大学学部レベル質問スレ 14単位目
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あなたがわかってないだけですよね
クリプキモデルにおいて、A→Bが真となるときはどういう時か説明してみてくださいねー >>658
あれ？君は
知識量が極大となってこれ以上新たな知識を取り得ることはあり得ないという、神の視点に立った時の論理が古典論理です
と言って古典論理を批判していたのに、任意の可能世界みたいな超越性はOKなんだ？ >>659
意味不明なんですけどw
別に古典論理の批判なんてしてないですよ
直観主義論理と古典論理の関係を述べただけです 出典もあやふやな情報でドヤってる時点で数学どころかいかなる分野の専門教育も受けていないことが分かる >>643 5ページ
補題 3.3 (遺伝性).
任意の命題論理式 φ と Kripke モデル M = (W, ?, V )，世界 w ∈ W について，
w |= φかつ w ? w' ならば w'|= φ となる．
遺伝性は感覚的には「一度確定した，あるいは証明された事実は覆らない」ということを表現しているのだということもできる．
w |= ¬φ つまり w |= φ → ⊥ は，任意の w' ? w に対し w' ?|= φ であることと同値である．
つまり「これ以降，未来永劫 φ が証明されることはない」ということであり，
したがって現時点で φ であることが確信できないからといって w |= ¬φ を結論することはできない．
今はまだわからなくても，いずれ φ が正しいことが確定する日が来るかもしれないからである． >>647
>>>643にクリプキモデルの説明あるので見てみてくださいね
Vは命題変数からWのcofinalでfaithfulな部分集合への写像だけど
論理式からWへの写像に拡張して考えると
V(P)がPが「真」であることを意味するわけですね
単純な例として実数Rに通常の順序を入れたものがWのときは
V(P)はφかRか右開区間だけど
V(P)がφかRかしか無い場合が古典論理に当たると
V(⊥）=φ
V( T )=R
∧∨は単にかつまたはで定義するつまり
V(P∧Q)=V(P)∩V(Q)
V(P∨Q)=V(P)∪V(Q)
そして
V(P→Q)=R (V(P)⊂V(Q)のとき）or V(Q) (それ以外）
V(¬P)=V(P→⊥)=R (V(P)=φのとき） or φ（それ以外）
V(P∨¬P)=V(P∨(P→⊥))=R（V(P)=φのとき） or V(P)（それ以外）
＜が時間の前後というか左の「先（行く末）」に右があるみたいな解釈 >>665
>論理式からWへの写像に拡張して考えると
V(P)={w|>>643の説明でのw|=P}としました
こうしたら{V(P)}は包含でハイティング代数にならないかなあ >>665
>V(P)はφかRか右開区間だけど
右開区間って言うんじゃ無いんだっけ
右が∞の区間のこと >>665
>V( T )=R
というよりV(P)=RであるPのことを恒真と考えるというべきか Vの定義はそれこそ無数にあるから
その全てでV(P)=Wなものが恒真命題と
たとえば
P→P∨Qはどんなw∈Wに対しても
w∈V(P)なら∨の定義からw∈V(P∨Q)だからｗ∈V(P→P∨Q)だし
そうでなくても→の定義からｗ∈V(P→P∨Q)だし w'出てきてないのはV(P)に先々まで全部入れちゃってるからこれでいいと思ったけどどうかな 同じRを基底集合としてもブール代数はR自体には順序考えず
部分集合全体の包含で
V(⊥）=φ
V( T )=R
V(P∧Q)=V(P)∩V(Q)
V(P∨Q)=V(P)∪V(Q)
ここまでは同じで
V(P→Q)=V(P)^c∪V(Q)
V(¬P)=V(P→⊥)=V(P)^c
とするから
V(P∨¬P)=V(P∨(P→⊥))=V(P)∪V(P)^c=R
となって恒真と Rの開集合全体の包含によるハイティング代数の場合は
V(⊥）=φ
V( T )=R
V(P∧Q)=V(P)∩V(Q)
V(P∨Q)=V(P)∪V(Q)
V(P→Q)=(V(P)^c)^o∪V(Q)
V(¬P)=V(P→⊥)=(V(P)^c)^o
とするから
V(P∨¬P)=V(P∨(P→⊥))=V(P)∪(V(P)^c)^o=R（V(P)=φ,Rの場合） or ≠R（それ以外）となる >>666
