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一般人が数学を理解するのは無理

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0554No Truth
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2021/01/26(火) 19:39:57.85ID:KR+iv+rQ
>>551
ああ、ＭＳ氏の件で
それはわかるけど、数学が分からないからイラつくというのとは違うな
0555No Truth
垢版 |
2021/01/26(火) 19:40:54.33ID:KR+iv+rQ
>>552
＞代数幾何学とか超面白いんだが
どこが？
0556１３２人目の素数さん
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2021/01/26(火) 19:48:23.28ID:k4xKSFc3
一般人に数学を説明する方法

① 自己紹介する（重要）
② 黒板に「X = A」と書く
③ 「厳密な定義は割愛します。このXは分かりにくいものです。一方Aは分かりやすいものです。実はXはAだったんです」

これですべての定理を説明可能
0557その筋の者
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2021/01/26(火) 20:12:00.05ID:KR+iv+rQ
じゃ、マネしてみるｗ

①ども、○○大学数学科を首席で卒業した人と一緒に卒業したその筋の者です
②黒板に「0.999…=1」と書く
③厳密な定義は割愛します。0.999…は分かりにくい。1は分かりやすい。
　実は0.999…=1だったんです！

これであのＡ氏が納得するなら、苦労はないよね
0558１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 10:40:15.57ID:uEyxN0uL
>>555
スキームとか面白いやんけ
0560１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 11:19:23.56ID:U7SRV5wp
自称「数学が好き」だけど、研究はできないタイプ
既に整備された理論や上手いやり方がある問題には興味を持つが、具体的な研究課題を発見できず、どんどん同僚に追い抜かれて自分は崩れる奴

「スキーム論」が好きな奴ってのは特にその傾向が強い
まずスキーム自体、代数幾何に必須なわけでも、考えられる問題を拡げるわけでもなく、そこに新しい問題もない
だからスキームが好きな奴は着眼のセンスが悪い

というか、日本では代数幾何や数論幾何が持て囃されることが多く、
「スキーム論」に興味を持ってる奴の多くは、実際には数学の理論に興味を持っているわけではなく、
ネット上で聞きかじった情報に対して漠然としたイメージを持っているに過ぎない
0561１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 11:24:27.43ID:AjehV5p2
ここの奴らは研究課題を発見できないどころか、院試にすら通らないよ
0562１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 12:02:51.66ID:OqODGIKV
>>560
研究できないっていうエビデンスは？
0563１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 12:11:05.58ID:VUKZ/OMp
よし、昼食は海老天丼にしよう
0564１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 12:12:50.01ID:ohsZKtsD
>>560
そもそも、研究以前に理解が怪しい

A:代数幾何学とか超面白いんだが
B:どこが？
A:スキームとか面白いやんけ

定義が「面白い」といってる時点で分かってない感がありあり

何が面白いか尋ねられたとき、わかってる人なら定理を挙げる
そして、その定理の証明にスキームが必要なら、
どこで使われるか、なぜそれが必要か、を説明する

ID:uEyxN0uLは
「おまえ、ただスキームっていいたいだけちゃうんけ？」
といわれても、一切反論できないと思われる
0565１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 12:18:00.46ID:Fufs66NK
代数幾何学よりも数論幾何学のがいいぞ
0566１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 12:54:53.05ID:kwJYN4wG
スキーム論大好きおじさんって、実数論大好きおじさんと同じだよね
その先にあるものが重要なのに、教科書の最初の数ページをいつまでもやってる
0568１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 13:19:49.25ID:qmQnD3R/
数論幾何学が一番難しいんだから、一番面白いのに決まってる
0570１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 15:02:03.38ID:qmQnD3R/
スキームはあかんだろ
それよりも数論幾何学やれよ
おまえらでは理解できないか？
0572歩く目
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2021/01/27(水) 15:10:05.01ID:ohsZKtsD
>>566
こんな感じかな？

A:実数論とか超面白いんだが
B:どこが？
A:切断とか面白いやんけ

無限小数は、有限小数の集合の切断として定義できる
以下F＝有限小数の全体集合
切断（A｜B)で、Aは下界、Bは上界　
A∩B＝φ　A∪B＝F
1
=((-∞,1]｜∪[1+1･10^n,∞])
　0.999…
=(∪[-∞,1-1･10^n] | [1,∞))
　3.14…
=(∪([-∞,3],[-∞,3.1],[-∞,3.14],…)|∪([4,∞],[3.2,∞],[3.15,∞],…))

なるほど・・・おもしろい！
0573１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 15:35:41.73ID:qmQnD3R/
おまえらバカだから代数幾何学も実解析も分からんだろ
0574繊維の束
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2021/01/27(水) 16:28:29.51ID:ohsZKtsD
>>573　そもそもファイバー束がわからんっ

S^1のS^0束でS^1×S^0（アニュラスの境界）とS^1（メビウスの帯の境界）のの二つがある

同様のことをS^2のS^1束で考える
この場合実は無数にある

全くひねらないと　S^2×S^1
一回ひねりだと　　S^3
二回ひねりだと　　RP^3
さて三回ひねり以上だと？

答えはＣＭの後で！
0576１３２人目の素数さん
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2021/01/27(水) 18:56:39.49ID:dq7HMCKy
なら、代数学やれば？
0578１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 06:27:25.83ID:leLkLnxa
ハーツホーンって、そんな偉大なの？
0579１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 09:46:05.24ID:4h3u6dkm
5chには教科書マニアしかいない
環論の初歩も知らないのにハーツホーンハーツホーン言ってるような奴
0580１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 16:01:37.02ID:PwL/CCCs
ハーツホーンは、それだけ偉大なんですね
0582１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 16:44:04.86ID:6yaPvhT8
マンフォードはあかんやろ！
0583１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 17:56:05.09ID:cuveW7P8
Red Bookは「Mumfordが書いた」という以外に何ら評価すべき点を見出だせない
0584１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 17:59:35.76ID:cuveW7P8
Red Bookと、Eisenbud & Harrisの"Geometry of Schemes"は、なぜか評価が高いが、研究には何の役にも立たない

最初からHartshorneを読んだ方がいい
0586１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 18:03:43.63ID:cuveW7P8
一応、誤解のないように言っておくと、これらの著者に恨みがあるわけではない
0588１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 18:25:48.60ID:UReuhA/P
代数幾何学なら、上野のがいいだろ
0589１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 19:00:07.19ID:l4O8NwDQ
代数幾何学の「使えない」教科書の特徴は、「可換代数の幾何学化」に膨大なページを費やしており、その反面有用な結果がほとんど解説されていないこと
初学者（しかも代数学が得意な学生）にとっては、これは何か面白いことをやっているみたいに見えてしまうのが余計にタチが悪い
冷静に考えれば分かるが、そういう教科書で実質的に扱われているサブジェクトは、たとえばGriffiths Harrisの0 - 2章の半分にも満たない
これは、実数の連続性の言い換えを数百ページにわたって論じているくせに、多変数の結果が全く載っていない解析学の教科書のようなもの
0590１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/28(木) 19:04:38.58ID:UReuhA/P
ハーツホーンは、ロバート・ラザー賞受賞してるから宇宙人だぞ
0591１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 19:25:06.57ID:Ec1eR5rL
>>585
これが「良くない本」のあとなのか「良い本(ハーツホーン)」のあとなのか分からない
0593１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/28(木) 19:38:14.10ID:Ec1eR5rL
>>592
そもそも広中森はハーツホーンの前に読む難易度だと思っていたが
0595１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 21:21:31.79ID:l9nrgcmp
そもそも数学を理解できたら
その人はもう一般人ではないね
0596１３２人目の素数さん
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2021/01/28(木) 22:11:12.94ID:0oaVvnUa
環と加群の局所化、代数のテンソル積
Noether環上の有限生成加群、中山の補題
整拡大、離散付値環

スキーム論に入る前の可換代数の知識はこれくらいで十分
Krull次元とか平坦性とか完備化とかは必要になったときやればいい
1次元Noether局所環は、正則性と整閉性が同値であることを理解することを目標にする

代数幾何は最初からスキームでやればいい
今どき、素イデアルが点だと混乱する学生などいないだろう
どうせ、スキームが集合としては素イデアルの集まりであることなどすぐに忘れるのだ

・連接層
・ファイバー積
・因子
・Kähler微分
・射影スキーム

これらをとっとと導入すべし
極めて基本的な道具だから
adjunction formulaのような有用な道具はどんどん使っていく

層係数コホモロジーは、導来関手の一般論を認めて単射分解を用いて定義すればよい
射影空間のコホモロジーを手計算するためにČechコホモロジーもやる
Serre dualityの証明はHartshorneに丸投げすればいい
スペクトル系列も、ホモロジー代数の教科書にまかせるか、演習問題にでもしておけばいい

で、何か具体的な応用をやる
小平-スペンサー理論とか、曲線のJacobi多様体とか、代数曲面の分類とか
0597１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 00:04:25.44ID:ui2odTbD
こういうたたき台みたいな指針があると
代数幾何も勉強しやすくなりますよね
0598１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 05:47:45.01ID:fpBfZ5pC
代数幾何学が数学の中で一番難しいんでしょ？
0599１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 06:15:38.23ID:Q9OtMHs1
>>596
>小平-スペンサー理論とか
それってなんすか？

>曲線のJacobi多様体とか
それってなんすか？

>代数曲面の分類とか
それってなんすか？

具体的に説明オナシャス
0600１３２人目の素数さん
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2021/01/29(金) 07:44:10.07ID:Q9OtMHs1
スキームって要するに
複素数体上で構築された理論を
より一般の体上で展開するために
構築された概念だとおもってるんだが違う？

だからスキームの学習と、
従来の複素数体上の理論の学習は
並行できるとおもってるんだが違う？
0601１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 07:44:12.29ID:ui2odTbD
そんなのググれば書いてある
まずは上記の指針にそって
代数幾何の基礎を学んでみては？
ここで他力本願は歓迎されんよ
0602１３２人目の素数さん
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2021/01/29(金) 07:49:08.04ID:Q9OtMHs1
>>601
つまりあなたも分かってないってこと？
分かってないなら書き込みしなくていいよ
分かってる人だけに尋ねてるから

＞ここで他力本願は歓迎されんよ
なに悔しがってるの？　精神患ってる？
0603１３２人目の素数さん
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2021/01/29(金) 07:51:39.29ID:Q9OtMHs1
質問に発狂するのは馬鹿の証拠だよな
0604１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 07:56:33.09ID:Q9OtMHs1
じゃ、質問
Maurer-Cartanの微分形式が、対数微分の一般化というのはホント？
0609１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 08:57:40.55ID:785V+uzY
スペクトル系列全然覚えられない
定義は載っていても具体例載ってない
0614１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 10:12:43.30ID:KLVW+vON
>>596
> スキーム論に入る前の可換代数の知識はこれくらいで十分
それだけでもアティマクの最後の2章除いた分量だけどね
0615１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 10:27:55.32ID:DWQk7xhe
だから早い話EGAの英訳が無料公開されれば良いのにね
そうすればハーツホーンやら上野やらRed bookやら読まなくて済む
0616１３２人目の素数さん
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2021/01/29(金) 10:50:03.56ID:Q9OtMHs1
>>613
君がな　素人君
0617１３２人目の素数さん
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2021/01/29(金) 11:57:45.10ID:Q9OtMHs1
今読んでる漫画に出てきた問題

「Mを、R^3から互いに交わらないｎ本の直線を除いたものとする
　このときMのド・ラムコホモロジーを計算せよ」
0621１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 12:15:02.36ID:vzTMX4dN
そういうこと
0624１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 12:30:26.71ID:rfTJdXfm
というわけで、定義から勉強していこうとオモイマス

X, Yを位相空間とする
連続写像

f, g: X → Y

がホモトピックであるとは、連続写像

H: X × [0, 1] → Y

が存在して

H(・, 0) = f
H(・, 1) = g

が成り立つことである。
0626１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 12:33:15.99ID:rfTJdXfm
X, Yを位相空間とする
XとYがホモトピックであるとは、連続写像

f: X → Y
g: Y → X

で、

g ○ f ～ id_X
f ○ g ～ id_Y

が成り立つことである。
ここで、id_・は恒等写像、～はホモトピックであるということ
0627１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 12:40:02.11ID:rfTJdXfm
あ、写像がホモトピックであることは、同値関係である

f ～ fである
∵
H(x, t) := f(x) ∀t
とすればいい

f ～ g ⇒ g ～ f
∵
H(x, t)により、fとgがホモトピックとする
H'(x, 1 - t)により、gとfはホモトピックである

f ～ g、g ～ h ⇒ f ～ h
∵
H(x, t)がf ～ g、H'(x, t)がg ～ hを導くとすれば

H''(x, t) := H(x, 2t) (0≦t≦1/2)、H'(x, 2t - 1) (1/2≦t≦1)

がfとhをホモトピックにする。□
0628１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 12:41:06.10ID:rfTJdXfm
同様に、X, Yがホモトピックであることも同値関係であるから、X～Yと書くことにする
0630１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 12:53:04.44ID:rfTJdXfm
R^Nは可縮である
∵

p = (0, ..., 0)∈R^Nとする

f: R^N → {p}
g: {p} → R^Nは包含写像とする

f ○ g ～ id_{p}は明らか

H: R^N × [0, 1] → R^N

で、

H(x, 0) = f(x)　（f(x) = p (∀x))
H(x, 1) = id_R^N

となる連続写像Hが存在することを示せばよい。

H(x, t) = tx

とおけばよい。□
0632１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 13:05:27.00ID:rfTJdXfm
標準n単体とは

Δn := {(x1, ..., xn)∈R^N | 0 ≦x1≦...≦xn≦1 }

を満たすR^Nの部分集合

Δ0は1点
Δ1は線分
Δ2は三角形
Δ3は四面体
...
0633１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 13:13:48.49ID:xHTkncI8
>>625
nice job!
This should be used by all algebraic geometry courses in creation.
0634１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 13:14:42.71ID:rfTJdXfm
X: 位相空間
Xの特異n単体とは、標準n単体からの連続写像

σ: Δn → X

のことである
0635１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 13:21:24.17ID:rfTJdXfm
Xの特異n単体を生成元とする自由アーベル群を

C_n(X)

で表す。C_n(X)の元を特異nチェインという。
0637１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 14:12:28.95ID:rfTJdXfm
Δn: 標準n単体
σ: 特異n単体

e_0, ..., e_n∈ΔnはΔnの頂点、つまり

e_0 = (0, 0, ..., 0, 0)
e_1 = (0, 0, ..., 0, 1)
e_2 = (0, 0, ..., 1, 1)
...
e_n = (1, 1, ..., 1, 1)

とする。Δnは、標準n-1単体に同相なn+1個の面を持つ。つまり

[v_1, v_2, ..., v_k]で、 λ_i v_i (買ﾉ_i = 1, λ_i≧0)を表す（つまり、v_1, v_2, ..., v_kで囲まれる領域）とすれば、

[e_1, e_2, ..., e_n]
[e_0, e_2, ..., e_n]
...
[e_0, e_1, ..., e_n-1]

である。
0638１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 15:07:16.22ID:rfTJdXfm
σ: 特異n単体
e_0, ..., e_nを標準n単体Δnの頂点とする
↑で述べたΔnの各面は同相写像により、標準n-1単体と思うことにする

σ_i := σを[e_0, ..., e_i-1, e_i+1, ..., e_n]に制限したもの

とする。

境界準同型

∂_n: C_n(X) → C_n-1(X)

を、特異n単体σに対して、

∂_n(σ) := 納i = 0 to n] (-1)^i σ_i

で定める。
0640１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 15:51:41.02ID:rfTJdXfm
>>639より

Im(∂_n+1) ⊂ Ker(∂_n)

である。

Z_n(X) := Ker(∂_n)を特異nサイクル
B_n(X) := Im(∂_n+1)を特異nバウンダリ

といい、それぞれC_n(X)の部分群である。剰余群

H_n(X, Z) := Z_n(X)/B_n(X)

を、Xのn次ホモロジー群という。
0641１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 16:44:57.03ID:W1N6w+FM
今の時代、非可換幾何学だべ
0645１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 18:11:21.67ID:JH3glB18
>>642
本質を理解しているのならわかりやすく説明できるはずだ
しょせんは文章をなぞっているだけ
0647１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 18:14:09.87ID:vzTMX4dN
コホモロジーてのはホモロジーの双対概念だ。まずは、ホモロジーから始めることだ
0648１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 18:17:21.21ID:Q9OtMHs1
>>644-645
ここに簡単な説明があるよ
これ読んでどこがどう分からないか教えて

「円周において角測度に対応する 1 次微分形式 ω を考える。
　円周は 1 次元の多様体であるから dω = 0 である、すなわち閉形式である。
　一方で ω = df となるような円周上全体で定義された微分可能関数 f は存在しない。
　なぜならそのような関数にたいし df を円周上で積分すると微積分学の基本定理から 0 になるが
　ω を円周上で積分すると 2π になるからである。
　このことから ω は閉形式であるが完全形式ではないことがわかる。
　このように一般の多様体においては閉形式が完全形式であるとはかぎらない。」
0649１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 18:30:32.11ID:ShuANVBk
エタールコホモロジーって、なんなん？
0650１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/29(金) 18:49:48.21ID:v/rKjVE/
X, Yを位相空間
f: X→Yを連続写像

C_n(X) → C_n(Y)が
σ → f ○ σ

で定まる。この写像により

Z_n(X) → Z_n(Y)
B_n(X) → B_n(Y)

が定まり、

H_n(X, Z) → H_n(Y, Z)

が定まる。
0653１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/30(土) 11:26:07.03ID:KPhtlP31
コホモロジーは小学生で理解した
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