大学学部レベル質問スレ 14単位目
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>>279
>自然数がs(a)=a∪{a}みたいに具体的に定義されていれば{0, ..., n}はs(n)のことだからいいけど
そもそもNを定義するための公理的集合論の論理式はあるのかな？
もしかしたら無いんじゃない？
本質的に公理的集合論の外側で話を進めるべきということでは？ そもそも論理式は可算個しかないので
定義できるのも可算個だけ
個々の自然数は全部定義できるけど
その全部
という言い方ができるかどうかがそもそもの疑問でしょ？
なら自然数全体だって定義できないのかもよ >>282
ZFなら無限公理からごちゃごちゃやってNの存在が証明できる >>281
えっ
じゃあ結局>>264は間違ってるの？ >>285
「各nに対して有限列が一意的に存在する」という形で述べてるから間違っていないはず >>286
なら「各 n に対して有限列 x[n, m] が一意的に存在する」でええやん
添え字を分けるのと第一成分を固定するのと何が違うの？ >>287
ニュアンスの問題といえばそうだけど、x[n, m]はN×N→Vの元のxという対象の(n, m)成分を表す記号であって、N→N→Vのようなものの元を表す記号としてはx^n_mの方が適切だと思う
確認だけど中身は読んだ？ >>288
中身は読んでない
二重数列に違和感があるのなら、 x[n][m] とすればいい
添え字を分ける表記の正当性は示されていない
x[n, m] がそのように定義されるというのなら、 x^n_m はどのように定義され、
それらはどのように違うのか述べよ >>289
というか n に依存して列が決まるなら、
x[n](m) とか x[m](n) とかでもいいよね >>284
ふーん
勉強できるような資料がネットに転がってませんかね？
Nが作れるんなら何とかなりそうな >>279
>「数学的帰納法の定理より、plus_m:N→Nが一意に存在して、」が分からない
松坂和夫｢代数系入門｣327ページで、X=N、x_0=mとしてそのまんまの証明が載ってる
他にも解答してる人居るけど、俺の解答が一番的確だから。 >>289
ここでの(x^n_m)という書き方自体が略記なのでここにおける意味ではなく本来の記号の意味を説明すると、x^n_mはN→N→Vの元のnにおける値のmにおける値を表す記号
N×N→VとN→N→Vは集合として異なるのでその元は一般に一致しない
そもそもZFCで関数クラスを構成するのは好ましくなく関数記号も扱いが面倒なので、本来は略記を用いずより厳密に「任意のn∈Nに対して(x^n_m)が一意的に存在して」の部分を「任意のn∈Nに対してxが一意的に存在して」の形で書いて、「x^{n+1}_m」などを「n+1に対して一意的に存在するxの第m成分」などと書くべきで、記号を改めるなら冗長だけどこっちの方がまだいい
慎重な議論のためにある程度慎重に記号の使い方を選んでいるので批判するなら中身を読んだ上で批判をしてほしい >>294
>ここでの(x^n_m)という書き方自体が略記なのでここにおける意味ではなく本来の記号の意味を説明すると、x^n_mはN→N→Vの元のnにおける値のmにおける値を表す記号
それをちゃんと書かなきゃダメじゃん
結局みにくいことに変わりはないんだから、「その意味で x[n][m] と書く」と一言書けばいいのでは？
人に伝えたいなら読みやすく >>295
とりあえず一度中身を読んでから話を聞く っていうか、松坂の代数系入門の326ページからはペアノの公理をスタート地点としての厳密な定義(自然数の体系の一意性、和積の定義、整数の定義)がされてる
質問者は恐らくこの辺りやってないだけ。2週間もあればきちんと理解出来るぞ 厳密な、自然数→整数→有理数→実数→複素数 の構築は素朴集合論でいける
