大学学部レベル質問スレ 14単位目
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前スレの質問
999 １３２人目の素数さん[] 2020/07/15(水) 10:59:39.04 ID:GC4Nr3Jf
離散位相、密着位相という名前はなぜそうつけられたんですか？直感的な説明をお願いします。
例えば位相空間Xから実数Rへの連続写像を考えてみる
Xが離散位相ならば、この写像は完全に自由で良い
つまりXをバラバラに引きちぎってRに送れる
Xが密着位相ならば、この写像は1点に潰すしかない
つまりXの各点は全く離れたくないかのように振舞う 閉包＝くっついてる でもいいな
密着位相で閉包は全部くっついてしまう
離散位相の閉包は全然くっつかない 自分は数学科ではないのですが、「悪魔の証明」って、対偶を利用すれば可能ではないのですか？
論理記号で表現できないのですが。素朴な疑問。 類体論周りの代数的整数論って、
ガロア理論とか関数論とかと比べてあまり標準的ではない割に退屈な理論を勉強しないといけないですよね
例えば、デデキント環の理論とか付値の理論とか位相群上の積分とか、…
皆さんはこういう理論を勉強するときにどうやってモチベーションを維持していますか？ 一つの方法としては群のコホモロジーからアプローチする
デメリットは和書にそういう本が殆どない 勉強できる人はみんな強いモチベーションや先人への盲信を持ってるように見える
それか賢い人は次々に登場する概念の必要性を瞬時に理解できるからかも知れないけど 「数論やるなら類体論くらい知っておかないと」みたいな感じで始めても全然モチベーションが維持できないんですよね
なんというか、類体論そのものに面白さを見出せないというか
向いていないのかな >>9
盲信も何も、数学者は普通に俺らより優秀じゃん
でも高校では数学ナンバーワンで自信満々で数学科に入ったのに心折られちゃった人は、その適応機制として数学者より自分のほうが正しいんだという思想に染まりやすいんだろうね
そんな根拠のない自信は持たないことが大事 歴史的な流れもあるかと思う
だから数学史を見ることで当時の問題意識などがわかって概念の理解しやすくなることもあるし
逆に現代的な統一的視点で見た方が分かりやすいこともある
当時の動機とは全く違う重要性が後に見つかって、そちらが現在では重視されていることもある
歴史の中の数学者は全員天才だけども概念や理論自体のあり方は絶対的なものではないはずで
もしかしたら全く別の体系・整備があったかもしれない
まあ、かといってそれを己で一から開拓するなんてのは難しいだろうから素直に歴史に従うべきだというのはあるが >>10
意味分からん
理解できずに先行けるわけない
微積の小手先線形の小手先を面白いと思っているだけでは何にもならないのと同じなのだがそれが分からないというのが分からない まず数論に対してどんなモチベがあるかだね
類体論やらなくても解析的数論や組み合わせ的数論で出せる結果もあるだろうから >>13
個人的には、「役に立つけど面白くない理論」と「役に立たないけど面白い理論」があると思っていて、
類体論は前者に属すると思っています
私は前者を学ぶモチベーションが維持できないんです (0,1) 1/√(x(1-x^2))
この広義積分ってどんな関数で上から抑え込めばいけますかね？
それとも発散しますか？ x→√yと変数変換したら
ベータ関数B(x,y)使って
B(1/4,1/2)/2
になるから
=Γ(1/4)Γ(1/2)/(2Γ(3/4))=√πΓ(1/4)/(2Γ(3/4)) ガンマ関数の乗法公式使うと
=Γ(1/4)^2/√(8π)=2.62....
評価についていうなら
積分範囲をA=[0,1/2]とB=[1/2,1]で分けて考えれば
3/4≦(1+x)(1-x) (x∈A)
3/4≦x(1+x) (x∈B)
だから
∫1/√(x(1+x)(1-x))≦2/√3(∫_A 1/√x + ∫_B 1/√(1-x))
=2/√3(√2+√2)=4√2/√3=3.26....
で抑えられる >>2
Ω={0,1} O(Ω)={φ,{1},Ω}という位相空間を用意すると
Xが離散位相 ⇔ XからΩへの連続写像は任意(バラバラ可能)
Xが密着位相 ⇔ XからΩへの連続写像は定値のみ(1点に潰すしかない)
と書けるか >>15
数学の本道に進まず
何にも成し遂げられないってことだよ？ >>20
何にも成し遂げられないことはないと思うけど >>21
質問は十分具体的だと思うけど
まさか可能かどうかを尋ねる質問に対して答えを具体的に書けと言ってる？ >>23
悪魔の証明の具体例を書いてって言ってるだけ 数学上の話ならそもそも「悪魔の証明」なるものは存在しない
証明もしくは反証できるものそもそも悪魔の証明にならないし、証明も反証もできないものは単にその公理系から独立してるだけというスタンス 画像の定理を証明してください
多変量正規分布の最尤推定に使う定理らしいのですが、全く分かりません...
