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分からない問題はここに書いてね 466

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0377１３２人目の素数さん
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2021/03/26(金) 14:44:50.22ID:0TbYLrlN
>>369
0≦k≦n-1 とする。
n+k回目でオモテ終了する確率は
　OMOTE(n,k) = ( C[n+k-1, n-1] p^{n-1} (1-p)^k )･p,
n+k回目でウラ終了する確率
　URA(n,k) = ( C[n+k-1, k] p^k (1-p)^{n-1} )･(1-p),
(n+k) の期待値は
　E(n,p) = Σ[k=0, n-1] (n+k)(OMOTE(n, k) + URA(n, k))
かな？
0380１３２人目の素数さん
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2021/03/26(金) 17:48:53.84ID:Ye2O2lNC
教えてください
0382１３２人目の素数さん
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2021/03/26(金) 18:11:19.20ID:dhsI7J/b
どうぶつの森amibo、サンリオコラボ。全６キャラ
１セットに異なる２キャラが入っています。
組み合わせは全１５通り。

２セット買って２キャラの確率は１５分の１
３キャラの確率は１５分の９、４キャラの確率は１５分の６
ここまではわかりました。

３セット以降の確率がわかりません。
教えて頂けないでしょうか？
0383１３２人目の素数さん
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2021/03/26(金) 18:50:13.02ID:lg2geY39
(0,0)を重心とし、(1,0)を垂心とし、(3,1)を内心とする三角形を1つ求めよ。
0384１３２人目の素数さん
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2021/03/26(金) 20:19:20.90ID:eNGfP16E
>>382
2つ組の商品を1セット買うごとに
手元にある種類の数の変化を考えると

2→2: 1/15, 2→3: 8/15, 2→4: 6/15,
3→3: 3/15, 3→4: 9/15, 3→5: 3/15,
4→4: 6/15, 4→5: 8/15, 4→6: 1/15,
5→5: 10/15, 5→6: 5/15,
6→6: 15/15,

となります
これを使って、3セット目以降の確率を
順に求めていくことになります

行列の計算を知っているなら
1セット目を買った状態を
種類の数を並べたベクトル
a(1)
＝(a2(1), a3(1), a4(1), a5(1), a6(1))
＝(1, 0, 0, 0, 0)
として、上の一覧を行列で表してから
順に掛け算していけば求まります
0385１３２人目の素数さん
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2021/03/26(金) 21:17:49.49ID:dhsI7J/b
３８４さんありがとう。完全には理解できていませんが、自分なりにぐぐるなどしてがんばってみます。
0386１３２人目の素数さん
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2021/03/26(金) 22:36:55.43ID:EA2eHRwC
>>379
x=2cos(t)とおけば条件は
2a cos(4t)+2b cos(3t)+2c cos(2t)+2d cos(t)≧-e (∀t)
両辺に1+cos(t)をかけてt:-π→πで定積分して
dπ≧-eπ
∴d≧-e
両辺に1-cos(t)をかけてt:-π→πで定積分して
-dπ≧-eπ
∴d≦e
1±cos(2t),1±cos(3t),1±cos(4t)かけて‥以下ry
0390１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 07:46:37.54ID:ut6hP2sf
>>367
賞品が賞金1万円として太郎が勝ったら次郎と折半することにすると
談合することで太郎と次郎の賞金獲得金額の期待値は2000円から約2340円に上がるということになるなぁ。


