シンプルかつ超絶難問作ったから解いてみて
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ここに２つの箱Ａ、Ｂがある。
両方の箱にお金が入っているが、片方の箱にはもう片方の箱の１０倍の金額が入っている
（例：片方に５０万円、もう片方に５００万円など）
さて、あなたは１つの箱Ａを開けて、金額を見たところ１００万円が入っていた。
つまり箱Ｂには１０万円か１０００万円のどちらかが入っている。
ここで、１度だけ見なかった箱と交換することができる。
しかし、交換する際には箱Ｃが追加されて、箱Ｃには小さい金額が入っている。
交換する際は箱Ｂ，Ｃのどちらかを選択することとなる。
ちなみに箱Ｂと箱Ｃはシャッフルされて区別がつかず交換となると
1/2で箱Ｂ、箱Ｃがそれぞれ選ばれるとする
（サイコロを振って奇数が出れば箱Ｂ，偶数が出れば箱Ｃを選択）
ここで問題です
箱を交換する方が得か損か。
質問は受け付けます。 質問は随時受け付けるが
自分なりの回答を出した人のための質問
・交換した方が得と考えた人へ
あなたは適当に箱Ａを開けただけで、箱の中に入っている金額の期待値は
箱Ａも箱Ｂも同じでは？それなのになぜ金額低いほうを追加した箱Ｃを追加してでも交換したら得なのか？ まあ１か月くらいは解けないかと思います（というか自分も完全には解け切っていないかもしれない）
さて自分なりの回答が出た方への質問です
・交換しないほうが得と考えた方へ
箱Ｂには１０万円か１０００万円が入ってることになる。
箱Ｃには１０万円。
期待値計算すると交換後は箱Ｂを1/2、箱Ｃの確率を1/2として、
箱Ｂには1/2で１０００万円といいきっていいかは微妙としても
そのように計算すると1/4の確率で1000万、 3/4の確率で10万円なので
期待値としては257.5万円になり交換した方が圧倒的に得ですよね？
仮に箱Ｂに１０００万円の確率が何らかの理由で低いとしても
箱Ｂに１０００万円が入っている可能性が2割あれば期待値で１００万円を超えますよ
でも箱Ｂに１０００万円が入っている可能性が仮に２割とか３割だとしたら
箱Ｂに１０万円入っている可能性は７割とかでしょうか？
さすがにそれも変ですよね なお、イカサマはできないようにあとからすべての箱を確認できるものとする 考えてみるよ、という方がいらっしゃいましたら、
今から考えるよ、とレスもらえると助かります（どちらでも）
有名な問題の改題なのでそれなりに難しく、数学板といえど今日中には答え出ないかなぁと思ってる
設定が悪かったらきちんと謝りつつ訂正します
また、数学板はかなりの過疎スレなので１か月程度まちつつという感じです
よろしくお願いいたします。 ・交換した方が得と考えた人へその２
箱Ａから交換した方が得だとしたら
どの時点で期待値が変わったのか？
少なくとも数字を見る前は同じはず。
ただ、数字を見ても同じといえるはず
また、数字を見る前でも脳内で今から見るほうをaとするともう片方は10a か0.1aと
定義し検討することができる
このとき脳内検討の時点で交換が得になるのはおかしいよね？ 出題者である私のツイッター垢です。
捨て垢の鍵垢です。
一応自分がこの時点で出題した証明のためです。 答えは「分布によるのでわからない」
まず箱に入っている金額の分布を考える必要がある
A, Bは見分けがつかないので小さい方の金額の分布だけ考えれば良い(大きい方は自動的に決まる)
金額は0以上の整数(より単純化して以後実数と考える)の値を取る
一様分布などはあり得ず金額が大きくなるほど確率は下がることになる
A, Bの内小さい方の金額xの分布をp(x)とする
金額の組み合わせが(x, 10x)になる確率がp(x)で、(x, x/10)になる確率がp(x/10)
このとき、1/2で選んだ箱Aの中身がxである確率は、(p(x)+p(x/10))/2
したがって、選んでいない方Bに10xが入っている条件付き確率は、p(x)/(p(x)+p(x/10))
選んでいない方Bにx/10が入っている条件付き確率は、p(x/10)/(p(x)+p(x/10))
Bに入っている金額の期待値は
(10x*p(x)+x/10*p(x/10))/(p(x)+p(x/10))
=x*(10*p(x)/p(x/10)+1/10)/(p(x)/p(x/10)+1)
じゃあその分布を例えば指数分布p(x) = λe^(-λx)としてみる
Bの金額の期待値は x*(10*e^(-9λx/10)+1/10)/(e^(-9λx/10)+1)
更に確実にx/10が入っている箱Cとの1/2の選択なので、交換したときに得られる金額の期待値は
(x/10 + x*(10*e^(-9λx/10)+1/10)/(e^(-9λx/10)+1))/2
= x*(1/20 + (10*e^(-9λx/10)+1/10)/(e^(-9λx/10)+1)/2)
この期待値はx≦10*log(9/2)/9λのときにx以上になる
x＜10*log(9/2)/9λなら交換したほうが良いし、x＞10*log(9/2)/9λなら交換しないほうが良いってことになる
この結果は指数分布ならλの設定によって変わるし、勿論分布が指数分布以外に従う可能性もある
