定義(等角同型). ふたつのリーマン面 S と R が等角同型 (conformally isomorphic) または単に 同型 (isomorphic) であるとは,ある正則(等角)な同相写像 h : S → R が存在するときをいう. 定理 7.1 (一意化定理) 任意のリーマン面は,次のような形のリーマン面 R と等角同 型である: R = X/Γ ただし X = C?, C, もしくは D であり,Γ は P SL(2, C) のある離散部分群. まだ P SL(2, C) が X がどのように作用するのかが説明されていないので,現時点ではかなりあいま い主張であるが,この X/Γ がモデルに相当するリーマン面である.とりあえず,「任意のリーマン面 は,ごくごく簡単なリーマン面を,P SL(2, C) という比較的素性のよくわかっている群の部分群で 割ったものと同等だ」という部分に意味がある.1 以下ではその構成方法を概観するが,その手順は はあたかも,地球から地球儀を構成するかのようである.地表をくまなく歩いて地図帳を作り,それ を使い慣れた材質に写し取りながら模型を構成していく. まずは準備段階として,定理の証明に必要な「基本群と被覆空間」の用語を復習しつつ,リーマン 面の普遍被覆空間を構成する.2
8 リーマン面の一意化定理 一意化定理の証明を終わらせよう.手順としては,
8.2 商リーマン面の構成
8.3 リーマン面の一意化
単連結リーマン面の一意化定理. まず次の定理は証明無しで用いよう: 定理 8.5 (ケーベ,ポアンカレ) 任意の単連結リーマン面 X は,C?, C,もしくは D と 等角同型である. 証明は簡単ではない.まずコンパクトな場合(C? )とそうでないでない場合に分け,さらにグリーン 関数が構成できる(D)かできない(C)かで区別される.
9 タイヒミュラー空間の定義 今回の目標はとにかく,タ空間を定義することにある.最初に前回の補足として例外型・双曲型 リーマン面について解説したあと,言葉の準備(写像の持ち上げ,リーマン面上の擬等角写像)をし て,定義に取り掛かる.定義の意味については,次回に. 以下,S, R をリーマン面とする.
9.2 写像の持ち上げ
9.3 リーマン面間の擬等角写像の定義
9.5 タイヒミュラー空間の定義 いよいよ,「リーマン面 S のタイヒミュラー空間」を定義する.とりあえず,形式的に定義を済ま せてしまおう. S とそのアトラス A を固定する.つぎに,別のリーマン面 R で,S からの向きを保つ擬等角写像 f : S → R が存在するようなもの全体を考える.もう少し形式的に,そのような f と R のペアとし て (R, f) の形のもの全体を考えるのである.この写像 f をマーキング (marking) と呼び,(R, f) を マークされたリーマン面 (marked Riemann surface) と呼ぶ. その全体の集合に,次の同値関係を考えよう:
It can be viewed as a moduli space for marked hyperbolic structure on the surface, and this endows it with a natural topology for which it is homeomorphic to a ball of dimension 6g-6 for a surface of genus g >= 2. In this way Teichmuller space can be viewed as the universal covering orbifold of the Riemann moduli space.
Contents 1 History 2 Definitions 2.1 Teichmuller space from complex structures 2.2 The Teichmuller space of the torus and flat metrics 2.3 Finite type surfaces 2.4 Teichmuller spaces and hyperbolic metrics 2.5 The topology on Teichmuller space 2.6 More examples of small Teichmuller spaces 2.7 Teichmuller space and conformal structures 2.8 Teichmuller spaces as representation spaces 2.9 A remark on categories 2.10 Infinite-dimensional Teichmuller spaces 3 Action of the mapping class group and relation to moduli space 3.1 The map to moduli space 3.2 Action of the mapping class group 3.3 Fixed points 4 Coordinates 4.1 Fenchel?Nielsen coordinates 4.2 Shear coordinates 4.3 Earthquakes 5 Analytic theory 5.1 Quasiconformal mappings 5.2 Quadratic differentials and the Bers embedding 5.3 Teichmuller mappings 6 Metrics 6.1 The Teichmuller metric 6.2 The Weil?Petersson metric 7 Compactifications 7.1 Thurston compactification 7.2 Bers compactification 7.3 Teichmuller compactification 7.4 Gardiner?Masur compactification 8 Large-scale geometry 9 Complex geometry 9.1 Metrics coming from the complex structure 9.2 Kahler metrics on Teichmuller space 9.3 Equivalence of metrics 10 See also 11 References 12 Sources 13 Further reading
History Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus g >= 2. The early study of Teichmuller space, in the late nineteenth?early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces. Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincare, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.
