数学の証明という理論がわからないです
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ある事象で正しいからそれは正しい それって正しいの? 以下、俺のノート。 集合kに二項演算 +: k × k → k *: k × k → k が定義されていて、以下の条件を満たすとき、kは体であるという。 (1) (a + b) + c = a + (b + c) (2) ∃0∈k; ∀a∈k, 0 + a = a + 0 = a (3) ∀a∈k, ∃-a∈k; a + (-a) = (-a) + a = 0 (8) ∃1∈k; ∀a∈k, 1a = a1 = 1 >>11 訂正: > ∃1∈k; ∀a∈k, 1a = a1 = 1 ∃1∈k; ∀a∈k, 1a = a1 = a (10) ∀a∈k, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1 >>14 訂正: > ∀a∈k, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1 ∀a∈k\{0}, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1 例: 有理数全体の集合Q, 実数全体の集合R, 複素数全体の集合Cは、通常の加法と乗法について体となる。 例: 有理整数の全体Zは、通常の加法と乗法について、体ではない。 ±1以外の元が、Z内に乗法の逆元を持たないからである。 例: 1元からなる集合{0}に、 0 + 0 = 0 0 0 = 0 で演算を定めたものは、体**でない**と定める。 kを体とする。 n1 = 1 + 1 + ... + 1 (n個) = 0 となる正の整数nが存在するとき、その最小のnをkの標数という。 そのようなnが存在しないとき、kの標数は0であると定める。 命題 kを体とする。kの標数は0でなければ素数である。 補題 体は整域である。すなわち、a, b∈kに対して ab = 0 ⇒ a = 0 or b =0 が成り立つ。 命題: kを体とする。任意のa∈kに対して、 0a = a0 = 0 である。 補題: kを体とする。任意のa∈kに対して、 (-1)a = -a 補題: kを体とする。加法の単位元0、乗法の単位元1は一意的である。 補題: kを体とする。加法の逆元、乗法の逆元は一意的である。 >>24 証明: 0'∈kが>>5 を満たすとすると 0' = 0' + 0 = 0。 1'が>>11-12 を満たすとすると 1' = 1' 1 = 1。□ >>25 証明: a∈kを任意の元とする。-a'が>>6 を満たすとする。 -a' = (-a + a) + -a' = -a + (a + -a') = -a。 a∈kを0でない任意の元とする。a'^(-1)が>>14-15 を満たすとする。 a'^(-1) = (a^(-1)a)a'^(-1) = a^(-1)(aa'^(-1)) = a^(-1)。□ >>22 証明: 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a ∴ 0a = 0。 a0 = a(0 + 0) = a0 + a0 ∴ a0 = 0。□ >>23 証明: a + (-1)a = (1 + (-1))a = 0a = 0 >>25 より、(-1)a = -a。□ >>21 証明: 対偶を示す。 a≠0 and b≠0とする。このとき a^(-1)abb^(-1) = 1 ≠ 0。 >>22 より、ab = 0 ならば上記の左辺も0なので、 ab≠0。□ >>20 証明: 正の整数nに対して、n1 = 0とする。 n = abならば、ab1 = = (a1)(b1) = 0。 よって、>>21 より a1 = 0 or b1 = 0 となるので、nが素数でなければ、n'1 = 0となるnよりも小さい正の整数n'が存在する。□ 例: pを素数とする。 Z/pZ := { [0], [1], ..., [p-1]} [k] := {n∈Z; n ≡ k (mod p)} とする。すなわち、n ≡ k (mod p)⇔ [n] = [k]である。 >>32 Z/pZには加法と乗法が [a] + [b] = [a + b] [a] [b] = [ab] で定まり、>>4-15 を満たす。 >>33 >>4-13 までは、剰余の定義から直ちに従う。 Z/pZが乗法の逆元を持つことを示す。 >>34 補題: a, b∈Zとする。aとbが互いに素ならば、 na + mb = 1 を満たす整数n, mが存在する。 >>35 証明: a, bを任意の整数とし、Dをa, bの最大公約数とする。 L = {na + mb; n, m∈Z, na + mb > 0} とおく。 Lは自然数の空でない部分集合であるから、最小元が存在する。それを d = n'a + m'b とおく。任意のl = na + mb∈Lをdで割り算した商をq、余りをrとすると、 0 ≦ r = l - qd = (n - qn')a + (m - qm')b < d を満たす。dはLの最小元なので、r = 0である。したがって、dはLの任意の元の約数、とくにaとbの公約数である。 一方、dはDで割り切れ、Dはaとbの最大公約数なので、 d = D。 よって、na + mb = Dとなるn, mが存在する。 特に、aとbが互いに素ならば、d = D = 1。□ >>34 aをpを法として1, ..., p - 1のいずれかに合同な整数とする。aはpと互いに素であるから、>>35 より、 na ≡ 1 (mod p) となる整数nが存在する。これは、Z/pZが乗法の逆元を持つことを意味する。□ 例: Q(√-1) := { a + b√-1; a, b∈Q } は (a + b√-1) + (c + d√-1) := (a + c) + (b + d)√-1 (a + b√-1)(c + d√-1) := (ac - bd) + (ad + bc)√-1 により体になる。a + b√-1 ≠ 0の逆元は (a - b√-1)/(a^2 + b^2) である。 例: kを体とする。Xを不定元とし、k(X)で一変数の有理式全体の集合を表す。すなわち k(X) := { f/g; f, gはXの多項式。g≠0 } k(X)は自然な加法と乗法について体になる。 k(X)の標数は、kの標数と等しい。 kを体とする。 集合Vに加法 +: V × V → V とスカラー倍 *: k × V → V が定まり、以下を満たすとき、Vをk上のベクトル空間であるという。 x, y, z∈V、a, b∈kを任意の元とする。 (1) (x + y) + z = x + (y + z) (2) ∃0∈V; ∀a∈V, 0 + a = a + 0 = a >>45 訂正: > ∃0∈V; ∀a∈V, 0 + a = a + 0 = a (2) ∃0∈V; ∀x∈V, 0 + x = x + 0 = x (3) ∀x∈V, ∃-x∈V; x + (-x) = (-x) + x = 0 例: kを体とする。 k自身は、kの加法を加法、乗法をスカラー倍として、k上のベクトル空間になる。 例: kを体とする。 kの元の順序付けられたn組の集合をk^nと書く。すなわち k^n := { (x_1, ..., x_n); x_i∈k, 1≦i≦n }。 x = (x_1, ..., x_n), y = (y_1, ..., y_n)∈k^n, a∈kに対して、 x + y := (x_1 + y_1, ..., x_n + y_n) ax := (ax_1, ..., ax_n) と定めることで、k^nはベクトル空間になる。 例: k = Rの場合。 R^2 = {(x, y); x, y∈R } R^3 = {(x, y, z); x, y, z∈R } は、それぞれ通常の座標平面、座標空間である。 例: >>54 の意味で、CはC上のベクトル空間である。 一方、Cはスカラー倍をRに制限することで、R上のベクトル空間でもある。すなわち、 x = a + b√-1, y = c + d√-1 (a, b, c, d∈R), r∈Rに対して、 x + y = (a + c) + (b + d)√-1 rx = ra + rb√-1。 例: C^0(R)を、RからRへの連続関数全体の集合とする。すなわち C^0(R) := {f: R → R; fは連続 } f, g∈C^0(R), r∈Rに対して、関数(f + g), rf: R → Rを以下で定義する。 x∈Rに対して (f + g)(x) := f(x) + g(x) (rf)(x) := rf(x)。 