>>162
つづき

幾つかの小さい体、例えば有理数体 Q やその虚二次拡大体については、もっとたくさんの情報が得られる詳細な理論が存在する。例えば、Q のアーベル化絶対ガロワ群 G は、全ての素数に亙って取った p-進整数環の単元群の無限直積（に自然同型）であり、対応する Q の最大アーベル拡大は 1 の冪根全てによって生成された体となる。このことは、もとはレオポルト・クロネッカーの予想であったクロネッカー?ヴェーバーの定理として知られる。この場合の、類体論の相互律同型（あるいはアルティンの相互律写像）も同定理に従って具体的に書くことができる。1 の全ての冪根からなる群を

{\displaystyle \mu _{\infty }(\subset \mathbb {C} ^{\times })}\mu _{\infty }(\subset {\mathbb {C}}^{\times })
と書くことにする（円周群 C× のねじれ部分群）と、アルティンの相互律写像はそれが数論的正規化されているならば

{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})}{\hat {{\mathbb {Z}}}}^{\times }\to G_{{{\mathbb {Q}}}}^{{\text{ab}}}={\text{Gal}}({\mathbb {Q}}(\mu _{\infty })/{\mathbb {Q}});\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})

によって、あるいはそれが幾何学的正規化されているならば

{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{-x})}{\hat {{\mathbb {Z}}}}^{\times }\to G_{{{\mathbb {Q}}}}^{{\text{ab}}}={\text{Gal}}({\mathbb {Q}}(\mu _{\infty })/{\mathbb {Q}});\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{{-x}})
によって与えられる。しかし、このような小さな代数体に対する詳細理論の主要な構成法は一般の代数体の場合にまで拡張することはできないし、一般類体論で用いられるのはもっと違った概念的原理である。

つづく