IUTを読むための用語集資料スレ2

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 18:11:43.01

テンプレは後で

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 23:16:04.54

>>121
つづき

このように、宇宙を取り替えたりするような作業を行なう際、別の宇宙にも通じる数学的対象を扱うようにしないと、議論は意味を成さなくなるが、(本稿では省略するが)様々な理由によって、圏は、そのような性質を満たす。一般に、違う宇宙にも通じるものをinter-universal と呼ぶことにするが、「圏」というものは、最も基本的かつ原始的な inter-universal な数学的対象ということになる。

さて、スキームを他宇宙から見たらどんな風に見えるか、という問いに答えるためには、スキームを、inter-universal に表現する必要がある。これには様々な手法があるが、本稿では、次のものを取り上げる(別の手頃な例については、「Mzk7] を参照):

Et(X) {Xの有限次エタール被覆の圏 }

(ただし、X は、連結なネータ・スキームとする。) 副有限群 G に対して B(G) を、G の連続な作用をもつ有限集合の圏、というふうに定義すると、Et(X) という圏は、B(mュ(X)) (ただし、(X) は、Xの代数的基本群とする)と同値になる。

ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする。実は、B(G) は、「連結な anabelioid」になるが、一般には、複数の連結成分をもつanabelioid を扱うこともある(詳しくは、「Mzk8] を参照)。anabelioid の理論の大きなテーマの一つは、通常スキームに対して行なうような様々な幾何的操作を、(Et(X)のようにスキームから生じたものかどうかとは関係なく) anabelioid のみの世界に

おいていわば“native' に行なうことである。このテーマの最も基本的な例の一つは、有限次エタール被覆の定義である。連結な anabelioid 間の有限次エタール被覆は、

B(H) → B(G)

(ただし、G は副有限群、H はその開部分群。なお「射」は圏の間の関手と逆向きに書く。)と同型な射として定義される。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 07:31:37.30

>>122
「ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする」（下記）

(引用開始)
ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする。実は、B(G) は、「連結な anabelioid」になるが、一般には、複数の連結成分をもつanabelioid を扱うこともある(詳しくは、「Mzk8] を参照)。anabelioid の理論の大きなテーマの一つは、通常スキームに対して行なうような様々な幾何的操作を、(Et(X)のようにスキームから生じたものかどうかとは関係なく) anabelioid のみの世界に

おいていわば“native' に行なうことである。このテーマの最も基本的な例の一つは、有限次エタール被覆の定義である。連結な anabelioid 間の有限次エタール被覆は、

B(H) → B(G)

(ただし、G は副有限群、H はその開部分群。なお「射」は圏の間の関手と逆向きに書く。)と同型な射として定義される。
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 23:41:10.99

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月論文
　講演のアブストラクト・レクチャーノート
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20(Meijidai%202002-03).pdf
Anabelioidの幾何学 2002年3月
Page 1
ここで検証する問題は:前述の ‘局所的な乗法的部分加群’ を、 ‘大域的な乗法的部分加群’ として F 全体に延長することはできないか?といぅことである

この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある? 結論からいぅと、 ‘正しい視点’ は次の内容からなっている:(i) 大域的な乗法的部分群スキ?ムを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等の ?ピ? Ec, Fc, Kc に対する乗法的部分群スキ?ムの構成を目指す?(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の Kc の base-point を parametrize するものと見る?つまり、?言でいぅと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である?動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)c の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、?pK が表している Kc の basepoint から、 LK に対応する (LK)c を眺めてみると、その (LK)c は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる?」といぅ?見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、実は、ある意味では?同義反復的」な状況を実現することができる

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 23:41:35.13

>>124
つづき

§2. anabelioid と core

Anabelioid ????望月新? ?京都大学数理解析研究所)2002年3月§1. 新技術導入の動機§2. anabelioid と core§3. 数論的な anabelioid の例§1. 新技術導入の動機F を数体とし、 E をその上の楕円曲線とする?素数 l ? 3 に対し、簡単のため、Spec(F) 上の、 l 等分点による群スキ?ム E[l] から定まるガロア表現GFdef= Gal(F /F) → GL2(Fl)が全射となることを仮定する?次に、 E が bad, multiplicative reduction を持つ?数体 F の)素点 pF を考える? F を pF で完備化して得られる体を FpF と書くとすると、 FpF の上では楕円曲線EFpFdef= E ?F FpFの ‘Tate curve’ としての表示 ‘Gm/qZ’ より定まる、 canonical な‘乗法的な’ 部分群スキ?ムμl ⊆ E[l]|FpFがある?ここで検証する問題は:前述の ‘局所的な乗法的部分加群’ を、 ‘大域的な乗法的部分加群’ として F 全体に延長することはできないか?といぅことである?そのよぅな延長を安直なアプロ?チで作ろぅとすると、直ちに本質的な障害にぶち当たる?例えば、 K def= F(E[l]) を l 等分点たちの、 F 上の最小定義体とし、 K まで上がって作業してみるとする?すると、 E[l]|K の部分群スキ?ムとして、 ‘μl’ を K 全体の上で定義されるものLK ⊆ E[l]|Kに伸ばすことができるが、その LK は、

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 23:43:55.67

>>125
つづき

K の殆んどの bad, multiplicative reduction の素点 pK においては、その素点における局所理論から生じる ‘乗法的な部分群スキ?ム’ と ?致しない?この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある? 結論からいぅと、
‘正しい視点’ は次の内容からなっている:
(i) 大域的な乗法的部分群スキ?ムを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等の ?ピ? Ec, Fc, Kc に対する乗法的部分群スキ?ムの構成を目指す?
(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の Kc の base-point を parametrize するものと見る?つまり、?言でいぅと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である?動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)c の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、?pK が表している Kc の basepoint から、 LK に対応する (LK)c を眺めてみると、その (LK)c は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる?」といぅ?見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、
実は、ある意味では?同義反復的」な状況を実現することができる?§2. anabelioid と core以上の議論は哲学的な要素も含んでいるが、これを厳密な数学として処理するためには、新しい技術の導入が必要となる?この場合、中心となる新技術は、 ‘anabelioid’の理論である?‘anabelioid’ とは、§1 の議論を行なぅ際に用いなければならない幾何的な対象のことである?この幾何的対象は、スキ?ムと違い、 topos、即ち　圏　であるため、 an-abelioid 全体の ‘圏’ といぅものは、 2-category になってしまぅ?連結なときは、 anabe-lioid は [SGA1] に登場する ‘Galois category’ といぅ、今では40年以上の歴史を持つ馴染み深いものと同じである?つまり、連結な anabelioid は、∃副有限群 G に対してB(G)def= {G の連続な作用付きの有限集合たちがなす圏と同値な圏のことである?
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/08(木) 20:20:58.92

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月論文
　講演のアブストラクト・レクチャーノート
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suutai%20to%20isoukyoumen%20ni%20kyoutsuusuru%20nijigen%20no%20gunrontekikika.pdf
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」（2012年8月の公開講座）
(抜粋)
要約
有理数体Qのような「数体」と、複数のドーナツの表面を合体させたような形をしたコ
ンパクトな「位相曲面」は-一見して全く異質な数学的対象であり、初等的な可換環諭、つ
まり、「加減乗除」が可能な数学的対象としての構造の理論から見ても直接的に関連付ける
ことは難しい。しかし数体の拡大体の対称性を記述する「絶対ガロア群」と、コンパクト
な位相曲面の有限次の被覆の対称性を統制する「副有限基本群」を通して両者を改めて眺
めてみると、「二次元的な群論的絡まり合い」という形で大変に興味深い構造的な類似性
が浮かび上がってくる。本稿では様々な側面におけるこの種の類似性に焦点を当てながら、
数体と位相曲面の基礎的な理論について解説する。

§4．数と位相曲面の「絡まり合いの現場」数体上の代数曲線
つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/08(木) 20:21:23.67

>>127
つづき

§4.2．副有限基本群への絶対ガロア群の忠実な外作用

同種の「単射性」に関する定理は、「穴が開いている」＝「コンパクトでない」双曲的
代数曲線の場合には、既に(Mtmlで証明されていて、[MtmlもIHMIも、一番最初にBelyi
氏によって発見された、射影直線P1から三点を抜いて得られる双曲的曲線の場合の単射
性に帰着させることによってより一般的な双曲的代数曲線の場合の単射性を証明している。
一方、上記の定理のようにコンパクトな双曲的代数曲線の場合にこの種の単射性を示すこ
との意義は、§3.2及び§3.3で解説したように、
コンパクトな種数9の位相曲面と数体の絶対ガロア群には、
「二次元的な群論的絡まり合い」という
深い構造的類似性があり、そのような類似性を持つ、一見全く異質な
数論的な対象と位相幾何学的な対象を関連付けていることにある。
つまり、上記の定理は、数諭的な方の「二次元的な群論的絡まり合い」が、その自然な外
作用によって位相幾何学的な方の「二次元的な群論的絡まり合い」に忠実に表現されてい
ることを言っているのである。別の言い方をすると、純粋に「可換環論」の視点（＝つま
り、もっと具体的な言葉でいうと、初等的な加減乗除の範晴）で考察すると、数体と双曲的
代数曲線はいずれも次元1の対象であり、しかもその環論的な構造（＝つまり、正に「加
減乗除」の構造）は全く異質であるが、ガロア群や副有限基本群の「二次元的な群論的絡
まり合い」を通して両者を考察することによって、（§3.2及び§3.3で解説したような）深
い構造的な類似性が浮かび上がり、また上記の定型の単射性によってその両者の繋がりを
極めて明示的な形で定式化することが可能になる。
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/10(土) 19:06:23.96

>>772
どうも
スレ主です
レスありがとう

1．Robertとか、woitとか、間違った人のサイトを見ても、間違った情報しかないと思うよ
2．それよか、IUTを読むための用語集資料スレ2
　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
　に情報を集めているので、そこらも見てちょうだい
3．あと、下記を見る方が良いと思うよ
　望月サイトのhttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
　https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
　望月論文
　　講演のアブストラクト・レクチャーノート
[1] 実複素多様体のセクション予想と測地線の幾何. PDF
[2] p進Teichmuller理論. PDF
[3] Anabelioidの幾何学. PDF
[4] Anabelioidの幾何学とTeichmuller理論. PDF
[5] 離散付値環のalmost etale extensions（学生用のノート）. PDF
[6] 数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」（2012年8月の公開講座）. PDF

　https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
　望月出張講演
[8] 楕円曲線のHodge-Arakelov理論における遠アーベル幾何、数論的微分とは何か？　（名古屋大学
　　　2001年11月）. PDF
[9] 数論的 log scheme の圏論的表示　（九州大学 2003年7月）. 田口さんのノート
[10] 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論　（北海道大学 2003年11月）. PDF
[11] 数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）.　　月　火　水　木　金　概要　
　　　レポート問題　談話会　アブストラクト
[12] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　（京都大学数理解析研究所 2012年12月） PDF
[13] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　《拡大版》（東京大学 2013年06月） PDF
[14] 数論幾何の風景 ― 数の加減乗除から対称性の幾何まで　（京都大学2013年11月） PDF

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/10(土) 19:07:02.36

>>129
誤爆すまん

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 09:36:20.15

prime-strip
多輻的アルゴリズム

https://nagasm.org/ASL/Max7_part2_3/fig3/intro_iut1.pdf
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星裕一郎 (京都大学数理解析研究所)
2015 年 11 月

P19
§6 では v ∈ V(F) を有限素点ということにしていましたが, この対象 D?
v
(または F
?×
v
; F
?×μ
v
; Dv;
Fv) には “無限素点版” もあり, それらを集めることで得られる対象 {D?
v }v∈V(F )
, (または {F?×
v }v∈V(F )
;
{F?×μ
v }v∈V(F )
; {Dv}v∈V(F )
; {Fv}v∈V(F )) の同型物は, D? (または F?×; F?×μ; D; F) 素点縞 (D?-
(respectively, F
?×-; F
?×μ-; D-; F-) prime-strip ? cf. [10], Definition 4.1, (iii) (respectively, [11],
Definition 4.9, (vii); [11], Definition 4.9, (vii); [10], Definition 4.1, (i); [10], Definition 5.2, (i)) と呼ばれ
ます. (正確には, F をその適当な拡大体に取り替えたり, また, より重要なこととして, 添字の “v” の範囲を,
その拡大体のすべての素点とするのではなく, その適当な部分集合に制限する, といった修正を行う必要があ
るのですが　?　これについては §17 で改めて説明します.) 少なくとも有限素点では, “F 系” の対象は (付
加構造付き) フロベニオイドであり, “D 系” の対象は位相群 (と等価なデータ) です. また, “?” という記号
は, 宇宙際 Teichm¨uller 理論では, “単解的” を表す記号となっています4

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 09:36:41.02

>>131
つづき

7 多輻的アルゴリズム
宇宙際 Teichm¨uller 理論では, “多輻的アルゴリズム” という特別な性質を満たすアルゴリズムが重要な役
割を果たします. §8 で行う宇宙際 Teichm¨uller 理論の主定理の “ミニチュア版” の説明のために, この §7
では, その “多輻的アリゴリズム” という概念についての簡単な説明を行います. (詳しくは, 例えば, [11] の
Example 1.7 から Remark 1.9.2 までの部分を参照ください.)
まず最初に, 次のような設定を考察しましょう. 輻的データ (radial data ? cf. [11], Example 1.7, (i))
と呼ばれるある数学的対象が与えられているとします. 次に, その輻的データからアルゴリズム的に構成でき
る (下部的) 対象であるコア的データ (coric data ? cf. [11], Example 1.7, (i)) が与えられているとし
ます. このような設定を輻的環境 (radial environment ? cf. [11], Example 1.7, (ii)) と呼びます. 具体
的には, 例えば, 以下のような輻的環境の例を考えることができます:
(a) “輻的データ” として, 1 次元複素線型空間 C (の同型物) を, “コア的部分” として, 輻的データであ
る C (の同型物) から “その正則構造を忘れる” というアルゴリズムによって得られる下部 2 次元実線型空間
R
?2
(の同型物) を採用する.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 11:26:10.63

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244746/1/B72-16.pdf
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B72 (2018), 209?307
続・宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星裕一郎

P227
§ 6. 行進

しかしながら, 以下の理由によって, 我々は, この “もっとも安直なアプローチ” を
採用することができません. このアプローチを採用すると, 直前の図が示すように, F
?
l =
{|1|, . . . , |l
?|} の各元に対して, 対応する J の元として, ♯J = l
? 通りの可能性を考慮しな
ければならなくなります. その結果, 全体として, J と F
?
l との関連として, ♯J♯J = (l
?)
l
?
通りの可能性を考慮しなければなりません. 一方, この可能性の個数　?　つまり, 不定
性　?　は, 我々の目標の観点からは多過ぎます. 特に, 楕円曲線の高さの評価の観点か
ら考えますと, この過大な不定性を許容してしまうと, 所望の不等式よりも “弱い不等式”
しか得ることができなくなってしまうのです.
上述の問題を解決するために, 行進 (procession ? cf. [7], Definition 4.10) とい
う概念を導入しましょう.