具体的に分布がどうなっているかは全く調べる方法がないから、結論は「交換したほうが良いかどうかはわからない」になる 要は問題の設定不足なんだけど、「設定不足な部分がバレないようにうまく作った問題」と言ってもいいかもしれない
・ここにお金が入った1つの箱がある。箱の中の金額の期待値を求めよ。
・ここにお金が入った1つの箱が100万円で売られている。
あなたは100万円を持っている。あなたは箱を買うべきか？
例えばこんな問題文だったら誰だってすぐに条件不足に気付くんだよね
こういう問題の延長上にあるのが例のよく知られた問題で、更に設定を加えたのが>>1の問題なんだよ >>12
1です。
レスとご意見ありがとうございます。
私、未熟者でして、ご指摘の半分程度しか理解できておりません。申し訳ございます。
設定不足とのことですので、設定を追加しようかと思いますが、
封筒に入っている金額の分布は例えば均一設定することはかのうでしょうか？
つまり高い金額も低い金額も同じ確率とする、
という設定だといわかんありますでしょうか？
問題なければその点を明記しようと思います。 >>12
さきほどのレスで誤記が多く失礼しました。
ちなみに分布によっては交換した方が得とありましたが、箱A、箱Bからは最初適当に箱Aを選択しているため、期待値に差があるとおかしいとも思えますがいかがでしょうか？ 眠たすぎるのでとりあえず寝ます
コメントありがとうございました。 >>13
>>11に書いた通り[0, ∞)に一様分布を定義することは不可能
正しく分布を設定すれば答えは出るよ
>>14
> 期待値に差がある
何と何に差があるの？ >>16
一様分布が不可能な点理解できました。少し考えてみます。 >>16
期待値の何と何に差があるか、でいうと
最初の時点での箱Aと箱Bの期待値の差です。適当に選んでるので箱Aと箱Bには優劣がないはずでは？
とはいえ分布が定義されると、一つ目の数字を見た時に交換の期待値が確定する感じでしょうか？ ちなみに、このゲームは
麻雀みたいに親と子に別れて、
親が事前に2つの金額を決める人で
仮に2つの数字を
小さい方を5万円とし、大きい方を50万円として設定して
多くの人に1に記載のルールでやってもらうと交換により期待値は下がりますよね？ >>18
箱の中身を見る前はAとBの金額の期待値は同じ
仮定されている分布の平均になる
箱の中身を見た後は条件付き確率になるから期待値が変わるのは当然
例えば仮に箱の中身が100万・1000万の組み合わせだと事前にわかっていれば、
選ぶ前の期待値は550万
100万を見た後の交換する期待値は(1000万+10万)/2 = 505万 >>20
おっしゃる通りですね
ちなみにレス19に書いた方はどうでしょうか？親からすると子側が交換することにより期待値が下がるゲームになりますね。 プレイヤーが金額の組み合わせが5万・50万だとわかっているなら、
5万を見た場合は交換すればいいし50万を見た場合は交換しなければいい
ディーラーが交換の選択権を持っていない以上損するのは当たり前 >>22
すみません、言葉不足でした。
ディーラーとプレイヤーがいるとして、
ディーラーは金額を知ってて
50万円と500万円を箱に入れるとして、
プレイヤーはゲームのルールは知ってるものの、
具体的な金額を知らない場合、
プレイヤーからは確率の分布により交換するかどうかが変化しますが、
ディーラーからすると箱Aから交換することにより期待値は下がりますよね？ 例えば私がディーラーとして100人の人とゲームする場合で、
プレイヤー同士は情報交換できないとして、
50万円と500万円で行った場合は、
交換により期待値は下がりますよね？
これはどの金額の組み合わせでもそうなりますよね？ 横レスだが。
プレイヤーは必ず交換する戦略を取るとする。
ディーラーは2種類のメモ紙「メモ1」「メモ2」を用意する。
プレイヤーが最初に選んだ箱の中身の金額を、ディーラーはメモ1に記録する。
プレイヤーは箱を交換するので、交換後の箱の中身の金額を、ディーラーはメモ2に記録する。
ゲームを十分な回数繰り返す。
メモ1に書かれた金額の合計をXとして、メモ2に書かれた金額の合計をYとする。
ディーラーが50万・500万に固定してからゲームを繰り返した場合、
ほぼ確実に X ＜ Y が成り立っているはず。
固定せずに特定の分布に従って毎回金額を用意し直してからゲームを繰り返した場合、
ほぼ確実に X ＞ Y が成り立っているはず。 いや、逆か。混乱しちまう。
ディーラーが50万・500万に固定してからゲームを繰り返した場合、
ほぼ確実に X ＞ Y が成り立っているはず。
固定せずに特定の分布に従って毎回金額を用意し直してからゲームを繰り返した場合、
ほぼ確実に X ＜ Y が成り立っているはず。 >>26
1です。
期待値が上がるならどの時点で上がったのでしょうか？ >>24
プレイヤーが分布を知っていて最善を尽くす場合はディーラーは確率的に損する
プレイヤーが見た金額によらず必ず交換する場合はディーラーは確率的には得する >>25
必ず交換する場合は箱Cの存在によりプレイヤーは長期的には損する
両方の場合で長期的にはX＞Yとなる
「50万・500万に固定してからゲームを繰り返す」っていうのは
