大学学部レベル質問スレ 14単位目
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>>63
後者は公理系に対して証明する問題だが
前者は公理系に関係ない すいません。2番と3番を教えてください。
ちなみに2番の問題文のs^2の部分はΣのつけ忘れです。
https://imgur.com/a/DIfWsBb 課題の中で「直積集合S=Z×(Z/{0})の元(m,n)」ってあったんですけど、ということはｎ=0ってことですか？バカ丸出しだったらすいません。 つまりただ単にS＝Z×Zとして考えればいいってことですか。。。 Z/{0}≅ZではあるけどZ/{0}=Zではなくないか
ところで集合A,Bに対して{x|x∈Aかつx∉B}をA\Bと書く 俺、｢○○と書いても誤解の余地が無い時はそのようにする｣って言うやり口大嫌いだわ 位相空間や群環体や測度空間とかもいちいち台集合だけでなく組として明示するの？
(コ)ホモロジーの系列とか一つ書くだけですごく時間掛かりそうだね Z/{0}=Z/1=Z:整数
Z＼{0}=Z-1≠Z:零元以外の整数 >>71
うわぁ…
文字コード被りの被害者を初めて見たｗ 偏微分の問題かなー？
y(t) = ∫ u^2 dx として y の微分方程式を出せばいいんじゃないの？ >>79
その方針で一度試したんですけど微分して条件式代入した時に出てくる
∫uu_{xx} dxの項が上手く評価出来ないんですよね
部分積分使ってもuu_{x}が出てきて邪魔になってしまって >>80
微分方程式を見ると成り立つと思えるのに不思議だね
この直感を数式にできれば解けるんだろうが… VをdimV=nの線形空間とし,
Vからn個の一次独立なベクトルを取ることができたとする。
それらをv_1‥v_nとするとき
span(v_1…v_n)=V
はいえますかね(´・ω・`) span(v_1…v_n)=Vでないならv_1,…,v_nの一次結合で表されないVの元v_{n+1}が存在する
同様に元をつけ足していけばn+1個以上の元からなるVの基底が作れるので次元の一意性より矛盾 今見たらそのやり方だとVの基底が作れることが言えねえわ
n個の元からなる基底から一次結合で表せないものとってこないと そもそも基底の存在定理の証明見てわかるように基底=極大一次独立系ですし次元は基底を構成する元の個数ですし
当然n個の元からなる一次独立系が基底にならなければ極大性に反する >>80
∫ uu_{xx} dx = [uu_{x}] - ∫u_{x}u_{x} dx
だけど、問題文の真ん中の等式からuとu_{x}はx→±∞で0になるので、
∫ uu_{xx} dx = - ∫(u_{x})^2 dx
なので、
(∂/∂t) ∫ u^2 dx = ∫-(u_{x})^2 - x^2 u^2 - u^4 dx < 0
で、∫ u^2 dxが単調減少までは言える気がする
t→∞で∫ u^2 dxが0になるかどうかは分からなかった 位相空間論の問題です
閉集合の部分被覆は、任意の開集合の部分集合になっている？ みたいな問題です
どうかお助けください...
https://i.imgur.com/QDTW4QX.jpg 議論を開被覆に帰着させたらいいだけじゃね?
見た感じ定義から直接的な議論で証明出来そうな気がするが https://i.imgur.com/QDTW4QX.jpg
ヒントをくれた方、ありがとうございます！
とりあえず回答を書いてみたのですが、合っているでしょうか？
O_ ⊂ K_ より、K_はO_の開被覆で〜って所から結構曖昧です 曖昧だというのはOの補集合がコンパクトかどうかかな？
コンパクト空間の閉集合はコンパクトだからokなんだけど、もしこれを知らないのであれば、K_λの補集合たちにOを追加すればXの開被覆が作れるからコンパクト性を使えばいい >>96
>>93と全く同じ画像に見えるのは俺だけ？ 俺も同じに見えるけど>>97が普通にレスしてるからバグかと思ったわ 画像貼り間違えてました... ごめんなさい
>>97
まさしく疑問に思っていたのはそこです！
あとはO_とOは共通部分がないから、∪Kから勝手に取っても大丈夫で...って感じですかね
ご回答ありがとうございましたm(_ _)m 「コンパクト空間の任意の閉部分集合はコンパクト」って基本的な事実だよね
もし知らないならこの機会に勉強したほうがいいと思う >>102
いらない
というか証明も>>97の議論と同様にしてできる ハウスドルフが必要になるのはコンパクトなら閉の方だね 特殊解の間違いをご指摘ください
y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x)
D^3 + 6D^2 + 12D + 8 = (D+2)^3 = 0
D = -2（3重解）
よって余関数 Y は
Y = (C3x^2+C2x+C1)e^(-2x)
((D+2)^3)y = 5x^2e^(-2x)
e^(αx)/(D-α)^n = (x^n/n!)e^(αx)
を使うと特殊解は
y0 = 5x^2･e^(-2x)/(D+2)^3
= (5x^2)(x^3/3!)e^(-2x)
= (5x^3/6)e^(-2x)
ところが wolframa で計算すると
y0 = (5x^3/12)e^(-2x)
になります。 ソートの話
何か巷ではクイックソートが最強みたいな感じでソートの話題になるといつもクイックソート(ﾄﾞﾔｯ)ってなるんだが、
度数ソートの方が早いんだろ?