シミュレーションプログラムを組んで100万回ジャンケンさせてみた。
> mean(replicate(1e6,sim(5)))
[1] 0.469078

イナ氏の解の通りの値（近似値）が返ってきたのでバグはなさそう。

オマケ
Rのコードはここ
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1612996282/830
0391１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 09:20:40.03ID:NO5KFqjv
>>389
正解！
0394１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 14:56:57.35ID:uBGH9Pl9
xyz空間において、x軸からの距離が1以内かつ、y軸からの距離が1以内かつ、z軸からの距離が1以内である領域Dを考える。
Dに含まれる正四面体の中で一辺の長さが最大であるものを求めよ。
0395１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 15:22:36.54ID:i1fChCKG
Dは球 xx+yy+zz ≦ 3/2 に含まれ、等号成立は
　(x,y,z) = (±1/√2, ±1/√2, ±1/√2)
のとき。
　(1/√2, 1/√2, 1/√2),　(1/√2, -1/√2, -1/√2),　(-1/√2, 1/√2, -1/√2),　(-1/√2, -1/√2, 1/√2)
および
　(1/√2, 1/√2, -1/√2),　(1/√2, -1/√2, 1/√2),　(-1/√2, 1/√2, 1/√2),　(-1/√2, -1/√2, -1/√2)
は正四面体をなし、一辺の長さは２
0396１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 16:02:13.35ID:0sVMdYrW
円というのは多角形の究極の姿なんだよ。
言うなれば無限多角形。
この「無限」さ故に円周率が無限になるんだよ。
0398１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 16:41:31.82ID:q+bVIr97
重心を(0,0)に、垂心を(1,0)に持つ三角形の、内心からなる領域を求めよ
って問題をやってみたい気がするね
そもそも(3,1)がそれに含まれるとは思えない
0401１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 17:46:47.98ID:duPI2AD9
>>377
nとｐに具体的な数値を入れて100万回シミュレーションで検証。
（実は、シミュレーションの検証）

n=10
p=0.25

> mean(replicate(1e6,sim(n,p)))
[1] 13.30754

> E(n,p)
[1] 13.30616


シミュレーションのコード（R言語）
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1612996282/831


Wolframに入れてみたけど、超幾何関数とかでてきた。
Sum[(n + k) Binomial[n + k - 1, n - 1] p^(n - 1) (1 - p)^k p, {k, 0, n - 1}] + (n + k) Binomial[n + k - 1, k] p^k (1 - p)^(n - 1) (1 - p)
0405１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 18:39:56.73ID:duPI2AD9
>>403
シミュレーションプログラムを作るのが楽しいんだなぁ。
>353のシミュレーションは予想外の値が返ってきたのだが、数理解と近似していてホッとした。
0407１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 19:01:16.31ID:duPI2AD9
>>383
三角形ABCの座標をA(a1,a2) B(b1,b3),C(c1,c2)とすると
6連立方程式
a1+b1+c1=0
a2+b2+c2=0
(a1*(a2*(b1-c1)-b1*b2+c1*c2)+(b2-c2)*(a2^2-a2*(b2+c2)+b1*c1+b2*c2))/(a1*(c2-b2)+a2*(b1-c1)-b1*c2+b2*c1)=1
(a1^2*(b1-c1)+a1*(a2*b2-a2*c2-b1^2+c1^2)+a2*(c1*c2-b1*b2)+(b1-c1)*(b1*c1+b2*c2))/(a1*(b2-c2)+a2*(c1-b1)+b1*c2-b2*c1)=0
(a1*sqrt((b1-c1)^2+(b2-c2)^2)+b1*sqrt((c1-a1)^2+(c2-a2)^2)+c1*sqrt((a1-b1)^2+(a2-b2)^2))/(sqrt((a1-b1)^2+(a2-b2)^2)+sqrt((b1-c1)^2+(b2-c2)^2)+sqrt((c1-a1)^2+(c2-a2)^2))=3
(a2*sqrt((b1-c1)^2+(b2-c2)^2)+b2*sqrt((c1-a1)^2+(c2-a2)^2)+c2*sqrt((a1-b1)^2+(a2-b2)^2))/(sqrt((a1-b1)^2+(a2-b2)^2)+sqrt((b1-c1)^2+(b2-c2)^2)+sqrt((c1-a1)^2+(c2-a2)^2))=1
を解けばいいみたいだな。
0409１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 19:17:13.42ID:X8dc1afi
>>408
そうやって全部自分のいい方にしか解釈できない
もちろん心の中の理性は自分の方が間違っていふ事を百も理解してる
しかし自分が”負ける”という自分にとって耐えられない事態に陥る事を許さない人間は客観的事実を捻じ曲げて解釈してでも自分にとって都合の良い解釈を採用する
その事を恥ずかしいと思う“心の制御装置”はもうとっくに壊れてしまっている
0410１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 20:06:10.13ID:i1fChCKG
>>386
ｐ∫[-π,π] cos(mt) cos(nt) dt
　= (1/2)∫[-π,π] {cos((m+n)t) + cos((m-n)t)} dt
　= π (δ_{-m,n} + δ_{m,n}),
0411１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 21:01:08.17ID:Uaw5muz7
>>408
誰にも相手にされてないどころかゴミ扱いのにレスし続けて楽しいか？社会や家族はおろか5chですら必要とされてないなんて哀れだな。
0412１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 21:04:43.57ID:Vv3CtIpR
シミュレーション向きの問題です