「50万のデルタ分布に従って毎回金額を用意し直してからゲームを繰り返す」のと同じこと ディーラーが ５０万、５００万円の箱を準備している。
１００人のプレイヤーがいるとする。プレイヤーは箱の金額を知らない
最初に引く方の箱の期待値は、どちらの箱を引く確率も５０％なので
期待値を計算すると50/2 + 500/2 = 225万円となりますよね つまり交換しない場合の期待値は２２５万円
しかし、交換する場合は箱Ｃ（５０万円が入っている）が出てきて
最初に５０万円を引いた場合の交換後の期待値は ２２５万円
最初に５００万円を引いた場合の交換後の期待値は５０万円
平均して １３７．５万円となる
２２５万円＞１３７．５万円 より交換後のほうが期待値が低い
どうでしょうか？ >>33-34
ディーラーの損得のことを聞いているのかと思った
プレイヤーが持つ金額の話なら期待値は下がるよ
齟齬がないように伝えるなら「何の期待値」なのか正確に書いたほうがいいよ >>35
すみませんでした。
きちんと伝えるようにします。 >>35
50万円と500万円でゲームをするとき、
ディーラーの立場から見ると
交換によりプレイヤーの期待値が下がり、
プレイヤーの立場から見ると分布次第というのは不思議ではないでしょうか？
なんか自分がディーラーとしていろんなプレイヤーと勝負して、
うまく儲けるゲームができちゃいそうです 例えば自分が
1000円と1万円を箱に入れて、
1に記載のルールで100人のプレイヤーに参加してもらい、箱Ｃも使って
交換した場合は「交換後の金額から、
交換前の金額を引いた金額」を相手に、渡す。
それがマイナスならこっちがお金もらう、
としたら統計的には私は勝てるんでよね？
プレイヤーとしては10倍になる可能性考えて結構交換しそうなんですよね。
もちろん交換しなければドローとしてお金発生なしのゲーム。
貧乏になったらこれで旅しようかな >>38
このゲームの場合は、
プレイヤーからすると、
プレイヤーの脳内では
最初1万円引いた場合は、交換した時10万円が来れば9万円儲け、交換して1000円が来た時9000円の損なので、
箱Ｃのせいで多少確率悪くても交換したくなる。
最初1000円引いた場合も、同じような計算で交換したくなる。
でも結局のところ100人くらいプレイヤーがいると、ディーラーは基本的に儲けることできますね、 >>37
＞なんか自分がディーラーとしていろんなプレイヤーと勝負して、
＞うまく儲けるゲームができちゃいそうです
そんなの簡単だよ。表しか出ないコインを用意して、
「表ならディーラーの勝ち、裏ならプレイヤーの勝ち」とすればいい。
もちろん、表しか出ないという情報は知らせない。
また、どのプレイヤーも1回限り。
ディーラーは100％勝つし、1回ずつしか遊べないプレイヤーはインチキに気づかない。 >>38のゲームの場合
金額セットが１０００円、１万円であることを知っているディーラーから見た
プレイヤーの金額の期待値は交換前は 5500円であるのに対して、
交換後の期待値は箱Ｃ（1000円が入っている）の影響で
(1000+5500)/2=3250円になる
つまり１回あたりディーラーは 2250円の儲け。
これを１日１０回やれば２万円以上か、いい商売が出来上がった気がする >>40
それはインチキをしてますよね
でも自分がやいってる>>38は別にインチキではないですよ
私が金額を決めていることはプレイヤーも参加している
なんなら、別途、不正監督人の第３者をおいて実施可能
なんらイカサマではないですよ おそらくは「金額セットが１０００円と１万円である」ということの情報を知っているかどうかの差で
期待値に差が出るのかと思う
しかし、プレイヤーには「片方の箱にはもう片方の金額の１０倍が入っている」と伝えている。
もちろんゲームが終わった後にはイカサマでないことの証明としてきちんとすべての箱を見せてもよい
その条件まで把握もらって参加しても基本的にプレイヤーは１０倍なること期待して、箱Ｃの存在含めて交換する人おおいはず。 >>42
「表しか出ない」という情報がプレイヤーに知られたら、
プレイヤーはコイン投げに参加しないので、ディーラーは得できない。
し・か・し、情報が知られたらディーラーが勝てないのは君の1000円・1万円でも同じこと。
箱の中身が1000円・1万円であることを知っているプレイヤーは、
箱の中身が1000円なら絶対に交換するし、1万円なら交換しない。
この場合、ディーラーは回数を重ねるごとに損をする。 プレイヤーの視点に立ってみれば
２つの箱があり、片方がもう片方の１０倍とわかっていて、
交換する際は低いほうの金額の箱をもうひとつ追加しランダムに交換、という>>1に記載と同様のルールでやったときに、
引いた数が１０００円であろうと１万円であろうと
もう片方に１０倍の可能性が２割あれば期待値としては十分なので交換したくなる。
それが参加者が１００人いて、普段は控室で参加するときだけその場に入り、終わったら出ていく
みたいな運用で自分以外に参加者がたくさんいて、同じ金額でやっていることを知っていてもかわらなそう。 >>44
>箱の中身が1000円・1万円であることを知っているプレイヤーは、
>箱の中身が1000円なら絶対に交換するし、1万円なら交換しない。