The main contribution of Teichmuller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject. They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works. After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers. The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmuller space (introduced by Bers).
The geometric vein in the study of Teichmuller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmuller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory. (引用終り) 以上 0259132人目の素数さん2022/06/12(日) 23:01:59.33ID:Vf6rE6Wr 擬等角写像 Quasiconformal mapping
https://en.wikipedia.org/wiki/Quasiconformal_mapping Quasiconformal mapping Contents 1 Definition 2 A few facts about quasiconformal mappings 3 Measurable Riemann mapping theorem 4 Computational quasi-conformal geometry 0260132人目の素数さん2022/06/12(日) 23:11:50.47ID:Vf6rE6Wr 似ているが、ちょっと違う Quasiregular map:between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally,・・ https://en.wikipedia.org/wiki/Quasiregular_map Quasiregular map In the mathematical field of analysis, quasiregular maps are a class of continuous maps between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally, between Riemannian manifolds of the same dimension, which share some of the basic properties with holomorphic functions of one complex variable.
Contents 1 Motivation 2 Definition 3 Properties 4 Rickman's theorem 5 Connection with potential theory 0261132人目の素数さん2022/06/12(日) 23:24:14.69ID:Vf6rE6Wr Punctured Torus Group https://www.cajpn.org/ref.html 複素解析学ホームページ 資料室
謝辞.本稿§5は藤原一宏氏の許可の下,2001年1月10日及び11日の藤原氏の北海道大学での講 演のノートを基にして記述した.藤原氏に感謝したい.また査読者の方々からは,文章構成などに関 して多くのお知恵を頂いた.査読者の方々に感謝したい. (引用終り) 以上 0278132人目の素数さん2022/06/25(土) 20:14:53.38ID:rjLBI7WThttps://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/ 田崎博之のページ 2023年3月末日に勤務している筑波大学を定年退職します。 それに伴ってこのホームページは閉鎖します。 その際、ホームページの全部または一部をどこかに移設しようと考えています。 移設先や内容についてアドバイスやご意見等ありましたら、 お知らせいただければ幸いです。 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/lecture.html 講義 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI.html 数理物質科学研究科:微分幾何学I(月2) ファイバー束 pdf : 講義資料(7月22日分まで) https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI2019-dist.pdf http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI2019-dist.pdf 第1章 基本群と被覆空間 0279132人目の素数さん2022/06/25(土) 23:10:27.85ID:rjLBI7WThttp://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~hirai/ Hiroshi Hirai Associate Professor Department of Mathematical Informatics, Graduate School of Information Science and Technology, University of Tokyo, Tokyo, 113-8656, Japan.
https://ncatlab.org/nlab/show/Teichm%C3%BCller+theory Teichmuller theory nLab Contents 1. Idea 2. Properties Complex structure on Teichmuller space Relation to moduli stack of complex curves / Riemann surfaces 3. Related concepts 4. References
3. Related concepts Kodaira-Spencer theory moduli space of curves Grothendieck-Teichmuller group quantum Teichmuller theory p-adic Teichmuller theory inter-universal Teichmuller theory Outer space for version in supergeometry see at super Riemann surface
Quantization of Teichmuller spaces and the quantum dilogarithm RM Kashaev Letters in Mathematical Physics 43 (2), 105-115 引用246 1998年
http://sciencewise.info/resource/Teichm_ller_modular_group/Teichm%C3%BCller_modular_group_by_Wikipedia ScienceWISE Mapping class group of a surface From Wikipedia, the free encyclopedia In mathematics, and more precisely in topology, the mapping class group of a surface, sometimes called the modular group or Teichmuller modular group, is the group of homeomorphisms of the surface viewed up to continuous (in the compact-open topology) deformation. It is of fundamental importance for the study of 3-manifolds via their embedded surfaces and is also studied in algebraic geometry in relation to moduli problems for curves.
