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IUTを読むための用語集資料スレ2

0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/01(火) 18:11:43.01ID:g/5kciS4
テンプレは後で
0190１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 09:38:15.90ID:DhlSCn4I
”過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）”
これは、結構重要な文献だね
ここに、IUTの構想が示されている

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
望月 過去と現在の
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Kako%20to%20genzai%20no%20kenkyu.pdf
・過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）
初期の歩み
学位を取得した 1992 年夏から 2000 年夏までの私の研究の主なテーマは次の三つ
に分類することができます：
(a) p 進 Teichm¨uller 理論：(1993 年〜1996 年)
この理論は、複素数体上の双曲的リーマン面に対する Koebe の上半平面に
よる一意化や、そのモジュライに対する Bers の一意化の p 進的な類似と見る
こともでき、また Serre-Tate の通常アーベル多様体に対する標準座標の理論の
双曲曲線版と見ることもできる。詳しくは、
A Theory of Ordinary p-adic Curves
や
An Introduction to p-adic Teichm¨uller Theory
をご参照下さい。　
(b) p 進遠アーベル幾何：(1995 年〜1996 年)
この理論の代表的な定理は、「劣 p 進体」（＝ p 進局所体上有限生成な体の部
分体）上の相対的な設定において、双曲的曲線への任意の多様体からの非定数
的な射と、それぞれの数論的基本群の間の開外準同型の間に自然な全単射が存
在するというものである。詳しくは、　
The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves
をご参照下さい。
(c) 楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論：(1998 年〜2000 年)
この理論の目標は、複素数体や p 進体上で知られている Hodge 理論の類似
を、数体上の楕円曲線に対して Arakelov 理論的な設定で実現することにある。
代表的な定理は、数体上の楕円曲線の普遍拡大上のある種の関数空間と、楕円
曲線の等分点上の関数からなる空間の間の、数体のすべての素点において計量
と（ある誤差を除いて）両立的な全単射を主張するものである。この理論は、
古典的なガウス積分
∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π
の「離散的スキーム論版」と見ることもできる。詳しくは、　
A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I, II
をご参照下さい。

つづく
0191１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 09:38:56.87ID:DhlSCn4I
>>190
つづき

新たな枠組への道
Hodge-Arakelov 理論では、数論的な Kodaira-Spencer 射が構成されるなど、
ABC 予想との関連性を仄めかすような魅力的な側面があるが、そのまま「ABC 予
想の証明」に応用するには、根本的な障害があり不十分である。このような障害を克
服するためには、
通常の数論幾何のスキーム論的な枠組を超越した枠組
が必要であろうとの直感の下、2000 年夏から 2006 年夏に掛けて、そのような枠組を
構築するためには何が必要か模索し始め、またその枠組の土台となる様々な数学的イ
ンフラの整備に着手した。このような研究活動を支えた基本理念は、次のようなも
のである：　
注目すべき対象は、特定の数論幾何的設定に登場する個々のスキーム等ではな
く、それらのスキームを統制する抽象的な組合せ論的パターンないしはそのパ
ターンを記述した組合せ論的アルゴリズムである。　
このような考え方を基にした幾何のことを、「宇宙際（Inter-universal=IU）幾
何」と呼ぶことにした。念頭においていた現象の最も基本的な例として次の三つが
挙げられる：
・ログ・スキームの幾何におけるモノイド
・遠アーベル幾何における数論的基本群＝ガロア圏
・退化な安定曲線の双対グラフ等、抽象的なグラフの構造
この三つの例に出てくる「モノイド」、「ガロア圏」、「グラフ」は、いずれも、「圏」
という概念の特別な場合に当たるものと見ることができる。（例えば、グラフの場合、
グラフ上のパスを考えることによって圏ができる。）従って、IU 幾何の（すべてでは
ないが）重要な側面の一つは、　
「圏の幾何」
で表されるということになる。特に、遠アーベル幾何の場合、この「圏の幾何」に対
応するのは、
絶対遠アーベル幾何
（＝基礎体の絶対ガロア群を、元々与えられたものとして見做さない設定での遠アー
ベル幾何）である。

つづく
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 09:41:25.89ID:DhlSCn4I
>>191
つづき

この 6 年間（＝ 2000 年夏〜2006 年夏）の、
「圏の幾何」や絶対遠アーベル幾何
を主テーマとした研究の代表的な例として、次のようなものが挙げられる：
・The geometry of anabelioids （2001 年）
スリム（＝任意の開部分群の中心が自明）な副有限群を幾何的な対象として扱い、
その有限次エタール被覆の圏の性質を調べる。特に、p 進体上の双曲曲線の数論的基
本群として生じる副有限群の場合、この圏は、上半平面の幾何を連想させるような
絶対的かつ標準的な「有界性」等、様々な興味深い性質を満たす。
・The absolute anabelian geometry of canonical curves （2001 年）
p 進 Teichm¨uller 理論に登場する標準曲線に対して、p 進体上のものとして初とな
る絶対遠アーベル幾何型の定理を示す。

・Categorical representation of locally noetherian log schemes （2002 年）
スキームやログ・スキームが、その上の有限型の（ログ）スキームの圏から自然
に復元されるという、1960 年代に発見されてもおかしくない基本的な結果を示す。
・Semi-graphs of anabelioids （2004 年）
古典的な「graph of groups」の延長線上にある「semi-graph of anabelioids」に対
して、様々なスキーム論的な「パターン」が忠実に反映されることや、それに関連し
た「遠アーベル幾何風」の結果を証明する。
・A combinatorial version of the Grothendieck conjecture （2004 年）
退化な安定曲線に付随する「semi-graph of anabelioids」を、スキーム論が明示的
に登場しない、抽象的な組合せ論的枠組で取り上げ、様々な「遠アーベル幾何風」の
「復元定理」を示す。
・Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic Riemann surfaces （2004 年）
双曲的リーマン面の幾何を二通りのアプローチで圏論的に記述する。そのうちの
一つは、上半平面による一意化を出発点としたもので、もう一つは、リーマン面上の
「長方形」（＝等角構造に対応）や「平行四辺形」（＝疑等角構造に対応）によるものである。

つづく
0193１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 09:44:47.36ID:DhlSCn4I
>>192
つづき

・Absolute anabelian cuspidalizations of proper hyperbolic curves （2005年）
固有な双曲曲線の数論的基本群から、その開部分スキームの数論的基本群を復元
する理論を展開する。この理論を、有限体や p 進体上の絶対遠アーベル幾何に応用
することによって、様々な未解決予想を解く。

・The geometry of Frobenioids I, II （2005 年）
ガロア圏のような「´etale 系」圏構造と、（ログ・スキームの理論に出てくる）モ
ノイドのような「Frobenius 系」圏論的構造が、どのように作用しあい、またどのように類別できるかを研究する。

数体に対する Teichm¨uller 理論
2006 年の後半から、目指すべき理論の形がようやく固まってきて、その理論を記
述するための執筆活動が本格的に始まった。この理論の「形」とは、一言で言うと、
巾零通常固有束付きの正標数の双曲曲線に対して展開する p 進 Teichm¨uller 理
論と、「パターン的に」類似的な理論を、一点抜き楕円曲線付きの数体に対し
て展開する　
という内容のものである。因みに、ここに出てくる（数体上の）「一点抜き楕円曲線」
の中に、その楕円曲線の上に展開される Hodge-Arakelov 理論が含まれている。こ
の理論のことを、「IU Teichm¨uller 理論」（＝「IU Teich」）と呼ぶことにした。
IUTeich の方は、本質的にスキーム論の枠組の外（＝「IU 的な枠組」）で定式化される
理論であるにも関わらず、調べれば調べるほど p 進 Teichm¨uller 理論（＝「pTeich」）
との構造的、「パターン的」類似性が、意外と細かいところまで及ぶものであること
に幾度となく感動を覚えたものである。　　
2006 年〜2008 年春の「IUTeich の準備」関連の論文は次の四篇である：

つづく
0194１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 09:46:23.12ID:DhlSCn4I
>>193
つづき
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
（2006 年）
p 進局所体上の退化する楕円曲線（＝ Tate curve）のある被覆の上に存在するテー
タ関数に付随する Kummer 類をエタール・テータ関数と呼ぶ。このエタール・テー
タ関数や、テータ自明化に付随する Kummer 理論的な対象は、様々な興味深い絶対
遠アーベル的な性質や剛性性質を満たしている。これらの性質の一部は Frobenioid
の理論との関連で初めて意義を持つものになる。また、このエタール・テータ関数
は、IUTeich では、pTeich における標準的 Frobenius 持ち上げに対応する対象を定
める予定である。この Frobenius 持ち上げの類似物を微分することによって ABC 予
想の不等式が従うと期待している。このようにして不等式を出す議論は、　
「正標数の完全体の Witt 環上の固有で滑らかな種数 g 曲線の上に Frobenius 持
ち上げが定義されていると仮定すると、その持ち上げを微分して微分層の次数
を計算することにより、不等式
g ? 1
が従う」
という古典的な議論の IU 版とも言える。

・Topics in absolute anabelian geometry I: generalities （2008 年）
このシリーズ（＝ I,II,III）の主テーマは、絶対遠アーベル幾何を、「Grothendieck
予想型の充満忠実性」を目標とした視点ではなく、「群論的なアルゴリズム＝ソフト」
の開発に軸足を置いた視点で研究するというものである。この第一論文では、様々な
準備的な考察を行う。代表的な定理では、玉川安騎男氏に伝え聞いた未出版の結果か
ら、（半）絶対 p 進遠アーベル幾何では初となる Grothendieck 予想型の「Hom 版」
を導く。因みに、この定理は IUTeich とは直接関係のない結果である。
・Topics in absolute anabelian geometry II: decomposition groups
（2008 年）
IUTeich のための準備的な考察とともに、IUTeich とは論理的に直接関係のない
配置空間の絶対遠アーベル幾何や、点の分解群から基礎体の加法構造を絶対 p 進遠
アーベル幾何的な設定で復元する理論を展開する。ただ、後者の p 進的な理論では、
上述の「Frobenius 持ち上げの微分から不等式を出す」議論を用いており、哲学的
には IUTeich と関係する側面がある

つづく
0195１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 09:46:54.86ID:DhlSCn4I
>>194
つづき

・Topics in absolute anabelian geometry III: global reconstruction algorithms （2008 年）
「Grothendieck 予想型の充満忠実性」を目標とする「双遠アーベル幾何」（＝ bianabelian geometry）と一線を画した「単遠アーベル幾何」（＝ mono-anabelian geometry）を数体上の大域的な設定で展開する。
これは正にIUTeich で用いる予定の遠アーベル幾何
である。この理論の内容や「IUTeich 構想」との関連性については、論文の Introduction をご参照下さい。
ここで興味深い事実を思い出しておきたい。そもそも Grothendieck が有名な
「Faltings への手紙」等で「遠アーベル哲学」を提唱した重要な動機の一つは正に diophantus幾何への応用の可能性にあったらしい。
つまり、遠アーベル幾何が（ABC 予想への応用が期待される）IUTeich で中心的な役割を果たすことは、一見して Grothendieck の直感にそぐった展開に見受けられる。

つづく
0196１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 09:47:42.29ID:DhlSCn4I
>>195
つづき

一方、もう少し「解像度を上げて」状況を検証すると、それほど単純な関係にあるわけではないことが分かる。例えば、
Grothendieck が想定していた応用の仕方では、数体上の「セクション予想」によっ
て数体上の有理点の列の極限を扱うことが可能になるという観察が議論の要となる。
これとは対照的に、「IUTeich 構想」では、（数体上のセクション予想ではなく）
数体と p 進体の両方に対して両立的に成立する（絶対遠アーベル幾何の一種で
ある）単遠アーベル的アルゴリズムが主役を演じる
予定である。この「単遠アーベル的アルゴリズム」は、pTeich における MF∇-object
の Frobenius 不変量に対応するものであり、即ち p 進の理論における
Witt 環の Teichm¨uller 代表元や pTeich の標準曲線
の「IU 的類似物」と見ることができる。別の言い方をすれば、この「単遠アーベル的
アルゴリズム」は、一種の標準的持ち上げ・分裂を定義しているものである。また、（単
遠アーベル的な）「ガロア系」の対象が p 進の理論における crystal（＝ MF∇-object
の下部 crystal）に対応しているという状況には、Hodge-Arakelov 理論における「数
論的 Kodaira-Spencer 射」（＝ガロア群の作用による）を連想させるものがある。 　
2008 年 4 月から IUTeich 理論の「本体」の執筆に取り掛かる予定である。この作
業は、ごく大雑把に言うと、次の三つの理論を貼り合わせることを主体としたものである：