>こうしたら{V(P)}は包含でハイティング代数にならないかなあ
Rの普通の順序によるクリプキモデルから作った
{V(P)}={φ,(a,∞),[a,∞),R}は確かにハイティング代数になってるけど
一般にはどうだろ
多分なってるとは思うけど 私は頭のおかしい人を相手にしていたようだ
馬鹿な事をした 君は ID:pIXYajh5 ID:lFLkta16 の人？ ID:eqSA35Si の人も？
ID:qmyf9gGz ID:WzeT9Eh0 の人じゃナイよね？
俺は ID:he65m0K3 >>664
ほぼ同じですよね
到達可能とか言ったってわかんないだろうから省いただけですよー >>672
>V(P→Q)=(V(P)^c)^o∪V(Q)
間違えた
正しくは
V(P→Q)=(V(P)^c∪V(Q))^o
だので
V(P∨¬P)=V(P∨(P→⊥))=V(P)∪(V(P)^c)^o=R（V(P)=φ,R）or≠R（それ以外）
だけど
V(P→P)=(V(P)^c∪V(P))^o=R >>673
>多分なってるとは思うけど
なってた
だからクリプキモデルもハイティング代数も等化じゃないかな
ハイティング代数からクリプキモデルが構成できることを言えば良い 等価なのはもちろんそうですよ
私がハイディングの方知らなかっただけです
でも可能世界の方が意味的にいい気がするというお話ですね 自分はラティスで考える方がしっくりくるな
ブール代数はごく普通の
全体集合のあるベン図によって理解できるし
時間に関する用語（将来とか）を使うのに違和感があるから
けど
様相論理というのがそういうものらしいから
クリプキモデルの方が発展性あるのかもね
様相論理も名前しか知らないけど
クリプキモデルの主戦場はそこらしいじゃん >>593
2.はRP^2m+1の時C^m+1を考えたところを四元数Hを使ってH^m+1で置き換えて
同じくi倍写像で対合を作ればよい感じですか
オイラー類はまだよく知らないのですが
関係が分かるようになることをとりあえずの目標にして勉強してみます
いろいろとありがとうございます >>681
いや、n=1のとき不動点なしのinvolutionはできんやろ
多分n≧3でも無理じゃない？ 記号論理学における推論規則って、論理式の集合から論理式の集合への写像だと考えるのは間違っていますか？
言語を記号の集合として定義するのはたまに見かけるんですが、推論規則を集合論で定義してる書籍を見かけないのですが >>682
ほんとですね勘違いでした
これもそんなに簡単には言えない感じですか >>682
一応細かいチェック入れてない証明っぽいもの持ってる
それは特性類の理論は使ってない
初等的だけど煩雑ってやつ
なので難しい話し知らなくてもなくてできるのはできると思う >>683
>論理式の集合から論理式の集合への写像
一部にしか適用できないよ
定義域のある写像？
どこに適用するかも決める？ >>681
CP^2m+1をH^m+1の単位球面S^4m+3の商と見たとき
S^4m+3上でのi倍写像がＣP^2m+1上の不動点を持たない対合を定める
・・・かどうかはご自分で確かめてください なお、CP^2ｍの場合は同じ手は使えないし、実際境界にはならない
ただ、その証明はコボルディズムの話だから難しい m=0のときもうダメやん
H^を左からC^で割ってCP^1とみなす
右からHは作用してるけど
i倍は1が不動点
j倍でも1+i+j-k
(1+i+j-k)j = j+k-1+i=i(1+i+j-k)
なので1+i+j+j-kが不動点
そもそもCP^1は不動点なしのinvolutionもたないと思う >>686
モーダスポーネンスの場合は
言語Lの論理式の全体の集合をFとして
F×F×Fの要素で〈ψ,ψ→φ,φ〉の形をしているもの全体をMPとしたときのdomMPが定義域かなと思ったんですが
論理式の形を区別する部分が言語Lで書けないからフォーマルな写像にはならないのですかね 幾何学の対称モノイダル圏と基礎論の対称モノイダル圏とでの共通認識って何だろうね。 >>690
ちなみに、
domMPは
｛〈x,y〉∈F×F;∃z(〈x,y,z〉∈MP)｝
のつもりです やっぱりCP^n^n→CP^nは固定点ないinvolution持てないな
(∵) まずC^∞のときを考える