行進を考えた場合の方が, ただの抽象的な集合と見做した場合よりも, ラベルの
集合に関する不定性が小さくなる

という重要な事実を観察しました. 行進という概念を用いることの別の利点として,
零ラベルの隔離
という点も挙げられます. |T| をただの集合と見做す, つまり, |T| を, |T| の自己全単射全
体のなす群の作用という不定性のもとで扱う場合, 零ラベル 0 ∈ |T| とその他の元 ∈ T
?
を区別することは不可能です. 一方, 行進を考えた場合, (“S
±
1
” というデータによって)
0 ∈ |T| は “特別な元” ということになり, その他の元 ∈ T
? との区別が可能となります.
そして, 実際, 宇宙際 Teichm¨uller 理論において,
零ラベルは単数的/コア的なラベル, 非零ラベルは値群的/輻的なラベル
という観察のとおり, 零ラベルと非零ラベルは, まったく異なる役割を果たします. (§4,
(d), や [2], §21, の前半の議論を参照ください.) この観点から, “零ラベルの隔離可能性”
は重要です. (詳しくは [8], Remark 4.7.3, (iii), を参照ください.)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 12:35:54.18

Corollary 3.12, の証明関連
不等式の導出

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244746/1/B72-16.pdf
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B72 (2018), 209?307
続・宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星裕一郎

P297
§ 25. Θ
×μ
LGP リンクと両立的な多輻的表示とその帰結

P301
この §25 の最後に, 上述の多輻的 Kummer 離脱を用いた q 標対象の次数の計算に
ついて, 簡単に説明しましょう. (詳しくは, [9], Corollary 3.12, の証明を参照ください.)
この §25 の冒頭の Θ
×μ
LGP リンクが定める同型 † 0
C
?
LGP
?→ ‡ 0
C
?
△ は,
† 0Θ 標対象を ‡ 0
q 標
対象に移します. (§24, (a), を参照ください.) したがって, §14, (e), (i), から, 所望の次数
deg(‡ 0
q 標対象) を,
† 0Θ 標対象の　? “† の側” の正則構造の観点からではなく　?
“‡ の側” の正則構造の観点からの対数体積を用いて計算することが可能です. 一方, 多輻
的 Kummer 離脱によって, 不定性 (Ind1), (Ind2), (Ind3) を認めれば, Θ×μ
LGP リンクが誘
導する同型 † 0F
?×μ
△
?→ ‡ 0F
?×μ
△ (§24, (b), を参照) と両立する同型 † 0RFrob
?→ ‡ 0RFrob
が得られます.
vol(‡ 0Θ) ∈ R ∪ {∞}
を, 不定性 (Ind1), (Ind2), (Ind3) の作用による ‡ 0Θ 標対象の軌道の和集合の (“‡ の側”
の正則構造による) 正則包 (holomorphic hull ? cf. [9], Remark 3.9.5) ([2], §12, の
後半の議論を参照) の行進正規化対数体積として定義しましょう. すると, 両立的同型
† 0RFrob
?→ ‡ 0RFrob の存在から,
† 0Θ 標対象の対数体積は, vol(‡ 0Θ) 以下とならざるを得
ません. したがって, 結論として, 不等式
vol(‡ 0Θ) ≧ deg(‡ 0q 標対象)
が得られます.

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 15:26:20.19

https://www.youtube.com/watch?v=bAODDRU-cBE
宇宙際タイヒミュラー理論(IUT理論)に関する2つのアニメーション
1,213 回視聴2020/04/11

基底状態のセシウムさん
カラー(khara,inc.)制作のIUTeich関係のCG動画楽しみ

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
・動画元URL
Animation 1 - https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT-animation-Thm-A-fukugen-fade-out.wmv
IUTeichに関するアニメーション（＝[IUTchIII], Theorem Aの内容に対応）
　"The Multiradial Representation of Inter-universal Teichmuller Theory"を公開。
石碑版：　「復元」　フェードアウト版　（avi wmv）　

Animation 2 - https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/2020-01%20Computation%20of%20q-pilot%20(animation).mp4
第二の、IUTeichに関するアニメーション（＝[IUTchIII], Theorem Bの内容に対応）
　"Computation of the log-volume of the q-pilot via the multiradial representation"
　を公開。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 23:36:38.51

Legendre form
楕円曲線 “y^2 = x(x - 1)(x - λ)”

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_form
Legendre form
In mathematics, the Legendre forms of elliptic integrals are a canonical set of three elliptic integrals to which all others may be reduced. Legendre chose the name elliptic integrals because[1] the second kind gives the arc length of an ellipse of unit semi-major axis and eccentricity {\displaystyle \scriptstyle {k}}\scriptstyle {k} (the ellipse being defined parametrically by {\displaystyle \scriptstyle {x={\sqrt {1-k^{2}}}\cos(t)}}\scriptstyle{x = \sqrt{1 - k^{2}} \cos(t)}, {\displaystyle \scriptstyle {y=\sin(t)}}\scriptstyle{y = \sin(t)}).
In modern times the Legendre forms have largely been supplanted by an alternative canonical set, the Carlson symmetric forms. A more detailed treatment of the Legendre forms is given in the main article on elliptic integrals.
The Legendre form of an elliptic curve is given by
y^{2}=x(x-1)(x-λ)

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS
Shinichi Mochizuki April 2020
P41
Corollary 2.2. (Construction of Suitable Initial Θ-Data) Suppose that
X = P1Q is the projective line over Q, and that D ⊆ X is the divisor consisting of
the three points “0”, “1”, and “∞”. We shall regard X as the “λ-line” - i.e.,
we shall regard the standard coordinate on X = P1
Q as the “λ” in the Legendre
form “y2 = x(x-1)(x-λ)” of the Weierstrass equation defining an elliptic curve -
and hence as being equipped with a natural classifying morphism UX → (Mell)Q
[cf. the discussion preceding Proposition 1.8]. Let

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 23:37:17.56

>>136
つづき

続・宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2018) （Indexあり） https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244746
P94
Q は有理数体 Q の代数閉包　-　との間に, 自然な全単射
が存在します. 各元 λ ∈ Q \ {0, 1} に対して, 方程式 “y^2 = x(x - 1)(x - λ)” を考えるこ
とによって, Q(λ) 上の楕円曲線 (Eλ)Q(λ) が得られます. また, 剰余体 Q(λ) の拡大体 Fλ
を Fλdef= Q(λ, √-1,(Eλ)Q(λ)[3 ・ 5](Q)) と定義すると, 良く知られているとおり, Fλ 上の
楕円曲線 Eλ def = (Eλ)Q(λ) ×Q(λ) Fλ は, Fλ のすべての素点において高々分裂乗法的還元
を持ちます. 特に, 各元 λ ∈ Q \ {0, 1} において,
・楕円曲線 Eλ の q パラメータが定める Fλ 上の数論的因子 qλ の次数 deg(qλ),
・数論的因子 qλ が定める Fλ 上の “被約” な数論的因子 fλ の次数 deg(fλ),
・数体 Fλ の絶対共役差積が定める Fλ 上の数論的因子 dλ の次数 deg(dλ),
・剰余体 Q(λ) の有理数体上の拡大次数 dλ def = [Q(λ) : Q]
という 4 つの値を考えることができます. これら 4 つの値は, λ ∈ Q\ {0, 1} をその GQ 共
役に取り替えても変わらないため, 特に, これら 4 つの値を “UP の閉点のなす集合の上の
関数” と考えることができます. この設定のもと, Belyi 写像を用いた議論を適用すること
によって, この §26 の冒頭で述べた “Diophantus 幾何学的不等式” を証明するためには,
以下の主張を証明すれば充分であることがわかります ([5], Theorem 2.1; [10], Corollary
2.2, (i); [10], Corollary 2.3, の証明を参照):
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 16:46:53.77

メモ
http://blog.livedoor.jp/abc_conjecture/archives/44597227.html
【数学】ABC予想ニュース【最新情報】
2018年01月24日
宇宙際タイヒミュラー理論のまとめWiki
(2018.1.24更新)

・F. Tan and K. Chenによるワークショップ資料(2015.7に北京で開催された「Workshop on Inter-Universal Teichmuller Theory」より) (英語)
http://wiutt.csp.escience.cn/dct/page/70004
Note on the theory of Absolute Anabelian Geometry of Mochizuki http://wiutt.csp.escience.cn/dct/attach/Y2xiOmNsYjpwZGY6OTQ2OTA=
・Minhyong Kimによる解説ペーパー(英語)
http://people.maths.ox.ac.uk/kimm/papers/pre-iutt.pdf
・星裕一郎氏によるサーベイ(2015.12開催の研究集会内「宇宙際 Teichmuller 理論入門」での講義資料)(日本語)
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/intro_iut.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 16:51:56.02

本体リンク切れで、キャッシュ貼る
https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:k2PgzayvOKEJ:https://ncatlab.org/nlab/show/anabelioid+&cd=3&hl=ja&ct=clnk&gl=jp
nLab
anabelioid
Contents
1. Introduction
2. Details
3. Associated notions
4. References
Introduction 0.1
An anabelioid is a category intended to play the role of a ‘generalised geometric object’ in algebraic/arithmetic geometry. Its definition is simple: a finite product of Galois categories, or in other words of classifying topoi of profinite groups. The significance comes from the fact that in anabelian geometry, an algebraic variety is essentially determined by its algebraic fundamental group, which arises from a Galois category associated to the algebraic variety. The idea, due to Shinichi Mochizuki, is that one can develop the geometry of these Galois categories themselves, and products of Galois categories in general; thus, develop a form of categorical algebraic geometry.

To quote from Remark 1.1.4.1 of Mochizuki2004:

The introduction of anabelioids allows us to work with both “algebro-geometric anabelioids” (i.e., anabelioids arising from (anabelian) varieties) and “abstract anabelioids” (i.e., those which do not necessarily arise from an (anabelian) variety) as geometric objects on an equal footing.

The reason that it is important to deal with “geometric objects” as opposed to groups, is that:

We wish to study what happens as one varies the basepoint of one of these geometric objects.

Details 0.2
The following definitions follow Mochizuki2004.

Definition 0.3. A connected anabelioid is exactly a Galois category.

Definition 0.4. An anabelioid is a category equivalent to a finite product of connected anabelioids, that is, to a finite product of Galois categories.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 16:52:23.57

>>139
つづき

Remark 0.5. An anabelioid is also known as a multi-Galois category.

Associated notions 0.6
finite etale morphism of anabelioids
References 0.7
The geometry of anabelioids, Shinichi Mochizuki, 2004, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 40, No. 3, 819-881. paper Zentralblatt review
Created on April 17, 2020 at 18:29:54. See the history of this page for a list of all contributions to it.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 17:53:15.48

メモ

「Anabelioid の幾何学」2002年3月
ここに、”(i) 大域的な乗法的部分群スキームを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等のコピー E◎, F◎, K◎ に対する乗法的部分群スキームの構成を目指す。
(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の K◎ の base-point を parametrize するものと見る。”
これが、”宇宙際”の起源みたいだね

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20(Meijidai%202002-03).pdf
Anabelioid の幾何学
望月新一 (京都大学数理解析研究所)2002年3月

§1. 新技術導入の動機§2. anabelioid と core§3. 数論的な anabelioid の例§1. 新技術導入の動機F を数体とし、 E をその上の楕円曲線とする素数 l ≧ 3 に対し、簡単のため、Spec(F) 上の、 l 等分点による群スキーム E[l] から定まるガロア表現

K の殆んどの bad, multiplicative reduction の素点 pK においては、その素点における局所理論から生じる ‘乗法的な部分群スキーム’ と一致しない

この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある。結論からいうと、 ‘正しい視点’ は次の内容からなっている:

(i) 大域的な乗法的部分群スキームを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等のコピー E◎, F◎, K◎ に対する乗法的部分群スキームの構成を目指す。

(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の K◎ の base-point を parametrize するものと見る。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 17:53:58.62

>>141
つづき

まり、一言でいうと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である。動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)◎ の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、
「pK が表している K◎ の basepoint から、 LK に対応する (LK)◎ を眺めてみると、その (LK)◎ は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる。」

という一見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、実は、ある意味では「同義反復的」な状況を実現することができる。

§2. anabelioid と core
以上の議論は哲学的な要素も含んでいるが、これを厳密な数学として処理するためには、新しい技術の導入が必要となる。この場合、中心となる新技術は、 ‘anabelioid’の理論である。

‘anabelioid’ とは、§1 の議論を行なう際に用いなければならない幾何的な対象のことである。この幾何的対象は、スキームと違い、 topos、即ち　圏　であるため、 an-abelioid 全体の ‘圏’ というものは、 2-category になってしまう。連結なときは、 anabe-lioid は [SGA1] に登場する ‘Galois category’ という、今では40年以上の歴史を持つ馴染み深いものと同じである。つまり、連結な anabelioid は、∃副有限群 G に対して
B(G)def= {G の連続な作用付きの有限集合たちがなす圏}
と同値な圏のことである。

anabelioid 的な視点が [SGA1] 等に代表される古典的なものと最も本質的に異なるところは、 (有限次)エ夕ール被覆の扱いである。古典的な理論では、個別のエ夕ール被覆や、複数のエ夕ール被覆からなる図式などは、一つの決まった Galois category に所属するものとして扱われる。この Galois category は、当然、扱っているすべてのエ夕ール被覆の下にあるスキーム（＝幾何的対象)に付随するものである。一方、 an-abelioid の理論では、 anabelioid そのものを、幾何的対象とみなすため、（本来、互いに全く関係のない、連結な anabelioid X, Y, Z に対して）
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 13:29:20.21

静かになったな
良かった
論文を学部4年が読めるようにとか
そんな話は、あっちのスレへ行けってこと

ヒルベルトの話もなんだかね
取り違えているよね
ヒルベルト以前の数学論文はデタラメで
ヒルベルトが、「数学論文は証明をちゃんと書こう」運動をしたみたくいう

「数学論文は証明をちゃんと（厳密に）書こう」運動は、ワイエルシュトラスが有名だけど
基本は、「数学論文は証明をちゃんと書こう」という精神は、（ガウスとか近代以降の）いつの時代の数学者の思考の根底にあったろう

望月先生が、その常道を外れたマッドサイエンティストみたく見えるのかね？
ショルツェ氏のzbmathレビューの方が、常軌を逸しているように見えるのは、私だけかね（「cor 3.12まではトリビアで証明は数行、cor 3.12など証明できるはずのない、トンデモ論文だ」とさ）

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 13:32:06.50

>>143
誤爆すまん
再投稿下記（＾＾；

Inter universal geometryとABC予想(応援スレ)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1628778394/117

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/21(土) 07:39:31.66

「集合論とはすべての集合のなす宇宙 V の構造を調べる理論である」

http://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/set-theory-basic-2009.pdf
集合論ベーシック
(2009 年度版)
向井国昭

1 はじめに
集合論とはなにか? 自然数の全体 N を調べる理論を自然数論というのと同じよう
に，集合論とはすべての集合のなす宇宙 V の構造を調べる理論である．この宇宙 V
は代数や微積分などあらゆる数学の展開に十分なほど広大であることが知られてい
る．本ノートは現代数学の標準言語でもある公理的集合論ZFC を紹介する．

ZFC 公理系は第 2 節で説明するが，ZFC をはじめて読む人のために役立つことを願って，
ZFC 公理系のこころを本節にまとめてみた．お役にたてばさいわいである．

高校数学でもおなじみの関係・関数の概念は，数学全般においても基本的かつ必要
不可欠である．数学だけではない．たとえば，数理論理学のモデル論は，述語記号は
関係を表し，関数記号は関数を表すとして構成されるので，関係・関数の概念は必要
不可欠である．本ノートの目標は V の構造の基本を述べることであるが，関係・関
数概念をきちんと定義するために必要な範囲の構造に限定される．したがって V 自
身の構造の深い性質についてはふれない．

https://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/model-theory-basic-2006.pdf
モデル論ベーシック
(2006 年度版)
向井国昭
1 はじめに
一階述語論理式, 数学的構造, 真偽の解釈規則のみっつを説明する．前半は「小さ
な世界」を例にとって説明し, 後半は形式的にモデルの定義を説明する. 例が必要が
なければ, 前半はスキップしてかまわない.

https://researchmap.jp/read0116084
向井国昭ムカイクニアキ (Kuniaki Mukai)更新日: 2011/08/04
https://k-ris.keio.ac.jp/html/100012649_ja.html
慶應義塾研究者情報データベース
向井　国昭 (ムカイ　クニアキ)2019/02/21

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/22(日) 10:10:41.61

メモ

http://www.uvm.edu/~tdupuy/anabelian/VermontNotes_20.pdf
KUMMER CLASSES AND ANABELIAN GEOMETRY Date: April 29, 2017
JACKSON S. MORROW
ABSTRACT. These notes comes from the Super QVNTS: Kummer Classes and Anabelian
geometry. Any virtues in the notes are to be credited to the lecturers and not the scribe;
however, all errors and inaccuracies should be attributed to the scribe. That being said,
I apologize in advance for any errors (typo-graphical or mathematical) that I have introduced. Many thanks to Taylor Dupuy, Artur Jackson, and Jeffrey Lagarias for their wonderful insights and remarks during the talks, Christopher Rasmussen, David Zureick-Brown,
and a special thanks to Taylor Dupuy for his immense help with editing these notes.