不等式
y≦x^2-4
で表されるxy平面上の領域に含まれる線分の中で、最長のものを求めよ。
0416１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 21:38:50.13ID:pE5L1fWz
何がどうシミュレーション向きなのかさっぱり不明だが
そもそもここはクイズスレでも自作問題を出題するスレでもない
0418１３２人目の素数さん
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2021/03/27(土) 23:36:44.95ID:nTP63oRo
n次の巡回行列とn次元のベクトルの積はΘ(n*log(n))で計算できることを示せ。
0420１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 02:01:15.88ID:Eu8CzLjp
シミュレーション向きかどうか分からない問題です。

不等式
　x^2 - 4 ≦ y ≦ 0
で表されるxy平面上の領域に含まれる線分の中で、最長のものを求めよ。
0425１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 04:33:57.49ID:T+i43wxS
言い換えると、

正三角形を除く三角形の内心は、重心-垂心間の線分を直径とする円の内側に存在する

ということになる

証明はまだ
0426１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 06:05:12.70ID:/jK5jGei
>>419
当たり前なのは、O(n^2)で計算できることです。
0427１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 06:44:30.96ID:Jul26fm0
>>418
n次の巡回行列とn次元のベクトルの積は、n次元ベクトルの巡回畳み込みに相当する
n次元ベクトルの巡回畳み込みは、畳み込み定理(Convolution theorem)により
高速フーリエ変換(FFT)を使ってn*log(n)のオーダーで計算できる
0430１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 09:45:19.86ID:sQHcAkjP
>>427
wikiにはnが2べきならnlon(n)って明言してるけどそれ以外でもnlog(n)でできるんですか？
0431１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 10:05:04.30ID:/Dlncm5P
シミュレーション向きの問題です

不等式
x^2-4≦y≦0
で表されるxy平面上の領域に含まれる線分の中で、最長のものを求めよ。
0432１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 10:09:51.08ID:/Dlncm5P
数値計算向けの問題です

