高校数学の質問スレPart406
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【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレPart405
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592497360/ >>942
俺のプログラムだと43個なんだが、どうやればwolframの結果がみれますか？ >>943
前半
Pa(B)をAが起こったときのBの確率P(B|A)の意味と解釈するとベイズの公式により
P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)=0.8*0.6/0.7 >>943
後半
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
0.94=0.8+0.7-P(A∩B)
P(A∩B)=0.8+0.7-0.94=0.56
P(A)P(B)=0.8*0.7=0.56
P(A∩B)=P(A)P(B)なので独立 >>949
>お前は人と話す時に一々、名前を言うか？人と場所と時と場合を選ぶだろ
俺はコテハンをつけろと書いたはずだが
従わない理由を書いてもらおうか
正体がバレているのに隠しても意味ないだろ
コテハンをつけてくれたほうがいろんな人が助かるんだよ
ちなみに後半については別人と勘違いしていると思う
このスレはスレタイとテンプレが全て
>高校数学の質問スレ
>・回答者も節度ある回答を心がけてください。 このプログラムキチガイなんとかならんのか？
自演までしてプログラムネタに持って行く
数学Iも分からないアホがレスを無駄に消費している |x|≦1、|y|≦1のときの
(3+x-2y)(2-x+2y)÷(4-2x-y)(1+2x+y) の最大値と最小値って
高校数学で得られますか？ >>953
これをプログラムでシミュレーションして確認する。
Aに60個の１を40個の０を並べた数列と作る
> A
[1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
[36] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
[71] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Bに48個の１、30個の0, 32個の０を並べた数列を作る
> B
[1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
[36] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
[71] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
>
ABを並べて１００行２列の行列ABを作る
この１００行から無作為にある行を選べば
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 である。条件付確率 P(B｜A) = 0.8のモデルが完成。
１〜１００個の数字から無作為に１０個（１０個でも２０個でも構わないが）選んでその数の行をABから選び、
（A列が１かつB列が１）/（B列が１）の割合を求める。
これを１０万回繰り返すシミュレーションしてその平均をだすと
> A=c(rep(1,60),rep(0,40))
> B=c(rep(1,48),rep(0,30),rep(1,22))
> AB=cbind(A,B)
> colnames(AB)=c('A','B')
> sim <- function(){
+ chosen=AB[sample(100,10),]
+ sum(chosen[,'B']==1 & chosen[,'A']==1)/sum(chosen[,'B']==1)
+ }
> mean(replicate(1e5,sim()))
[1] 0.6857463 >>954
独立な確率変数A,Bを作ってシミュレーション
> A=c(rep(1,80),rep(0,20))
> B=c(rep(1,70),rep(0,30))
> sim <- function() sample(A,1)==1 | sample(B,1)==1
> mean(replicate(1e6,sim()))
[1] 0.940001
> >>956
マウント猿の特徴＝都合が悪いと自演と決めつける >>957
偏微分は高校の範囲でないから無理だと思う。
手書き計算の得意なマウント猿なら可能かもしれん。
俺はまずグラフ作成から開始する。 バカに道具を与えるとロクな事にならない見本だ
アホでもプログラムの入門書を見て打ち込めば答えが返ってくる
それが嬉しくて嬉しくて楽しいんだろ
そして自分が数学が出来ると勘違いする
本当はただのアホなのに マシンガンを使い自分は強いと勘違いした米国大学内無差別大量殺人韓国人の如し >>948
失礼、やはりこの式も間違いで
正しい式は
S=44×9/2-Σ[i=1,9]gcd(i,44)=379/2
ですね
一般の場合
[x]+[2x]+[3x]+…+[nx]= (n(n+1)/2-1)x
