IUTとF1 その3

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檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2010-07-07
モノイドだけで作る幾何空間 準備編

コンヌとコンサニの論文 "Characteristic 1, entropy and the absolute point" （ http://www.alainconnes.org/docs/Jamifine.pdf）を拾い読みすると、次のようなメッセージがあるように思えます。

掛け算があれば、足し算はなくてもいいんじゃないか
今まで可換環が担っていた役割を、吸収元付き可換モノイド（commutative monoid with absorbing element）で代用することがかなりの程度できるようです。ただし、足し算は冗長な概念だったということではなくて、足し算がない世界も存在し得るということです。そして足し算がない世界は、足し算がある世界とは様相が一変します。エキゾチックを超えてミステリアスな世界のようです*1。

以下では、モノイド演算は常に掛け算（乗法）とみなし、その吸収元をゼロと呼びます。足し算は考えないので、ゼロは足し算の中立元（単位元）ではなくて、掛け算により次のように特徴付けられる元です。

・任意のxに対して、x・0 = 0・x = 0

ゼロ付き可換モノイドの圏をCMoZ（Commutative Monoid with Zero から）と書くことにします。CMoZの射は、f(0) = 0 となるモノイド準同型です。（コンヌ／コンサニは、CMoZではなくMoという記法を使っています。）

ここでは、コンヌ／コンサ二に沿って、ゼロ付き可換モノイド概念だけから幾何空間（geometric space）を構成します。「空間」という言葉はやたらに色々な場面で使われるので、本来の幾何学的な空間を幾何空間と呼びます。幾何空間とは位相空間であって、座標や関数環（の類似）の概念を持つものです。デカルトの意味での解析幾何の対象物と言ってもいいかもしれません。

まだ定義はしていませんが、幾何空間の圏をGSと書きます。モノイドがベースなので、モノイド幾何空間または幾何モノイド空間（monoidal geometric space, geometric monoidal space）と呼ぶのが正式ですが、モノイド・ベースだと了解されているなら単に幾何空間とします。モノイド空間とは限らない場合は、「一般の幾何空間」と呼ぶことにします。

一般の幾何空間のアブストラクトナンセンスな定義
Cは圏で、その部分圏Lが与えられているとします。C=(可換環の圏)、L=（局所環の圏）が典型的な例です。圏Cの対象は、空間の上に棲んでいる関数達の集合を表現するモノです。部分圏Lの対象は特に、1点での関数芽の集合を表現するのに適したモノ、Lの射は1点の周辺の対応を記述するモノですね。茎や芽の概念を定義するために、圏Cでは、有向系（directed family of objects）の極限が取れる必要があります。

つづく