この点はその通りですが
プレイヤーは「片方の箱にはもう片方の１０倍の金額が入っている」という情報は知ってはいるものの、
具体的な金額は知らないです。 >>43
＞しかし、プレイヤーには「片方の箱にはもう片方の金額の１０倍が入っている」と伝えている。
＞もちろんゲームが終わった後にはイカサマでないことの証明としてきちんとすべての箱を見せてもよい
ゲームが終わった後になって初めて情報を開示するのであれば、コイン投げでも同じこと。
コイン投げが終わったあとにプレイヤーにコインを渡せばよい。
もちろんプレイヤーは、このコインの重大な情報に気づいてしまう(そして、おそらく激怒するｗ)。
し・か・し、それは君の1000円・1万円でも同じこと。
金額のセットを開示した時点で、プレイヤーは
「金額のセットは1000円・1万円である」という重大な情報に気づいてしまう。
ディーラーは、もはやこのプレイヤーには勝てない。 >>46
＞この点はその通りですが
＞プレイヤーは「片方の箱にはもう片方の１０倍の金額が入っている」という情報は知ってはいるものの、
＞具体的な金額は知らないです。
それはコイン投げでも同じこと。
コインの表・裏がどのような分布で出るのかは、プレイヤーには知らせない。 >>48
とはいえ100人参加して、その100人の結果を見守る監督者がいた場合はコインのようなイカサマだと監督者が気付きますよね
全部表が出るとかわけですよね？ >>47
別に開示された金額は1000円、1万円と知ってもプレイヤーとしては何も不満はないですよね？ >>49
＞とはいえ100人参加して、その100人の結果を見守る監督者がいた場合はコインのようなイカサマだと監督者が気付きますよね
＞全部表が出るとかわけですよね？
当然ながら、監督者はコインの重大な情報に気づいてしまう。
そして、もし監督者がその情報をプレイヤーにバラしたら、ディーラーはもはや勝てないｗ
し・か・し、それは1000円・1万円のゲームでも同じこと。
毎回必ず1000円・1万円のペアであることに、監督者は気づいてしまう。
そして、もし監督者がその情報をプレイヤーにバラしたら、ディーラーはもはや勝てない。 >>38
ディーラーが勝てるのは「必ず交換する」ルールの場合だけであって、
「Aの金額を確認することは出来ないが交換するかは選択できる」ルールや、
「Aの金額を確認して交換するか選択できる」ルールの場合はプレイヤーが勝つ
(当然分布は知っている前提で) >>50
コイン投げのゲームでは、情報を開示した途端にプレイヤーは激怒するだろう。
1000円・1万円のゲームでは、情報を開示してもプレイヤーは不満もなければ激怒もしないだろう。
両者の違いは何か？実は、両者に論理的な違いはない。
どちらのゲームでも、プレイヤーが勝つための重要な確率変数について、
その確率分布が事前に知らされていないのである。ゆえに、立場に一貫性を持たせるなら、
コイン投げのゲームで激怒するプレイヤーは、1000円・1万円のゲームでも激怒するべきである。
具体的に言えば、コイン投げのゲームで激怒するプレイヤーは
「なんだよ、表しか出ないことを事前に知ってたなら、俺はこのゲームに参加しなかったぞ」
と激怒するわけで、ならば全く同様に、
「なんだよ、1000円・1万円のペアであることを事前に知ってたら、俺は1000円のときのみ箱を交換してたぞ」
と激怒するわけだ。実際には、このような文句を言う人はいないだろうが、
それは単に、人間の心情的なバイアスが影響しているだけである。
コイン投げがインチキだと思う人は、1000円・1万円のゲームにも
「1000円・1万円のペアであることを事前に知らせないのはインチキだ」
と言わなければダブルスタンダードなのである。 あなたは、表しか出ないコイン投げのゲームを「インチキだ」と言ったが、
それは、表しか出ないことをプレイヤーに伏せているからこそ「インチキ」なのである。
つまり、表しか出ないことを事前にプレイヤーに知らせるのであれば、インチキにならない。
無論、この場合、ディーラーは勝てないｗ
全く同様に、1000円・1万円のペアであることをプレイヤーに伏せるのであれば、
これは論理的にはコイン投げと同じレベルで「インチキ」である。
そして、1000円・1万円のペアであることを事前にプレイヤーに知らせるのであれば、インチキにならない。
無論、この場合、ディーラーは勝てないｗ
心情的には、1000円・1万円のペアであることを事前に知らせなくても
インチキではないように感じてしまうかもしれないが、
それは感情的なバイアスがかかっているだけであって、
論理的にはコイン投げと全く同じレベルでインチキである。 >>54
うーん、あなたの学歴は？
もう一人の人は頭良さそうなんだけど。 >>55
コイン投げについて、監督者はコインの重大な情報に
気づいてしまうが、この場合、監督者はどうするべきか？
プレイヤーにその情報を知らせないなら、プレイヤーは不利である。
監督者は、この事態を黙って見過ごすのか？
良心に従って、プレイヤーにその情報をバラすべきか？
それとも、警察にでも通報するか？
1000円・1万円のゲームについて、監督者は「金額のペアが毎回1000円・1万円であること」に
気づいてしまうが、この場合、監督者はどうするべきか？
