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分からない問題はここに書いてね462
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0002１３２人目の素数さん
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2020/08/04(火) 21:37:27.24ID:6by4nADS
>前スレ999
もう見てないかもしれんが、設定が同じなら、
前スレ1000の通り、その体感は錯覚である可能性が高い
原因は恐らく「見かけ上の幅」が違うからだと思われる
その場合、対応策としては以下のようなことが考えられる

A 環境における見かけ上の幅を測定し、それを a とする。
B 環境における見かけ上の幅を測定し、それを b とする。

(1) b = a となるように、幅の設定を調整するか、
　またはモニターとの物理的な距離を調整する。

(2) a : b = 300 : x となるように速度 x を設定する。
0003１３２人目の素数さん
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2020/08/04(火) 22:24:44.81ID:IVWcrfTI
確率分布問題です
　ある国の大統領選に A, B の 2 人が立候補した．選挙予想をするために，有権者から無作為 に調査対象を選び出し，A, B どちらの候補者を支持するかアンケート調査をしたところ
無作為 に選んだ 300 人中 180 人が，A を支持すると回答した．
そのとき，以下の問いに答えよ
2-1. 標本比率（標本平均） x の値を以下の中から選択せよ
(1) 0.2, (2) 0.3, (3) 0.4, (4) 0.5, (5) 0.6
2-2. A の支持率 p の 97% 近似信頼区間を求めよ
(1) [0.5445628,0.6554372], (2) [0.5386231,0.6613769], (3) [0.5271397,0.6728603],
(4) [0.5010192,0.6989808], (5) [0.4916005,0.7083995]
１ばんめは0.6と分かります
２ばんめがわかりません
0004１３２人目の素数さん
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2020/08/04(火) 22:26:24.09ID:6by4nADS
あるいは、「余白」と幅の比が違うことが錯覚の原因かもしれないな
A 環境では高さ 53cm の内、幅は 25cm だから、余白は 28cm
この比が他の環境でも同じになるように幅を調整すれば良いかもしれない
例えば B 環境では高さ 39cm だから、幅を x cm とすると余白は 39-x cm
この比が同じになるようにするためには、
25 : 28 = x : (39-x) を解いて x = 975/53 ≈ 18.396 cm ってとこか
プレイしやすいかどうかはわからんが
0005１３２人目の素数さん
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2020/08/04(火) 22:33:44.61ID:yJdlrSYK
前スレ 展開図上に描かれた円が円錐で云々の件

展開図の円弧角: Θ’
円錐角(軸と母線の角): Θ とすると
・( r*cosθ, r*sinθ ) → ( r*sinΘ*cos(2πθ/Θ’), r*sinΘ*sin(2πθ/Θ’), r*cosΘ )
・Θ’ = 2π sinΘ 　{∵ 扇形でのΘ’ が円錐での一周に相当}
よって2次元→3次元対応は
( x, y ) → √(x*x+y*y) * ( sinΘ*cos(atan2(y, x) /sinΘ), r*sinΘ*sin(atan2(y, x) /sinΘ), cosΘ )
となる。あとは円を表すパラメータ曲線関数と合成すればよい。

例. https://imgur.com/a/LPeEo2Z
展開図の外に出た円は糊付けされた同じ展開図に描かれてると見なせば良い。
sinΘ = 1/n のときには n 枚の展開図で全象限を覆うことになる。
原点周りの1ループは 円錐では n ループとなる。
0006イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/08/04(火) 22:49:10.00ID:9Qg267hA
前スレ952
△PNAは2辺が5,斜辺が3√3の二等辺三角形で、等しい辺の片方は中点がMで、
△NMPにおいて余弦定理より、
NM=√｛(5/2)^2+5^2-2(5/2)5cos72°｝
NX=1+NM
=5.85021392731……
0007１３２人目の素数さん
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2020/08/04(火) 23:40:24.83ID:of8fhpcj
nを自然数として、以下のスターリングの公式
ln(n!) ≒ {n+(1/2)}*ln(n)-n+(1/2)*ln(2π)
が知られており、右辺は左辺の良い近似となっている。
では上式を正の実数xについて考えたとき、右辺は左辺の良い近似となるか。
すなわち{x+(1/2)}*ln(x)-x+(1/2)*ln(2π)はln{Γ(x)}の良い近似となっているか。
0008 【大吉】
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2020/08/05(水) 00:13:13.86ID:2RdF7WDY
前>>6前スレで5.44409……とちょっと小さくなったのは、円錐の内側をショートカットしたからだと思う。それで、あ！　展開図の扇形の上で直線引いて最大値出せばいいな、と。
0009１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 05:38:57.57ID:csX4wfTB
正方形Z:ABCDの頂点A上に駒Xが、頂点C上に駒Yが置かれている。
いまS君とT君が以下のようなゲームを行う。