つづく
0197１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 09:48:16.96ID:DhlSCn4I
>>196
つづき

・The geometry of Frobenioids I, II
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
・Topics in absolute anabelian geometry III
因みに、2000 年夏まで研究していたスキーム論的な Hodge-Arakelov 理論がガウス
積分
∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π
の「離散的スキーム論版」だとすると、IUTeich は、
このガウス積分の「大域的ガロア理論版ないしは IU 版」
と見ることができ、また古典的なガウス積分の計算に出てくる「直交座標」と「極座
標」の間の座標変換は、（IU 版では）ちょうど「The geometry of Frobenioids I, II」
で研究した「Frobenius 系構造」と「´etale 系構造」の間の「比較理論」に対応して
いると見ることができる。この「本体」の理論は、現在のところ二篇の論文に分けて
書く予定である。　
・Inter-universal Teichm¨uller theory I: Hodge-Arakelov-theoretic aspects
（2009 年に完成（？）予定）
p 進 Teichm¨uller 理論における曲線や Frobenius の、「mod pn」までの標準持ち上
げに対応する IU 版を構成する。
・Inter-universal Teichm¨uller theory II: limits and bounds （2010 年に完成（？）予定）
上記の「mod pn」までの変形の n を動かし、p 進的極限に対応する「IU 的な極
限」 を構成し、pTeich における Frobenius 持ち上げの微分に対応するものを計算する。
(引用終り)
以上
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/03(月) 11:20:28.50ID:M7Pqf1pT
これ良いね
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
平成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，H180731)
ガロア理論とその発展 玉川安騎男
§0. はじめに
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代
数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」と
いう代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研
究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。
この講義では、まず、ガロア理論の基本定理の感じをつかんでもらう
ことを目標にしたいと思います。次に、ガロア理論の古典的に有名な応用
（ギリシャ数学３大難問のうちの角の３等分問題と立方体倍積問題の否定
的解決、あるいは、５次以上の方程式の加減乗除とべき根のみを用いた解
の公式の非存在の証明、など）の中から題材を選んで解説したいと思いま
す。最後に、遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロ
ア理論の展開についても紹介したいと思います。

§5. ガロア理論の発展 - 無限次ガロア理論と遠アーベル幾何
5.1. 無限次ガロア理論

上記の同値な条件のいずれか（したがって全て）が成立する時、L/K
をガロア拡大と言い、このとき、Aut(L/K) を Gal(L/K) と記し、L の
K 上のガロア群と呼びます。一般には Gal(L/K) は有限群になりません
が、「副有限群」という特別な種類の群になり、「位相」が入って「位相
群」となることがわかります。この場合も、次のようなガロア対応が存在
します。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
射有限群（英語: pro-finite group）あるいは副有限群は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。

射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_group
Profinite group
(引用終り)
以上
0199１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/01(火) 17:50:40.36ID:Igtg+Ugu
フェセンコ、コーチェル・ビルカー、極小モデル

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B3
イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）
博士課程
指導学生 コーチェル・ビルカー

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%93%E3%83%AB%E3%82%AB%E3%83%BC
コーチェル・ビルカー (Caucher Birkar, 1978年 - )
2016年、AMSジャーナル(2010)における「対数一般型多様体に対する極小モデルの存在」の論文(P. カッシーニ（イタリア語版）、C. ヘコン（英語版）、J. マッカーナン（英語版）との共著、通称頭文字をとって[BCHM]と言われる)に対して、AMSムーア賞（英語版）を授賞した[8]。そして2018年、ビルカーに、「ファノ多様体の境界性の証明と極小モデルプログラムへの貢献」に対して、フィールズ賞が授与された[9]。

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~masayuki/Website/reports.html
Website of Masayuki Kawakita
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~masayuki/Website/Documents/public_text10.pdf
極小モデル理論の発展 第32回数学入門公開講座, 31-44 (2010)
川北真之
代数幾何学の扱う対象は，代数多様体と呼ばれる，連立多項式の共通零点集合として定義さ
れる図形です．極小モデル理論とは，変数変換で写り合う代数多様体たちを本質的に同じもの
と捉え，各々の中から代表的な代数多様体を抽出する理論です．抽出の過程で多様体上の余計
な曲線を収縮させるのですが，収縮によって悪い特異点を持つ多様体が生じます．それを回復
させる操作がフリップと呼ばれる変換で，極小モデル理論において中心的な役割を果たします．
3 次元極小モデル理論は森によるフリップの存在を中心として 90 年代に完成しましたが，その
高次元化は暫く模索段階でした．ところが 2006 年，ビルカー，カッシーニ，ヘイコン，マッ
カーナンは一般次元のフリップの存在を証明し，極小モデル理論は大きな前進を遂げました．
講座では，このような極小モデル理論の最近の発展を，わかりやすく紹介します．
0200１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/03(木) 07:10:16.37ID:azzG9pAA
「これ良いね」「これ良いね」言って貼ってるけど
それ等の何が具体的にどう良いんだよ摘まみ食い野郎
0202１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/06(日) 12:08:54.90ID:dcjQr8w9
これ分かり易いね

https://tsujimotter.はてなブログ/entry/affine-scheme-2
tsujimotterのノートブック
2019-05-07
アフィンスキームとは何だろうか(2)
前回はアフィンスキームの定義に向けて、環のスペクトルとザリスキー位相という概念を紹介しました。位相が入ったので、環のスペクトルが位相空間になりました。
今日は、位相空間の上の 構造層 がテーマです。最終的には、アフィンスキームを定義するところまでいきたいと思います。

本記事の目次：
4. 構造層
代数多様体のアナロジー
構造層の定義
具体例：X = Spec(Z) の場合
前層と層
用語の定義
5. アフィンスキームの定義
アフィンスキームの具体例1：Spec(Z)の場合
アフィンスキームの具体例2：Spec(O_K)の場合（代数体の整数環）
アフィンスキームの具体例3：Spec(K)の場合（体の場合）
おわりに
参考文献
次回はこちら
0203１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/06(日) 13:08:03.55ID:dcjQr8w9
これ分かり易いね

https://tsujimotterはてなブログ/entry/affine-scheme-1
tsujimotterのノートブック
2019-05-06
アフィンスキームとは何だろうか(1)

第１部（本記事）：
1. 代数幾何の基本
2. 環のスペクトル
3. ザリスキー位相

第２部（5/7公開予定）：
4. 構造層
5. アフィンスキームの定義

第３部（5/8公開予定）：
6. アフィンスキームの射
7. アフィンスキームの射の具体例
8. まとめ
0204１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/10(木) 11:24:21.71ID:GluAcDmn
遠アーベル幾何学の進展 星裕一郎 数学'74巻1号2022年1月
より、IUT関連記述抜粋

P15
6　アルゴリズム的遠アーベル幾何学と単遠アーベル幾何学
2節での基本‘予想，の内容は，遠アーベル代数多様体はその基本完全系列から‘復元’される， とい
うものであった．そして， その定式化である2節の相対遠アーベル性や3節の絶対遠アーベル性は，
どちらも，二つの(遠アーベル的であろう）代数多様体'X'と'Y'が用意された際の，それらの間の
同型射と， それらの基本群の間の連続同型射との関係を問題としている．
つまり， この定式化による‘遠アーベル性'の研究とは，大雑把に言えば，
適切な代数多様体のなす圏に制限された'π1'という関手の充満性や忠実性といった性質の研究であると要約される．
そして， この場合，議論にしばしば登場する‘群論的，という用語は，
‘基本群の間の任意の連続同型射で保たれる，という性質を意味する．
望月は，基本‘予想'における‘復元'とは何か， という問を改めて見つめ直し, [60], {61], [63]に
おいて， ‘アルゴリズム的な観点による遠アーベル幾何学'，
そして， より狭義な枠組みとしての単遠アーベル幾何学(mono-anabelian geometry)という考えを提唱した．
その上,上述の‘充満性･忠実性の観点によるこれまでの遠アーベル幾何学'を双遠アーベル幾何学(bi-anabelian geometry)と呼び，
これら‘二つの遠アーベル幾何学，に区別を与えた．

アルゴリズム的な観点による遠アーベル幾何学とは，簡単に言ってしまえば，以下のような内容を
持つ遠アーベル幾何学の研究のことである．
アルゴリズム的遠アーベル幾何学 与えられた代数多様体Xに対して，抽象的な位相群π1(X)を
‘入力データ'として， そして，代数多様体Xに付随する幾何学的対象(例えばXそれ自体）を‘出力データ'とする‘純位相群論的アルゴリズム'を確立せよ．

そして，単遠アーベル的輸送(mono-anabelian transport) (例えば[65]を参照)という枠組みで
のその純位相群論的復元アルゴリズムの研究が，単遠アーベル幾何学である．遠アーベル幾何学の大
きな応用である宇宙際タイヒミュラー理論{66]-[69]では, このアルゴリズム的遠アーベル幾何学や
単遠アーベル幾何学が中心的な役割を果たすのである．
0205１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/11(金) 18:06:33.74ID:seCJnoFl
>>204
>遠アーベル幾何学の進展 星裕一郎 数学'74巻1号2022年1月
>より、IUT関連記述抜粋

IUTは、本丸天守閣でしょうか
今風ならば、鬼滅の無限城でしょう

星 遠アーベル幾何学の進展は、
城下町の様子やお城の配置、
本丸や天守閣の様子の記述はあるが
お城内部の立ち入った記述はない

しかし、外堀と内堀は埋められ
お城の様子も概略は記されている

これを読んでから
IUTを読めば
IUTを理解するのに
良いと思う

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AC%BC%E6%BB%85%E3%81%AE%E5%88%83
『鬼滅の刃』
3.5 無限城編（16巻 - 23巻）
0206１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/11(金) 20:01:36.67ID:seCJnoFl
>>204
>遠アーベル幾何学の進展 星裕一郎 数学'74巻1号2022年1月
>より、IUT関連記述抜粋

円分物 （cyclotome）が、出てくる
が、”cyclotome”は、数学用語としては未定着（独自用語）のようであり
また、”円分物”も同様に、未定着（独自用語）のようである（円分物≠円分体です）
下記など、ご参照

https://dictionnaire.reverso.net/francais-definition/cyclotome
Definition cyclotome francais | dictionnaire francais definition synonymes Reverso
（注：”cyclotome”仏語は、数学用語にあらず）

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元
星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所)
2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報告原稿である.
P1
? K を体, r を正整数とする. K× を K をその乗法構造によって可換モノイドと考えたもの,
K× def= K \ {0} を K の非零元のなす群 (特に, 自然な同型 (K×)? ?→ K× が存在する),
μ(K)def = (K×)tor ⊆ K× を K の中の 1 の巾根のなす部分群,
μr(K)def= μ(K)[r] ⊆ K× を K の中の 1 の r 乗根のなす部分群とする. また, K が標数 0 の代数的閉体のとき,
Λ(K)def= T(μ(K))
(つまり, “^Z(1)”) と書き, これを K に付随する 円分物 と呼ぶ.
P16
3.6. 大域的円分物の復元, 局所大域円分剛性同型*9
この同型射を 局所大域円分剛性同型 と呼ぶ.
*9 円分物の間の適切な同型は 円分剛性同型 と呼ばれ, 遠アーベル幾何学において重要な役割を果たしてきた.
例えば, [1] で与えられている PSC 型遠半グラフの理論から生じる円分剛性同型は幾何的な円分物の
間の同型射であり, 組み合わせ論的遠アーベル幾何学において基本的な存在となっている. また, 別の例
として, [6] で得られている単テータ環境の理論から生じる円分剛性同型が挙げられ, これは, 望月新一氏
による宇宙際 Teichm¨uller 理論で非常に重要な役割を果たしている.