で、データのならび具合によってはクイックソートでもO(n^2)掛かる事あるんだろ?
だったら、マージソートの方が早いんじゃね？って感じるんだが、なぜマージソートや度数ソートが陰に隠れて雑魚扱いされるのか押してくれ クイックソートはシンプルなのに早い
それにわざわざ遅くなるようなデータ順になってないことが多い Javascriptでクイックソート
Q = A => A.length<=1? A :[
...Q(A.filter((x,i)=> i>0 && x<A[0]))
,A[0],
...Q(A.filter((x,i)=> i>0 && x>=A[0]))];
https://ideone.com/yXp8GZ
Pythonでクイックソート
def Q(A):
if len(A)<2: return A
p = A[0]
return Q(filter(lambda x: x<p, A)) + \
filter(lambda x: x==p, A) + \
Q(filter(lambda x: x>p, A))
https://ideone.com/TSgpzy >>107
自分で考えた「区間2分ソート(仮称)」(最悪 n log n)
がググっても見つからないのがオドロキ 単位球 B:={x∈Rn:|x|<1} の境界 ∂B={x∈Rn:|x|=1} 上の外向き単位法線ベクトルを ν とする．
また，熱方程式の基本解 E(x,t) に対して w(x,t):=logE(x,t) とする．このとき，任意の x∈∂Ω に対して ∂w(x,t) / ∂ν= ?1/2 となるような t の値を答えよ。(半角数字)
ちょっとこの問題が意味分からんです
ベクトルで微分してるのにベクトルじゃなくて実数値？？ ってなって困惑しております
アホな質問だったらごめんなさい 文字化け失礼
∂w(x,t) / ∂ν= -(マイナス)1/2
です >>111
> ベクトルで微分してるのにベクトルじゃなくて実数値？？ ってなって困惑しております
方向微分の定義を確認して下さい。 Hをヒルベルト空間、LをHの閉凸部分集合とする
いまx∈Hに対してd(x,L)=|| x-a ||となるa∈Lが一意に存在している
このとき任意のy∈Lに対して (x-a,a-y)≧0 を示せ
射影定理の話だと思うのですがなかなか示せず困っています
わかる方いたらお願いします (x-a, a-y) < 0 となる y があったら b = a + ε(y-a) として || x-b || を展開してみるといい すみません、この問題の1_(A_n)ってのは一体どう意味なんでしょうか？
誤植でもないっぽいんですが
https://i.imgur.com/yvcS46T.jpg >>117
台関数じゃないかな
ω∈A_nのとき1、そうでなければ0、という関数 台関数とは言わないか
指示関数、特性関数、定義関数などの名前があるらしい >>118,119
ありがとうございます！
A_nが座標だと誤解しててずっと迷宮入りしてましたw >>116
試したことありますが展開しても分からなくないですか？
内積以外の項を上手いこと評価出来ればいいけど私のやり方が間違ってるのか >>115
(x-a,a-y)≧0におけるxとaは何？ あ、もしかしてRe(x-a,a-y)≧0てことか
そうだとすると
c=(1-t)a+ty∈L(ただし0≦t≦1)として
||x-c||^2=||a-y||^2t^2+2Re(x-a,a-y)t+||x-a||^2
となるけど
これの(0≦t≦1)における最小値は問題の条件により||x-a||^2(これはt=0切片)でなければならない
よって、このtに関する2次関数の中心軸(t=-Re(x-a,a-y)/||a-y||^2)はゼロ以下の位置になければならない >>121
|| x-b || = || x-a+ε(a-y) || = (|| x-a ||^2 + 2ε(x-a, a-y) + ε^2 || a-y ||^2)^(1/2)
= || x-a || + ε(x-a, a-y)/|| x-a || + O(ε^2)
(x-a, a-y) ≧ 0 でないと || x-a || が最小でなくなる 無限の値を取る確率変数の平均が存在しない場合があるけれど
現実にはあり得ない状況のように思える
確率概念はそういう状況を自然に排除できるようになっているべきではなかろうか 特性類の本を読んでいるのですが次の証明がなぜ言えているのかわかりません
ファイバーの次元が奇数ならオイラー類の位数は2という命題の証明で