『S君とT君はサイコロを振り、以下の通りに駒を動かす（S君の場合は駒X、T君の場合は駒Y）。
・出た目が3の倍数なら駒を動かさない
・出た目が3で割ると1余る数の場合、Zの反時計回りで見た隣の頂点に駒を動かす
・出た目が3で割ると2余る和の場合、Zの時計回りで見た隣の頂点に駒を動かす

まずS君がサイコロを振り、駒Xを動かす（先攻）。
続けてT君がサイコロを振り、駒Yを動かす（後攻）。
以後S君、T君、…と交互にサイコロを振り、駒を動かしていく。

相手の駒が置かれた頂点に自分の駒が到達した場合、勝利とする。』

(1)このゲームは後攻が必勝であることを証明せよ。

(2)このゲームに以下のようなルールを加える。
『T君が駒をちょうどn回動かした時点でT君が勝利していない場合、S君の勝利とする』
S君が勝利する確率をpとするとき、|p-(1/2)|を最小にするnを求めよ。
0010１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 06:49:03.60ID:jHWx/hAM
>>7
スターリングの公式はΓ(x)の漸近展開でもある
だから当然nだけでなく実数xの大きいところでの近似も与えてる
0013１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 13:47:29.29ID:/u5QVuC+
記号の意味で質問です。集合 R とその元 x があったとき、R の右上に n ，右下に + が
ある場合、どういう意味になるのでしょうか？
https://dotup.org/uploda/dotup.org2219260.png
0014１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 14:10:53.70ID:hDQghdth
>>13
Rの右上にnはRをn個の直積集合。R^n={(x1,x2,x3,…xn)|x1∈R,x2∈R,x3∈R,…,xn∈R}
Rの右下に＋は正の実数全体の集合。R_+={x∈R|x>0}

>>13はこれらを合わせたものだから、つまりR_+をn個の直積集合。{(x1,x2,x3,…xn)∈R^n|x1>0,x2>0,x3>0,…,xn>0}
成分がすべて正の実数であるようなn次元座標の全体と思えばよい。たとえばRの右上に2、右下に＋ならばいわゆる第1象限を表す。
0015１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 14:18:17.31ID:/u5QVuC+
>>14
早速、有り難うございます。
やっぱ画像でも数式を提示すると話が早いですね。
0016１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 15:12:04.58ID:GQ3dwXvQ
提示した問題は、→　https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10105842365
ですが、　私の方法では解答が違います。

30分後が34.7°なら、34.7 = 21 + Ce^-30k として Cをこの時点では確定できない数値とします。
一時間後にもう一度計測とありますが、それは午後12時30分だと思いますので、到着してから90分後
と思いました。　それなら
90分後が34.1°なら、34.1 = 21 + Ce^-90k　とし、さらにe^-kt = mとすると
13.7 = Cm、13.1 = Cm^3、　となり　m^2 = 13.1 / 13.7 となります。

ここから m = 0.977854794、　これを 0.6 = C(m – m^3) に代入すると、C = 14 となります。
それで34.7 = 21 + 14e^-ktから、t = 0の時死亡時には体温が 35°であり、死亡時間は、
初回検温時、午後11時30分より30分前の、午後11時だと思いますが、誤りがあれば
指摘して下さい。
なおYahoo解答の、死亡した人の平均平熱を36°とするなどは理解できません。
0019１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 16:26:44.57ID:tsdXVcSl
ある本の「2部グラフの最大マッチングと最小被覆の大きさは等しい。」という定理の証明に冗長な部分があるのではないかと思っているのですが、この定理について知っている人はいますか？
0021１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 16:46:59.49ID:NWs2tdqK
>>16
温度: T=T(t),　室温: u=21.0 {定数}
冷却法則: dT/dt = κ*(u - T)
dT/(T-u) = -κ * dt
∴ T(t)-u = C*exp(-κt) = C*α^{-t},　 α:=exp(κ)

