大学学部レベル質問スレ 14単位目

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/15(水) 05:27:54.74

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 13単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1577771353/

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/15(火) 15:11:33.79

>>950
何で分からんの
稠密性を示すときの議論を見れば言えるでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/15(火) 17:24:52.80

>>952 それって鳩の巣論法ですよね。
単位円周をN分割すると、zₖ は 1≦ k ≦ N のどこかで端っこの鳩の巣に落ちる。
つまり zₖ∈Arc[1] または Arc[N]
z∈Arc[m] (1≦ m ≦ N) の時、 n = m*k または (N-m+1)*k とすれば |z-zₙ| ≦ 1/N となる。
ここからどうにかなるのでしょうか？ほんと分からないので教えてください。

もし c/n ≦ 1/(n² |z-zₙ| ) のように絶対値で下限を抑えられたとしても交代級数的な収束は排除できませんよね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/15(火) 17:29:53.06

誤: |z-zₙ| ≦ 1/N となる。
正: |z-zₙ| ≦ 2sin(π/N) ( ≒ 2π/N ) となる。

**943** · 2020/12/15(火) 17:48:38.14

>>950
これを示すことか、示した後か、どっちが分からんのだ？
後の方なら平均が n なら逆数の和は全部が平均値の場合より大きくなるぞ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/15(火) 18:25:35.97

>>955
"これ" とは
> e^{in} の間隔が平均的に n の反比例で減少すると示せば良い
の事でしょうか。すみません、これについては言ってる事の意味すら分かりませんでした。

(稠密定理ではなく)一様分布定理より |z-zₙ| < c となる確率は "平均的に" zやn に依らず P(c) と表せる。
つまり確率 P(c) で 1/(cn²) < 1/(n² |z-zₙ|) となる。そういう類いの話ですか？
だとしてもその先が見えません。収束列で下を抑えても発散かどうかの判定には使えませんし。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/15(火) 21:24:42.87

>>953
君、1-1+1-1…を交代級数と思ってる？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/15(火) 21:41:07.09

>>956
n ≦ N までの e^{in} の密度の事を言ってる
e^{in} が 1周して z に最接近する e^{in} だけの部分列を考えると
| z - z_n | は e^{in} 間隔より小さいからな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/15(火) 22:46:14.67

>>957
これは恥ずかしい
部分和の符号ではなく各項の符号が正負交互に現れるものを交代(交項)級数と呼ぶ
1-1+1-1+…は交代級数だよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/15(火) 22:51:24.55

あ、でも部分和の符号が正負交互に現れるものは明らかに交代級数だし、この意味で交代級数と定義してる危篤な本もあるのかな

**957** · 2020/12/16(水) 00:25:50.39

ごめんごめん、「収束する」交代級数だと思ってる？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/16(水) 01:09:38.90

集積点は 2つだから 1つの場合に準ずると言っていいかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/16(水) 01:11:16.91

考え直してみたら>>929は{zₙ}が無理数回転であることは本質的ではないな。単に{zₙ}が円周上稠密であればよい。
実はC上の任意の領域が正則領域であることの証明を
単位開円板に適用したものになっている。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/documents/saito-lectures.pdf
の24～25ページを参照

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/16(水) 01:30:48.98

pdfの方でD上稠密な可算列{Zn}から∂D上稠密な可算列{ζn}を作っているのは一般の領域Dに対して∂D上稠密な可算列を構成するため

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/16(水) 07:36:16.14

>>963 文献の紹介ありがとうございます。
指摘の箇所では、z が内側から境界上の zₙ に真っ直ぐ近づいた時に発散することを述べていますね。
zₙ 以外の境界上の z における収束性については触れていないように見えます。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/16(水) 08:17:46.10

∂Dの点z0を固定する。
z0に収束するζnの部分列をとり改めてζnとおく。
各nに対しζnに収束するDの点列zn,mでm→∞のときf(zn,m)→∞となるようなものをとる
このとき点列{zn,n}はz0に収束しn→∞のときf(zn,n)→∞

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/16(水) 09:15:14.58

最後の行は正しくないな
各nに対し|f(zn,m(n))|＞nとなるm(n)をとる
このとき点列{zn,m(n)}はz0に収束しn→∞のときf(zn,m(n))→∞

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/16(水) 10:09:02.10

>>967
なるほど、ここで境界の点 z での級数和が収束すると仮定するとアーベルの連続性定理より矛盾となり...
いや... この場合、ストルツ条件を保ったまま近づくとは限らないので何も言えないのでは...
要するに、内側からの近づき方が特殊だから発散するのであって真っ直ぐ近づいたら収束する(仮定と矛盾しない)のかもしれない。
そこをはっきりをさせないと収束性は分からないのでは？という事です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/16(水) 11:05:46.78

教えてもらうふりをして教えようとしてくる人だったか

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/16(水) 11:52:21.26

>>969 いや本当に分からないから聞いてますよ「教えてもらうふり」じゃなくて。
まあ、あの文献のレベルで真の解答を示されても自分には理解できないかもしれませんが。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/16(水) 18:33:44.65