The mapping class group can be defined for arbitrary manifolds (indeed, for arbitrary topological spaces) but the 2-dimensional setting is the most studied in group theory. The mapping class group of surfaces are related to various other groups, in particular braid groups and outer automorphism groups.
Contents 1 History 2 Definition and examples 2.1 Mapping class group of orientable surfaces 2.2 The mapping class groups of the sphere and the torus 2.3 Mapping class group of surfaces with boundary and punctures 2.4 Mapping class group of an annulus 2.5 Braid groups and mapping class groups 2.6 The Dehn?Nielsen?Baer theorem 2.7 The Birman exact sequence 3 Elements of the mapping class group 3.1 Dehn twists 3.2 The Nielsen?Thurston classification 3.3 Pseudo-Anosov diffeomorphisms 4 Actions of the mapping class group 4.1 Action on Teichmuller space 4.2 Action on the curve complex 4.3 Other complexes with a mapping class group action 4.3.1 Pants complex 4.3.2 Markings complex 5 Generators and relations for mapping class groups 5.1 The Dehn?Lickorish theorem 5.2 Finite presentability 5.3 Other systems of generators 5.4 Cohomology of the mapping class group 6 Subgroups of the mapping class groups 6.1 The Torelli subgroup 6.2 Residual finiteness and finite-index subgroups 6.3 Finite subgroups 6.4 General facts on subgroups 7 Linear representations (引用終り) 以上 0283132人目の素数さん2022/07/03(日) 07:48:51.05ID:ufzWvOVH>>281 関連 http://pantodon.jp/index.rb?body=Teichmuller_space Algebraic Topology: A guide to literature Teichuller空間 Last updated on 2021-07-08
Riemann面に関係したことを考えるときには Teichuller空間は必ず必要になる。
・Riemann面のmoduli spaceは Teichmuller spaceのmapping class groupによる商空間 ・Teichmuller空間はEuclid空間と同相であり, よって可縮
またRiemann面のmoduli spaceはmapping class groupの分類空間にかなり近いものであることも分か る。実際, Harerは[Har86]で, 「割る前」のTeichmuller空間を mapping class groupの作用を込めて考え, mapping class groupのvirtual cohomological dimensionの評価を得ている。
座標変換はまず φ?1 で M に戻してから ψ によって座標のある集合 V ' に写す写像である。間に座標が決められていない空間 M を挟む形になっているものの、座標変換全体はユークリッド空間の部分集合 U ' からユークリッド空間の部分集合 V ' への写像になっている。すなわち M を経由しているという事実を無視し、座標変換を合成写像としてではなく全体で 1 つの写像として捉えると、それは普通のユークリッド空間からユークリッド空間への写像である。
m 次元座標近傍の族 S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} が M 全体を覆っているとする:
極大座標近傍系 m 次元位相多様体 M に対し Cn 級座標近傍系として S と T の 2つを取るとする。和集合 S ∪ T が再び M のCn 級座標近傍系になるとき、 S と T は同値であるという。これは同値関係を定める。これは S に属する座標近傍と T に属する座標近傍の間にも座標変換が存在し S での計算と T での計算に違いが無いという性質を保証するための同値関係である。
こうして座標近傍系の取り方に依存しない Cn 級多様体が定義される。m 次元位相多様体 M 上に互いに微分同相でない複数の微分構造が存在することもある。
多様体上の関数 m 次元 Cn 級多様体 M 上で定義された実数値関数 f を考える。
f: M → R これは、多様体上の点 p ∈ M に対して実数値 f(p) を対応させる関数である。特定の局所座標を考えているわけではないので、この関数の変数は (x1, x2, ..., xm) のように数を並べた座標ではなく単に点を表している。
{ φ(t) ∈ M | t ∈ I} という点の集合を曲線というのではなく、写像 φ を曲線というのである。なお、φ の変数 t を媒介変数という。