の解の総和も
S_n=(n(n+1)/2-1)n/2-Σ[i=1,n]gcd(i,(n(n+1)/2-1))
と書けることが分かります >>957
最大値はx=0,y=-1で無限大だな。 >>964
その式だと明らかに S は整数なので
379/2 = 189.5 にはなり得ないと思いますが…
>>948の式なら - を + に変えれば計算は合いますね >>965
1+2*x+y=0ならどれでも無限大になるのでグラフ作成でエラーがでたんだな。 >>966
すみません、、、誤植です
誤 S=44×9/2-Σ[i=1,9]gcd(i,44)=379/2
正 S=44×9/2-Σ[i=1,9]gcd(i,44)/2=379/2
誤 S_n=(n(n+1)/2-1)n/2-Σ[i=1,n]gcd(i,(n(n+1)/2-1))
正 S_n=(n(n+1)/2-1)n/2-Σ[i=1,n]gcd(i,(n(n+1)/2-1))/2 >>962
円錐の展開図に置いた円や渦巻きを３Dにするプログラムはどこかにある？
ワイングラスを傾けて半量にする問題も自分でグラフを書いてプログラムするのが楽しいぞ。
本にあるコードを書いて喜ぶのはクリック猿だろ。お前はマウント猿だが。
>945で丸め誤差を考慮していなかったからバグが入ったけど、他の人の答と一致しなかったので気がついたよ。 >>968
ありがとうございました。ご指摘の通りです。 >>969
なるほど
ところでどうやって証明するんですか？ >>957
2x+y-(5/2)=a , x-2y+(1/2)=b とすると
{(25/4)-b^2}/{(9/4)-a^2} の最大最小を |2a+b+(9/2)|≦5 , |a-2b+(7/2)|≦5 の条件下で求めればよい。
{(25/4)-b^2}/{(9/4)-a^2}=k とおくと ka^2-b^2=(9k-25)/4 で、これはk=0のとき平行な2直線、k=25/9のとき交わる2直線、それ以外のとき双曲線(いずれもa=±3/2を除く)
|2a+b+(9/2)|≦5 , |a-2b+(7/2)|≦5 で表される中心(a,b)=(-5/2,1/2)、1辺2√5の正方形領域と共有点をもつようにkの最大最小を定めていけばなんとかなるのかな。 >>972
Σ[ab/44]を(1≦a≦9 1≦b≦43)の範囲でとるわけですが
まずaは固定して考えると、これは
y=ax/44という関数とx軸で挟まれた格子点を(1≦x≦43 1≦y≦ax/44)で数え上げたものです
しかし、それは(0≦y≦a 0≦x≦44)という長方形の内部の点と対角線(グラフ上の点)を使って簡単に計算できます
グラフ上の点はax/44が整数になるところなのでgcd(a,44)が出てくるわけです。
それらを後はaで足し上げれば上の公式が出ます >>967
グラフ書くと x=0,y=1 とx=1,y=0で最小値は2/3だな。 >>973間違ってるね。k<0のとき楕円になるのか。何とかなりそうな気はするけどめんどくさいからパス。 >>957
その式の解釈は ((3+x-2y)(2-x+2y)) / ((4-2x-y)(1+2x+y)) で良いの？
これだと境界上に特異点があるから、設問が意味を持たないかも
特に (x, y) → (0, -1) としたときに極限値が存在しない
例えば、その式を f(x, y) とするとき、
x = 0 としてから y → -1+0 とすると、
lim[y→-1+0] f(0, y) = 2
だが、 y = -1 としてから x → 0 とすると、
lim[x→0] f(x, -1) = -1/2
いずれにしても高校数学レベルではないかも >>975
定義域0<=x,y<=1でグラフ化していたので2/3は間違い。 >>974
なんか難しそうですね
よくわからないんですが、>>939とは全く違う方針で計算しているんでしょうか？ >>957
すみませんすみませんすみません
問題に誤りが。
0≦x≦1、0≦y≦1のときの
(3+x-2y)(2-x+2y)÷(4-2x-y)(1+2x+y) の最大値と最小値
でした。
すみませんすみませんすみません。
許してくれますよね。 >>979
同じ方針です、説明少し端折りすぎたかもです
記号を合わせると
S=Σ[1≦r≦43]((45/44)r-f(r/44))
を計算していくわけですが
まず第1項目はΣ[1≦r≦43](45/44)r=45×43/2です
次に第2項目はΣ[1≦r≦43]f(r/44)ですが、
これはfの定義f(x)= Σ[1≦a≦9] [ax]を思い出すと
二重和Σ[1≦r≦43, 1≦a≦9] [ar/44]です
ここで先にこれのrの和
Σ[1≦r≦43] [ar/44]
をとることを考えるわけです
これはx-y平面において直線y=ax/44とx軸とx=44で囲まれる三角形の内部と斜辺上の格子点を数えることになります
この格子点の数は対称性によって
長方形(0≦x≦44,0≦y≦a)の内部の点の数((44-1)(a-1)個)と対角線(=直線y=ax/44)上の点の数(gcd(a,44)-1)を足して半分にしたものと一致します
よって
Σ[1≦r≦43] [ar/44]=((44-1)(a-1)+gcd(a,44)-1)/2
となり、これをaで足し上げて45×43/2から引くと公式が出ます >>982
