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つづき

9 タイヒミュラー空間の定義
今回の目標はとにかく，タ空間を定義することにある．最初に前回の補足として例外型・双曲型
リーマン面について解説したあと，言葉の準備（写像の持ち上げ，リーマン面上の擬等角写像）をし
て，定義に取り掛かる．定義の意味については，次回に．
以下，S, R をリーマン面とする．

9.2 写像の持ち上げ

9.3 リーマン面間の擬等角写像の定義

9.5 タイヒミュラー空間の定義
いよいよ，「リーマン面 S のタイヒミュラー空間」を定義する．とりあえず，形式的に定義を済ま
せてしまおう．
S とそのアトラス A を固定する．つぎに，別のリーマン面 R で，S からの向きを保つ擬等角写像
f : S → R が存在するようなもの全体を考える．もう少し形式的に，そのような f と R のペアとし
て (R, f) の形のもの全体を考えるのである．この写像 f をマーキング (marking) と呼び，(R, f) を
マークされたリーマン面 (marked Riemann surface) と呼ぶ．
その全体の集合に，次の同値関係を考えよう：

このとき，同値類の集合
T(S) = {(R, f)}/^T
を S のタイヒミュラー空間 (Teichm¨uller space) と呼ぶ．
このように定義を与えられても，大概の人にとっては意味不明であろう．たとえば，次のような疑
問点が生じる：

つづく