大学学部レベル質問スレ 14単位目
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「単調収束定理」の主張において，正値であっても単調でない確率変数列では結論が成り立たないことを，例を挙げて示せ．
なお、単調収束定理は
確率変数 X_n (n=1,2,...) に対し、
X_n が非負値で、かつ X_n が単調増加ならば
lim_{n→∞} E[ X_n ] = E[ lim_{n→∞} X_n ]
全く思いつきません...どなたかお願いします >>167
この場合の分子分母に辞書式順序入れてf:Q→Nを
f(x)=#{y | y≦x }
とすればいい >>168
[0,1]のルベーグ測度で
Xn(x)=max{ 6n^3x(x-1/n),0 }
でいいやろ https://i.imgur.com/xDZqMVY.jpg
初歩的な質問だったらごめんなさい
この∮g(z)F_n(dz)というのはどういう計算なのでしょうか？
ルベーグ積分というやつですか？ >>171
そうだねルベーグ(スティルチェス)だね
でも多分前の方に定義は書かれてるんじゃないの？離散型と連続型を区別せず統一して書いてるだけでg(x)F_n(x)の積分(和)でしょ n≧2、Aをn次複素正方行列とする
A^(n-1)が対角化不可能、A^nが対角化可能であればA^n=0となることを示して下さい 位相空間論の同相によって"遺伝"する性質としない性質の違いについての研究って何かありますか? >>180
Aによる作用でn次元ベクトル空間をR=k[x]加群とみなしたものをMとおく
S=k[x^(n-1)]、T=k[x^n]とおく
Mの直既約成分にR/(x-a)^i (i≧2, a≠0)が有ればMがT加群として完全可約である事に反するのでそのような直既約成分はない。
もし一つでもR/(x-a) (a≠0)となる成分をもてば全ての成分はR/(x)^i (i≦n-1)の形かR/(x-b) (b≠0)の形となりMはS加群として完全可約となるのり仮定に反する
以上により全ての因子はR/x^iの形であるがi=nであるものがなければやはりMはS加群として完全可約となり仮定に反する そんなに難しく考えなくても、
ジョルダン標準形のべき乗と（加法的）ジョルダン分解の一意性を使えばいいんじゃないの？ >>183
まぁそうだけどこのジャンルやってる人間にとっては正方行列の作用でk[x]加群作るのは定石
ちなみにjordan理論も既約k[x]加群が代数的閉体上の既約加群がk(x)/(x-a)^iの形をする事に対応してる
なので上の証明はまさにjordanの理論を加群の理論で書いたに過ぎない
この読みかえは定石中の定石だから、それをわざわざもう一回jordan理論に戻す意味もない
もちろん一回生レベルの話に落とし込めるのはメリットかもしれないけど、まぁ意味ないね >ちなみにjordan理論も既約k[x]加群が代数的閉体上の既約加群がk(x)/(x-a)^iの形をする事に対応してる
と書くあたり、jordan理論に戻す意味もない訳ではないことを認識してると思うけどな 同じことだけど加群の言葉は少し難しいからな
天与の標準形で行列計算した方がわかりやすい学部生も多そう >>181
位相空間論は同相で変わらない性質のみを研究する
同相で変わってしまう性質があれば、それはもはや位相空間論ではない
普通、遺伝的といった場合、部分空間に対して同じ性質が成り立つことを言うはず >>187
完備性は遺伝しないから一様同相って概念があるだろ >>188
まず性質と構造の区別をしておく必要がある
距離構造や一様構造は位相空間上の構造であって性質ではない
つまりその話は同相で距離が保たれないものがあるという話と本質的に同じ もしかして元の質問は性質と構造の違いについて聞きたかったのか >>190
んじゃ、性質と構造の定義もしくは違いは? >>190
何だ。こいつ消えたの?