奇数次元のベクトル束は向きを逆にする同型(b,v)→(b,-v)をもち
ベクトル束の向きを逆にするとオイラー類は符号が変わるのでe(ξ)=-e(ξ)とあります
この最後の等号はなぜ言えるのでしょうか 代数幾何で見かける、引き戻しf^*、f_*の定義が分かりません
引き戻し(ファイバー積)の定義はwikipediaやレンスターのBasic Category Theoryを見て勉強していますが、*についての記載がありません
例えばスキームの圏だと、Spec(Z)は終対象なので、対象X,Yに対して引き戻し(ファイバー積)X ×_{Spec(Z)} Yが存在しますが、
この状況において射fやf^*、f_*は何を指すことになるんでしょうか？ >>129
インデューストマップでしょう
考えてるカテゴリーで定義違いましょう >>130
確かに、引き戻しの文脈で誘導された射を考えることがあるような記憶はあります
ところで調べていて思ったのですが、引き戻し(pullback)の対義語としてpushforwardがあるようですが、引き戻し(ファイバー積)の対義語、というより双対はpushoutですよね
このあたりについて調べてみます >>132
引き戻し(ファイバー積)のwikipediaにはpushoutしか記載されていませんので、そう思っていましたが、pushforwardと共に検索してもそれなりに記事がありました
調べる中で、
https://en.wikipedia.org/wiki/Pullback
に答えと思われることがありました
pullbackはprecompositionとfiber-productという2つの異なる、しかし関連するプロセスのことだそうです
pushforwardもこちらに記載がありました
引き戻し(pullback)には異なる定義があるようですが、
日本語のファイバー積のwikipediaだけを見るとそれが分からないので、中々ややこしいですね
ご回答ありがとうございました、ヒントが得られました ワキペディアだよりでなく本をみろ
どこかには買いてあるだろ
教科書ならば [前スレ．398] に補足
t/T≠整数 のとき
{t/T} = t/T - [t/T]
= t/T - floor(t/T)
= t/T + 1 - ceiling(t/T)
〜 1/2 + arctan(tan(π(t/T-1/2)))/π, 集合A, B, C, Dについて、包含関係
(A∪B)△(C∪D) ⊂ (A∪C)△(B∪D)
を示したいのですが、どうすればよいでしょうか。△は対称差です。
x ∈ (左辺)としてx ∈ (右辺)を出そうとしているんですが、なんかゴチャゴチャになってしまって。 >>138
対称差の定義って
A△B := (A-B)∪(B−A)
だっけ
それなら一般には成り立たなくね
例えば A := {1, 2}, B := {2, 3}, C := {4}, D := {5} とすれば、
A∪B = {1, 2, 3}
C∪D = {4, 5}
より (A∪B)△(C∪D) = {1, 2, 3, 4, 5} だが、
A∪C = {1, 2, 4}
B∪D = {2, 3, 5}
より (A∪C)△(B∪D) = {1, 3, 4, 5} 記号の対称性から ⊂が成り立てば逆も言えて等しくなるわな (A△B)△(C△D) ⊂ (A△C)△(B△D)
なら成り立つかな 誠に申し訳ありません。とんでもない入力ミスです。正しくは
(A∪B)△(C∪D) ⊂ (A△C)∪(B△D)
でした。 >>142
それならほとんど明らかじゃね
x ∊ (A∪B)-(C∪D) ⇒ x ∊ A-C または x ∊ B-D
x ∊ (C∪D)-(A∪B) ⇒ x ∊ C-A または x ∊ D-B
の成立を確認するだけでしょ >>142
ブール代数の演算でやったら簡単だぞ
集合A,B⊆Xに対し、A⊆BとはA∩X＼B=φである
これに対応するブール代数の演算はa･b~=0 >>142
さっき検算したが、成立が確認出来た。
単項式4つ×単項式4つの計算で結構しんどいが、力技でいける
AΔBはab~+a~bという式に対応する、。ってので展開してやるだけ >>144
ありがとうございます。その方針で解決出来ました。
x∈(左辺)として、それをゴチャゴチャいじっていたら、泥沼にハマってしまっていましたが、別に難しく考えることないですね。
>>145
ブール代数ですか。
ブール代数について、ボクは特に何も知らないので…。 今野一宏『リーマン面と代数曲線』に出てくる解析的形成体の説明が分からないのですが教えてもらえますでしょうか