つづく
0207１３２人目の素数さん
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2022/02/11(金) 20:02:46.88ID:seCJnoFl
>>206
つづき

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/introduction_to_inter-universal_teichmuller_theory.pdf
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory) By 星 裕一郎 (Yuichiro Hoshi)
目次
§ 0. 序
§ 1. 円分物
§ 2. フロベニオイドの円分剛性同型

https://setsuri-nihon.net/math/14971
摂理研究所/キリスト教福音宣教会
宇宙際タイヒミュラー理論入門を読んでみた。その3
2017年12月21日2017年12月24日
前回までのあらすじ
長らく書いていなかったので、これまでのあらすじを書いていこうと思います。
星裕一郎さんの論文の最初に「円分物」と呼ばれるものが出てきます。これはTate捻りZ^(1)と呼ばれるものである、と論文には書かれています。いくつかの定義が書いてあったのですが、その一つがこちらでした。
略
しかし、改めて読むとこれが何を意味するのかよくわからないな…(´・ω:;.:…と思いました。
そこで、今日はこれを図で見ながらもう少し詳しく説明していきたいと思います。
逆極限を図で説明してみた

どうして、こんなややこしいことをしているのか
簡単に言うと、この表記が真価を発揮するのはΩが他の代数閉体の時です。
例えば、Ωとして考えられるのは、代数的数全体(つまり、有理数係数のn次方程式の解となる数全体)^Qやp進数体Q_pの代数閉包等です。
これらはCと違ってバラバラ(離散的)になっていますので、円を「描く」ことが出来ません。
また、例えばQ_pで|z|_p=1を満たす数というとpで割り切れない(pベキの倍数で表せない)数全体なので、これが円というのはなんとなく違う感じがします。

実は、数論幾何学や代数幾何学において「円周」というのはとても重要な図形です。Cの場合はそれがきれいな円で表せたのですが、それ以外の代数閉体でも表現できないか？というのが「円分物」の存在理由かと私は思います。
実際、lim_←nμ_{n}(Ω)なら、似たような性質が成り立つことが示せるのではないか…と思っています。詳しくは分かりませんが…。

つづく
0208１３２人目の素数さん
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2022/02/11(金) 20:03:07.84ID:seCJnoFl
>>207
つづき

https://freestylewiki.xyz/fswiki/wiki.cgi?page=%E5%86%86%E5%88%86%E7%89%A9%E3%83%BB%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
[数学,IUT]
円分物・円分体
概要
円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 のm(>2)乗根 ζ ( ≠ ± 1 ) を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_cyclotomique
Extension cyclotomique

https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field
Cyclotomic field

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(引用終り)
以上
0209１３２人目の素数さん
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2022/02/11(金) 20:16:12.93ID:seCJnoFl
>>206 追加

用語 NF (= Number Field)： K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field) である

https://dictionnaire.reverso.net/francais-definition/cyclotome
Definition cyclotome francais | dictionnaire francais definition synonymes Reverso
（注：”cyclotome”仏語は、数学用語にあらず）

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元
星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所)
2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報告原稿である.
P1
・ K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field)
であると言うことにする. ある素数 p が存在して K が Qp のある有限次拡大と同型であるとき, K
は MLF (= Mixed-characteristic Local Field) であると言うことにする.
0210１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/11(金) 22:18:26.14ID:seCJnoFl
>>209
古典的 Neukirch ・ 内田の定理と単遠アーベル的復元との関係

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元 星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所) 2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 の報告原稿である.

P2
1 Neukirch ・ 内田の定理と単遠アーベル的復元

NF の絶対 Galois 群の位相群としての同型類によって, その NF
の同型類が完全に決定される. 別の表現を用いれば, 絶対 Galois 群は NF に対する “完
全な不変量” であるということがわかる. この意味において, “その絶対 Galois 群によっ
て NF を復元することができる” と考えることが可能であろう.
一方, 望月新一氏は, [8] の中で, “そもそも復元とは何か?” という問についての考察を
行い, そこで, “双遠アーベル的復元”, “単遠アーベル的復元” という考え方を提唱した.
この考え方のある側面を簡単に述べてしまうと, これは, “何を遂行すれば所望の復元が完
了したと考えるか” という “復元という行為の完了の基準” の設定の問題であると言える
であろう. 本稿の主題である問の場合に, “双的な復元, 双遠アーベル的復元” の復元完了
基準を具体的に述べれば, 例えば以下のようになる.

つまり, さきほど復習した Neukirch ・ 内田の定理の証明を与えることが, 双遠アーベル
的復元の遂行に他ならない. それでは, この場合の “単的な復元, 単遠アーベル的復元” の
復元完了基準は何であろうか. それは例えば以下のとおりである.

つまり, 復元の “入力” から “出力” を生成する関手的な手続きを与えることができた
とき, “単的な復元” は完了するのである. このように, 2 つの対象 (つまり, “Fo と F・”)
を比較して復元を議論するのではなく, 単独の対象 (つまり, “F”) によってその復元を議
論するので, “双” ではなく “単” なのである. また, 上の具体的な例からも推測できるよ
うに, 通常は, 単遠アーベル的復元を遂行すれば, その系として, 双遠アーベル的復元が得
られる.

つづく
0211１３２人目の素数さん
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2022/02/11(金) 22:18:45.25ID:seCJnoFl
>>210
つづき

以上が, [8] で提唱されている “双遠アーベル的復元”, “単遠アーベル的復元” という考
え方の簡単な解説である*2

一方, もちろん, “双遠アーベル的復元” と “単遠アーベル的復元” の差が, 高々結論の定
式化の差として生じている場合もあるであろう. つまり, もしもある定理が “双版” で述
べられていても, 実質的にはその “単版” を証明していることもあるであろう. 実際, さき
ほど復習した Neukirch ・ 内田の定理の証明を検証してみると,
関数体の場合, その証明は “単遠アーベル的復元” を与えている
ことがわかる. (これについては, §3 ? 特に, 3.9 ? で少し説明を行う.) つまり, Neukirch
・ 内田の定理の証明から, 実際には以下の主張を証明することができる.
関数体の単遠アーベル的復元可能性*3

それでは NF の場合はどうであろうか. 再び Neukirch ・ 内田の定理の証明を検証して
みると,
NF の場合, その証明は “単遠アーベル的復元” を与えていない
ことがわかる. つまり,
Neukirch ・ 内田の定理の証明から, 絶対 Galois 群を出発点として元々の NF を群
論的に構成する手続きを得ることは (少なくとも直ちには) できない
のである.
本稿 (そして, 講演) の主結果の概要を述べるために, 定義を与える.

主結果の概要. NF 型位相群 G から G 作用付き代数的閉体 F(G) を (位相群の開単射
に関して) 関手的に構成する “群論的手続き” が存在する:
(引用終り)
以上
0212１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/12(土) 12:59:25.01ID:/qkcTHB7
Peter Scholze君のIUTに対する批判（下記）
”the reader will not find any proof that is longer than a few lines ・・ which is in line with the amount of mathematical conten ”
https://zbmath.org/pdf/07317908.pdf
Mochizuki, Shinichi
Inter-universal Teichmuller theory. I: Construction of Hodge theaters. (English)
Publ. Res. Inst. Math. Sci. 57, No. 1-2, 3-207 (2021). Reviewer: Peter Scholze (Bonn)
In parts II and III, with the exception of the critical Corollary 3.12, the reader will not find any proof that is longer than a few lines; the typical proof reads “The various assertions of Corollary 2.3 follow immediately from the definitions and the references quoted in the statements of these assertions.”, which is in line with the amount of mathematical content.
(引用終り)

つまり
”the reader will not find any proof that is longer than a few lines”、”which is in line with the amount of mathematical content”

対する 星 裕一郎くんの答えは、下記
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元 星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所) 2014 年 5 月
P4
関数体の単遠アーベル的復元可能性*3

注）
*3 単遠アーベル的復元は, “所望の手続きの存在を証明する” ことが目的なのではなく, “所望の手続きを与える” ことが目的である.
特に, 主張の中にその手続きを書くべきとされる. （略）
例えば, [8],Corollary 1.10, は, その主張を述べるためにおよそ 3 ページが費やされ,
しかし, 証明がたったの 2 行で終わってしまうという, 従来の数学では比較的珍しい構成になっている.
このような状況が生じる背景には, この “主張の中にその手続きを書くべき” という考えがある.

[8] S. Mochizuki, Topics in absolute anabelian geometry III: Global reconstruction
algorithms, RIMS Preprint 1626 (March 2008).
(引用終り)
以上
0214１３２人目の素数さん
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2022/02/12(土) 16:18:56.18ID:/qkcTHB7
楕円曲線の群構造
これは、大事だね

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0971-4.pdf
数理解析研究所講究録
971 巻 1996 年 30-39
楕円曲線の数論の歴史
早稲田大学 足立恒雄

本稿は津田塾大学で開催されたシンポジウム 『20 世紀数学』 (95 年11月) における
講演と京大数理解析研究所における研究集会『代数的整数論とフェルマー問題』 (95年12 月) における講演をまとめ、加筆修正したものである。
楕円曲線の歴史と一口に言っても膨大・多岐に亙るから、 ここでは
(1) Fermatの先駆的研究、
(2) 楕円曲線の群構造発見を巡る歴史、
(3) フェルマー問題の Frey による谷山予想への還元、
の三つに絞って考察することにする。

P4
§3 群構造の発見

これによって、 Mordell あるいは
Hurwitsと Mordell の間のころに、少なくとも implicit には楕円曲線上の点の全体が群をなすと
いう事実が気付かれたものと思われる。

Weil([29])は Finite Basis Theorem の証明を簡易化したが、 パラメータの加法演算の
幾何学的な意味も説明し、 目的が「この加群が有限生成であることの証明である」 と宣
言している。 また、 その証明も (Mordell の場合と違って) 群であるという事実が基本的
に使われている。 このようなわけだから、楕円曲線の群構造を explicit に指摘した人は
Weil であるといって良いことになるのではなかろうか。
0215１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/12(土) 17:45:48.57ID:/qkcTHB7
メモ
https://sugakubunka.com/gendaisugaku-5-8/
株式会社すうがくぶんか
第7回　p進タイヒミューラー理論とその周辺
講師　若林泰央
東京工業大学理学院数学系助教
＜経歴＞
京都大学大学院理学研究科（数理解析研究所）にて博士号取得後、東京大学大学院数理科学研究科特任助教等を経て、現職。
講演内容
p進タイヒミューラー理論とはいったい何でしょうか．この理論は，素数が1より小さくなったり，さらには0になってしまうような数の世界が舞台です．そんな不思議な世界から「かたち」やその変形のようすをながめると，いつもと違う景色が見えてくるかもしれません．この講演では，幾何学と数論が交差するp進タイヒミューラー理論のココロについてお話しします．
※予習回では梅崎直也（すうがくぶんか講師）が若林先生の講演の予備知識を解説いたします。（内容未定）
日程
予習回：2022年2月13日（日）13:00-18:00
本講義：2022年2月20日（日）13:00-18:00

第8回　宇宙際タイヒミューラー理論
講師　加藤文元
東京工業大学教授
＜経歴＞
京都大学大学院理学研究科数学・数理解析先行博士後期課程修了、マックス・プランク研究所研究員、レンヌ大学やパリ第6大学客員教授なども歴任
講演内容
下記第4回講座の内容についてより詳しく解説します。
“宇宙際タイヒミューラー理論はABC予想の解決のために2012年に京都大学数理解析研究所の望月新一教授によって発表された理論です。この理論のアウトラインを、以前、私は「たし算とかけ算の絡み合い」をいかにしてほどくかという見地から、MathPowerで説明したことがあります。今回はこれを「数体のカタチ」のタイヒミューラー変形というアプローチから説明しようと思います。”
加藤先生には2017年のMathPowerにて「ABC予想と新しい数学」と題して宇宙際タイヒミューラー理論についてご講演いただきました。以下の動画をご覧ください。
日程
予習回：2022年3月13日（日）13:00-18:00
本講義：2022年3月20日（日）13:00-18:00
アーカイブ視聴について
各講座は全て録画されるため、講座終了後も復習のために2年間アーカイブ視聴が可能です。また、リアルタイム以外でのご参加も可能です。（すうがくぶんかの録画講座の詳細はこちら。）
0216１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/13(日) 10:12:59.77
円分体も理解できない中卒馬鹿にIUTなんか無理だから諦めよ

ギャハハハハハハ！！！
0217１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/13(日) 11:06:56.04ID:xCKc9AAc
江崎玲於奈語録 下記
江崎は「ノーベル賞を取るために、してはいけない5か条」のリストを提案する
「4.自分の主義を貫くため、戦う事を避けてはいけない。」

勘違いショルツェ氏との戦いを避けるべからず
頑張ってください、IUT陣営のみなさんへ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%9F%E5%B4%8E%E7%8E%B2%E6%96%BC%E5%A5%88
江崎玲於奈
1973年（昭和48年）にアイヴァー・ジェーバー、ブライアン・ジョゼフソンとともに、トンネル効果に関連して日本人としては4人目となるノーベル賞（ノーベル物理学賞）を受賞した[2]。

発言
1994年夏のリンダウ・ノーベル賞受賞者会議で、江崎は「ノーベル賞を取るために、してはいけない5か条」のリストを提案する。

原文：Esaki's “five don’ts” rules
1.Don’t allow yourself to be trapped by your past experiences.
2.Don’t allow yourself to become overly attached to any one authority in your field ? the great professor, perhaps.
3.Don’t hold on to what you don’t need.
4.Don’t avoid confrontation.
5.Don’t forget your spirit of childhood curiosity.