The following topics were not covered during the workshop:
・ mono-theta environments
・ conjugacy synchronization
・ log-shells (4 flavors)
・ combinatorial versions of the Grothendieck conjecture
・ Hodge theaters
・ kappa-coric functions (the number field analog of etale theta) ´
・ log links
・ theta links
・ indeterminacies involved in [Moc15a, Corollary 3.12]
・ elliptic curves in general position
・ explicit log volume computations

CONTENTS
1. On Mochizuki’s approach to Diophantine inequalities
Lecturer: Kiran Kedlaya . . . . . . . . . 2
2. Why the ABC Conjecture?
Lecturer: Carl Pomerance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (I/II)
Lecturer: Kirsten Wickelgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (II/II)
Lecturer: David Zureick-Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/22(日) 16:56:49.37

メモ
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
望月過去と現在の研究
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(lecture%20note%20ban).pdf
宇宙際タイヒミューラー理論に関するレクチャーノートの最新版（2015年04月更新）

$1. Hodge-Arakelov 理論的動機付け
$2. Teichmiller 理論的な変形
$3. 対数・テータ格子
$4. 宇宙際性と遠アーベル幾何

Ｐ16
$4. 宇宙際性と遠アーベル幾何

log-link 及び Θ-link
は、定義域・値域の環構造と両立しないため、環構造から生じるスキーム論的な「基点」や、ガロア群 ( ⊆ Autfied(k) !! )と、本質的に両立しない! つまり、log-, Θ-link の「向こう側」に移行するとき、
“Πv, " や “Gv"は、抽象的な位相群としてしか、「向こう側」のスキーム論に通用しない!
(体の自己同型によって引き起こされる絶対ガロア群の外部自己同型の場合を参照。)
⇒ 定義域・値域双方の環構造の間の関係を計算するためには、遠アーベル幾何を活用するしかない!過去の論文のレベルでいうと、
絶対遠アーベル幾何やエタール・テータ関数の様々な剛性性質に関する
・Semi-graphs of Anabelioids　　・The Geometry of Frobenioids I, II
・The Etale Theta Function ...　・Topics in Absolute Anab. Geo. III
の結果や理論を適用することによって主定理を帰結する:
主定理: Θ-link の左辺に対して、軽微な不定性を除いて、右辺の「異質」な環構造しか用いない言葉により、明示的なアルゴリズムによる記述を与えることができる。
解釈:「狭いパイプ」でしか繋がっていないような状況(=例えば、宇宙船にいる宇宙飛行士や地下の鉱山で働く作業員等)において、限られた情報を賢く利用することによって「向こう側」の状況を復元し、把握することができる。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/22(日) 16:57:14.60

つづき

Ｐ17
証明のポイント:? Gv ⇒ Oxkのコア性 (coricity)!
・二種類の数学的対象を関連付ける、様々な形の「Kummer 理論」($3後半の解説を参照):抽象的なモノイド = Frobenius 型の対象,数論的基本群
・ガロア群 = etale 型の対象ここで、ガウス積分の計算との類似=「単数群と値群の分離」を思い出そう:
　log-, Θ-link や対数・テータ格子の定義 ← → デカルト座標絶対遠アーベル幾何を用いたアルゴリズムによる記述 →極座標円分物 (～＝Ｚ(1)) の確保=剛性が肝心! ← → S1 n による座標変換

（Bogomolov の証明を参照!)を実現するためには、log-link の活用が必要不可欠である。

一方、対数・テータ格子の非可換性によって様々な困難が生じる。⇒後の「体積計算」では、(等式ではなく!) 不等式しか出ない!

主定理のアルゴリズムの出力に対して、体積計算を行うと、$1 で解説したように次のような帰結が得られる(Faltings による Mordell 予想の証明に出てくる、類体論やp進ホッジ理論、アーベル多様体関連の代数幾何等を参照!)：
系:「(強い形の) Sapiro 予想」 (←→ 「ABC 予想」)。htE = (1 + c)(log-difff + log-conde) + constant

ここで「N・HLHS = ARHS」( = Θ-link!)や「N.h < h+C」(= 主定理+体積計算)の議論 ($1)を思い出そう!

先ほどの議論は、$3 の最後に解説したヤコビの変換式との類似で考えると、様々な類似点が浮かび上がる:

実は、先ほどの不等式に登場した「ε」は、
(htE)-1/2・log(htＥ)
位のオーダーに抑えることができる。この「1/2」はリーマン予想を連想させられる値であるが、まさしくリーマン予想と同じく、「ウエイト 1/2」(注:「ウェイト」はリーマン・ゼータ ζ(S) の「s」)、つまり(Tate 捻りに対応する)πの整数幕ではなく、πの平方根
∫-∞～∞ e-x2 dx = √π
に関係する現象である。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/22(日) 16:57:53.30

>>148
つづき

実際、先ほどの「ε」の計算では、ガウス積分やテータ関数に現れるような二次形式が出てきて、その量の最少値を求めると、二次形式の根= 平方根 = 「(htE)-2」という式が発生するのである。

P19
最後に、「IU 幾何の心」=「通常のスキーム論が有効ではないような組合せ論的な設定において、通常のスキーム論にヒントを得た構成を行ない、通常のスキーム論をある程度近似することによって非自明な結果を出す」という考え方のもう一つの(より初等的な)例として
組合せ論的遠アーベル幾何 ?GT 群に関する様々な結果という例が存在することを指摘したい。これらの結果の趣旨は、GT群が「GQと同型である」ことを示す代わりに、GT 群が GQと「類似的な性質」を満たすことを示すことにある。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/24(火) 08:01:01.68

下記タイヒミュラー空間論 by 今吉洋一 (著), 谷口雅彦 (著)が良いと
数学セミナー　2021年9月号タイヒミュラー空間／双曲幾何の変形空間……正井秀俊　70
に書いてあった

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
数学セミナー　2021年9月号
[特集1]
高次元の正多面体

群と幾何をみるーー無限の彼方から
　　タイヒミュラー空間／双曲幾何の変形空間……正井秀俊　70

https://www.アマゾン
タイヒミュラー空間論 Tankobon Hardcover ? November 1, 2004
by 今吉洋一 (著), 谷口雅彦 (著)
日本評論社
内容（「BOOK」データベースより）
初版から15年。タイヒミュラー空間とその商空間であるモデュライ空間は、いまや複素力学系・代数幾何・双曲幾何・低次元トポロジーなどにおける基本概念となった。共形場理論や弦理論との関連から、物理学からの関心もますます増え続けている。本書は可能な限り予備知識を絞って書かれたこの分野のスタンダードな教科書である。
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
今吉/洋一
1947年岡山県に生まれる。1971年東北大学理学部数学科を卒業。現在、大阪市立大学大学院理学研究科教授

谷口/雅彦
1951年奈良県に生まれる。1974年京都大学理学部数学科を卒業。現在、京都大学大学院理学研究科助教授(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/28(土) 12:47:26.41

>>150
>下記タイヒミュラー空間論 by 今吉洋一 (著), 谷口雅彦 (著)が良いと
>数学セミナー　2021年9月号タイヒミュラー空間／双曲幾何の変形空間……正井秀俊　70
>に書いてあった

本が手元に来た
これから、ざっと眺めて読んでみます

https://researchmap.jp/read0013294
谷口雅彦タニグチマサヒコ (Masahiko Taniguchi) 更新日: 2020/09/02

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/29(日) 17:38:54.41

p進Teichmuller理論 ”An Introduction to p-adic Teichmuller Theory”は、目を通しておくのが良い

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月論文
p進Teichmuller理論
[3] An Introduction to p-adic Teichmuller Theory. PDF （これは、次のAsterisque, tome 278 (2002)と同じですね）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/An%20Introduction%20to%20p-adic%20Teichmuller%20Theory.pdf

（上記と同じ）
http://www.numdam.org/article/AST_2002__278__1_0.pdf
SHINICHI MOCHIZUKI
An introduction to p-adic Teichmuller theory
Asterisque, tome 278 (2002), p. 1-49

講演のアブストラクト・レクチャーノート
[2] p進Teichmuller理論. PDF （Hokudai 2001-01 か）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/p-shin%20Teichmuller%20riron%20no%20kaisetsu%20(Hokudai%202001-01).pdf
An Introduction to p-adic Teichm¨uller Theory 望月新一 TX 近藤智

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/04(土) 19:42:14.74

凄いじゃないかIUT！「IUTは、類体論の拡張」
「フェセンコはIU幾何を遠アーベル幾何から派生した新たな類体論に位置付けている」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96#cite_note-3
宇宙際タイヒミュラー理論
数論的 log Scheme 圏論的表示の構成等に続いた研究であり、「一点抜き楕円曲線付き数体」の「数論的タイヒミューラー変形」を遠アーベル幾何等を用いて「計算」する数論幾何学の理論である
イヴァン・フェセンコはIU幾何を遠アーベル幾何から派生した新たな類体論に位置付けている

https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/232.pdf
[R5] Class field theory, its three main generalisations, and applications pdf, May 2021, EMS Surveys 8(2021) 107-133
https://www.ems-ph.org/journals/show_issue.php?issn=2308-2151&;vol=8&iss=1
EMS SURVEYS Vol8,2021 Class field theory, its three main generalisations, and applications

P16
Here are some relations between the three generalisations of CFT and their further developments:

2dLC?－－ 2dAAG－－－ IUT
　l　　　／　　｜　　　　　｜
　l　／　　　｜　　　　　｜
　l／　　　　｜　　　　　｜
　LC 　　 2dCFT　 anabelian geometry
　＼　　　　　｜　　　　／
　　＼　　　｜　　　／
　　　　＼　　｜　／
　　　　　　 CFT
注）記号：
Class Field Theory (CFT), Langlands correspondences (LC), 2dAAG = 2d adelic analysis and geometry, two-dimensional (2d)
(P8 "These generalisations use fundamental groups: the etale fundamental group in anabelian geometry, representations of the etale fundamental group (thus, forgetting something very essential about the full fundamental group) in Langlands correspondences and the (abelian) motivic A1 fundamental group (i.e. Milnor K2) in two-dimensional (2d) higher class field theory.")

Problem 7. Find more direct relations between the generalisations of CFT. Use them to produce a single unified generalisation of CFT.23

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/16(木) 22:54:21.63

これいいね
https://ncatlab.org/nlab/show/inter-universal+Teichm%C3%BCller+theory
nlab
inter-universal Teichmuller theory
Context
Arithmetic geometry
Contents
1. Idea
2. Details
Pilot objects
3. Related concepts
4. References

3. Related concepts
・anabelian geometry https://ncatlab.org/nlab/show/anabelian+geometry
・etale theta function https://ncatlab.org/nlab/show/%C3%A9tale+theta+function
・Frobenioid https://ncatlab.org/nlab/show/Frobenioid
・initial Θ-data https://ncatlab.org/nlab/show/initial+%CE%98-data
・Mochizuki's corollary 3.12 https://ncatlab.org/nlab/show/Mochizuki%27s+corollary+3.12
・universe polymorphism https://ncatlab.org/nlab/show/universe+polymorphism
・poly-morphism (not to be be confused with polymorphism) https://ncatlab.org/nlab/show/poly-morphism

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/17(金) 07:11:39.83

IUTアニメ資料
https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/files/iut2.html
Inter-universal Teichmuller Theory (IUT) Summit 2021
RIMS workshop, September 7 - September 10 2021

Animations 1 and 2 illustrating IUT
The images on this page are taken from these animations

https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/files/iut.anima.html
Animations related to IUT

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/19(日) 08:39:56.45

メモ
https://www.math.kyushu-u.ac.jp/seminars/view/1373
連続講演会(第1回目)
開催期間
2014-09-16 10:30～2014-09-19 17:30
場所
九州大学伊都キャンパス伊都図書館3階中セミナー室1
受講対象
講師
山下剛 (京大数理研)

タイトル：
「宇宙際Teichmuller理論とそのDiophantus的帰結」

アブストラクト：
2012年8月、望月新一氏(京大数理研)は宇宙際Teichmuller理論の連続論文(I～IV)を発表した。これは、きわめて大雑把に述べると、スキーム論の外に出て数体の「数論的正則構造」を「変形」し、絶対遠Abel幾何的復元アルゴリズムを使うことで一方の「数論的正則構造」から他方の「数論的正則構造」を軽微な不定性を許して復元し、その帰結としてDiophantus不等式を導くというものである。不定性が軽微なもので抑えられることを示すところ(や「変形」の構成など)において、理論中に出てくる数学的部品たちの性質が絶妙にピタリとあてはまっている。

同氏は、その理論の準備の段階の論文を含め、「単遠Abel幾何と双遠Abel幾何」「数論的正則性と単解析性」「エタール的対象とFrobenius的対象」「多輻性と単輻性と核性」「足し算と掛け算を分離する数論的な上半平面」「数論的な解析接続」「Galois評価原理」などの(重要かつ整理された視点を提供する)独創的な数学的概念・視点を導入し、全く新しい地平を切り開いた。これはDiophantus不等式への応用抜きにしてもそれ自身重要かつ有用な概念・視点である(また、これら以外にも多くの興味深い対応関係や対比がある)。