固定点持つものがあるとして f : S^2n → S^2n をその持ち上げとする
この時任意のS^(n+2)上の点pに対してf(p)≠±pであるからpとf(p)を結ぶ大円の劣弧が一意に決まる
この経路の定める接ベクトルX(p)を考えれば全ての点で0にならないベクトル場が定まるがつむじの定理に矛盾する
http://physmathseminar.web.fc2.com/discourse/2016/spring/ochanomizu-sp_abst/ocha_hori.pdf
一般の場合は十分小さいεでε近似したC^∞級の関数fεに対し必ずf(pε)=±pεを満たすpεが取れるが{pε}の集積点pがf(p)=±pを満たす MathJaxについての質問。(Javascript質問系のスレは大分更新されてないので)
MathJax ver3で使える、機能豊富な可換図式描画ライブラリって何がある？ すまん>>685です
自分が持ってると思ってた証明間違ってた
というわけで私初等的な証明持ってません
wikiに載ってるwhitney class関連の公式全部認めれば>>593が正しいのは確認できるけど
やっぱりコレ初等的に示すの難しい希ガス 自分で正しいと思ってる(black boxだらけだけど)>>593の証明
thm
CP^n がzero cobordant iff n : odd
lem
cp^n の最高次のwhitney number ≡ n+1 (mod 2)
(∵) 一般に最高次のwhitney number ≡ euler 標数 (mod 2) であるが、
β_i(CP^n) = 1 (if 0≦i≦2n, i:even)
. 0 (otherwise)
より主張は従う
lem
i≦m ≦ n に対して自然な埋め込みの誘導するH^i(CP^n,Z/2Z)→H^i(CP^m,Z/2Z)は単射
(∵) iが奇数なら両方ゼロだからiは偶数として良い
この時両方一次元だから0でない事をしめせばよい
そのためには誘導されるホモロジー群の準同型が0でない事を示せば良い
埋め込みの像はF=“[x0,x1,‥,xm,0,‥,0]の全体“でこれは“G=[0,‥,xm,‥,xn]“の全体と一点で交叉的に交わるのでFとGのコホモロジー類はともにゼロではない
(thmの証明) nが偶数のとき補題より最高次のホイットニー類が0でないのでzero cobordantではない
nが奇数とする
最高次のホイットニー類は補題より0
2n=i1+i2+‥+ikを2nの分割としてn
が奇数だからいずれかは奇数、または4の倍数でない偶数
iが奇数のときi次のホイットニー類は0
i=2m、m奇数のときi次のホイットニー類wiを自然な埋め込みでCP^mに引き戻すと補題により0
しかしこの引き戻し写像は単射であったからwiは0 TeXで
https://i.imgur.com/mxdvbah.png
このような連分数のような図式を書く方法を教えて下さい >>699
訂正 MathJaxでの書く方法を教えて下さい >>698
いろいろとありがとうございます
特性類はミルナーの本で勉強しながらですがホイットニー数が全て0になればゼロコボルダントという結果を認めれば言える事は理解できました
ただその証明はかなり難しいみたいですね
あと>>693の証明についてですがCP^n→CP^nがS^2n→S^2nにリフトされるというのはすぐ分かることでしょうか？
S^2n+1からCP^nの射影しか知らずどう構成するのかが >>702
π : S^2n→CP^nはcoveringなんだから任意の弧状連結空間Xからの連続写像 f : X → CP^n は X → S^2n に持ち上がるでしょ？
HLPとかいうやつ >>703
被覆S^2n→CP^nがどう取れるのかで詰まってます
実の時と同じように考えるとC^n+1での球面S^2n+1からの射影しか得られなくて ごめん
弧状連結じゃなくて単連結
一般にXが単連結、Y→Zが被覆写像ならg:X→Zはf:X→Yに持ち上がる
適当にx0を固定して各xごとにpath μ:x0→xを選んでおく
それとg(x0)の持ち上げy0も選んでおく
gはコレをg(μ):g(x0)→g(x)にうつすけどこのパスはY→Zがcoveringならこのパスはy0→yに持ち上がる
この終点をf(x)と定める