日本語訳
1.今までの行き掛かりにとらわれてはいけない。 呪縛やしがらみに捉われると、洞察力は鈍り、創造力は発揮できない。
2.大先生を尊敬するのはよいが、のめり込んではいけない。
3.情報の大波の中で、自分に無用なものまでも抱え込んではいけない。
4.自分の主義を貫くため、戦う事を避けてはいけない。
5.いつまでも初々しい感性と飽くなき好奇心を失ってはいけない。
0218１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/13(日) 11:37:24.17
>>217
社会の負け犬中卒に主義なんかあるわけないじゃん
ただ自国自慢したいだけの馬鹿だろが

ギャハハハハハハ！！！
0219１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/19(土) 07:56:20.75ID:USplO5Y7
https://www.iwanami.co.jp/book/b570597.html
岩波科学ライブラリー
深層学習の原理に迫る
数学の挑戦
著者 今泉　允聡 著
刊行日 2021/04/16
深層学習はなぜうまくいくのか？ その原理を数学的に解明するという難題に、気鋭の研究者が挑む。
深層学習の原理に迫る
試し読み https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/tachiyomi/0297030.pdf

上記「試し読み」の”まえがき”中に、次の一文がある
「なお数学的な理論で物事が表現できることと、人間の理解に?がることは同一ではなく
そこには大きなギャップがある。このギャップを埋めること、
すなわち数学的成果を直観的に読者に伝えることは、本書が大事にしている原則の一つである。」

至言である
IUT関係者に捧げたい
Nスぺちゃんと見ろよ！

（参考：上記著書の元になった講演）
https://drive.google.com/file/d/1bNN6VjsgdpJAqxvZ4EKAPpMGq9wfjHqf/view
東京大学 今泉允聡
ISM75周年
講演スライド
オープンハウス2019スライド
深層学習の原理を明らかにするこころみ
0220１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/19(土) 08:43:39.49ID:USplO5Y7
仏語
etale
エタール

https://educalingo.com/ja/dic-fr/etale
フランス語辞典でのetaleの定義
辞書の中のetaleの定義は、不動であり、上りまたは下りを停止し、逆の動きを開始しなかったことである。 海がまだ2つの潮の間にある短い時間。

https://ja.glosbe.com/fr/ja/%C3%A9tale
フランス語-日本語 の辞書 - Glosbe辞書
etale
平穏

https://kotobank.jp/frjaword/etale#:~:text=%C3%A9tale,%E3%81%8C%EF%BC%89%E5%8B%95%E3%81%8D%E3%81%AE%E6%AD%A2%E3%81%BE%E3%81%A3%E3%81%9F%EF%BC%8E
etale
ポケットプログレッシブ仏和・和仏辞典 第3版（仏和の部）の解説
etale
[形]静止した；（潮，河川が）動きの止まった．
━[男]『海』 停潮．

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89tale
Etale
0221１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/19(土) 08:55:05.34ID:USplO5Y7
数学のエタールは、下記のエタール・コホモロジー（etale cohomology）あたりが、淵源である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
エタール・コホモロジー（etale cohomology）はアレクサンドル・グロタンディークがヴェイユ予想を証明するための道具として考案したコホモロジー理論であり、位相空間上の定数係数コホモロジー、すなわち特異コホモロジーの類似になっている。
0222１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/19(土) 15:38:57.10ID:USplO5Y7
>>212 追加

https://mainichi.jp/graphs/20200403/mpj/00m/040/003000f/11
未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明　京大の望月教授　斬新・難解で査読に8年
2020/4/3 14:00
説明資料PDF[11/13]より

ここに、IUT論文の”復元”が、計算機プログラムのようであり
「ステートメントは長いが
証明は自明という
定義や命題を積み重ねていくことによって
高度に非自明な構造を作り上げています。」
と、 星 裕一郎氏と、同様の記述があるね
0223１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/02/20(日) 00:22:02.21ID:YwLjfsx8
ほらな、他人の大便盗み食いSetAゴミ虫、が自惚れ過信を捨てられる訳が無い｡

この様にしてSetAは糞の役（肥料）にも立たないどころか世界共通公害な毒レスを撒き散らし続ける｡
0226１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/03/08(火) 11:38:04.11ID:CB4pW5va
Tate module メモ

https://en.wikipedia.org/wiki/Tate_module
In mathematics, a Tate module of an abelian group, named for John Tate, is a module constructed from an abelian group A. Often, this construction is made in the following situation: G is a commutative group scheme over a field K, Ks is the separable closure of K, and A = G(Ks) (the Ks-valued points of G). In this case, the Tate module of A is equipped with an action of the absolute Galois group of K, and it is referred to as the Tate module of G.

Contents
1 Definition
2 Examples
2.1 The Tate module
2.2 The Tate module of an abelian variety
3 Tate module of a number field

Examples
The Tate module
When the abelian group A is the group of roots of unity in a separable closure Ks of K, the p-adic Tate module of A is sometimes referred to as the Tate module (where the choice of p and K are tacitly understood). It is a free rank one module over Zp with a linear action of the absolute Galois group GK of K. Thus, it is a Galois representation also referred to as the p-adic cyclotomic character of K. It can also be considered as the Tate module of the multiplicative group scheme Gm,K over K.
0227１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/03/10(木) 07:21:07.81ID:ix0kZYRP
メモ
https://arxiv.org/pdf/2202.00219.pdf
Approximating Absolute Galois Groups
Gunnar Carlsson, Roy Joshua
February 2, 2022

P4
where S1 denotes the circle group,

Proposition 2.3 The construction A → A＾ satisfies the following properties.
1. The＾-construction defines an equivalence of categories from the category of compact topological
abelian groups to the opposite of the category of discrete abelian groups. The＾-construction is
its own inverse.
2. For a profinite group G, G＾ is isomorphic to Homc(G, μ∞), where μ∞ ⊆ S1 is the group of
all roots of unity, isomorphic to Q/Z. If G is a p-profinite group, then μ∞ can be replaced by
μp∞, the group of all p-power roots of unity, isomorphic to Z[1/p]/Z.
3. The functor A → A＾ is exact.
4. For G a profinite abelian group, G is torsion free if and only if G＾ is divisible. Similarly for
“p-torsion free” and “p-divisible”.

Proof: Statement (1) is one version of the statement of the Pontrjagin duality theorem, (2) is an
immediate consequence, and (3) follows immediately from (1). It remains to prove (4). To prove
(4), we note that G is torsion free if and only if the sequence 0 → G ー(×n) -→ G is exact. The exactness
proves that this occurs if and only if G＾
G＾ ×n ー(×n) -→G＾-→ 0 is exact, so ×n is surjective. This is the result.

We now have the main result of this section.
Theorem 2.1 Let F be any field containing all roots of unity. Then the absolute Galois group GF
of F is totally torsion free.
Remark 2.3 Class field theory shows, for example, that one cannot expect this result to hold for
absolute Galois groups of number fields, so that some condition on the field is necessary.

(参考:S1 denotes the circle group)
https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group
Circle group
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4
円周群
0230１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/03/31(木) 15:05:27.81ID:bKG2nzZ5
メモ
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University

https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso.html
多様体の基礎のキソ （仮題）20170131 影付き部分につけた脚注が表示されていない， などの不具合と若干の誤植を修正．
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso/03-isou.pdf
３．位相空間の基礎のキソ （ver.20170131）

https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/14SW-susemi.html
基礎講座・複素関数（『数学セミナー』2014年4月号〜2015年3月号）
複素関数論の基礎から初めて， 後半はリーマン面について解説しました．
0231１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/04/02(土) 16:35:10.47
>>230
下げマスは三角関数の加法定理でも覚えてろｗ
0232１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/04/03(日) 08:50:48.28ID:28NcParQ
メモ
https://www.orecoli.com/entry/2016/01/19/131207
俺の Colimit を越えてゆけ
19 2016-01
圏論に最短で入門する

はじめに
対象読者
数学以前
数学の基礎
ホモロジー代数
圏論
もっと手取り早く圏論の勉強を始めたい人へ
おわりに
紹介した書籍

私が圏論という分野を知るきっかけは、おそらくこの文章を読んでいるほとんどの人と同様に Haskell の勉強をしたことがきっかけでした。

Haskell のモナドなどを利用する上では圏論を理解する必要は全くないのですが、型システムや処理系に関して詳しく知りたくて論文を読むと圏論の言葉が普通に使われていて、理解できずに断念していました。

そこで、当時数人が集まってやっていた圏論勉強会に参加して圏論の勉強を始めました。当時読んでいた書籍は Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories でした。この本は圏論の初学者向けに書かれた本で、数学的な知識をほとんど仮定せずに理解できるように書かれている非常によい本です。一方で全く数学の素養がない状態で読むと、証明もちゃんと追えているのかあやふやでなんとなく分かった気にさせられる本でもあります。私がまさにそのような状態でした。

しかし、ずっと圏論をちゃんと理解できるようになりたいと思っていたので、大学の数学科に進んだ学部1,2年生が学ぶような数学から勉強を始めました。圏論は比較的最近、1940年代に登場した理論で、数学の中でも非常に抽象的な理論なので数学を勉強しはじめてもすぐには出てきません。私は独学で勉強していたので数学の世界で右往左往することになったのですが、とりあえず現状で私が考える、圏論に至るための最短の道を紹介します。この順で勉強すれば、圏論の書籍を読む頃には、圏論が提供する抽象化を「あ?あのことを言っているのか」と思いながら読めるようになると思います。

計算機科学の世界で生きてきたのにうっかり圏論と出会ってしまって、「今更また一から数学の勉強をしないといけないのか?」と絶望に打ちひしがれている、昔の私のような人の一助になれば幸いです。
0233１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/04/03(日) 08:51:20.41ID:28NcParQ
>>232
メモ
https://www.orecoli.com/entry/2016/02/27/221008
俺の Colimit を越えてゆけ
27 2016-02
圏論に最短で入門する

はじめに
前回の記事では、圏論を学習する上では数学の基礎から学習する必要があると述べました。
　一方で、そんなに時間をかけていられない、かけられないといった理由から数学の素養が十分に身についていない状態で Category Theory (Oxford Logic Guides) を読み始めたいという人もいるでしょう。そのような人向けにこの本の副読本のような内容の記事を書いていこうと思います。
　 この本は十分にわかりやすい本なので解説の部分で内容を追加するようなことはしません。書籍の中で証明はされているけれども十分に明らかとは言えない箇所や、残りは読者に任せるとして省略されている箇所を中心に証明を追加していこうと思います。特に Chapter 1 では数学書を読む場合に自分で手を動かして補いながら読まないといけない箇所がどういう箇所なのか初学者にもわかるように書いていこうと思います。
　この記事が、これから独学で圏論を勉強しようとしている人や、勉強会でこの本を読もうとしている人の役に立てば嬉しいです。

　私が読んでいるのは英語の第２版ですがいくつか誤植があるので下に書いておきます。著者には報告済みなので第３版が出れば修正されるでしょう。

目次
Chapter 1: Categories
Chapter 2: Abstract structures
Chapter 3: Duality
Chapter 4: Groups and categories
Chapter 5: Limits and colimits
Chapter 6: Exponentials
Chapter 7: Naturality
Chapter 8: Categories of diagrams
Chapter 9: Adjoints
Chapter 10: Monads and algebras
0234１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/04/03(日) 14:49:57.07
下げマス　もう諦めろって
　Z^(1)∩(Q/Z)={e}
ってこともわからん貴様に圏論なんか無理

位相空間すら全く理解できなかったんだろ？ｗ
0236１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/04/21(木) 17:41:38.58ID:5uDCQIOe
メモ
https://www.math.okayama-u.ac.jp/mjou/mjou52/_01_mochizuki.pdf
Math. J. Okayama Univ. 52 (2010), 1?28
ARITHMETIC ELLIPTIC CURVES IN GENERAL POSITION Shinichi MOCHIZUKI

Abstract. We combine various well-known techniques from the theory
of heights, the theory of “noncritical Belyi maps”, and classical analytic
number theory to conclude that the “ABC Conjecture”, or, equivalently,
the so-called “Effective Mordell Conjecture”, holds for arbitrary rational
points of the projective line minus three points if and only if it holds for
rational points which are in “sufficiently general position” in the sense
that the following properties are satisfied: (a) the rational point under
consideration is bounded away from the three points at infinity at a
given finite set of primes; (b) the Galois action on the l-power torsion
points of the corresponding elliptic curve determines a surjection onto
GL2(Zl), for some prime number l which is roughly of the order of
the sum of the height of the elliptic curve and the logarithm of the
discriminant of the minimal field of definition of the elliptic curve, but
does not divide the conductor of the elliptic curve, the rational primes
that are absolutely ramified in the minimal field of definition of the
elliptic curve, or the local heights [i.e., the orders of the q-parameter at
primes of [bad] multiplicative reduction] of the elliptic curve.