連続関数の和と積は再び連続関数になるので、(f + g), rf∈C^0(R)である。この演算によって、C^0(R)はR上のベクトル空間になる。 >>58 > 連続関数の和と積は再び連続関数になる 証明: f, g: R → Rを連続関数、a∈Rを任意の点とする。 (f + g)が x = aで連続であることを示す。 正の数εを任意に取る。このとき、正の数δ_f, δ_gを適当に取ることで、 |x - a| < δ_f ⇒ |f(x) - f(a)| < ε/2 |x - a| < δ_g ⇒ |g(x) - g(a)| < ε/2 とできる。δ = min(δ_f, δ_g)とおくと、 |x - a| < δ ⇒ |(f + g)(x) - (f + g)(a)| = |f(x) + g(x) - f(a) - g(a)| ≦ |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| < ε。 εは任意であったから、これは(f + g)がx = aで連続であることを示している。aは任意であるから、(f + g)は連続である。 fg(fg(x) := f(x)g(x))がx = aで連続であることを示す。 正の数εを任意に取る。このとき、正の数δ_f, δ_gを適当に取ることで、 |x - a| < δ_f ⇒ |f(x) - f(a)| < ε |x - a| < δ_g ⇒ |g(x) - g(a)| < ε とできる。Iを(a - δ_g, a + δ_g)に含まれる任意の閉区間とすると、gは連続関数なので、|g(x)|はIにおいて最大値を取る。それをMとおく。δ = min(δ_f, δ_g)とおくと、 |x - a| < δ⇒ |(fg)(x) - fg(a)| = |f(x)g(x) - f(a)g(a)| = |f(x)g(x) - f(a)g(x) + f(a)g(x) - f(a)g(a)| ≦ |f(x) - f(a)| |g(x)| + |f(a)| |g(x) - g(a)| < (|f(a)| + M)ε。 εは任意であったから、これは(fg)がx = aで連続であることを示している。aは任意であるから、(fg)は連続である。 特に、g = r (定数関数)とおけば、rfは連続関数である。□ 例: kを体とする。Xを不定元とするk係数の多項式全体をk[X]と書く。すなわち k[X] := { a_0 + a_1 X + ... + a_n X^n; n≧0, a_i∈k, 0≦i≦n }。 k[X]は多項式の和を加法、定数倍をスカラー倍として、k上のベクトル空間になる。すなわち f = 蚤_i X^i, g = 巴_i X^i∈k[X], c∈kに対して f + g := (a_i + b_i) X^i cf := 把 a_i X^i。 >>55 修正: > k^nはベクトル空間になる。 k^nは、k上のベクトル空間になる。 例: >>38 のQ(√-1)は自身の上のベクトル空間である。 一方、>>57 と同様、スカラー倍をQに制限することで、Q上のベクトル空間でもある。 kを体、Vをk上のベクトル空間とする。 部分集合W⊂Vが、以下の(1), (2)を満たすとき、WはVの部分空間であるという。 (1) ∀x, y∈W, x + y∈W (2) ∀x∈W, ∀a∈k, ax∈W。 例: kを体、Vをk上のベクトル空間とする。 1点集合{0}およびV自身は、Vの部分空間である。 例: kを体、Vをk上のベクトル空間とする。 v_1, ..., v_n∈Vに対して、 <v_1, ..., v_n> := { a_1 v_1 + ... + a_n v_n; a_i∈k, 0≦i≦n } と定める。<v_1, ..., v_n>はVの部分空間である。 部分空間W⊂Vが W = <v_1, ..., v_n> となるとき、Wはv_1, ..., v_nで生成されると言う。 例: kを体、V = k^nとする。 kの元を係数とする連立一次方程式 a_1,1 x_1 + ... + a_1,n x_n = 0 ... a_m,1 x_1 + ... + a_m,n x_n = 0 ( a_i,j∈k, 1≦i≦m, 1≦j≦n ) の解(x_1, ..., x_n)の集合は、Vの部分空間である。 