本連続講演は、理論全体の概観の後、理論の思想的源流(Hodge-Arakelov理論やp進Hodge理論など)について簡単に触れ(同氏の導入した概念や理論は単に新奇であるのではなく、よく理解すればGauss積分やテータ関数のJacobiの等式などの古典的な理論と思想的に深く結びついている)、準備の論文の解説(Belyiカスプ化や単テータ環境の３つの剛性など)をして、本体の論文(キーワードだけを並べると、種々のHodge舞台、種々のテータ・リンクとHodge-Arakelov理論的評価、対数的殻と対数的リンク、対数的Kummer対応、多輻的復元アルゴリズム、対数的体積計算など)に進む予定である。計３週間ぐらいになる予定である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/25(土) 11:22:58.37

>>129

下記IUTの発想というか、手探りでIUTを構築しようとしている様子がよく分かる
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月講演
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suuronteki%20log%20scheme%20no%20kenrontekihyouji%20kara%20mita%20daen%20kyokusen%20no%20suuron%20(Hokudai%202003-11).pdf
[10] 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論　（北海道大学 2003年11月）. PDF

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 07:54:28.29

メモ
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/
伊吹山知義　オフィシャルサイト
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/proceedings.html
整数論研究集会報告集のページ
整数論サマースクール
整数論オータムワークショップ
第１２回整数論サマースクール基本群とGalois表現（広島県福山市「ローズイン備後ハイツ」）2004

Belyi の定理、dessins d'enfants 都立大・小松亨 http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/pdf/%E7%AC%AC%EF%BC%91%EF%BC%92%E5%9B%9E/12_7.pdf
Grothendieck-Tiechm"uller 群名古屋大・古庄英和 http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/pdf/%E7%AC%AC%EF%BC%91%EF%BC%92%E5%9B%9E/12_8.pdf
Galois 圏・淡中圏とその基本群の入門京大・玉川安騎男 http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/pdf/%E7%AC%AC%EF%BC%91%EF%BC%92%E5%9B%9E/12_9.pdf
曲線の moduli 空間の基本群への Galois 作用岡山大・中村博昭 http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/pdf/%E7%AC%AC%EF%BC%91%EF%BC%92%E5%9B%9E/12_10.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 07:57:34.27

メモ

http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/NumberTheorySummerSchool.html
Number Theory Summer School
これまでの整数論サマースクール

28 2021 モジュラー曲線と数論
（Zoom）新井啓介（東京電機大学）
千田雅隆（東京電機大学）
吉川祥（学習院大学）準備中 HP

27 2019 構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題
（山形県酒田市「東北公益文科大学公益ホール・かんぽの宿酒田」）小松亨（東京理科大学）
星明考（新潟大学）
北山秀隆（和歌山大学）報告集 HP

26 2018 多重ゼータ値
（愛知県田原市伊良湖町「伊良湖シーパーク＆スパ」）佐久川憲児（京都大学）
田坂浩二（愛知県立大学）
三柴善範（福岡工業大学）報告集 HP

25 2017 楕円曲線とモジュラー形式の計算
（群馬県渋川市伊香保町「伊香保温泉塚越屋七兵衛」）木村巌（富山大学）
横山俊一（九州大学）報告集 HP

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 08:06:00.55

メモ

https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:D94dZn4dj2cJ:https://www.ipmu.jp/sites/default/files/webfm/pdfs/news14/J_FEATURE.pdf+&cd=1&hl=ja&ct=clnk&gl=jp
ファイル https://www.ipmu.jp/sites/default/files/webfm/pdfs/news14/J_FEATURE.pdf の HTML 版です。
IPMU主任研究員?アレクセイ・ボンダル
代数から代数多様体へ
グロタンディーク以降の導来圏

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:41:01.32

>>153 類体論補足

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E%E4%BD%93%E8%AB%96
類体論
有限体上の曲線の函数体や数体のアーベル拡大について、およびそのようなアーベル拡大に関する数論的性質について研究する、代数的整数論の一大分野である。理論の対象となる体は、一般に大域体もしくは一次元大域体と呼ばれるものである。

与えられた大域体の有限次アーベル拡大と、その体の適当なイデアル類もしくはその体のイデール類群の開部分群との間に一対一対応が取れるという事実によって、類体論の名がある。例えば、数体の最大不分岐アーベル拡大であるヒルベルト類体は、非常に特別なイデアル類に対応する。類体論は、大域体のイデール類群（即ち、体の乗法群によるイデールの商）によってその大域体の最大アーベル拡大のガロワ群へ作用する相互律準同型 (reciprocity homomorphism) を含む。大域体のイデール類群の各開部分群は、対応する類体拡大からもとの大域体へ落ちるノルム写像の像になっているのである。

標準的な方法論は、1930年代以降発達した局所類体論（英語版）で、これは大域体の完備化である局所体のアーベル拡大を記述するものであり、これを用いて大域類体論が構築される。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:41:26.13

>>161
つづき

現代的な定式化
現代的な言葉で言えば、基礎体 K の最大アーベル拡大 A は存在して、その拡大次数は K 上無限大となり得るから、その時 A に対応するガロワ群 G は副有限群となり、従ってコンパクト位相群かつまたアーベル群になる。類体論の中心定な目的は、この群 G を基礎体 K の言葉で記述することである。特に、K の有限次アーベル拡大と K に対する適当な（有限な剰余体を持つ局所体の場合の乗法群や大域体の場合のイデール類群のような）対象におけるノルム群との間の一対一対応を確立し、それらのノルム群を（例えば、指数有限な開部分群といったように）直截的に記述することである。そのような部分群に対応する有限次アーベル拡大を類体と呼び、これが理論の名称の由来となっている。

類体論の基本的な結果は「最大アーベル拡大のガロワ群 G は、基礎体 K のイデール類群 CK の（基礎体 K の特定の構造に関係して CK に入る自然な位相に関する）副有限完備化に自然同型である」ことを主張する。同じことだが、K の任意の有限次ガロワ拡大 L に対し、この拡大のガロワ群の最大アーベル商（アーベル化）と、K のイデール類群を L のイデール類群のノルム写像による像で割ったものとの間に、同型

Gal(L / K)ab → CK / NL/K CL
が存在する[1]。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:41:44.65

>>162
つづき

幾つかの小さい体、例えば有理数体 Q やその虚二次拡大体については、もっとたくさんの情報が得られる詳細な理論が存在する。例えば、Q のアーベル化絶対ガロワ群 G は、全ての素数に亙って取った p-進整数環の単元群の無限直積（に自然同型）であり、対応する Q の最大アーベル拡大は 1 の冪根全てによって生成された体となる。このことは、もとはレオポルト・クロネッカーの予想であったクロネッカー?ヴェーバーの定理として知られる。この場合の、類体論の相互律同型（あるいはアルティンの相互律写像）も同定理に従って具体的に書くことができる。1 の全ての冪根からなる群を

{\displaystyle \mu _{\infty }(\subset \mathbb {C} ^{\times })}\mu _{\infty }(\subset {\mathbb {C}}^{\times })
と書くことにする（円周群 C× のねじれ部分群）と、アルティンの相互律写像はそれが数論的正規化されているならば

{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})}{\hat {{\mathbb {Z}}}}^{\times }\to G_{{{\mathbb {Q}}}}^{{\text{ab}}}={\text{Gal}}({\mathbb {Q}}(\mu _{\infty })/{\mathbb {Q}});\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})

によって、あるいはそれが幾何学的正規化されているならば

{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{-x})}{\hat {{\mathbb {Z}}}}^{\times }\to G_{{{\mathbb {Q}}}}^{{\text{ab}}}={\text{Gal}}({\mathbb {Q}}(\mu _{\infty })/{\mathbb {Q}});\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{{-x}})
によって与えられる。しかし、このような小さな代数体に対する詳細理論の主要な構成法は一般の代数体の場合にまで拡張することはできないし、一般類体論で用いられるのはもっと違った概念的原理である。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:42:05.81

>>163
つづき

相互律準同型を構成する標準的な方法は、まず大域体の完備化の乗法群からその最大アーベル拡大のガロワ群への局所相互律同型を構成し（ここまでは局所類体論の範疇でできる）、それからそれらすべての局所相互律写像の積を大域体のイデール群上で定義するとき、その積が大域体の乗法群の像の上で自明となることを示すことで行われる。最後のところのこの性質を大域相互律 (global reciprocity law) と言い、これはガウスの二次の相互律の広汎な一般化になっている。

相互律準同型を構成するのに類構造（英語版）を用いる方法もある。

コホモロジー群（特にブラウアー群）を用いる方法や、コホモロジーを用いずに非常に明示的で応用が利く方法などもある。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:42:29.08

>>164
つづき

素イデアル
G の抽象的な記述だけではなくて、そのアーベル拡大においてどのように素イデアルが分解するかを理解することが数論の目的にとってより本質的である。この記述はフロベニウス元を用いて、二次体における素数の因数分解の様子を完全に与える二次の相互律を非常に広範に一般化するものである。つまり、類体論の内容には、（三次の相互律といったような）より高次の「冪剰余の相互律」についての理論が含まれるのである。

類体論の一般化
数論における一つの自然な展開は、大域体の（アーベルとは限らない）一般のガロワ拡大に対する情報を与える非可換類体論の構成と理解を行うことである。ラングランズ対応が非可換類体論と見做されることが多く、そして実際にラングランズ対応が確立されたときには大域体の非可換ガロワ拡大に関する非常に豊かな理論を含むことになるのだが、しかしラングランズ対応はアーベル拡大の場合の類体論が持っていた有限次ガロワ拡大についての数論的情報のほとんどを含んでいないのである。しかもラングランズ対応は類体論の存在定理に対応するものも含んでいない、即ち、ラングランズ対応における類体の概念は存在しないのである。局所および大域の非可換類体論はいくつか存在し、それらはラングランズ対応の観点に対する別の選択肢を与えてくれる。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:42:44.58

>>165
つづき

もうひとつ、数論幾何における自然な展開は、高次局所体および高次大域体のアーベル拡大を構成及び理解することである。後者の高次大域体は、整数環上の有限型スキームの函数体およびその適当な局所化や完備化として生じる。「高次局所および大域類体論」は代数的 K-理論や、一次元類体論で用いられる K1 の代わりに適当なミルナー K-群を用いる。高次局所および大域類体論は、A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司らの数学者が展開した。代数的 K-理論を用いずに高次大域類体論を展開しようとする試みもある (G. Wiesend) が、このやり方は高次局所類体論を含むものではなく、また局所理論と大域理論との間に互換性がない。

歴史
詳細は「類体論の歴史（英語版）」を参照
類体論の起源はガウスによって与えられた平方剰余の相互律にある。それが一般化されるまでには長きに亙る歴史的な取り組み、たとえば二次形式とその「種の理論」、クンマー・クロネッカー・ヘンゼルなどのイデアルおよび完備化に関する業績、円分体およびクンマー拡大の理論などがあった。

最初の二つの類体論は、非常にはっきりした円分類体論と虚数乗法類体論である。これらは付加的な構造（有理数体の場合には 1 の冪根、有理数体の虚二次拡大体の場合には楕円曲線が虚数乗法を持つことと位数有限であること）が利用できる。随分後になって、志村の理論は代数的数体のクラスに対する非常に明示的な新たな類体論を与えた。これらは基礎体の具体的な構造を非常に陽に用いる理論であって、勝手な数体に対してもうまくいくように拡張することはできない。正標数 p の体に関しては、河田と佐武がヴィット双対性を用いて相互律準同型の p-成分の非常に平易な記述を得ている。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:43:05.25

>>166
つづき

しかし、一般類体論はこういったものとは異なる概念を用い、その構成法が任意の大域体に対してうまく機能するようにしなければならない。

ヒルベルトの有名な問題が更なる発展の刺激となって、高木貞治、フィリップ・フルトヴェングラー、エミール・アルティン、ヘルムート・ハッセほか多数による種々の相互律が導かれることとなった。著しく重要な高木の存在定理が1920年に知られ、全ての主要な結果は1930年ごろまでには出そろっていた。証明されるべき古典的な予想の最後の一つは単項化定理（英語版）であった。類体論の最初の証明には、頑強な解析学的手法が用いられた。1930年代以降は、無限次元拡大とそのガロワ群に関するヴォルフガンク・クルルの理論が有効であることが次第に認められていく。この理論はポントリャーギン双対性と結びついて、中心的な結果であるアルティンの相互律のより抽象的な定式化が分かり易くなった。重要な段階は、1930年代にクロード・シュヴァレーによってイデールが導入されたことである。イデールをイデアル類の代わりに用いることで、大域体のアーベル拡大を記述する構造は本質的に明確化および単純化され、中心的な結果のほとんどが1940年までに証明された。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:43:25.67

>>167
つづき

この結果の後には、群コホモロジーの言葉を使った定式化がなされ、それが何世代かの数論学者が類体論を学ぶ際の標準となったが、コホモロジーを用いる方法の難点の一つは、それがあまり具体的でないことである。ベルナルド・ドワーク、ジョン・テイト、ミッシェル・ハゼウィンケルによる局所理論への貢献、およびユルゲン・ノイキルヒによる局所および大域理論の再解釈の結果として、あるいは多くの数学者による明示的な相互公式に関する業績と関連して、1990年代にはコホモロジーを用いない非常に明確な類体論の表現が確立された。このあたりの詳細は、例えばノイキルヒの本を参照せよ。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%9C%A8%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86
類体論の高木の存在定理 (Takagi existence theorem) とは、代数体 K に対してその有限次アーベル拡大と K の一般化されたイデアル類群の間に 1 対 1 の対応が存在するという定理である。
この定理を存在定理と呼ぶ理由は、証明の最も困難な部分が K のアーベル拡大体の存在を示す部分にあるからである。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 17:06:10.64

>>48 補足
>http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf
>類体論田口雄一郎
(引用開始)
P2
類体論の応用として
Kronecker の青春の夢. 虚二次体の任意の有限次アーベル拡大はCM
楕円曲線のj 不変量の値と等分点の座標を添加して得られる。
が解決した(これはKronecker-Weber の定理の虚二次体への拡張である)。
(引用終り)

”CM 楕円曲線”は、虚数乗法（CM）を持つ楕円曲線のことですね
文中に説明がないので、補足です

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_multiplication
In mathematics, complex multiplication (CM) is the theory of elliptic curves E that have an endomorphism ring larger than the integers;[1] and also the theory in higher dimensions of abelian varieties A having enough endomorphisms in a certain precise sense (it roughly means that the action on the tangent space at the identity element of A is a direct sum of one-dimensional modules). Put another way, it contains the theory of elliptic functions with extra symmetries, such as are visible when the period lattice is the Gaussian integer lattice or Eisenstein integer lattice.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 17:06:42.85

>>169
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E4%B9%97%E6%B3%95
虚数乗法(complex multiplication)とは、通常よりも大きな対称性をもつ楕円曲線の理論のことをいう。別のいいかたをすれば、周期格子（英語版）(period lattice)がガウス整数の格子であったり、アイゼンシュタイン整数の格子であったりするような、余剰な対称性を持つ楕円函数の理論である。楕円曲線の高次元化であるアーベル多様体についても同様に大きな対称性をもつ場合があり、これらを扱うのが虚数乗法論である。

