達することが期待されますが、
ほとんどの場合は途中で整数ではなくなり、アルゴリズムが終了するかどうかは計算機の精度に依存します。
ところが、 x が特定の奇数の平方数の場合は「整数のみを経由して」 √x に到達することがあります。
そのような x = n^2 における n は小さい順に 3, 7, 15, 31, 63, … となります。
【問題】入力値 x を平方数 x = n^2 とするとき、
・上のアルゴリズムが「整数のみを経由して」 √x = n に到達するような n はどのような整数か？
・ n ≡ 1 (mod 4) においてそれは可能か？
・そのような n は無数に存在するか？ そこまで言われたんぢゃ、
短辺AB上に頂点Cがくる場合もやらなきゃ生姜ねぇな。
A(0,0)
B(3,0)
C(0,4)
P(p,0) 0≦p≦3,
とおく。
AB=3: y = 0,
AC=4: x = 0,
BC=5: x/3 ＋ y/4 = 1,
CPの垂直二等分線Lは
x^2 + (y-4)^2 = (x-p)^2 + y^2,
y = (2px+16-pp)/8,
BCとの交点を Q(x_Q,y_Q) とすると
x_Q = (3/2)(16+pp)/(16+3p),
y_Q = 2(8-p)(2+p)/(16+3p),
ACとの交点を R(0,r) とすると
r = (16-pp)/8,
CR = (16+pp)/8,
S(p) = ⊿CQR
= CR・x_Q
= (3/32)(16+pp)^2 /(16+3p), >>307
難易度の調整はしておりません
数学の発展に1/10^1000でも寄与できると判断した厳選問題のみ投稿しております
これらの解決は人類の歩みとなるのです 僕はまた 1/(10^(10^10)) ぐらいかと思ってたよ。 .... リウヴィル 僕はまた 1/(10^(100！)) ぐらいかと思ってたよ。 .... リウヴィル 厳選 とか
傑作 とか
そういう表現がされていたら即スルーで >>309
(32/729){91^(3/2)-836} ≦ S(p) ≦ 75/32,
1.408380721 ≦ S(p) ≦ 2.34375
p=(4/9)(√91 -8) p=3
∴ 最大・最小はないが… >>308
a[0]=k , a[n+1] = 2*a[n]-1 で定まる数列で、
a[m]=k^2 となるような、mとkの組み合わせは何か？
という問題を考えているようなものです。
この問題を考察すれば、自ずと308の疑問も晴れるはず。 1%の確率で見つかる鬼ごっこを100回やったら100回トータルで鬼から見つかる確率は何%？ 初めに見つかった人が次の鬼になるんかな。
数人～10人ぐらいでやるとして、1%/人 とすると、
誰も見つからないときは次の鬼を互選する？ a[m] = (k-1)･2^m + 1,
題意より
a[m] = k^2,
k = 2^m - 1, m∈N >>315
>>319
ありがとうございます。
確かに、上からまっすぐ降りてくるパターンはそれで尽くされますね。
n が (2^m - 1) の形の数のときは条件を満たすので無数にあるんですね。
まっすぐ降りてこないパターンについてはどうでしょうか？
例えば、
25 → 13 → 7 → 4 → …
のように途中で √x = n を下回るパターンで条件を満たす数があったとすると、その数列では拾いきれません。
直観的には無いような気がしますが… 常に、「middle^2 > x」が成立することを前提に(仮定)すると、
new_right = (left + old_right)/2
となります。leftが更新されず、常に 1 なので、
new_right = (1 + old_right)/2 ということです。
rightの値を数列として、平方根を求める場合は、
p[0]=x=k^2、p[n+1] = (1 + p[n])/2
という漸化式を作りますが、>>315 では、方向を逆にして
a[0]=k、a[n] = (1 + a[n+1])/2
という式を立てたのです。
leftの値が書き換えられないことを前提にして立てた式なので、まっすぐ降りてこない場合は、あの漸化式は使えません。
もし、middle^2 > x と middle^2 < x が交互に行われることを前提にすると、
p[n+1] = (p[n] + p[n-1])/2 という漸化式が立てられますが、これが常に整数値を取るのは、つまらない場合しかありません。
1回で終了する場合、2回で終了する場合、3回で終了する場合、...という視点で作ったのが、>>315の問題で、常に、
right側が採用されることを仮定していますが、どちらでもかまいません。
Rの一回で終了、Lの一回で終了、RRの二回で終了、RLの二回で終了、...、RRLRLLRの7回で終了、．．．
の様に、終了することを前提にして、ルートを与えて、初期値を求める問題が作れますが、もしかしたら面白いかもしれません。 >>312
L = Σ[k=1,∞] 10^(-k!)
は超越数と証明された最初の数らしい。(リウヴィル, 1844) >>307
>274を算出したプログラムに三角形の頂点の座標をいれれば数値解ならでてくるから、三角形の形状は問わない。
正三角形だと陳腐な結果になった。 >>325
指摘されてる事の意味が分かってないなら黙ってろや 内閣支持率に関するあるアンケート調査の結果は以下の通りである。
支持する:16.1%
支持しない:66.2%
どちらとも言えない:17.7%
ただし各回答のパーセンテージは、必要な場合、小数点以下第2位の数字で四捨五入している。
この調査の全回答者は少なくとも何人以上と考えられるか。 299
0.1605n ≦ k < 0.1615n なる自然数kがある。 [0.1605n] < [0.1615n],
0.6615n ≦ L < 0.6625n なる自然数Lがある。 [0.6615n] < [0.6625n],
0.1765n ≦ m < 0.1775n なる自然数mがある。 [0.1765n] < [0.1775n],
n = 299, 305, 311, 317,
355, 361, 367, 373, 379, 385,
417, 423, 429, 435, 441, 447, 453, 479, 485, 491, 497, 503, 509, 515, 521,
541, 542, 547, 548, 553, 554, 559, 560, 565, 571, 577, 583, 589, 598, … >>331
> 0.1605n ≦ k < 0.1615n なる自然数kがある。 [0.1605n] < [0.1615n],
ダウト 52枚1組のカードでドローポーカーを行う
どちらのルールがより役を作りやすくなるか
・Aは初期手札5枚、3回チェンジ
・Bは初期手札7枚、1回チェンジ >>331
支持する： k=48
支持しない： L=198
Neither： m=53
全回答者： n=299
ぢゃね？ 合計100.0にならない時は一番大きいところで辻褄を合わせる、みたいなのは考慮しないの？ 支持するが16.2になりうる
⇔∃k∈Z 16.15≦k/n<16.25
⇔∃k∈Z 16.15n≦k<16.25n
支持しないが66.2になりうる
⇔∃k∈Z 66.15≦k/n<66.25
⇔∃k∈Z 66.15n≦k<66.25n
どちらとも言えないが17.7になりうる
⇔∃k∈Z 17.65≦k/n<17.75
⇔∃k∈Z 17.65n≦k<27.75n
n=20のとき明らかに全て満たされるから求める最小値が21以上になるはずがない >>335
それを考慮すべきかどうか問題文からは読み取れない
この３つ以外の解答があったともなかったともない >>335
そういう操作をしたのなら、問題文中に明記してもらわないと…
>>336
％が付いてますけど…
k+L+m = n になりましたか？ >>338
だからその条件が要求されてるとは読めない
“わからない”と言う選択肢が上の２つ以外と読むのは無理やろ
コレか“無回答、その他”ならまだそう読まなければいけないという主張も成り立つだろうけど ×わからない
◯どちらともいえない
全回答が、支持する、支持しない、どちらとも言えない、の３つに全部振り分けられているとの指定はない n=299
YES NO DK
48 198 53
指折り計算
YES = c(0.1605,0.1614)
NO = c(0.6615,0.6624)
DK = c(0.1765,0.1774)
MAT = rbind(YES,NO,DK)
f <- function(n){
all(apply(n*MAT,1,function(x) ceiling(x[1])<=floor(x[2]) ))
}
n=1:1000
min(which(sapply(n,f)))
n=299
n*MAT
ppl=ceiling(n*MAT[,1]) ; ppl
ppl/n
> ppl/n
YES NO DK
0.1605351 0.6622074 0.1772575
> rate
yes no dk
0.161 0.662 0.177 1,000人以下で条件を満たす人数
> which(sapply(n,f))
[1] 299 305 311 361 367 373 379 385 423 429 435 441 447 453 485 491
[17] 497 503 509 515 521 542 547 553 559 565 571 577 583 589 598 604
[33] 609 610 615 616 621 622 627 633 639 645 651 654 657 660 666 671
[49] 672 677 678 683 684 689 690 695 696 701 702 707 713 716 719 722
[65] 725 728 733 734 739 740 745 746 751 752 757 758 763 764 769 770
[81] 775 776 778 781 784 787 790 795 796 801 802 807 808 813 814 819
[97] 820 825 826 831 832 837 838 840 841 843 844 846 847 849 852 853
[113] 857 858 859 863 864 866 869 870 872 875 876 878 881 882 887 888
[129] 893 894 897 899 900 902 903 905 906 908 909 911 912 914 915 917
[145] 919 920 921 922 925 926 927 928 931 932 933 934 936 937 938 940
[161] 943 944 946 949 950 953 955 956 959 961 962 964 965 967 968 970
[177] 971 973 974 976 977 978 979 980 981 982 983 984 987 988 989 990
[193] 993 994 995 996 998 999 1000 >>341
訂正
YES = c(0.1605,0.1615)
NO = c(0.6615,0.6625)
DK = c(0.1765,0.1775)
MAT = rbind(YES,NO,DK)
f <- function(n){
all(apply(n*MAT,1,function(x) ceiling(x[1])<=floor(x[2]) ))
}
nn=1:1000
which(sapply(nn,f))
n=min(which(sapply(nn,f)))
n*MAT
ppl=ceiling(n*MAT[,1]) ; ppl
ppl/n
結論の数字299人は同じ
> ppl=ceiling(n*MAT[,1]) ; ppl
YES NO DK
48 198 53
> ppl/n
YES NO DK
0.1605351 0.6622074 0.1772575 尿瓶ジジイは5chしかやることのない穀潰しの分際で自称医者() xy平面上の放物線C:y=x^2上に、定点A(1,1)と、動点B(t,t^2)がある。ただしtはt<1の実数である。
点Pを、△ABPが正三角形かつ、3点A,B,Pが時計回りの順に並ぶようにとる。
（1）点Pが領域y≧x^2に含まれるようなtの範囲を求めよ。
（2）tが（1）の範囲を動くとき、点Pが描く軌跡上の点で、x座標が最も小さいものの座標を求めよ。 (1)
y = x ^2, (-sqrt(3)/2(x-1)+(y-1)/2)+1=((x-1)/2+sqrt(3)/2(y-1)+1 )^2
の(1,1)でない方の交点
x = 1/9 (-3 - 2 sqrt(3)) - (-90 + 170 sqrt(3) - 9 sqrt(511))^(1/3)/(3 3^(2/3)) + (8 sqrt(3) - 19)/(3 (3 (-90 + 170 sqrt(3) - 9 sqrt(511)))^(1/3)),
y = (1/9 (-3 - 2 sqrt(3)) - (-90 + 170 sqrt(3) - 9 sqrt(511))^(1/3)/(3 3^(2/3)) + (8 sqrt(3) - 19)/(3 (3 (-90 + 170 sqrt(3) - 9 sqrt(511)))^(1/3)))^2
の間
(2)接線の傾きが-1/√3になる点(1/(2√3),1/12)を(1,1)中心に-π/3回転させた点
(1/6 (3 - 5 sqrt(3)) , (1/24 + sqrt(3)) ) 斎藤毅著『集合と位相』
（∀x x ∈ X） ⇒ x ∈ Y
は仮定 ∀x x ∈ X が成り立たないから、
（∀x x ∈ X） ⇒ x ∈ Y
は任意の集合 X と Y について成り立つと書いてあります。
x ∈ Y は命題ではないと思うのですが、この斎藤毅さんの記述は問題ないですか？ A -> B
A は命題で偽
B は命題ではない
このとき、
A -> B は真である
と斎藤毅さんは言っています。
これはOKですか？
B は命題ではないわけですから、
A -> B も命題ではないのではないでしょうか？ 命題ではない、とか非常に曖昧な言葉を使うようなわかってない人が書いたゴミ教科書のようですね
読む必要はないかと思います そうやな
松坂君やな
相変わらずなんもわかってない Y が集合であるとき、 x ∈ Y は命題ではないですよね？
x が一体何なのかが述べられていないわけですから。 >>343
数値を変えても算出できるように関数化(k:有効桁数)
http://tpcg.io/rkBlup64
> approval_rating2respondent(0.161,0.662,0.177,k=3)
ratings : 0.1605351 0.6622074 0.1772575
rounded : 0.161 0.662 0.177
$each
[1] 48 198 53
$sum
[1] 299
> approval_rating2respondent(0.11110,0.22220,0.33330,0.33340, k=5)
ratings : 0.1110992 0.2221983 0.3332975 0.333405
rounded : 0.1111 0.2222 0.3333 0.3334
$each
[1] 1034 2068 3102 3103
$sum
[1] 9307 >>345
作図
https://i.imgur.com/I0I0wzM.png
ニュートン法での数値解
> uniroot(function(t) Im(fn(t))-(Re(fn(t)))^2, c(-2.5,0),tol=1e-16)$root
[1] -2.06698
> M=fn(optimize(function(t) Re(fn(t)),c(-2,1),tol=1e-16)$minimum)
> c(Re(M),Im(M))
[1] -0.4381942 1.6576921 >>329
問１０ あなたは国の政治において、普段どの政党を支持していますか。
支持する政党はない ４６．２
自民党 ２４．８
立憲民主党 １１．３
公明党 ２．７
共産党 ７．０
日本維新の会 １．４
国民民主党 ０．２
社民党 ０．９
古い政党から国民を守る党 ０．２
れいわ新選組 １．７
わからない ３．６
https://www.tokyo-np.co.jp/article/106318/2
のデータを使って
ただし各回答のパーセンテージは、必要な場合、小数点以下第2位の数字で四捨五入している。
この調査の全回答者は少なくとも何人以上と考えられるか。
という問題にしたどうなるんだろ？ 何故自分で書いてて下らないとわからないんだろう？
センスの無さがそこ抜けてる 近似値を必要な桁数だけ求めることが数学だと思っているのかもな。
これは虚しい！ >>340
その３つの他に どういう場合がありますか？ >>360
>357に当てはまる数字が出せない方が虚しくない？ >>359
論文のアブストラクトに記載された信頼区間の値から用いられた統計手法を推測するとか、時々やるよ。
平均が信頼区間の中央値でないときは正規分布近似じゃないことがわかるから用いられた手法を探る。
下らないとかしか書けない方がよほど虚しいね。 >>357
584人になる。
(内訳 270, 145, 66, 16, 41, 8, 1, 5, 1, 10, 21) >>361
無回答、その他とかあるやん？
この手の調査で調査する会社が用意した選択肢以外の選択には含めるべきでない回答が必ずしもあり、通常“無回答、その他”のような項目に分類される
そしてそのような“無効票”はノーカウントとせず分母に必ず入れる
用意された選択肢の中に入らないが分母の中に入れざるを得ない項目の受け皿項目として必ず“無回答、その他”がある
問題では“無回答、その他”が0件であると読める記述はない >>365
有効な回答だけを対象にしていると解する。
諸々の事情で無回答の所もあり得ますが、そこは調べなかったことにして、
対象から外していると解する。
→ 回答者にとって都合の悪いことは少なめに出るおそれがある。 >>345
(1)
P(x,y)
x = (1/2)(1+t) - ((√3)/2)(1-tt),
y = ((√3)/2)(1-t) + (1/2)(1+tt),
y - xx = (1/4)(1-t){3t^3 + (3+2√3)t^2 + 4(√3 -1)t + (4√3 -2)},
y-xx≧0 より
-2.06697993622127 ≦ t < 1
(2)
t = - (1/6)√3 = - 0.288675134 のとき
x = - (1/24)(13√3 -12) = - 0.438194187
y = (1/24)(19+12√3) = 1.65769207
あまり内容がないわりに計算が面倒。愚問では >>369
このスレの中でも、特にあなたに愚問と言われると返す言葉がありません。
申し訳ございません。 前>>280訂正。
>>259
重なり部分を最大にする折り方は、
Pの長さ3の最短辺上の直角からxいった点を折り、
2番目に長い長さ4の辺が、
長さ5の最長辺とぴったり重なるときとすると、
直角三角形の面積は、
重なっている直角三角形と重なっていない直角三角形の和だから、
(3×4)/2=4x+x/2
6=9x/2
x=4/3
重なる面積は4x=16/3(最大)
重なり部分を最小にする折り方は、
谷折り線が斜辺と平行になるように、
直角を、長さ5の斜辺を長さ3の辺と隣接する側から5/3と10/3に分ける点に折り返すと、
重なる面積は1/2×3/2×2=3/2(最小) >>368
だからそんな設定は通常ありえない
当然調査する側が用意した回答では答えられない回答者も出てきてしまうが、そのような回答者を“なかった事にする”のでは世論調査にならない
当然そういう解答も回答の中に含めなければいけないし、通常そのように処理してる
問題文に指定が無ければその手の“常識”で埋めるしかない
もちろんそんな“常識”にだよならければ計算に必要な条件が揃わないなら受験問題とかには使えない
ここは掲示板だからそこまでうるさく言っても仕方ないがそんな“常識ハズレ”な設定ならそれは明示せんとダメ プロおじはどうして自分がゴミ扱いされてるのか今一度考えろ
まあそれがわからないからプロおじなんだけどw >>364
俺の計算結果とも一致。
ratings : 0.4623288 0.2482877 0.1130137 0.02739726 0.07020548 0.01369863 0.001712329 0.008561644 0.001712329 0.01712329 0.0359589
rounded : 0.462 0.248 0.113 0.027 0.07 0.014 0.002 0.009 0.002 0.017 0.036
$each
[1] 270 145 66 16 41 8 1 5 1 10 21
$sum
[1] 584
回答者が1000人以下と分かっているときに可能な人数のリスト
[1] 584 585 640 800 803 805 811 812 813 814 844 858 859 860
[15] 862 866 880 883 884 886 887 888 899 900 901 905 915 917
[29] 918 919 920 922 923 924 926 927 928 929 932 933 935 937
[43] 938 939 940 941 948 949 951 952 953 954 955 956 957 959
[57] 960 961 962 966 967 968 972 973 974 975 976 977 978 979
[71] 980 981 982 983 984 985 987 988 989 990 991 992 993 994
[85] 995 996 997 998 999 1000 >>367
そんなに医者が羨ましければ再受験でもすればいいのに。
大学の同期には学卒の再受験組が２割くらいいたぞ。
ほぼ全員が東大か京大卒だったな。当時の阪大医学部には学士入学制度があった阪大卒はいなかったな。 >>365
三択に限定する必要もない数字パズル。
選択肢１１個でも計算できる。出題者と用意した正解と同じ数値が返ってきたので正解なんだと思う。
異論があれば５８４人未満の数値とその内訳を書けばいいだけだし。 >>376
全ての回答が全て３つに振り分けられてるか、振り分けられてない無効回答があるのかで答えは変わる aを正の実数とする。
放物線y=ax^2上に3頂点がある正方形はいくつあるか。 【応用問題】
ある母集団から５００人を無作為抽出してアンケートをとった結果として以下が公表されたとする。
https://www.tokyo-np.co.jp/article/106318/2を元に問題作成
問１ あなたは東京五輪・パラリンピックについてどう考えますか。（数字は％）
観客を制限して開催する １７．３
無観客で開催する １１．０
中止する ６０．２
どちらともいえない・わからない １１．５
ただし各回答のパーセンテージは、必要な場合、小数点以下第2位の数字で四捨五入している。
５００人のうち何人が回答したのかは公表されていない。
(1) 総回答者数として可能な数を列挙せよ。
(2) 中止する が母集団に占める割合を推定したい。95%信頼区間幅が最も広いものと最も狭いものを求めよ。 >>377
全回答が、支持する、支持しない、どちらとも言えない、無回答の４択にして
16.1％ 66.2％ 17.7％ 0.0%にして計算するだけでは？ >>380
それは解き方が同じなだけで答えは違うやろ
例えば項目が３つあって
A:20.1
B:30.3
C:48.5
の場合、
この参項目以外に分類されてる場合の方程式は
∃k ∃l ∃m
20.05≦k/n<20.15
30.25≦l/n<30.35
48.45≦m/n<48.55
この３項目全てに分類されてる場合の方程式は
∃k ∃l
20.05≦k/n<20.15
30.25≦l/n<30.35
48.45≦(n-k-l)/n<48.55
形も違うし答えも一般にはズレる おっと100倍するの忘れてる
しかしどのみち全然違う方程式になる あの、惑星の順序だとかと、星座のそれぞれの運行で、逆行があるって意味が分かりません。
数学が得意な人は、多分推理問題も好むでしょうから、実際の天体の運行の全体像が割り出せるのではないかと思いました。
月がずっと同じ面しか向いていないので、地球は月の衛星で、地球は月の周囲をうるう年も一緒にすると一年。
だが、月はうるう年には、確か13回、回転してる満ち欠けの様子が見て取れる。
月暦だっけ？旧の月だと。 なので総合すると、月は地球で言うところの4年を掛けて太陽を一周する。
木星を見ると、確実に赤い目の模様が右下にあるので、もしかしたら木星の衛星なのか？という疑問も。
天王星が海王星と、順序が逆に成るとかいうんで、天体、天文の人達って、どうなって居るのかと。
物理の人達の方が、得意なんでしょうか？理系？どちらにも質問しましょうね。天文と物理にも。 それじゃ。 世界が平和に成ったら、私も天体の運行を調べて、独自に調べてみます。 多分、無理だと思うけど 電気の抵抗値についての問題です
抵抗値は、面積に反比例し、長さに比例します
ex)
面積：10?→20? 1/2倍
長さ：10cm→20cm 2倍
それを踏まえて、半径10mmの銅球の両端（直径20mm）の抵抗値がnの時、
半径20mmの同じ材質の銅球の両端（直径40mm）の抵抗値はnの何倍でしょうか >>388
物理の問題が続くね
書かれた条件だけで見ると1/2倍
電流による温度変化を考慮するともう少し異なる結果になる可能性がある >>389
それいうんだったら、数学に天文学的問題なんて、馬鹿だろ？じゃないのか？ 数学なら天文学的巨大数ではなく10^100どころではない巨大数の話に成る筈だしな
無責任な大人には責任という漢字をG(9)→G(9)→G(9)→G(9)回、書き取りさせる地獄へ誘いませう >>391
同じのを物理版で見たからね
物理版と宇宙版でマルチするなら分かるが数学板てのが意外だったのさ >>393
お前、侮辱し続ける気だろ？気違い！ 本物はお前だ！
おまえが気違いだ！ 隔離されテロ！ >>378
これお願いします
aの値によらず定数個になるはずです 無限にありそうだなあ
直角二等辺三角形の全てに頂点が接するってことだろ？
線分Lをx軸に平行な状態でその両端を放物線に接するように置くと、その線分を斜辺としてもう一つの頂点が下になるように直角二等辺三角形を作るとその頂点はy軸上になる
線分Lを適当な長さにすればもう一つの頂点のy座標は正にの値に出来る
この直角二等辺三角形を接している2つの頂点が放物線に接したまま動かすともう一つの頂点が放物線より下にすることが出来る
なので動かす途中でもう一つの頂点がちょうど放物線と接する位置になるときがある
このとき反対側に直角二等辺三角形を足せば3点が放物線に接する正方形が出来る
こうなる線分Lは無限にあるんじゃ？ なんでこんなイヤミったらしい言い方しかできないんだろうなぁ >>380
もし「無回答」(<0.05%) に1人でもいれば 2001人以上になります。
∴ 299人より少ない場合はありません。 >>380
「無回答」の割合が明示されてない場合
支持する ≧ 16.05 %
支持しない ≧ 66.15 %
Neither ≧ 17.65 %
から
無回答 ≦ 0.15 %
と分かります。ここに1人でもいれば 667人以上です。
∴ 299人より少なくはなりません。 m,nはm<nを満たす自然数
数直線上の動点Pは,1回の移動で正の向きに1だけ移動するか,もしくは負の向きに1だけ移動する.