参考になるサイトでも構いませんので、よろしくお願いします
https://i.imgur.com/gptqgco.jpg うーん、少なくともΣ^(-1)Aが対角化出来るものとして考えれば、その固有値たちを使って
(Π(λ_i)^n(-exp(λ_i)))^(1/2)|A|^(-n/2)
と書けて、これを最大にするには各iについて
(λ_i)^n(-exp(λ_i))
が最大になれば良くて、それはλ_i=nのときだから
Σ ^(-1)Aが単位行列のn倍のとき
つまりΣ=A/nのときと分かるけどね あ、微分していけるわ
Σ^(-1)A=BとしておいてBの各成分b_ijの多変数関数と思って最大を求める
元の式は
(|B|^n(exp(-trB)))^(1/2)|A|^(-n/2)
と書けて、これは
|B|^n(exp(-trB))
を最大にすればよい
∂/∂b_ij |B|=(B^(-1))_ji|B|
∂/∂b_ij trB=δ_ij
などに注意して微分すれば
B^(-1)_ji=1/nδ_ij
という条件を得る
つまり
B^(-1)=E/n (Eは単位行列) よって Σ=A/n ありがとうございます！
質問なのですが、|Σ|^(-1/2)の部分が|A|^(-1/2)になっているのは、どのような計算をしたのですか？
初歩的・筋違いな質問だったら本当にごめんなさい >>30
まず>>28の式のexpのとこ誤植
(Π(λ_i)^n(-exp(λ_i)))^(1/2)|A|^(-n/2) 誤
(Π(λ_i)^n(exp(-λ_i)))^(1/2)|A|^(-n/2) 正
タイミング的にまだ>>29の方は見てないですかね
Σ^(-1)A=Bと置いたからΣ=AB^(-1)
|Σ|^(-n/2)=|B|^(n/2) × |A|^(-n/2)
となってAの部分が出てくる
上のλ_iバージョンの式も同じ理由で|A|が出てます >>31
なるほど！！！！！ それで|B|の方は左の括弧に組み込まれてるんですね！
完全に理解できました！ 本当にありがとうございましたm(_ _)m 補足
上の証明でλ_i>0の範囲で最大を言ってるけど
正定値対称行列の積は対角化可能で固有値も全て正だから良さそう
F,G:正定値対称とするとそれらの積は
FG=√F(√G√F)^t(√G√F)√F^(-1)
とかけて
正定値対称な(√G√F)^t(√G√F)に相似だから
FGも対角化可能で固有値は全て正 >>20
実際どうやってモチベーションを維持しているの？
気合い？ >>34
モーチベーションは面白いから
分からなければそこでお仕舞い >>35
難しいだけで面白くない理論の場合はどうしてる？
>>7にあるような理論とか、測度論とか >>37
そっか…
面白くない理論に出会ったことがないか、
あるいはどんな理論でも面白いと思えるタイプの天才か
どっちにしても羨ましい フルヴィッツ・クーラントの楕円関数論の翻訳書ってどれくらいの予備知識があれば読めますか？ R^nの開球U = { x | |x| < 1}からR^nの開集合への連続な全単射fがあったとき、
逆写像f^-1: f(U)→Uは連続ですか？ 無限基数って全部アレフ_αっていう形で一意的に漏れなく表せれるのに
何で一々｢κは無限基数である｣みたいな表現するんかな
前々からずーーーーーっと思ってるんだが？ 整数は全部10進法で表せるのに
何でいちいち「nは整数である」みたいに書くのかね〜？ >>48
すみません、どうやるのか分からないのですが
整数全部10進法で表してみてもらえますか？ >>49
じゃあその前に無限基数全部アレフ_αで表して >>50
僕は>>47では無いのでそれもどうやるか分からないです
整数全部10進数で表せる方なら無限基数全部アレフ_αで表すこともできるので、それについても教えて頂けると助かります どの整数も十進法で表すことができるが
すべての整数を十進法で表す為には
この掲示板には余白が足りない >>48
ワロタｗｗ
一応お前の中では皮肉を頑張って言ってみたんだろうけど、
整数が10進法で表せる事といちいち｢ｎは整数である｣と断る事の関係性言ってみｗ >>48
>>55と大体同じ事だけど、｢ｎは整数である｣と一々断る必要性が無い根拠を言ってみ >>48
追加で課題
大体同じ事だけど、その皮肉を言う事によって>>47の何に問題があると言いたかったのかも言ってみ >>47
せめて連続体の基数をアレフ_αで表してみろ アホに因縁つけられたのに言い返してるだけで別に悔しい要素ないやろ
偉そうに言った割りに突っ込まれたら何も言い返せないID:H/LImTquが悔しくて死にそうというなら分かるけど >>61