プレイヤーにその情報を知らせないなら、プレイヤーは不利である。
監督者は、この事態を黙って見過ごすのか？
良心に従って、プレイヤーにその情報をバラすべきか？
それとも、警察にでも通報するか？
ほらね、両者のゲームをどこまで比較しても、論理的には全く同じ構造になる。
コイン投げがインチキなら、1000円・1万円のゲームもインチキだよ。 >>1 最初にどうやって箱に入れる金額を選んだんだ？
自分の財布の金額の中から選んだなら、
1円〜１０００万円の範囲、となって
領域の端っこの確率は極めて低くなる。 少し別の言い方をするよ。
コイン投げについて、監督者はコインの重大な情報に気づいてしまうが、
ディーラーは監督者に対して「そのことはプレイヤーにはバラすな」と口封じをするだろう。
なぜか？その情報をバラされるとディーラーは勝てなくなるからだ。
全く同じように、1000円・1万円のゲームについて、
監督者は「金額のペアが毎回1000円・1万円であること」に気づいてしまうが、
ディーラーは監督者に対して「そのことはプレイヤーにはバラすな」と口封じをするだろう。
なぜか？その情報をバラされるとディーラーは勝てなくなるからだ。
ほらね。どこまで行っても論理的な構造が同じ。
コイン投げも1000円・1万円のゲームも、両方ともインチキ。
何もやましいことがないなら、「1000円・1万円のペアである」という情報を事前に開示してみろよ。
どうだ？そんなことできないだろ？なぜなら、事前に開示してしまったらディーラーが勝てないからだ。
その情報はどうしても伏せておきたいだろ？それはコイン投げも同じ。どちらもインチキってこと。 数学として問題になるのは
2つの箱の入っている金額を、平等に選ぼうとすると
無限大の場合の数から有限の試行回数を選択することになるということであって。 最初に
どういう方法で箱に入っていた金額を選んだのかを教えてください。
一つの箱の金額に対して、もう一つの箱の金額は10倍、10分の一であるは事実として
認めます。 コイン投げでも1000円・1万円のゲームでも、
「知らなきゃプレイヤーが不利になる何らかの情報を、事前に開示することなく伏せている」
というのが共通したインチキの構造。
「1000円・1万円のペアである」という情報はディーラーだけが知っている情報であり、
このことを知らないプレイヤーは、知っている状態に比べて不利である。
そして、この情報がバラされたら、ディーラーは勝てない。
ゆえに、ディーラーはこの情報を事前に開示することを嫌う。
このような構造のうち最も極端な例が、既に挙げたコイン投げ。
コイン投げの場合にディーラーが秘匿している情報は、
「ディーラーが100％勝つ」という性質を持った、きわめて重大な情報である。
このことを知らないプレイヤーは、知っている状態に比べて著しく不利である。
そして、この情報がバラされたら、ディーラーは勝てない。
ゆえに、ディーラーはこの情報を事前に開示することを嫌う。
これはさすがに極端すぎるので、「そんなのインチキだ」と気づきやすいわけだが、
論理的には1000円・1万円のゲームも全く同様にインチキである。
ディーラーがやっている行為の本質が同じだからだ。
何もやましいことがないなら、「1000円・1万円のペアである」という情報を
事前に開示してみろって話。そんなことできないだろ？秘匿しておきだいだろ？
だったらインチキだよ。コイン投げと何が違うんだよ。インチキじゃん。 しかしながら。開けた金額、100万円に対して
10万円と1000万円が同じ確率であると認めると。おかしなことになります。
どういった基準、関数で箱に入れる金額を設定したのか？？ >>62
最初にレスくれた人と同じ指摘ですね。
たしかにその点がこの問題の変なところかもしれません。 >>62
一応の基準として仮に設定します。
小さい金額はa円から100a円までを同じ確率で配布するとします。
つまり大きい金額には10aから1000a円までになります。
ただ、aが整数とすると大きい金額は1の位が0になるので、
aは0より大きく1までの数とします。
不十分ならご指摘ください。
これが小さい箱に入ってる数字で あ、最後の1行は関係ないです。
不十分ならご指摘ください、で終わりです >>64
>>11に従って計算
x = 100万
交換後手元に残る金額の期待値はx*(1/20 + (10*p(x)+1/10*p(x/10))/(p(x)+p(x/10))/2)
b:=1/(99a)と書く
1000 <= a < 1万の場合
p(x/10) = p(10万) = b
p(x) = p(100万) = 0
交換後の期待値は x*(1/20 + (10*0+1/10*b)/(0+b)/2) = 1/10 * x
→交換すると損
1万 <= a <= 10万の場合
p(x/10) = p(10万) = b
p(x) = p(100万) = b
交換後の期待値は x*(1/20 + (10*b+1/10*b)/(b+b)/2) = 103/40 * x
→交換すると得
10万 < a <= 100万の場合
p(x/10) = p(10万) = 0
p(x) = p(100万) = b