最初原点Oにあった点Pがn回移動した後の座標をX_nとして
X_2n=2mかつX_k>0(k=1,2,…,2n-1)となる移動の仕方は何通りあるか
これわかる人いますか？ >>378 はこういう問題を意図していたんじゃなかろうか
[問]aを正の実数とする。
放物線y=ax^2上の点P(p,ap^2)を含め、この放物線上に3頂点がある正方形はいくつあるか。
これだと正方形の個数はpの値によって有限個に定まる
まあまあ後付けだけどね こう言った方がいいか
[問]aを正の実数とする。
放物線y=ax^2上に点P(p,ap^2)を定める。この点Pと、放物線上のP以外の2点を頂点にもつ正方形はいくつあるか。 >>379
(1) 191, 347, 364, 382, 392, 399, 410, 417, 427, 445, 462, 480.
なお 191人の内訳は 33, 21, 115, 22. >>365
>>329 は 回答されたものを集計したと考える。
>>357 も同様だが「問10には回答しない」という選択もあり得る。
その割合は問題文中に明記されていないが、１－他の割合 から上限が求まる。
そこに１人以上入れるには、全回答者数はかなり大きくなりそう >>407
どのみちアウト
もう諦めろ
君に数学の問題作る能力は無い
結局問題に与えられた3項目に入らないケースがあるかないかで答えが変化する可能性がある限り数学の問題として解答不能問題である事に変わりはない
「本問の場合にはどちらで解釈しても同じ事答えになるから問題として成立してる」なんてことにはならない すみません、少し長くなりますが質問させてください。
x < a のとき : y = b1
x >= a のとき : y = b2
となるような関数を考えます。
また、x のある区間 [ l[i], r[i] ) において y の平均が s[i] である、という
重み w[i] の希望がN個あります。
この希望をなるべく満たしたいです。
具体的には、上記関数の x = [ l[i], r[i] ) の区間の平均が t[i] であるとして、
Σ | t[i] - s[i] | * (r[i] - l[i]) * w[i] を最小化するような、a, b1, b2 を
現実的な計算時間で求めたいです。
「ステップ関数 補間」など色々な検索をしたのですがどうしても見つからず…
教えていただけないでしょうか。
（こうしたら解けるんじゃない？みたいなちょっとした意見や、
厳密解が無理なら近似解の求め方でも構いません。または同一の
問題がネット上で出題されているなら、URLを頂けるとかでも大丈夫です。お願いします） 文字だと分かりにくいかと思い簡単な図を書きました。
https://i.imgur.com/8XhCtgi.png
画像の例では全ての希望を完全に満たすことができますし、
肉眼で簡単に答えがわかりますが、実際には希望が増えると
見ても分からず、全てを完全に満たせなく複雑になってしまいます >>410の画像の「唯一解ではない」の部分、誤りだったかもしれません。すみません。 >>408
それは作問者に言ってほすぃ。。。
>>329 は 3項目ですべての場合を尽くしている、
というのが拙者の解釈でござる。 >>409
少なくとも区間の個数をn閉じてO(n^2)のオーダーで計算は可能やね
それではダメ？ >>413-414
十分ありがたいです。良かったら計算の流れを教えていただけないでしょうか。
説明にプログラミングが関わる場合、そちらは多少分かる前提の説明で大丈夫です。（数学の方は初心者ですが…） >>406
正解。
> (Y=approval_rating2respondent(y,k=3,Max=max,verbose=TRUE))
ratings : 0.1727748691 0.109947644 0.6020942408 0.1151832461
rounded : 0.173 0.11 0.602 0.115
$each
[1] 33 21 115 22
$sum
[1] 191
[1] 191 347 364 382 392 399 410 417 427 445 462 480
(2)の信頼区間は119のときと480のときを計算すればいいので
Clopper-Pearson法で出すと
> binom.test(ceiling(min(Y)*y[3]),min(Y))$conf.int
[1] 0.5289182604 0.6720494073
> binom.test(ceiling(max(Y)*y[3]),max(Y))$conf.int
[1] 0.5567351334 0.6461659399
回答者数が公表されていなくても、四捨五入に合致する整数を探索すると候補が絞れるのは面白い。 >>403
すいません、これ答えは
(m/n)・C(2n,n+m)になるらしいんですが数学板でも無理ですか？ >>415
O(n^4)だったorz
まずF(a,b1,b2)
=Σ[li > a] | b2 - ti | ( ri - li ) wi
+ Σ[ri < a] | b1 - ti | ( ri - li ) wi
+ Σ[ li ≦ a ≦ ri ] ( | b2 - ti | ( ri - a ) + | b1 - ti | ( a - li ) )
とおいてコレの最小値を求める問題
まずaを固定してb1,b2だけ動かすと区分的に線形でwi≧0なら必ず最小値を持ち、それはbiが“区切りの値”であるt1〜tn,aのどれかの値を取るときの最小値
さらにbi = t1〜tn,aを代入した時のFはaについて区分的に線形で最小になるのは区切りの値であるa = ri,liの値を代入した時の値のいずれかとわかる
なので実質Fのa,b2,b2にri,ti,tjなどを代入したO(n^3)個の数値のリストの中の最小値を求めれば良い
具体的には
1) 外ループでa : r1〜rn,l1〜lnまで回す
2) 内ループでb1,b2 : r1〜rn回す
3) ループ内部でFの値計算してそれまで計算した最小値と比較、小さくなってれば(a,b1,b2)の値を更新
を繰り返せばいい >>418
はい、数学板では無理です
簡単すぎて答える気力がなくなってしまうのです >>409
近似値ていいなら、Rのoptim関数を使って例示された値で実行してみた。
l=c(1,0,5)
r=c(3,8,7)
s=c(6,4,2)
w=c(1,1,1)
m=cbind(l,r,s,w)
fn <- function(ab){
a =ab[1]
b1=ab[2]
b2=ab[3]
f <- function(x,a,b1,b2) ifelse(x<a,b1,b2)
fs <- function(l,r,s,w){
t=integrate(function(x) f(x,a,b1,b2),l,r)$value/(r-l)
abs(t-s)/(r-l)*w
}
sum(mapply(fs,m[,1],m[,2],m[,3],m[,4]))
}
(opt=optim(s,fn))
cat('a = ',opt$par[1],'b1 = ',opt$par[2],'b2 = ',opt$par[3])
結果
> cat('a = ',opt$par[1],'b1 = ',opt$par[2],'b2 = ',opt$par[3])
a = 4.000150367 b1 = 5.999999992 b2 = 2.000000004
optimの解説はここ
http://www.okadajp.org/RWiki/?%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%9C%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%8C%96 >>420
じゃあこのスレの存在意義はなんなんですか… プロおじ向け問題
「1からMまでの数字を使ったN×Nマスビンゴがビンゴするまでに公開される数字の数の期待値を求めよ。ただし、M≧N^2、Nは奇数、ビンゴの中心は最初から埋まっている」 >>422
尿瓶洗浄係は尿瓶洗浄業務に復帰しろよｗ >>426
御託はいいから隔離病棟に戻れ。
プロおじ＝尿瓶ジジイ＝トケジは医者板に湧く荒らしで自称医者、日がな一日5chでお医者さんごっこしかできない穀潰しです 0626 １３２人目の素数さん 2021/03/10 11:20:53
>>548
> 期待値の計算は
> Σ[n=0,242] n * 242Cn * p^n * (1-p)^(242-n)
>
> 手計算は大変なので
> 全部プログラム（R）が計算してくれる。
> 手計算は大変なので
> 全部プログラム（R）が計算してくれる。
> 手計算は大変なので
> 全部プログラム（R）が計算してくれる。
> 手計算は大変なので
> 全部プログラム（R）が計算してくれる。
期待値npを知らないアホ
npの計算が暗算出来ないアホ
0745 １３２人目の素数さん 2021/03/12 12:51:44
暴れてる
暴れてる
期待値npを知らなかったアホが暴れてるwww
プロおじは期待値npも分からないアホです 気力が無くなったので惰性で解答…
n回移動したあとの座標がmとなるような移動の仕方：
C(n-1, (n+m)/2 -1) - C(n-1, (n+m)/2) (1≦m≦n-2, n-mは偶数)
1 (m=n)
0 (その他) >>419
ご返信ありがとうございます。コード書いたりして検証してきました
おっしゃるとおり>>409ではw[i]≧0の制約が抜けていました…
（以下勘違いがありましたら申し訳ありません）
F(a,b1,b2)が最小を取るとき、aが取りうるのは区間の両端いずれか、bが取りうるのは
s[i]のいずれか、ということですが少なくとも前者についてはその限りではありません。
その例が>>410の画像です。
画像上の青い線はF(a,b1,b2)=0を取っていますが、
そのときのaは4で、lとrに含まれる5や3では F(a,b1,b2)=0 が達成できません。
"希望"は平均を指定しているので、aが区間に含まれるときがやっかいなんですよね…
ご提示いただいたF(a,b1,b2)の式、3行目は正確には
+ Σ[ li ≦ a ≦ ri ] | ( b2 - si )( ri - a ) + ( b1 - si )( a - li ) | * wi になります
ただ線形ではあると思うので、頂いた意見をもとにもう少し頑張ってみます。ありがとうございます。
>>421
ご返信ありがとうございます。
手元でいくつかケースを実行してみたところ、局所解に嵌まったりはしますが
ある程度の近似解は得られました。やはり近似の方がいいでしょうか…ありがとうございます。 87973=235:806
56303=188:806
49056=208:680
21907=139:680
6130=100:500
1532 =50:500
245=50:200
377=62:200
何らかの法則性があると思うのですが、右の数字をどう計算すれば左の数字になるでしょうか？ xy平面上に放物線C:y=x^2があり、Cは光線を反射する鏡となっている。
いま点(1,1)から(-1,1)方向に光線が発射され、Cと接触した点で反射することを繰り返していく。光線は直進し、減衰しないものとする。
この光線が通過してできる折れ線領域とy軸との交点を、y座標が小さいものからP_1,...,P_n,...とする。
P_nのy座標をy[n]とするとき、比y[n+1]/y[n]をnで表せ。 >>431
うーん、何がダメなのかわかんないけどまぁ頑張って下さい >>435
>>419のF(a,b1,b2)はグラフと希望の線で挟んだ部分の面積を求める式ですから
その勘違いは僕も最初していたのでよくわかりますが、>>409はそういう問題ではありません
（>>431での式の訂正を適用すると正しい式になります）
ただこれについては僕の説明が分かりづらかったのかもです…時間かけて頂いたのにごめんなさい >>436
まぁやっぱり自分で頑張られたらいいと思いますよ
多項式オーダーでのアルゴリズムはあると思います
もしご希望なら多少面倒でもキチンと数式で
F(a,b1,b2)=最小化したい量
の右辺を書いてもらえば考えてみます
>Σ | t[i] - s[i] | * (r[i] - l[i]) * w[i] を最小
ここんとこのt[i]とかs[i]とかにa,1,b2がどう噛んでいるのかexplicitに書いてもらえれば誤解もなくなると思います
どっちかがa,b1,b2に寄る変数でどっちかが与えられた定数なんですよね
まぁ数学的にはそんな難しい話しでは無さそうですが“最適化されたアルゴリズム”となると色々考える余地はありそうですけど 初歩的な質問なのですが、
距離空間(X, d)の点aにおけるε近傍
Nε(a) = {x∈X | d(a,x)＜ε}の閉包は、
cl(Nε(a)) = {x∈X | d(a,x)≦ε}
になるとして良いでしょうか？
もし正しいならばどうやれば示せるでしょうか？ >>437
誤解を生じる書き方で申し訳ありませんでした…全て書き直しました。
ご返信が頂けなくても自分なりに頑張るつもりではありますが、今一度質問させてください。
---
4つの数で構成される入力が、N組与えられます。(N≧1)
i番目の組の数値を順に、l[i], r[i], s[i], w[i] と表現します。
各i(1≦i≦N)に対して以下の制約があります。
l[i] < r[i]
w[i] > 0
これらの数は、整数とは限りません。
a, b1, b2 という3つの変数に対する関数
F(a,b1,b2)
= (l[i] > a であるような全てのiに対して) Σ |(b2-s[i]) * (r[i]-l[i])| * w[i]
+ (r[i] < a であるような全てのiに対して) Σ |(b1-s[i]) * (r[i]-l[i])| * w[i]
+ (l[i]≦a≦r[i] であるような全てのiに対して) Σ |(b2-s[i])*(r[i]-a) + (b1-s[i])*(a-l[i])| * w[i]
を考えます。
ここで、 |n| はnの絶対値を表すこととします。
F(a,b1,b2)が最小値を取るような、a,b1,b2を求めてください。
最小値を取るようなa,b1,b2の組み合わせが複数ある場合、そのうちのどれか1つで構いません。 >>439 の続き
【具体例1】
N = 3
l r s w
1 3 6 1
0 8 4 1
5 7 2 1
a=4, b1=6, b2=2 としたとき、F(a,b1,b2)=0 になり、これが最小値です。
a=3, b1=6, b2=2 としたとき、F(a,b1,b2)=4 になり、最小値ではありません。
a=4, b1=5, b2=3 としたとき、F(a,b1,b2)=4 になり、これも最小値ではありません。
【具体例2】
N = 4
l r s w
0 2 4 3
1 5 6 9
4 10 1 2
8 9 7 10
a=0.8, b1=1, b2=6 としたとき、F(a,b1,b2)=70 になります。 初歩的な質問なのですが、
距離空間(X, d)の点aにおけるε近傍
Nε(a) = {x∈X | d(a,x)＜ε}の閉包は、
cl(Nε(a)) = {x∈X | d(a,x)≦ε}
になるとして良いでしょうか？
もし正しいならばどうやれば示せるでしょうか？ >>441
なりません
離散位相で半径1の開球B={a}の閉包はB、一方半径1の閉球は全空間になります 成り立つには、d(a,x) = ε なら x_n ∈ Nε(a), x_n → x が必要 任意のxで微分可能な関数f(x)について
f(f(x))=f(x)⇒f(x)=x
を示せ。 >>440
【具体例2】で初期値を乱数発生させて求めたら
a=8.997829, b1=6.493661, b2=-26.451302がヒット
> F(c(0.8,1,6))
[1] 70
> F(c(8.997829, 6.493661, -26.451302))
[1] 37.83116 >>448
もっと小さいのがあった。
> F(c(9.053044, 6.000090, -25.681157))
[1] 22.00329 >>449
これが切りのいい数字になった。
> F(c(9,6,-24))
[1] 22
a,b1,b2は正に限定されていないですよね？ >>450
具体例2 の方で22未満を探索させようとしたけど処理が終わらないので最小値っぽい。
l2=c(0,1,4,8)
r2=c(2,5,10,9)
s2=c(4,6,1,7)
w2=c(3,9,2,10)
fn <- function(ab,l,r,s,w){
m=cbind(l,r,s,w)
a =ab[1]
b1=ab[2]
b2=ab[3]
f <- function(x,a,b1,b2) ifelse(x<a,b1,b2)
fs <- function(l,r,s,w){
t=integrate(function(x) f(x,a,b1,b2),l,r)$value/(r-l)
abs(t-s)*(r-l)*w
}
return(sum(mapply(fs,m[,1],m[,2],m[,3],m[,4])))
}
optim(runif(3,0,10),function(x) fn(x,l2,r2,s2,w2))
flg=FALSE
while(!flg){
opt = optim(runif(3,0,10),function(x) fn(x,l2,r2,s2,w2))
flg = opt$value < 22.001
}
opt
ここでExecuteクリックで実行可能。
http://tpcg.io/oveKSRgO >>450
> a,b1,b2は正に限定されていないですよね？
限定されていません。
ただ具体例2に関してはもとから最小値のつもりでは書いてなかったです
式が正しく伝わっているか読む人が分かるように、適当な数値の計算結果を書いただけです（紛らわしくてごめんなさい）
でも、綺麗な数値ですね。ありがとうございます。 任意の実数xで微分可能な定数関数でない関数f(x)について
f(f(x))=f(x)⇒f(x)=x
を示せ。
(※実際に成り立つ) >>405
これ
Pの位置によっては９個くらいない？ >>442
なるほど。
では、cl(Nε(a)) ⊆ {x∈X | d(a,x)≦ε}
は正しいでしょうか？
もし正しいならばどうやれば示せるでしょうか？ xy平面上の曲線C:x^2+y^2=1,y>0は鏡になっており、光を反射する。
いま(1,0)から光を発射し、C上でちょうどn回反射したあと、x軸の-1≦x≦1の部分を通って領域y<0に向かうようにする。
(1)n=2のとき、光を発射する方向ベクトルを(1,a)とする。aの取りうる値の範囲を求めよ。
(2)3以上の一般のnに対してはどうか。 ロト6についてなのですが、計算式がわからないので教えてください。
10～19までで数字を2個
20～29までで数字を1個
30～43までで数字を3個
この場合何パターンありますか？
計算式も教えてもらえると助かります。
下手くそな質問でごめんなさい… >>459
nCr(a,b)をa個からb個選ぶ組み合わせとして
nCr(10,2)*nCr(10,1)*nCr(14,3)=163800通り
【問題】
[1,] 10 11 20 30 31 32
[2,] 10 11 20 30 31 33
[3,] 10 11 20 30 31 34
...
[163798,] 18 19 29 40 41 43
[163799,] 18 19 29 40 42 43
[163800,] 18 19 29 41 42 43
のように小さい順に並べるとき
123456番目にくる並びを求めよ。 >>460
nとrいらんくない？
C(a,b)でええやろ [000001], 10, 11, 20, 30, 31, 32,
[120121], 14, 18, 20, 30, 31, 32,
[123397], 14, 18, 29, 30, 31, 32,
[123456], 14, 18, 29, 30, 37, 40, ←
[123760], 14, 18, 29, 41, 42, 43,
[163800], 18, 19, 29, 41, 42, 43, >nCr(a,b)
>nCr(a,b)
>nCr(a,b)
>nCr(a,b)
>nCr(a,b)
プロおじワロスw 草と言えば尿瓶洗浄係
wolframも採用しているchoose(n,r)だとわかりにくいからね。 >>465
自分がウルフラムの記号が理解出来なかったという告白ですか？ >>463
[n], A, B, C, D, E, F
とおく。
C[10,2]=45, C[10,1]=10, C[14,3]=364
k = n - 364[ n/364 ], (0≦k<364)
L = [n/364] - 10[n/3640], (0≦L<10)
m = [n/3640] (0≦m<45)
とおけば
n = 3640m + 364L + k,
A = 10 + [ 10 - 1/2 - √(2(45-m)) ],
B = 11 + m - (1/2)(A-10)(27-A),
C = 20 + L,
D = [ 43 - 0.02 - (6(364-k))^(1/3) ],
E = …,
F = …, >>457
ヨコ
それは当たり前
距離空間(X,d)でd:X×X→Rは連続写像
なので { p | d(a,p) ≦ ε } は { p | d(a,p) ≦ ε } を含む閉集合 >>471
訂正
{ p | d(a,p) ≦ ε } は { p | d(a,p) <ε } を含む閉集合
包含関係は明らか
{ p | d(a,p) ≦ ε } = d(a,-)^(-1)( [0,ε] )
は連続写像による閉集合の引き戻しだから閉集合 >>469
いや、Rでchooseをよく使うけど、他の人はあんまりchooseなんて使わないだろ？
俺はおもちゃ箱に引数が整数でなくてもガンマ関数で計算するように関数を組んでいる
π個からsqrt(2)個「取り出す」ときの場合の数
> Choose(pi,sqrt(2))
[1] 3.630718 尿瓶ジジイ話にならないね。
小学生から出直しておいで。 nCrのn,rを何だと思ってるんだろう
ただの飾り？ >>474
親切心で頭おかしい記号を使う、足りない人という主張ですね。 >>439
問題は理解不足できました
最後重みかけて総和とるまえの関数をF^i(a,b1,b2)とするときG,H,Kをそれぞれ
G^i(a,b1,b2) = | ( b2 - s )( r - l ) |
H^i(a,b1,b2) = | ( b1 - s )( r - s) |
K^i(a,b1,b2)= | ( b2 - s )( r - a ) + ( b2 -s)( a - l ) |
とします、右辺のs, r, lはiにdependしてますが[i]は省略してます
やはりn1,b2を止める毎にaの関数閉じて区分的に線形ですが、その区切り点はa=ri,li, ((b2-si)ri-(b1-si)li)/(b2-b1)です、ただし最後の区切りはb1,b2にdependして動き、liとriに挟まれている場合のみ有効です、最高のは長いのでmiとでもしておきます
しかしいずれにせよFにおけるaの部分をli,ri,miに置き換えて得られる3n個の関数の最小値を求める問題に帰着されました
ここでG^i,H^iについてはaによらない関数でb1,b2の関数として区分的に線形であるのは明らかですがK^iのaをa^jに置き換えて得られる関数も
|(b2-si)ri - (b1-si)li - (b2-sj)rj + (b1-sj)lj |
という区分的に線形な関数となることがわかります 区切り線は各i毎に最大6本なので全体としてはb1-b2平面が最大6n本の直線で区切られます
Fはこれらの直線のうち平行でない2本の直線の交点のいずれかで取るので最小値を求める候補の点は最大C[6n,2]点となります
以上により計算アルゴリズムとしては
① rj,lj, nj からなる3n個の点のリストを考える
②このリストからひとつの値ajを選ぶ
③ Fi(aj,b1,b2)はb1-b2平面上の関数として区分的に線形な関数となる、その区切り線のリストを用意する
④ 区切り線の中から平行でない2直線を選んで得られる交点のリストを用意してその店でのF(aj,b1,b2)の値を計算していく
⑤以上の作業をajの選択3n通りと交点の選択C[6n,2]通りについて全て行いその中の最小値が求める最小値
このアルゴリズムだと点の選択肢がO(n^3)でその点でのFの計算がO(n)なので結局O(n^4)で計算してできます n回ぶつかって(-1,0)をスレ抜ける⇔正2(n+1)角形に沿って進む
n回ぶつかる⇔正2(n+1)角形に沿って進むと正2(n2))角形に沿って進むの間 C(n, r) の n の方だけ実数にするのは簡単なんだけどなぁ…
C(a, r) := a(a-1)……(a-r+1)/r! = (a-r+1)_r / r!