Introduction
In the classical intersection theory of subvarieties, or cycles, on algebraic
varieties, various versions of the “moving lemma” allow one to replace a
given cycle by another cycle which is equivalent, from the point of view
of intersection theory, to the given cycle, but is supported on subvarieties
which are in a “more convenient” position ? i.e., typically, a “more general”
position, which is free of inessential, exceptional pathologies ? within the
ambient variety.
0237１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/04/29(金) 06:37:49.57ID:b8gsErp4
＜q-parameter についてメモ＞
https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/10/notesoniut.pdf
ARITHMETIC DEFORMATION THEORY VIA
ARITHMETIC FUNDAMENTAL GROUPS AND NONARCHIMEDEAN THETA-FUNCTIONS,
NOTES ON THE WORK OF SHINICHI MOCHIZUKI
IVAN FESENKO
This text was published in Europ. J. Math. (2015) 1:405?440.
P9
If v is a bad reduction
valuation and Fv is the completion of F with respect to v, then the Tate curve F×
v /hqvi, where qv is the q-parameter of EF at v and hqvi is the cyclic group generated by qv, is isomorphic to EF(Fv), hqvi → the origin of
EF, see Ch.V of [44] and §5 Ch.II of [43].
P10
Define an idele qEF ∈ lim -→ A×k: its components at archimedean and good reduction valuations are taken to
be 1. Its components at places where EF has split multiplicative reduction are taken to be qv, where qv is the
q-parameter of the Tate elliptic curve EF(Fv) = F×v /hqvi.
The ultimate goal of the theory is to give a suitable bound from above on deg(qEF).
Fix a prime integer l > 3 which is relatively prime to the bad reduction valuations of EF, as well as to the
value nv of the local surjective discrete valuation of the q-parameter qv for each bad reduction valuation v.
P13
Let q ∈ L be a non-zero element of the maximal ideal of the ring of integers of L (this q will eventually be
taken to be the q-parameter qv of the Tate curve EF(Fv) ' F×v /hqvi, where L = Fv, for bad reduction primes v of
E, see Ch.5 of [44]).

つづく
0238１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/04/29(金) 06:38:29.57ID:b8gsErp4
>>237
つづき

Just as in the classical complex theory, elliptic functions on L with period q can be expressed in terms of θ, a
property which highlights the central role of nonarchimedean theta-functions in the theory of functions on the
Tate curve. For more information see §2 Ch.I and §5 Ch.II of [43] and p. 306-307 of [38].
・・
via the change of variables q = exp(2πiτ),u = exp(2πiz)

P24
54 In IUT, the two combinatorial dimensions of a ring, which are often related to two ring-theoretic dimensions (one of which is
geometric, the other arithmetic), play a central role. These two dimensions are reminiscent of the two parameters (one of which is
related to electricity, the other to magnetism) which are employed in a subtle fashion in the study of graphene to establish a certain
important synchronisation for hexagonal lattices.
(引用終り)
以上
0240１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/04/29(金) 10:40:50.66ID:b8gsErp4
メモ
（最新版）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
ON THE ESSENTIAL LOGICAL STRUCTURE OF
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IN TERMS ¨
OF LOGICAL AND “∧”/LOGICAL OR “∨” RELATIONS:
REPORT ON THE OCCASION OF THE
PUBLICATION OF THE FOUR MAIN PAPERS ON
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY ¨
Shinichi Mochizuki
April 2022 P140版

（元）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/On%20the%20Essential%20Logical%20Structure%20of%20IUT%20IV,%20V%20(marked%20up%20version).pdf
ON THE ESSENTIAL LOGICAL
STRUCTURE OF INTER-UNIVERSAL
TEICHMULLER THEORY I, II, III, IV, V ¨
Shinichi Mochizuki (RIMS, Kyoto University)
September 2021 P42版
0242１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/01(日) 08:16:10.72ID:txhCGf0/
これいいね

Inter-universal geometry とABC 予想49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1650714023/130
130 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/04/30(土) 23:59:11.91 ID:7Sq4MRJH
>>126

圏ではなく、無限大の極限で収束させるため「圏/(圏と同値)」を使う。
目的は、属性方程式の解を一種の解析・極限で得るため。、
(§1.3 圏のIU 幾何の定理）

通常の集合論では有り得ず、集合論を拡大しているのは「基礎の公理」。
(§1.1Motivation)

集合論を拡大する目的が何で、どう拡大したかったか、
以下のリンク先で、2008年のＩＵ幾何の構想メモに記載されていた。
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suuronteki%20log%20scheme%20no%20kenrontekihyouji%20kara%20mita%20daen%20kyokusen%20no%20suuron%20(Hokudai%202003-11).pdf
0243１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/02(月) 13:52:43.77ID:Ofo/5NQz
それのどこの何がどうしてどの様にいいんだかくらい書いてからいいねと書けよ
0245１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/31(火) 10:10:06.92ID:WgynKOen
メモ

https://www.youtube.com/watch?v=X7sEP1wtTF8
高校生にもわかる宇宙際タイヒミュラー理論１
17,702 回視聴 2018/01/18 宇宙際タイヒミュラー理論についてざっくり説明してみました。
1:25 フェルマー予想の証明を導くのは正しくは「強いABC予想」でした。（現時点でこちらはまだ証明されていません）

数学探検Channel

愚野骨頂
2 年前
これは望月先生の論文にかなり踏み込んだお話で面白い。ついにホッジ舞台のや情報のカプセルの話も入ってい本格的で助かります。
0246１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/31(火) 13:53:19.88ID:WgynKOen
メモ

http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/hokudai99/hokudai99.pdf
１９９９年度北大集中講義レクチャーノート
ガロア・タイヒミュラー群の LEGO理論
中村 博昭
北海道大学 2000
はしがき
このノートは、1999 年 略 に北海道大学で集中講義した内容に若干加筆
してまとめたものである。この講義の主なねらいは、代数曲線のモジュライ空間の基本群
（タイヒミュラーモジュラー群） たちが、リーマン面の退化を通じて、多重な仕方で積み重
なっている様子を、有理数体の絶対ガロア群の表現の言葉で記述することであった。特に、
代数曲線のモジュライ空間に関係する種々の副有限基本群におけるガロア表現が、その最
も基本的な場合である射影直線マイナス３点の場合をうまく組み合わせることで具体的に
記述できる、ということを説明した。この一環としてタイヒミュラー幾何学のような位相
幾何と代数幾何が交錯する世界の一面を、ガロア理論を通じて群論的な平易な言葉で描写
することを試みた
0248１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/07(火) 10:11:22.82ID:k4enzP+j
メモ

https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses.html
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/11S-tokuron.pdf
複素解析特論I
タイヒミュラー空間と複素力学系への応用
川平 友規
平成 23 年 6 月 14 日

講義の概要（コースデザインより）． タイヒミュラー空間論はリーマン面（1 次元複素多様体）の変形空間の理
論である．変形空間は抽象的に定義された「集合」だが，数学者はこれを幾何学的な議論が可能な「空間」と
みなす．この講義の目的は，大雑把に言って
? リーマン面の変形空間に幾何構造を与えるまでの（思考）過程を解説すること; そして
? （残った時間で）変形空間の幾何学的性質を複素力学系の理論に応用すること
である．
講義予定． 扱うトピックは以下のとおり：
? リーマン面の基礎（基本群，普遍被覆，一意化定理，フックス群）
? リーマン面上の微分・積分（ベルトラミ微分，正則 2 次微分，リーマン・ロッホの定理）
? 擬等角写像論・幾何学的関数論の概説
? 有限型リーマン面の変形空間（モジュライ空間とタイヒミュラー空間，ベアス埋め込み）
? 1 次元複素軌道体 (orbifold) の一意化と分類
? 球面上の分岐被覆力学系の剛性理論（文献 [4, 5]）
最後のトピックは，「球面の自己分岐被覆による力学系」の，有理関数による実現可能性と剛性に関する理論で
ある．80 年代にサーストンが確立したものだが，近年またじわじわと脚光を浴びている．

P3
等角性について. 等角 (conformal) な同相写像とは，定義域上で正則（すなわち複素微分可能）で
あり，かつ微分の値が 0 にならない同相写像である．2

2「等角」という語をあえて使うのは，微分が 0 にならないことを強調するためである．同相写像に限って言えば，等角
性，正則性，双正則性（逆写像も正則）はいずれも互いにシノニムである．したがって，「等角な同相写像」は「正則な同相写
像」とも「双正則写像 (biholomorhic map)」ともよばれる．
0250１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/07(火) 13:26:57.87ID:Y0RvZ70I
>>248
中卒ニホンザル　他人の目を盗んで
微分が0にならない、検索しまくりwww
ヤコビアンも逆関数定理も分からん奴には
一生無縁だってwwwwwww
0251１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/10(金) 16:10:41.88ID:0Da5gZei
>>248
追加
これいいね

https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses.html
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/11S-tokuron2.pdf
複素解析特論I（つづき）
タイヒミュラー空間と複素力学系への応用
川平 友規
平成 24 年 9 月 21 日

7 リーマン面の基本群・普遍被覆面

今回と次回で，「リーマン面の一意化定理」を証明する．
一口に「リーマン面」といっても，さまざまな構成方法がある．いわゆる格子トーラス T(ω1, ω2)
のようなものはかなり具体的に構成されたリーマン面の部類に入るほうで，たとえば「ガウスの定
理」でみたような例は，曲面に複素構造を与える時点で「ベルトラミ方程式を解く」といういささか
超越的（？）なプロセスを経る分，素性がよくわからない．こうした抽象性を緩和するために，与え
られたリーマン面と「同等な」モデル（模型）を作るのが「一意化定理」(uniformization theorem)
の役割だといってよい．大まかにその主張を述べておきたいので，まずふたつのリーマン面が「同
等」であることを定義する：

つづく
0252１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/10(金) 16:11:05.08ID:0Da5gZei
>>251
つづき

定義（等角同型）． ふたつのリーマン面 S と R が等角同型 (conformally isomorphic) または単に
同型 (isomorphic) であるとは，ある正則（等角）な同相写像 h : S → R が存在するときをいう．
定理 7.1 (一意化定理) 任意のリーマン面は，次のような形のリーマン面 R と等角同
型である：
R = X/Γ
ただし X = C?, C, もしくは D であり，Γ は P SL(2, C) のある離散部分群．
まだ P SL(2, C) が X がどのように作用するのかが説明されていないので，現時点ではかなりあいま
い主張であるが，この X/Γ がモデルに相当するリーマン面である．とりあえず，「任意のリーマン面
は，ごくごく簡単なリーマン面を，P SL(2, C) という比較的素性のよくわかっている群の部分群で
割ったものと同等だ」という部分に意味がある．1 以下ではその構成方法を概観するが，その手順は
はあたかも，地球から地球儀を構成するかのようである．地表をくまなく歩いて地図帳を作り，それ
を使い慣れた材質に写し取りながら模型を構成していく．
まずは準備段階として，定理の証明に必要な「基本群と被覆空間」の用語を復習しつつ，リーマン
面の普遍被覆空間を構成する．2