この掲示板で表せる最大桁数の整数の10倍の整数 よく分かってないけど、可算無限個のものをすべて書き下せないということと、ある基数の大きさについて記述できないこと(ZFCから独立)って少し種類が違うように思うんだが
それとも論理体系をゲーデル数化(?)してみると根本では同じ問題とか？ 世の真理
アホは論破できない
アホは自分がアホだという事が自覚出来ない >>63
後者は公理系に対して証明する問題だが
前者は公理系に関係ない すいません。2番と3番を教えてください。
ちなみに2番の問題文のs^2の部分はΣのつけ忘れです。
https://imgur.com/a/DIfWsBb 課題の中で「直積集合S=Z×(Z/{0})の元(m,n)」ってあったんですけど、ということはｎ=0ってことですか？バカ丸出しだったらすいません。 つまりただ単にS＝Z×Zとして考えればいいってことですか。。。 Z/{0}≅ZではあるけどZ/{0}=Zではなくないか
ところで集合A,Bに対して{x|x∈Aかつx∉B}をA\Bと書く 俺、｢○○と書いても誤解の余地が無い時はそのようにする｣って言うやり口大嫌いだわ 位相空間や群環体や測度空間とかもいちいち台集合だけでなく組として明示するの？
(コ)ホモロジーの系列とか一つ書くだけですごく時間掛かりそうだね Z/{0}=Z/1=Z:整数
Z＼{0}=Z-1≠Z:零元以外の整数 >>71
うわぁ…
文字コード被りの被害者を初めて見たｗ 偏微分の問題かなー？
y(t) = ∫ u^2 dx として y の微分方程式を出せばいいんじゃないの？ >>79
その方針で一度試したんですけど微分して条件式代入した時に出てくる
∫uu_{xx} dxの項が上手く評価出来ないんですよね
部分積分使ってもuu_{x}が出てきて邪魔になってしまって >>80
微分方程式を見ると成り立つと思えるのに不思議だね
この直感を数式にできれば解けるんだろうが… VをdimV=nの線形空間とし,
Vからn個の一次独立なベクトルを取ることができたとする。
それらをv_1‥v_nとするとき
span(v_1…v_n)=V
はいえますかね(´・ω・`) span(v_1…v_n)=Vでないならv_1,…,v_nの一次結合で表されないVの元v_{n+1}が存在する
同様に元をつけ足していけばn+1個以上の元からなるVの基底が作れるので次元の一意性より矛盾 今見たらそのやり方だとVの基底が作れることが言えねえわ
n個の元からなる基底から一次結合で表せないものとってこないと そもそも基底の存在定理の証明見てわかるように基底=極大一次独立系ですし次元は基底を構成する元の個数ですし
当然n個の元からなる一次独立系が基底にならなければ極大性に反する >>80
∫ uu_{xx} dx = [uu_{x}] - ∫u_{x}u_{x} dx
だけど、問題文の真ん中の等式からuとu_{x}はx→±∞で0になるので、
∫ uu_{xx} dx = - ∫(u_{x})^2 dx
なので、
(∂/∂t) ∫ u^2 dx = ∫-(u_{x})^2 - x^2 u^2 - u^4 dx < 0
で、∫ u^2 dxが単調減少までは言える気がする
t→∞で∫ u^2 dxが0になるかどうかは分からなかった 位相空間論の問題です
閉集合の部分被覆は、任意の開集合の部分集合になっている？ みたいな問題です
どうかお助けください...
https://i.imgur.com/QDTW4QX.jpg 議論を開被覆に帰着させたらいいだけじゃね?
見た感じ定義から直接的な議論で証明出来そうな気がするが https://i.imgur.com/QDTW4QX.jpg
ヒントをくれた方、ありがとうございます！
とりあえず回答を書いてみたのですが、合っているでしょうか？
O_ ⊂ K_ より、K_はO_の開被覆で〜って所から結構曖昧です 曖昧だというのはOの補集合がコンパクトかどうかかな？
コンパクト空間の閉集合はコンパクトだからokなんだけど、もしこれを知らないのであれば、K_λの補集合たちにOを追加すればXの開被覆が作れるからコンパクト性を使えばいい >>96
>>93と全く同じ画像に見えるのは俺だけ？ 俺も同じに見えるけど>>97が普通にレスしてるからバグかと思ったわ 画像貼り間違えてました... ごめんなさい
>>97
まさしく疑問に思っていたのはそこです！
あとはO_とOは共通部分がないから、∪Kから勝手に取っても大丈夫で...って感じですかね
ご回答ありがとうございましたm(_ _)m 「コンパクト空間の任意の閉部分集合はコンパクト」って基本的な事実だよね
もし知らないならこの機会に勉強したほうがいいと思う ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