パスの選び方によらないのは別のパスμ'でやるとμ^(-1)μ'はループになるけどXが単連結ならこのループはある特異2単体の境界
この特異2単体ごとYに持ち上がるのでμの持ち上げの端点＝μ'の持ち上げの端点になる イメージを作ろうとすると頭が痛くなる
しないと頭が悪くなる >>703
CP^nのidentityはCP^n→S^nに持ち上がるか >>703
>π : S^2n→CP^nはcovering
じゃないが >>703
だから訂正してるやん
Xは単連結でないと持ち上がらん
>>703
すまん
そこは間違い
ちょっと修正できるかみてみる あぁS^2n→CP^nはつむじの定理でCP^oddの固定点なしのinvolutionの時に使ったやつだな
結果は合ってると思うんだけど 少なくともn=1の時、つまりリーマン球面の時固定点ないinvolutionないのはつむじの定理そのままやな ダメだ
やっぱりCP^oddが固定点持たないinvolutiomもつか持たないかはそんなに簡単には答えられそうにない
というわけで>>693は撤回します
とは言えじゃあCP^oddが必ずそう言うinvolution持つのかも答えられないし
その上の方でできたってやつもちょっとおかしいみたいだし >>709
>Xは単連結でないと持ち上がらん
CP^nは単連結だが >>714
あ、いやそうだな
すまん
Fiberingとcoveringがごっちゃになってる
忘れてくれ 結局今のところCP^oddがゼロコボルダントの初等的な証明は今のところないのは合ってる？
上の方にある証明はm=0の時成り立ってないとおもうけどそれ以外ではいけるとかある？ イヤ違う
jかける作戦うまく行くのか
{ x ∈ H^n | |x|^2 = 1 }
をG = { z | |z| = 1 }の右からのactionで割るとき、j倍の作用も右からかければいいのか
通常右で割った加群には右側加群の構造は期待できないけど今は「商空間に作用できるか」しか問題にしてないから右から作用させられるんだ
実際(Yk) = (Xk) cis(θ) (Xk),(Yk)∈H^n が等しい右側G軌道にある)とき
(Yk) j = (Xk) cis(θ) j = (Xk) j cis(-θ)
により(Xk) jと(Yk) jは等しい右側G軌道にあるからこの右側 j 倍作用はwell definedなんだ
しかもXk=0である場合を除いて(Xk) j = (Xk) cis(θ)となるθが存在することもない
吊ってくる アレ？
これCP^evevでも通用してしまう？？？ イヤ違う
n:evenならC^(n+1) = H^(n+1)/2 がそもそも無理なのか
お騒がせしました >>702
>S^2n+1からCP^nの射影しか知らずどう構成するのかが
CP^nの単体分割は
e^0∪e^2∪e^4∪…∪e^2n
おそらく
i:e^2n⊂CP^n⊂CP^∞:[z1:…:zn:1:0:…]
と誤解している 解析(でも何でもいいが)で、x^yはしょっちゅうでてくるのに、何でx^(y^z), x^(y^(z^w))ってほぼ現れないんですか？ >>721
ラムゼイ理論とかやるとしょっちゅうあらわれる >>722
ラムゼイ理論のおすすめの本ってありますか？ 論理って一階述語論理だけやればいいですか？高階論理ってやる意味ありますか？ >>724
集合論、従って純粋数学の殆ど(？)は一階述語論理で出来る >>725
それなら一階述語論理で十分みたいですね >>724
グラフ理論は単項二階論理が必要だったりする 語彙L＝{∈}に対する構造∈-モデルって声に出すときなんて言えば良いですか？ 群Gはその部分群Hによって左剰余類に関する類別が得られることは成り立ちますが、
その逆で群Gのとある部分集合Sと、Gの任意の元gを使ってgSによってGの類別が可能ならばその部分集合SはGの部分群であることは成り立つのでしょうか？ >>730
Sは部分群とは言えないのですね。
となるとGを類別できるような部分集合Sはどういった条件になるのでしょうか…？ >>729
例えばHを部分群,g∈G＼H, S=gHとすれば反例 >>731
>Gを類別
じゃなくて聞きたいのはG作用のある類別だろ？ 類別というのが
関係g〜hをg^(-1)h∈Sで定義したとき同値関係になるということなら
確かにSが部分群であることが必要十分だな G作用がある類別でeを含む類のイソトロピー群Hを考えたら？ 類別と言うのが良くなかったかもしれません。