アーベルの定理ってべき級数の話でしょ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/17(木) 02:04:33.67

a(t)=dv(t)/dt=ーA*v(t)＋B　v(0)=０　a(0)=B
で表されるとき積分とかして
速度v＝なんとか* t
のようにtを含んだ式を求めたいのです　どうなりますか？
Bがないときは v=C * e^(-At) になるようです

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/17(木) 07:41:39.76

>>972 べき級数について定理なのは確かにそうでした。
それでも、>>966, >>967 の方針で進めるとして
・ lim(内側から近づく点列極限) と Σ(級数和) が交換可能 (収束するなら)、
　あるいは lim Σ が発散するなら、Σ lim も発散する。
・limの点列は経路に寄らない。
　あるいは >>967 の点列は素性の良い経路を辿ると見なせる。
この辺りが、明らかとは思えません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/17(木) 07:42:17.50

>>972 じゃなくて >>971 でした。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/18(金) 08:41:45.75

>>972
非斉次連立線形微分方程式とかでググると良いと思う
これとか見れば捗る
http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/class/H24math6.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 15:25:38.28

C[x,y]/(x^2+y^2)≅C[x,y]/(xy)
は正しいのでしょうか？
よろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 16:49:25.42

全然

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 16:58:25.05

正しい

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 17:09:21.82

C[x,y]においてz=x+iyとw=x-iyは代数的に独立で、この対応により同型C[x,y]=C[z,w]=C[x+iy,x-iy]を得る
このときイデアル(x^2+y^2)はイデアル(zw)に対応するので
同型C[x,y]/(x^2+y^2)=C[z,w]/(zw)を得る

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/24(木) 04:34:29.37

>>979
有難うございました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/24(木) 18:07:10.18

ツイッター上のこの反映定理についてのやりとりなんですが、反映定理は構造の絶対性に関するもので、別にモデルの存在を保証する定理ではないですよね
この人、京大の講師みたいだけど、関係ないこと言ってますよね？
ZFCの無矛盾性が暗黙に仮定されてることこの場合は関係ないと思うのですが
https://twitter.com/ytb_at_twt/status/1068353172077330432?s=19
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/24(木) 18:17:57.52

あ、上の話解決しました
すみませんでした

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 14:41:46.50

何だか知らんが、許さん！

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 14:56:31.64

Σ[m=0,...,n]m^k が簡潔な式で表記できないことの証明って分かりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 16:03:27.62

♪愛をー償ーえば～　別れーに成るーけど～

親父の世代の曲なんで後が分からない
確か柳葉敏郎が言うにはマザー・テレサの娘だとかって

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 17:09:29.50

>>984
n(n+1)/2, n(n+1)(2n+1)/6, {n(n+1)/2}^2が簡潔ではないと？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 18:03:37.73

二項係数から導く
Σ_{k=1～n-r} k(k+1)…(k+r-1)/r! = n(n-1)…(n-r)/(r+1)!
の方が簡潔な式だと言いたいんじゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 19:31:49.77

いやどうみてもk乗の逆数和を(kとnを使って)求める簡潔な公式があるかどうか

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 21:52:53.05

https://i.imgur.com/W1Gr243.png
これの(2)と挑戦分かる人いらっしゃいますか...？
体積合同は分割補充合同と同じ意味らしいです

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 23:02:59.40

勘で立体角の合計÷πが有理数にならないとかかな？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 23:04:41.60

イヤ pi/24か
ダメだ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 23:09:03.30

>>990,991
(1)についてはそうやるらしいです
Dehnの補題ってやつだそうで

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 23:22:22.34

>>992
アレ？

でもEを頂点としてABCEを底面とする錐はABCE二つ分のコピーの貼り合わせでさらにそれを4つ合わせるとxy平面上の正方形|x|<1,|y|<1を底面として(0,0,1)を頂点とする錐のかたちになる
なのでそのコピーを6個頂点でピッタリ貼り合わせられる
この時頂点に集まってる立体角はもとの四面体の立体角の48個分だから一つ分の立体角は
4π÷48=π/12
じゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 23:43:12.32

もしかしてABCEとABCFが逆なんじゃない
ABCFの方の頂点の立体角は正八面体の頂点の立体角の1/4でacos(-1/3)-π/2でこちらが不可能の方じゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 06:57:07.89

積の形の素因数分解の定理はよく知られてるけど、
和の形の"素因数分解"って成り立つんかな？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 08:43:29.94

全部1もしくは-1の有限和で書けるだろ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 09:04:01.27

>>996
試しに38の和の形の素因数分解やってみて

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 09:29:15.15

その例だと2を19個足せば終わりやんけ

どんな自然数nも1のn個の和で書けるし、積と同様に1を"素因数"に含めないとしても2と3の和として2以上の自然数を表現可能(偶数なら2のみの和、奇数なら3をひとつ足せばいい)
n=p[1]…p[k]と素因数分解されるときにp[1]+…+p[k]=nが成り立つか？ということならもちろん成り立つわけがないし、和についての"素因数"と"素因数分解"をもうちょっと明確にしないと考察するに値しないよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 09:38:58.43

2進数表記の一意性みたいなしょうもない話にしかならんと思う

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 09:49:41.33

そうかそうか
素数の定義自体が積に基づいてるから、素因数分解を和の形にしようって発想自体が浅いな

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