たとえば、k = Rとするとき、 2x + 3y = 0 を満たす(x, y)∈R^2の集合は <(-3, 2)>⊂R^2 である。 例: kを体、V = k[X]とする。 非負整数nに対して、V_nを V_n := { f∈k[X]; fはn次以下 } と置くと、V_nはVの部分空間である。 例: kを体とする。X_1, ..., X_nを不定元とする多変数の多項式全体をk[X_1, ..., X_n]と書く。すなわち、 k[X_1, ..., X_n] := { 農[I∈{(i_1, ..., i_n)}, 有限和] a_I X^I; a_I∈k} (ただし、I = (i_1, ..., i_n)に対して、a_I X^I := a_(i_1),...(i_n) X_1^i_1 ... X_n^i_n) k[X_1, ..., X_n]はk上のベクトル空間である。 V = k[X_1, ..., X_n]とする。 kを非負整数とする。>>68 と同様に、k次以下の多項式全体は、Vの部分空間である。 また、Vのk次の単項式はC(n + k - 1, k)個あるが、これらで生成される部分空間も、もちろんVの部分空間である。 例: >>58 と同様に、C^0(R)をRからRへの連続関数全体とする。C^0(R)はR上のベクトル空間である。 正の整数nに対して、部分集合C^n(R)⊂C^0(R)を、n回以上微分可能な関数全体とする。 f, gが微分可能であれば、f + gおよび、実数rに対してrfも微分可能であるから、C^n(R)はC^0(R)の部分空間である。 C^∞(R)をRからRへの何回でも微分可能な関数全体とすれば、これもC^0(R)の部分空間である。 C^0(R) ⊃ C^1(R) ⊃ C^2(R) ⊃ ... ⊃ C^∞(R) であり、各々は前のベクトル空間の部分空間である。 例: >>70 の記号で、k = R, V = C^∞(R)とする。 f∈C^∞(R)に対して、 D^n(f) := d^nf/dx^n (n階導関数) D^0(f) := f と定める。R係数の微分方程式 納n=0 to N] a_n D^n(f) = 0 (a_n∈R) を満たすf∈C^∞(R)全体は、C^∞(R)の部分空間になる。 たとえば、a∈Rに対して、 D(f) - af = 0 を満たすf∈C^∞(R)の全体は <e^(ax)> である。(証明略) 例: >>71 の記号で、 D^2(f) + a^2 f = 0 (a∈R) を満たすf∈C^∞(R)全体は、 <cos(ax), sin(ax)> である。 例: ζ = e^(2πi/5)とおく。ζ^5 = 1である。 CをQ上のベクトル空間と見なして、 Q(ζ) := <1, ζ, ζ^2, ζ^3, ζ^4> と置くと、これはQベクトル空間としてのCの部分空間である。 α := ζ + ζ^4 = ζ + ζ^(-1) β := ζ^2 + ζ^3 = ζ^2 + ζ^(-2) とおくと、α - β = √5であるから、 Q(√5) = <1, √5> はQ(ζ)のQ上のベクトル空間としての部分空間である。 kを体、V, Wをk上のベクトル空間とする。 写像f: V → Wは、以下の(1), (2)を満たすとき、線型写像であるという。 (1) ∀x, y∈V, f(x + y) = f(x) + f(y) (2) ∀x∈V, ∀a∈k, f(ax) = af(x) 例: kを体とする。正の整数m, nに対して、M_m,n(k)を以下のように定義する。 M_m,n(k) := { (a_i,j)_i,j; a_i,j∈k, 1≦i≦m, 1≦j≦n } たとえば、M_m,n(k)の元を(m, n)行列という。特にm = nならば、n次正方行列という。 >>76 M_m,n(k)は、成分ごとの加法とスカラー倍により、k上のベクトル空間になる。 すなわち、A = (a_i,j), B = (b_i,j)∈M_m,n(k)と、c∈kに対して、 A + B = (a_i,j + b_i,j) cA = (c a_i,j) >>77 l, m, nを正の整数とする。 A = (a_i,j)∈M_l,m(k), B = (b_i,j)∈M_m,n(k)に対して、AB∈M_l,n(k)を以下のように定義する。 AB = (農[k=1 to m] a_i,k b_k,j) (1≦i≦l, 1≦j≦n) たとえば、 ((a b), (c d))(x, y) = (ax + by, cx + dy) である。