交換後の期待値は x*(1/20 + (10*b+1/10*0)/(b+0)/2) = 101/20 * x
→交換すると得 X=最初にプレイヤーが選んだ箱の中身
Y=最終的にプレイヤーの手元に残った箱の中身
(ただしプレイヤーは必ず最善の戦略を取る前提)
Y-Xの(プレイ前の)期待値E(Y-X)
分布既知, A確認可, 交換選択, Cあり →期待値+ (Aと分布次第で交換選択)
分布既知, A確認可, 交換選択, Cなし →期待値+ (Aと分布次第で交換選択)
分布既知, A確認不可, 交換選択, Cあり →期待値0 (交換しないのが最善)
分布既知, A確認不可, 交換選択, Cなし →期待値0 (交換してもしなくても同じ)
分布未知, A確認可, 交換選択, Cあり →分布がわからないので戦略を立てられない(このスレの問題)
分布未知, A確認可, 交換選択, Cなし →分布がわからないので戦略を立てられない
分布未知, A確認不可, 交換選択, Cあり →期待値0 (交換しないのが最善)
分布未知, A確認不演ﾂ, 交換選択, Cなし →期待値0 (交換してもしなくても同じ よく知られる形の二つの封筒問題はこれ)
必ず交換, Cあり →期待値-
必ず交換, Cなし →期待値0
注意しなければいけないのは、YはXと相関があるのでE(Y-X)=E(Y)-E(X)とはできないということ >>66
1です。
さすがです、
勉強になります。
明日また見てみます。 >>67
コメントありがとうございます。
明日また読ませていただきます どっちも、期待値は、おなぢぢゃ
霊感で、ポクには瞬時にワカルんです
👾星からの霊的電波📶なら、🛸🛸🛸
P(B=100│A=10) ≒ 1/5 ∵霊感⚡
でも、モピロン更なる霊感⚡⚡では、
P(B=100│A=10) = 19/99 だぁ〜〜
で、そんで、で、 B=100とは、
確率変数「Bの箱の中身は100万円」
で、モチロン、
P(B=1│A=10) = 80/99 ∵余事象
P(C=0) ∵題意∵0はモピロン小さい😅
という訳で、期待値Eは、モチロン
E(Aのまま）= 10万円 ★
E(A以外）= (1900/99+80/99)/2 ∴
E(A以外）= 1980/198 = 10万円 ☆
★、☆より、モチロン
どっちも、期待値は、大体おなぢぢゃ
ヤッパリP(B=100│A=10) ≒ 1/5ならば
by 👾 批判が的を得てないんだよな。
まず業務で高校数学が応用として使える時点で、世の中の上側1%以上なのよ。
アク界隈はお受験からのエリート教育で育ってるから、世の平均以下がちゃんと認識できていない。
残念ながら需要が存在してしまうわけですわ。高校数学の範囲だろうが何だろうが知らんがな。
あと、純粋な高等な数学になればなるほど、応用が狭まっていく。平たく言うと役に立たない。
なんでそんなものと比較するのか意味が分からない。好きなら勝手に博士課程でも行ってろ。
そして、哀れにもアク候補生として入社して、想像以上に日本社会の企業文化に揉まれ疲弊し、
自分は東京一工のエリートなのにこんな試験にも受からないクヤシイ！！みたいな人が、
5chで見えない敵をたたいて必死にもがいているんだな。憎むべきはその選択の損切りができない自分自身なのに。
だから、嫌ならやめろよと。クソ試験と思うなら今すぐやめて転職なりしろ。何事も中途半端が一番良くない。 一つの箱Aを開けて、100万円と言う有限の値が出るのは
一種の特異点ではないのか？？
10^x 円。 xは任意の正整数から等確率に選びました
とすると、箱Ａの開けた時の金額の期待値は無限大に発散してしまう。 10^x円 、xは任意の正整数という選択肢の中から考えると
箱Ａに100万円という金額が入ってるのは
箱Ａの金額が１円 → 明らかに箱Ｂは10円
という場合と同じくらい特殊な例ではないのだろうか
10^x 円 xを任意の正整数から選んだ時。 この問題は、高校で習う初等的な理論では扱えない気がします。
有限の値をしっかり指定
例えば
箱A10^x円 xは1〜5から等確率に選びました。なら計算できそうだけれどもね。 >>72
1です。
たしかにそうですね。
無限大に発散する中で、
有限の値が出てきたとなると、交換の期待値は一気に下がる感じですね。 1です。
これディーラーが固定の数字、例えば
1万円と10万円、を持って色んな人に試した場合はディーラーは勝てますね。
でもプレイヤーは勘違いして交換しそう。
ということでこれでビジネスができちゃう。 プレイヤーからすると交換の損得は不明ながら実際問題は10倍の誘惑に負けるから100人試したら70人くらいは交換しそうだね。 このゲームはプレイヤーが知らない2つの金額をディーラーが知ってる点で有利とも言えるけど、
プレイヤーからするとその点になかなか気づけない。
なぜならディーラーは交換を選べないし、プレイヤーが二枚の金額知ってたら確実にプレイヤーが勝つ。
なのでプレイヤーからすると不公平感がないんだよね。 もちろん不公平であることに気づいたプレイヤーは交換しなければいいだけなので何もイカサマでもなんでもない。
交換を選ばなければよいだけなのだから。 例えばイカサマだと裁判すると負けるけど、今回のゲームの場合は裁判しても負けることはない。 >>78
＞なのでプレイヤーからすると不公平感がないんだよね。