特殊関数の理論として、そのような楕円函数や多変数複素解析函数のアーベル函数は、大きな対称性をもつことからその関数が多くの等式をみたすことがいえる。特別な点では具体的に計算可能な特殊値を持つ。また虚数乗法は代数的整数論の中心的なテーマであり、円分体の理論をより広く拡張する事を可能にする。

虚数乗法は、虚二次体の類体における相互法則、主イデアル定理、分岐の様子を、楕円函数や楕円曲線のことばで具体的に書き表すことを可能とする。ダフィット・ヒルベルトは、楕円曲線の虚数乗法論は数学のみならず、すべての科学の中の最も美しい分野であると言っている[1]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/CM-%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%97%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
CM-タイプのアーベル多様体

体 K 上定義されたアーベル多様体 A がCM-タイプ(CM-type)であるとは、自己準同型環 End(A) の中で十分に大きな部分可換環を持つことをいう。この用語は虚数乗法 (complex multiplication) 論から来ていて、虚数乗法論は19世紀に楕円曲線の研究のため開発された。20世紀の代数的整数論と代数幾何学の主要な成果のひとつに、アーベル多様体の次元 d > 1 の理論の正しい定式化が発見されたことがある。この問題は、多変数複素函数論を使うことが非常に困難であるため、非常に抽象的である。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 17:07:14.75

>>170

つづき

フォーマルな定義は、有理数体 Q と End(A) のテンソル積

{\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {Q} }(A)}{\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {Q} }(A)}
は Z 上、次元 2d の可換部分環を含んでいることである。d = 1 のとき、このことは二次体以外にはありえなく、End(A) は虚二次体の整環（英語版）(order)である。d > 1 に対しては、総実体の虚二次拡大であるCM体の場合が比較すべきに対象である。A が単純アーベル多様体ではないかもしれない（例えば、楕円曲線のカルテシアン積）ことを反映する他の他の場合もある。CM-タイプのアーベル多様体の別の名称は、十分に多くの虚数乗法を持つアーベル多様体である。

K が複素数体であれば、任意のCM-タイプの A は、実は、数体である定義体（英語版）(field of definition)を持っている。自己準同型環の可能なタイプは、対合（ロサチの対合（英語版）(Rosati involution)）をもつ環として既に分類されていて、CM-タイプのアーベル多様体の分類を導き出す。楕円曲線と同じような方法でCM-タイプの多様体を構成するには、Cd の中の格子 Λ から始め、アーベル多様体のリーマンの関係式を考えに入れる必要がある。

CM-タイプ(CM-type)は、単位元における A の正則接空間上の、EndQ(A) の（極大）可換部分環 L の作用を記述したものである。単純な種類のスペクトル理論が適応され、L が固有ベクトルの基底を通して作用することを示すことができる。言い換えると、L は A の正則ベクトル場の上の対角行列を通した作用を持っている。L 自体が複数の体の積ではなく数体であるという単純な場合には、CM-タイプは L の複素埋め込み(complex embedding)のリストである。複素共役をペアとして、2d 個の複素埋め込みがあり、CM-タイプは各々のペアのから一つを選択する。そのようなCM-タイプの全てが実現されることが知られている。

志村五郎と谷山豊の基本的結果は、CM-タイプとヘッケのL-函数のことばで、A のハッセ・ヴェイユのL-函数を計算することができ、これから導出された無限部分を持つ。これらが、楕円曲線の場合のマックス・ドイリング（英語版）(Max Deuring)の結果を一般化する。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 17:23:08.14

>>169 補足

下記「類体論をこえて」が分かり易かった
「数学セミナー」1967年8月号の記事だそうです

https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5345.html
ドクトル・クーガーの数学講座1 久賀　道郎 1992.08

第2部　類体論をこえて

　　　　有限体の話

　　　　佐藤予想のこと

　　　　類体論をこえて

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%85%E8%B3%80%E9%81%93%E9%83%8E
久賀道郎（くがみちお、1928年 - 1990年2月13日）は、日本出身の数学者である。

1960年に東京大学で博士号を取得した[1]。

彼の研究は、ピエール・ルネ・ドリーニュによるヴェイユ予想の証明(Deligne 1974)から部分的に続くラマヌジャン予想の証明につながった。

1966年、彼は久賀ファイバー多様体（英語版）を導入した[2]。

彼の著書『ガロアの夢―群論と微分方程式』は、ガロア理論の観点から被覆空間やフックス型微分方程式などのトピックを考察した、学部学生のための群論と微分方程式に関する一連の講義である。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 17:26:03.83

>>172 関連情報

純粋・応用数学（含むガロア理論）9
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623019011/166
>ここの類体論の解説が、志村五郎氏の「虚数乗法入門」数学のあゆみ 7巻2号
>（下記で3巻が1955年だから、7巻だと1959年だろう）

これの画像があった（下記）
”志村五郎述（久賀道郎・清水達雄記），「虚数乗法入門」，数学の歩み 5巻1号”1957 が正しそうかな
あるいは、7巻2号に続編があるのか？　下記の野口潤次郎先生のところには、7巻2号は欠号です。残念

（参考）
https://twitpic.com/d6vdoi
画像
志村五郎述（久賀道郎・清水達雄記），「虚数乗法入門」，数学の歩み 5巻1号，新数学人集団（SSS）編集・数学の歩み刊行会，1957，pp.65-73.

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/
野口潤次郎の電網掲示板
(C1) 数学の歩み
この資料は、その昔志賀浩二先生が東工大を退官されるときに、貴重な資料なので捨てるに忍びない、ということで頂いておいたものです。欠号が多く不完全なものですが、興味深いものがあります。
　初めに「目次（表紙集）」を参照することをおすすめします。
連合機関誌・全国数学連絡会機関誌・数学の歩み。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/SugakuAyumi/
数学の歩み
初めに ``目次（表紙集）'' を見ることをお薦めします。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/SugakuAyumi/00mokuji.pdf
目次（表紙集）
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 16:46:35.10

×資料展示
○資料剽窃

>>1
はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！いつ自首するの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 17:34:07.69

>>174
なんだい、おサルか
学術文献で市販テキストには、価格があって、著作権もある

無料公開学術文献にも、もちろん著作権はあるが
出典を明示している以上、剽窃ではありません（下記）

https://news.yahoo.co.jp/byline/usuimafumi/20140322-00033799
コピペ・代行で済まそうとしている学生さんへ：引用・転載・剽窃とは・その違いとは：著作権法と私文書偽造
碓井真史新潟青陵大学大学院臨床心理学研究科教授（社会心理学）
2014/3/22(土) 15:31

■ 研究論文、研究レポートにおける引用とは
研究論文（研究レポート）において「引用」と呼ばれるものの多くは、研究内容の紹介でしょう。たとえば、「碓井（2022）はオレンジジュースがアンチエイジングに効果があることを示した」といった具合に碓井の研究内容を書いて、最後に「引用文献」として出典を書きますね。

どんどん引用してください。私達は、学問の先輩である巨人の肩に立って研究を進めます。大先生の研究も、最近の新しい研究もたくさん読み、引用してください。引用される方も、名誉なことであり、多く引用されることは評価につながりますので、大歓迎です。

これに対して、世間でよく言われる引用は、相手の言葉や文章をそのまま再掲載することです。たとえば、「碓井は2034年の国連総会において『餃子こそが人類を救う唯一の希望である』と述べている」といった具合です。研究論文でも、誰かの言葉、文章を、そのまま引用することもあるでしょう。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 23:08:18.29

残念ながら剽窃です。何故ならお前に自覚はないだろうけれどミスリードに悪用してるから｡

まーた儂をポニョ石と勘違いしたなセンス無いな。頭も悪い、のに講釈垂れる、センス無い、ひ弱か。厚顔無恥じゃのう｡

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 06:48:20.41

>>176
＞まーた儂をポニョ石と勘違いしたな

うん？　蕎麦屋のおっさんかい？ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 11:49:16.61

https://books.j-cast.com/2020/03/18011145.html
books.j-cast
「ABC予想」が数学の学会誌に掲載されない理由
2020/3/18 （　森永流）

解決への道筋を示す

　素数の積をめぐっては、こんなことが言えるかもしれない。つまり、自然数の定義だ。1に1を足していって作られたものだとする「ペアノの公理」がよく知られる。足し算による定義だ。一方、かけ算でも定義できる。自然数はすべて素数の積に分解できるので、それをすべて作って小さい順に並べる方法だ（ただし1は素数の0乗）。数をそんなふうに見ると、足し算とかけ算は独立していて分離できるかもしれないと思えてくる。

　加藤さんの説明を掻い摘んでIUT理論を紹介するとこうだ。

　・異なる数学の舞台（IUT理論ではuniverses、加藤さんの比喩では、足し算、かけ算が切り離されてかけ算だけを伸び縮みさせた世界）を設定。現実世界に計算者がいて、そこにテレビがあって画面の中に同じ計算者がいる。ただし２つの計算者は同じだが掛けられる制約が異なっている――というふうに舞台は現実世界も含めて入れ子式になっている
　・計算の群論的対称性（計算方法のレシピ）を、各計算者に計算の対象や計算方法を伝達
　・受信した対称性を基に、それぞれの舞台で元の計算の対象や計算方法を復元。計算を実行する
　・対称性の通信や復元で生じる不定性・ひずみ、つまり計算結果のサイズの違いを定量的に評価して不等式を導く

数学には曖昧さもある
　ではABC予想はどうか。予想の主張である「c ?d＾（1＋ε）」。これのIUT理論での「deg Θ≦deg q＋c」への帰結を目指す。

　評者のような文系出身者に「deg 」は無縁だったが、次数（デグ）を表す記号だ。ここではdeg Θ（デグ・テータ）が現実舞台での計算結果、deg qはかけ算を伸縮させた舞台での計算結果となる。右辺に加えられているcは、ABC予想のcとは別物で、ひずみの定量的評価で求められた小さな値だ。IUT理論によるABC予想は、現実舞台での累乗数が、かけ算伸縮舞台での累乗数よりも小さいことに帰結させたい訳だ。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 11:49:39.98

>>178
つづき

　いよいよ本論。加藤さんはここで、これまで「かけ算を伸び縮みさせた舞台」と呼んでいたものを示す。その舞台とは、現実舞台の「q」を伸縮舞台での「qのｎ乗」に対応させたものだ。これはLogを用いると、「Ｎ Log ｑ≒Log ｑ」（両項を結ぶのは近似であることに注意）と表される。Log（けた数）と先に出てきたdegの違いは、ここでの理解の上では考えなくてよいそうだ。同じようなものと考えていい。

　数式の流れで表すと、こうなる。
Ｎ Log ｑ＜Log ｑ＋c（Ｎ Log ｑ≒Log ｑだから、正の数値を加えると「＜」になる）
→deg Θ≦deg q＋c
→deg qは小さい、つまりc ? d＾（1＋ε）のεは小さい
となって証明は完成する、という。

　2020年4月3日追記　数学の超難問といわれる「ABC予想」を京都大学数理解析研究所の望月新一教授（51）が証明したとされる論文が、ついに国際的な数学誌に掲載されることになった。京都大が2020年4月3日に発表した。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 11:59:08.55

>>178-179 補足

（引用開始）
　・異なる数学の舞台（IUT理論ではuniverses、加藤さんの比喩では、足し算、かけ算が切り離されてかけ算だけを伸び縮みさせた世界）を設定。現実世界に計算者がいて、そこにテレビがあって画面の中に同じ計算者がいる。ただし２つの計算者は同じだが掛けられる制約が異なっている――というふうに舞台は現実世界も含めて入れ子式になっている
　・計算の群論的対称性（計算方法のレシピ）を、各計算者に計算の対象や計算方法を伝達
　・受信した対称性を基に、それぞれの舞台で元の計算の対象や計算方法を復元。計算を実行する
　・対称性の通信や復元で生じる不定性・ひずみ、つまり計算結果のサイズの違いを定量的に評価して不等式を導く
(引用終り)

なるほど
（引用開始）
　ではABC予想はどうか。予想の主張である「c ?d＾（1＋ε）」。これのIUT理論での「deg Θ≦deg q＋c」への帰結を目指す。
ここではdeg Θ（デグ・テータ）が現実舞台での計算結果、deg qはかけ算を伸縮させた舞台での計算結果となる。右辺に加えられているcは、ABC予想のcとは別物で、ひずみの定量的評価で求められた小さな値だ。IUT理論によるABC予想は、現実舞台での累乗数が、かけ算伸縮舞台での累乗数よりも小さいことに帰結させたい訳だ。

　いよいよ本論。加藤さんはここで、これまで「かけ算を伸び縮みさせた舞台」と呼んでいたものを示す。その舞台とは、現実舞台の「q」を伸縮舞台での「qのｎ乗」に対応させたものだ。これはLogを用いると、「Ｎ Log ｑ≒Log ｑ」（両項を結ぶのは近似であることに注意）と表される。Log（けた数）と先に出てきたdegの違いは、ここでの理解の上では考えなくてよいそうだ。同じようなものと考えていい。

　数式の流れで表すと、こうなる。
Ｎ Log ｑ＜Log ｑ＋c（Ｎ Log ｑ≒Log ｑだから、正の数値を加えると「＜」になる）
→deg Θ≦deg q＋c
→deg qは小さい、つまりc ? d＾（1＋ε）のεは小さい
となって証明は完成する、という。
(引用終り)

へー

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 12:07:25.52

これいいね

https://jbpress.ismedia.jp/articles/-/56574
JBpress (ジェイビープレス)
超難解な「宇宙際タイヒミュラー理論」に感動
HONZ特選本『宇宙と宇宙をつなぐ数学』
2019.6.4（火）

歴史上の天才たちをはるかに凌駕

　評者自身が数学の素人なので断言はできないが、望月教授はこれまで歴史上に登場した数々の天才たちをはるかに凌駕している。

「足し算と掛け算を分離する」
「宇宙際タイヒミュラー理論」については、当然、評者に説明できるようなレベルのものではないのだが、非常に簡潔に言うと、「足し算と掛け算を分離する」ということらしい。もう少し長く説明すると、自然数の足し算と掛け算からなる「環」と呼ばれる複雑な構造をした数学的対象に対して、その「二つの自由度＝次元」を引き離して解体し、解体する前の足し算と掛け算の複雑な絡まり合い方の主立った性質を直感的に捉えやすくなるように組み立て直す数学的装置のようなものだそうだ。

　これだけではやはり何のことか分からないと思うので、足し算と掛け算の関係性について少しだけ説明すると、「1を次々に足していく」ことでできる1、2、3・・・という「足し算的な」自然数の捉え方だけでは、自然数の「掛け算的側面」がゴッソリ抜け落ちてしまっているため、例えば、素数というものの性質を把握したり、素数が現れるパターンを記述したりすることはできないらしい。

素数については、それが約数や倍数という概念を用いて定義されることからも分かるように、すぐれて掛け算的な概念であるために、素数がどのようなタイミングで現れるのかといった問題は、足し算と掛け算の強い結びつきを一回断ち切って、その上で今ある数学の世界と再接続しなければ解決できないというのだ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/12(火) 21:05:31.64

これいいね

https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/nov.html
News - Ivan Fesenko
Higher adelic theory, talk at Como school on Unifying Themes in Geometry, September 2021

https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/hat.pdf
Higher adelic theory
Ivan Fesenko
Como School, September 27 2021

1 CFT and its generalisations
2 Back to the root: CFT
3 Back to the root: CFT
4 CFT mechanism
5 CFT mechanism
6 Anabelian geometry
7 ‘Pre-Takagi’ LC
8 2D objects of HAT
9 HCFT
10 Zeta functions
11 Classical 1D theory of Iwasawa and Tate
12 HAT and elliptic curves
13 Measure and integration on 2D local fields
14 Two adelic structures in dimension 2
15 The triangle diagrammes
16 Higher zeta integral
17 HAT and meromorphic continuation and FE of the zeta function
18 HAT and GRH
19 HAT and the Tate?BSD conjecture

P29
Anabelian geometry and IUT

P33
Powerful restoration results in absolute mono-anabelian geometry were established by Mochizuki
and applied in the IUT theory.

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/12(火) 23:04:19.12

これいいね
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talks.html
星裕一郎講演
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20150309.pdf
数体の単遠アーベル的復元 (講演スライド),
宇宙際タイヒミューラー理論の検証と更なる発展,
京都大学数理解析研究所,
2015.3.9-2015.3.20.

Mono-anabelian Reconstruction of
Number Fields
Yuichiro Hoshi
RIMS
2015/03/09

Contents
§1 Main Result
§2 Two Keywords Related to IUT
§3 Review of the Local Theory
§4 Reconstruction of Global Cyclotomes

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/13(土) 23:13:31.45

メモ
http://www.math.titech.ac.jp/~jimu/Syllabus/H25(2013)/Graduate/Special_Lectures_on_Mathematics_B_I.html
講義名数学特別講義Ｂ第一（Special Lectures on Mathematics B I）
開講学期　前学期単位数 2--0--0
担当　星　裕一郎　非常勤講師（京都大学数理解析研究所　講師）

【講義の目的】
　遠アーベル幾何学とは，「遠アーベル多様体というある特別なクラスに属する代数多様体は，
その数論的基本群の純群論的な性質によってその数論幾何学的性質が完全に決定されるであろう」
という予測に基づいて，1980 年代に Grothendieck という数学者によって提唱された数論幾何学の一分野です．
この講義では，その遠アーベル幾何学への入門を目的として，p 進局所体（= p 進数体の有限次拡大体）に対する
ある Grothendieck 予想型の結果（p 進局所体がその絶対 Galois 群とある付加情報から復元できるという結果）の
解説を行います．

【講義計画】
1. 遠アーベル幾何学とは
2. p 進局所体とその絶対 Galois 群
3. 局所類体論・Hodge-Tate 表現
4. 復元 (1)
5. 復元 (2)

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/13(土) 23:13:59.64

>>184
つづき

【教科書・参考書等】
　遠アーベル幾何学の入門的な解説として，

・中村博昭, 玉川安騎男, 望月新一, 代数曲線の基本群に関する Grothendieck 予想, 数学, 50 (1998), 113-129.

を挙げます．局所体，局所類体論，Hodge-Tate 表現についての参考書として，

・J.-P. Serre, Local fields, Translated from the French by Marvin Jay Greenberg. Graduate Texts in Mathematics,
67. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1979.
・J.-P. Serre, Local class field theory, 1967 Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965)
pp. 128-161 Thompson, Washington, D.C.
・J.-P. Serre, Abelian l-adic representations and elliptic curves, McGill University lecture notes written with
the collaboration of Willem Kuyk and John Labute W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1968.

をそれぞれ挙げます．また，この講義でその説明を目標としている定理は，

・望月新一, A version of the Grothendieck conjecture for p-adic local fields, Internat. J. Math. 8 (1997), no. 4, 499-506.
・望月新一, Topics in absolute anabelian geometry I: generalities, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 19 (2012), no. 2, 139-242.
・星裕一郎, A note on the geometricity of open homomorphisms between the absolute Galois groups of p-adic local fields,
to appear in Kodai Math. J.

にあります．

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/26(金) 18:02:35.84

下記”Introducing anabelian geometry, a general talk” IVAN FESENKO
これ、結構いいね

https://ivanfesenko.org/?page_id=126
IVAN FESENKO
Research ? Ivan Fesenko
L Anabelian geometry and IUT theory of Shinichi Mochizuki, and applications
Introducing anabelian geometry, a general talk

https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/11/ang.pdf
Introducing anabelian geometry
Ivan Fesenko

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/05(日) 18:19:17.01

メモ

https://people.math.rochester.edu/faculty/lubkin/
Saul Lubkin
Professor of Mathematics

https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Louis_Verdier
Jean-Louis Verdier (French: [v??dje]; 2 February 1935 ? 25 August 1989) was a French mathematician who worked, under the guidance of his doctoral advisor Alexander Grothendieck, on derived categories and Verdier duality. He was a close collaborator of Grothendieck, notably contributing to SGA 4 his theory of hypercovers and anticipating the later development of etale homotopy by Michael Artin and Barry Mazur, following a suggestion he attributed to Pierre Cartier. Saul Lubkin's related theory of rigid hypercovers was later taken up by Eric Friedlander in his definition of the etale topological type.

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/10(金) 10:08:46.26

メモ

数論幾何学と代数幾何学の違いってなんですか？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1632397006/104
104 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/10/23(土) 15:02:26.36 ID:bV1+EpOI
いつの間にやら、p進ホッジ理論の日本語版wikipediaが出来ていた
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E3%83%9B%E3%83%83%E3%82%B8%E7%90%86%E8%AB%96
いまや数論幾何に必要不可欠な概念だしありがたいな
(引用終り)

ついで
https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E3%83%9B%E3%83%83%E3%82%B8%E7%90%86%E8%AB%96
p進ホッジ理論

https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_Hodge_theory
p-adic Hodge theory

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/21(火) 14:47:01.98

Inter-universal geometry とABC 予想47
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1635332056/44
44 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/12/21(火) 10:31:51.78 ID:ATxzruO4

Fesenkoの動画見たけど、IUTについても話してる
https://m.youtube.com/watch?v=thNMwD4E6sA
RIMSのIUTサミットでの講演内容とほぼ一緒

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:38:15.90

”過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）”
これは、結構重要な文献だね
ここに、IUTの構想が示されている

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
望月過去と現在の
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Kako%20to%20genzai%20no%20kenkyu.pdf
・過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）
初期の歩み
学位を取得した 1992 年夏から 2000 年夏までの私の研究の主なテーマは次の三つ
に分類することができます：
(a) p 進 Teichm¨uller 理論：(1993 年～1996 年)
この理論は、複素数体上の双曲的リーマン面に対する Koebe の上半平面に
よる一意化や、そのモジュライに対する Bers の一意化の p 進的な類似と見る
こともでき、また Serre-Tate の通常アーベル多様体に対する標準座標の理論の
双曲曲線版と見ることもできる。詳しくは、
A Theory of Ordinary p-adic Curves
や
An Introduction to p-adic Teichm¨uller Theory
をご参照下さい。　
(b) p 進遠アーベル幾何：(1995 年～1996 年)
この理論の代表的な定理は、「劣 p 進体」（＝ p 進局所体上有限生成な体の部
分体）上の相対的な設定において、双曲的曲線への任意の多様体からの非定数
的な射と、それぞれの数論的基本群の間の開外準同型の間に自然な全単射が存
在するというものである。詳しくは、　
The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves
をご参照下さい。
(c) 楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論：(1998 年～2000 年)
この理論の目標は、複素数体や p 進体上で知られている Hodge 理論の類似
を、数体上の楕円曲線に対して Arakelov 理論的な設定で実現することにある。
代表的な定理は、数体上の楕円曲線の普遍拡大上のある種の関数空間と、楕円
曲線の等分点上の関数からなる空間の間の、数体のすべての素点において計量
と（ある誤差を除いて）両立的な全単射を主張するものである。この理論は、
古典的なガウス積分
∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π
の「離散的スキーム論版」と見ることもできる。詳しくは、　
A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I, II
をご参照下さい。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:38:56.87

>>190
つづき

新たな枠組への道
Hodge-Arakelov 理論では、数論的な Kodaira-Spencer 射が構成されるなど、
ABC 予想との関連性を仄めかすような魅力的な側面があるが、そのまま「ABC 予
想の証明」に応用するには、根本的な障害があり不十分である。このような障害を克
服するためには、
通常の数論幾何のスキーム論的な枠組を超越した枠組
が必要であろうとの直感の下、2000 年夏から 2006 年夏に掛けて、そのような枠組を
構築するためには何が必要か模索し始め、またその枠組の土台となる様々な数学的イ
ンフラの整備に着手した。このような研究活動を支えた基本理念は、次のようなも
のである：　
注目すべき対象は、特定の数論幾何的設定に登場する個々のスキーム等ではな
く、それらのスキームを統制する抽象的な組合せ論的パターンないしはそのパ
ターンを記述した組合せ論的アルゴリズムである。　
このような考え方を基にした幾何のことを、「宇宙際（Inter-universal=IU）幾
何」と呼ぶことにした。念頭においていた現象の最も基本的な例として次の三つが
挙げられる：
・ログ・スキームの幾何におけるモノイド
・遠アーベル幾何における数論的基本群＝ガロア圏
・退化な安定曲線の双対グラフ等、抽象的なグラフの構造
この三つの例に出てくる「モノイド」、「ガロア圏」、「グラフ」は、いずれも、「圏」
という概念の特別な場合に当たるものと見ることができる。（例えば、グラフの場合、
グラフ上のパスを考えることによって圏ができる。）従って、IU 幾何の（すべてでは
ないが）重要な側面の一つは、　
「圏の幾何」
で表されるということになる。特に、遠アーベル幾何の場合、この「圏の幾何」に対
応するのは、
絶対遠アーベル幾何
（＝基礎体の絶対ガロア群を、元々与えられたものとして見做さない設定での遠アー
ベル幾何）である。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:41:25.89

>>191
つづき

この 6 年間（＝ 2000 年夏～2006 年夏）の、
「圏の幾何」や絶対遠アーベル幾何
を主テーマとした研究の代表的な例として、次のようなものが挙げられる：
・The geometry of anabelioids （2001 年）
スリム（＝任意の開部分群の中心が自明）な副有限群を幾何的な対象として扱い、
その有限次エタール被覆の圏の性質を調べる。特に、p 進体上の双曲曲線の数論的基
本群として生じる副有限群の場合、この圏は、上半平面の幾何を連想させるような
絶対的かつ標準的な「有界性」等、様々な興味深い性質を満たす。
・The absolute anabelian geometry of canonical curves （2001 年）
p 進 Teichm¨uller 理論に登場する標準曲線に対して、p 進体上のものとして初とな
る絶対遠アーベル幾何型の定理を示す。

・Categorical representation of locally noetherian log schemes （2002 年）
スキームやログ・スキームが、その上の有限型の（ログ）スキームの圏から自然
に復元されるという、1960 年代に発見されてもおかしくない基本的な結果を示す。
・Semi-graphs of anabelioids （2004 年）
古典的な「graph of groups」の延長線上にある「semi-graph of anabelioids」に対
して、様々なスキーム論的な「パターン」が忠実に反映されることや、それに関連し
た「遠アーベル幾何風」の結果を証明する。
・A combinatorial version of the Grothendieck conjecture （2004 年）
退化な安定曲線に付随する「semi-graph of anabelioids」を、スキーム論が明示的
に登場しない、抽象的な組合せ論的枠組で取り上げ、様々な「遠アーベル幾何風」の
「復元定理」を示す。
・Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic Riemann surfaces （2004 年）
双曲的リーマン面の幾何を二通りのアプローチで圏論的に記述する。そのうちの
一つは、上半平面による一意化を出発点としたもので、もう一つは、リーマン面上の
「長方形」（＝等角構造に対応）や「平行四辺形」（＝疑等角構造に対応）によるものである。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:44:47.36

>>192
つづき

・Absolute anabelian cuspidalizations of proper hyperbolic curves （2005年）
固有な双曲曲線の数論的基本群から、その開部分スキームの数論的基本群を復元
する理論を展開する。この理論を、有限体や p 進体上の絶対遠アーベル幾何に応用
することによって、様々な未解決予想を解く。

・The geometry of Frobenioids I, II （2005 年）
ガロア圏のような「´etale 系」圏構造と、（ログ・スキームの理論に出てくる）モ
ノイドのような「Frobenius 系」圏論的構造が、どのように作用しあい、またどのように類別できるかを研究する。

数体に対する Teichm¨uller 理論
2006 年の後半から、目指すべき理論の形がようやく固まってきて、その理論を記
述するための執筆活動が本格的に始まった。この理論の「形」とは、一言で言うと、
巾零通常固有束付きの正標数の双曲曲線に対して展開する p 進 Teichm¨uller 理
論と、「パターン的に」類似的な理論を、一点抜き楕円曲線付きの数体に対し
て展開する　
という内容のものである。因みに、ここに出てくる（数体上の）「一点抜き楕円曲線」
の中に、その楕円曲線の上に展開される Hodge-Arakelov 理論が含まれている。こ
の理論のことを、「IU Teichm¨uller 理論」（＝「IU Teich」）と呼ぶことにした。
IUTeich の方は、本質的にスキーム論の枠組の外（＝「IU 的な枠組」）で定式化される
理論であるにも関わらず、調べれば調べるほど p 進 Teichm¨uller 理論（＝「pTeich」）
との構造的、「パターン的」類似性が、意外と細かいところまで及ぶものであること
に幾度となく感動を覚えたものである。　　
2006 年～2008 年春の「IUTeich の準備」関連の論文は次の四篇である：

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:46:23.12

>>193
つづき
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
（2006 年）
p 進局所体上の退化する楕円曲線（＝ Tate curve）のある被覆の上に存在するテー
タ関数に付随する Kummer 類をエタール・テータ関数と呼ぶ。このエタール・テー
タ関数や、テータ自明化に付随する Kummer 理論的な対象は、様々な興味深い絶対
遠アーベル的な性質や剛性性質を満たしている。これらの性質の一部は Frobenioid
の理論との関連で初めて意義を持つものになる。また、このエタール・テータ関数
は、IUTeich では、pTeich における標準的 Frobenius 持ち上げに対応する対象を定
める予定である。この Frobenius 持ち上げの類似物を微分することによって ABC 予
想の不等式が従うと期待している。このようにして不等式を出す議論は、　
「正標数の完全体の Witt 環上の固有で滑らかな種数 g 曲線の上に Frobenius 持
ち上げが定義されていると仮定すると、その持ち上げを微分して微分層の次数
を計算することにより、不等式
g ? 1
が従う」
という古典的な議論の IU 版とも言える。

・Topics in absolute anabelian geometry I: generalities （2008 年）
このシリーズ（＝ I,II,III）の主テーマは、絶対遠アーベル幾何を、「Grothendieck
予想型の充満忠実性」を目標とした視点ではなく、「群論的なアルゴリズム＝ソフト」
の開発に軸足を置いた視点で研究するというものである。この第一論文では、様々な
準備的な考察を行う。代表的な定理では、玉川安騎男氏に伝え聞いた未出版の結果か
ら、（半）絶対 p 進遠アーベル幾何では初となる Grothendieck 予想型の「Hom 版」
を導く。因みに、この定理は IUTeich とは直接関係のない結果である。
・Topics in absolute anabelian geometry II: decomposition groups
（2008 年）
IUTeich のための準備的な考察とともに、IUTeich とは論理的に直接関係のない
配置空間の絶対遠アーベル幾何や、点の分解群から基礎体の加法構造を絶対 p 進遠
アーベル幾何的な設定で復元する理論を展開する。ただ、後者の p 進的な理論では、
上述の「Frobenius 持ち上げの微分から不等式を出す」議論を用いており、哲学的
には IUTeich と関係する側面がある