a ? c < d ? b とする。φ が 開区間 I = (a,b) で定義された Cr 級曲線であるとき、 I に含まれる閉区間 [c,d] や 半開区間 [c,d), (c,d] に φ の定義域を制限して得られる写像も Cr 級曲線という。
歴史 多様体の歴史はゲッティンゲンで行われたリーマンの講演に始まる。
多様体論は、ロバチェフスキーの双曲幾何学によって始まった非ユークリッド幾何学やガウスの曲面論を背景として様々な幾何学を統一し、 n 次元の幾何学へと飛躍させた。発見当初はカント哲学に打撃を与えた非ユークリッド幾何学も多様体論の一例でしかなくなってしまった。
リーマンがゲッティンゲン大学の私講師に就任するために行った講演『幾何学の基礎に関する仮説について』の中で「何重にも拡がったもの」と表現した概念が n 次元多様体のもとになり n 次元の幾何学に関する研究が始まった。この講演を聴いていたガウスがその着想に夢中になり、(ガウスは普段はあまり表立って他人を褒めることはなかったが、)リーマンの着想がいかに素晴らしいかを同僚に語り続けたり、帰り道にうわの空で道端の溝に落ちたりしたと言われている。
原文 Hermann Weyl gave an intrinsic definition for differentiable manifolds in his lecture course on Riemann surfaces in 1911?1912, opening the road to the general concept of a topological space that followed shortly. During the 1930s Hassler Whitney and others clarified the foundational aspects of the subject, and thus intuitions dating back to the latter half of the 19th century became precise, and developed through differential geometry and Lie group theory. Notably, the Whitney embedding theorem[6] showed that the intrinsic definition in terms of charts was equivalent to Poincare's definition in terms of subsets of Euclidean space. (引用終り) 以上 0300132人目の素数さん2022/07/14(木) 16:57:25.04ID:/Ighvrnv これいいね! https://www.youtube.com/watch?v=gLSbnGns1M4 【位相幾何】被覆空間の定義とリフトの一意性【代数トポロジー】 578 回視聴 2022/02/16 【参考文献】 ・講座 数学の考え方〈15〉代数的トポロジー https://www.アマゾン.co.jp/%E8%AC%9B%E5...
ヘンゼルの補題(ヘンゼルのほだい、英: Hensel's lemma)とは、1変数多項式が素数 p を法として単根(英語版)を持つならば、その根は p の任意の冪乗を法とする根に一意的に持ち上げられるという、合同算術における補題である。この補題は、多項式が法 p で2つの互いに素な多項式(英語版)に因数分解できるならば、その因数分解は p の任意の冪乗を法とする因数分解に持ち上げることができるという補題に一般化できる。因数分解に現れる多項式の次数が1の場合が根の場合に相当する。ヘンゼルの持ち上げ補題(英: Hensel's lifting lemma)とも呼ばれる。名称はクルト・ヘンゼルに因む。
p の冪指数を無限に大きくしていったときの(射影極限の意味での)極限を取ることにより、法 p での根(または因数分解)を p 進整数上での根(または因数分解)に持ち上げることができる。
還元と持ち上げ R を可換環、I を R のイデアルとする。R の元を標準写像 R\→ R/I による像で置き換えることを、I を法とする還元、または法 I での還元と呼ぶ。 持ち上げとは還元の逆の操作である。つまり、R/I の元を使って表されている対象があったとき、持ち上げとは対象の性質を保ったまま還元するとこの対象に等しくなるように R(もしくはある k > 1 に対する R/I^{k}の元に置き換えることをいう。
Power series Main article: Formal power series Power series generalize the choice of exponent in a different direction by allowing infinitely many nonzero terms. This requires various hypotheses on the monoid N used for the exponents, to ensure that the sums in the Cauchy product are finite sums. Alternatively, a topology can be placed on the ring, and then one restricts to convergent infinite sums. For the standard choice of N, the non-negative integers, there is no trouble, and the ring of formal power series is defined as the set of functions from N to a ring R with addition component-wise, and multiplication given by the Cauchy product. The ring of power series can also be seen as the ring completion of the polynomial ring with respect to the ideal generated by x.