8 リーマン面の一意化定理
一意化定理の証明を終わらせよう．手順としては，

8.2 商リーマン面の構成

8.3 リーマン面の一意化

単連結リーマン面の一意化定理. まず次の定理は証明無しで用いよう：
定理 8.5 (ケーベ，ポアンカレ) 任意の単連結リーマン面 X は，C?, C，もしくは D と
等角同型である．
証明は簡単ではない．まずコンパクトな場合（C? ）とそうでないでない場合に分け，さらにグリーン
関数が構成できる（D）かできない（C）かで区別される．

つづく
0253１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/10(金) 16:11:55.08ID:0Da5gZei
>>252
つづき

9 タイヒミュラー空間の定義
今回の目標はとにかく，タ空間を定義することにある．最初に前回の補足として例外型・双曲型
リーマン面について解説したあと，言葉の準備（写像の持ち上げ，リーマン面上の擬等角写像）をし
て，定義に取り掛かる．定義の意味については，次回に．
以下，S, R をリーマン面とする．

9.2 写像の持ち上げ

9.3 リーマン面間の擬等角写像の定義

9.5 タイヒミュラー空間の定義
いよいよ，「リーマン面 S のタイヒミュラー空間」を定義する．とりあえず，形式的に定義を済ま
せてしまおう．
S とそのアトラス A を固定する．つぎに，別のリーマン面 R で，S からの向きを保つ擬等角写像
f : S → R が存在するようなもの全体を考える．もう少し形式的に，そのような f と R のペアとし
て (R, f) の形のもの全体を考えるのである．この写像 f をマーキング (marking) と呼び，(R, f) を
マークされたリーマン面 (marked Riemann surface) と呼ぶ．
その全体の集合に，次の同値関係を考えよう：

このとき，同値類の集合
T(S) = {(R, f)}/^T
を S のタイヒミュラー空間 (Teichm¨uller space) と呼ぶ．
このように定義を与えられても，大概の人にとっては意味不明であろう．たとえば，次のような疑
問点が生じる：

つづく
0254１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/10(金) 16:12:29.20ID:0Da5gZei
>>253
つづき

10 タイヒミュラー空間とモジュライ空間
今回の目標は次の 2 点である：
・ モジュライ空間を定義し，タイヒミュラー空間との関係を明らかにすること．
・ これらの空間の具体例として，トーラスのタ空間とモ空間について概説すること．

・ Se からさらに S と同型なモデル S/G e を作る．
・ Se は X = C?, C, もしくは D と同型なので，モデル S/G e の構成方法をそのまま X で再現でき
る．そうして得られるモデルが S の一意化．

10.1 モジュライ空間

10.2 モジュラー群，あるいは写像類群

10.3 アトラスの分類とタイヒミュラー空間

10.4 トーラスのタイヒミュラー空間
タ空間の具体例として，トーラスのそれが上半平面
H := {x + yi ∈ C : y > 0}
と同一視できることについて概説しよう．15

11.1 単位円板 vs. 上半平面.

12.3 タ空間の複素構造
(引用終り)
以上
0256１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/12(日) 18:27:16.23ID:Vf6rE6Wr
https://www.cajpn.org/
複素解析学ホームページ
https://www.cajpn.org/refs/thesis.html
修士・博士論文アーカイブ
http://www.cajpn.org/refs/thesis/14M-Fujino.pdf
名古屋大学大学院
多元数理科学研究科修士論文
C / Z との擬等角同値性について
著者氏名　藤野 弘基
指導教員　大沢 健夫
2014年2月

謝辞
　川平友規先生には, 本研究の進展において重要となった “擬円板の性質
を用いる” というアイデアを頂きましたことを, 厚く御礼申し上げます.

第 1 章 擬等角写像 1
1.1 曲線族モジュラス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 極値的距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 擬等角写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

第1章 擬等角写像
Ahlfors?Beurling [3]によって導入された極値的長さを考えることによっ
て, 擬等角写像が特徴付けられる. これは擬等角写像の幾何学的定義と呼
ばれ現在では一般的によく知られていることである. この章では極値的長
さの逆数として与えられる量, 曲線族モジュラスを用いて擬等角写像を定
義する. 曲線族モジュラスは曲線族全体の上で定義された外測度を定める
など, 極値的長さに比べ扱いやすい性質を多く持つ.
0257１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/12(日) 20:46:33.75ID:Vf6rE6Wr
>>255

https://en.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_space
Teichmuller space

It can be viewed as a moduli space for marked hyperbolic structure on the surface, and this endows it with a natural topology for which it is homeomorphic to a ball of dimension 6g-6 for a surface of genus g >= 2. In this way Teichmuller space can be viewed as the universal covering orbifold of the Riemann moduli space.

Contents
1 History
2 Definitions
2.1 Teichmuller space from complex structures
2.2 The Teichmuller space of the torus and flat metrics
2.3 Finite type surfaces
2.4 Teichmuller spaces and hyperbolic metrics
2.5 The topology on Teichmuller space
2.6 More examples of small Teichmuller spaces
2.7 Teichmuller space and conformal structures
2.8 Teichmuller spaces as representation spaces
2.9 A remark on categories
2.10 Infinite-dimensional Teichmuller spaces
3 Action of the mapping class group and relation to moduli space
3.1 The map to moduli space
3.2 Action of the mapping class group
3.3 Fixed points
4 Coordinates
4.1 Fenchel?Nielsen coordinates
4.2 Shear coordinates
4.3 Earthquakes
5 Analytic theory
5.1 Quasiconformal mappings
5.2 Quadratic differentials and the Bers embedding
5.3 Teichmuller mappings
6 Metrics
6.1 The Teichmuller metric
6.2 The Weil?Petersson metric
7 Compactifications
7.1 Thurston compactification
7.2 Bers compactification
7.3 Teichmuller compactification
7.4 Gardiner?Masur compactification
8 Large-scale geometry
9 Complex geometry
9.1 Metrics coming from the complex structure
9.2 Kahler metrics on Teichmuller space
9.3 Equivalence of metrics
10 See also
11 References
12 Sources
13 Further reading

つづく
0258１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/12(日) 20:47:04.31ID:Vf6rE6Wr
>>257
つづき

History
Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus g >= 2. The early study of Teichmuller space, in the late nineteenth?early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces. Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincare, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.

The main contribution of Teichmuller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject. They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works. After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers. The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmuller space (introduced by Bers).

The geometric vein in the study of Teichmuller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmuller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.
(引用終り)
以上
0260１３２人目の素数さん
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2022/06/12(日) 23:11:50.47ID:Vf6rE6Wr
似ているが、ちょっと違う
Quasiregular map：between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally,・・
https://en.wikipedia.org/wiki/Quasiregular_map
Quasiregular map
In the mathematical field of analysis, quasiregular maps are a class of continuous maps between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally, between Riemannian manifolds of the same dimension, which share some of the basic properties with holomorphic functions of one complex variable.

Contents
1 Motivation
2 Definition
3 Properties
4 Rickman's theorem
5 Connection with potential theory
0261１３２人目の素数さん
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2022/06/12(日) 23:24:14.69ID:Vf6rE6Wr
Punctured Torus Group
https://www.cajpn.org/ref.html
複素解析学ホームページ 資料室

1998 Punctured Torus Groupに対するending lamination予想の解決（糸健太郎，小森洋平，須川敏幸，谷口雅彦）
目次・1-5章 PDF 1459KB https://www.cajpn.org/refs/topics-98-1.pdf
6-9章 PDF 1452KB https://www.cajpn.org/refs/topics-98-2.pdf
10-12章・参考文献 PDF 1546KB https://www.cajpn.org/refs/topics-98-3.pdf
0262１３２人目の素数さん
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2022/06/18(土) 16:30:24.72ID:KMJjixPB
q-parameter

https://arxiv.org/pdf/1212.0665.pdf
Computing integral points on X+ns(p)
Aur´elien Bajolet, Yuri Bilu?
, Benjamin Matschke??
November 24, 2020

Contents
1 Introduction 1
2 Modular curves, nearest cusps and q-parameters 4

2.2 The q-parameter at a cusp
For P ∈ Ωc we define the q-parameter qc(P) by qc(P) = e^2πiτ(P)
0263１３２人目の素数さん
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2022/06/18(土) 21:10:45.93ID:KMJjixPB
リーマン面
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/
武藤研究室 東京工大
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/
物理数学第一 平成１８年度　学部　３学期
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Amath06/am_chap13.pdf
第 13 章 解析接続
Ｐ6
13.2 Riemann 面
多価関数に対して，その定義域を制限することによって，１価関数が定義できる。いま，こ
のように制限された定義域である複素平面を何枚か特別な方法でつなぎ合わせ，多価関数を新
たにそこで定義された１価関数であるように解釈することができる。このとき，このように拡
張された定義域のことを Riemann 面 という。Riemann 面で新たに定義された関数は１価関
数であるので，１価関数の理論が適用できる。一般的に，関数 f(z) の Riemann 面は，z 平面
における f(z) の分岐点を結ぶように切れ込みを入れ，その切れ込みに沿って１つの複素平面
を別の複素平面につなぎ合わせて作られる。

1 log z の Riemann 面
複素平面を無限枚用意して，それぞれに，次のように番号をつける。

Rk 上における log z の値は
log z = log | z | + i arg z ( 2kπ <= arg z < 2(k + 1)π )

各平面 Rk（k = 0, ±1, ±2, ・・・）の実軸の
正の部分（分枝せっ線）を切り離し，
Rk の分枝せっ線の上岸を Rk+1 の分枝せっ線の下岸とつなぎ合わせる。
このようにしてつなぎ合わせた無限枚の複素平面 Rk （k = 0, ±1, ±2, ・・・）は連結した
１つの複素平面 R となる。
対数関数 log z ｂｪ，複素平面 R で定義されるとみなすと，関数 ω = log z は z と ω を１
対１に対応させる。この複素平面 R を log z の Riemann 面という。
0264１３２人目の素数さん
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2022/06/18(土) 21:11:09.15ID:KMJjixPB
リーマン面2
http://coral.t.u-tokyo.ac.jp/
藤原研究室 東大
http://coral.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/math2.html
数学2 複素関数論とフーリエ解析
http://coral.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch8.pdf
第一部：複素関数論
第 8 章
解析接続とリーマン面

複素解析の最も重要な結論の 1 つ、解析接続について説明しよう。解析接
続によって、正則関数が或る領域たとえば実軸上で定義されたとき、関数の
定義域を拡張していく方法が与えられる。

8.2 解析接続とリーマン面
複素関数 f1(z) の正則領域が D1; f2(z) の正則領域が D2であり、D1と D2
の共通領域が D0であるとする（図 8.2）。D0内の任意の点 zで f1(z) = f2(z)
であれば、f1の D2内への自然な接続は f2である。f2(z) を f1(z) の D2への解
析接続（analytic continuation）という。
D1と D2の合併集合が単連結領域であるとき、D2における f1の解析接続
f2が可能であればそれは一意的である。
0265１３２人目の素数さん
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2022/06/22(水) 18:01:21.90ID:2F1Gh5du
https://www2.meijo-u.ac.jp/~yonishi//research/pub/ss2007/ss2007.pdf
第 15 回整数論サマースクール
「種数の高い代数曲線と Abel 多様体」2007
報告集