ZFで、集合論の公理→自然数 の構築がされる >>296
中身には興味ない
俺はみにくい「証明」は読まないことにしているので >>297
>松坂の代数系入門の326ページからはペアノの公理をスタート地点としての厳密な定義(自然数の体系の一意性、和積の定義、整数の定義)がされてる
探してみよっと >>297
>松坂の代数系入門の326ページからはペアノの公理をスタート地点としての厳密な定義興味有るのはZF内での自然数全体Nの定義
ここに書かれてる厳密性っていうのは
ZF内で自然数を厳密に定義したのを「全部集めて」っていうのではないんですよね？ >>302
まぁ、人様に質問させて頂くんなら、それなりの言葉遣いあるからな
お前みたいな奴に答える気は起きんわ
んじゃ f(x + y) = f(x) * f(y)
f(1) = 10
を満たす関数はg(x) = 10^x以外に、無数に存在することを示せ。 >>256
の質問って下の質問と関係ある？
ある本に、関数f : N -> Nを
f(0) = 1
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≧ 2)
と定義するというのはおかしいと書いてあります。その理由は、これから定義しようという関数f : N -> Nを使ってfの値を定義しようとしているというものです。
そのかわり、関数f : N -> Nで
f(0) = 1
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≧ 2)
を満たすものが存在することを証明しています。
なんだか分かったような分からないような気がするのですが、上に書いたことは正しいのでしょうか？ 1115
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>305
体系外で把握出来ることを体系内に式として表して把握したい、っていう要望か
こういうのは厄介な式変形だったり集合操作で把握するのにちょっと時間掛かるが出来るな フィボナッチ数列では前の2項を使って新たに値を定義するけど、
ZFC集合論だと、もっと一般に、それまでの値全部を使って現在の新たな値を定義出来るっていう定理もある >>303
あーらら
まあ読めば分かるから探してみよっと
>>309
サンクス >>309
ありがとう
これでNが定義できてますね
たぶん>>297で紹介してくれている
松坂の代数系入門のp326〜もここに書かれているようなものなのだろうなあ
そちらにもありがとう
大体を言うと
後継者a+=a∪{a}
空集合φを含み含んでいる元の後継者を含む無限集合が存在するので（無限公理）
その中で一番小さいものを決めるために分出公理（置換公理の単純版）を使う
そうして得たものが1つしか無いことを証明する
ということなのね >>305
おかしいというものではないよ
ただ
公理的に考えなくてはならないという前提での質問なら
後者の方がスッキリする
前者も特に問題はないはずだが
公理的に示すのは面倒そう x1,,,xmをパラメーターとして固定し、x~と略記する。
g1,...,gm,hを関数とする。
f(1,x~)=g1(x~)
,...,
f(m,x~)=gm(x~)
と定義し、ｎに対し
f(n+m+1,x~)=h(f(n+1,x~),...,f(n+m,x~),x~)
と定義する
↑こういう帰納的定義って、直観的には定義出来てることは分かるけど、
公理的にこういう関数が存在することを証明するとなると絶対しんどいよな >>314
えーっと、足し算のケースは上で解決済みだけど、>>313はどうやって解決すんの?
示してみ >>314
あれ？パターンだから>>313も同じで良いんじゃねぇの?