不公平感がないのではなくて、
「実際は不公平なのに、そのことに気づく人がなかなかいない」というだけ。
>>79
そうそう、「実際は不公平だ」ということに気づいたプレイヤーは参加しない。
また、ツイッターでそのことを指摘して拡散する人が出てくるかもしれない。 >>80
「交換するという戦略は実際にはプレイヤーが不利なのに、まるで有利であるかのように錯覚してしまう」
という点において、このゲームは景品表示法の優良誤認表示に該当する可能性があるのでは？
(消費者による自主的・合理的な選択を阻害する恐れがある)
極論すると、プレイヤーの頭が良ければ「参加しない」の一択で回避できる問題にすぎないわけだが、
「バカでも理解できるように最初から配慮しとけ」ってのが優良誤認表示の禁止なわけで、
この路線で裁判起こされたらどうなるか分からんね。たとえば、裁判で次のように指摘されたらどうするの？
「何もやましいことがないなら、1万円と10万円のペアに固定していることを事前に周知すればよかったのに、
なぜディーラーはその情報を隠蔽したのですか？なにか合理的な理由がありますか？」
ディーラーはこの点について合理的な説明はできないだろう。なぜなら、隠蔽する理由は
「その情報を公開したら自分が勝てなくなるから」という、極めて利己的なものでしかないからだ。
これではディーラーが裁判に負けてもおかしくないぞ。 たとえばパチンコの場合だと、当選確率が最初から明記してあって、
期待値を計算するとプレイヤーが絶対に損することが丸わかりなんだよな。
パチンコ屋の経営者としては、その情報を公開した時点でかなり不利なわけ。
それにも関わらず、パチンコに通う人間が世の中には一定数存在する。
最終的にはプレイヤーが損すると分かっていても、パチンコがやめられないわけだ。
宝くじも同じで、プレイヤーは当選確率を最初から知っていて、
期待値を計算すると明らかに損なのに、それでも宝くじを買う人間が世の中にはたくさんいる。
このように、ディーラーが不利になる情報を包み隠さず全て公開した上で、
それでもなお、客の心を掴んでこそ、ビジネスなんだ。
キミが書いてることは、その真逆だ。
ディーラーが損する最重要の情報は隠蔽しようとする。
場合によっては裁判沙汰になりかねない。
キミが書いてることは、しょせんは素人の浅知恵にすぎない。 優良誤認じゃなくて一般懸賞の景品類限度額に違反するでしょ >>82
この点だけど、金額を明示したらディーラーが圧倒的に不利になるよね。
例えば第三者の観察者をつけてもディーラーとしては困らない
イカサマだと困るよね。 1です。
金額自体を明かすとプレイヤーが有利すぎるので何か案でもあれば。 事前確率分布を如何に、超霊能力⚡で
予測しきれるかが、ギャンブル勝負
ではモピロン大切ぢゃ
事前確率分布が、
P(1万円) = 40％
P(10万円) = 50％
P(100万円) = 10％ なら、
がプレーヤーと胴元がトントン
ってとこだろう。
P(100万円)/P(1万円) >19/80
なら、モチロン勝負しよう。
お金持ちになるためには、
モチロン数学力は必要で、
モピロン数学力で十分だ。
by 👾 >>87
100万円引いたら交換せず1万円引いたら交換すればいいだけのゲームになるのでは？ >>85
＞イカサマだと困るよね。
これ、実は逆なんだよ。
客にとってはイカサマも同然の、ぜんぜん客が勝てないゲームなのに、
それでも固定客がついてるゲームが実際にあるわけ(パチンコとか宝くじとか)。
もちろん、「客がぜんぜん勝てないゲーム」であることは事前に公表されている。
それでもなお、固定客がついてるわけ。 具体例を1つ挙げると、0.99 の確率で表が出て、0.01 の確率で裏が出るイカサマコインがあるとする。
プレイヤーは4円を払ってイカサマコインを1回投げる(なぜ4円としたのかは後述する)。
表が出たら4円はディーラーに没収される。裏が出たらプレイヤーは8円を獲得する。
表・裏が1/2ずつの確率だと、プレイヤーの期待値は正になるが、
今回のイカサマコインだと期待値は負であり、プレイヤーは損をする。
(1) 表・裏の出る確率を公表せずにこのゲームを開催した場合、
「表・裏の出る確率を公表しろ」という問い合わせが殺到する。
また、コインの情報がバレた時点で客とトラブルになる。
(2) 事前に表・裏の出る確率を公表した上でこのゲームを開催した場合、
原理的にトラブルは発生のしようがない。
ただし、プレイヤーの期待値は負だし、裏が出る確率もたった 0.01 なので、バカバカしくて誰も参加しない。
・・・と思いきや、それでも固定客がついているゲームが実際にある(パチンコや宝くじなど)。
しかも、パチンコや宝くじでの当選確率は 0.01 より遥かに低い。
ちなみに、上で書いた「4円」とは、パチンコにおける「 1玉4円 」を参考にしている。
つまり、上で書いたゲームは、当選確率に関してはパチンコよりも遥かに良心的である(どのみち期待値は負だが)。
それよりも悪質なパチンコや宝くじなのに、固定客がついている。
つまり、客の心を掴んで離さない魅力的な要素が存在している。
分かるかね？プレイヤーが勝てる確率は 0.01 でしかなく、そんなものはイカサマと変わらない。