方程式
x^3-x=3
の各実数解の小数点以下2桁目の数字を求めよ。
0434１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 10:50:33.87ID:/jK5jGei
>>430
できます。
0435１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 12:20:07.69ID:/Dlncm5P
nを正の整数の定数とする。
xyz空間の立方体領域
D: -n≦x≦n,-n≦y≦n,-n≦z≦n
を考える。
Dに含まれる格子点で、z=xyかつy=xzを満たすものの個数をnで表せ。
0436１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 12:39:45.75ID:sQHcAkjP
>>424
どうやってやるんですか？
とりあえずwikiに載ってるアルゴリズムはnが自明でない分解n=mlを持つとき周期mでの変換と周期lでの変換に還元して‥として行くとあるのでnが小さい素因子の積になってないと大して高速化できない、というか全然高速化できない
0437１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 14:25:46.01ID:Eu8CzLjp
>>435
条件式を辺々掛けて
　yz = xxyz,
　(x+1)(x-1)yz = 0,
　x=±1 または y=0 または z=0,　　(←整域)
後の2つは、条件式から y=z=0
　(1,y,y)　(-1,y,-y)　(x,0,0)
∴　6n+1 個
0438１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 14:45:46.48ID:Eu8CzLjp
>>432
　f(x) = x^3 - x - 3　とおく。
ニュートン法で
　x　→　x - f(x)/f '(x) = x - (x^3 -x-3)/(3xx-1),
　5/3　→　5/3 + 1/198　→　5/3 + 1/198 - 991/57316842　→　1.67169988
実数解は１つしかねぇ
0439１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 15:22:16.93ID:Eu8CzLjp
　y = x^3 - x - 3
　　= (x-5/3)^3 + 5(x-5/3)^2 + (22/3)(x-5/3) - 1/27,
x=5/3 で接線を曳く.
　y ≒ (22/3)(x-5/3) - 1/27,
y=0　とおくと　x-5/3 ≒ 1/198
　x ≒ 5/3 + 1/198 = 1.671717…
0440１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 17:10:01.34ID:Eu8CzLjp
どうでもいいことだが
　X = (3/2 - 180/121)^{1/3} + (3/2 + 180/121)^{1/3} = 1.671698593
は
　X^3 - [1 - (1/242)^2]^{1/3}･X - 3 = 0,
の実数解
0441１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 17:58:38.66ID:/jK5jGei
>>436
ゼロで埋めて、nが2の累乗になるようにすればいいのではないでしょうか？
0442１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 18:43:31.48ID:Eu8CzLjp
>>428
　a = (1 + 1/√2)/2 = 0.8535534
　b = (5/2+√2)/2 = 1.95710678
　L = √(71/4 + 2√2) = 4.5363451285
とおく。
問題の領域は 直径がLである3円
　(x-a)^2 + (y+b)^2 ≦ (L/2)^2,
　(x+a)^2 + (y+b)^2 ≦ (L/2)^2,
　x^2 + (y+b-a√3)^2 ≦ (L/2)^2,
により二重に被覆されている。doubly covered.
どの点も 2つ以上の円に含まれる。
どの2点も同じ円に含まれるから 距離 ≦ L.
0444１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 20:01:29.09ID:gC1h70qb
>>441
無理でしょ？
(a,b,c,d,e)と(x,y,z,u,v)を周期5で考えて畳み込んだものと(a,b,c,d,e,0,0,0)と(x,y,z,u,v,0,0,0)を周期8で畳み込んだものは一致しないでしょ？
0447１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 21:00:42.43ID:/jK5jGei
>>444
0で埋めると巡回行列じゃなくなってしまいますね。
0449１３２人目の素数さん
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2021/03/28(日) 21:11:51.83ID:gC1h70qb
>>447
少なくともFFTを使って高速化できるのはnに何の要件もなければ無理なんじゃないかな？
少なくともwikiではnが小さい素因子をたくさんかけた形の高速化法しか載ってない
一般の場合でもできるなら方法そのものを載せるのは無理でも論文へのリファレンスがないのは考えられないし
出題ミスかな？
FFTでできないから一般にも無理とは言えないけど
0453１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 00:35:57.63ID:GgCLqWW4
今回は役に立ってるからな
おまえさんにゃ分が悪い
0457１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 02:37:12.22ID:rt8CA3eO
延々とプロおじ追い出そうとしてる奴いるけど正直うっとうしい
レス内容が気に入らないなら見なきゃいいだけなのに
0459１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 02:48:42.75ID:/r3M6nmW
公園で遊んでたらオナニーしてる人がいて困ってる状況ですし
コテつけてるならNGすればいいけど、そうしない時点で「プロおじ=公衆オナニー見せつけて喜んでるキチガイ」なんだもの
0461１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 04:38:45.90ID:JxT5eGiE
五者択一の問題に連続４問正解したら合格の試験がある。
１問解答するのに１０００円を徴収される。
太郎君は１０万円を準備して試験に臨み、問題文は読まずにランダムに解答することにした。
(1)太郎君の合格する確率はいくらか？
(2)太郎君の合格確率を1/2にするにはいくら準備すればよいか？
0462１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 06:46:22.46ID:Q46gHliY
wolframalpha>>(越えられない壁)>>プロおじ