G＝{0,1,2,3,4,5}演算.はmod6の加法で、
S＝{2,3}とするとき、
G.S＝{{2,3}{3,4}{4,5}{5,0}{0,1}{1,2}}
となり、中の集合の要素に重複がありますが、
S＝{1,4}とするとき、
G.S＝{{1,4}{2,5}{3,0}}
と、Gの要素が被りなく分けられましたが、S＝{1,4}は部分群ではない
という感じのが例になります。
もちろん、
S＝{0,3}のときのSは部分群なので
G.S＝G/S＝{{0,3}{1,4}{2,5}}
と類別されます。
今回はZ/6Zの例ですが、一般的にGが被りなく分けられるSの条件が気になりました。 G=∪giS(g0=e)でgiS∩gjS≠ΦならgiS=gjS
ということかな
それでも同じで
eがあるgiSに含まれるけど、そこが部分群になってることが示せて、結局これはその部分群による左類別になってる >>738
まさしくその条件でした
つまり、S＝{1,4}は部分群ではないけど、0が含まれてるgiS＝2.S＝{3,0}が部分群になってるので結局類別されるということでしたか…
この場合は群Gの部分集合Sによる類別と呼ぶのではなく、前の方がおっしゃるようにG作用のある類別などと呼ぶのが適切なのでしょうか fをR^n上の滑らかな関数でf'(p)≠0とします。
このときpの近傍Uと、R^nの開集合Vと、微分同相g:V→Uを、
f(g(x_1,...,x_n))=x_nとなるようにとれることの証明を教えて下さい。 >>739
自分も今回聞かれて気づいたけど
G作用をちゃんと考えておかないと
ただG=S ∪ gS ∪ g'S ∪…(disjoint)
とするだけなら色々作れるね
例えばZ/4Z={0,3} ∪ 2{0,3}
もっというとGの部分群Hの右剰余系G=∪Hgi (g0=e) から代表higi∈Hgiを選んできて
S=∪{higi}とおけば類別G=∪hS(h∈Hを動く)
が作れる >>741
R^n の座標の内 ∇f 方向に一致しない n-1 個を x_1〜x_{n-1} として
F : R^n → R^n を F = (x_1, 〜, x_{n-1}, f ) とすれば局所同相だから逆関数を
g = F^(-1) とすれば良い >>743
ありがとうございます。
でもこれでf(g(x_1,...,x_n))=x_nとなる理由をもう少し詳しく教えてほしいです。
n=1ならわかりますが、、、 F(g(x_1,...,x_n)) = (x_1,...,x_n)
F = (x_1, 〜, x_{n-1}, f ) >>743
>R^n の座標の内 ∇f 方向に一致しない n-1 個を x_1〜x_{n-1} として
各点の接空間の中に取るの？
大域化するにはどうする？ >>745
ありがとうございます！理解できました！ 「平面上の点(0, 2)を通る直線の族が満たす微分方程式を求めよ」みたいな問題がありますけど、
求めた微分方程式は何かに使えるんですか？ G_nを複素n次元グラスマン多様体，Eをその標準複素ベクトル束γ^nの全空間，
E0をEからゼロセクションにあたる部分を除いたものとし
f:E0→G_n-1，(X,v)→(Xの中のvの直交補空間)
がコホモロジーの同型を導くことの証明の中で
fの有限次元への制限
f_N:E0(γ^n(C^N))→G_n-1(C^N)
が次元が2(N-n)以下でコホモロジーの同型を導くことから
Nを無限に飛ばした帰納極限ではfが全ての次元でのコホモロジーの同型を導く
という議論がありますが，これはなぜ言えるのでしょうか？
帰納極限で一般に成り立つことではなく，f_Nがfの中のCW複体として低い次元のところを
全部含んでしまっているみたいな事を使っているのでしょうか
ご教示下さい
(ちなみに出典はMilnorの特性類の本のth14.5です) >>753
コホモロジー関手がcolomitをlimitに移すからじゃね
lim[i] H(Xi) ＝ H(colim[i] Xi) 「代数体」の定義として「有理数体の有限次拡大体」を採用した場合と「有理数体の有限次拡大体と同型な体」を採用した場合に違いはありますか？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