解析的形成体でググってもあまり参考になりそうなものが出てこなくて、行き詰っています。
本に書いてある説明は大まかに以下の通りです。
(a)2つのローラン級数P(t),Q(t)は高々有限個の項からなる主要部を持ち、あるρ＞０に対して0 < |t| < ρで収束
(b)任意の異なるt1,t2∈{|t| < ρ}に対して (P(t1),Q(t1))≠(P(t2),Q(t2))のとき、組(P(t),Q(t))を関数要素と呼ぶ
(c)関数要素の同値関係として、(P1(t),Q1(t))〜(P2(t),Q2(t))であることを、
「t=0の近傍で収束するべき級数τ(t)=c1t+c2t^2+・・・（但しc1≠0)が存在して、P2(τ(t))=P1(t)、Q2(τ(t))=Q1(t)」となることと定め、同値類を[P(t),Q(t)]と書く
(d)関数要素(P(t),Q(t))(|t|<ρ)に対し、|t0|<ρなるt0をとり、t=t0のまわりで展開し、τ=t-t0とおくことで新しい関数要素(P_t0(τ),Q_t0(τ))が得られる。
これを(P(t),Q(t))の直接接続と呼ぶ。
(e)関数要素全体を、(c)の同値関係で類別して得られる同地類全体の集合をＳとする
(f)(P(t),Q(t))の直接接続の同値類がなす集合をp=[P(t),Q(t)]∈Ｓのρ近傍と定める。これによりＳは位相空間となる。
(g)Sの連結成分を解析的形成体と呼ぶ
補題：P(t)が定数でない関数要素(P(t),Q(t))は、以下のいずれかの形の関数要素(z(τ),w(τ))と同値である
（１）正整数mと複素数ｃがあって、z=c+τ^m、w=Q1(τ)
（２）正整数mがあって、z=τ^{-m}、w=Q1(τ)
解析的形成体は可能な限り解析接続継続していきリーマン面を作るという思想でリーマン面を表現したもの、とのことですが
具体的にどう対応しているのかがわかりません。
補題を見ると、P(t)の方は座標に対応していて、Q(t)の方は解析接続を行う関数に対応しているのかなという気もするのですが
(a)-(g)の解析的形成体の定義ではP(t)とQ(t)が対称に見えるので、PとQのどちらかが座標でどちらかが解析接続を行う関数という訳でもないのかなという気もします。
大まかな方向性でもいいのでアドバイスいただければと思います。 しらないが
P/Q = z/wとなるやつだろ
(c+τ^m)/Qとかが候補 解析接続はおおまかにわかってるつもりだけどこんなのは初めてみたな
どれであってもべき級数τが出てきてたのか? じぶんが忘れただけか スキームの剰余体について教えてください
スキームの剰余体はスキームの点xに対して構造層の茎O_{X,x}の剰余体として定義されると思いますが、
スキームの点とは、底空間である位相空間の元とZ値点のどちらになりますか？
ザリスキ位相との対応を考えると前者のように見えますが、幾何的点における剰余体を考えると幾何的点は後者なので後者のように見えます >>148
リーマン面はどちらが座標とか関数とかはない
分岐がある関数では逆関数でリーマン面を描く必要がある
そういうわけで両方向から見てリーマン面を描く >>152
そうなんですね
複素平面を繋げたものがリーマン面というよりは、関数で表される曲面自体がリーマン面というイメージなんでしょうか >>153
関数のグラフ曲面自体だね
x軸もy軸も忘れて n∈N、f:Rn→Rが連続で、A=｛x∈Rn ｜f(x)≠0｝で定義されるRnの部分集合AはRnの開集合であることを示せ。
また、B、CをRnの閉集合とする時B∩CはRnの閉集合であることを示せ。
お願いします。 お願いしますってなんだよ
(1) 連続写像の定義を思い出す
(2) 閉集合の性質を思い出す
これだけの話だと思うが >>157
閉集合の定義は人によって違うから書いて RとR^2の濃度が等しいことって選択公理必要？
RからR^2への全射は作れるんだが 全単射が作れるじゃん
有理点以外は小数1つ置きで全単射だし
有理点は可算で全単射 R〜(0,1) 開区間
(0,1)の2つの元を小数展開して交互に組み替えてやれば(0,1)^2から(0,1)への単射が作れる
よってR^2からRへの単射が作れる
RからR^2への単射はふつーに作れる
ベルンシュタインの定理に選択公理は必要ない、したがってR^2とRが対等であることは選択公理なしに証明可能 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