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:46:54.86

>>194
つづき

・Topics in absolute anabelian geometry III: global reconstruction algorithms （2008 年）
「Grothendieck 予想型の充満忠実性」を目標とする「双遠アーベル幾何」（＝ bianabelian geometry）と一線を画した「単遠アーベル幾何」（＝ mono-anabelian geometry）を数体上の大域的な設定で展開する。
これは正にIUTeich で用いる予定の遠アーベル幾何
である。この理論の内容や「IUTeich 構想」との関連性については、論文の Introduction をご参照下さい。
ここで興味深い事実を思い出しておきたい。そもそも Grothendieck が有名な
「Faltings への手紙」等で「遠アーベル哲学」を提唱した重要な動機の一つは正に diophantus幾何への応用の可能性にあったらしい。
つまり、遠アーベル幾何が（ABC 予想への応用が期待される）IUTeich で中心的な役割を果たすことは、一見して Grothendieck の直感にそぐった展開に見受けられる。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:47:42.29

>>195
つづき

一方、もう少し「解像度を上げて」状況を検証すると、それほど単純な関係にあるわけではないことが分かる。例えば、
Grothendieck が想定していた応用の仕方では、数体上の「セクション予想」によっ
て数体上の有理点の列の極限を扱うことが可能になるという観察が議論の要となる。
これとは対照的に、「IUTeich 構想」では、（数体上のセクション予想ではなく）
数体と p 進体の両方に対して両立的に成立する（絶対遠アーベル幾何の一種で
ある）単遠アーベル的アルゴリズムが主役を演じる
予定である。この「単遠アーベル的アルゴリズム」は、pTeich における MF∇-object
の Frobenius 不変量に対応するものであり、即ち p 進の理論における
Witt 環の Teichm¨uller 代表元や pTeich の標準曲線
の「IU 的類似物」と見ることができる。別の言い方をすれば、この「単遠アーベル的
アルゴリズム」は、一種の標準的持ち上げ・分裂を定義しているものである。また、（単
遠アーベル的な）「ガロア系」の対象が p 進の理論における crystal（＝ MF∇-object
の下部 crystal）に対応しているという状況には、Hodge-Arakelov 理論における「数
論的 Kodaira-Spencer 射」（＝ガロア群の作用による）を連想させるものがある。　
2008 年 4 月から IUTeich 理論の「本体」の執筆に取り掛かる予定である。この作
業は、ごく大雑把に言うと、次の三つの理論を貼り合わせることを主体としたものである：

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:48:16.96

>>196
つづき

・The geometry of Frobenioids I, II
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
・Topics in absolute anabelian geometry III
因みに、2000 年夏まで研究していたスキーム論的な Hodge-Arakelov 理論がガウス
積分
∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π
の「離散的スキーム論版」だとすると、IUTeich は、
このガウス積分の「大域的ガロア理論版ないしは IU 版」
と見ることができ、また古典的なガウス積分の計算に出てくる「直交座標」と「極座
標」の間の座標変換は、（IU 版では）ちょうど「The geometry of Frobenioids I, II」
で研究した「Frobenius 系構造」と「´etale 系構造」の間の「比較理論」に対応して
いると見ることができる。この「本体」の理論は、現在のところ二篇の論文に分けて
書く予定である。　
・Inter-universal Teichm¨uller theory I: Hodge-Arakelov-theoretic aspects
（2009 年に完成（？）予定）
p 進 Teichm¨uller 理論における曲線や Frobenius の、「mod pn」までの標準持ち上
げに対応する IU 版を構成する。
・Inter-universal Teichm¨uller theory II: limits and bounds （2010 年に完成（？）予定）
上記の「mod pn」までの変形の n を動かし、p 進的極限に対応する「IU 的な極
限」を構成し、pTeich における Frobenius 持ち上げの微分に対応するものを計算する。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/03(月) 11:20:28.50

これ良いね
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
平成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，H180731)
ガロア理論とその発展玉川安騎男
§0. はじめに
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代
数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」と
いう代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研
究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。
この講義では、まず、ガロア理論の基本定理の感じをつかんでもらう
ことを目標にしたいと思います。次に、ガロア理論の古典的に有名な応用
（ギリシャ数学３大難問のうちの角の３等分問題と立方体倍積問題の否定
的解決、あるいは、５次以上の方程式の加減乗除とべき根のみを用いた解
の公式の非存在の証明、など）の中から題材を選んで解説したいと思いま
す。最後に、遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロ
ア理論の展開についても紹介したいと思います。

§5. ガロア理論の発展 - 無限次ガロア理論と遠アーベル幾何
5.1. 無限次ガロア理論

上記の同値な条件のいずれか（したがって全て）が成立する時、L/K
をガロア拡大と言い、このとき、Aut(L/K) を Gal(L/K) と記し、L の
K 上のガロア群と呼びます。一般には Gal(L/K) は有限群になりません
が、「副有限群」という特別な種類の群になり、「位相」が入って「位相
群」となることがわかります。この場合も、次のようなガロア対応が存在
します。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
射有限群（英語: pro-finite group）あるいは副有限群は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。

射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_group
Profinite group
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/01(火) 17:50:40.36

フェセンコ、コーチェル・ビルカー、極小モデル

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B3
イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）
博士課程
指導学生コーチェル・ビルカー

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%93%E3%83%AB%E3%82%AB%E3%83%BC
コーチェル・ビルカー (Caucher Birkar, 1978年 - )
2016年、AMSジャーナル(2010)における「対数一般型多様体に対する極小モデルの存在」の論文(P. カッシーニ（イタリア語版）、C. ヘコン（英語版）、J. マッカーナン（英語版）との共著、通称頭文字をとって[BCHM]と言われる)に対して、AMSムーア賞（英語版）を授賞した[8]。そして2018年、ビルカーに、「ファノ多様体の境界性の証明と極小モデルプログラムへの貢献」に対して、フィールズ賞が授与された[9]。

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~masayuki/Website/reports.html
Website of Masayuki Kawakita
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~masayuki/Website/Documents/public_text10.pdf
極小モデル理論の発展第32回数学入門公開講座, 31-44 (2010)
川北真之
代数幾何学の扱う対象は，代数多様体と呼ばれる，連立多項式の共通零点集合として定義さ
れる図形です．極小モデル理論とは，変数変換で写り合う代数多様体たちを本質的に同じもの
と捉え，各々の中から代表的な代数多様体を抽出する理論です．抽出の過程で多様体上の余計
な曲線を収縮させるのですが，収縮によって悪い特異点を持つ多様体が生じます．それを回復
させる操作がフリップと呼ばれる変換で，極小モデル理論において中心的な役割を果たします．
3 次元極小モデル理論は森によるフリップの存在を中心として 90 年代に完成しましたが，その
高次元化は暫く模索段階でした．ところが 2006 年，ビルカー，カッシーニ，ヘイコン，マッ
カーナンは一般次元のフリップの存在を証明し，極小モデル理論は大きな前進を遂げました．
講座では，このような極小モデル理論の最近の発展を，わかりやすく紹介します．

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/03(木) 07:10:16.37

「これ良いね」「これ良いね」言って貼ってるけど
それ等の何が具体的にどう良いんだよ摘まみ食い野郎

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/04(金) 16:10:27.26

だった自分でなんか書いてみろよ
書けないなら、10年ROMれ

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/06(日) 12:08:54.90

これ分かり易いね

https://tsujimotter.はてなブログ/entry/affine-scheme-2
tsujimotterのノートブック
2019-05-07
アフィンスキームとは何だろうか(2)
前回はアフィンスキームの定義に向けて、環のスペクトルとザリスキー位相という概念を紹介しました。位相が入ったので、環のスペクトルが位相空間になりました。
今日は、位相空間の上の構造層がテーマです。最終的には、アフィンスキームを定義するところまでいきたいと思います。

本記事の目次：
4. 構造層
代数多様体のアナロジー
構造層の定義
具体例：X = Spec(Z) の場合
前層と層
用語の定義
5. アフィンスキームの定義
アフィンスキームの具体例1：Spec(Z)の場合
アフィンスキームの具体例2：Spec(O_K)の場合（代数体の整数環）
アフィンスキームの具体例3：Spec(K)の場合（体の場合）
おわりに
参考文献
次回はこちら

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/06(日) 13:08:03.55

これ分かり易いね

https://tsujimotterはてなブログ/entry/affine-scheme-1
tsujimotterのノートブック
2019-05-06
アフィンスキームとは何だろうか(1)

第１部（本記事）：
1. 代数幾何の基本
2. 環のスペクトル
3. ザリスキー位相

第２部（5/7公開予定）：
4. 構造層
5. アフィンスキームの定義

第３部（5/8公開予定）：
6. アフィンスキームの射
7. アフィンスキームの射の具体例
8. まとめ

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/10(木) 11:24:21.71

遠アーベル幾何学の進展星裕一郎数学'74巻1号2022年1月
より、IUT関連記述抜粋

P15
6　アルゴリズム的遠アーベル幾何学と単遠アーベル幾何学
2節での基本‘予想，の内容は，遠アーベル代数多様体はその基本完全系列から‘復元’される，とい
うものであった．そして，その定式化である2節の相対遠アーベル性や3節の絶対遠アーベル性は，
どちらも，二つの(遠アーベル的であろう）代数多様体'X'と'Y'が用意された際の，それらの間の
同型射と，それらの基本群の間の連続同型射との関係を問題としている．
つまり，この定式化による‘遠アーベル性'の研究とは，大雑把に言えば，
適切な代数多様体のなす圏に制限された'π1'という関手の充満性や忠実性といった性質の研究であると要約される．
そして，この場合，議論にしばしば登場する‘群論的，という用語は，
‘基本群の間の任意の連続同型射で保たれる，という性質を意味する．
望月は，基本‘予想'における‘復元'とは何か，という問を改めて見つめ直し, [60], {61], [63]に
おいて， ‘アルゴリズム的な観点による遠アーベル幾何学'，
そして，より狭義な枠組みとしての単遠アーベル幾何学(mono-anabelian geometry)という考えを提唱した．
その上,上述の‘充満性･忠実性の観点によるこれまでの遠アーベル幾何学'を双遠アーベル幾何学(bi-anabelian geometry)と呼び，
これら‘二つの遠アーベル幾何学，に区別を与えた．

アルゴリズム的な観点による遠アーベル幾何学とは，簡単に言ってしまえば，以下のような内容を
持つ遠アーベル幾何学の研究のことである．
アルゴリズム的遠アーベル幾何学与えられた代数多様体Xに対して，抽象的な位相群π1(X)を
‘入力データ'として，そして，代数多様体Xに付随する幾何学的対象(例えばXそれ自体）を‘出力データ'とする‘純位相群論的アルゴリズム'を確立せよ．

そして，単遠アーベル的輸送(mono-anabelian transport) (例えば[65]を参照)という枠組みで
のその純位相群論的復元アルゴリズムの研究が，単遠アーベル幾何学である．遠アーベル幾何学の大
きな応用である宇宙際タイヒミュラー理論{66]-[69]では, このアルゴリズム的遠アーベル幾何学や
単遠アーベル幾何学が中心的な役割を果たすのである．

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/11(金) 18:06:33.74

>>204
>遠アーベル幾何学の進展星裕一郎数学'74巻1号2022年1月
>より、IUT関連記述抜粋

IUTは、本丸天守閣でしょうか
今風ならば、鬼滅の無限城でしょう

星遠アーベル幾何学の進展は、
城下町の様子やお城の配置、
本丸や天守閣の様子の記述はあるが
お城内部の立ち入った記述はない

しかし、外堀と内堀は埋められ
お城の様子も概略は記されている

これを読んでから
IUTを読めば
IUTを理解するのに
良いと思う

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AC%BC%E6%BB%85%E3%81%AE%E5%88%83
『鬼滅の刃』
3.5 無限城編（16巻 - 23巻）

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/11(金) 20:01:36.67

>>204
>遠アーベル幾何学の進展星裕一郎数学'74巻1号2022年1月
>より、IUT関連記述抜粋

円分物（cyclotome）が、出てくる
が、”cyclotome”は、数学用語としては未定着（独自用語）のようであり
また、”円分物”も同様に、未定着（独自用語）のようである（円分物≠円分体です）
下記など、ご参照

https://dictionnaire.reverso.net/francais-definition/cyclotome
Definition cyclotome francais | dictionnaire francais definition synonymes Reverso
（注：”cyclotome”仏語は、数学用語にあらず）

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元
星裕一郎 (京都大学数理解析研究所)
2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報告原稿である.
P1
? K を体, r を正整数とする. K× を K をその乗法構造によって可換モノイドと考えたもの,
K× def= K \ {0} を K の非零元のなす群 (特に, 自然な同型 (K×)? ?→ K× が存在する),
μ(K)def = (K×)tor ⊆ K× を K の中の 1 の巾根のなす部分群,
μr(K)def= μ(K)[r] ⊆ K× を K の中の 1 の r 乗根のなす部分群とする. また, K が標数 0 の代数的閉体のとき,
Λ(K)def= T(μ(K))
(つまり, “^Z(1)”) と書き, これを K に付随する円分物と呼ぶ.
P16
3.6. 大域的円分物の復元, 局所大域円分剛性同型*9
この同型射を局所大域円分剛性同型と呼ぶ.
*9 円分物の間の適切な同型は円分剛性同型と呼ばれ, 遠アーベル幾何学において重要な役割を果たしてきた.
例えば, [1] で与えられている PSC 型遠半グラフの理論から生じる円分剛性同型は幾何的な円分物の
間の同型射であり, 組み合わせ論的遠アーベル幾何学において基本的な存在となっている. また, 別の例
として, [6] で得られている単テータ環境の理論から生じる円分剛性同型が挙げられ, これは, 望月新一氏
による宇宙際 Teichm¨uller 理論で非常に重要な役割を果たしている.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/11(金) 20:02:46.88

>>206
つづき

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/introduction_to_inter-universal_teichmuller_theory.pdf
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory) By 星裕一郎 (Yuichiro Hoshi)
目次
§ 0. 序
§ 1. 円分物
§ 2. フロベニオイドの円分剛性同型

https://setsuri-nihon.net/math/14971
摂理研究所/キリスト教福音宣教会
宇宙際タイヒミュラー理論入門を読んでみた。その3
2017年12月21日2017年12月24日
前回までのあらすじ
長らく書いていなかったので、これまでのあらすじを書いていこうと思います。
星裕一郎さんの論文の最初に「円分物」と呼ばれるものが出てきます。これはTate捻りZ^(1)と呼ばれるものである、と論文には書かれています。いくつかの定義が書いてあったのですが、その一つがこちらでした。
略
しかし、改めて読むとこれが何を意味するのかよくわからないな…(´・ω:;.:…と思いました。
そこで、今日はこれを図で見ながらもう少し詳しく説明していきたいと思います。
逆極限を図で説明してみた

どうして、こんなややこしいことをしているのか
簡単に言うと、この表記が真価を発揮するのはΩが他の代数閉体の時です。
例えば、Ωとして考えられるのは、代数的数全体(つまり、有理数係数のn次方程式の解となる数全体)^Qやp進数体Q_pの代数閉包等です。
これらはCと違ってバラバラ(離散的)になっていますので、円を「描く」ことが出来ません。
また、例えばQ_pで|z|_p=1を満たす数というとpで割り切れない(pベキの倍数で表せない)数全体なので、これが円というのはなんとなく違う感じがします。

実は、数論幾何学や代数幾何学において「円周」というのはとても重要な図形です。Cの場合はそれがきれいな円で表せたのですが、それ以外の代数閉体でも表現できないか？というのが「円分物」の存在理由かと私は思います。
実際、lim_←nμ_{n}(Ω)なら、似たような性質が成り立つことが示せるのではないか…と思っています。詳しくは分かりませんが…。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/11(金) 20:03:07.84

>>207
つづき

https://freestylewiki.xyz/fswiki/wiki.cgi?page=%E5%86%86%E5%88%86%E7%89%A9%E3%83%BB%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
[数学,IUT]
円分物・円分体
概要
円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 のm(>2)乗根 ζ ( ≠ ± 1 ) を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_cyclotomique
Extension cyclotomique

https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field
Cyclotomic field

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/11(金) 20:16:12.93

>>206 追加

用語 NF (= Number Field)： K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field) である

https://dictionnaire.reverso.net/francais-definition/cyclotome
Definition cyclotome francais | dictionnaire francais definition synonymes Reverso
（注：”cyclotome”仏語は、数学用語にあらず）

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元
星裕一郎 (京都大学数理解析研究所)
2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報告原稿である.
P1
・ K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field)
であると言うことにする. ある素数 p が存在して K が Qp のある有限次拡大と同型であるとき, K
は MLF (= Mixed-characteristic Local Field) であると言うことにする.