ここに
(x)_r = x(x+1)……(x+r-1)
を Pochhammer の記号とか云うらしい。 >>481
ありがとうございました
円だと反射と正多角形が結びつくことに気がつきませんでした nCr(a,b) の n, rって英語の形式主語とか形式目的語みたいなもの？ nCr(a,b)記念
n,rは非負整数で、n≧rとする。
nCr=aCbを満たす非負整数a,bでa≧b>1を満たすものが存在するとき、nとrの間に成り立つ関係を述べよ。 >>470
K = k - (1/6)(D-30)(DD-99D+2576),
とおけば
E = [ 43.5 - √{(42.5 -D)^2 - 2K} ],
F = K - (E-D){42.5 - (D+E)/2} + 44, >>458
円の中心から見る。
最初の反射点が x軸からθの方向だとすると、
m回目の反射点は x軸から mθ の方向にある。(0<mθ<180°)
ただし tan(θ/2) = -1/a,
題意より nθ < 180° < (n+1)θ, >nCr(a,b)
>nCr(a,b)
>nCr(a,b)
>nCr(a,b)
>nCr(a,b)
尿瓶ジジイの中だけの数学() 前>>371
>>458
(1)題意より1＜a＜√3
(2)n=2になるとき第I象限で1回目の反射があるから、
初めてn=2になるとき、
となりあう反射点がx^2+y^2=1の中心においてなす角はπ/2
a=-(1/√2)/｛1-(1/√2)｝=-1/(√2-1)=-(√2+1)=-1-√2
初めてn=3になるとき、
となりあう反射点がx^2+y^2=1の中心においてなす角はπ/3
a=-(√3/2)/｛1-(1/2)｝=-√3
初めてn=4になるとき、
となりあう反射点がx^2+y^2=1の中心においてなす角はπ/4
a=-sin(π/4)/｛1-cos(π/4｝
初めて反射点がn回になるとき、
となりあう反射点がx^2+y^2=1の中心においてなす角はπ/n
a=-sin(π/n)/｛1-cos(π/n)｝
となりあう反射点がx^2+y^2=1の中心となす角はπ/nだから、
a=-sin(π/n)/｛1-cos(π/n)｝ 前>>490補足。
>>458
(1)題意より1＜a＜√3
(2)n=2になるとき第I象限で1回目の反射があるから、
初めてn=2になるとき、
となりあう反射点がx^2+y^2=1の中心においてなす角はπ/2
a=-(1/√2)/｛1-(1/√2)｝=-1/(√2-1)=-(√2+1)=-1-√2
初めてn=3になるとき、
となりあう反射点がx^2+y^2=1の中心においてなす角はπ/3
a=-(√3/2)/｛1-(1/2)｝=-√3
初めてn=4になるとき、
となりあう反射点がx^2+y^2=1の中心においてなす角はπ/4
a=-sin(π/4)/｛1-cos(π/4｝
初めて反射点がn回になるとき、
となりあう反射点がx^2+y^2=1の中心においてなす角はπ/n
a=-sin(π/n)/｛1-cos(π/n)｝
n回反射した光が出ていくベクトルのy座標の範囲は、
-sin｛π/(n+1)｝/[1-cos｛π/(n+1)｝]＜a＜-sin(π/n)/｛1-cos(π/n)｝ >>458
作図の練習問題として楽しめた
https://i.imgur.com/k5d5t0H.gif
-√3 < a < -1
罵倒しか楽しみがない気の毒な人間＝尿瓶洗浄係！ >>482
階乗factorial をガンマ関数で置き換えるだけでは？
Choose <- function(n,k) gamma(n+1)/(gamma(k+1)*gamma(n-k+1)) 与えられた5次方程式が解けるか解けない（有理数やn乗根だけでは表せない）かを方程式の係数から判別する方法ってありますか？ >>493
馬鹿すぎる
工学部1年程度の数学からやり直したほうがいいよ >>492
nが3以上のときでも作図できるように拡張。定数を変数変数にしてfor loopを回すだけ。
反射の進み具合を描出
8回反射、初角123°場合
https://i.imgur.com/MrvkoBX.gif
おもちゃがうまく動くと気分が( ・∀・)ｲｲ!! >>496
Rのchooseの内部計算の仕様がそれだけどね。 >nCr(a,b)
>nCr(a,b)
>nCr(a,b)
>nCr(a,b)
>nCr(a,b)
こんなの見たことがないんですがw
どこの世界の数学ですか？
尿瓶ジジイの数学もどきは摩訶不思議ですねぇw 全ての成分が整数である行列Aはdet(A^2)=5とならないことを示せ 行列式は成分の多項式
全ての成分が整数なら行列式も整数
一方det(A)=±√5は整数でない >>497
誰も使ってない絵文字が痛々しいね。
何十年単位の引きこもりなのか？もう令和なんですが？ >>458
作図していたら、こんな応用問題を思いついた。
P1(1,0)からX軸の正の方向と角度が140°で光が発射された
次の図は3回反射してP5に達した図である。
https://i.imgur.com/SScSSJE.png
この光がもとのP1に戻ることはあるか？
あるとしたら何回反射した後か？ >>502
作図プログラムを作るが楽しくて( ・∀・)ｲｲ!!
尿瓶洗浄は楽しいのか？
職種が言えない医療従事者＝尿瓶洗浄係（罵倒厨の公式） >>504
コンビネーションもろくにわからない数学もどき()のお遊びなら一人でやってろ。
都合の悪いレス＝罵倒の一つ覚え。
日本語すら不自由な尿瓶ジジイは退場だぞ。 >>504
ならぷ板に行きゃいいじゃん
何で板違いの数学板に執着してんの？ >>499
尿瓶洗浄しかしていないからみたことなんじゃないの？
nCr(a,b)でちゃんとWolframが計算してくれる。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=nCr%2810%2C2%29*nCr%2810%2C1%29*nCr%2814%2C3%29&;lang=ja
順列の方はnPr（a,b)で計算してくれる。
残念ながら、職種が言えない医療従事者＝尿瓶洗浄係 の 公式には非対応のようであった。 >>509
Wolframに
10C2*10C*1*14C3 を入力しても
10 c^2 (speed of light in vacuum squared)×10 °C (温度（摂氏）)×1×14 °C^3 (温度（摂氏）の3乗)
などと解釈されてしまった。 >>509
コマンド入力と表記は別なのもわからないみたいだね。 C(a,b)で計算してくれるからなw
nとrなんかつける意味ないww >>509(補足)
WolframにはnPr以外にもpermuteで順列を計算してくれる。
これはRにはない（探せばどこかのlibraryにはありそうだが）のでnPrの名前で自作関数を作っておもちゃ箱にいれている。
Wolframは種々の入力をきちんと解釈してくれる。()対応のミスも自動で補正してくれる。
誤入力を脳内変換できない尿瓶洗浄係とは大違いだな。
chooseを使わない人にはchoose(10,4)よりもnCr(10,4)の方が何を意味しているかわかりやすいと思う。 >>469
WolframなｎCrの表記にも対応！
尿瓶洗浄は脳内変換できないようだ。 じゃあ誤変換は認めるんだねw
nCr(a,b)なんて書き込んでてすぐにおかしいと思わないの？期待値同様また知ったかぶりかな？
504 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/29(土) 21:01:28.17 ID:xEByuUG0
>>502
作図プログラムを作るが楽しくて( ・∀・)ｲｲ!!
尿瓶洗浄は楽しいのか？
職種が言えない医療従事者＝尿瓶洗浄係（罵倒厨の公式）
>作るが楽しくて
ついでに日本語も誤変換()しちゃってるよ
尿瓶ジジイは耄碌してるからか、色々不自由なんだねw
でもボケ老人の戯言にいちいち付き合ってらんないから、正しい表記をして下さい wolframで認識してくれる以外の依りどことはないんかこいつ 「wolframがそう言ってるもん！」
積分も∫使わずに一々Integrate[…]と手書きするのかな？
円周率書くのにπではなくPiと手書きするのかな？ >>514
推測出来るのは当たり前。
頭おかしい記号なのも当たり前。
そんなことも分からないくらい耄碌していてご愁傷さま。 >>405
簡単のためa=1とし、放物線上の3点をP(p,p^2),Q(q,q^2),R(r,r^2)とする。(p≠q∧q≠r∧r≠p)
P,Q,Rが正方形上の3頂点なので、QとRを入れ替え可能とすると、立式は以下の2通り
(PQ,PQ)=(PR,PR)∧(PQ,PR)=0 (1)
(QP,QP)=(QR,QR)∧(QP,QR)=0 (2)
(1)について
r を消去すると (-1 -4p^2 -4p^4 +p^6) +(-4p -8p^3 +2p^5)q +(-4p^2 -p^4)q^2 +(-4p^3)q^3 +(-p^2)q^4 +(+2p)q^5 +q^6 = 0 (1')
判別式 64(1 +4p^2)^2(-27 -72p^2 +16p^4)^2 が 0 になるのは p=p1=(1/2)√(9+6√3) = 2.20183473752…, および p=-p1
(1)を満たす正方形の個数は |p|<p1,|p|=p1,|p|>p1 の場合でそれぞれ1個,2個,3個。
(2)について
r を消去すると (-1 +p^6) +(-4p +2p^5)q +(-4 -4p^2 -p^4)q^2 +(-8p -4p^3)q^3 +(-4 -p^2)q^4 +(+2p)q^5 +q^6 = 0 (2')
判別式 64(1 +4p^2)^2(-59 +24p -8p^2 +32p^3 +16p^4)(-59 -24p -8p^2 -32p^3 +16p^4) が 0 になるのは
p=p2=0.96921682669792…, p=p3=2.6162004589427479…, および p=-p2, p=-p3
(2)を満たす正方形の個数は |p|<p2,|p|=p2,p2<|p|<p3,|p|=p3,|p|>p3 の場合でそれぞれ2個,3個,4個,5個,6個。
よって、点Pと放物線上の2点を頂点にもつ正方形の個数は合計で、
|p|<p2,|p|=p2,p2<|p|<p1,|p|=p1,p1<|p|<p3,|p|=p3,|p|>p3 の場合でそれぞれ3個,4個,5個,6個,7個,8個,9個。 nは自然数.
数列{A_i,j}が
i,jが2以上の整数とき、
A_1,1=A_1,j=A_i,1=1,
A_i,j=A_i,j-1+A_i-1,j
を満たすならば
A_n,n=C(2(n-1),(n-1))を示せ （問1）放物線 y = -x^2 + h^2 (h > 0) とx軸で囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。
問1は、π * ∫[-h, h] y^2 dx = 16/15 * π * h^5 だとわかります。が、続く問2に、
（問2）問1の放物線をy軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。
とあり、答えは 1/2 * π * h^4 となっているのですが、そこにたどり着けません。上に凸で下に向かって無限に
広がる放物線をイメージしているのが良くないんでしょうか？ご教授お願いします。 nCr(a,b)が通用すると本気で思ってるプロおじは小学生からやり直しておいで。 >>521
何コレ？
もうとっくに無限個あるって示されたやつやん？ >>522
nCr(2(n-1),n-1)と書け低能 >>526
私はプログラミング"マスター"と名乗るほどの技量を持っておる
プロおじなどと呼ぶのはやめ給え
例題を出してみよ尿瓶洗浄係ども >>519
２バイト文字をつかうとプログラムが動かなかったり文字化けする。
それが嫌でコメントも俺は英語で書くようにしている。
Rで書いたコードを
integrate(sin,-pi,pi)
はそのままでWolframで使える。
∫やπじゃRが認識してくれない。 C(4,3)だとCの座標が(4,3)なのか、concatinate関数で4,3が連結されているのか紛らわしい。
choose(4,3)やnCr(4,3)ならその混乱は回避できる。 当たりが1/8の確率で出るように調整された、当選が決まる抽選機がある。この抽選機を800回使った所、60回当たりが出た。この抽選機は本当に、「当たりが1/8の確率で出るように調整されている」と言えるか。有意水準0.05で検定したい
①検定の帰無仮説、対立仮説を立てよ
②棄却域を述べよ
③検定統計量の実現値を述べよ
④検定結果を示し、結論を述べよ
苦手なんです、解答お願いします >>531
それ以外該当しそうな問題ないけど
独り言かな？ >>532
じゃあお前は「二次方程式の解の個数は無限個ある」とか言うのかい？ >>533
同じ問題で答えが違うことがあるのかもなwwww >>530
> binom.test(60,800,1/8)
Exact binomial test
data: 60 and 800
number of successes = 60, number of trials = 800, p-value = 6.567e-06
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.125
95 percent confidence interval:
0.05771779 0.09548836
sample estimates:
probability of success
0.075 こういう設定の方が現実的だと思う。
当たりが1/8の確率で出るように調整されたという触れ込みの抽選機を検定する。
800回試行しての推定当選確率をｐとして
ｐの95%信頼区間が1/9以上1/7以下の範囲に含まれれば検定合格とする。
800回のうち何回以上何回以下の当たりであれば検定合格となるか。 nCr(2n,n)
nCr(2n,n)
nCr(2n,n)
なんという美しい表記 プロおじはたぶん本気でnCr(a,b)などと書いていて
間違いを認めたくないから、後からwolframがどうのと「自分が間違っていない」理由を探してるんだろうな >>523
integral_0^h π (h^2 - x) dx = 1/2 π h^2 (2 h - 1) 前>>491
>>523
(問2)y=-x^2+h^2(h＞0)をy軸のまわりに回転させた立体をy=tで切った円盤(t=0のとき円盤の半径はhで面積πh^2)の🛸
面積S(t)はt=-x^2+h^2よりx^2=h^2-tだから、
S(t)=π(x^2-t)
回転体の体積Vは、
V=π∫[t=0→h^2](h^2-t)dt
=π[h^2t-t^2/2](t=h^2)
=π(h^4-h^4/2)
=πh^4/2 前>>546訂正。
>>523
(問2)y=-x^2+h^2(h＞0)をy軸のまわりに回転させた立体をy=tで切った円盤(t=0のとき円盤の半径はhで面積πh^2)の🛸
面積S(t)はt=-x^2+h^2よりx^2=h^2-tだから、
S(t)=π(h^2-t)
回転体の体積Vは、
V=π∫[t=0→h^2](h^2-t)dt
=π[h^2t-t^2/2](t=h^2)
=π(h^4-h^4/2)
=πh^4/2 >>542
信頼区間を正規分布近似にすると答がなしになるな。
適当な事前確率分布を設定してベイズでやると答がでる。
これが現実的な数値かは議論の余地はあるだろうな。 いい加減nCr(a,b)は本気でした、私は知ったかですって大人しく認めろよな尿瓶ジジイは >>548
イナに正解教えてくれてありがとう言っとけよ 二項係数aCbをnCr(a,b)と表記する。
nCr(m,n)=nCr(2m,2a)
となる正整数の組(n,a)が存在するための、正整数mの条件を求めよ。 二項係数aCbをC(a,b)と表記する。
C(m,n)=C(2m,2a)
となる正整数の組(n,a)が存在するための、正整数mの条件を求めよ。 Σ[b=1,a] {(a+b-1)/b}nCr(a,b)
を計算せよ。
ただし本問では二項係数sCtをプロおじ流にnCr(s,t)と書く。 Σ[k=1,a] {(a+k-1)/k} nCr(a,k)
= Σ[k=1,a] nCr(a,k) + (a-1)Σ[k=1,a] (1/k) nCr(a,k)
= (1+1)^a - 1 + (a-1)Σ[k=1,a] nCr(a,k)∫[0,1] t^(k-1) dt
= 2^a - 1 + (a-1)∫[0,1] {Σ[k=1,a] nCr(a,k) t^(k-1)} dt
= 2^a - 1 + (a-1)∫[0,1] {(1+t)^a - 1}/t dt
さてどうする？ https://i.imgur.com/d7sgB2Q.jpg
線形代数始めたばかりなのでわかりません、よろしくお願いします >>547
>>548
ありがとうございます！わかりました！
問2にある「問1の放物線」というのは「問1の放物線とx軸で囲まれる図形」を意図しているんですね。
最初そのように解釈していたのですが、その際計算間違いをしたため、「x軸で囲む」という部分を
排除した解釈をしてしまいました。 当たりが1/8の確率で出るように調整された、当選が決まる抽選機がある。この抽選機を800回使った所、60回当たりが出た。この抽選機は本当に、「当たりが1/8の確率で出るように調整されている」と言えるか。有意水準0.05で検定したい
①検定の帰無仮説、対立仮説を立てよ
②棄却域を述べよ
③検定統計量の実現値を述べよ
④検定結果を示し、結論を述べよ
苦手なんです、解答お願いします >>522
すいません、誰かこれお願いします！！！ A_{i,j}=C[i+j-2,j-1] は明らか。以下略 >>521で解答が出てしまいましたが、放物線と正方形問題を3次方程式で解く事に成功しました。
y=ax^2のグラフは両軸の目盛りを1/a倍に縮小した平面上に描くとy=x^2のグラフと合同に
なるのでa=1とし、グラフは左右対称なので頂点P(p,p^2)はp≧0とする。
y=x^2上にある正方形の他の2頂点をA,Bとし、一辺PAの傾きをkとする。3つの場合がある。
(1) PBも正方形の一辺。PA⊥PBより傾きは-1/k、PA=PB。
(2) PBは対角線でPAを45°回転した方向。傾きは(1+k)/(1-k)、PA=AB。
(3) PBは対角線でPAを-45°回転した方向。傾きは(k-1)/(1+k)、PA=AB。
(1)の場合
PAの方程式を立てて放物線との交点(x,y)を求めると
x=(1/2)(k±√(k^2+4p^2-4kp))=(1/2)(k±(k-2p))
y=(k/2)(k±√(k^2+4p^2-4kp))+p^2-kp=(k/2)(k±(k-2p))+p^2-kp
上式はPとAの座標を与えるので
PA^2=(1+k^2)(k-2p)^2
PBに関しては傾きkを-1/kで置き替えれば良いので
PB^2=(1+1/k^2)(-1/k-2p)^2=(1+1/k^2)(1/k+2p)^2
PA^2=PB^2より
(1+k^2)(k-2p)^2=(1+1/k^2)(1/k+2p)^2
<途中省略>
(k-2p)k^2=±(1+2pk)
これより2個の3次方程式を得る。
k^3-2pk^2-2pk-1=0 ---(#1)
k^3-2pk^2+2pk+1=0 ---(#2)
k=mが(#1)の解ならばk=-1/mは(#2)の解なので(#1)と(#2)の解は同一の正方形を与える。
長すぎるので2つに分けます 続き
(2)の場合
PBに関しては傾きkを(1+k)/(1-k)で置き替えれば良いが、PA^2=AB^2が解けずに断念。
代わりに正方形の対角線は一辺の√2倍である事から2*PA^2=PB^2を解く。ただし
△PABが直角二等辺三角形にならない(正方形が得られない)場合がある。
PB^2=(1+(1+k)^2/(1-k)^2)((1+k)/(1-k)-2p)^2
2*PA^2=PB^2より
2*(1+k^2)(k-2p)^2=(1+(1+k)^2/(1-k)^2)((1+k)/(1-k)-2p)^2
<途中省略>
(k-2p)(1-k)^2=±(1+k-2p+2pk)
これより2個の3次方程式を得る。
k^3-(2p+2)k^2+2pk-1=0 ---(#3)
k^3-(2p+2)k^2+(6p+2)k-4p+1=0 ---(#4)
(#4)の解からは正方形が得られず、(#3)の解が正方形を与える。
(3)の場合
(2)と同様に傾きkを(k-1)/(1+k)で置き替えて
PB^2=(1+(k-1)^2/(1+k)^2)((k-1)/(1+k)-2p)^2
2*PA^2=PB^2より
2*(1+k^2)(k-2p)^2=(1+(k-1)^2/(1+k)^2)((k-1)/(1+k)-2p)^2
<途中省略>
(k-2p)(1+k)^2=±(k-1-2p-2pk)
これより2個の3次方程式を得る。
k^3-(2p-2)k^2-2pk+1=0 ---(#5)
k^3-(2p-2)k^2-(6p-2)k-4p-1=0 ---(#6)
(#6)の解からは正方形が得られず、(#5)の解が正方形を与える。
(#1),(#2),(#3),(#5)は共通の解を持たない(証明略)ので、正方形数は最小3個最大9個。 放物線と正方形の問題は
原題378 出題者は定数個と思っていたが結局は無数にあった
改題405 点Pの位置によって変動する。これも定数個ではない
だったら>>395の主張はなんだったんだ (#1),(#2) の実数解が
1つ … 2|p| < k,
2つ … 2|p| = k,
3つ … 2|p| > k,
ここに k = √(9+6√3) = 4.403669… は楠瀬の定数。
数セミ, 1992年7月号, p.59-60 (#1),(#2) の実数解が
1つ … 2|p| < Ku,
2つ … 2|p| = Ku,
3つ … 2|p| > Ku,
ここに Ku = √(9+6√3) = 4.403669… は楠瀬の定数。
* 紛らわしくてｽﾏｿ 元々放物線に正三角形の頂点が乗るもの座標求めろって問題作ってあげた
しかし立式簡単、計算が邪魔くさいだけの問題と言われる
で計算がしんどくないように60°回転でなく、90°回転で済むように直角二等辺三角形にしてみた
ところが今度は√2倍して45°回すケースもあるので前より酷くなるというオチ
所詮(t,t^2)で9回転、拡大した図形の方程式と元の方程式のresultantをどっちかの文字でとって残りの文字の判別式取る問題
大先生にお願いすればやってくれる
https://www.wolframalpha.com/input/?i=resultant+%28+x-y%5E2%2C+-%28y-z%29+%2B+z%5E2+-+%28+%28x+-z%5E2%29%2B++z+%29%5E2+%29&;lang=ja
https://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant%5B-y%5E3+%2B+z+%28z+%28y+%2B+z+-+2%29+%2B+%28-y+-+2%29+y%29+-+1%5D&;lang=ja
この手の問題をいつまでも手でやっていたのではキリがないからなんとか自動で判定できるような方法がないかと研究されてきて、そしてもうとっくに片付いてる問題
もちろん計算機がどうやって計算してるのかの原理は理解しないといけないけど、それはもっと簡単な問題で練習して勘所を掴めばいい
あとはじゃあ一般論としてどうやって解けばいいかの現代数学がたどり着いた知識を受け継いでいくのが数学という学問
いつまでもいつまでも手間だけかかる手作業の計算をやってても仕方ない
もちろん数値計算して“解けた”とか言ってるより遥かにマシなんだけど >>562
これはパスカルの三角形だからまたは格子状の経路の場合の数と同じだから明らか、ということで合ってますか？ >>550
本気もなにも、Wolframが対応しているから、俺の発明ではない。ｎPrも受け付ける。
C(4,3)だとCの座標が(4,3)なのか、concatinate関数で4,3が連結されているのか紛らわしい。
choose(4,3)やnCr(4,3)ならその混乱は回避できる。 プロおじはたぶん本気でnCr(a,b)などと書いていて