それならむしろ>>973 , >>967の方針でどこがうまくいかんかったんや？ >>982
それなら、
最大値
> f(1,1);f(0,0)
[1] 1.5
[1] 1.5
最小値
> f(0,1);f(1,0)
[1] 0.6666667
[1] 0.6666667 プログラムで偏微分させたらこんな式になったから、手を出すのはやめた。
> f=expression( (3+x-2*y)*(2-x+2*y)/((4-2*x-y)*(1+2*x+y)) )
> D(f,'x')
((2 - x + 2 * y) - (3 + x - 2 * y))/((4 - 2 * x - y) * (1 + 2 *
x + y)) - (3 + x - 2 * y) * (2 - x + 2 * y) * ((4 - 2 * x -
y) * 2 - 2 * (1 + 2 * x + y))/((4 - 2 * x - y) * (1 + 2 *
x + y))^2
> D(f,'y')
((3 + x - 2 * y) * 2 - 2 * (2 - x + 2 * y))/((4 - 2 * x - y) *
(1 + 2 * x + y)) - (3 + x - 2 * y) * (2 - x + 2 * y) * ((4 -
2 * x - y) - (1 + 2 * x + y))/((4 - 2 * x - y) * (1 + 2 *
x + y))^2 >>983
Σ[1≦r≦43] [ar/44] の値がその領域の格子点の個数に帰着されるのはなぜですか？
対角線(=直線y=ax/44)上の点の数が (gcd(a,44)-1) となるのはなぜですか？ >>939
x = N + r/44, 0≦r<44,
とおくと
f(x) = 45N + f(r/44),
与式から
45N(r) + f(r/44) = 44N(r) + r,
N(r) = r - f(r/44),
これの計算が面倒だが････
N(r) < 0; 0個
N(r) = 0; 1個 (r=0)
N(r) = 1; 1個 (r=1)
N(r) = 2; 2個 (r=2,22)
N(r) = 3; 6個 (r=3,11,15,23,30,33)
N(r) = 4; 28個 (その他)
N(r) = 5; 4個 (r=14,21,29,41)
N(r) = 6; 1個 (r=42)
N(r) = 7; 1個 (r=43)
N(r) > 7; 0個
よって
Σ[r=0,43] N(r) = 168,
Σ[r=0,43] r/44 = 43/2 = 21.5
S = Σ[r=0,43] x(r) = 379/2 = 189.5 >>988
図を考えれば分かりやすいと思うけど文章で書いてみる
直線y=ax/44とx軸とx=44で囲まれる直角三角形の内部と斜辺(ただし端点(0,0)(44,a)は入れない)上にある格子点を数えてみる
まず1≦x≦43なる整数を決め、縦に範囲内にある整数yを探せばよいが
x=r軸上において、縦の範囲は1≦y≦ar/44となるから、この軸上には[ar/44]個の格子点がある
結局、範囲内すべての格子点の数はΣ(1≦r≦43) [ar/44]に一致する
端点を除いた斜辺上における格子点は(1≦x≦43)の範囲で直線y=ax/44に乗っている格子点(x,ax/44)であるが
ax/44が整数になることためにはxが44/gcd(a,44)の倍数でなければならない
1≦m×44/gcd(a,44)≦43となるmは1,2,…,(gcd(a,44)-1)なので、
結局、端点を除いた斜辺上にはgcd(a,44)-1個の格子点がある ところでm=(1+2+…+n)-1、δ(x)=1/2-x+[x]としたとき
Σ[1≦x≦n,1≦y≦m]δ(xy/m)=Σ[1≦x≦n]gcd(x,m)/2
とキレイに書けるけど何かいい説明あるんかな >>990
はーなるほど
Σ[1≦r≦43] [ar/44] を直接計算するのは面倒でも、
格子点の個数と考えれば長方形の面積として簡単に計算できるんですね
ありがとうございます >>991
よく考えたら
Σ[1≦y≦m]δ(xy/m)=gcd(x,m)/2
が成り立ちますね
証明は先の長方形と対角線上の格子点を数える方法で出来る プログラムキチガイが無理矢理議論に参加しているのが笑える
早く死ねばいいのに １辺の長さ１の正７角形の高さの厳密解を求めたら
こんな式になってしまった。もっと簡単にできるかもしれん。
(sin(2*pi/7)/((1 - cos(2*pi/7))^2 + sin(2*pi/7)^2) - (cos(4*2*pi/7)*sin(2*pi/7))/((1 - cos(2*pi/7))^2 + sin(2*pi/7)^2) - sin(4*2*pi/7)/((1 - cos(2*pi/7))^2 + sin(2*pi/7)^2) + (cos(2*pi/7)* sin(4*2*pi/7))/((1 - cos(2*pi/7))^2 + sin(2*pi/7)^2)) >>996
あんたも手計算して参加すればいいのに。
wolfram使って確認する人もいるし
俺みたいに自作プログラムでカウントする人間もいる。
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