お前自分で言っておきながら答えれへんのか？
頭の状態は大丈夫か? >>297
p.327の帰納的定義の原理（定理1）って難しいですね。
p.328のB'' := B - {(σ(k), z)}が条件(a), (b)を満たすことの証明は以下であっていますか？
(a) (0, x_0) ∈ Bである。また、p.326の公理N2により、0≠σ(k)であるから、(0, x_0) ≠ (σ(k), z)。∴(0, x_0) ∈ B''である。
(b) (n, x) ∈ B''であるにもかかわらず、(σ(n), φ(x)) ∈ B''でないと仮定する。(n, x) ∈ Bだから(σ(n), φ(x)) ∈ Bである。
∴(σ(n), φ(x)) = (σ(k), z)でなければならない。p.326の公理N1により、σは単射であるから、n = kでなければならない。
∴(n, x) = (k, u)でなければならない。すると、(σ(n), φ(x)) = (σ(k), φ(u)) = (σ(k), z)となってしまうが、これはφ(u) ≠ zである
という仮定に反する。 >>317
その本の証明をちょっと確認したけど、Aに"余分な列"が入っていたら取り除いたとしても依然(x0,φ)集合のままであるが、
Bの最小性を考えると、"余分な列"は存在し得ない っていうロジックだな 松坂和夫著『代数系入門』の付録を読み終わりました。謎が解明されたという感じは全くせず、ただ責任を公理に添加しただけという感じが拭えません。
ただ、帰納的定義の原理は、これがあるとスッキリしますね。 >>317
>∴(n, x) = (k, u)でなければならない。
なぜ？ >>323
>ただ責任を公理に添加しただけという感じが拭えません。
どういう意味? >>323
てか確かペアノの公理だけでは加法の構成はできなかったんじゃなかったけかな
で、加法の存在だけ仮定したプレスバーガー算術とか加法と乗法の両方の存在仮定したロビンソン算術とかあったと思う
その辺の細かい話は基礎論専攻するつもりでない限りはこだわりすぎない方がよさげ なるほどなるほど
そのモヤモヤした感情の原因は、松坂の代数系入門の付録に載ってる公理は、素朴集合論を前提としたペアノの公理だから、かもな
ZFCの公理を見せず、集合操作を直観的に行ってる当たりに、公理的議論をしてる感じが伝わってこないってことかもしれないんじゃね？ >>327
松坂のそれ見たいなあ
どこかに落ちていないかしら >>331
検索すら出来ない無能はもうダメだこりゃ >>330
>島内剛一 数学の基礎
おすすめ
心して完読せよ >>333
ありがとうございました。読んでみます。 >>332
知ってる？って質問に知らないと答えてこれはなぁ (Z/8Z×Z/8Z×Z/3Z)/(Z/4Z×Z/4Z×Z/3Z)はZ/2Z×Z/2Z×｛1｝すなわち(Z/2Z)^2に同型である、という議論は可能ですか？
具体的には次の2つが可能であるかどうか知りたいです。
・(Z/6Z)/(Z/2Z)がZ/3Zに同型である、といったような通常の分数の割り算を思わせる計算。
・直積を分けて考えること。上の例では(Z/8Z)/(Z/4Z)がZ/2Zと同型、(Z/8Z)/(Z/4Z)がZ/2Zと同型、(Z/3Z)/(Z/3Z)が｛1｝と同型、よってこれらの直積を取って(Z/2Z)^2に同型であるという議論をした。
出来る場合と出来ない場合がある時はどのような時に出来てどのような時に出来ないのか教えてください。よろしくお願いします。 >>304
RをQベクトル空間と見て1の生成する所以外は適当なべき乗でに 環上の加群で極小な生成系をもたないものはありますか？ >>340
極小な生成系というのがよくわからないけど
例えばQ上の代数Aを非負の実数でパラメトライズされた基底Xaてはられるベクトル空間にに積をXaXb=Xa (a≦b)で定めた代数としてMをその極大イデアルとする
この時集合SがMを生成する
⇔∀a>0∃b>a Xb∈S
だから“極小な生成系？”はない 定理4.4.2の証明中の「つまり、どの辺も1度だけ使われる。」の言っていることが分かりません。
解説をお願いします。
定理4.4.1
木のどの2点もちょうど1本の道で連結している。
定理4.4.2
どんな位数nの木もn-1本の辺をもつ。
証明：
電話のネットワークを例にとって証明しよう。ある町で事件が起こり、他の町にメッセージを電話で送ろうとしたとする。
まず、その町の人は直接回線がつながっている町で電話する。電話を受けた町は直接つながっている町へ電話する。
電話を受けた町は、直接つながっている町でまだ電話を受けていない町へ電話する。…、グラフは連結なのでメッセージは