間違いを認めたくないから、後からwolframがどうのと「自分が間違っていない」理由を探してるんだろうな >>570
後出しの負け惜しみがひどいな。
4C3でいいのにわざわざ都合のいいように解釈してて草 尿瓶洗浄係の負け惜しみはこれだろ
>コマンド入力と表記は別なのもわからないみたいだね。 本気でnCr(a,b)だと思ってたけど総ツッコミされて悔しいからwolframガーの一つ覚えになったんだろ？w >>570
対応なんてしてないですね。
あれは、あいまいで出鱈目な表現も近いと思われるものを推測しているだけだ。
nとかrとかの変数も含むもっと複雑な数式の中で正確に解釈してくれているのか？ >>569
その通りです。一般に、
X[i,0]=X[i,i]=1,
X[i,j]=X[i-1,j]+X[i-1,j-1]
という漸化式で定まる 量 があれば、Xは コンビネーションC と一致すると言えます。
AとXは、添え字の付け方が違うだけです。
あるいは、A_{i,j}=(i+j-2)!/((i-1)!*(j-1)!) と仮定して、
与えられている性質を持っていることを示しても良いと思います。 すいません質問です
nCr(a,b)に対して、以下の値を計算しなさい。
(1)5C3(6,2)
(2)2nCn(n,[n/2]) 初歩的な算数（少数の割り算）の質問で恐縮なんだけど教えてほしい。
まず、1÷10は1個の物を10等分したら（1当たり）0.1になるっていう意味で合ってるよね？
つまり1を10分割した
一方で、1÷0.1は1を0.1等分したら0.1が10（個）ぶんある、もしくは0.1が10個分集まってるという意味だよね？
つまり1を0.1分割した
ここの解釈の違いがわからない。
なぜ同じように割り算してるのに「1当たりの数」と「何個ぶん」というような意味で分かれてしまうんだろう？
もっと言えば、少数の割り算になった時点で「1当たり」で考えることができなくなるのはなぜなんだろ？
例えば、1個のリンゴを10人で分けたら1人当たり0.1個だけど、1個のリンゴを0.1個ずつ分けたら10人ぶんとなるよね。（1個のリンゴを0.1人ずつ分けたら10個ぶん？）って書いてるうちによくわからなくなってきた
少し数学に詳しい人に聞いたら等分除と包含除は害悪だからそれで考えるのはやめた方がいいとは言われた。
それでもなんで「1当たり」と「何個ぶん」で分かれてしまうのかを理解したい。 >>579
分かりやすいように解釈できればいいんだね
1÷10とは、10倍したら1になる数は何か？を聞いているもの
だから0.1になる
一方で、
1÷0.1とは0.1倍したら1になる数は何か？を聞いているもの
だから10になる >>579
1箱：リンゴ10個入り
1班：10人のメンバー
とする。
リンゴ箱の数÷班の数 は、1班あたりのリンゴ箱の数。
1箱のリンゴを10班で分けたら1班当たりリンゴ1個、つまり、箱数で言えばリンゴ0.1箱。
1箱のリンゴを0.1班、つまり1人で分けたら一人で1箱だから、1班＝10人分なら10箱。
1箱あたりのリンゴの数や1班当たりの人数を調整すれば、有理数の範囲ならこれで説明できる。 > 1個のリンゴを10人で分けたら1人当たり0.1個だけど、
> 1個のリンゴを0.1個ずつ分けたら10人ぶんとなるよね。
1個のリンゴを 0.1人で分けたら 1人当たり 10個。 >>578
(1)
5Ｃ3(6,2) = {C(6,2)}Ｃ(5C3) = Ｃ(C(6,2), 5C3) = C(15,10) = 3003,
(2)
2nCn(n,[n/2]) =(2nCn)Ｃ{C(n,[n/2])} = Ｃ(2nCn, C(n,[n/2])) = …
だよ >>1
> 数学@5ch掲示板用
> ☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
> http://mathmathmath.dotera.net/ 本当にそうなのか教えてください
期待値は同じにしか見えないんですが
https://www.moneypost.jp/793898
宝くじの買い方には「連番」と「バラ」の2種類があるが、どちらが1等に当たりやすいだろうか。正解は「どちらも同じ」だ。ただし、1等の当せん確率は同じでも、前後賞が絡んでくると、当せん確率はそれぞれの買い方で異なってくる。
たとえば10枚セットで買う場合、連番で購入した中に1等があれば必ず前後賞の両方（もしくは片方）も一緒に当たるので、得られる賞金額はバラより2.5倍も多くなる。一方のバラの場合、1等と前後賞の総取りはできない代わりに、1等もしくは前後賞のいずれかが当たる確率は連番の2.5倍となる。 >>585
1000枚売り出されて500番が当たりとしてシミュレーション、
連番10枚買いは999,1000,1,2,..,8のようなものも含むとする
ドリームジャンボミニは1等3000万円、1等の前後賞1000万円で試算
単位は万円
10万回のシミュレーションを10回繰り返した結果
R : 連番の賞金期待値
pR : 連番でどれかが当たる確率
B : バラの賞金期待値
pB : バラでどれかが当たる確率
> for(i in 1:10) print(sim())
R B pR pB R_gets_more R_wins_more_freq
48.37 49.44 0.01069 0.01982 FALSE FALSE
R B pR pB R_gets_more R_wins_more_freq
52.76 51.1 0.01155 0.02026 TRUE FALSE
R B pR pB R_gets_more R_wins_more_freq
51.15 50.66 0.01112 0.0203 TRUE FALSE
R B pR pB R_gets_more R_wins_more_freq
49.72 47.49 0.0109 0.01915 TRUE FALSE
R B pR pB R_gets_more R_wins_more_freq
50.79 50 0.01112 0.01986 TRUE FALSE
R B pR pB R_gets_more R_wins_more_freq
50.43 51.36 0.01109 0.02042 FALSE FALSE
R B pR pB R_gets_more R_wins_more_freq
48.71 49 0.01075 0.01955 FALSE FALSE
R B pR pB R_gets_more R_wins_more_freq
51.97 49.33 0.01137 0.01962 TRUE FALSE
R B pR pB R_gets_more R_wins_more_freq
48.48 51.58 0.0107 0.0205 FALSE FALSE
R B pR pB R_gets_more R_wins_more_freq
50.88 51.07 0.01127 0.0203 FALSE FALSE
獲得賞金の期待値は同等、どれかが当たる確率はバラ買いの方が高いみたいだな。
2.5倍という数字がどこからでてくるのか分からなかった。
後付けの理屈は賢者にお任せ。 な、コレだ
数学を“後付けの理屈”としか評していない
偉大な≦文化というものに対して1ミリの畏敬の念もない
カス >>586
シミュレーションプログラムのバグ修正したら2.5が出てきたので>585は撤回。
獲得賞金の期待値は同等という結論は同じ。
> for(i in 1:5) print(sim())
R B pR pB R_gets_more pB/pR
1 47.92 49.58 0.01172 0.02964 FALSE 2.52901
R B pR pB R_gets_more pB/pR
1 49.69 48.48 0.01216 0.02846 TRUE 2.340461
R B pR pB R_gets_more pB/pR
1 49.95 47.77 0.01225 0.02884 TRUE 2.354286
R B pR pB R_gets_more pB/pR
1 50.2 48.75 0.01226 0.02913 TRUE 2.37602
R B pR pB R_gets_more pB/pR
1 48.23 49.86 0.01161 0.02976 FALSE 2.563307 >>587
理屈と膏薬はどんなとこにもつく。
何が自明かはひとそれぞれ。
分泌型の免疫グロブリンを誘発する経鼻インフルエンザワクチン：フルミストの方が理論的には感染防止効果が高いはずなのだが、
臨床試験をしてみると注射薬の方が効果が高い。
確率事象を扱う臨床に従事しているとこういうことはよくある。
不整脈をClassIの抗不整脈薬で治療した群の方が死が増えたCAST試験の話は業界では有名な話。
philosophy of evidence based medicineにそういう事例が掲載されている。
平易な英文だし、Kindle版もある。尿瓶洗浄には無関係の話かもしれんが。 >>589
尿瓶ジジイはスレタイも読めないんだね。 >>589
どんな言葉を重ねてもお前が数学という文化になんの畏敬の念も持たない事に変わりはない
数学そのものを尊ぶ心のないものに数学を語る資格はない 偉大な≦文化
は脳内変換できんなぁ。
尿瓶洗浄業界の用語？？ ＞偉大な≦文化
好感を交換と誤変換なら読みが同じだから脳内変換はできるんだが、
「偉大な≦文化」ってなんだろうね？尿瓶洗浄業界での特殊表記なんだろうか？
nCrはchoose(n,r)であるとすぐにわかるんだが。 >>594
他のスレでの誤変換を別のスレに書き込んで越にいっていた椰子がいるんだが、
どうも尿瓶洗浄を生業にしているらしい、ライセンスに基づいて業務をしている医療従事者なら職種をいうからね。 お取り込み中すみません、
本当に困っております
当たりが1/8の確率で出るように調整された、当選が決まる抽選機がある。この抽選機を800回使った所、60回当たりが出た。この抽選機は本当に、「当たりが1/8の確率で出るように調整されている」と言えるか。有意水準0.05で検定したい
1検定の帰無仮説、対立仮説を立てよ
2棄却域を述べよ
3検定統計量の実現値を述べよ
4検定結果を示し、結論を述べよ
どうか、どなたか解答お願いします mは自然数
tを|t|<1を満たす実数とするとき
定積分∫[0,π]cos(mx)/(1-2tcos(x)+t^2)dxを求めよ >>580
>>581
>582
回答してくれてありがとう
ただ、やっぱりよく理解できてないわ
もう一度整理して質問したい
1÷10=0.1の意味は、1を10等分したら0.1ずつになるってのが当然の理解なんだろうけど、おれの疑問は1を10等分したら0.1が10個分とも言えてしまわないのかな？ってことなんだよね
つまり、1÷0.1=10（1を0.1等分したら0.1が10個分）と同じように解釈できてしまうのではないのかな？っていう疑問なんだよね >>602
1を10等分したら0.1ずつになるから1÷10=0.1と書いても1÷0.1=10と書いても差し支えない
ところで、
1と10がわかっていて割り算で0.1を求めたいのか
1と0.1がわかっていて割り算で10を求めたいのか
どっちなんだい？ >>568
正三角形のもやってみたけど
正方形のものと比べるとあまり面白みはないかも
http://imepic.jp/20210531/824420 >>585
「3連バラ」だ。最低30枚の購入が必要で、｢バラで連番3枚を10通り買う｣という買い方
重複がないよう3連バラを乱数発生させるには一工夫必要だったが、シミュレーションできた。
発行数1000枚で1等は1枚、 999,1000,1も連番にカウント
30枚購入
R:30枚の連番での賞金の期待値
B:バラバラに30枚での期待値
RB：3連バラで10組(番号の重複はなし)での期待値
pR,pB,pRBは各々の買い方で賞金獲得できる割合
シミュレーション実行例
> for(i in 1:5) print(sim(1e5))
R B RB pR pB pRB
144.25 151.1 150.74 0.03083 0.0877 0.04955
R B RB pR pB pRB
150.88 149.14 150.18 0.03221 0.08665 0.05006
R B RB pR pB pRB
150.78 148.12 151.8 0.03207 0.08621 0.05005
R B RB pR pB pRB
147.71 148.53 147.96 0.03147 0.08738 0.04926
R B RB pR pB pRB
151.41 149.39 149.49 0.03231 0.08708 0.0506
獲得賞金の期待値は同等、バラバラに買った方が賞金を獲得できる確率が高い。
プログラミン遊びが楽しめたから、寝るかな。明日は休日勤務の代休で休みだし。 >>602
> 1を10等分したら0.1が10個分
この表現はちょっと理解出来ない
「1を10等分するとその一つは0.1だから、1は0.1が10個」ってこと？
それなら
> 1÷0.1=10（1を0.1等分したら0.1が10個分）
0.1等分と言う概念を考えるのであれば、「1を0.1等分したらその一つは10であるので、1は10が0.1個」という意味になるのでは？ aはa>1を満たす定数。自然数nに対して集合
{x|xはΣ[k=1,x]1/√(k+n)<aを満たす自然数}
の要素の個数をX_nとする
このときlim[n→∞]X_n/√n=a
が成り立つことを示せ >>607
まさにそういう回答がほしかった！
ただ頭悪いのですぐにはレスできない
少し考えさせて >>607
ちなみに
「「1を10等分するとその一つは0.1だから、1は0.1が10個」ってこと？ 」
おれが言いたかったのはこれであってる >>601
s=exp(ix)とおく
＝1/2∫[-π,π](1+ts+(ts)^2+‥)(1+t/s+(t/s)^2+‥)(s^m+1/s%m)/2dx
=1/2∫[-π,π](t^m+t^(m+2)+‥)dx (∵∫s^kdx =0 if k≠0,和は一様有界)
=t^m/(1-t^2)π nCr*p^r*(1-q)^(n-r)が簡単に計算できる時代に正規分布近似を使う必要があるのかと疑問に思う。
内部処理のアルゴリズムを知らずに答はでる。まあ、電卓だって内部処理を理解しないままに使っているなぁ。
# 二項検定binom.testの内部処理を検算
nCr=choose
n=800 # 抽選回数
r=0:800 # 当選可能回数
p=1/8 # 当選確率
P=nCr(800,r)*p^r*(1-p)^(n-r) # 数列 P[r+1]:r回当選する確率
sum(P[P<=P[60+1]]) # 60回当選するより珍しいことが起こる確率の総計
binom.test(60,800,1/8)$p.value
> sum(P[P<=P[60+1]])
[1] 6.566902e-06
> binom.test(60,800,1/8)$p.value
[1] 6.566902e-06
正規分布近似だと
> pnorm(60,n*p,sqrt(n*p*1-p))*2
[1] 6.267605e-05 コップが落ちたのは何故か？
（１）手が滑ったから
（２）万有引力があるから
どちらの後付の理屈が説得力があるかは主観の問題。 596 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/31(月) 21:03:26.58 ID:UrBsyBel
>>594
他のスレでの誤変換を別のスレに書き込んで越にいっていた椰子がいるんだが、
どうも尿瓶洗浄を生業にしているらしい、ライセンスに基づいて業務をしている医療従事者なら職種をいうからね。
>越にいっていた椰子
はぁ？
605 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/31(月) 23:09:36.17 ID:UrBsyBel
>>585
「3連バラ」だ。最低30枚の購入が必要で、｢バラで連番3枚を10通り買う｣という買い方
重複がないよう3連バラを乱数発生させるには一工夫必要だったが、シミュレーションできた。
発行数1000枚で1等は1枚、 999,1000,1も連番にカウント
30枚購入
R:30枚の連番での賞金の期待値
B:バラバラに30枚での期待値
RB：3連バラで10組(番号の重複はなし)での期待値
pR,pB,pRBは各々の買い方で賞金獲得できる割合
シミュレーション実行例
> for(i in 1:5) print(sim(1e5))
R B RB pR pB pRB
144.25 151.1 150.74 0.03083 0.0877 0.04955
R B RB pR pB pRB
150.88 149.14 150.18 0.03221 0.08665 0.05006
R B RB pR pB pRB
150.78 148.12 151.8 0.03207 0.08621 0.05005
R B RB pR pB pRB
147.71 148.53 147.96 0.03147 0.08738 0.04926
R B RB pR pB pRB
151.41 149.39 149.49 0.03231 0.08708 0.0506
獲得賞金の期待値は同等、バラバラに買った方が賞金を獲得できる確率が高い。
プログラミン遊びが楽しめたから、寝るかな。明日は休日勤務の代休で休みだし。
>プログラミン遊び
はぁ？ ひとつも数学という学問に真剣に向き合った事もない人間が“主観の問題”という言い訳ばかりしてる
数学の才能がないのではない
そもそも“学問”という人間の知性にとって最も高度な営みにたるだけの“人間的才覚”が決定的に欠如している 尿瓶ジジイ日本語不自由すぎる
数学の前に日本語勉強してこい プロおじはたぶん本気でnCr(a,b)などと書いていて
間違いを認めたくないから、後からwolframがどうのと「自分が間違っていない」理由を探してるんだろうな
さらに言えば、直してしまえば敗けを認めたことになるからか絶対に直さない >>618
負け組の中の負け組の分際で往生際悪すぎワロタ >>607
「1を0.1等分したらその一つは10であるので」っていうのはどういうことなんだろ？
1を10等分してその一つが0.1っていう考え方で1を0.1等分するという意味を理解しようとするとその一つは0.1ってことになってしまって本来の答えである10ではなくなるという解釈も成立してしまうように思うんだよね。つまりさっきの逆
整理すると、最初の「1を10等分するとその一つは0.1だから、1は0.1が10個」のように一つ当たりで考えて1÷0.1を考えると、「1を0.1等分するとその一つは0.1」っていう解釈もありあるんじゃないか？っていう疑問
たぶん俺がしっかり割り算をわかってないだけなんだろうけど、どうしても気になって仕方ない。 >>621
「1を0.1等分するとその一つは10」っていう解釈をしても一向に差し支えない
何を悩んでいるのか？ >>621
> 1を10等分してその一つが0.1っていう考え方で1を0.1等分するという意味を理解しようとするとその一つは0.1ってことになってしまって
ならないと思うがなあ
1を10等分ってことは1が[10]であるとき[1]は0.1ってことだろう
通常○等分というのは自然数で考えるものだがそれを小数や分数にも拡張すれば、
1を0.1等分というのは「1が[0.1]であるとき[1]はいくつになるのか」ってことだから答えは10だろう >>620
しらね。
俺じゃないし。
それよりnCr(a,b)の言い訳はもう済んだのか？ >>598
改題
当たりが1/8の確率で出るように調整された、当選が決まる抽選機がある。
当たりがでる推定確率をpの95%信頼区間が[1/9,1/7]に含まれるときに正しく調整されていると判断する。
この抽選機を800回使った所、100回当たりが出た。
(1) この抽選機は本当に、「当たりが1/8の確率で出るように調整されている」と言えるか。
(2) 「当たりが1/8の確率で出るように調整されている」と判定されるには何回以上の抽選が必要になるか。
（信頼区間の算出には正規分布近似もしくは好みの方法を用いてよい）
(3) 100/800=1/8だから正しく調整されているという主張を正当化する統計手法を用いて後付の理屈を述べよ。 当たりが1/8の確率で出るように調整された、当選が決まる抽選機がある。
当たりがでる推定確率の95%信頼区間が[1/9,1/7]に含まれるときに正しく調整されていると判断する。
この抽選機を800回使った所、100回当たりが出た。
(1) この抽選機は本当に、「当たりが1/8の確率で出るように調整されている」と言えるか。
(2) 「当たりが1/8の確率で出るように調整されている」と判定されるには何回以上の抽選が必要になるか。
（信頼区間の算出には正規分布近似もしくは好みの方法を用いてよい）
(3) 100/800=1/8だから正しく調整されているという主張を正当化する統計手法を用いて後付の理屈を述べよ。 >>624
nCr(a,b)の書式はWolframが対応している。
残念ながら俺の発明ではない。
偉大な≦文化 は尿瓶洗浄係の発明である。 >>624
>俺じゃないし
こういうのを自作自演認定するのが尿瓶洗浄係の特性である。 尿瓶ジジイ、nCr(a,b)の言い訳はもう出てこないんだね。笑
wolframの一つ覚えか？
タイポ王の分際で人のタイポはさも嬉しそうに振りかざすんだな。笑 >>621
自然数習ったばかりの小学生に小数を説明したところで理解できないですよね
そんなものは数えられないんだから数ではない、と思うことでしょう
数とは数えられるものだと習ったんだからと
あなたの気になるもその程度の話ですよ
“等分”とは整数で割る時のみ定義される言葉なので、それで考え続ける限り、小数の割り算は定義できません
1÷0.1、そんなのはない、で終わりです
でも数学ではちゃんとあるわけですよね
“等分”という初歩的な概念から、ある量の何倍か、比はいくつかみたいなより難しい概念に拡張してるわけです
その概念のジャンプを認めない限り、あなたは小数の割り算に納得することはありませんし、あなたの中で小数の割り算は定義されないしてはいけない計算になるだけです このタイプの、わからない、は非常によくあることですね
質問者様のように謙虚な方なら非常に良い質問であり、より良い理解のためにいいのですが、それが傲慢になってしまうといわゆるトンデモさんになってしまうわけですね
0.999....は筆算できないから1になるなんておかしい！と吠え続ける安達さんみたいな人になるわけです >>601
π･t^m /(1-t^2), (|t|<1)
高木：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第5章, §62, [例5] p.226
第6章, §77, [例5] p.283 >>608
Σ[k=1,x] 1/√(k+n) = S_x とおくと
X_n = { S_x < a を満たす自然数xの最大値}
S_(X_n) < a ≦ S_(X_n +1), … (*)
y=1/√x は単調減少だから
2/{√(k+n+1) + √(k+n)} < 1/√(k+n) < 2/{√(k+n) + √(k+n-1)},
2{√(k+n+1) - √(k+n)} < 1/√(k+n) < 2{√(k+n) - √(k+n-1)},
k=1 から k=x までたす。
2{√(x+n+1) - √(n+1)} < S_x < 2{√(x+n) - √n}
これより
(√n + S/4)S < x < {√(n+1) + S/4}S,
(*) より
(√n + a/4)a - 1 < X_n < {√(n+1) + a/4}a,
各辺を √n で割って n→∞ とする。 往生際悪いの間違いだったw
もしかして往生してしまってるのかもしれないが nCr(a,b)の定義に基づいて以下を計算せよ。
(1)7C2(8,1)
(2)2021C3(4,2)/2022C2(5,2) (1)
7Ｃ2(8,1) = (7C2)Ｃ{C(8,1)}
= Ｃ(7C2, C(8,1))
= C(21, 8)
= 21!/(8!13!)
