それって正しいの？
数学の証明という理論がわからないです
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
それって正しいの？
Uが開集合
⇔∀x∈U, ∃開集合V s. t. x∈V⊂U
が成り立ちます。
⇒は、V = U自身と取れば明らかです。
逆を示します。
任意のx∈Uに対して、上を満たすV_xを取ります。
U = ∪[x∈U]V_x
です。
∵すべてのV_xはUにふくまれるので、⊃。すべてのx∈UはV_xにふくまれるので、⊂。
開集合の合併は開集合なのでUは開集合。
Xが弧状連結であるとは、任意の2点x, y∈Xに対して、連続写像p: [0, 1]→Xで
p(0) = x
p(1) = y
となるものが存在することを言う。
空でない2つの開集合U, Vで
X = U ∪ V
U ∩ V = ∅
と書ける。
x∈U, y∈Vを取る。
もし、x, yを結ぶpath p: [0, 1]→Xが存在したとする。
[0, 1]は連結なので、その像も連結でなければならないが、空でない2つの開集合で
p([0, 1]) =(U∩p([0, 1])) ∪ (V∩p([0, 1]))
(U∩p([0, 1])) ∪(V∩p([0, 1])) = ∅
となる。
Xが連結ならば、f(X)も連結である。
空でない開集合U, Vを用いて
f(X) = U ∪ V
U ∩ V = ∅
とできる。このとき、f^(-1)(U), f^(-1)(V)はXの空でない開集合であり、
X = f^(-1)(U) ∪ f^(-1)(V)
f^(-1)(U) ∩ f^(-1)(V) = ∅
となる。
は連結だが弧状連結ではない。
したがって、(0, 0)の任意の近傍が、これと交わることが分かればよい。
なぜなら、もしXが連結でないとすると、(0, 0)を含むXの近傍と、他の空でない開集合とのdisjoint unionで書けることになるが、
それは、{ (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }が連結であることに矛盾するから。
1/x → ∞ (x → 0)
で、sinは周期関数。
だから、どんなに小さなεを取っても、
|x| < ε, |y| < ε
となる点を通る。
とする。同相写像f: X → Rが存在したとすると、これをX＼{(0, 0)}に制限しても同相。
ところが、X＼{(0, 0)}の連結成分の個数は4個で、R＼{f(0, 0)}のそれは2個なので矛盾。
R^2＼{(0, 0)}は単連結ではない。
Xが単連結であるとは、基本群π_1(X)が自明であること。
fとgがホモトピックであるとは、連続写像
H: X × [0, 1] → Y
が存在して、
H(x, 0) = f(x)
H(x, 1) = g(x)
を満たすことです。
H(x, t) = f(x)
とすればよい
H(x, t) を f 〜 gをimplyする写像とします。
H(x, 1 - t)も連続なので、g 〜 fです。
H_1(x, t), H_2(x, t)をそれぞれ、f 〜 g, g 〜 hに対応する連続写像とします。
H(x, t) :=
H_1(x, 2t)（0≦t≦1/2）,
H_2(x, 2t - 1)（1/2≦t≦1）
は連続なので、f 〜 gです。
○ は連続なので、f 〜 hです。
連続写像f: X → Y, g: Y → Xで、
g○f 〜 id_X
f○g 〜 id_Y
をみたすものが存在するとき、XとYはホモトピックであるといいます。
f = g = id_Xと取ればよい
明らか
合成すればいい
g1: Y → X
f2: Y → Z
g2: Z → Y
が、
g1 f1 〜 id_X、f1 g1 〜 id_Y
g2 f2 〜id_Y、f1 g2 〜id_Z
となるとする。
f = f2 f1: X →Z
g = g1 g2: Z → X
が、
g f 〜 id_X、f g 〜 id_Y
となる
g1 (g2 f2) f1
〜 g1 id_Y f1
〜 g1 f1
〜 id_X
と簡約できる
Xのpathとは、連続写像
p: I → X
のことです。
たとえば、X = R^2として、
p_1(x) = (cos(2πx), sin(2πx))
p_2(x) = (cos(4πx), sin(4πx))
は区別します。
Xの2つのpath p, qに対して、その積
q p: I → X
を以下のようにして定めます。
(q p)(t) :=
p(2t)（0≦t≦1/2）,
q(2t - 1)（1/2≦t≦1）
X: 位相空間
Xの2つのpath p, qで
p(1) = q(0)
を満たすものに対して、その積
q p: I → X
を以下のようにして定めます。
(q p)(t) :=
p(2t)（0≦t≦1/2）,
q(2t - 1)（1/2≦t≦1）
以下、俺のノート。
集合kに二項演算
+: k × k → k
*: k × k → k
が定義されていて、以下の条件を満たすとき、kは体であるという。
ある事象で正しいからある事象で正しいってコトだろ？
p(0) = p(1)
をみたすとき、pはXのloopという。
π_x(X) := { p: Xのloop | p(0) = p(1) = x }/〜
と定める。ただし、p〜qはpとqがホモトピックであることである。
x∈X
任意の元
[p], [q] ∈ π_x(X)（p, q: Xのloopでp(0) = q(0) = xとなるもの）
に対して、積[q] [p]を
[q] [p] := [q p]
で定義する。以下、これが代表元の取り方によらないことを示す。
では、定数でないC^∞級関数はどうですか？
もし、f∈A[X]がIに含まれないならば、fはI K[X]にも含まれないと思います。
どのように示しますか？
おそらく、ガウスの補題を使うのだと思います
ステートメントは異なる（そもそもガウスの補題を使うにはAがUFDでないといけない）が、おそらくあなたが使いたい結果は、永田「可換体論」の補題1.6.6にある
RをUFD、KをRの商体
任意のf∈R[X]と、原始多項式g∈R[X]に対して、K[X]で
f = g h （h∈K[X]）
となるなら、h∈R[X]。
だろう。これは、ガウスの補題と同じ方法で証明可能。
その体系の内部ではね
具体的には公理系のこと
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
ニュース
- 【滋賀】いなり寿司を万引きしたとして誤認逮捕され、82時間拘束された女性、涙ながらに苦しい胸の内を明かす… ★3 [Hitzeschleier★]
- ロシア出身YouTuber、経済的困窮で「国ガチャ失敗」？嘆く日本人を一喝「給料13万？自分のせいやん」日本を「大当たり」とする理由は [muffin★]
- 築地市場跡地に5万人規模スタジアム建設へ 事業者は三井不動産など ★２ [ぐれ★]
- 【理研】日本人の祖先は「縄文系」「関西系」「東北系」の３系統か、ゲノム分析で従来の説「縄文と弥生」に疑問 ★2 [樽悶★]
- 大谷翔平を〝見誤った〟北村弁護士が謝罪「大嘘つきにだまされた自分を恥じております」 [muffin★]
- ひろゆき氏 清潔感の基準めぐり持論「ブサイクでデブなおっさんがきちんとしてても、“何かキモ～い”と言われて終わりなんで」 [冬月記者★]
- AFC U23アジアカップ カタール2024★8
- AFC U23アジアカップ カタール2024★6
- AFC U23アジアカップ カタール2024★7
- 巨専】引き分け
- はません 定位置
- 【酒】日本vsUAE【U23アジアカップ】
- 【悲報】だが、ビーガニズムに対する反発がアンチヴィーガンなんだよね
- 【実況】博衣こよりがえちえちplate up🧪★3
- 【実況】博衣こよりがえちえちplate up🧪★5
- 【実況】博衣こよりがえちえちplate up🧪★4
- 同級生に裏垢でおっぱい見せてって言ってる
- お前ら俺のこと愛してるか？