{死亡時刻を 基準点: t=0 とする}
T(0)-u = 36.9 -21.0 = 15.9　{成人の平均平熱: 36.89° (←ググった)}
T(x)-u = 34.7 -21.0 = 13.7
T(x+1)-u = 34.1 -21.0 = 13.1
∴
(1)　C = 15.9
(2)　C*α^{-x} = 13.7
(3)　C*α^{-x-1} = 13.1

(2)÷(3) より α = 13.7/13.1
(2)より logC - x*logα = log(13.7)
x = ( logC - log(13.7) ) /logα
　= ( log(15.9) - log(13.7) )/( log(13.7) - log(13.1) )
　= 3.325...
　≒ 3時間20分
よって死亡時刻は
　11時30分 - 3時間20分 = 8時10分 と推定できる。
(目が腐るのでYahooの解答は追ってない)
0022１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 17:02:21.37ID:GQ3dwXvQ
>>17, >>21

解答に一般的な平均平熱が出て来るのは、今でも何かスッキリしませんが
ご指摘ありがとうございます。
0024１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 17:51:03.00ID:CeZQyI2C
>>22
死んだときに何度だったのかわからないんだからそこは推測するしかないだろう
0026１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 21:08:52.02ID:tsdXVcSl
C_0 - C_0' = C_1 - C_1' かつ C_1' ⊃ C_0'であるような有限集合C_0, C_0', C_1, C_1'の例なんて本当にありますか？
0027１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 21:16:13.62ID:qmY6SzS1
√(1-tan^2(t))の積分の解き方を教えてください。

これの0からπ/4の定積分は(√2-1)πになるらしいのですが、
公式：∫√(a^2-x^2)dx=1/2(x√(a^2-x^2)+a^2・arcsin(x/a))の公式で計算したところ違う結果になって困惑しています。
0028１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 21:21:10.94ID:tsdXVcSl
C_0 ⊃ C_0', C_1 ⊃ C_1', C_0 - C_0' = C_1 - C_1'であるような有限集合C_0, C_0', C_1, C_1'の例なんて本当にありますか？
0029１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 21:21:46.51ID:Vrjsi8WK
前スレ．950,958

O (0, 0, 0)
A (3, 0, 0)
B (-3, 0, 0)
M (3/2, 0, 2)
N (-3/2, 3(√3)/2, 0)
P (0, 0, 4)
とおく。

軸と母線のなす角をΘとすると
　sinΘ = 3/5,　cosΘ = 4/5,

展開図Eにおける極座標で (r,φ) の点Xは
円錐面S上ではデカルト座標で
X ((3/5)r･cos((5/3)φ), (3/5)r･sin((5/3)φ), 4-(4/5)r)

円錐面Sの全曲率 K=0 だから
　(dL)_s = (dL)_e,
　1 = L_s = L_e ≧ MX_e = √(25/4 -5r･cosφ + rr)

この条件で NX を最大にする。
0030１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 21:25:34.19ID:qmY6SzS1
連投すみません、
∫(x/(x^2-x+1)^2)dxの解き方を教えて頂けないでしょうか。
0から1までの定積分で1/27(9+2π√3)になるそうです。
0031１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 21:25:54.70ID:tsdXVcSl
C_0' ≠ C_1'とします。
0036１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 21:43:54.29ID:Vrjsi8WK
>>27
　tan(t) = x,
　t = arctan(x),
とおいたら
　dt = dx/(1+xx),
だよ。

√2 arcsin( (√2)sin(t) ) - arctan( sin(t)/√cos(2t) )


次の式で a=1/√2　とおく。
√{cos(t)^2 - aa} /cos(t) dt
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arctan(a･tan(t)/√(1-aa)),
　|a|<1
森口･宇田川･一松: 「数学公式I」, 岩波全書221 (1956)
　p.204　中ほど
0037１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 21:55:12.65ID:yK6kCQOA
>>31
あえて釣られてみる
>>26の例（本当にあります）
C_0 := {1, 2}, C_0' := {2}, C_1 := {1, 2, 3}, C_1' := {2, 3}

>>28の例（本当にあります）
同上
0038１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/05(水) 22:06:57.51ID:yK6kCQOA
空集合を考えれば明らかなんだけど、忖度して非自明（？）な例をご用意しました
0039１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 22:20:50.38ID:NWs2tdqK
>>27
∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))
　= ∫d{tan(t)} cos²(t) √(1-tan²(t))
　= ∫[x=0,1]dx √(1-x²) /(1+x²)　　{ x=tan(t) }
　= ∫[t=0,π/2] dt cos²(t) / (1+sin²(t))　　{ x=sin(t) }
　= ∫[t=0,π/2] dt (1-sin²(t)) / (1+sin²(t))
　= -π/2 + ∫[t=0,π/2] dt 2/(1+sin²(t))
　= -π/2 + 1/2 * ∫[t=0,2π] dt 1/(1+sin²(t))
　= -π/2 + 1/2 * π√2　　{※1}
　= π/2 * (√2 - 1)　{ 数値積分でもチェック済 }

※1
∫[t=0,2π] dt 1/(1+sin²(t))
　= -i*∫[t=0,2π] d{e^{it}} e^{-it}/(1+sin²(t))
　= 4i*∫dz　z/((z²-α)(z²-β)) 　　{ z=exp(it) ※2 }
　=-8π* ((+√α)/(2(+√α)(α-β)) + (-√α)/(2(-√α)(α-β)) { 留数定理 }
　= π√2

※2
(1/z)/ ( 1 - (zz -2 + 1/zz )/4 )
　= -4z/(z⁴ - 6z² + 1)
　= -4z/((z²-α)(z²-β))　{ α=(3-√8), β=(3+√8), |α|<1, 1<|β| }
0040１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/05(水) 22:22:14.70ID:qmY6SzS1
>>34
ありがとうございます
x-1/2 = y とした判断基準を教えて頂けますでしょうか
0041１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 22:32:49.38ID:yK6kCQOA
ただの計算問題はWolfram大先生に聞けば「ステップごとの解説」でヒントがもらえるよね
0042１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 22:37:13.56ID:qmY6SzS1
>>36
ありがとうございます。助かりました。
公式に入れるためにxの次数と係数を直さないといけなかったんですね。
0044１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/05(水) 22:56:31.46ID:qmY6SzS1
>>39
解答を確認できました。
詳しく過程を記述していただき、ありがとうございます。
0045１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/05(水) 23:12:12.76ID:NWs2tdqK
>>41 Wolfram はそこまで万能ではない。
"∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))" で丸投げすると
定積分 ... = 1/2 (sqrt(2) - 1) π ≈ 0.65065
　→ "このクエリには「ステップ毎の解説」はありません。"
と出る。 (解説あったとしても無課金だと冒頭部分しか見えない)

値を表示してから微妙な間を置いて 数式 を追加で出してくるので、
数値計算の値と 内部テーブルを見比べて 1/2 (sqrt(2) - 1) π を拾ってきてるんじゃないかな。
0046１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/05(水) 23:18:13.24ID:vLnFZyaN
座標平面上の点で，両座標が整数であるような点を格子点といいます．放物線 y=x2 は無限個の格子点を通ります．これに対して放物線 y=x2+√2

は格子点を通りません．

問題1　k=1,2,3,4
に対して，ちょうど k

個の格子点を通る放物線を見つけてください．(放物線の軸は座標軸に平行とは限りません．)

問題2　ちょうど 5 個の格子点を通る放物線があるでしょうか．
0047１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/05(水) 23:21:59.14ID:yK6kCQOA
>>45
∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))
について言えば、不定積分が存在するでしょ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+%E2%88%9A%281-tan%C2%B2%28t%29%29+dt

無課金だと冒頭部分しか見えないのでヒントと書いたが、
冒頭だけでも続きは推測できる
上の例でいえば、∫ √(1 - u^2)/(u^2 + 1) du までは無課金でも見えるので、この不定積分がわかればよくて、
大先生によればこうなるらしい
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+%E2%88%9A%281+-+u%5E2%29%2F%28u%5E2+%2B+1%29+du
これのステップごとの解説を覗くと（ｒｙ
0048１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 00:15:21.14ID:/L5rc026
>>36
の下の方の式は拙者の写し間違いでござった。
死んでお詫びを････ (AA略)

(訂正)
∫ √{cos(t)^2 -aa} /cos(t) dt
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arcsin( a･tan(t)/√(1-aa) ),
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arctan( a･sin(t)/√{cos(t)^2 -aa} ),
　|a|<1


>>39
※1
　∫1/{1+sin(t)^2} dt = (1/√2) arctan((√2)t),
0050１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 00:33:16.27ID:jjAtz/Z+
ガウス関数に関して
f(x) =∫【 ０→ｘ】 (1−t＾2)e＾(−t＾2)dt (x ∈R).
このとき
(1) lim【x→+∞】f(x), lim【x→−∞】f(x) を求めよ.
(2) y = f(x)の極値と変曲点を求めよ
f(x)=∫[0,x] (1-t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (-t/2)(-2t)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt + ∫[0→x] (t/2)(-2t)e^(-t^2) dtという
ところまではわかりました 次に進めません
∫【０→∞】e＾−x＾2dx =√π/ 2というのをつかうみたいですが
0051１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 00:35:01.32ID:hBHuPM8g
>>49
ありがとうございます
0052１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 00:49:41.66ID:/L5rc026
>>46
問題3
　放物線の軸が座標軸に平行なときは
　k≦2　または　k=∞
に限ることを示せ。
0053１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 00:59:42.89ID:/L5rc026
(略証)
放物線
　　f(x) = axx + bx + c
が相異なる3つの格子点 (x_i, f(x_i)) を通るとする。
ラグランジュの補間公式より、係数 a, b, c は有理数。
n･a と n･b が整数となるような整数nだけずらせば
　f(x｡+n) = f(x｡) + (n･a)(2x｡+n) + (n･b) も整数。
∴　格子点　(x｡+n, f(x｡+n)) をとおる。
∴　k = ∞　　　　　　　　　　　　　　(終)

問題1 と 問題2 の応募締切 8月8日8時8分8秒らしい･･･
0054１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 02:39:14.42ID:/L5rc026
>>30
x - 1/2 = y
とおくと、被積分関数は
　(y+1/2)/(yy+3/4)^2 = y/(yy+3/4)^2 + (1/2)/(yy +3/4)^2
　= y/(yy+3/4)^2 - (1/3)(yy-3/4)/(yy+3/4)^2 + (1/3)/(yy+3/4),
積分して
　-(1/2)/(yy+3/4) + (1/3)y/(yy+3/4) + (2/√27)arctan(2y/√3)
　= (y/3 -1/2)/(yy+3/4) + (2/√27)arctan(2y/√3)
　= (1/3)(x-2)/(xx-x+1) + (2/√27)arctan((2x-1)/√3),

0〜1 の定積分で (9+2π√3)/27 = 0.7364･･･ になる。
0055１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 02:52:58.11ID:ulzRAqcn
>>47
Wolfram大先生のヒントに従って定積分 I := ∫[0,π/4] √(1-tan^2(t)) dt を計算するとこんな感じか
まず u = tan(t) と置換すると
I = ∫[0,1] √(1 - u^2)/(u^2 + 1) du
次に u = sin(s) と置換すると
I = ∫[0,π/2] cos^2(s)/(sin^2(s) + 1) ds
= ∫[0,π/2] (1/cos^2(s))/((tan^2(s)/cos^2(s)) + (1/cos^4(s))) ds
= ∫[0,π/2] (1/cos^2(s))/(1 + 3tan^2(s) + 2tan^4(s)) ds
最後に x = tan(s) と置換すると
I = ∫[0,∞] 1/(1 + 3x^2 + 2x^4) dx
= ∫[0,∞] 1/((1 + 2x^2)(1 + x^2)) dx
= ∫[0,∞] 2/(1 + 2x^2) dx - ∫[0,∞] 1/(1 + x^2) dx
= (√2 - 1) π/2

自然な計算かどうかは知らん
0056１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 03:37:19.36ID:/L5rc026
>>29
r = PX = 3.055475
φ = -0.302010
のとき最大で
X ( 1.605907,　-0.884314,　1.555620)
N (-3/2, (3√3)/2, 0)
NX = 4.918699
かな？
0057１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 04:42:09.81ID:+UEkGzY5
>>53
　情報量＝０だね

ｋ＝無限ならいくらでもある。　ｙ＝ｘ＾２
ｋ＝１　y＝　Sqrt[2]　ｘ＾２　　｛０，０｝のみ
ｋ＝２　かんたん
ｋ＝３　。。。
k＝４　。。。
ｋ＝５　ありやなしや？　。。。

という問題だろ？
0060１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 05:36:06.05ID:/L5rc026
>>50
部分積分により
　f(x) = (x/2) e^(-xx) + (1/2)∫[0→x] e^(-tt) dt,
　f ’(x) = (1-xx) e^(-xx),
　f "(x) = 2x(xx-2) e^(-xx),
というのを使うみたいでつが･･･
0061１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 05:42:05.84ID:81ZHqd6S
pを0<p<1の実数として、表の出る確率がp、裏の出る確率が1-pのコインがある。
このコインをn枚同時に投げ、表が出た枚数を数える。これを合計k回繰り返し、m回目の繰り返しにおいて表が出た枚数をa[m | k,n]と書く。
例えば3枚のコインを2回投げ、各回で表の出た枚数がそれぞれ3枚,0枚であったならば、a[1 | 2,3]=3、a[2 | 2,3]=0である。

（1）S[n,k] = Σ[m=1,k] a[m | k,n]とする。
lim[k→∞] (S[n,k]/nkp)を求めよ。

（2）n=6mとする。2m≦(S[n,k]/nkp)≦4mとなる確率p[m]について、極限lim[m→∞] p[m]を求めよ。
0062１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 06:30:45.51ID:meNNWVIo
>>5
動画みました。素晴らしい！記念に動画を保存しました。
これはGeoGebraで作成ですよね？
0063１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 07:26:05.17ID:meNNWVIo
>>61
（１）をプログラム組んで推定させてみた。

> sim <- function(n,p,k=1e5) sum(rbinom(1:k,n,p))/(n*k*p)
> f=Vectorize(sim)
> n=2:20
> p=seq(0,1,0.1)
> z=outer(n,p,f)
> quantile(z,na.rm=T)
0% 25% 50% 75% 100%
0.9949167 0.9996160 1.0000000 1.0005092 1.0129500

どうやら１が答のようだな。
0064１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 07:30:01.44ID:/rJXsbPo
>>39 (自己レス)
※1 少しだけシンプルにできた。
∫ [t=0,2π] dt 1/ (1+sin²(t))
= 2 ∫ [t=0,π] dt 2/(2 + 1-cos(2t) ) = 2 ∫ [t=0,492π] dt 1/(3-cos(t))
= -2i ∫ dz 1/( 3z - (z² + 1)/2 ) = 4i ∫ dz 1/(z² -6z +1)
= 4i ∫ dz 1/((z-α)(z-β))　{ α=(3-√8), β=(3+√8) }
= -8π * 1/(α-β)
= -8π * 1/(-2√8) = π√2
もちろん不定積分( >>49 )を知ってるなら即堕ち計算である。

>>62 はいGeoGebraです。
周期運動と違って自由にグリグリ動かす動画は面倒だろと思ってたら、
前スレ >>991 のような画面キャプチャなら簡単だと気付きました。
0066１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 08:34:55.11ID:D2mM6ygy
>>61
すみません、（2）が間違っていました。

（2）n=6Nとする。2N≦(S[n,k]/kp)≦4Nとなる確率p[n]について、極限lim[n→∞] p[n]を求めよ。
0067１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 10:02:22.58ID:hBHuPM8g
>>54
y/(yy+3/4)^2 + (1/2)/(yy +3/4)^2
= y/(yy+3/4)^2 - (1/3)(yy-3/4)/(yy+3/4)^2 + (1/3)/(yy+3/4)

すみません、ここの計算がうまくいきません。
0068１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 10:12:41.06ID:g9hM4+Nw
以下の問題を数学オリンピックに出題したら正解率どれくらいになりますかね？

Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。
0069１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 10:13:03.91ID:hBHuPM8g
>>67
すみません、確認できました。
ありがとございます。
0070１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 10:19:39.37ID:g9hM4+Nw
>>68
テレンス・タオでも無理かな？
0071１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 10:38:14.29ID:UuYgJh/d
コインの問題は
試行の全体が二項分布になることを見抜けば
計算なしで出せそう
0073１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 10:44:31.13ID:g9hM4+Nw
>>68
解ける人いないの？www
0074１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 11:31:57.31ID:p+DNjRby
∫[-1→1] 1/x^2dx
を求める際、次のように議論して得られた値-2は正しくない。この議論のどこが誤っているか答えよ。

議論:f(x)=1/x^2とおくと、F(x)=-1/xはf(x)の原始関数であるから、次の定理を用いて、

(定理)fを区間［b,a］で定義された連続な関数、Fをfの原始関数とするとき、
∫[b→a] f(x)dx F(a)-F(b)
が成り立つ。

よって、
F(1)-F(-1)=-2と導かれた。
0075１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 11:32:45.88ID:p+DNjRby
>>74の問題誰か教えてください！
f(x)が負の値をとらないのにどうしてこんなことが起こるんですか？
0077１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 12:39:37.83ID:p+DNjRby
>>76
確かに！
ありがとうございました！
0078１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 13:55:47.15ID:1/AtprVO
>>68
これエレガントに示すにはどうするんかな？
ｼﾞｮﾙﾀﾞﾝﾍﾙﾀﾞｰの構造定理風に示すと面倒だけど以下のようして出来る

まず上の集合をP、下の集合をP'としておくとP'⊆Pは明らか
P⊆P'を示す
B<Aに対して、これを延長して
A_0=A'_0<A'_1<…<B<A<…<A'_k=A_l
となる鎖を作れる(有限だから)

C<D,C'<D'として
C∩C',C∩D',D∩C',D∩D'を2×2に配置したとき
向かい合う組は同時に=か同時に<の関係にあり
<の場合、その差集合は一致することが示せる
(単なる集合の計算だけど、ここが面倒)

よって(A_i)∩(A'_j)を2次元的に配置することで
差集合A-BがA_iたちのどこかの差集合に一致することがわかりP⊆P'が言える
0079１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 15:03:41.69ID:ulzRAqcn
【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {{1}, V}
P = {∅, {2}}
A_0 := ∩ L = {1}
A_1 := ∪ L = V
{A_{1}-A_{0}} = {{2}} ∌ ∅
0081１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 15:22:57.66ID:g9hM4+Nw
>>79-80
間違えました。
Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
AはBの真部分集合で、A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 15:45:44.15ID:ulzRAqcn
【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {∅, {1}, {2}, V}
P = {{1}, {2}, V}
A_0 := ∩ L = ∅
A_1 := {1}
A_2 := ∪ L = V
A_{2}-A_{1} = {2}
A_{1}-A_{0} = {1}
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 15:58:02.19ID:nQj2SPhA
>>81
VとかLとか記号が物騒だな
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 16:12:49.58ID:ulzRAqcn
【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {∅, V}
P = {V}
A_0 := ∩ L = ∅
A_1 := {1}
A_2 := ∪ L = V
A_{2}-A_{1} = {2}
A_{1}-A_{0} = {1}
0087１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 16:17:33.16ID:/L5rc026
>>56
r = PX = 3.055475
φ = -0.302010473
のとき最大で
X ( 1.60590483,　-0.88430965,　1.55562000)
N ( -3/2, (3√3)/2, 0)
NX = 4.9187000017
0088１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 16:21:11.36ID:nQj2SPhA
>>81
>AはBの真部分集合で、A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
>P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
C∈L？？
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 16:23:35.32ID:1/AtprVO
>>78
少し簡略化できた

A-Bの各要素はA_i列のどこかで追加される
もし追加されるタイミングの違うx,y∈A-Bがあったとすると
A_iでxとyのどちらかだけを含むものが存在する
するとB⊂B∪(A∩A_i)⊂Aとなり矛盾するので
A-Bの全要素はあるA_iからA_(i+1)の段階で一斉に追加される
このときA-B以外の要素もA_iに追加されたとすると
上の議論をA'_kに適用することで矛盾がわかるので、
A_(i+1)-A_iはA-Bに一致する
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 16:38:17.33ID:g9hM4+Nw
>>79-80
書き足りないところがありました。

Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
A, BはLの要素とする。AはBの真部分集合で、C∈LかつA⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。
0091１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 17:43:03.43ID:VB4rBLfZ
円錐側面の展開図の扇形上に線分Lをひく。
展開図から円錐を組み立て、展開図上でLであった線をCとする。

(1)Lが扇形の半径の一部でない場合、Cは線分（すなわち直線図形）でないことを示せ。

(2)Lが扇形の半径の一部でない場合、Cが1つの平面上に乗る（すなわち平面図形）ことはあるか。
0092１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 19:04:26.09ID:zwwmn5bh
>>91
(1)
Lが展開図の扇形の中心を通るとき
Cは折れ線であるので、線分ではないが直線図形ではある。

Lが扇形の直系の一部ではないとき
背理法で示す。Cが線分であると仮定する。
Lが扇形の半径の一部でないからCは円錐の母線の一部ではない。
したがってCのそれぞれの端点を通るような異なる2本の母線が存在する。
異なる母線は頂点で交わるので、この2本の母線を含む平面αは1つに定まる。
線分Cの端点がともに平面α上にあるから線分C全体が平面α上に含まれる。
またCは円錐側面上の図形でもあるから、Cは円錐側面と平面αの共通部分に含まれる。
しかし円錐側面と平面αの共通部分は2本の母線であるから、これに線分Cが含まれることはCが母線の一部ではないことに矛盾する。


なんか終始言葉遊びしているみたいでしっくりこないけど、自明なことを示せと言われているのだからこんなものか。スマートではない自覚はある。
0093１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 19:11:12.92ID:1/AtprVO
>>90
細かく証明を書いておく

P={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}
P'={A_l - A_(l-1), A_(l-1)-A_(l-2), …, A_1-A_0}
とおいておく
P=P'を示したい
P'⊆Pは明らかなので以下、P⊆P'を示す
A-B∈Pをとる

主張1
x∈A-B(≠φ)に対して∃! i(0≦i≦l-1) s.t. x∈A_(i+1)-A_i
∵ xはB(∈L)の要素ではないのでA_0=∩Lの要素ではない
一方でx∈A⊂A_l=A_0+Σ(A_(i+1)-A_i)(非交和)なので
どこかのiでx∈A_(i+1)-A_iである

主張2
A-Bの各要素に対して上のiは同じ値である
すなわち∃! i s.t. A-B⊂A_(i+1)-A_iとなる
∵ もし異なるx,x'∈A-Bで
x∈A_(j+1)-A_j、x'∈A_(j'+1)-A_j' (j<j')であったとする
このときB∪(A∩A_(j+1))(∈L)はxを含みx'を含まないため
B⊊B∪(A∩A_(j+1))⊊Aとなるがこれは仮定B<Aに反する

主張3
A-B=A_(i+1)-A_iである
∵ B<Aを両側に延長することで増大列
(A_0=)A'_0<A'_1<…<B(=A'_s)<A(=A'_(s+1))<…<A'_k(=A_l)
を得るが上と同じ議論によって
∃! j s.t. A_(i+1)-A_i⊂A'_(j+1)-A'_j
しかしA-B(⊂A_(i+1)-A_i)であったからj=sであり
A_(i+1)-A_i⊂A'_(s+1)-A'_s=A-Bとなる


よってA-B∈P'となりP⊆P'が言えた
0094１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 19:51:37.44ID:zwwmn5bh
>>91
(2)を書いてなかったな。答えは「ある」
展開図の扇形の中心角が180°より大きいとき、Lが扇形の直径の一部となるようにとれば平面図形（頂点で折れる折れ線）になる。
0097１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 20:40:16.49ID:jQwhW6Xy
r=4sinθ(π/8 ≦θ≦　π/4)で囲まれた図形の面積
0098１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 21:27:10.14ID:6NEqA37J
>>94
ありがとうございます。
（1）は自明なのに論証の仕方が分からず、（2）に至っては「多分あるんだろうけど例が挙げられない」状態でした。
証明と構成例を示していただきありがとうございました。
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 21:54:41.09ID:ulzRAqcn
えっそれでいいんだ
てっきり
「二直線（軸を全て含む平面で切断）を除く円錐曲線（の一部）は円錐の展開図上で直線になるか？」
って問題だと思ってた
多分ないと思うけど
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