= 203490,
(2)
2021Ｃ3(4,2) / 2022Ｃ2(5,2) = (2021C3)Ｃ{C(4,2)} / (2022C2)Ｃ{C(5,2)}
= Ｃ(2021C3, C(4,2)) / Ｃ(2022C2, C(5,2))
= Ｃ(2021･2020･2019/3!, 6) / Ｃ(2022･2021/2, 10)
>>583 と同じだよ >>641
c[n,r(a,b)]と見なすのではないのですか？ おい、尿瓶ジジイ
nCr(a,b)の負け惜しみはもう済んだのか？ 表が出る確率がp(0≦p≦1)、裏が出る確率が1-pのコインがある。このコインを1回投げ、表が出ればA君の勝ち、裏が出ればB君の勝ちとする。
これを、A君とB君のいずれかが10勝するまで繰り返すゲームを行う。
(1)ゲームの途中で、A君がB君より先に5勝目をあげる確率をpで表せ。同様に、A君が先に5勝目をあげ、かつ先に10勝する確率をpで表せ。
(2)あるゲームにおいて、A君またはB君が相手より先に5勝目をあげたとき、それまでにコインを投げた回数をNとする。また、そのゲームにおいてゲーム開始から終了までにコインを投げた回数をMとする。比(Nの期待値)/(Mの期待値)をpで表せ。 プロおじ(尿瓶ジジイ)みたいな数学知ったかの老害はここの板に書き込む資格無し！ >>622
>>623
>631
返信ありがとう
少し考えてからレスするわ
分数、割り算、等分のことが根本的にわからなくなってきた
様々な学問分野の計算式（公式）にたまに少数が混ざってたりすると訳がわからなくなる
分数や割り算のことを徹底的にで説明してる教科書なり論文なりがあれば紹介してほしい いくら公式を覚えても、いくら問題が解けても結局は小学生レベルの分数や割り算の本質的な意味を理解してないからまったく自信がない
もちろん理系じゃないのでそこまで考える必要はないんだろうけど、どうしても分数や割り算をしっかり理解したい >>641
nCr ≧ C(a,b) のとき
nCr(a,b) = (nCr)Ｃ{C(a,b)} = Ｃ(nCr, C(a,b))
nCr ≦ C(a,b) のとき
nCr(a,b) = {C(a,b)}Ｃ(nCr) = Ｃ(C(a,b), nCr) >>646
割り算とは単純に掛け算の逆をしたいだけ
Ａ÷Ｂの意味は、Ｂ倍するとＡになる数、それだけの意味
整数で割る場合は「等分」という表現もできるが、割り算というものを統一的に考えたければそういう特殊なケースの考え方は捨てた方がよい >>647
あなたの考えるような本質についての答えは、数学は用意してませんよ
>>649さんのように、数学とは全てを形式的に考えるのです
でもおそらくその説明ではあなたは納得できないでしょうね
なので、そういうものかと思うのが一番良いのです
いくら考えたところで、あなたの求める0.1等分の哲学的意味は、数学にはありません
一度現代数学を支配している公理主義とか形式主義とかいうものを調べてみると良いかもしれませんね
現状の数学の考える正しさとはどのようなものかがわかると思います 拡張するときはそれで整合性がとれるように定義してるだけだもんね
拡張しないと拡張しない世界のことを求めるのが困難なこともあるってのは数学の面白さではあるけどややこしい 前>>547
>>614
(1)手が滑ってコップが落ちたとすると、
ありうる話だし、説明はつくが、
むしろこの関係をつづけることへの違和感が、
心的作用により手を滑らしめ、
コップを落とすことに至ったんじゃないか。
(2)引力によってコップが落ちたとすると、
すべての物体に対して地球の引力は働いていて、
つまりそれが万有引力と呼ばれる所以であって、
なにもコップだけがひとりでに床に落ちて割れることはない。
∴示された。 >>646
＞分数や割り算のことを徹底的にで説明してる教科書なり論文なりがあれば紹介してほしい
小学校3年生の教科書には書かれてるんじゃないかな、もしかしたら社会人向けの啓蒙書の中にはそういったことを説明してるものもあるかもしれない(読んだことはないので紹介できないけど)
論文？まさか新しい研究成果を発表する場である学術論文のことを指してるんじゃないよね？ 前>>652
>>644(1)
Aが先に5勝を上げる確率は、
p^5｛(1+p-1+(p-1)^2+(p-1)^3+(p-1)^4｝
=p^5(p+p^2-2p+1+p^3-3p^2+3p-1+p^4-4p^3+6p^2-4p+1)
=p^5(p^4-3p^3+4p^2-2p+1)
これがあってるとしたら、
Aが先に5勝を上げてから10勝する確率は、
p^5(p^4-3p^3+4p^2-2p+1)p^10(p^4-3p^3+4p^2-2p+1)｛1+(p-1)^5｝
=p^15(p^4-3p^3+4p^2-2p+1)^2(p^5-5p^4+10p^3-10p^2+5p+2) みんな親切にアドバイスをくれて本当にありがとう
難しく考えすぎてた部分もあったように思うので、以下のような考え方で納得しようとしてみたけどどうだろう？
1/10のように分子より分母の方が大きいときの意味は「1を10分割したときの1個あたりの数（0.1）」、つまり0.1を10倍すれば1
一方、1/0.1のように分子より分母の方が小さい（1未満の数字で割る）ときの意味は「1のなかに0.1がいくつあるのか（10）」
ところが次のような具体的な問題をやろうとするとよくわからなくなってしまう
例えば
2mあたり120円のリボンは1mあたりいくら？60円
1mあたり120円のリボンは1mあたりいくら？120円
0.8mあたり120円のリボンは1mあたりいくら？150円
このとき上の考え方（1のなかに0.1がいくつあるのか）で答えようとすると120のなかに0.8が150あるという理屈に縛られてしまって、どうも1あたりいくらか？っていう考え方が出来なくなってしまう >>644
A君が k+5回目に5勝目をあげる確率 (B君：k勝)
q_k = C(k+4,4) p^5 (1-p)^k,
A君が先に5勝目をあげる（B君：k勝)
→ B君が5勝未満の間に5勝
Q_5 = Σ[k=0,4] q_k
= p^5{1 + 5(1-p) + 15(1-p)^2 + 35(1-p)^3 + 70(1-p)^4}
= p^5･(126 - 420p + 540p^2 - 315p^3 + 70p^4),
A君が先に5勝目をあげ、かつ先に10勝する確率X
→ B君が 10-k 勝未満の間にあと5勝
X = Σ[k=0,4] q_k Q_{10-k}
ただし
Q_L = Σ[k=0,L-1] q_k
=１ - 5{(1-p)^L}C(4+L,5){1/L - [4/(L+1)](1-p) + [6/(L+2)](1-p)^2 - [4/(L+3)](1-p)^3 + [1/(L+4)](1-p)^4},
X = Q_5 - (p^5)(1-p)^10･{38251 - 133735(1-p) + 178245(1-p)^2 - 106945(1-p)^3 + 24310(1-p)^4}
= Q_5 - (p^5)(1-p)^10･(126 + 840p + 3270p^2 + 9705p^3 + 24310p^4), Ａ÷Ｂ＝ＣはＡ＝Ｃ×Ｂと解釈すればよいが、
掛け算の被乗数と乗数を入れ換えてもよい場合はＡ＝Ｂ×Ｃと解釈してもよい
どちらの解釈をしてもよいのならば、納得のいく方だけをイメージすればよい >>644
(2)
N=k+5回目にA君が5勝目をあげる確率 (B君：k勝)
q_k = C(k+4,4)･p^5･(1-p)^k
N=k+5回目にB君が5勝目をあげる確率 (A君：k勝)
C(k+4,4)･(1-p)^5･p^k
E[N] = E[k+5]
= Σ[k=0,4] (k+5)･C(k+4,4) {p^5･(1-p)^k + (1-p)^5･p^k}
= 5Σ[k=0,4] C(k+5,5) {p^5･(1-p)^k + (1-p)^5･p^k}
= 5Σ[k=0,4] {C(2k,k)/(k+1)} (p(1-p))^k (← カタラン数)
= 5{1 + p(1-p) + 2(p(1-p))^2 + 5(p(1-p))^3 + 14(p(1-p))^4}
M=k+10回目にA君が10勝する確率 (B君：k勝)
C(k+9,9)･p^10･(1-p)^k
M=k+10回目にB君が10勝する確率 (A君：k勝)
C(k+9,9)･(1-p)^10･p^k
E[M] = E[k+10]
= Σ[k=0,9] (k+10)･C(k+9,9) {p^10･(1-p)^k + (1-p)^10･p^k}
= 10Σ[k=0,9] C(k+10,10) {p^10･(1-p)^k + (1-p)^10･p^k}
= 10Σ[k=0,9] {C(2k,k)/(k+1)} (p(1-p))^k (← カタラン数)
= 10{1 + p(1-p) + 2(p(1-p))^2 + …… + 4862(p(1-p))^9}
E[N] / E[M] = ? lim_[x→∞](x/x)は1だけど、lim_[x→∞]{x*lim_[x→∞](1/x)}って0？
{lim_[x→∞]x}*{lim_[x→∞](1/x)}は不定？ lim_[x→∞]xは発散する
lim_[x→∞](1/x)は0
{lim_[x→∞]x}*{lim_[x→∞](1/x)}は「定義できない」という表現の方が誤解がなくて良い >>644
(3)
A君とB君のいずれかが V勝するまで繰り返すゲームを行なう。
ゲーム開始から終了までにコインを投げた回数Mの期待値は
E[M] = VΣ[k=0,V-1] {C(2k,k)/(k+1)}(p(1-p))^k,
E[M] / V → (1-|1-2p|)/{2p(1-p)} = min{1/p, 1/(1-p)} ≦ 2 (V→∞) 一辺の長さが1の正方形の穴Aが空いた平面Hと、一辺の長さが1の正八面体Vがある。
VをHに対してある角度だけ傾け、それを平行移動することにより、VをHに触れないようにAを通過させることが可能である。（そのような角度が存在する。1990東大）
では、同様な方法でVがAを通過するときを考える。
Vの周および内部で、Aを通過する部分の平面図形を考える。すなわち、VがAを通過中のある瞬間において、Aを含む平面と、Vの周および内部の領域との共通部分を考える。
それの面積は、Vが通り抜けるまでにどこかで最大値をとる。それはVの傾け方により異なるが、その最大値をSとするとき、max(S)およびmax(S)を与えるVの傾け方を述べよ。 >>663
【訂正】
それの面積は、Vが通り抜けるまでにどこかで最大値をとる。それはVの傾け方により異なるが、その最大値をSとするとき、min(S)およびmin(S)を与えるVの傾け方を述べよ。 >>665
n=kd
n^2-1=md
と仮定する。k,m,dは正整数で、kとmは互いに素。
(kd)^2-md=1
d(k^2-m)=1
d=1 前>>655
>>663-664
Aの向かいあう対頂点√2/2の点を四つとり、
正六角形の断面で正八面体を通せばAを通すことができないかと考えると、
ピタゴラスの定理より、
√｛1+(1-√2/2)^2｝=√(5/2-√2)＞√(2.5-1.41421357)=√1.08578643＞1
すなわち正六角形のあとの二頂点を先に挙げた対頂点を結ぶ対角線上にとることができると示された。
min(S)=√3/4×(1/√3)^2×6=√3/2
正八面体の向かいあう一対二面の向きがてれこの正三角形が平面Hと平行になるように傾けたとき >>665
n=kd
n^2-1=md
と仮定する。k,m,dは正整数で、kとmは互いに素。
(kd)^2-md=1
d(dk^2-m)=1
k,m,dは正整数だからd=1,dk^2-m=1
d=1かつkとmは互いに素だから、nとn^2-1は互いに素
どう？ >>655
Aが先に5勝を上げる確率= Σ[i=0,i=4] nCr(5+i,i) * p^5 * (1-p)^i) ではないですか？ 横レスだけど･･･
1～4勝目は 1～4+i 回目 のいつでもよいので nCr(4+i,i)
5勝目は必ず 5+i 回目
∴ Σ[i=0,4] nCr(4+i,i) * p^5 * (1-p)^i >>673
その通りですね。御指摘ありがとうございます。
>672は間違い。
シミュレーションで検算
●がシミュレーション、赤線が間違いのグラフ、黒線が正しいグラフ >>638
偉大な≦文化（尿瓶洗浄係の不等式） の解説を希望 尿瓶ジジイ＝プロおじ、どうせ誰も相手してくれないのにまだ頑張っていたか 複素平面上の点a[n]を
a[1]=1,a[2]=i
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
により定め、
b[n]=a[n+1]/a[n]
とおく。
(1)すべての点b[n]はある1つの円上にあることを示せ。
(2)∠b[n+2]b[n+1]b[n]の取りうる値の範囲を求めよ。ただし0≦∠b[n+2]b[n+1]b[n]≦πとする。 >>679
作図したらb[n]は中心0.5 半径√5/2の円上にあるという結果になった。 >>680
> which.max(B)
[1] 46
> angle(b[46],b[47],b[48])
[1] 3.141593
> which.min(B)
[1] 21
> angle(b[21],b[22],b[23])
[1] 0
0≦∠b[n+2]b[n+1]b[n]≦π >>683
プロおじが作った新概念
あまりにも深いため本人による説明が求められている ベクトル場AがAx=y+z,Ay=z+x,Az=x+yで与えられるとき-grad u=Aなるスカラー場uを求めよ。またAの流線群の従う方程式をパラメータtを適切に選んで書け。 - u = xy + xz + yz
x'= y+z, y'= z+x, z'= x+y
z"= x'+y'= x+y+2z = z'+2z
z"-z'-2z = 0 = (D+1)(D-2)z
あとはいいだろ >>679
(1) フィボナッチ数を使えば
a[n] = F[n-2] + F[n-1]ｉ,
|a[n]|^2 = F[n-2]^2 + F[n-1]^2 = F[2n-3],
1/a[n] = (F[n-2] - F[n-1]ｉ)/F[2n-3],
b[n] = a[n+1]/a[n] = {F[2n-2] - ｉ(-1)^n}/F[2n-3],
|b[n] - 1/2|^2 = |a[n+1]/a[n] - 1/2|^2
= {(F[2n-2] - F[2n-3]/2)^2 + 1}/(F[2n-3]^2)
= 5/4 + (F[2n-2]^2 - F[2n-2]F[2n-3] - F[2n-3]^2 + 1)/(F[2n-3]^2)
= 5/4 + (F[2n-2]^2 - F[2n-1]F[2n-3] + 1)/(F[2n-3]^2)
= 5/4,
*) F[m]^2 - F[m+1]F[m-1] + (-1)^m = 0, >>687
フィボナッチ数を使うと鮮やかに解けますね
漸化式を解くか数学的帰納法しか考えていませんでした
ありがとうございました >>682
nCr(a,b) := gamma(a+1)/(gamma(b+1)*gamma(a-b+1)) >>689
プロおじ？
3C2(7,4)と3C2と(7,4)をそれぞれ計算して？ ベクトル場AがAx=x,Ay=y,Az=zで与えられるときAの面積分∫A・dSを円筒(z軸を軸とし半径R、高さh,0≦z≦h)の全表面上で積分せよ。ただし円筒の外側を表面とする。 >>684
どうやらプロおじとやらは説明できないみたいだね。そりゃそうか。だれも見たことないんただの数学もどきだもんね。 >673のようにnCr(a,b)の意味をちゃんと理解できる人は違和感なくレスに使用している。
偉大な≦文化（尿瓶洗浄係の不等式)は理解不能 >>689
最新のRはパイプにも対応したので
nCr = \(...){
x=c(...)
a=x[1]
b=x[2]
gamma(a+1)/(gamma(b+1)*gamma(a-b+1))
}
と定義した方が(・∀・)ｲｲ!!
早速、実行
> nCr(10,3)
[1] 120
> nCr(3.14,-0.5)
[1] 0.2857632
> c(10,3) |> nCr()
[1] 120
> nCr(pi,log(2))
[1] 2.522121
> c(pi,log(2)) |> nCr()
[1] 2.522121
π個からlog(2)個をとる出す組み合わせの数って何を計算しているのか、さっぱりわからんけど。
まあ、実数に拡張されていることだけは理解できる。何の役に立つかは知らん。 プロおじは一矢報いようと「偉大な≦文化」というタイポを攻撃しているが、
これが単純なタイポなのに対し、nCr(a,b)は本気で間違えてたという違いがあることに気付いているのだろうか？ プロおじはたぶん本気でnCr(a,b)などと書いていて
間違いを認めたくないから、後からwolframがどうのと「自分が間違っていない」理由を探してるんだろうな
さらに言えば、直してしまえば敗けを認めたことになるからか絶対に直さない (・∀・)ｲｲ!!とかいう顔文字、爺臭いって指摘されてからよく使うようになったね？ (≧∇≦)b
( ・∀・)ｲｲ!!
(・∀・)ｲｲ!!
がGoogle日本語入力にデフォルトで入っている。
うれしいにはヾ(｡>﹏<｡)ﾉﾞ✧*。が出てくる。 プロおじにピッタリの問題。
タイ子を除く多くのサザエさんの主な登場人物と名前の由来には、
魚介類や海に関するものから名前を付けたという傾向がある。
しかし、タイ子は鯛から名前を付けたのか、明太子の「太子」から名前を付けたのか不明である。
以下のデータを基に、タイ子の名前の由来をシミュレーションして、
タイ子の名前の由来は、どちらが高確率で正しくなるか考察せよ。
登場人物 名前の由来
フグ田サザエ サザエ
磯野波平 波
磯野フネ 舟か船
カツオ 鰹
ワカメ ワカメ
フグ田マスオ 鱒
フグ田タラ 鱈
ノリスケ 海苔
イクラ イクラ
アナゴ 穴子
磯野海平 海
ここに、厄介なのが
登場人物 名前の由来
フグ田ノリオ 海苔
石田鯛造 鯛
で、タイ子の名前の由来がどちらかであるかは
上の主な登場人物からは単純に推測出来ないことに注意。
もし、上のデータで足りなければ、wiki のサザエさんの登場人物を参考にしてもよい。
他にも上と同様な登場人物と名前の由来はある。 >>694
>>550
63 卵の名無しさん[sage] 2021/05/01(土) 10:32:19.42 ID:Zpyb+xVU
大小のサイコロを振って
大の目はx座標、小の目はy座標として
４点の座標を選ぶ
この４点を結んで形成される凸四角形の面積の期待値を求めよ。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
>罵倒は期待値が出せないと思うね。
>罵倒は期待値が出せないと思うね。
>罵倒は期待値が出せないと思うね。
>罵倒は期待値が出せないと思うね。
>罵倒は期待値が出せないと思うね。
解説お願いしまーすw >>702
脱字を補充できないのが尿瓶洗浄係。
当然、期待値も出せない。
できるのは尿瓶洗浄と罵倒のみ。
照明ｗ終わり >>703
尿瓶ジジイは日本語も数学も知ったかで自称医者w >>704
俺は臨床に従事しているから内視鏡スレでも開業医スレでも業界ネタが投稿できる。
尿瓶洗浄係じゃESDもやったことがないから
CSPで断端不明の議論には参加できない。
さっきも胃瘻チューブが抜けたと病棟よりコール。
内視鏡スレでの議論とおり再留置後にCTでfree air なしを確認して従来通りの使用可の指示をだしておいた。 >>703
誤字を補完できないプロおじは尿瓶洗浄係なの？ ↓この論文で代数体Kに対してl(K)というのが定義されてます
https://msp.org/pjm/1997/181-3/pjm-v181-n3-p08-s.pdf
K0=KとしてK(i+1)はKiのヒルベルト類体と定めます
K(i+1)=Kiとなる最小のiをl(K)と定めています
そのようなiが存在しなければl(K)=∞と定義してるのですが、有理数体上の有限次拡大でl(K)=∞の例ってどんなのがあるんですか？ >>705
そもそもスレタイも読めないんじゃ医者なんか務まらないねw 僕はプロおじが医者であることは疑ってないんだけど、絶対に診られたくない
どの地区の病院にいるかだけでいいから教えてほしい >>695
Σ[i=0,4] nCr(4+i,i) * p^5 * (1-p)^i
のグラフを書くのもパイプを使うと()対応でミスするのが減って、可読性がよくなったなぁ（独り言）
nCr = \(...){
x=c(...)
a=x[1]
b=x[2]
gamma(a+1)/(gamma(b+1)*gamma(a-b+1))
}
\(p) sapply(0:4, \(x) nCr(4+x,x)*p^5*(1-p)^x) |> sum() |> Vectorize() -> f
curve(f)
π個からlog(2)個をとる出す組み合わせの数って何を計算しているのか、さっぱりわからんのは変わらん。 プロおじ向けの問題です
nCr(a,b)に適切な定義を与え、それに基づいて以下の値を計算せよ。
与えた定義に基づくと計算不可能である場合は計算不可能と記せ。
必要ならば小数点以下第1位で四捨五入せよ。
（1）5C2(3,1)
（2）3C7(4,2)
（3）7C3(2,4)
（4）2nCn(2k,k)、ただしn,kは非負整数 >>708
臨床やっているから業界ネタはいくらでも書ける。
尿瓶洗浄業界のネタでも書いてみてはどうだ？ >>679
(2)
b[n] = a[n+1]/a[n] = (F[2n-2] -ｉ(-1)^n)/F[2n-3],
b[n+1] - b[n] = (F[2n] +ｉ(-1)^n)/F[2n-1] － (F[2n-2] -ｉ(-1)^n)/F[2n-3]
= {F[2n]F[2n-3] - F[2n-2]F[2n-1] +ｉ(-1)^n･(F[2n-3] + F[2n-1])}/(F[2n-1]F[2n-3])
= {1 +ｉ(-1)^n･(F[2n-3] + F[2n-1])}/(F[2n-1]F[2n-3]),
∴ (b[n+1] - b[n])の傾き = (-1)^n･(F[2n-3] + F[2n-1]),
tan(∠b[n+2]b[n+1]b[n]) = ((b[n+2]-b[n+1])/(b[n+1]-b[n]))の傾き
= (-1)^n / F[2n-1],
*)
F[m+2] + F[m-2] - 3F[m] = 0,
F[m+1]F[m-1] - F[m]^2 = F[m]F[m-3] - F[m-2]F[m-1] = (-1)^m,
F[m+2]F[m-2] - F[m]^2 = (-1)^(m-1), >>712
どの辺で医者やってるの？
もしかして東京？
それとも尿瓶洗浄？ >>712
スレタイ読めないのに業界ネタw
笑わせるね >>712
尿瓶洗浄専門おじさん、>>711に答えて y=e(x)/(1+sinx^2)のa≦x≦a+1の部分の長さをL(a)とする。
lim[a→∞] L(a)/e(x) を求めよ。 >>717
間違えました訂正します
y=e(x)/(1+sinx^2)のa≦x≦a+1の部分の長さをL(a)とする。
lim[a→∞] L(a)/{e(a+1)-e(a)} を求めよ。 収束せんやろ
e^x部分の寄与は定数になって分母と打ち消すんやろけど1/(1+sin^x)部分の長さが幅1だと長いところと短いとこで振動するやろ
幅πとかじゃないと無理やろ >>711
(1)
5C2(3,1) = (5C2)Ｃ{C(3,1)} = Ｃ(5C2, C(3,1)) = Ｃ(10,3) = 120,
(2)
3C7(4,2) = (7C3)Ｃ{C(4,2)} = Ｃ(7C3, C(4,2)) = Ｃ(35,6) = 1623160,
(3)
7C3(2,4) = (7C3)Ｃ{C(4,2)} = Ｃ(7C3, C(4,2)) = Ｃ(35,6) = 1623160,
(4)
n≧k のとき
2nCn(2k,k) = (2nCn)Ｃ{C(2k,k)} = Ｃ(2nCn, C(2k,k)) = ････
n≦k のとき
2nCn(2k,k) = {C(2k,k)}Ｃ(2nCn) = Ｃ(C(2k,k), 2nCn) = ････ >>714
久々に後頭下穿刺をやった。
透明な髄液を回収。 >>723
自称医者のくせにスレタイも読めないのか。 f : X → Y を写像とする。
f(X) := {y ∈ Y | ∃x ∈ X (y = f(x))}
ですが、
X = φ であるときに、
{y ∈ Y | ∃x ∈ φ (y = f(x))}
と書くのは許されるのでしょうか？
f(x) という記号は、 f のグラフを Γ としたときに、 (x, y) ∈ Γ を満たす y のことを表しています。
f : φ → Y であるときには、 (x, y) ∈ Γ となるような y は存在しないため、 f(x) という記号はナンセンスではないでしょうか？
{y ∈ Y | ∃x ∈ φ ((x, y) ∈ Γ)} と書くのは許されると思います。 数学は個人的な感想でルールが決まるわけではない
その答えが知りたいなら一階述語論理の文法を調べる
個人の感想などどうでもいい >>724
尿瓶洗浄係じゃ後頭下穿刺をしたことないだろなぁ。 >>728
スレタイも読めないんじゃ誰も信じてくれないだろうな。 >>728
地域教えてくれよ～
この程度で特定なんて絶対無理なんだからさ～ >>728
ここは数学板。
尿便洗浄の仲間が欲しいなら、他の板へ行け。 真面目な話、高齢者も若者もごちゃまぜにするって
おかしくない？
例えば、悠仁殿下が接種していないという事実はどうよ？
年齢を問わずに若者も接種が必要だと主張するのであれば
悠仁殿下も既に接種していないとおかしいのに…なぜ殿下に打たない？ 値Aは1000から10ずつ増加します
値Bは200から120ずつ増加します
増加させる権利を1000回持った場合にAとBそれぞれを何回増加させたらA*Bの値が最大になりますか？
求め方も教えて下さい y ’ > 0 より(*)
y ' < √{1+(y ')^2} < 1 + y ',
これを積分して
y(a+π) - y(a) < L(a) < π + y(a+π) - y(a),
だけど
y(a+π) - y(a) = (e^(a+π) - e^a)/(1 + sin(a)^2),
だからなぁ。。。 >>721
*) y = 2(e^x)/(3-cos(2x)) より
y ' の因子
(3 - cos(2x)) - 2sin(2x) = 3 - (√5)sin(2x+d) ≧ 3 - √5, >>733
それぞれ a回、b回増加させると
A = 1000 + 10a,
B = 200 + 120b,
AB = 3100800 + 61000(a+b) + 300(a+b)^2 … (I)
-100(b-a-98)^2 - 200(b-a-98)(b-a-99) … (II)
(I) が最大になるのは
a+b=1000 のとき。
(II) が最大になるのは
b-a=98 のとき
∵ (b-a-98)^2 ≧ 0,
(b-a-98)(b-a-99) ≧ 0,
これらより
a = 451, b = 549. >>733
ひたすら計算してグラフにする。
https://i.imgur.com/4PDonXt.png
> f <- \(n){
+ A=1000+10*n
+ B=200+120*(1000-n)
+ A*B
+ }
> n=0:1000
> plot(n,f(n),'l',bty='l')
> n[which.max(f(n))]
[1] 451
> f(451)
[1] 364100800
A=451のとき プロおじ向けの問題です
3次方程式
x^3-(n-2)x^2-nx+1=0
が相異なる3つの実数解をもち、そのいずれも整数でないように、正整数nの範囲を定めよ。 実数だと
a=2705/6のとき最大値1092302500/3 プロおじが医者やってる地域教えてくれよ～
この程度で特定なんて絶対無理なんだからさ～ >>743
なんで偏微分？
AB=(1000+10*x)*(200+120*(1000-x)) だから一変数じゃないの？ d/dx((1000 + 10 x) (200 + 120 (1000 - x))) = -400 (6 x - 2705) >>732
感染を広げている若者に優先して接種すべきだと思うが、
人体実験的な要素があるからなぁ >>744
あ、ごめん！
従属するからこれ1変数の問題じゃん。
グラフ描いて頂点の位置を求めておしまい。 1000回の権利を使い切ってない場合のABは 残りの権利も使った場合より小さいので、
最大ではないことが分かります。
∴ ABが最大になるのは1000回使い切った場合に限ります。
それを考えれば１変数の問題と見ていいね。 高校1年生用の対偶証明に出された問題
x整数、x^2+x-1が3の倍数になるときxが3の倍数であることを証明せよ
確かに対偶証明は簡単だけど
x^2+x-1って3の倍数になる整数xって存在しない
その存在しないものは3の倍数なんですかと言われて詰んだけど
さてどう説明しようhelp
A→BはnotAvBなんだよを説明してさらに混乱させるしかないか おかしいと思います
高校の段階で前件が常に偽となるようなものなんて出すのが間違えです
まあでも集合の包含関係使って納得させるしかないでしょうね
その哲学的意味は、形式論理学べとかしか言えませんけど ちなみに、xは3の倍数である、をxは3の倍数でない、としても成り立つので、その存在しない整数は、3の倍数であり3の倍数ではないのです
こういうナンセンスな議論を避けるには、やはり前件が偽のときの論理包含の定義をしっかりしないといけないはずで、それは高校範囲外なので問題がおかしいのです 松坂和夫さんは、以下のような説明をしていたと思います。（正確にどんな文だったかは忘れました。）
・明日、晴れていたら出かけよう
明日、雨であったら、出かけても、出かけなくても、嘘をついたことにはならない。
明日、晴れているにもかかわらず出かけなかったときだけ、嘘になる。
みたいな強引な説明でした。
あまりいい説明だとは思いません。
こういうルールにすると便利みたいな説明もありますね。
正直言って、この件について、良い説明を見たことがありません。 >>750
x^2 + x - 1 が 3 の倍数であるならば、 x は 3 の倍数である。
この問題の良くないところは、「x は 3 の倍数である。」の部分だと思います。
ここには、どんな命題を書こうが構わないわけです。
では、なぜ、「x は 3 の倍数である。」を選んだか？
特別な理由がありません。 「x^2 + x - 1 が 3 の倍数」が常に偽であることに気づかないと、一見すると高校生が普段普通に見るような問題に思えます。
そう思わせるために、「x は 3 の倍数である。」などというそれらしいものを選んだのだと思います。
出題者の性格の悪さがにじみ出ているような問題です。 「x が 3 の倍数でないならば、x^2 + x - 1 が 3 の倍数でない」が真なので
「x^2 + x - 1 が 3 の倍数である、ならば、 x が 3 の倍数である」が真
「x が 3 の倍数であるならば、x^2 + x - 1 が 3 の倍数でない」が真なので
「x^2 + x - 1 が 3 の倍数である、ならば、 x が 3 の倍数でない」が真
「x^2 + x - 1 が 3 の倍数である、ならば、 x が 3 の倍数である」が真
かつ
「x^2 + x - 1 が 3 の倍数である、ならば、 x が 3 の倍数でない」が真
なので
「x^2 + x - 1 が 3 の倍数である」を仮定すると、「x が 3 の倍数である」と「x が 3 の倍数でない」がともに真
よって、背理法によって「x^2 + x - 1 が 3 の倍数である」が偽 >>740
x=0, x=-1 は解とならないから、与式は
(x^3 +2x^2 +1)/(x(x+1)) = n,
と等価である。そこで
f(x) = (x^3 +2x^2 +1)/(x(x+1)) (x≠0,-1)
= x + 1 - 2/(x+1) + 1/x,
とおく。
x<-1 では単調増加
-1<x<0 では 増加から減少に変わる。
・極大
f(-0.393915461472564) = -5.23240091788550
0<x では減少から増加に変わる。
・極小
f( 0.783570981288010) = 1.93843365339584
・漸近線 y = x+1
n=1 では実数解は１つしかない。(-1.8392867552)
n>1 では相異なる3つの実数解をもつ。
n=2 では実数解 1, -φ, 1/φ をもつ。(1つ整数解)
n>2 ではたぶん整数はないと思う。 >>760
うん
「x^2 + x - 1 が 3 の倍数である、ならば、 x が 3 の倍数である」が理解できない者が論理を語るという神経が、さっぱりわからない まぁ一応命題
「xが整数でx^2 + x - 1 が 3 の倍数である、ならば、 x が 3 の倍数である」
は真だし証明可能だし高校数学の範囲内ではあるわな
しかし無用な混乱避けるために受験本番はおろか、定期考査ですら出題されることはないやろけどな >>761
対偶と裏の区別もできない人のことはどう思いますか？ 3の倍数の奴
数研出版のクリアに載ってるという
n=3k、n=3k+1、n=3k+2全部代入して｢先生、3の倍数になりません！｣と問題と解答持ってきて質問された時一瞬混乱させられて笑ってしまった
なお対偶証明のやり方がわからなかった模様 あ、感謝の言葉書き忘れた
ありがとう参考になりました
俺だけで悩んでも、ねえ
>>754
お名前は覚えていなかったですがその方がおっしゃったですか
マジでその例でまやかすところでしたわ 〔補題〕
xが整数ならば x^2 + x - 1 は3の倍数でない。
2 は mod 3 では平方非剰余 だから
x^2 + x - 1 = (x-1)^2 + 3x - 2 ≡ (x-1)^2 - 2 ≠ 0 (mod 3)
x ≡ 0,2 のとき余り 2, x≡1 のとき余り 1 でもいいけど｡｡｡ >>749
ありがとう。
なぜか2変数と勘違いしてた。
偏微分が必要なのは以下だね。
f(x_1,x_2) = (1000 + 10x_1)(200 + 120x_2)
の実数解 (x_1, x_2) を求める場合か。
(x_1 軸と x_2軸に沿ってそれぞれの極値がとれる座標) ＞A→BはnotAvBなんだよを説明してさらに混乱させるしかないか
ドモルガンの法則を前提にするなら
A⇒B は ￢（A∧￢B) ≡ ￢A∨B と説明するとなんとなく納得できる。 トートロジー２例
P⇒(Q⇒P)
尿瓶洗浄係であるならば（罵倒厨は尿瓶洗浄係である）
(￢P⇒P)⇒Q
（罵倒厨でないならば罵倒厨である）ならば罵倒厨は尿瓶洗浄係である。 L/K, M/Lが不分岐拡大ならM/Kは不分岐であるって成立するよね？ wikipedia では
n algebraic number theory, the Hilbert class field E of a number field K is the maximal abelian unramified extension of K. Its degree over K equals the class number of K and the Galois group of E over K is canonically isomorphic to the ideal class group of K using Frobenius elements for prime ideals in K.
とあります
ramificationの項のadditional number theoryの節では
O_kの素イデアルpに対してO_lでの素イデアル分解
pO_l = p_1^(e_1)‥p_k^(e_k)
を与えた後
Then p is said to ramify in L if {e_{i}>1} for some i; otherwise it is unramified.
と説明してます
では
「L/Kがunramified ⇔ ∀p Kの素イデアルに対しpはLで不分岐」
で桶ですか？ おい、尿瓶プロおじ
まだnCr(a,b)の解説できないのかよ 1-a*z-a*z^2=0のすべての解が|z|>1となるようなaの範囲を教えて下さい 確率の乗法定理について質問です。
A が起こったときの B の条件付き確率 P_A(B) は、
P_A(B) = P(A∩B) / P(A)
で定義されます。
ところが、乗法定理を使って、 P(A∩B) を計算したりします。
これは循環論法ではないですか？
P(A∩B) を計算するには、 P_A(B) が必要で、 P_A(B) を計算するには、 P(A∩B) が必要です。 「個々の数値は不明でも比の計算は可能」なんて状況はありふれたことだろ
松坂くんは数学の前に算数をやり直した方がいい トランプのカード52枚の中から、1枚ずつ、つづけて２枚引く。ただし、1枚目に引いたカードはもとにもどさないものとする。
このとき、2枚ともハートである確率は次のようになる。
1枚目がハートである事象を A,
2枚目がハートである事象を B
とする。
P(A∩B) を求めよ。
P(A) を求めるには、2枚目はどのカードでもよいので、1枚目に着目して、カード52枚の中にハートが13枚あると考えて、
P(A) = 13/52 = 1/4
1枚目がハートであるとき、残り51枚中、ハートは12枚だから、 A が起こったときの B の条件つき確率は、
P_A(B) = 12/51 = 4/17
よって、2枚ともハートである確率は、乗法定理により、
P(A∩B) = 1/4 × 4/17 = 1/17 2枚ともハートであるような引き方の数は、 13*12 通りある。
2枚を引く引き方の数は、 52*51 通りある。
∴ P(A∩B) = (13*12)/(52*51) >>778
の解答で十分なはずです。
>>778
に出てくる数字をわざわざ分けて、 P(A), P_A(B) に割り振る必要などないはずです。 確率の乗法定理は、世界で一番証明するのが簡単かつ世界で一番役に立たない定理ですよね。 >>774
(i) a=0のとき
解なしより適
(ii) a≠0のとき
与式⇔1/a = x^2+x = (x+1/2)^2-1/4
右辺のグラフの形状より
1/a>2、すなわち0<a<1/2なら適、
-1/4≦1/a≦2、すなわちa≧1/2,a≦-4なら不適
-4<a<0の場合は虚数解ゆえ解の絶対値は等しくその値は解と係数の関係より√|1/a|
よって条件は√|1/a|>1⇔-1<a<1⇔-1<a<0
以上により求めるaの範囲は-1<a<1/2 >>781
ありがとうございます、解の公式使って変形だけかと思ったら難しいですね…
統計検定準1級の問12(1)の問題で条件よく見たらa<0があったの見落としてました
これって3次以上（1-az-az^2-az^3-...=0）でも解けるんでしょうか？
https://www.toukei-kentei.jp/wp-content/uploads/201906grade1semi.pdf >>782
aが実数だと書いてない場合、aを複素数と考えて解答するのが普通
a複素数でやりなおし よろしくお願いします
——
A,A,B,B,C,Cを1列に並べる時、同じ文字が隣り合わない並べ方は何通りあるか？
——
一応以下のように考えましたが、整理しきれませんでした。
全体から隣合う並べ方を引けば良いと考えました
(i)全ての並べ方
6!/(2!*2!*2!)=90 通り
(ii)文字が隣合う並べ方
Aが隣合う並べ方は
5!/(2!*2!)=30 通り
同様にB,Cも30通りずつある…(1)
(1)から重複するパターンを引くと考えましたが、ここで思考停止しました あれ、もしかして
AもBも隣合う場合が
4!/2!=12 通り
同様にAもCも、BもCも隣合うの並べ方もそれぞれ12通り
ここからA,B,C全てが隣合う並べ方(3!=6通り)を引けば良い
つまり
90 - (30 * 3 - ((12 * 3) - 6)) = 30 通り
これで良い気がしました。
指摘または、もっとシンプルな考え方があればお願いします。 nを2以上の自然数とする。xについての方程式
x^n-nx+1=0
が持つ実数解の個数を、nの値で場合を分けて答えよ。 >>789
n=1→0個
n=2→2個(重解)
n≧3の時
x>0においてf(x)=x^n_nx+1は下に凸 f(0)=1>0, f(1)=2-n<0, f(2)=2^n-n+1>0により解は2個
x<0, n:偶数なら解なし
x<0, n:奇数ならf(x)は下に凸f(0)>0, f(-2)=-2^n+2n+1<0より一個
以上により
n≧3,奇数→3個
n≧3,偶数→2個 n=2のときは1つ
nが3以上の奇数のとき
f(x)=x^n-nx+1はx=±1で極値をとり
f(-∞)<0,f(-1)>0,f(1)<0,f(∞)>0なので実数解は3つ
nが4以上の偶数のとき
f(x)=x^n-nx+1はx=1のみで極値をとり
f(1)<0,f(±∞)>0なので実数解は2つ >>788
シンプルかどうかは分からないけど、ある意味でイメージ化した方法
一回目のAをx軸方向への+1の移動。二回目のAをx軸方向への-1の移動。
一回目のBをy軸方向への+1の移動。．．．と考えると、
「立方体のある頂点から、隣接頂点への移動を、6回繰り返した時、元の頂点に戻ってきた。
ただし、Uターンに相当する隣接頂点への移動はできない。 考えられるルートはいくつあるか？」
と言う問題に置き換えられる。
(0,0,0)から(1,1,1)に至り、戻ってくるパターンと
x軸を共有する二つの面の周の辺をグルリと回ってくるようなパターンが考えられる。
前者は、行く時は6通り、帰る時は、（Uターンができないため）4通りあり、合計24通り
後者は、同様なコースが、3通りあり、向きも時計回り、反時計回りとあるので6通りあって、
合計30通り >>787
いつも通りやろうとして混乱したんで提出
まずAを並べる AA
次にBを隣り合わないように入れるABAB
次にCを隣り合わないように入れるACBCAB
は1*3C2*5C2=30通りとなるが
ABCBAC←数えられてなくね？ Cを挿入した段階で、どれも隣合っていなければ良いので、
Bを挿入した時点で、ABBAであってもいいし、AABB等も可。
ただしこのような場合、一部あるいは全てのCは、入る場所が決められてしまう。 あ、わかったBCAACB系を余分に数えてるな
すまなかった >>787
ABから始まるパターンは5パターンある。
ABCBAC
ABCBCA
ABCABC
ABCACB
ABABC → ×
ABACBC
よって、 3*2*5 = 30 パターンある。 >>789
f(x) = x^n - nx + 1 とおくと
f '(x) = n{x^(n-1) - 1}
x=1 で極小
f(1) = 2-n ≦ 0,
nが奇数のときのみ x=-1 で極大
f(-1) = (-1)^n + n + 1 > 0,
0<x≦1 と 1<x に各１個ずつ実数解がある。(n=2 のときは合わせて1個)
nが偶数(≠2) のときは 2個
nが奇数のときは x<-1 にもあるので 3個 ありがとうございます。
正直>>796以外ふんわりとした理解しか出来ませんでした…
中学生の問題だったのですが数Aを下手に齧ったせいで、自分は難しく考えてしまったようです。
でも間違えては無さそうなので安心しました。
もう一問分からない問題があるので、次は小中向けスレッドでまた今度質問します。 >>787
書き出して数えてみる
[1] ABCABC ABCACB ABCBAC ABCBCA ABACBC ACBABC ACBACB ACBCAB
[9] ACBCBA ACABCB BACABC BACACB BACBAC BACBCA BABCAC BCABAC
[17] BCABCA BCACAB BCACBA BCBACA CABABC CABACB CABCAB CABCBA
[25] CACBAB CBABAC CBABCA CBACAB CBACBA CBCABA
30通り >>787
改題
A,A,A,B,B,B,C,C,Cを1列に並べる時、同じ文字が隣り合わない並べ方は何通りあるか？
答. 174通り
解法は列挙して数えただけ。 >>801
AB で始まる同じ文字が隣り合わないパターンを数える：
ABCA***** … >>787 の解答より、10通り
ABCB***** … >>787 の解答より、10通り
ABABA**** … こういうパターンは同じ文字が隣り合ってしまう。
残りの AB で始まる同じ文字が隣り合わないパターンは以下の9通り：
ABABCACBC
ABABCBCAC
ABACABCBC
ABACACBCB
ABACBACBC
ABACBCABC
ABACBCACB
ABACBCBAC
ABACBCBCA
以上から、同じ文字が隣り合わないパターンの数は、
3*2*(10*2 + 9) = 174 通り >>803
のコードで、 A, B, C の文字数が 2, 3, 4, 5 の場合のパターンの数を計算しました：
30
174
1092
7188 >>803
これ凄いなぁ。
A,B,Cの数が不均等の時でも対応している。
A,A,B,B,B,C,C,C,Cを1列に並べる時、同じ文字が隣り合わない並べ方は何通りあるか
も79通りと計算してくれる。 >>807
その数なら列挙できそうなのでやってみる
> re |> apply(1,\(x) paste0(x,collapse='')) |> noquote()
[1] ABCACBCBC ABCBCACBC ABCBCBCAC ACABCBCBC ACACBCBCB ACBACBCBC
[7] ACBCABCBC ACBCACBCB ACBCBACBC ACBCBCABC ACBCBCACB ACBCBCBAC
[13] ACBCBCBCA BACACBCBC BACBCACBC BACBCBCAC BCABCACBC BCABCBCAC
[19] BCACABCBC BCACACBCB BCACBACBC BCACBCABC BCACBCACB BCACBCBAC
[25] BCACBCBCA BCBACACBC BCBACBCAC BCBCABCAC BCBCACABC BCBCACACB
[31] BCBCACBAC BCBCACBCA BCBCBACAC BCBCBCACA CABACBCBC CABCABCBC
[37] CABCACBCB CABCBACBC CABCBCABC CABCBCACB CABCBCBAC CABCBCBCA
[43] CACABCBCB CACBABCBC CACBACBCB CACBCABCB CACBCBABC CACBCBACB
[49] CACBCBCAB CACBCBCBA CBABCACBC CBABCBCAC CBACABCBC CBACACBCB
[55] CBACBACBC CBACBCABC CBACBCACB CBACBCBAC CBACBCBCA CBCABACBC
[61] CBCABCABC CBCABCACB CBCABCBAC CBCABCBCA CBCACABCB CBCACBABC
[67] CBCACBACB CBCACBCAB CBCACBCBA CBCBABCAC CBCBACABC CBCBACACB
[73] CBCBACBAC CBCBACBCA CBCBCABAC CBCBCABCA CBCBCACAB CBCBCACBA
[79] CBCBCBACA >>808
プログラム言語が違うこともわからずに自演認定するのは尿瓶洗浄係と推定される。 自分に都合の悪い書き込みは全て尿瓶洗浄係に認定するプロおじ草 自分に都合の悪いレスは全て同じに見える病気なんだろ、尿瓶プロおじは プロおじ向けの問題です
√2の小数点以下2021桁目の数字を求め、√2が無理数であることを証明せよ。
後半はプロおじにはできないと思うな。 N = floor( (10^2021)*√2 ) の一の位
N - 10*floor(N/10)
2
背理法
√2 は有理数と仮定し、√2 = p/q とおく。
pp = 2qq,
2の指数を見ると、左辺は偶数、右辺は奇数
矛盾。 >>804
漸化式
a(n) = {(n+1)(7n-4) a(n-1) + 8(n-2)^2 a(n-2)}/[n(n+1)],
a(n) ～ 9(√3)*2^(3n-2)/(π^n) (n>>1)
http://oeis.org/A110706
http://oeis.org/A190917 【応用問題】
赤、赤、赤、白、白、白、黒、黒、黒のビーズを連結してブレスレットを作る。
隣り合うビーズの色は同じ色であってはならない。
回転や裏返しで同じものは一種類と数えるとき、何種類作成可能か？
ブレスレットをすべて図示せよ。 >>819
プロおじの数学力測定問題
√(n^2-n-1)が実数になる整数nの範囲を求めよ。同様に無理数になるような整数nの範囲を求めよ。
求める過程を丁寧に説明すること。 >>819
プロおじ考案のnCr(a,b)について自ら定義を与え、それに基づいて7C2(4,1)を計算せよ。 >>819
【発展問題】
赤、赤、赤、白、白、白、白、黒、黒、黒、黒、黒の１２個のビーズを連結してブレスレットを作る。
隣り合うビーズの色は同じ色であってはならない。
回転や裏返しで同じものは一種類と数えるとき、作成可能なブレスレットは何種類か？ >>821
7C2(4,1) = (7C2)Ｃ{C(4,1)} = Ｃ(7C2, C(4,1)) = Ｃ(21, 4) = 5985 >>816
後半が解けないやつは
整数論 中退だろ、保育園からやり直すべきwwww プロおじだけ
チヤホヤされててずるい、えこひいき！！？ おいプロおじ
いつまで数学ごっこやってるつもりだよ
日本語もろくに分かってない分際で >>823
7C2*(4,1)と解釈される可能性については？ 感度と陽性的中率の調和平均をとった指標って医学では使われないの？
工学ではF値って名前で使われるみたいだけど。
真陽性/(真陽性+(偽陽性＋偽陰性)/2) ってな感じで感度、特異度のトレードオフを考慮した指標 治験段階とかでは使うのかもしれないけど“医療統計”としての指標としては使わんでしょ？
そもそも“偽陽性”＝“陰性となるべき事例で陽性になる率”は対象になってる“検査法”と比較できるより信頼できる“検査法”を並べてそ“検査法そのもの”を測るための指標
検査法そのものの“信頼度”を測るためには用いるかもしれないけど、今巷で話題になってる“市中感染の広がり具合”を測るための指標としてはなんの意味もない >>827
赤5個、白5個、黒5個のときは174種類になった。>826の数値を変えて実行したのと合致。
配列の一例：
https://i.imgur.com/UdT7k7S.png >>832
陽性的中率は有病率の影響を受けちゃうから、検査比較の指標としてはあんまり使われないなぁ。
陽性尤度比/陰性尤度比は有病率の影響を受けないのでDOR（診断的オッズ比）として推奨する人もいる。 >>835（補足)
DOR=(TP/FP)/(FN/TN)=TP*TN/(FP*FN)
診断的オッズ比＝陽性尤度比/陰性尤度比＝(真陽性＊真陰性)/(偽陽性＊偽陰性)＝(感度＊特異度）/{(１－特異度)*(1-感度）｝
インフルエンザだとPCRがDOR１００で迅速抗原検査がDOR２５くらい。
どの症状の組み合わせがDORが高いかを検討した論文があったが、迅速抗原検査を凌駕するような組み合わせは無し。 はっきり言えば、私が迷惑行為を繰り返すこいつらチンピラにどれだけ
頭に来ているかをこいつらは理解できていないし、そういうことをさせている
馬鹿なチンピラじじーの頭はおかしい >>836
空気もスレタイも読めない尿瓶ジジイはお引き取りを。 AくんとBくんでじゃんけんをし、グーで勝った場合は3点、チョキで勝った場合は5点、パーで勝った場合は6点もらえるものとする。
Aくんは、確率pでグーを、確率qでチョキを、確率1-p-qでパーを出す。
ただし0≦p≦1、0≦q≦1、0≦1-p-q≦1 とする。
（1）プロおじはまず、nCr(a,b)に適切な定義を与え、それに基づいて7C3(4,2)を計算せよ。計算不可能な場合はその理由を述べよ。
（2）Bくんはどのような確率でグー、チョキ、パーを出すことに決めれば、得られる得点の期待値を最大化できるか。 >>836
コロナ前の話だが、
その症状の組み合わせと尤度比が掲載されたJAMAの論文のデータを使って問診票を作成して、インフルエンザの診断に寄与するかの計算をしたことがあるが、
インフルエンザ迅速抗原検査とあんまり一致しなかった記憶がある。役に立たたないので使わなくなった。
https://jamanetwork.com/journals/jama/article-abstract/200419 以下の条件を満たす実数a,bの満たす条件を述べ、ab平面においてその条件が表す領域の面積を求めよ。
・xy平面上の放物線C:y=x^2+ax+bは放物線D:y=-x^2と相異なる2点で交わり、その交点間の距離は1以下である。
・Cの頂点とDの頂点の距離は4以下である。 n=0,1 のとき nn-n-1=-1, ±i (ガウス整数)
n≠0,1 のとき
nn-n-1 = (n+1)(n-2) + 1 ≧ 1, 実数。
√(nn-n-1) が有理数のとき
√(nn-n-1) = p/q, (p,qは互いに素)
qq(nn-n-1) = pp,
p,qは互いに素だから q=1,
nn-n-1 = 1,
(n+1)(n-2) = 0,
n=-1, n=2,
無理数となるのは n≠-1,0,1,2
〔問題〕
nが整数のとき |nn-n-1| ≧ 1, >>845 修正
q=1 から nn-n-1 = pp
n<-1 のとき
nn < nn-n-1 < (n-1)^2 で不適。
n>2 のとき
(n-1)^2 < nn-n-1 < nn で不適。
n=-1,2 のとき
nn-n-1 = (n+1)(n-2) + 1 = 1, p=1
〔問題〕
(nn-n-1)^2 - 1^2 = n(n-1){n(n-1)-2}
= (n+1)n(n-1)(n-2)
≧ 0,
(n=-1,0,1,2 のとき 0 で、その他のとき 正) >>848
んで、モンテカルロ法で面積の概算値を出すと
> mean(f(a,b))*s
[1] 2.207892
不等式で判定できるときはモンテカルロ法での立式が容易で(・∀・)ｲｲ!!
但し、偉大な≦文化（尿瓶洗浄係の不等式）は除く。 プロおじって尿瓶洗浄とか偉大な≦文化とか、ずっと同じこと言ってるけどなんで？ あと意固地になって化石みたいな顔文字使い続けてるけど、本当爺臭いからやめた方がいいと思うよ Google日本語変換に標準で入っていて( ・∀・)ｲｲ!! >>853
残念ながら尿瓶洗浄係の不等式を使っても算出できないんだよ。 >>855
だからなんだよ
爺臭いこととなにか関係ある？ >>850
あなたが高校生にドヤ顔で二項係数を説明しようとしたとき、なぜこのような複雑怪奇な記号を発明wしたのか教えて下さい。
7C2(5,3)は定義できますか？ >>849
すいません数値解は無価値なんです無駄な時間ご苦労さまでした
高校数学で解けるので、お手数ですが再度お時間をとっていただき、立式と論証と計算をしてください t,各a_k,b_k(1≦k≦n)は実数とする
0≦t≦1かつΣ_[k=1,n](a_k)^2≦1かつΣ_[k=1,n](b_k)^2≦1のとき
コーシー・シュワルツの不等式を使って次の不等式を証明せよ
Σ_[k=1,n]{a_k*(1-t)+b_k*t}^2 ≦ 1 >>859
数字で始まる関数はRでは定義できないよ。
他のプログラムでもそうじゃないかな？
英文でも行頭の数字は避ける。 >>860
いや、作図したりプログラム解を出すのが楽しくて( ・∀・)ｲｲ!! >>859
複雑怪奇ではなく、Wolframもちゃんとchooseの意味と解釈して計算するよ。 >>865
wolframはGoogle検索でいうところの「もしかして？」機能を実装してるから、nCr(a,b)はそれにひっかかっただけだよw
違うというなら、nCr(a,b)とnCr*(a,b)と(nCr,(a,b))の違いを述べてくれないかな？ >>862
それぼくが先に聞いたんだけど
脈絡もないし大丈夫？ 爺臭いって言われた顔文字連発しててどれだけ性根がネジ曲がってるかよくわかるな ここはWolframじゃねえし
>>1にここではこう書いてくれってテンプレあるし
> 数学@5ch掲示板用
> ☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
> http://mathmathmath.dotera.net/ プロおじはたぶん本気でnCr(a,b)などと書いていて
間違いを認めたくないから、後からwolframがどうのと「自分が間違っていない」理由を探してるんだろうな
さらに言えば、直してしまえば敗けを認めたことになるからか絶対に直さない >>869
プロおじはスレタイも読めないんだからそんなもん読めるわけないだろ >>865
スレタイも読めないんじゃ話にならないねw プロおじ向け 数学力測定問題
pを素数とする。
ap^(1/3)+bp^(1/2)+cpが整数となるような整数a,b,cをすべて決定せよ。
求めるだけでなく、論証の過程も記述すること。
これできなかったらプロおじの数学力高校生以下が確定する >>874
式変形のヒントを与えたとすれば大学入試にそのまま出せるレベル
院試レベルの知識は全く必要ない ap^(1/3) + bp^(1/2) = n (整数) としてよい。
ap^(1/3) = n - bp^(1/2),
両辺を3乗する。
(a^3)p = n^3 + 3bbpn - b(3nn+bbp)p^(1/2),
移項して2乗する。
{b(3nn+bbp)}^2・p = (n^3 + 3bbpn - a^3･p)^2
右辺のpの指数は偶数(0も含む)ゆえ
b(3nn+bbp) = 0,
b = 0,
ap^(1/3) = n,
両辺を3乗する。
(a^3)p = n^3,
右辺のpの指数は3の倍数(0も含む)ゆえ a=0,
∴ a=b=0, cは任意。 >>861
コーシーで
{a_k*(1-t) + b_k*t}^2 ≦ {|a_k|*(1-t) + |b_k|*t }^2
≦ (|a_k|^2 + |b_k|^2){(1-t)^2 + t^2}
あとは
(1-t)^2 + t^2 = 1 -2t(1-t) ≦ 1, (0≦t≦1)
に注意。 >>861 (訂正)
コーシー使わずに
{a_k*(1-t) + b_k*t}^2 = (a_k)^2･(1-t) + (b_k)^2･t - (a_k-b_k)^2･t(1-t)
≦ (a_k)^2･(1-t) + (b_k)^2･t,
かな。 >>861 (続き)
コーシーで
{a_k*(1-t) + b_k*t}^2 ≦ {(a_k)^2*(1-t) + (b_k)^2*t}{(1-t) + t}
だな… >>844
C,Dの交点を P(p,-pp) Q(q,-qq) とおく。
xx+ax+b - (-xx) = 2(x-p)(x-q),
p+q = -a/2,
pq = b/2,
(p-q)^2 = aa/4 -2b,
(PQ)^2 = (p-q)^2{1+(p+q)^2}
= (aa/4 - 2b)(1 +aa/4)
0 ≦ PQ ≦ 1 より,
aa/8 - 2/(4+aa) ≦ b ≦ aa/8, … (E)
Cの頂点 (-a/2, b-aa/4) Dの頂点(0,0)
CD^2 = aa/4 + (b-aa/4)^2 ≦ 16,
b ≧ aa/4 - (1/2)√(64-aa), … (F)
E,F の交点 (a1, 3) (a2, √17-1)
|a| < a1 = √{2(5+√53)} = 4.955826851 のとき
aa/8 - 2/(4+aa) ≦ b ≦ aa/8,
2∫[0, a1] 2/(4+aa) da = 2 arctan(a1/2) = 2.37444031
a1 < |a| < a2 = √{8(√17 -1)} = 4.99848427
2∫[a1, a2] {-aa/8 + (1/2)√(64-aa)} da
= [ -(1/12)a^3 + (1/2)√(64-aa) + 32arcsin(a/8) ](a1,a2)
= 0.00299211
これらを合わせて、求める面積は
2.37743242
かな 下の文章に、「you might think that both events depend on the first coin.」と書いてある箇所があります。
何が言いたいのかが分かりません。
2つの事象が両方とも1枚目のコインに依存しているというのはどういうことでしょうか？
2つの事象 A, B が独立であるということを言っている文脈で、なぜ、「あなたは、事象 A, B が共に1枚目のコインに依存していると考えるかもしれない」という話が出てくるのでしょうか？
For example, suppose that we flip two fair coins and that the outcomes are independent.
Then the probability of two heads is (1/2)*(1/2) = 1/4. Now suppose that one event is that
the first coin comes up heads and the other event is that the coins come up differently.
Each of these events occurs with probability 1/2, and the probability that both events occur is 1/4;
thus, according to the definition of independence, the events are independent - even though
you might think that both events depend on the first coin. その文章、それで終わりなの？
その先があるんじゃ？ >>881
こんな意味不明なアメリカ語を書き込むキチガイより
山の美しさを語れる人間に私はなりたい。 御覧の通り、東アジアの例に漏れず日本も、欧米と比して素朴な質問に対して素直な解答はせずマウント取りから始まる｡
日本人の品行方正さなんて一部の人間の献身で成り立っていて平均で見れば劣悪である事は
離島観光の現実を見れば分かる。『外国人お断り』ならぬ『日本人お断り』の張り紙を出すのは、日本人が経営する店だ｡
PTA？体罰禁止？客は神だろもてなせ？善意に対して平気でマウント取る人間が増えた今の日本に民度を問う事は出来ない｡ >>882
>>881
で終わりです。
その先では、2つのコインを（共に表、共に裏が出るように）接着させた場合を考えています。
コイン1が表である事象をA、コイン2が表である事象をBとします。すると、
P(A∩B) = 1/2 であるが、 P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4 なので、事象AとBは独立ではない
というつまらない話が書いてあります。 DeepL翻訳だとeven thoughを完全に無視しちゃってるからそれ見て変だと思ってんのかな？
例えば、2枚の公平なコインを投げて、その結果が独立しているとします。
すると、頭が2つ出る確率は(1/2)*(1/2)=1/4となります。ここで、一つの事象は
もう1つの事象は、コインが異なる結果になったとします。
これらの事象はそれぞれ1/2の確率で発生し、両方の事象が発生する確率は1/4となります。
したがって、独立性の定義によれば、これらの事象は独立しています。
両方の事象が最初のコインに依存していると思うかもしれません。 プロおじ用の数学力測定問題です。
プロおじは解答して数学力を示しなさい。
xの多項式
f(x)={((x^2)-1)^n}-1
g(x)=x^4-x^2+1
がある。f(x)がg(x)で割り切れるための、正整数nが満たすべき必要十分条件を述べよ。 xx - 1 = t とおく。
f(x) = t^n - 1 = Π[d|n] Φ_d(t),
g(x) = tt + t + 1 = Φ_3(t), …円分多項式
∴ nが3の倍数のとき。 (2)の固有ベクトル求めるところで詰まってるんですけど...
Bをブロック行列として考えて、固有値は|λ^2E - A^2| = 0でいいよね？
3、4は固有ベクトル求めて対角化すれば行けそうなんだけども
https://i.imgur.com/bZfwzf8.jpg (1)の答えをv1,v2,v3として(vi,vi)と(vi,-vi) >>894
あーそっか
固有ベクトル求めるときに(λE - B)x = 0計算して
Axをλxにすると
λ(x1 - x2) = 0 と
λ(x1 + x2) = 0
が出てくるからか、サンクス (参考書)
山口 周「整数論 －美しき円分体論・ベルヌーィ数への旅路－」産業図書 (1994)
326p. 2200円
//www,san-to,co,jp/page21 >>880
条件 (E) だけ満たす領域は無限の彼方まで続く。
下の条件 (F) を廃止すれば
2∫[0,∞] 2/(4+aa) da = [ 2 arctan(a/2) ](a=0,∞) = π. これの固有多項式と最小多項式がわかんない
固有多項式は(λ-１)(λ^3-1)でおけ？
https://i.imgur.com/PT4N1c0.jpg いわゆる、高校レベルの複素数って
あれって2変数函数 (一種の多変数函数)ですか？
(z = a + bi でaとbの2つが変わる？)
それとも単なる1変数の函数ですか？
f(x) = x^3 +x^2 -x +1 などと同じく。 真面目に答えてくれ…。
z = a+bi は変数 zを操作するときに
必ず aとb が1組になって変化するじゃん？
z の中にある変数a と 変数b が互いに独立していないし、
こういうのって z を1つの変数(1つのベクトル) とした
1変数の関数じゃないの？ >>900
まず、数は関数とは違う。
実数は1変数関数ではない。
そして、複素1変数関数は実2変数関数とみなすことが出来る。
ただし、微分などの概念は別もの。 f(z)は複素数zについての関数f(z)とする。
α≠βなる任意の複素数α,βに対し、α,βにより決まるある複素数の定数c=g(α,β)で
{f(α)-f(β)}/(α-β) = f'(c)
を満たすものがただ1つとれるとき、f(z)を平均値の関数と呼ぶ。
f(z)=z^2およびf(z)=e^(iz)sin(z)の各場合について、f(z)は平均値の関数かどうかを調べよ。 >>903
>数は関数とは違う。
>実数は1変数関数ではない。
これは分かる。
ただ、1変数関数と多変数関数の区別をつけたい。
↓ 自信はないけど ↓
複素数を扱う関数について。
複素数 zのaは1に係る、b はi に係るだけの係数であり、どちらも変数ではない。
実部と虚部は単に2つの元を持つのであって2つの変数を持つ訳ではない。
動く主体も、変数zが動くのであって、aやbが主体となって動く訳ではない。
以上より、複素数zを扱う関数は(2つの元を持つような)1変数の関数。
見方をかえたり、みなしを加えたとしても
zの複素関数を2変数関数と呼ぶのは間違い…だと思う。 >>905
変数という言葉に変な幻想を持っているように見受けられる。
関数の定義域は何か？
ということと、R^2とCは同一視出来ることを考えれば、答えは出る。 >>904
f(z) = z^2 の場合
{f(a)-f(b)}/(a-b) = (a+b),
f '(c) = 2c,
∴ c = (a+b)/2,
f(z) = e^(zi)sin(z) = {e^(2zi)-1}/2i の場合
{f(a)-f(b)}/(a-b) = [e^(2ai)-e^(2bi)]/[2(a-b)i],
f '(c) = e^(2ci),
∴ c = (1/2i)Log{[e^(2ai)-e^(2bi)]/[2(a-b)i]} + nπ, (n:整数) 実数a,b の関数なら２変数関数だろう。
その一部として
「 z を変数とした１変数の関数」
を適当に定義することは可能だろうな。
たとえば、zのベキ級数(収束する)で表わされるもの、とか
f '(z)_θ がθ (近づく方向) によらないもの、とか････ 高校数学では、なぜ、根元事象が起こる確率がすべて等しい場合のみ、考えるのでしょうか？ y=f(x)でx=a+bとすればa,bの二変数あるように見えるけど実質1変数でしかない
z=a+biもそれ
>>909
サイコロで1が1/3の確率で出て残りは等確率の期待値とかは普通にあると思うけど
そういう話ではない？ 数学オリンピック ( ＩＭＯ ）の第2問に、しばしば、３変数を入れ替えても同じだから ＝１の場合だけ検討すればいいような問題が出るけど
なんで ＩＭＯってあんなバカなんですか？ それともあの解法はダメなのか？ 難問とされる ＩＭＯでも、代数問題ではアホみたいな問題が多い (3)は連立とか使って解けたんだけど
(4)(5)あたりからどうやればいいのか...