しかも、そのことは事前に公表されている。そんなバカバカしいゲームよりも、遥かに悪質なゲームである
パチンコや宝くじに、固定客がついているのだ。ビジネスとはこういうものを指すのだ。 >>90
貴方には無限の未来があります、心配するな大丈夫だから
問題はないです、速攻で結果にたどり着く、
シンプルが正しい、無駄は全て切り捨てて寄与せよ ポクがディーラーなら、
箱の中の金額の事前確率分布は
金額 確率
─ ───
1 0.9
10 0.09
100 0.009
1000 0.0009
…
∞ 0
────────
Ω 0.999…………
霊感的に指数分布に似てる気がする
by 👾 1円の確率がスゴク大きいな
参加料金は10円 面白い問題おしえて〜なスレから転載
このスレの問題に似ているので
《問題》
次のようなゲームを考えます。
《ルール》
裏が出るまでコインが投げ続けられて、それまでに表が出た回数をnとする。
もう1度コインが投げられて、表が出たら右の箱に4^n円，左の箱に4^(n+1)円入れられ、裏が出たら右の箱に4^(n+1)円，左の箱に4^n円入れられる。
ここまでの準備の様子を見ることはできないが、箱を1つ選んで中身を見てよい。
見た箱の中身を受け取るか，1円払って別の箱の中身を受け取る。
n回表が出た後に裏が出て、最後に表が出る場合をFn，最後に裏が出る場合をBnとします。
このゲームでFn，Bnが起きる確率はどちらも(1/2)^(n+2)です。
Aさんは次のように考えました。
このゲームは右と左について対称なので、1円払う分、箱を変える選択は損である。
Bさんは次のように考えました。
例えば、左の箱の中身を見たとする。
左が1円のときはB0が起きていて、1円払ってでも4円である右に変えた方がいい。
1以上のすべてのnについて、次がいえる。
左が4^n円のときはFn-1かBnが起きていて、それぞれ右は4^(n-1)円，4^(n+1)円である。
左が4^n円という条件のもと、Fn-1，Bnが起きる条件付き確率はそれぞれ2/3，1/3である。
左が4^n円のとき、1円払ってでも期待値が(2/3)×4^(n-1)+(1/3)×4^(n+1)=(3/2)×4^n円である右に変えた方がいい。
左が何円でも1円払って右に変えた方がいいので、箱を変える選択は得である。
このゲームで箱を変えるのは得かつ損な選択なのでしょうか？
そうでないなら、どこが正しくないのでしょうか？ もう1つ、同作者の類問をクイズ大陸で見つけた
《問題》
次のようなゲームを考えます。
《ルール》
はじめにコインを裏が出るまで投げ続けて、それまでに表が出た回数をnとする。
最後にもう1度コインを投げて、表が出たら5^n+1円獲得し，裏が出たら5^n円支払う。
例えば、表表裏表と出たら26円獲得で，裏裏と出たら1円支払いです。
n回表が出た後に裏が出て、最後に表が出る場合をFn，最後に裏が出る場合をBnとします。
このゲームでFn，Bnが起きる確率はどちらも(1/2)^(n+2)です。
Aさんは次のように考えました。
0以上のすべてのnについて、次がいえる。
表がはじめにn回出るのはFnかBnが起きるときであり、それぞれ5^n+1円の獲得，5^n円の支払いである。
表がはじめにn回出るという条件のもと、Fn，Bnが起きる条件付き確率はどちらも1/2である。
表がはじめにn回出るとき、賞金の期待値は(1/2)×(5^n+1)+(1/2)×(-5^n)=1/2円である。
表がはじめに何回出ても得なので、このゲームに参加すると得である。
Bさんは次のように考えました。
表が全部で0回出るのはB0が起きるときであり、1円の支払いである。
1以上のすべてのnについて、次がいえる。
表が全部でn回出るのはFn-1かBnが起きるときであり、それぞれ5^(n-1)+1円の獲得，5^n円の支払いである。
表が全部でn回出るという条件のもと、Fn-1，Bnが起きる条件付き確率はそれぞれ2/3，1/3である。
表が全部でn回出るとき、賞金の期待値は(2/3)×(5^(n-1)+1)+(1/3)×(-5^n)=-5^(n-1)+2/3円である。
表が全部で何回出ても損なので、このゲームに参加すると損である。
このゲームは得かつ損なゲームなのでしょうか？
そうでないなら、どこが正しくないのでしょうか？ 大定理1=2よって箱に入ったお金がいくらでもお金はお金
お金が入ってるなら箱をあけたほうがお得です 1=2である以上お金が１円でもゲットできたらお得です
得という感情は箱を開けたときに起こるので箱を交換しようがお金がゲットできたら得である
そういうものだろう お得=よりお得
なのでお金の入った箱にあっただけでお得です
利益が1でも2でも利益は利益 金額のペアが(m/n,m)の確率p1
金額のペアが(m,n*m)の確率p2
としたとき p1＞n*p2 であるなら、
胴元が支出する金額の期待値は有限だが
その場合、交換では得しない 逆に
金額のペアが(m/n,m)の確率p1
金額のペアが(m,n*m)の確率p2
としたとき p1＜n*p2 であるなら、
交換で得するが
その場合、胴元が支出する金額の期待値は無限大 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