目 次
1. リーマン面と代数曲線 1
吉冨 賢太郎 (大阪府立大学)
2. 代数曲線の Riemann-Roch の定理 15
小川 裕之 (大阪大学)
3. Abel-Jacobi の定理 I 61
軍司圭一 (東京大学)
4. Abel-Jacobi の定理 II 81
尾崎 学 (近畿大学理工学部), 梅垣 敦紀 (早稲田大学高等研究所)
5. 種数 1 における理論 113
山内 卓也 (広島大学)
6. 超楕円函数論 131
大西 良博 (岩手大学)
7. シグマ関数の代数的表示 177
中屋敷 厚 (九州大学)
8. Inversions of Abelian Integrals 191
難波 誠 (追手門学院大学)
9. CM 型の Abel 曲面について 199
梅垣 敦紀 (早稲田大学高等研究所)
10. 暗号理論に向けての因子の加法の計算法 211
志村 真帆呂 (東海大学)
11. 代数曲線暗号とその安全性 223
松尾 和人 (情報セキュリティ大学院大学)
12. アーベル多様体の有理等分点について 239
小川 裕之 (大阪大学)
13. Algebraic Theory of Abelian Varieties via Schemes 247
小林真一 (名古屋大学)
14. 超楕円曲線のヤコビ多様体の形式群 265
西来路文朗 (広島国際大学)
15. アーベル多様体の Birch-Swinnerton-Dyer 予想についての話題 291
安田 正大 (京都大学)
0266１３２人目の素数さん
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2022/06/23(木) 07:06:46.29ID:a95T6DpP
>>490 補足と訂正

　P37 平面曲線 w＝f(z) から f(w,z)＝0 なる複素平面曲線（陰関数） への視点の転換がある
　（定義域と値域の区別がなくなる）
　（P38のヤコビアン判定法 （下記陰函数定理）を使う）
　　↓
1）複素平面曲線（陰関数） への視点の転換は、良いが、
　ここは陰函数定理wikipediaの「例と導入」に説明があるとおり
　一価関数でない場合にも、曲線の一部に注目して、y＝g(x)なる微分可能関数の存在を示すことにある（y＝g(x)はwikipediaの表記）
　（P13 楕円曲線 で、y^2＝x^3+ax^2+bx+c として、y^2＝・・のまま。これで、y＝ の形になってない段階で、実質は陰関数ですね https://imgur.com/EQL5A3K ）
2）なお、リーマン面の数学的定義では、特に定義域うんぬんの記述はないが、
　P36にあるように、位相空間X （ハウスドルフ）として、Ui∈X で、写像φi：Ui→C （Cは複素平面(P37記述より）)
　で、φiが正則写像（P37）であることを要求しているので
　Xは、写像φiの定義域です
3）なので、具体的な関数w＝f(z)(例えば寺杣P41超楕円曲線)を考えるとき、そのリーマン面とは、定義域を複素平面から位相空間X に拡張したものです
　（なお「自明なリーマン面の例として、複素平面Cの開集合が挙げられる」(P37)とあります）

詳しくは、寺杣 P36～37 を見てください

以上、補足と訂正でした
0268１３２人目の素数さん
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2022/06/23(木) 18:04:00.64ID:6okYm70B
https://flag3.github.io/
flag3 のページ
https://flag3.github.io/pi1.pdf
基本群と被覆空間の Galois 理論
flag3 (@flag3833753)
2020 年 6 月 28 日 (最終更新日：2021 年 11 月 11 日)
概要
Galois 理論という，数学的対象の構造を Galois 群や基本群と呼ばれる群を用いて記述するという理論
があります．特に被覆空間の Galois 理論という，unloopable な位相空間上の被覆空間全体がなす圏を基
本群によって記述するという理論があります．これは体の Galois 理論という，体上の有限 étale 代数全体
がなす圏は絶対 Galois 群によって記述されることの類似になっています．本原稿では被覆空間の理論を紹
介したいと思います．前提知識として群論・位相空間論の初歩的な知識は仮定します．
0269１３２人目の素数さん
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2022/06/23(木) 18:28:13.44ID:6okYm70B
http://pantodon.jp/index.rb?body=covering_space
Algebraic Topology

被覆空間
基本群と被覆空間は密接な関係にある。また, ファイバー束や fibration の練習としても被覆空間を学ぶことは重要である。 そのため, [玉20] では, 最初にファイバー束の toy model として被覆空間についてまとめた。 また, 数学セミナーにも簡単な説明 [玉13] を書いた。

Riemann面など上では分岐被覆を考えることが多い。

分岐被覆 (branched covering)
具体的な問題からできる被覆空間は, monodromy と密接に関連している。

monodromy

被覆の概念は, 位相空間以外にも拡張されている。 基本群に類するものがあれば, 関連して covering があると考えてよいだろう。例えば, 体のGalois理論など。

そのような状況を扱うための一般的な枠組みとして Grothendieck が SGA 1 [SGA103] で導入したのが, Galois category である。名前の通り, Galois理論と被覆空間の理論を統一して扱うことを目的とする。 これにより scheme の étale fundamental group などが定義できる。

Galois categroy
ただ, このGrothendieck の枠組みに入らないものもある。
0271１３２人目の素数さん
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2022/06/25(土) 11:24:41.64ID:rjLBI7WT
http://www.ist.aichi-pu.ac.jp/~tasaka/ss2018/4.pdf
「実 / 複素ゼータの世界」から「p 進ゼータの世界」へ ?
東京電機大学未来科学部 † 原 隆 ‡
? 第 26 回整数論サマースクール『多重ゼータ値』報告集原稿 2018

http://www.ist.aichi-pu.ac.jp/~tasaka/ss2018/%E5%85%A8ver.pdf
第26回整数論サマースクール報告集 2018
「多重ゼータ値」
0272１３２人目の素数さん
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2022/06/25(土) 13:34:33.32ID:rjLBI7WT
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1073-1.pdf
数理解析研究所講究録
1073 巻 1998 年 1-48
RIGID 解析入門
加藤文元
九州大学大学院数理学研究科
この小論は 1998 年 5 月 6 日から同 8 日まで京都大学数理解析研究所にて開催さ ’
れた研究集会「リジッド幾何学と群作用」 において筆者が行った講演「p 進解析入門
I、II」の報告として、 その予稿をまとめ、更に幾つかの点について必要と思われる部
分を付足したものである.
CHAPTER 1
TATE による RIGID 解析.
1. 基本思想.
まず、 簡単な例について複素解析的状況との比較から始めよう 1

複素解析の時と全く同様に解析学を展開しようと
すると、 実は非常に本質的な問題が生じる. これを具体的に見てみよう:

即ち_、解析接続の原理_、つまり「 一致の原理} (principle of unique continuation)」に関
する問題点である. よく知られている様に、K の距離位相は全不連結 (totally disconnected) である、即ち 2 点以上からなる部分集合は連結でない (例えば [Gouv^ea 1997,2.3.8] を参照). 特に任意の開集合は決して連結ではない 4. 従って、意味のある解析接
続の概念を得る事はこのままでは不可能である; ある点のまわりで局所的に巾級数で
書けても、その点以外の点のまわりでのその関数の性質は、それがどんなに近い点で
あっても、 もとの点のまわりの性質とは全く関連が無い、 という事になってしまう.
読者は、 これらの問題は上記の関数の解析性の定義に現れた「局所的」という概念
がそもそもの災いの発端であると気付かれるだろう. 念のためもう -度整理すると:

つづく
0273１３２人目の素数さん
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2022/06/25(土) 13:34:57.48ID:rjLBI7WT
>>272
つづき

(1) 既にある関数が「解析的」 であるかどうかを、 巾級数で書けるどいう 「局所的」性質で特徴付ける事は十分意味のある事であるが、
(2) 逆にその 「局所的」性質だけからでは意味のある 「解析関数」 を特徴付ける事は出来ない、
(3) なぜなら、位相があまりにも細かすぎるため解析接続の原理が有意義に働かないからである.
従って、 この「局所的」 という概念を改良する事が必要となる. これは (少なく
とも筆者にとっては) 非常にデリケートでわかりにくい話となってしまう可能性があ
るので、 ここで問題点を今一度整理しつつ反省してみようと思う.

「局所的」 を改良しようと思ったら、 ある程度以上細かくなりす
ぎない様に、 開被覆の取り方に制限を加えるという事が最も重要なポイントとなる.
そこで、 この 「開被覆の取り方に制限を加える」 という事を実際に実行する際の
処方箋を、 Tate のアイデアに従って段階的に概観してみよう:
(引用終り)
以上
0274１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/25(土) 13:36:16.46ID:rjLBI7WT
https://www2.meijo-u.ac.jp/~yonishi//msj/kato.pdf
リジッド幾何学の概説
加藤文元
2008 年度代数学シンポジウムでの筆者の講演に基づいて報告致します.
1. はじめの一歩
歴史的には，リジッド幾何学は非アルキメデス的付値体上の解析幾何学と
してスタートした．

1.2. 非アルキメデス的函数論.
非アルキメデス的函数論においては，複素函数論の場
合とは本質的に異なった解析接続の理論を展開する必要がある．そして，こ
の点がリジッド幾何学における二つ目のキーワード「やや大域化された局所」
という考え方につながっていくポイントなのである．

2. リジッド幾何学の出発点
2.1. 歴史. 1961 年の Harvard 大学における J. Tate のセミナーにおいて，初
めてリジッド幾何学のアイデアが紹介された．このセミナーノートは Tate 本
人の承諾なしに回覧され，Inventiones から出版までされてしまった．この内容
を踏まえて，Grauert-Remmert が 1966 年に非アルキメデス的函数論に Tate の
アイデアを導入する．ここでは Weierstrass の準備定理の非アルキメデス版と
いった，函数論を展開する上での基本的な理論が展開されている．また，今日
でも使われている ‘affinoid’ という用語を初めて用いたのも彼らである．

つづく
0275１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/25(土) 13:36:37.88ID:rjLBI7WT
>>274
つづき

「やや大域化された局所」の一つ
のわかりやすい現れとして，以下のものを挙げる：代数幾何学，複素解析幾
何学，そしてリジッド解析幾何学における「最も基本的な」空間とは何か？
・ 代数幾何学においては，それはアフィン直線 A1k= Spec k[T] であり，
・ 複素解析幾何学においては，単位開円盤 ? = {z ∈ C | |z| < 1} であろう．
・ リジッド解析幾何学において，それは単位閉円盤
　D1K = {z ∈ K | |z| ? 1}.
である（前述の通り，これは開集合でもあることに注意）．
このような空間の取り方にも，複素解析的状況と代数幾何的状況との間の
「中間的な」局所の概念を持つ幾何学という，リジッド幾何学特有のあり方が
現れている．ただし，ここで大事な（そして技術的に難しい）ことは，ここ
で言う単位閉円盤には，単なる距離位相とは異なる位相を考えているという
ことである．これについては，なぜ「閉」円盤を考えるのが自然なことなの
か，ということも含めて，以下で説明を試みる．

3. 単位閉円盤
というわけで，Tate による古典的なリジッド幾何学の基本的なアイデアに
ついて，特に単位閉円盤という対象を通して説明しよう．
(引用終り)
以上
0276１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/25(土) 14:23:33.30ID:rjLBI7WT
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/55/4/55_4_392/_article/-char/ja/
J-STAGEトップ/数学/55巻(2003)4号/書誌
Rigidanalyticgeometry
加藤文元
2003年55巻4号p.392-417
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/55/4/55_4_392/_pdf/-char/ja
1導入
複素数体C上の代数幾何学では,複素解析的な視点や手法はしばしば有効である.主にSerreの
GAGA原理に基づいて,技術的な自由度のより大きな解析的手法を用いることは,代数幾何学の様々
な側面において大きな成功をもたらしてきた.端的に言って,表題のrigid解析幾何学は,この様な
解析的’理論をp-進数体などの非Archimedes的付値体上で行い,これらの体上の代数幾何学への有
効な応用を与える枠組みである.
本稿ではrigid解析の草創期から現代に至る発展を概観し,諸理論の間の関係を出来るだけ明らかに
することを目的とした.
さて,本論に入る前に導入として,幾つか事項をざっとまとめておこう.

・最初の困難:解析接続:一複素解析においてCの絶対値付値は,それによって‘収束巾級数'の
概念を得ることが出来るという意味で,最も基本的なものであった.完備非Archimedes的付値体K
においても,全く同様に収束巾級数の概念は得られる.従って,同様に解析函数の概念を得ることが
可能だと思われるかも知れない.しかし,ここにはKの位相的性質から来る根本的な困難がある.

困難その1:付値によるK上の距離位相は全不連結(totallydisconnected)であり,空でない開集
合は全て連結でない.いかなる開集合も,いくらでも多くの開集合(例えば開円盤)で分割出来てしま
う.従って,与えられた開集合上の6各点で収束巾級数に展開可能’という条件で正則函数を定義する
と,その全体は非常に巨大な集合となり,そのままで意味のある解析理論を構築することは出来ない.