どの町へも伝わる。定理4.4.1より、どの町も事件のあった町とは1通りの道で結ばれている。つまり、どの辺も1度だけ
使われる。したがって、電話の回数は辺の本数と1対1に対応する。電話をかけないときに事件を知っている町はその町1つ
だけで、1回電話するたびに事件を知る町が１つずつ増える。したがって、点（町）の個数は辺（交信）の本数よりもちょう
ど１つ多い。 >>342
SがMの極小な生成系である⇔SがMを生成し、任意のSの真部分集合はMを生成しない
のつもりです
Aは単位的でない環のようなので極大イデアルをもたないと思うのですが >>344
不等号逆だ
XaXb = Xb (a<b)
X0が単位元
m=<xa | a>0>
が唯一の極大イデアル
SがMのgenerator ⇔ inf{ a | Xa∈S } = 0 >>345
その場合{Xa+X{2a}| a>0}もMを生成するので同値が成り立たないと思います >>346
Xa+Xb=Xa(1+Xb)
で小さい方で生成される uを全順序集合とする。v⊆uとする。
ｖはuの共終部分集合の定義は↓のどっちですか？
・∀x∈u∃y∈v ( x≦y )
・∀x∈u∃y∈v ( x<y ) >>355
https://i.imgur.com/WNfuu6u.jpg
の(1)と(2)の同値性を見ると、
定義では
・∀x∈u∃y∈v ( x≦y )
だが、同値性の証明には
・∀x∈u∃y∈v ( x<y )
が必要に見えるのだが? >>357
そもそも共終数ってのは実際上は極限順序数しか考えないもの。
でも定義上は一般の順序数で考えてる ｐ123 https://i.imgur.com/WNfuu6u.jpg
ｐ124 https://i.imgur.com/pteSkJz.png
例4の ∀α＜アレフ1 [ v-f''α≠φ ] (p124)って言う議論は
・∀x∈u∃y∈v ( x<y )
という性質を使ってるとしか思えないんだが。
・∀x∈u∃y∈v ( x≦y )
だと、≠φっていう結論を出せないと思うんだが 共終の概念は ≦ の方だな
証明は極限順序数だけで成り立つと明記すればいいだけ >>362
>>360の同値性の証明を≦のケースで出来る？ ユークリッド幾何学の1階の理論の決定可能性の証明を読みたいのですが、書籍や文献を教えて頂きたいです。出来れば日本語でお願いします。 >>366
順序数αが極限数なら確かに分かるけど、後続順序数S(γ)の時は(1)⇒(2)は言えない気がするんだが
(S(γ)⊆∪Rng(f)が言えない…¬γ∈Rng(f)な気がする) だから極限数しか考えてないと推察できるのさ
自力で正しい結論を出せるんだから教科書が全部正しいなんて思うなよ 定義から他の定理を援用せず直接帰結出来るような命題については大体は自分で行間埋めれるけど、
証明の行間を埋めてる時もそうだけど、｢やっぱりテキストの言う通りに理解したらおかしい気がするんだよなぁ｣とは思いつつ、
｢やっぱり俺の力では気づけていない点がどこかにあるかも｣という気も捨てきれないから、
自分の中で区切りを付けて先に進めない時が多々がある。 ○○は位相空間でもベクトル空間でも軍でも何でもいい
∀基数κ∃○○空間X |X|=κ
って一般に真? 群(G,・,e)が
∀a,ae=ea∧∀a,∃b,ab=ba=e∧∀a,b,c,(ab)c=a(bc)
で定義される代数系であるのと同様に
∀a,b,a=b
で定義される代数系も考えられる
これの台集合は一元集合に限られる >>370
少なくとも位相空間と群は真だな
ベクトル空間だとcardinal cに対して
∃V: vector sp. |V|=c iff c;infinite or 素数冪 偽であるような代数系としては体があるな
そもそも有限濃度の場合ですら素数冪じゃないとだめだし f_1(a,0) := a
f_1(a,b+1) := f_1(a,b)+1,
f_2(a,0) := 0
f_2(a,b+1) := f_1(f_2(a,b),a),
f_3(a,0) := 1
f_3(a,b+1) := f_2(f_3(a,b),a)
によって、f_i(a,b) (i=1,2,3)を定義する。
すると、一般に
f_{n+1}(a,b+1) := f_n(f_{n+1}(a,b),a)
と定義したくなる。
f_{n+1}(a,0)は何と定義すべきか? >>372
位相空間は infinite でも証明できんだろ 間違えた
ベクトル空間は infinite でも証明できんだろ
だった >>377
Xの濃度が無限ならF2係数のXではられるベクトル空間の濃度はXに等しい ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