uがなければ対角化していって終わりだろうけど、
https://i.imgur.com/8MJ82li.jpg >>910
そういう場合も問題で扱うことはあるかとは思いますが、一般論としては扱いません。
事象 A に含まれる根元事象の個数を n(A) と表わすことにする。
条件付き確率 P_A(B) を説明するときに、 P_A(B) は、 n(A ∩ B) / n(A) であるとして説明されます。
ですが、定義のところでは、 P_A(B) := P(A ∩ B) / P(A) として定義します。
なぜ、確率を使って定義したがるのでしょうか？ 同様に確からしいものだけ考えるわけじゃないからです >>919
でも高校数学では、同様に確からしいものしかほとんど考えないですよね。 >>920
ほとんど？そうですか
なら全部ではないということで、>>917の疑問は解消されますね >>906
R^2 は入力 x, y, 出力 z
z = f(x,y)
x, y → z
C は入力 a, b で出力が A,B
z = a+bi, z = f(z)
a,b → A,B
性質が違うよ 同様に確からしくない問題だとどうなるん
P(A)×P_A(B)=P(A∩B)
は確率考えるときにいつもやることだと思うけどn()で定義するのしらんかったわすまん lim[x→1] {x^(x^2)-(x^2)^x}/{(x^t)-1}
が0でない定数に収束するような、実数tの値を求めよ。 >>922
> C は入力 a, b で出力が A,B
> z = a+bi, z = f(z)
> a,b → A,B
CとR^2を同一視するのだから、
f: C → C
は
f: R^2 → R^2
つまり、実2変数のベクトル値関数に対応するということ。
片方だけ同一視して
f: R^2 → C
だったら実2変数複素数値関数になる。
複素1変数実数値関数とかもあるわけで、
実とか複素とかを抜きにして、関数を1変数関数と多変数関数の二つに分類できるわけではない。 ティラー展開で
x^(xx) = e^{xx*log(x)} = 1 + (x-1) + 2(x-1)^2 + 2(x-1)^3 + ････
(xx)^x = e^{x*log(xx)} = 1 + 2(x-1) + 3(x-1)^2 + 3(x-1)^3 + ････
辺々引いて
x^(xx) - x^(2x) = - (x-1) - (x-1)^2 - (x-1)^3 - ････
二項展開で
x^t -1 = t･(x-1) + t(t-1)/2･(x-1)^2 + t(t-1)(t-2)/6･(x-1)^3 + ････
t≠0 なら -1/t に収束････ >>924
第２問
ある系の温度を加熱装置を用いて制御することを考える。
時刻 t における系の温度を x(t) とする。
加熱装置のスイッチが切れているとき、温度 x(t) は微分方程式
dx/dt = - x (*)
に従い、加熱装置のスイッチが入っているとき、温度 x(t) は微分方程式
dx/dt = 1 - x (**)
に従うものとする。
まず、スイッチを操作しないときの系の挙動を考える。
(1) 時刻0における初期条件 x(0) = x。の下で、微分方程式(*)および(**)
の解をそれぞれ求めよ。
次に、0<θ。<θ1<1 をみたす温度の閾値θ。, θ1 が与えられたとき、系
の温度がθ。以上 θ1以下になるように、以下の規則に従って自動的にスイッ
チを操作することを考える。系の温度がθ。以下でスイッチが切れていればス
イッチを入れ、系の温度がθ1以上でスイッチが入っていればスイッチを切る。
この他の場合にはスイッチを操作しない。
なお、時刻0における温度x。はθ。より高く、時刻0においてスイッチは
切れているものとする。
(2) 時刻0以降、初めてスイッチが入る時刻t1を求めよ。
(3) 時刻t1以降、温度は周期的に変化する。周期τを求めよ。
(4) １周期の間の温度の時間平均 x~ = (1/τ)∫[t1, t1+τ] x(t) dt と、
閾値の平均 θ~ = (θ。+ θ1)/2 を考える。
これらの値の差 x~ - θ~ = (1/τ)∫[t1, t1+τ] (x(t) - θ~) dt は、
ある関数 f(x, θ~) を用いて
x~ - θ~ = (1/τ)∫[θ｡, θ1] f(x, θ~) dx
と表わすことができる。関数 f(x, θ~) を求めよ。
(5) 閾値の平均θ~が一定値を取るようにθ。,θ1 を変化させることを考える。
θ~ < 1/2 であるとき、w = (θ1 - θ｡)/2 の増大にともない (x~ - θ~)τ
は単調減少することを示せ。 略解
(1)
(*) x(t) = x｡exp(-t),
(**) x(t) = 1 - (1-x｡)exp(-t),
(2) x(t1) = x｡exp(-t1) = θ｡, t1 = ln(x｡/θ｡),
(3) x(t) = 1 - (1-θ｡)exp(-t+t1) (t1 < t < t1+a)
= θ1 exp(-t+t1+a) (t1+a < t < t1+a+b)
ここに a = ln{(1-θ。)/(1-θ1)}, b = ln(θ1/θ｡),
τ = a + b = ln{(1-θ｡)θ1/[(1-θ1)θ｡},
(4)
x~･τ = ∫[t1,t1+τ] x(t)dt
= ∫[t1,t1+a] x(t)dt + ∫[t1+a,t1+a+b] x(t)dt
= ∫[t1,t1+a] (1-dx/dt)dt + ∫[t1+a,t1+a+b] (-dx/dt)dt
= (a -θ1+θ｡) + (θ1 - θ｡)
= a,
(x~ - θ~)τ = a - θ~･τ
= (1-θ~)a - θ~･b
= (1-θ~)∫[θ｡,θ1] (dt/dx)dx - θ~∫[θ｡,θ1] (-dt/dx)dx
= (1-θ~)∫[θ｡,θ1] 1/(1-x)dx - θ~∫[θ｡,θ1] (1/x)dx
= ∫[θ｡,θ1] {(1-θ~)/(1-x) - θ~/x}dx,
∴ f(x,θ) = (1-θ)/(1-x) - θ/x = (x-θ)/[x(1-x)], >>913
第１問
3次元列ヴェクトル x_n は漸化式
x_n = A x_{n-1} + u (n=1,2,...)
をみたすものとする。ただし
A = [ 1, 0, 0 ] u = [b] x。= [0]
[ 0, 1, a ] [c] [0]
[ 0, a, aa] [0] [d]
である。a,b,c,dは実数の定数であり、a≠0 とする。
以下の問いに答えよ。
(1) 行列Aの固有値をaで表わせ。
(2) Aの固有ヴェクトルp, q, rをaで表わせ。ただし、pとrを
それぞれ最大固有値と最小固有値に対応させ、
||p|| = ||r|| = 1/√(aa+1), ||q|| = 1 と
なるようにせよ。
(3) u および x。を p, q, r の線形和で表わせ。
(4) x_n = α_n･p + β_n･q + γ_n･r とする。
α_n, β_n, γ_n を α_{n-1}, β_{n-1}, γ_{n-1} を用いて表わせ。
(5) x_n を求めよ。
(6) x_n とヴェクトルsとのなす角をθ_n とする。ただし
s = [1]
[0]
[0]
である。
lim[n→∞] θ_n = 0 となるために a,b,c,d のみたすべき必要十分条
件を示せ。 略解
(1)
|A-xI| = (-x)(1-x)(aa+1-x),
固有値λ = 0, 1, aa+1,
(2)
↑p = [0] ↑q = [1] ↑r= [0]
[1/(aa+1)] [0] [-a/(aa+1)]
[a/(aa+1)] [0] [1/(aa+1)]
(λ=aa+1) (λ=1) (λ=0)
(3) ↑u = c↑p + b↑q - ac↑r,
↑x。= ad↑p + d↑r,
(4) α_n = (aa+1)α_{n-1} + c,
β_n = β_{n-1} + b,
γ_n = - ac,
(5) α_n = (c/aa){(aad+1)(aa+1)^n - 1},
β_n = b･n,
γ_n = -ac, (n>0) 909 名前:１３２人目の素数さん :2021/06/14(月) 19:43:17.38 ID:cIfDtlwe
高校数学では、なぜ、根元事象が起こる確率がすべて等しい場合のみ、考えるのでしょうか？
920 名前:１３２人目の素数さん :2021/06/14(月) 22:49:28.22 ID:cIfDtlwe
>>919
でも高校数学では、同様に確からしいものしかほとんど考えないですよね。
知ったかぶりしてまで見栄張らなくてもいいです 質問です
a＜bである自然数a、bでaとbの最大公約数とaとb－aの最大公約数が一致することを示せ C[4n,n]/C[2n,n]が整数となるための、nが満たすべき必要十分条件を求めよ。 結局nCr(a,b)の言い訳も出来ないまま逃亡か尿瓶ジジイ >>935
D1 = {a, b の公約数}
D2 = {a, b-a の公約数}
d∈D1 ⇔ a=a'd, b=b'd ⇔ a=a'd, b-a=c'd ⇔ d∈D2
d∈D2 ⇔ a=a'd, b-a=c'd ⇔ a=a'd, b=b'd ⇔ d∈D1
∴ D1 = D2.
最大の要素をとる。
>>936
n = 1, 3, 4, 7, 10, 24, >>941
Wolframではchooseと判定して計算する。
それができないのが尿瓶洗浄係。 >>944
でましたwolframのバカの一つ覚え >>945
「nCr(a,b)を補完して読めないのは尿瓶係！」
っていうのは、「偉大な≦文化」という誤字を執拗にあげつらってるプロおじ自身への特大ブーメランになってるからな？
気付いてる？ 誤字といえば尿瓶プロおじの得意技ではないか。
63 卵の名無しさん[sage] 2021/05/01(土) 10:32:19.42 ID:Zpyb+xVU
大小のサイコロを振って
大の目はx座標、小の目はy座標として
４点の座標を選ぶ
この４点を結んで形成される凸四角形の面積の期待値を求めよ。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
>罵倒は期待値が出せないと思うね。
>罵倒は期待値が出せないと思うね。
>罵倒は期待値が出せないと思うね。
>罵倒は期待値が出せないと思うね。
>罵倒は期待値が出せないと思うね。 nCr(a,b)の定義を述べ、それに基づいて以下の値を計算せよ。
（1）3C1(4,2)
（2）nCr(3,2)
（3）5C2(n,r) 補題
x > 424/9 = 47.11..のとき (x, 9/8x) は素数を含む
∵ ) 以下の列は素数の単調増大列で各項は前の項の9/8未満である
[53,59,61,67,73,79,83,89,97,109,113,127,139,151,167,181,199,223,241,271,293,317,353,397,443,491,547,613,683,761,853,953,1069,1201,1327,1489,1669,1877,2111,2371,2663,2971,3331,3739,4201,4723,5309,5953,6691,7523,8461,9511,10691,12011,13499,15173,17053,19183,21577,24251,27281,30689,34519,38833,43669,49123,55259]
よって 53×8/9 < x < 55259×9/8 =62166.375までは正しい
一方でDusartよりx≧17でπ(x)>x/log(x), x≧60184でπ(x)<x/(log(x-1.1)であるからx≧60184のとき
π(9/8x) - π(x) > 9/8x /(ln(9/8x)-1) - x/(ln(x)-1) > 0
である
よってこの時も正しい
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function
https://www.wolframalpha.com/input/?i=9%2F8x+%2F%28ln%289%2F8x%29-1%29+-+x%2F%28ln%28x%29-1%29+at+x+%3D+60184&;lang=ja
以上により主張は示された□
主張
n>106/3=35.33..のとき区間(4/3n,3/2n)は必ず素数を含む 訂正
π(9/8x) - π(x) > 9/8x /ln(9/8x) - x/(ln(x)-1) > 0
値の計算はコレ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=9%2F8x+%2F%28ln%289%2F8x%29%29+-+x%2F%28ln%28x%29-1%29+at+x+%3D+60184&;lang=ja
ちなみに
( 9/8x /(ln(9/8x)) - x/(ln(x)-1) )'
=9/(8 (log(x) + log(9/8))) - 9/(8 (log(x) + log(9/8))^2) - 1/(log(x) - 1) + 1/(log(x) - 1)^2
により9/8x /(ln(9/8x)) - x/(ln(x)-1)はx>eで単調増大 連結な多様体の任意の2点が滑らかな曲線で結べることの証明で詰まっています
区分的に滑らかな曲線で結べることを示して
そこから有限子の滑らかでない角を滑らかにする事を考えましたが
角を滑らかにするのに具体的にどうしたらいいかが分かりません 尿瓶とかいうあだ名やめろw
言う側もタイピングするのが嫌な
きたない単語は使うべきじゃない。 >>956
多様体の定義でハウスドルフとか第二加算とかは仮定してます >>957
多様体なら弧状連結成分が連結である事、すなわち開集合かつ閉集合である事を言えばいい
Cが弧状連結成分、すなわち任意の2点が弧状連結である極大集合とする(弧状連結集合は包含関係で帰納的順序集合だから極大元が取れる)
Cの任意の点xについてxの近傍UでR^nと同相なものが取れるが、この時UはCに含まれるからCは開集合
xがCの閉包の元とする
xの開近傍UでR^nと同相なものが取れるが、この時UはCと共有点yを持つ
xとyはR^nと同相な空間の2点だから弧で結べる
よってx∈C
xは任意であったからCは閉集合 >>958
区分的になめらかな曲線で結べることまでは理解しています
滑らかな曲線が取れるという部分が疑問です >>959
コレは？
a(x)
= ∫[0,x]exp(1/(x^2-1))dx / ∫[0,1]exp(1/(x^2-1))dx (-1<x<1)
1 ( x≧1 )
-1 (x≦-1)
とすれば滑らかになるからf(x),g(x)を任意の滑らかな関数として
h(x)=(1+a(x))/2 f(x) + (1-a(x))/2 g(x)
とすれば滑らかな関数を繋げられる
各成分でコレやればいい 時限爆弾が10個送られてきた。
いずれも60分以内に爆発することは判明しているが、それ以外に情報がない。
爆発までの時間を一様分布と想定して、3個が爆発するまでの時間の期待値を求めよ。 xy平面の定点A(a,b)と、放物線y=x^2上を動く動点P(p,p^2)との距離の二乗をf(p)とおく。
f(p)の最小値をa,bで表せ。 >>949
関数Sin（x,y)=sin(x)/sin(y)と定義されていたら、定義している文字に数字（例えば
S=3 n=4とか）を置き換えて3i4とか言い出す人は普通はいないよね。
尿瓶洗浄係くらいだろう、そんなことを言い出すのは。 そもそも nCr(a,b) なんて表記するやついないぞ >>964
nCr(a,b)に適切な定義を与えてみて 昔のシャープのポケコンに二項係数を返す関数に
NCR(n,m) というのがあったのを思い出した スーパーのレジで"NCR"のロゴがついてるものは
nCr(a,b) が計算できる鴨 (?)
http://www.ncr.co.jp/about_ncr >>960
なるほど、バンプ関数でなめらかにするみたいな議論をすればよかったのですね
ありがとうございます 甲、乙、丙の3人がある標的に矢を命中させる確率が、それぞれ 0.6, 0.7, 0.8 であるという。3人が同時に矢を射るとき、
(1) 3人のうち2人だけが標的に命中させる確率を求めよ。
(2) 少なくとも1人は標的に命中させる確率を求めよ。
解
甲、乙、丙が標的に命中させる事象をそれぞれ A, B, C とすると、 A, B, C はたがいに独立である。
… 例えば、 A, B が独立であることを示すには、
P_A(B) = P(B) であることを示さなければならないはずです。
つまり、
P(A ∩ B) / P(A) = P(B) であることを示さなければなりません。
P(A) = 0.6
P(B) = 0.7
ですので、
P(A ∩ B) = 0.6 * 0.7 = 0.42
であることを示さなければならないはずです。
定義に従って示さずに、事象 A は事象 B に影響を及ぼさないから、 P_A(B) = P(B) が成り立つなどと結論づけています。
これでは数学ではないですよね？ そして、定義に従って、
P(A ∩ B) = 0.6 * 0.7 = 0.42
を示すことは明らかにできないはずです。 >>967
電卓アプリを使ったことがないのか？
尿瓶洗浄業務には必要ないだろうなぁ。
https://i.imgur.com/lFo6ZhX.png >>974
nCr(a,b)=aCb
だと言いたいんだねプロおじは？
その認識で合ってる？ >>963
f(p) = (a-p)^2 + (b-pp)^2 = aa + bb - 2ap + (1-2b)pp + p^4,
f(p) が最小となる条件は f '(p｡) = 0,
f '(p) = - 2a + 2(1-2b)p + 4p^3 = 4{-a/2 + (1/2 -b)p + p^3},
f '(p) の判別式 D(a,b) = (a/4)^2 + ((1/2 -b)/3)^3
D > 0 のとき 実根1つ (虚根2つ)
D = 0 のとき 実根2つ (重根と単根)
D < 0 のとき 実根3つ (単根)
D>0 のときは、タルダノの公式で
p｡(a,b) = (a/4 + √D)^(1/3) + (a/4 - √D)^(1/3),
f(p｡) = aa + bb - (3/2)ap。+ (1/2-b)(p｡)^2, シー・チンピン (海 珍品) ていうあだ名でどうかな？ 1はk=2
M=
0 1
-2 -3
でおけ？
2からわからん（泣）
https://i.imgur.com/mc0BCIA.jpg (3)は明らかにrankは0,1ではない
cnは三項間関係の漸化式を持つから三行目以降は1行目と2行目の線形和でかけるからrank≦2
∴ rank = 2 (4)は
|x| < max{|固有値|}において
L(I -xM)N
=L(I+Mx+(Mx)^2+... )N
=LM^0N + lMNx + LM^2Nx^2+..
=c1 + c2x + c3x^2 +..
ですな c_i = - 3･c_{i-1} - 2･c_{i-2},
より
c_i = - 3･(-2)^{i-1} + 4･(-1)^{i-1},
(1) 桶
(2)
[ c_i ] = M^{i-1} [ c_1 ] = M^{i-1} N,
[ c_{i+1} ] [ c_2 ]
L = [ 1, 0 ]
N = [ c_1 ]
[ c_2 ]
(3)
3行目以下に漸化式
c_i = - 3･c_{i-1} - 2･c_{i-2},
を入れる。
基本変形により 3行目以下は0となるから
Rank(C) = 2. 条件付き確率について質問です。
P_A(B) := P(A ∩ B) / P(A)
が定義です。
問題で P(A ∩ B) を求める際には、
P(A ∩ B) = P(A) * P_A(B)
と計算するのが常です。
P_A(B) を求めるには、定義式に従って、 P_A(B) := P(A ∩ B) / P(A) と計算しなければならないはずです。
ところが、 P_A(B) を計算するには、求めたい確率である P(A ∩ B) が必要になります。
明らかに、議論が循環しています。
では、解答者はどうするか？
解答者は超能力者ではないにもかかわらず、 なぜか、 P_A(B) を定義式によらず直接的に求めてしまいます。
これはおかしなことだと思いますが、誰も問題にしません。
なぜでしょうか？ 箱の中に白球5個と赤球3個が入っている。このなかから1個ずつ2回とり出すとき、1回目が白球で、2回めが赤球である確率を、次の場合について求めよ。
(1) 1回目にとり出した球を箱の中に戻す。
(2) 1回目にとり出した球を箱の中に戻さない。
(1)
1回目にとり出した球が白球である確率は 5/8
2回目に球をとり出す試行では、1回目にとり出した球を箱の中に戻すから、箱の中の球の総数は変わらない。
したがって、赤球をとり出す確率は 3/8
よって、求める確率 p_1 は
p_1 = (5/8) * (3/8) = 15/64 この計算は、
1回目にとり出した球が白球である事象を A
2回目にとり出した球が赤球である事象を B
としたとき、
P(A) * P(B) を計算しているにすぎません。
実際に、計算しなければならないのは、
P(A ∩ B) = P(A) * P_A(B)
です。
P_A(B) = P(B) だからどっちでもいいではないか？という人がいるかもしれません。
ですが、 P_A(B) = P(B) であることを示すには、定義により、
P(A ∩ B) / P(A) = P(B) であることを示さなければならず、これは、
P(A ∩ B) = P(A) * P(B) を示さなければならないことになります。
明らかに議論が循環しています。 nは2以上の整数とする。
箱Aの中には2n個の赤玉が、箱Bの中には2n個の青玉が入っている。
いま、以下の操作を繰り返し行う。
『箱Aの中から無作為に1つの玉を選んで取り出し、箱Bに入れる。それから箱Bの中から無作為に1つの玉を選んで取り出し、箱Aに入れる。』
箱Aの中身が赤玉n個と青玉n個になるまでに行う操作の回数をNとする。期待値E(N)とC[4n,2n]の大小を比較せよ。 P_A(B) := P(A ∩ B) / P(A)
と定義するというのがいけないんだと思います。
A が起こったとして、そのときの B の確率を P_A(B) で表し、これを、 A が起こったときの B の条件つき確率という。
とすれば、
P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A)
は定理になります。 改題
箱Aの中には20個の赤玉が、箱Bの中には20個の青玉が入っている。
いま、以下の操作を繰り返し行う。
『箱Aの中から無作為に1つの玉を選んで取り出し、箱Bに入れる。それから箱Bの中から無作為に1つの玉を選んで取り出し、箱Aに入れる。』
箱Aの中身が赤玉10個と青玉10個になるまでに行う操作の回数をNとする。
Nの値を当てる賭けをするとき、いくつに賭けるのが最も有利か？ 以前プロおじが出した問題を改題したものです
よろしくお願いいたします
プロおじに「あなたは尿瓶洗浄係ですか」という質問を五回する。ただし、
プロおじは、「はい」か「いいえ」と答える前にさいころを振り
1 または2の目が出たときは正直に答え、3または4の目が出たときは うその答えを言い、
5または6の目が出たときは1/2の確率で正直に答えるものとする。
(1) プロおじが尿瓶洗浄係のとき、「はい」と答える回数が3である確率を求めよ。
(2) 「はい」と答える回数が3であるとき、プロおじが尿瓶洗浄係である確率を求めよ。 このスレッドは１０００を超えました。
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