(,がついてる方は縦に書くと思ってほしい) 例: kを体、V = k^n, W = k^m。 VはM_n,1(k)、WはM_m,1(k)見なせる。 A∈M_m,n(k)とする。x∈Vに対して、Ax∈Wを対応させる写像 f_A: V → W は線型写像である。 >>79 kを体、V = k^n, W = k^m, U = k^lとする。 A∈M_m,n(k), B∈M_l,m(k)とすると、線型写像 f_A: V → W f_B: W → U が定まるが、この写像の合成と、行列の積はcompatible。すなわち、 f_B ○ f_A = f_BA である。 例: k = R, V = R^2とする。 p = (x, y)∈Vは、正の数rと、αを用いて x = r cos(α) y = r sin(α) と書ける。すなわち、p = r (cos(α), sin(α))。 2次正方行列R(θ)を R(θ) := ((cos(θ) -sin(θ)), (sin(θ) cos(θ))) と置くと、 R(θ)p = r (cos(θ)cos(α) - sin(θ)sin(α), sin(θ)cos(α) + cos(θ)sin(α)) = r (cos(θ + α), sin(θ + α)) これは、原点を中心とするθ回転である。 例: kを体、V = k。a∈kとする。 k = M_1,1(k)だから、aによる掛け算による写像f: V → V f(x) := ax は線型写像である。 例: k = C, V = C。a∈C。 >>82 より、f(z) := azで定まるf: V → Vは、線型写像である。 これは、VをR上のベクトル空間として見ても線型写像である。 例: >>71 の記号で、k = R、V = C^∞(R)とする。 D: V → Vは線型写像である。 >>70 訂正: > C^n(R)⊂C^0(R)を、n回以上微分可能な関数全体とする。 C^n(R)⊂C^0(R)を、n回以上微分可能で、導関数が連続な関数全体とする。 この議論では問題ないと思うが、一般的な定義に合わせる。 例: k = R, Vをx = aで微分可能なRからRへの関数全体のなすベクトル空間とする。 f: V → Rをx = aでの微分係数を取る写像とすると、fは線型写像である。 例: >>58 の記号で、k = R, V = C^0(R)とする。a∈Rとする f∈Vに対して、f(a)∈Rを対応させる写像は、線型写像である。 例: I = [a, b]⊂Rを閉区間とする。 k = R, V = C^0(I)はI上の実数値連続関数全体のなすベクトル空間とする。 Vの元はRiemann積分可能であるから、f∈Vに対して∫_I f dxを対応させる写像が定まる。 この写像は線型写像である。 例: kを体、V = k[X]とする。 多項式f∈Vに対して、その微分df/dXは以下のように定まる。 f = 納i=0 to N] a_i x^i df/dX = 納i=0 to N-1] (i + 1) a_(i + 1) x^i fにdf/dXを対応させる写像は線型写像である。 kを体、V, Wをk上のベクトル空間、f: V→Wを線型写像とする。 Ker(f) := { x∈V; f(x) = 0 } Im(f) := { f(x)∈W; x∈V } と定める。Ker(f)をfの核、Im(f)をfの像と言う。 >>91 命題: Ker(f), Im(f)はそれぞれV, Wの部分空間である。 >>92 証明: >>64 の性質を確かめればよい。 x, y∈Ker(f)とすると、 f(x + y) = f(x) + f(y) = 0 + 0 = 0 より、x + y∈Ker(f)。 x∈Ker(f), a∈kとすると f(ax) = a f(x) = a 0 = 0 より、ax∈Ker(f)。 よって、Ker(f)はVの部分空間。 f(x), f(y)∈Im(f)を任意にとると f(x) + f(y) = f(x + y)∈Im(f) f(x)∈Im(f), a∈kを任意にとると、 a f(x) = f(ax)∈Im(f)。 よって、Im(f)はWの部分空間。□ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる