大学学部レベル質問スレ 14単位目
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幾何学の対称モノイダル圏と基礎論の対称モノイダル圏とでの共通認識って何だろうね。 >>690
ちなみに、
domMPは
｛〈x,y〉∈F×F;∃z(〈x,y,z〉∈MP)｝
のつもりです やっぱりCP^n^n→CP^nは固定点ないinvolution持てないな
(∵) まずC^∞のときを考える
固定点持つものがあるとして f : S^2n → S^2n をその持ち上げとする
この時任意のS^(n+2)上の点pに対してf(p)≠±pであるからpとf(p)を結ぶ大円の劣弧が一意に決まる
この経路の定める接ベクトルX(p)を考えれば全ての点で0にならないベクトル場が定まるがつむじの定理に矛盾する
http://physmathseminar.web.fc2.com/discourse/2016/spring/ochanomizu-sp_abst/ocha_hori.pdf
一般の場合は十分小さいεでε近似したC^∞級の関数fεに対し必ずf(pε)=±pεを満たすpεが取れるが{pε}の集積点pがf(p)=±pを満たす MathJaxについての質問。(Javascript質問系のスレは大分更新されてないので)
MathJax ver3で使える、機能豊富な可換図式描画ライブラリって何がある？ すまん>>685です
自分が持ってると思ってた証明間違ってた
というわけで私初等的な証明持ってません
wikiに載ってるwhitney class関連の公式全部認めれば>>593が正しいのは確認できるけど
やっぱりコレ初等的に示すの難しい希ガス 自分で正しいと思ってる(black boxだらけだけど)>>593の証明
thm
CP^n がzero cobordant iff n : odd
lem
cp^n の最高次のwhitney number ≡ n+1 (mod 2)
(∵) 一般に最高次のwhitney number ≡ euler 標数 (mod 2) であるが、
β_i(CP^n) = 1 (if 0≦i≦2n, i:even)
. 0 (otherwise)
より主張は従う
lem
i≦m ≦ n に対して自然な埋め込みの誘導するH^i(CP^n,Z/2Z)→H^i(CP^m,Z/2Z)は単射
(∵) iが奇数なら両方ゼロだからiは偶数として良い
この時両方一次元だから0でない事をしめせばよい
そのためには誘導されるホモロジー群の準同型が0でない事を示せば良い
埋め込みの像はF=“[x0,x1,‥,xm,0,‥,0]の全体“でこれは“G=[0,‥,xm,‥,xn]“の全体と一点で交叉的に交わるのでFとGのコホモロジー類はともにゼロではない
(thmの証明) nが偶数のとき補題より最高次のホイットニー類が0でないのでzero cobordantではない
nが奇数とする
最高次のホイットニー類は補題より0
2n=i1+i2+‥+ikを2nの分割としてn
が奇数だからいずれかは奇数、または4の倍数でない偶数
iが奇数のときi次のホイットニー類は0
i=2m、m奇数のときi次のホイットニー類wiを自然な埋め込みでCP^mに引き戻すと補題により0
しかしこの引き戻し写像は単射であったからwiは0 TeXで
https://i.imgur.com/mxdvbah.png
このような連分数のような図式を書く方法を教えて下さい >>699
訂正 MathJaxでの書く方法を教えて下さい >>698
いろいろとありがとうございます
特性類はミルナーの本で勉強しながらですがホイットニー数が全て0になればゼロコボルダントという結果を認めれば言える事は理解できました
ただその証明はかなり難しいみたいですね
あと>>693の証明についてですがCP^n→CP^nがS^2n→S^2nにリフトされるというのはすぐ分かることでしょうか？
S^2n+1からCP^nの射影しか知らずどう構成するのかが >>702
π : S^2n→CP^nはcoveringなんだから任意の弧状連結空間Xからの連続写像 f : X → CP^n は X → S^2n に持ち上がるでしょ？
HLPとかいうやつ >>703
被覆S^2n→CP^nがどう取れるのかで詰まってます
実の時と同じように考えるとC^n+1での球面S^2n+1からの射影しか得られなくて ごめん
弧状連結じゃなくて単連結
一般にXが単連結、Y→Zが被覆写像ならg:X→Zはf:X→Yに持ち上がる
適当にx0を固定して各xごとにpath μ:x0→xを選んでおく
それとg(x0)の持ち上げy0も選んでおく
gはコレをg(μ):g(x0)→g(x)にうつすけどこのパスはY→Zがcoveringならこのパスはy0→yに持ち上がる
この終点をf(x)と定める
パスの選び方によらないのは別のパスμ'でやるとμ^(-1)μ'はループになるけどXが単連結ならこのループはある特異2単体の境界
この特異2単体ごとYに持ち上がるのでμの持ち上げの端点＝μ'の持ち上げの端点になる イメージを作ろうとすると頭が痛くなる
しないと頭が悪くなる >>703
CP^nのidentityはCP^n→S^nに持ち上がるか >>703
>π : S^2n→CP^nはcovering
じゃないが >>703
だから訂正してるやん
Xは単連結でないと持ち上がらん
>>703
すまん
そこは間違い
ちょっと修正できるかみてみる あぁS^2n→CP^nはつむじの定理でCP^oddの固定点なしのinvolutionの時に使ったやつだな
結果は合ってると思うんだけど 少なくともn=1の時、つまりリーマン球面の時固定点ないinvolutionないのはつむじの定理そのままやな ダメだ
やっぱりCP^oddが固定点持たないinvolutiomもつか持たないかはそんなに簡単には答えられそうにない
というわけで>>693は撤回します
とは言えじゃあCP^oddが必ずそう言うinvolution持つのかも答えられないし
その上の方でできたってやつもちょっとおかしいみたいだし >>709
>Xは単連結でないと持ち上がらん
CP^nは単連結だが >>714
あ、いやそうだな
すまん
Fiberingとcoveringがごっちゃになってる
忘れてくれ 結局今のところCP^oddがゼロコボルダントの初等的な証明は今のところないのは合ってる？
上の方にある証明はm=0の時成り立ってないとおもうけどそれ以外ではいけるとかある？ イヤ違う
jかける作戦うまく行くのか
{ x ∈ H^n | |x|^2 = 1 }
をG = { z | |z| = 1 }の右からのactionで割るとき、j倍の作用も右からかければいいのか
通常右で割った加群には右側加群の構造は期待できないけど今は「商空間に作用できるか」しか問題にしてないから右から作用させられるんだ
実際(Yk) = (Xk) cis(θ) (Xk),(Yk)∈H^n が等しい右側G軌道にある)とき
(Yk) j = (Xk) cis(θ) j = (Xk) j cis(-θ)
により(Xk) jと(Yk) jは等しい右側G軌道にあるからこの右側 j 倍作用はwell definedなんだ
しかもXk=0である場合を除いて(Xk) j = (Xk) cis(θ)となるθが存在することもない
吊ってくる アレ？
これCP^evevでも通用してしまう？？？ イヤ違う
n:evenならC^(n+1) = H^(n+1)/2 がそもそも無理なのか
お騒がせしました >>702
>S^2n+1からCP^nの射影しか知らずどう構成するのかが
CP^nの単体分割は
e^0∪e^2∪e^4∪…∪e^2n
おそらく
i:e^2n⊂CP^n⊂CP^∞:[z1:…:zn:1:0:…]
と誤解している 解析(でも何でもいいが)で、x^yはしょっちゅうでてくるのに、何でx^(y^z), x^(y^(z^w))ってほぼ現れないんですか？ >>721
ラムゼイ理論とかやるとしょっちゅうあらわれる >>722
ラムゼイ理論のおすすめの本ってありますか？ 論理って一階述語論理だけやればいいですか？高階論理ってやる意味ありますか？ >>724
集合論、従って純粋数学の殆ど(？)は一階述語論理で出来る >>725
それなら一階述語論理で十分みたいですね >>724
グラフ理論は単項二階論理が必要だったりする 語彙L＝{∈}に対する構造∈-モデルって声に出すときなんて言えば良いですか？ 群Gはその部分群Hによって左剰余類に関する類別が得られることは成り立ちますが、
その逆で群Gのとある部分集合Sと、Gの任意の元gを使ってgSによってGの類別が可能ならばその部分集合SはGの部分群であることは成り立つのでしょうか？ >>730
Sは部分群とは言えないのですね。
となるとGを類別できるような部分集合Sはどういった条件になるのでしょうか…？ >>729
例えばHを部分群,g∈G＼H, S=gHとすれば反例 >>731
>Gを類別
じゃなくて聞きたいのはG作用のある類別だろ？ 類別というのが
関係g〜hをg^(-1)h∈Sで定義したとき同値関係になるということなら
確かにSが部分群であることが必要十分だな G作用がある類別でeを含む類のイソトロピー群Hを考えたら？ 類別と言うのが良くなかったかもしれません。
G＝{0,1,2,3,4,5}演算.はmod6の加法で、
S＝{2,3}とするとき、
G.S＝{{2,3}{3,4}{4,5}{5,0}{0,1}{1,2}}
となり、中の集合の要素に重複がありますが、
S＝{1,4}とするとき、
G.S＝{{1,4}{2,5}{3,0}}
と、Gの要素が被りなく分けられましたが、S＝{1,4}は部分群ではない
という感じのが例になります。
もちろん、
S＝{0,3}のときのSは部分群なので
G.S＝G/S＝{{0,3}{1,4}{2,5}}
と類別されます。
今回はZ/6Zの例ですが、一般的にGが被りなく分けられるSの条件が気になりました。 G=∪giS(g0=e)でgiS∩gjS≠ΦならgiS=gjS
ということかな
それでも同じで
eがあるgiSに含まれるけど、そこが部分群になってることが示せて、結局これはその部分群による左類別になってる >>738
まさしくその条件でした
つまり、S＝{1,4}は部分群ではないけど、0が含まれてるgiS＝2.S＝{3,0}が部分群になってるので結局類別されるということでしたか…
この場合は群Gの部分集合Sによる類別と呼ぶのではなく、前の方がおっしゃるようにG作用のある類別などと呼ぶのが適切なのでしょうか fをR^n上の滑らかな関数でf'(p)≠0とします。
このときpの近傍Uと、R^nの開集合Vと、微分同相g:V→Uを、
f(g(x_1,...,x_n))=x_nとなるようにとれることの証明を教えて下さい。 >>739
自分も今回聞かれて気づいたけど
G作用をちゃんと考えておかないと
ただG=S ∪ gS ∪ g'S ∪…(disjoint)
とするだけなら色々作れるね
例えばZ/4Z={0,3} ∪ 2{0,3}
もっというとGの部分群Hの右剰余系G=∪Hgi (g0=e) から代表higi∈Hgiを選んできて
S=∪{higi}とおけば類別G=∪hS(h∈Hを動く)
が作れる >>741
R^n の座標の内 ∇f 方向に一致しない n-1 個を x_1〜x_{n-1} として
F : R^n → R^n を F = (x_1, 〜, x_{n-1}, f ) とすれば局所同相だから逆関数を
g = F^(-1) とすれば良い >>743
ありがとうございます。
でもこれでf(g(x_1,...,x_n))=x_nとなる理由をもう少し詳しく教えてほしいです。
n=1ならわかりますが、、、 F(g(x_1,...,x_n)) = (x_1,...,x_n)
F = (x_1, 〜, x_{n-1}, f ) >>743
>R^n の座標の内 ∇f 方向に一致しない n-1 個を x_1〜x_{n-1} として
各点の接空間の中に取るの？
大域化するにはどうする？ >>745
ありがとうございます！理解できました！ 「平面上の点(0, 2)を通る直線の族が満たす微分方程式を求めよ」みたいな問題がありますけど、
求めた微分方程式は何かに使えるんですか？ G_nを複素n次元グラスマン多様体，Eをその標準複素ベクトル束γ^nの全空間，
E0をEからゼロセクションにあたる部分を除いたものとし
f:E0→G_n-1，(X,v)→(Xの中のvの直交補空間)
がコホモロジーの同型を導くことの証明の中で
fの有限次元への制限
f_N:E0(γ^n(C^N))→G_n-1(C^N)
が次元が2(N-n)以下でコホモロジーの同型を導くことから
Nを無限に飛ばした帰納極限ではfが全ての次元でのコホモロジーの同型を導く
という議論がありますが，これはなぜ言えるのでしょうか？
帰納極限で一般に成り立つことではなく，f_Nがfの中のCW複体として低い次元のところを
全部含んでしまっているみたいな事を使っているのでしょうか
ご教示下さい
(ちなみに出典はMilnorの特性類の本のth14.5です) >>753
コホモロジー関手がcolomitをlimitに移すからじゃね
lim[i] H(Xi) ＝ H(colim[i] Xi) 「代数体」の定義として「有理数体の有限次拡大体」を採用した場合と「有理数体の有限次拡大体と同型な体」を採用した場合に違いはありますか？ >>754
そのことが一般に言えるんですか
ホモロジーがcolimをcolimに移すことは見るもののそっちは見たことがなくて
一般には言えないのかと思っていました
特異コホモロジーで書いてあってその結果が載っている本とかってないでしょうか >>758
幾何だと何に載ってるのかな？
オレは代数畑で代数圏の教科書で勉強したけど
carl faithのalgebra I
まず空間Xiに対して特異単体はTop(S^*,X)でS^*がコンパクトであることからこの関手をTop→Setとしてcolimと可換
Free関手S→ZSもcolimと可換だから合成したTop→Abも桶
termeiseにcolomと可換だから^*を走らせてTop→C(Ab)も桶
最後のC(Ab)→Abがちょい難しいけどココも桶
よって特異単体ホモロジー関手H_:Top→Abはcolimと可換
Ab(-,Z)を途中で挟んでH^:Top)→Ab^opはcolimをlimに持っていく
多分難しいのは最後の→のとこ
すなわち
定理
‥Xi3→Xi2→Xi1→Xi0→0
がコチェインの族である時
H_j(colim[i]Xi_) = colim[i] H_j(Xi_)
初等的には第0項が同型になる事を示して‥です >>759
ありがとうございます
ホモロジーの時と変わるのはAb(-,Z)あてて反変した後の最後のとこですよね
代数苦手なので読めそうなものをもうちょい探してみます >>754
一般に言える？
2;Z->ZつなげてcolimはZ[1/2]
dualも2:Z->Zだけどlimは0 >>262
cokernelはA→Bの図式のcolimではないよ
A→B
↓
0
の図式のcolim片方が0のpushout
(-,X)で片方0のpullbackにうつってkernelになる 連立漸化式や積分方程式に解があるとか代数的に解けるとかの判断基準ってあるの？ 「問題が解ける」ならまだしも「作れる」って余計なことしてるだけじゃないですかー ここにいる方々って
数学科卒のバックグラウンド持ってる人達ばっかなんですか？
他の分野から来て数学を研究又は学んでる人いますか？ >>770
ゴミ文系卒した所で何の意味にもならんやろ、せいぜい｢卒業した｣って言う箔だけ >>771
実際氷河期で新卒チケット無意味だったよ。 外積代数って微分形式を定義するのに使う以外に用途ありますか？ 微分形式のアナロジーだけど、可換環上の加群に対して外積代数を定義できるので、相対微分(ケーラー微分)の理論などに用いられる 異なるレートパラメーターを持つ異なる指数分布からn個のサンプルが与えられた場合、特定のサンプルが最小である確率は、
そのレートパラメーターをすべてのレートパラメーターの合計で割ったものに等しくなります。
↑
これについて説明があるサイトをご存知の方いませんか？ ちょっと違うけど
http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/ExponentialM.pdf これを参考にしたら、あなたの求めたい論証がすぐに得られるはず >>774
外積代数の動機はほぼ広い意味での微分形式ですか？ >>776-777
これは大変にありがたい
考えてみます
ところで>>775では「最小」になっていますが、「最大」側も同じことが言えるでしょうかね？
言えるのだろうと思っていて、「極値」について対称性があると思っているのですが >>777
https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution
のDistribution of the minimum of exponential random variablesにちゃんと書いてありますね
どうやら最大値のほうは違うみたいですね >>778
動機？？
じゃ
多項式環の動機って何？ >>778
外積代数はグラスマン多様体を利用したもの
グラスマンのアイデアをたどれ 動機がないとわからないのは少なくともその分野は向いてないんだろう、他の分野をやった方がいいと思う
もとより隣接分野の知識やアイデアを仕入れてるだけならまあ頑張れ >>785
調べてみます
>>786
使う以前に何に使えるのか分からないと・・・ >>788
>使う以前に何に使えるのか分からないと・・・
じゃあ
悩まなくてイイよ >>789
多項式環が分からないレベルの人はいらないです... ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