つづく
0277１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/25(土) 14:24:04.03ID:rjLBI7WT
>>276
つづき

困難その2:距離の非Archimedes性からわかることであるが,K内の任意の二つの開円盤は非自
明な交わりを持たない,つまり交わるなら一方が他方に包含される.もし巾級数Σα調が0<T<
∞を収束半径に持つとき,円盤{z∈K|z|くr}内のどの点で巾級数展開し直しても,その収束円
は元の円盤{z∈K|z|くr}に一致してしまう.

一つ目の困難は,正則函数を‘局所的’な条件で定義することは出来ないことを,二つ目は複素解析
におけるのと同様な解析接続’の考え方でも,良い正則関数の概念を得ることは出来ない,というこ
とを示唆している.

この様な困難は全く非Archimedes的解析に特有のものであり,その克服が非Archimedes的函数
論の構築には不可欠なことであった.その過程で重要なのは‘正しい正則函数の概念は何か’という問
題と同時に,より基本的な・正しい『連結領域』の概念は何か’という問題も考えられなければならな
かったという点である.これらは局所理論に止まっている限りは意味の無い問いであるが,そこから
出発して大域的な解析函数の理論を構築する際に回避出来ない問題であった.

・‘やや大域化された局所,の考え方:一この困難は非Archimedes的距離位相が‘細かすぎる’こ
とに由来している.

謝辞.本稿§5は藤原一宏氏の許可の下,2001年1月10日及び11日の藤原氏の北海道大学での講
演のノートを基にして記述した.藤原氏に感謝したい.また査読者の方々からは,文章構成などに関
して多くのお知恵を頂いた.査読者の方々に感謝したい.
(引用終り)
以上
0278１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/25(土) 20:14:53.38ID:rjLBI7WT
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/
田崎博之のページ
2023年3月末日に勤務している筑波大学を定年退職します。 それに伴ってこのホームページは閉鎖します。 その際、ホームページの全部または一部をどこかに移設しようと考えています。 移設先や内容についてアドバイスやご意見等ありましたら、 お知らせいただければ幸いです。
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/lecture.html
講義
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI.html
数理物質科学研究科：微分幾何学I(月2)
ファイバー束
pdf : 講義資料(7月22日分まで)
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI2019-dist.pdf
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI2019-dist.pdf
第1章 基本群と被覆空間
0279１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/25(土) 23:10:27.85ID:rjLBI7WT
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~hirai/
Hiroshi Hirai
Associate Professor
Department of Mathematical Informatics,
Graduate School of Information Science and Technology,
University of Tokyo, Tokyo, 113-8656, Japan.

http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~hirai/teaching/kikasuriR2.html
R2 幾何数理工学
位相幾何: 被覆空間 [ノート][きれいなノートupdate]
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~hirai/teaching/kikasuriR2/covering.pdf
幾何数理工学ノート
位相幾何：被覆空間
平井広志
東京大学工学部 計数工学科 数理情報工学コース
東京大学大学院 情報理工学系研究科 数理情報学専攻
hirai@mist.i.u-tokyo.ac.jp
協力：池田基樹（数理情報学専攻 D1）
7 被覆空間

http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~hirai/teaching/kikasuriR2/homology_comp.pdf
幾何数理工学ノート
位相幾何：ホモロジーの計算
平井広志
東京大学工学部 計数工学科 数理情報工学コース
東京大学大学院 情報理工学系研究科 数理情報学専攻
hirai@mist.i.u-tokyo.ac.jp
協力：池田基樹（数理情報学専攻 D1）
8 ホモロジーの計算
0280１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/29(水) 13:53:28.51ID:gXl0/xIG
IUTゴミ箱へ他人のpdfを収拾するとは
たいへん失礼です
ただちにおやめください
0281１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/03(日) 07:29:50.61ID:ufzWvOVH
quantum Teichmuller Theory wiki で検索した結果下記

https://ncatlab.org/nlab/show/Teichm%C3%BCller+theory
Teichmuller theory nLab
Contents
1. Idea
2. Properties
Complex structure on Teichmuller space
Relation to moduli stack of complex curves / Riemann surfaces
3. Related concepts
4. References

3. Related concepts
Kodaira-Spencer theory
moduli space of curves
Grothendieck-Teichmuller group
quantum Teichmuller theory
p-adic Teichmuller theory
inter-universal Teichmuller theory
Outer space
for version in supergeometry see at super Riemann surface

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00706331
HAL (フランス)
Handbook of Teichmuller theory, Volume III
Athanase Papadopoulos 1
1 IRMA - Institut de Recherche Mathematique Avancee

https://scholar.google.ae/citations?user=qrso-ksAAAAJ&hl=ja
Rinat Kashaev
Associate Professor of Mathematics, University of Geneva
Quantum TopologyMathematical Physics

Quantization of Teichmuller spaces and the quantum dilogarithm
RM Kashaev
Letters in Mathematical Physics 43 (2), 105-115 引用246 1998年

http://sciencewise.info/resource/Teichm_ller_modular_group/Teichm%C3%BCller_modular_group_by_Wikipedia
ScienceWISE
Mapping class group of a surface
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematics, and more precisely in topology, the mapping class group of a surface, sometimes called the modular group or Teichmuller modular group, is the group of homeomorphisms of the surface viewed up to continuous (in the compact-open topology) deformation. It is of fundamental importance for the study of 3-manifolds via their embedded surfaces and is also studied in algebraic geometry in relation to moduli problems for curves.

つづく
0282１３２人目の素数さん
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2022/07/03(日) 07:30:21.39ID:ufzWvOVH
>>281
つづき

The mapping class group can be defined for arbitrary manifolds (indeed, for arbitrary topological spaces) but the 2-dimensional setting is the most studied in group theory.
The mapping class group of surfaces are related to various other groups, in particular braid groups and outer automorphism groups.

Contents
1 History
2 Definition and examples
2.1 Mapping class group of orientable surfaces
2.2 The mapping class groups of the sphere and the torus
2.3 Mapping class group of surfaces with boundary and punctures
2.4 Mapping class group of an annulus
2.5 Braid groups and mapping class groups
2.6 The Dehn?Nielsen?Baer theorem
2.7 The Birman exact sequence
3 Elements of the mapping class group
3.1 Dehn twists
3.2 The Nielsen?Thurston classification
3.3 Pseudo-Anosov diffeomorphisms
4 Actions of the mapping class group
4.1 Action on Teichmuller space
4.2 Action on the curve complex
4.3 Other complexes with a mapping class group action
4.3.1 Pants complex
4.3.2 Markings complex
5 Generators and relations for mapping class groups
5.1 The Dehn?Lickorish theorem
5.2 Finite presentability
5.3 Other systems of generators
5.4 Cohomology of the mapping class group
6 Subgroups of the mapping class groups
6.1 The Torelli subgroup
6.2 Residual finiteness and finite-index subgroups
6.3 Finite subgroups
6.4 General facts on subgroups
7 Linear representations
(引用終り)
以上
0283１３２人目の素数さん
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2022/07/03(日) 07:48:51.05ID:ufzWvOVH
>>281
関連
http://pantodon.jp/index.rb?body=Teichmuller_space
Algebraic Topology: A guide to literature
Teichuller空間 Last updated on 2021-07-08

Riemann面に関係したことを考えるときには Teichuller空間は必ず必要になる。

・Riemann面のmoduli spaceは Teichmuller spaceのmapping class groupによる商空間
・Teichmuller空間はEuclid空間と同相であり, よって可縮

このことから, global qutientであるmoduli spaceを orbifoldとみなして考えるのは自然である。Harerと Zagier [HZ86] はそのorbifoldとしての Euler characteristicを計算している。 そのDeligne-Mumford compactificationについては BiniとHarerが [BH]で求めている。

またRiemann面のmoduli spaceはmapping class groupの分類空間にかなり近いものであることも分か る。実際, Harerは[Har86]で, 「割る前」のTeichmuller空間を mapping class groupの作用を込めて考え, mapping class groupのvirtual cohomological dimensionの評価を得ている。

Teichmuller 空間の量子化は, Bonahon と Liu [BL] や Guo と Liu [GL] によると, Kashaev [Kas98] と Chekhov と Fock [FC99] により独立に発見されたらしい。 Quantum Teichmuller spaceについてまとめたものとしては, Teschner の [Tes], Chekhov の lecture note [Che], Guo による survey [Guo] などがある。

・quantum Teichmuller space
・Kashaev algebra

Guo と Liu の [GL]は, その2つのアプローチの間の関係を調べよう という試みである。

[河野俊97]
河野俊丈. 曲面の幾何構造とモジュライ. 東京: 日本評論社, 1997.
0284１３２人目の素数さん
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2022/07/03(日) 08:37:55.25ID:ZovL2Rda
IUT応援スレと資料スレは
7/15からIUTスレに統合いたします
コピペにつきましては
「特別支援スレ」純粋・応用スレ
のみで実行願います
0285１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/03(日) 09:23:14.07ID:ufzWvOVH
メモ
https://researchmap.jp/read0011041
中西 敏浩
基本情報
所属島根大学 総合理工学部 数理科学科 数理科学科 教授
学位
理学博士(京都大学)

https://researchmap.jp/read0011041/presentations?limit=100
講演・口頭発表等

タイヒミュラー空間の測地的長さ関数による座標とその写像類群への応用
第31回 東北複素解析セミナー 2017年

タイヒミュラー距離のなめらかさについて I
研究集会「2次微分の幾何とその周辺」 2017年

Generation of finite subgroups of the mapping class group of genus 2 surface by Dehn twists
第15回代数曲線論シンポジウム 2017年

擬等角写像の偏導関数のL^p可積分性
ベルトラミ方程式勉強会(part 1) 2017年

タイヒミュラー空間のトレース関数と写像類群の有理変換としての表現
広島大学トポロジー・幾何セミナー 2016年

Counting lattice points in the moduli space of curves
「位相的漸近式入門｣研究集会 2016年

種数2の閉曲面の写像類群の有限部分群の表示について
広島大学幾何・トポロジーセミナー 2016年
0288１３２人目の素数さん
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2022/07/03(日) 19:35:58.01ID:SAZLFOJG
>>284
過去も今後もIUTスレと無関係です。
隔離スレのIUT応援スレでどうぞ
0289１３２人目の素数さん
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2022/07/09(土) 08:25:37.93ID:ETpiR2xz
リーマン面
https://tsujimotter.はてなブログ/entry/definition-of-Riemann-surface
tsujimotterのノートブック
2020-02-04
リーマン面の定義
数学 解析学 リーマン面
最近、寺杣先生の「リーマン面の理論」という本を勉強しています。

tsujimotterはこれまで位相空間論や多様体の勉強をほとんどしてこなかったので、理解するのにだいぶ苦労しています。進捗は遅そうですが、少しずつでも読み進めようと思っています。
第一段階として、自分自身の理解の確認のためにリーマン面の具体例を構成していきたいと思っています。今回はその前段として「リーマン面の定義」を丁寧にまとめていきたいと思います。
なお、今回の記事では「わかりやすく伝える」という意図はあまりなく、ただただ実直に定義を理解しようという考えで書いています。その点はご理解ください。

定義
定義：リーマン面
X を第二可算公理を満たす位相空間で連結かつハウスドルフであるとする。
X のある開被覆 X=?i∈IUi と、各 i∈I に対して C の開集合への同相写像
φi:Ui→C
を考える。
X と {(Ui,φi)}i∈I の組が次を満たすとき、(X,{(Ui,φi)}i∈I) はリーマン面であるという：
任意の i,j∈I に対して、Ui∩Uj≠? ならば
φj*φ-1i:φi(Ui∩Uj)→φj(Ui∩Uj)
は正則関数
※単に「X はリーマン面である」ともいう。

長い条件でしたが、上記の条件をすべて満たすものがリーマン面です。リーマン面の具体例として対象 X を作る際には、対象 X がこの条件をすべて満たすかどうか確認する必要があります。私たちが示すべき目標を列挙したものといえます。

しかしながら、リーマン面の定義は、簡単なものではありません。条件がかなり多く、ただちに意味を捉えるのが難しいですね。丁寧に一つひとつ条件を確認しましょう。

つづく
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