>>457
左翼は、よく左翼のふりをして外国贔屓の外国右翼に利用される｡
下手にプロおじを静観しない方がスレの為｡
0463１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 13:29:04.38ID:pDr3G3SZ
>>461
（１）は　表のでる確率が1/5のコインを100回投げて4回以上連続して表がでる確率と等しいかな？
0466１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 14:58:15.46ID:5dpYUdde
更に更にどうでもいいことだが
　X = 5/3,
は
　X^3 - (１ - 1/45)X - 3 = 0,
　X^3 - X - (３ - 1/27) = 0,
の実数解
0469１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 16:36:11.44ID:c+KCNM8F
シミュレーション向きの問題です

以下の連立不等式で表される3次元空間の立体
x^2+y^2≦1
y^2+z^2≦1
z^2+x^2≧1
を図示せよ。
0470１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 17:18:02.69ID:5dpYUdde
>>461
(1)　0.1176679987
(2)　542000円


n問解答後に、最後のk問が正解の確率を Q_k(n) とする。
　(n-k が不正解で、n-k+1〜n が正解)
漸化式
　Q0(n) = (1-p){Q0(n-1) + Q1(n-1) + Q2(n-1) + Q3(n-1)},
　Q1(n) = p･Q0(n-1),
　Q2(n) = p･Q1(n-1),
　Q3(n) = p･Q2(n-1),
n問目で合格する確率は
　P(n) = p･Q3(n-1),

特性方程式
(1/(1-p))･t^4 - t^3 - p･t^2 - p^2･t - p^3 = 0,

特性値 (p=1/5)
　α = 0.998713391320282

541問までで合格　0.49989971143
542問までで合格　0.50054314480
0471１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 17:54:16.00ID:JXTeJTxs
単にn回目までに合格する確率S(n)求めるだけならk=4として
S(n)=S(n-1)+qp^k(1-S(n-k-1))
の方が早いがな
特殊解S(n)=1もすぐ見つかるし
この漸化式から求まるP(n)の特性方程式は
x^(k+1)-x^k=p^(k+1)-p^k
もうこのネタ何十回見たやろ
0472１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 19:31:54.37ID:5dpYUdde
>>428
この領域を平行線で挟んだときの幅を考える。
平行線の傾きが正のときは点 (-2,0) を通り、
傾きが負のときは点 (2,0) を通る。
∴　どちらにしても　幅 ≦ L,
∴　この領域内の線分の長さ ≦ L,

参考
　支持関数 (support function)
　凸領域
0473１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 20:43:18.88ID:L8k5fESM
>463の確率と一致するはずと思っての答が>467でしたが、>470と一致しないので
プログラムを見直したらインデックスがひとつずれておりました。

>467は撤回して以下に修正

> P(100,1/5,4)
[1] 0.1176679986993025

（2）の方は> P(541:543)
[1] 0.4998997114295112 0.5005431448015157 0.5011857503265590
なので542000円のまま。

シミュレーションプログラムを組んで検証してみよう。
0474１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 21:00:28.87ID:L8k5fESM
100万回のシミュレーションだと太郎君の合格確率は
> mean(y[,2])
[1] 0.117868
と出た。

ちなみに太郎君が合格したときに手元に残るお金の平均値は
> (100-mean(z))/10 # 合格したときの残金
[1] 4.91万円になった。案外手元に残るもんだな。


オマケ（Rのコードはここ）
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1612996282/849

オマケのおまけ：総解答数と合格確率のグラフ
https://i.imgur.com/NBTEzhb.png
0475１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 21:04:17.06ID:L8k5fESM
>>469
罵倒厨が３D見取り図を作る練習問題にいいかもな。
粘土でつくるかもしれんが。
0476１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/29(月) 21:17:05.17ID:c+KCNM8F
シミュレーション向きの問題です

（1）A=C[20212022,2021],B=C[20211011,2020]とするとき、KA=LBを満たす正の奇数K,Lが存在することを示せ。

（2）Aを4で割った余りを求めよ。
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