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/11(金) 22:18:26.14

>>209
古典的 Neukirch ・内田の定理と単遠アーベル的復元との関係

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元星裕一郎 (京都大学数理解析研究所) 2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演の報告原稿である.

P2
1 Neukirch ・内田の定理と単遠アーベル的復元

NF の絶対 Galois 群の位相群としての同型類によって, その NF
の同型類が完全に決定される. 別の表現を用いれば, 絶対 Galois 群は NF に対する “完
全な不変量” であるということがわかる. この意味において, “その絶対 Galois 群によっ
て NF を復元することができる” と考えることが可能であろう.
一方, 望月新一氏は, [8] の中で, “そもそも復元とは何か?” という問についての考察を
行い, そこで, “双遠アーベル的復元”, “単遠アーベル的復元” という考え方を提唱した.
この考え方のある側面を簡単に述べてしまうと, これは, “何を遂行すれば所望の復元が完
了したと考えるか” という “復元という行為の完了の基準” の設定の問題であると言える
であろう. 本稿の主題である問の場合に, “双的な復元, 双遠アーベル的復元” の復元完了
基準を具体的に述べれば, 例えば以下のようになる.

つまり, さきほど復習した Neukirch ・内田の定理の証明を与えることが, 双遠アーベル
的復元の遂行に他ならない. それでは, この場合の “単的な復元, 単遠アーベル的復元” の
復元完了基準は何であろうか. それは例えば以下のとおりである.

つまり, 復元の “入力” から “出力” を生成する関手的な手続きを与えることができた
とき, “単的な復元” は完了するのである. このように, 2 つの対象 (つまり, “Fo と F・”)
を比較して復元を議論するのではなく, 単独の対象 (つまり, “F”) によってその復元を議
論するので, “双” ではなく “単” なのである. また, 上の具体的な例からも推測できるよ
うに, 通常は, 単遠アーベル的復元を遂行すれば, その系として, 双遠アーベル的復元が得
られる.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/11(金) 22:18:45.25

>>210
つづき

以上が, [8] で提唱されている “双遠アーベル的復元”, “単遠アーベル的復元” という考
え方の簡単な解説である*2

一方, もちろん, “双遠アーベル的復元” と “単遠アーベル的復元” の差が, 高々結論の定
式化の差として生じている場合もあるであろう. つまり, もしもある定理が “双版” で述
べられていても, 実質的にはその “単版” を証明していることもあるであろう. 実際, さき
ほど復習した Neukirch ・内田の定理の証明を検証してみると,
関数体の場合, その証明は “単遠アーベル的復元” を与えている
ことがわかる. (これについては, §3 ? 特に, 3.9 ? で少し説明を行う.) つまり, Neukirch
・内田の定理の証明から, 実際には以下の主張を証明することができる.
関数体の単遠アーベル的復元可能性*3

それでは NF の場合はどうであろうか. 再び Neukirch ・内田の定理の証明を検証して
みると,
NF の場合, その証明は “単遠アーベル的復元” を与えていない
ことがわかる. つまり,
Neukirch ・内田の定理の証明から, 絶対 Galois 群を出発点として元々の NF を群
論的に構成する手続きを得ることは (少なくとも直ちには) できない
のである.
本稿 (そして, 講演) の主結果の概要を述べるために, 定義を与える.

主結果の概要. NF 型位相群 G から G 作用付き代数的閉体 F(G) を (位相群の開単射
に関して) 関手的に構成する “群論的手続き” が存在する:
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/12(土) 12:59:25.01

Peter Scholze君のIUTに対する批判（下記）
”the reader will not find any proof that is longer than a few lines ・・ which is in line with the amount of mathematical conten ”
https://zbmath.org/pdf/07317908.pdf
Mochizuki, Shinichi
Inter-universal Teichmuller theory. I: Construction of Hodge theaters. (English)
Publ. Res. Inst. Math. Sci. 57, No. 1-2, 3-207 (2021). Reviewer: Peter Scholze (Bonn)
In parts II and III, with the exception of the critical Corollary 3.12, the reader will not find any proof that is longer than a few lines; the typical proof reads “The various assertions of Corollary 2.3 follow immediately from the definitions and the references quoted in the statements of these assertions.”, which is in line with the amount of mathematical content.
(引用終り)

つまり
”the reader will not find any proof that is longer than a few lines”、”which is in line with the amount of mathematical content”

対する星裕一郎くんの答えは、下記
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元星裕一郎 (京都大学数理解析研究所) 2014 年 5 月
P4
関数体の単遠アーベル的復元可能性*3

注）
*3 単遠アーベル的復元は, “所望の手続きの存在を証明する” ことが目的なのではなく, “所望の手続きを与える” ことが目的である.
特に, 主張の中にその手続きを書くべきとされる. （略）
例えば, [8],Corollary 1.10, は, その主張を述べるためにおよそ 3 ページが費やされ,
しかし, 証明がたったの 2 行で終わってしまうという, 従来の数学では比較的珍しい構成になっている.
このような状況が生じる背景には, この “主張の中にその手続きを書くべき” という考えがある.

[8] S. Mochizuki, Topics in absolute anabelian geometry III: Global reconstruction
algorithms, RIMS Preprint 1626 (March 2008).
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/12(土) 13:06:50.92

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元星裕一郎 (京都大学数理解析研究所) 2014 年 5 月

これ必読だね

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/12(土) 16:18:56.18

楕円曲線の群構造
これは、大事だね

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0971-4.pdf
数理解析研究所講究録
971 巻 1996 年 30-39
楕円曲線の数論の歴史
早稲田大学足立恒雄

本稿は津田塾大学で開催されたシンポジウム『20 世紀数学』 (95 年11月) における
講演と京大数理解析研究所における研究集会『代数的整数論とフェルマー問題』 (95年12 月) における講演をまとめ、加筆修正したものである。
楕円曲線の歴史と一口に言っても膨大・多岐に亙るから、ここでは
(1) Fermatの先駆的研究、
(2) 楕円曲線の群構造発見を巡る歴史、
(3) フェルマー問題の Frey による谷山予想への還元、
の三つに絞って考察することにする。

P4
§3 群構造の発見

これによって、 Mordell あるいは
Hurwitsと Mordell の間のころに、少なくとも implicit には楕円曲線上の点の全体が群をなすと
いう事実が気付かれたものと思われる。

Weil([29])は Finite Basis Theorem の証明を簡易化したが、パラメータの加法演算の
幾何学的な意味も説明し、目的が「この加群が有限生成であることの証明である」と宣
言している。また、その証明も (Mordell の場合と違って) 群であるという事実が基本的
に使われている。このようなわけだから、楕円曲線の群構造を explicit に指摘した人は
Weil であるといって良いことになるのではなかろうか。

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/12(土) 17:45:48.57

メモ
https://sugakubunka.com/gendaisugaku-5-8/
株式会社すうがくぶんか
第7回　p進タイヒミューラー理論とその周辺
講師　若林泰央
東京工業大学理学院数学系助教
＜経歴＞
京都大学大学院理学研究科（数理解析研究所）にて博士号取得後、東京大学大学院数理科学研究科特任助教等を経て、現職。
講演内容
p進タイヒミューラー理論とはいったい何でしょうか．この理論は，素数が1より小さくなったり，さらには0になってしまうような数の世界が舞台です．そんな不思議な世界から「かたち」やその変形のようすをながめると，いつもと違う景色が見えてくるかもしれません．この講演では，幾何学と数論が交差するp進タイヒミューラー理論のココロについてお話しします．
※予習回では梅崎直也（すうがくぶんか講師）が若林先生の講演の予備知識を解説いたします。（内容未定）
日程
予習回：2022年2月13日（日）13:00-18:00
本講義：2022年2月20日（日）13:00-18:00

第8回　宇宙際タイヒミューラー理論
講師　加藤文元
東京工業大学教授
＜経歴＞
京都大学大学院理学研究科数学・数理解析先行博士後期課程修了、マックス・プランク研究所研究員、レンヌ大学やパリ第6大学客員教授なども歴任
講演内容
下記第4回講座の内容についてより詳しく解説します。
“宇宙際タイヒミューラー理論はABC予想の解決のために2012年に京都大学数理解析研究所の望月新一教授によって発表された理論です。この理論のアウトラインを、以前、私は「たし算とかけ算の絡み合い」をいかにしてほどくかという見地から、MathPowerで説明したことがあります。今回はこれを「数体のカタチ」のタイヒミューラー変形というアプローチから説明しようと思います。”
加藤先生には2017年のMathPowerにて「ABC予想と新しい数学」と題して宇宙際タイヒミューラー理論についてご講演いただきました。以下の動画をご覧ください。
日程
予習回：2022年3月13日（日）13:00-18:00
本講義：2022年3月20日（日）13:00-18:00
アーカイブ視聴について
各講座は全て録画されるため、講座終了後も復習のために2年間アーカイブ視聴が可能です。また、リアルタイム以外でのご参加も可能です。（すうがくぶんかの録画講座の詳細はこちら。）

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/13(日) 10:12:59.77

円分体も理解できない中卒馬鹿にIUTなんか無理だから諦めよ

ギャハハハハハハ！！！

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/13(日) 11:06:56.04

江崎玲於奈語録下記
江崎は「ノーベル賞を取るために、してはいけない5か条」のリストを提案する
「4.自分の主義を貫くため、戦う事を避けてはいけない。」

勘違いショルツェ氏との戦いを避けるべからず
頑張ってください、IUT陣営のみなさんへ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%9F%E5%B4%8E%E7%8E%B2%E6%96%BC%E5%A5%88
江崎玲於奈
1973年（昭和48年）にアイヴァー・ジェーバー、ブライアン・ジョゼフソンとともに、トンネル効果に関連して日本人としては4人目となるノーベル賞（ノーベル物理学賞）を受賞した[2]。

発言
1994年夏のリンダウ・ノーベル賞受賞者会議で、江崎は「ノーベル賞を取るために、してはいけない5か条」のリストを提案する。

原文：Esaki's “five don’ts” rules
1.Don’t allow yourself to be trapped by your past experiences.
2.Don’t allow yourself to become overly attached to any one authority in your field ? the great professor, perhaps.
3.Don’t hold on to what you don’t need.
4.Don’t avoid confrontation.
5.Don’t forget your spirit of childhood curiosity.

日本語訳
1.今までの行き掛かりにとらわれてはいけない。呪縛やしがらみに捉われると、洞察力は鈍り、創造力は発揮できない。
2.大先生を尊敬するのはよいが、のめり込んではいけない。
3.情報の大波の中で、自分に無用なものまでも抱え込んではいけない。
4.自分の主義を貫くため、戦う事を避けてはいけない。
5.いつまでも初々しい感性と飽くなき好奇心を失ってはいけない。

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/13(日) 11:37:24.17

>>217
社会の負け犬中卒に主義なんかあるわけないじゃん
ただ自国自慢したいだけの馬鹿だろが

ギャハハハハハハ！！！

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/19(土) 07:56:20.75

https://www.iwanami.co.jp/book/b570597.html
岩波科学ライブラリー
深層学習の原理に迫る
数学の挑戦
著者今泉　允聡著
刊行日 2021/04/16
深層学習はなぜうまくいくのか？その原理を数学的に解明するという難題に、気鋭の研究者が挑む。
深層学習の原理に迫る
試し読み https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/tachiyomi/0297030.pdf

上記「試し読み」の”まえがき”中に、次の一文がある
「なお数学的な理論で物事が表現できることと、人間の理解に?がることは同一ではなく
そこには大きなギャップがある。このギャップを埋めること、
すなわち数学的成果を直観的に読者に伝えることは、本書が大事にしている原則の一つである。」

至言である
IUT関係者に捧げたい
Nスぺちゃんと見ろよ！

（参考：上記著書の元になった講演）
https://drive.google.com/file/d/1bNN6VjsgdpJAqxvZ4EKAPpMGq9wfjHqf/view
東京大学今泉允聡
ISM75周年
講演スライド
オープンハウス2019スライド
深層学習の原理を明らかにするこころみ

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/19(土) 08:43:39.49

仏語
etale
エタール

https://educalingo.com/ja/dic-fr/etale
フランス語辞典でのetaleの定義
辞書の中のetaleの定義は、不動であり、上りまたは下りを停止し、逆の動きを開始しなかったことである。海がまだ2つの潮の間にある短い時間。

https://ja.glosbe.com/fr/ja/%C3%A9tale
フランス語-日本語の辞書 - Glosbe辞書
etale
平穏

https://kotobank.jp/frjaword/etale#:~:text=%C3%A9tale,%E3%81%8C%EF%BC%89%E5%8B%95%E3%81%8D%E3%81%AE%E6%AD%A2%E3%81%BE%E3%81%A3%E3%81%9F%EF%BC%8E
etale
ポケットプログレッシブ仏和・和仏辞典第3版（仏和の部）の解説
etale
[形]静止した；（潮，河川が）動きの止まった．
━[男]『海』停潮．

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89tale
Etale

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/19(土) 08:55:05.34

数学のエタールは、下記のエタール・コホモロジー（etale cohomology）あたりが、淵源である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
エタール・コホモロジー（etale cohomology）はアレクサンドル・グロタンディークがヴェイユ予想を証明するための道具として考案したコホモロジー理論であり、位相空間上の定数係数コホモロジー、すなわち特異コホモロジーの類似になっている。