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分からない問題はここに書いてね464

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0029１３２人目の素数さん
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2020/11/07(土) 20:37:17.66ID:4+XBnOfF
以下の漸化式で定義される数列{a[n]}を考える。
a[1]=a, a[2]=b
a[n+2]=a[n+1]+a[n]

3以上の任意の自然数mに対して、
a[m]=p^m+q^m
となるような有理数p,qが存在するように、初期値である複素数a,bを定めたい。
a,bが満たすべき条件を求めよ。
0030１３２人目の素数さん
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2020/11/07(土) 20:47:19.88ID:aV4jZOx5
>>27
おおっと、全部が正と空目してた！
2/m^2 と -1/m^2 にすれば①,②を満たさず収束する例になるな
0032１３２人目の素数さん
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2020/11/07(土) 20:56:42.77ID:KG6+jH0U
>>17を修正しました．
https://imgur.com/MpReUix.jpg
問題(a), (b), (c)の解答はこれでOKでしょうか？
0033１３２人目の素数さん
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2020/11/07(土) 20:58:34.21ID:KG6+jH0U
>>32
(a)については結局の所，すべて「明らか」で済ませていますが，もっと詳しく書かないと減点されますか？
0035１３２人目の素数さん
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2020/11/07(土) 21:09:03.20ID:aa6OTWd2
>>30
1,2を満たすとする
a[n]-a[n+1]≧0より、偶数番目の部分和
S[2n]=(a[1]-a[2])+…+(a[2n-1]-a[2n])
の列は単調増加
また、括弧を付け替えると
S[2n]=a[1]-(a[2]-a[3])-…-(a[2n-2]-a[2n-1])-a[2n]≦a[1]
となり上に有界、したがってS[2n]は収束する
S[2n]→sとすると、十分大きいnをとれば
|S[2n+1]-s|≦|S[2n]-s|+|a[2n+1]|<ε
したがって奇数番目の部分和S[2n+1]もsに収束する
よって級数は収束する

以上
0037１３２人目の素数さん
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2020/11/07(土) 23:03:39.53ID:XgGZ123t
>>14
　Σ a_n が収束するなら 　a_n → 0　(n→∞)　　>>24
∴　②を満たさずに Σ a_n が収束することは、ありえない。

・ Σ |a_n| が収束する場合 (絶対収束) は
　　順序や符号をどう変えても収束する。
・条件収束の場合も　
　奇数番目の項だけ後ろに２つずらせば
　どこまで行っても①を満たさないが、
　元の数列と同様に収束する。

∴　①を満たさなくても Σ a_n が収束することは、ありえる。
0040１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 01:06:22.01ID:2r/rt7p/
>>13
n=2m-1 と n=2m をまとめて

Σ(n=1～2M) (-1)^n {(2+(-1)^n)/n}
　= Σ(m=1～M) {-1/(2m-1) + 3/(2m)}
　= Σ(m=1～M) (4m-3)/{(2m-1)2m}
　> Σ(m=1～M) 1/(m+1)
　> Σ(m=1～M) log(1 + 1/(m+1))
　= Σ(m=1～M) log(m+2) - log(m+1)
　= log(M+2) - log(2),

これは2M番目までの部分和である。
2M+1番目を１つ追加しても O(1/M) しか変わらず、同様に振るまう。
故に発散する。
0041１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 07:14:14.10ID:2r/rt7p/
>>10
Sup = Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + ∫[N+1/2, ∞] 1/{x(log x)^2} dx
　　= Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + 1/log(N+1/2),　　　　← 接線で近似

Inf = Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + 1/{2(N+1)log(N+1)^2} + ∫[N+1, ∞] 1/{x(log x)^2} dx
　　= Σ[n=2,N] 1/{n(log n)^2} + 1/{2(N+1)log(N+1)^2} + 1/log(N+1),　　← 割線で近似

放物線近似（シンプソンの1/3公式) では
　近似値 = (2･Sup + Inf)/3 = 2.109742801236890
0042１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 11:29:10.13ID:9JTVXm6m
　数学自体の質問でなくてすみません。

　word で留数

　　Res[z=a]f(z)

を表記するとき z=a をResの下に持ってくるにはどうしたらいいですか？
004342
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2020/11/08(日) 11:31:51.85ID:9JTVXm6m
行列記号を使うことにしました。
0044１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 11:33:19.45ID:yrP9rbrZ
Res[f(z);z=a]でええやン
0045１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 15:36:10.34ID:i4mDsMm+
>>34
分からないけど隠れた数字があるんじゃないの
普通に考えたら登録者数を出した日付より得票数を出した日付の方がずっと後なんだと思うけど
要はデータが少なすぎて何も言えないということ
0046１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 20:25:24.74ID:OEj3i2hw
Cをn次正方行列とする．Cのすべての固有値の絶対値が1より小さければ，I_n - Cは正則であることを示せ．
0047１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 20:32:24.91ID:OEj3i2hw
>>46
https://imgur.com/VTxzFtm.jpg
この命題の証明で，E-Cが正則であることは証明すべきことであるにもかかわらず，著者は仮定によって正則であるなどと書いているため，質問しました．
0048１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 21:15:36.22ID:sJvsMn14
どなたかこの式の証明できますでしょうか
期待値の計算で出てきた式をwolframに入れたのが右辺なのですが過程がさっぱりわかりません...
https://i.imgur.com/YHTt58A.jpg
0050１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 21:41:23.18ID:xFOFLFjj
>>48
Σ_{k = 0 ~ n} k(k - 1) nCk θ^k (1 - θ)^(n - k)
= Σ_{k = 2 ~ n} n!/((k - 2)!(n - k)!) θ^k (1 - θ)^(n - k)
= n(n - 1) θ^2 Σ_{j = 0 ~ n - 2} (n - 2)!/(j!(n - 2 - j)!) θ^j (1 - θ)^(n - 2 - j)
= n(n - 1) θ^2 Σ_{j = 0 ~ n - 2} (n - 2)Cj θ^j (1 - θ)^(n - 2 - j)
= n(n - 1) θ^2 (θ + (1 - θ))^ (n - 2) = n(n - 1) θ^2
0051１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 21:49:53.61ID:sJvsMn14
>>50
二項定理そうやって使えばよかったんですね～全然思いつかなかった
ご回答ありがとうございました！
0052１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 22:03:44.08ID:+DoGGJKX
>>47
たとえば Cをジョルダン標準形にすれば一発で終わる.
P^(-1)CP =Q (上三角行列) なる正則行列Pが取れるから
P^(-1)(E - C)P = E - Q (上三角行列)
三角行列は対角成分上にすべての固有値が出現することに注意する
CとQは相似だから Qの対角成分上にCの固有値がすべてでてくる.
よって E-Qの対角成分はすべて0でないことがいえるので
E-Qは0を固有値として持たない ⇔ E-Qは正則.
したがって E-Cも正則. 証明おわり.
0054１３２人目の素数さん
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2020/11/08(日) 23:21:00.24ID:Lpl6qYqs
ヒモで直径５０センチの円を作る場合って
50x3.14の長さのヒモを用意したらいいんだっけ？
0055１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 02:08:01.44ID:ti3364ZS
ペル方程式
x^2-ny^2=1（nは自然数）
について、この方程式は(x,y)=(1,0)以外の整数解を持つことを示せ。
また(x,y)=(1,0)でない任意の解の1つをv=(a,b)とおけば、ある2×2行列Aが存在してAvも方程式の解となることを示せ。
0056１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 07:37:24.57ID:uay+F2O4
Mを多様体、∇をMの接続とします。
Mの任意の点に対し、その点の近傍で、近傍内の2点を結ぶ∇-測地線がただ1つ存在するようなものはとれますか？
0057１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 07:39:24.60ID:8h5cqf9S
1または素数である2つの整数p,qを用いてn=pqの形で表せる整数n全体からなる集合をSとする。
2次関数f(x)で、任意の整数kに対しf(k)の値がSの要素となるものは存在しないことを示せ。
0058１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 08:38:54.14ID:Il2bhF/o
https://imgur.com/iAdjsEe.jpg

この定理の証明ですが，同じことを2度書いているように思いますが，どうでしょうか？
0059１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 09:07:41.00ID:wi/Kj9ni
>>55
nは平方数でないとしておく(さもなければ誤り)
K=Q(√d)とおく.KのQ上の共役写像はちょうど2個あり
それは √d➙√d と √d ➙ -√d である.
2個の共役体はともに実数体に含まれる.
よって,ディリクレの単数定理より Kは基本単数を持つ
これはさすがに牛刀割鶏ということで半分ジョークだが
初等的にやろうとするとあまり簡単ではない.
たとえばディオファントス近似定理(鳩ノ巣論法から導かれる)
を応用することで ずっと初等的に議論できる.
具体的には 0＜|x^2-ny^2|＜c を満たす自然数x,yの組が
無限個存在するような定数cを求めることができる.
よって鳩ノ巣原理から ある自然数kが存在して
x^2-ny^2 = k を満たす自然数x,yの組が無限個存在することがいえる
再び鳩の巣原理から ある整数a,bが存在して
x≡a(mod k),y≡b(mod k)なる自然数x,yであって
x^2-ny^2 = k を満たすものが無限個存在することがいえる.
ここまでくれば 以下の恒等式を用いてフィニッシュ:
(X^2-nY^2)(Z^2-nW^2)=(XZ+nWY)^2-n(XW+YZ)^2
0060１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 09:13:11.42ID:wi/Kj9ni
一部修正
2行目,3行目のdはnが正しい.
10行目の「...～を満たす自然数x,yの組が...」
の部分は "互いに素な" 自然数x,yの組に修正
これは近似定理から存在を示すのだから明らかに可能
この修正は１番最後に段階で効いてくる 以上.
0061１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 09:41:40.28ID:wi/Kj9ni
>>57
任意の整数zに対して q(z)が整数になるという条件,
つまり q(Z)⊂Z を満たす複素数係数多項式q(x)は
一般に整数値多項式(Integer-valued polynomial)と呼ばれる
整数値多項式q(x)は必ず有理数係数多項式である
(例えば,適当なヴァンデルモンド行列を考える)

問題を解くには以下を示せば十分である:
各整数n≠0に対して,nの異なる素因数の個数をω(n)で表す.
(例: ω(1)=0, ω(2)=1, ω(4)=1, ω(6)=2, ω(n)=ω(-n) )
ここでは便宜上ω(0)=0 と定める.整数全体に対して関数ωが定義された.
f(x)を定数でない整数係数多項式とする.
a_n = ω(f(n))により整数列(a_n)を定める.
このとき sup(a_n) = +∞ が成立する.
0062１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 10:20:24.78ID:wi/Kj9ni
>>60 の続き
sup(a_n) = +∞ を示す
そのために補題として以下を示す

[補題]
f(n)を定数でない整数係数多項式とする.
p|f(n) を満たす自然数nが存在するような素数pは無限個存在する

(証明)
c = f(0) とおく.
c=0 のときは f(x)はxで割り切れるので明らかである.
よって 以降は c≠0 としておく.
p|f(n) を満たす自然数nが存在するような素数p全体の集合をDとおく.
Dが有限集合であると仮定する.(背理法のための仮定)
明らかにDは空ではない(Dが空ならばf(x)は定数となる)
各q∈Dに対して cがqで割り切れる回数を e_q で表すとする.
n＞K なる任意の自然数nに対して
|f(n)| ＞ |c| となるように定数Kを取る.
Π[q∈D]d*q^(1+e_q) ＞K を満たす自然数dを取る.
このとき m = Π[q∈D]d*q^(1+e_q) とおけば
f(m) ≡ c (mod q^(1+e_q)) が成立する.
よって, |f(m)| = |c| がいえるが m＞K より |f(m)|＞|c| だから矛盾.
以上で補題の証明はおわり.

補題から sup(a_n) = +∞ はすぐでる:
sup(a_n)＜+∞と仮定する.
r=sup(a_n) とおく. 明らかに r＞0.
ω(f(m))=r を満たす自然数mが取れる.
f(m)のすべての素因数の積をAとおく.
補題より gcd(q, A)=1 であって
しかも q|f(s) なる自然数sが存在するような素数qが取れる.
t≡m (mod A) かつ t≡s (mod q)を満たす自然数tを取ると,
f(t)≡f(m)≡0 (mod A) かつ f(t)≡f(s)≡0 (mod q) だから
ω(f(t))≧r+1 となり r=sup(a_n)に反する.
本題の証明おわり

ちなみにわずかな修正で sup を limsup に取り替えることができる
0064１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 10:33:39.82ID:o6ZhYO+u
標準偏差って何？
0066１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 11:03:02.25ID:EkAWyPrm
>>46
(I_n - C)x = 0 とすると Cx = x
もし x ≠ 0 なら x は C の固有ベクトルで固有値は 1 となるから x = 0
すなわち (I_n - C)x = 0 なら x = 0
したがって (I_n - C) の固有値は 0 にならないから正則
0070１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 15:36:50.42ID:IYQ/1dg/
>>68
p ∈ M を固定して e : T=T_p(M) → M を指数写像とする
すなわち初期値 v∈T に対して f(0) = p, f'(0) =v となる等速ゲージの測地線をとるときとf(1)を対応させる写像とする
Tに極座標T=(0,∞)×S(=S^(n-1)) ∪ {0} を入れておく
適当な仮定の元でeはpの近傍の局所座標の元に
e(t,s) = st + R(s,t) (R(s,t) = O(t^2))
とかける
十分小さいtにおいて|R(s)|<t/4,
として良い
あとは簡単な計算でs=s'の場合とs≠s'の場合に分けて(s,t)≠(s',t')の場合e(s,t)≠e(s',t')が成り立つ事を示す
0071１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 16:24:17.30ID:uay+F2O4
>>70
ありがとうございます。
しかしこれではpと他の点でしか成り立たないようにみぇます。
欲しいのは、近傍上の任意の二点が唯一の測地線で結べるという結果です。
0073１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 17:28:38.07ID:9jQyXKTk
>>71
それが言えたら任意の２点でも言えるやろ？
各点p事に定数c(p)が連続に定まっててpのd(p)近傍内のqとpを結ぶ測地線が一つしかないが示した事
任意のpに対してその近傍Nで任意の２点q,rで言いたいならまずコンパクト近傍Nを取っておいてd(q)の最小値m>0をとる
この時pのd/2近傍から任意に２点とったら測地線一個しかないでしょ？
0074１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 19:42:29.01ID:Il2bhF/o
https://imgur.com/heh7rYM.jpg
この問題のこの解答は正しいですか？
「xの近傍」とは，xを含む開集合のことです．
0075１３２人目の素数さん
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2020/11/09(月) 19:43:35.47ID:Il2bhF/o
X，Yは距離空間です．
0077イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/11/09(月) 21:25:55.96ID:uFJa4wsX
>>54だれがどうやってヒモを結ぶだ？
しかも3.14じゃぎりぎり届いてないぜ？
ヒモを結ぶだけの余裕が必要だよ、コンジュ。
0079１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/10(火) 08:35:54.19ID:t+NEwYeN
問題：以下の和を求めよ
ｎ+（ｎ-1）10+（ｎ-2）10＾2・・・・・+10＾（ｎ-1）

狽ﾌ使い方がよく判っていません
宜しくお願い致します
008079
垢版 |
2020/11/10(火) 08:39:21.79ID:t+NEwYeN
文字化けしました
☓狽ﾌ使い方がよく判っていません
○シグマの使い方がよく判っていません
0081１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/10(火) 08:46:27.06ID:qTo2VM4J
10倍して引く
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/10(火) 09:08:00.99ID:77H1z4Ga
>>79
答えの式の形が予想できるなら差分法も良い
求める和Sは逆から足すと S=Σ[k=1,n]k*10^(n-k)
よって 81S/10^n = Σ[k=1,n]81k/10^k と変形できる
ここで f(k)=(9k+1)/10^(k-1) とおけば
81k/10^k = f(k)-f(k+1) が成立するので
Σ[k=1,n]81k/10^k = Σ[k=1,n]{f(k)-f(k+1)}
= f(1) - f(n+1)
= 10 - (9n+10)/10^n
∴ S = (10^(n+1)-9n-10)/81　が求める和
0083１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/10(火) 09:13:10.12ID:XGLtE5gO
「determine」をどう訳すのが適切かを教えてほしいです．
以下のように訳しましたが，「determine」の意味を辞書で調べると「決定する」という言葉が見つかります．
ですが，Int A, Ext A, Bd Aは解答者が決めるものではなくて，既に決まっているものです．
ですので，「求めよ」と訳せばいいのかなと思いましたが，辞書に「求める」という意味がないため，そのように訳していいのか分かりません．


R^2の一般の点を(x, y)と書くとき，以下の各条件によって指定されたR^2の部分集合Aに対して，Int A, Ext AおよびBd Aをdetermineせよ．

If we denote the general point of R^2 by (x, y), determine Int A, Ext A, and Bd A for the subset A of R^2 specified by each of the following conditions:
(a) 0 < x^2 + y^2 <1.
(b) y < x^2.
(c) x is rational and y > 0.
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/10(火) 09:18:56.81ID:77H1z4Ga
>>79
もう１つの方法は微分を用いる方法
もし無限級数の問題だったなら １番楽なのだが...

1+x+...+x^n = (x^(n+1)-1)/(x-1) の両辺をxで微分すると
左辺は 1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)
右辺は 商の微分公式で計算できて それが f(x,n)で表されたとする
さらに両辺をx倍すれば Σ[k=1,n]kx^k = xf(x,n) が得られる
これに x=1/10 を代入すれば Σ[k=1,n]k/10^k = f(1/10,n)/10
なので f(1/10,n)/10 を計算するだけの問題となった
008679
垢版 |
2020/11/10(火) 09:38:37.31ID:t+NEwYeN
>>82
ご回答を有難うございます
>よって 81S/10^n = Σ[k=1,n]81k/10^k と変形できる

この８１と云う数は、何処から出てくるのでしょうか？
愚問でしたら、申し訳ありません
0087１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/10(火) 13:35:23.55ID:esZ1fPvH
>>79
Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)10^k
= 10^n Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/10^(n-k)
ここで
f(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} 1/x^(n-k)
とすると
f'(x) = - Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/x^(n-k+1)
- x f'(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/x^(n-k)
また
f(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} 1/x^(n-k)
= (1/x^n) Σ_{k = 0 ~ n-1} x^k
= (1/x^n)(x^n - 1)/(x - 1)
= (1 - 1/x^n)/(x - 1)
= 1/(x-1) - 1/(x^(n+1) - x^n)
だから
f'(x) = -1/(x-1)^2 + ((n+1)x^n - n x^(n-1))/(x^(n+1) - x^n)^2
となって
Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)10^k
= 10^n (-10f'(10))
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/10(火) 18:13:24.16ID:7ANYO/+e
>>48
もう１つの方法は微分を用いる方法

Σ[k=0,n] k(k-1) nＣk x^k (1-θ)^{n-k}

= (x^2) Σ[k=0,n] nＣk k(k-1)･x^{k-2} (1-θ)^{n-k}

= (x^2) Σ[k=0,n] nＣk (d/dx)^2 x^k (1-θ)^{n-k}

= (x^2) (d/dx)^2 Σ[k=0,n] nＣk x^k (1-θ)^{n-k}

= (x^2) (d/dx)^2 (x+1-θ)^n

= (x^2) n(n-1)･(x+1-θ)^{n-2}

これに x=θ を代入すれば
　n(n-1)θ^2
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/10(火) 18:21:06.05ID:7ANYO/+e
>>83
　仰るとおりですね。
　その "determine" は人の意思で「決定する」という意味ではなく、
　「同定する」「測って求める」という方の意味です。

・出所
　むかし　阪大・理・化のＣ教授(故人)から直接聞きました。
0091１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/10(火) 18:23:01.41ID:uJAEiQB+
楕円Cの内部から、Cの周に引ける垂線は最大4本ですか？
楕円が真円の場合は∞本ですが、楕円が真円に近づくにつれて引ける垂線の本数が増えるなんてことあるんでしょうか？
0093１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/10(火) 18:56:12.05ID:7ANYO/+e
>>91
なさそう。
点(p,q) と Cの周上の点(a cosφ, b sinφ) の距離dの2乗は
　dd = (a cosφ-p)^2 + (b sinφ-q)^2
　　= (aa-bb)/2・cos(2φ) -2ap･cosφ -2bq･sinφ +(aa+bb)/2 +pp+qq,
これの極値が垂線に対応する。
009479
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2020/11/10(火) 21:21:17.40ID:t+NEwYeN
解決しました
ご回答頂いた方、有難うございました
009579
垢版 |
2020/11/10(火) 21:21:17.44ID:t+NEwYeN
解決しました
ご回答頂いた方、有難うございました
0096１３２人目の素数さん
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2020/11/10(火) 22:09:41.15ID:GjdQL4sz
>>91
内部の点って中止限定なん？
むしろ真円の場合は中心以外2本しか引けないのでは？
0098１３２人目の素数さん
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2020/11/11(水) 09:33:55.62ID:ELw4z8I/
宜しくお願い致します
①　正の整数ｎ（ｎ≧3）を正の整数の2組に分けるとき、
　　2つの数の順序が違っても異なる組とみなす場合
　　幾通りの分け方があるか。

②　①で2つの数の順序が違っても同じ組とみなす場合
　　幾通りの分け方があるか。　

③　正の整数ｎ（n≧4）を正の整数3つの組に分けるとき、
　　3数の順序が違えば異なる組と考える場合、幾通りの分け方があるか。
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/11(水) 09:33:55.62ID:ELw4z8I/
宜しくお願い致します
①　正の整数ｎ（ｎ≧3）を正の整数の2組に分けるとき、
　　2つの数の順序が違っても異なる組とみなす場合
　　幾通りの分け方があるか。

②　①で2つの数の順序が違っても同じ組とみなす場合
　　幾通りの分け方があるか。　

③　正の整数ｎ（n≧4）を正の整数3つの組に分けるとき、
　　3数の順序が違えば異なる組と考える場合、幾通りの分け方があるか。
0100１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/11(水) 09:33:55.62ID:ELw4z8I/
宜しくお願い致します
①　正の整数ｎ（ｎ≧3）を正の整数の2組に分けるとき、
　　2つの数の順序が違っても異なる組とみなす場合
　　幾通りの分け方があるか。

②　①で2つの数の順序が違っても同じ組とみなす場合
　　幾通りの分け方があるか。　

③　正の整数ｎ（n≧4）を正の整数3つの組に分けるとき、
　　3数の順序が違えば異なる組と考える場合、幾通りの分け方があるか。
0104１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/11(水) 17:07:09.50ID:rE2Lzr4n
>>81
81 = (10-1)^2 だから2回やるんだな。
１回では
　- n + 10 + 10^2 + ････ + 10^n,
２回目で
　n - 10(n+1) + 10^{n+1},
0105１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/11(水) 19:25:46.17ID:9Qj8Ym9/
線形回帰のサンプル(x,y)は、xを観測者が指定した場合、i.i.d.にはなりませんよね？
0106１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/12(木) 15:10:49.56ID:HHna8lQ3
これは易問ですか？

以下の命題の真偽を述べよ。
「連続する100万個の自然数の中には、少なくとも1つ素数が存在する。」
0110１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/12(木) 17:05:51.54ID:EiOX/fMH
>>106
2つの解法(1)(2)をあげておく

(1) (典型的方法, 中学数学)
mを2以上の整数とするとき
任意の整数k(2≦k≦m)に対して m!+k は kで割り切れるが
m!+kは明らかにkより大きいので素数になりえない
m＞10^6 のときを考えれば 問題の命題は偽とわかる

(2) (中国剰余定理を適用, 汎用性高)
もっと強く以下を示す:
各自然数nに対して ω(n)をnの異なる素因数の個数をとする
たとえば ω(6)=2, ω(4)=1 である.
任意に自然数k,h(h＞1)を固定する.
このとき h個の連続する自然数であって
どれもが少なくともk個の素因数を持つものが存在する

[証明]
m_1,m_2,.m_h＞1をどの2つも互いに素な整数であって
しかも 各整数i(1≦i≦h)に対して ω(m_i)≧k なるものとする.
中国剰余定理より すべての整数i(1≦i≦h)に対して x≡ -i (mod m_i)
を満たすような自然数xが無限個存在する
このとき h連続の自然数x+1,x+2,.,x+h は少なくともk個の素因数を持つ
0111１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/12(木) 17:17:44.89ID:EiOX/fMH
>>106
おまけとして類題をあげておく

[類題]
k,m＞0を整数定数とし,f(x)を定数でない整数係数多項式とする.
このとき, m個の自然数, f(n+1),f(n+2),..,f(n+m)のどれもが
少なくともk個の異なる素因数を持つような自然数nが存在することを示せ.
0112１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/12(木) 18:29:43.47ID:z/3RAP+E
補題
自然数列aiと素数列piで
f(ai)≡0 (mod pi), pi≠pj (unless i=j)
がとれる
p1～p(n-1)まで取れたとしてN=f(0)×p1～×p(n-1)とおいて
M=f(kN)を考えれば
・f(0)の素因子qについてはvq(M)≦vq(f(0))
・p1～p(n-1)のなかのqでf(0)の素因子でないものについてはvq(M)=0
故にMの素因子が全てp1～p(n-1)に限られるときはM≦|f(0)|
ここでlim[k] M=∞□

n ≡ ai - j ( j ≦ i/k < j+1 )
で完
0113１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/12(木) 18:47:09.11ID:EiOX/fMH
>>112
ほぼ正解だとおもいます
f(0)=0 だと N=0 になるから
lim[k] M=∞ とはならないけど
細かい話でうるさいので これはこれで良いでしょう

>>62
にも その補題の証明があり 同じ手法によります

いずれにしろ補題と中国剰余定理から説明がつくということで合意でしょう
0114１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/13(金) 00:45:36.79ID:r3GeLOQD
ゴールドバッハ予想は真偽が定まっていないから命題とは言えない？
0115１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/13(金) 00:51:58.70ID:eYRgLITV
>>114
いえ、ちゃんとした命題です
その誤解は高校の教科書にある「真とか偽とかが決まってる文」みたいな説明が不適切なだけ
0116１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/13(金) 01:04:43.41ID:4vH2h0l9
「命題と定義したものが命題」だと
任意の記号列を命題にできるからなー
でもこれしかないし
0117１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/13(金) 05:35:56.19ID:M5JR9HFw
>>109
うむ。
100万の階乗をNとおくと
　N + 2 ～ N + 100万 は明らかに合成数。
　N + 100万 + 1 = N + (100^3 + 1) = N + (100 + 1)(100^2 - 100 + 1)　も合成数。
　N + 100万 + 2 = 偶数 (合成数)
0119１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/13(金) 07:39:20.29ID:r3GeLOQD
>>115,116
ではゲーデルが作ったらしい「自分が証明できない」という内容の論理式は命題？
0122１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/13(金) 10:45:56.48ID:llLnhFxV
>>117
そうそう
N≧3として
N+1が素数ならN!からN+1個は合成数で
N+1が合成数ならN!+2からN個は合成数
いずれにしてもN!からN+2個の中にN個連続した合成数はある
まあ(N+1)!使えば済む話ではあるけど
0123１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/13(金) 19:21:55.96ID:M5JR9HFw
N+1 が素数ならウィルソンの定理で
　N! + 1 ≡ 0　(mod N+1)

N+1 が合成数なら
　N! + N+1 も合成数
0125１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/13(金) 23:29:58.31ID:FlMfGISE
1990年度の本試験ベクトルで
座標平面上の原点Oを中心とする半径２の円に内接する正六角形の頂点を順に
A　B　C　D　E　Fとし、Aの座標は（２、０）　Bは第１象限にあるとする。
このとき
（１）ベクトルAC＋２ベクトルDE－２ベクトルFAを成分で表すと

この問題の解説を、お願いします。
0126１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/13(金) 23:35:02.63ID:FlMfGISE
解答と答えが合わないんです！
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/14(土) 07:45:56.04ID:g8N8PO/r
>>121
正しいと証明できないのに？
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