こんな奴の下らん言葉遊びに付き合わせられたってワケか… ある数学的概念に対してその定義に使った構造のみで書ける条件はその概念の性質で、他の構造を追加して書いた条件は(付加)構造もしくは新たな概念に対する性質と見なされる
(数学的概念は構造の追加によって下部から上部へ階層化されていることが多く、どの階層から見るかでこの区別は変わる)
線形空間論において内積やノルムは構造、次元は性質
環論において付値は構造、局所性やネーター性は性質
位相空間論において距離は構造、距離化可能性は性質
最後の例のように「ある構造が入るかどうか」自体は性質になることがあり混同されることもある >>195
あ～、完備性って言ってる時点で、単なる位相空間だけじゃなしに、距離関数の存在までをも含めて言及してるから、それを位相空間ってレベルで捉えるなっていいたいのか
でも結局はそれは完備性って言葉に噛みついただけか。
でもそれだと、俺の最初の質問の答えになってないし、｢同相で変わってしまう性質は位相空間論の対象では無い｣は答えになってないというか
どこまで言及すれば同相でも変わってしまうのか、どの程度まで言及を抑えておけば同相で維持出来るのかの境目辺りを知りたいって疑問には未だ答えになってない
というかこれは数学基礎論の話になってしまうのか? つまり、>>195の理解に立てば、言及が構造にまで及べば同相で遺伝させれない例(完備性)が出てくるって言いたいわけだ 同相写像は開集合を開集合に、閉集合を閉集合に写し、位相的構造を保つ。つまり、位相空間としての性質（コンパクト性、連結性など）を一切変えない。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/位相同型
これが全てでしょ
完備性が位相空間としての性質として扱われてない理由は、自分で書いてるから分かるだろう >>196
位相(あるいはそれより下部の)構造の言葉のみで書かれた条件が同相写像で保存されるのは当たり前で、それは条件の言明を見ればただちにわかる
一方で、付加構造の言葉で書かれた条件が任意の同相写像で保存される(位相不変である)かは自明ではない
しかし、そういう条件があったとしても結局それは位相(あるいはそれより下部の)構造で記述出来てしまうというのが歴史の示唆するところ
というか、位相不変であることを示すとなるとそれが位相の言葉で書けることを示すパターン以外になさそう…
これは常にそうなりそうな感じはするけど、確かに基礎論的に定式化する必要があるかもね >>200
位相不変な性質である時点で「付加構造の取り方によらないwell-definedな性質」として位相の言葉で語れてないか
もちろん自明な付加構造を取れる必要はあるけど 距離から導かれる位相が同相なら完備性も同じって証明できなかった？ >>202
Rと(0, 1)は同相だけどRは完備で(0, 1)は完備じゃない >>201
超越的にはそうだけどその条件を位相の言葉で記述しきること無しに位相不変性が示せるんだろうか
仮に超越的に示せたとしてそれが位相の言葉でどうやっても記述出来ないことは可能性としてはある(ないと思いたいが)
それと自明な付加構造が入らない場合も多いから、その場合も考えたい
まあ、この場合は病的な付加構造を与えて位相空間のクラスを厳しく制限することで位相的に記述できないが位相不変になるような条件が作れるかも
>>202
そんなことはない >>204
無知で申し訳ないんだけど、「超越的」っていう用語があったりするの？
それと>>201のどこで位相の言葉以外を用いているか教えて >>205
超越的は「～を満たすもの全てを集めてその共通部分をとる」みたいな構成とか存在定理のようなものを経由して示されてることのイメージで使った(用語ではないけどたまに使われてると思う)
なるほど、言いたいことがわかった
「任意に1つ(その付加構造)を入れて、そこで(その条件)を満たす」てのを条件と考えれば付加構造自体は量化子で束縛されてるから文として位相的記述になってると見なすべき、ということか 量化子で束縛は謎すぎ撤回、自明な付加構造を選べばいいか
その上で記述すれば自明な付加構造は位相的に記述されてるはずだから良いのか
自明な付加構造を持ってない状況だと位相不変な条件が位相的に記述できるかは明らかじゃないよね？ 高級な言葉で煙に巻こうと必死になってて、自分でも何言ってるかよくわからなくなってるんじゃないですか？ まあ数学的な議論というよりはお話だからそう言われても仕方ないが、煙に巻こうなんて1ミリも思ってないよ >>206
超越的は初めて知ったわ
さんくす
大方言いたかったことが伝わったみたいでよかった
簡単のために構造と付加構造として集合と位相空間を考えると、位相空間に定義される性質(命題)Pが集合に対して不変っていうのは
∀A∈Set,∀O,O'∈{Aの開集合系},P(A,O)⇔P(A,O')
ってことだと思う
で、このときAは離散位相をもつから
∀A∈Set,∀O∈{Aの開集合系},P(A,O)⇔￢∀O∈{Aの開集合系},￢P(A,O) (※)
ゆえにAが性質Pを持つことは
∀O∈{Aの開集合系},P(A,O)
とか
∃O∈{Aの開集合系},P(A,O)
とか表せると思う
ただし位相と距離だと{Aの距離関数の全体}が空の場合があって(※)の辺りからが上手くいかない
みたいなことを言いたかった >>212
学部受験数学でイキリ立ってる方がド変態なんやで RとRのZ上のテンソル積は、Rベクトル空間として有限次元ですか？ >>219
RはZ加群としてQの非可算直和らしい(選択公理必要？)から非可算次元になりそう R 上で 1⊗0 と 0⊗1 から生成できるから 2次元だな >>223
R otimes R over Z = R otimes R over Q = R otimes Q^dim_Q R =R^dim_Q R >>224
√2 otimes 1 ≠ 1 otimes √2 >>227
自分でも気がついて己の馬鹿さに絶望した！
大体、Z上のR⊗RのままじゃRベクトル空間でねーじゃん
自然な定義も一意じゃねーし(>>229) >>241
右と左でベクトル空間の構造が異なるから注意してなってことだけど
君こそ何書いているのか理解してないんじゃ無いの？ いや右手系と左手系だって言われたら2ch～5chで尋ねる前に検索しなさいよ
右手系 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A6%E6%89%8B%E7%B3%BB
理系各分野にて右手系を正系とする事から左手系について専用ページ分けせず同項目で一括言及としている 空間の向きじゃなくて作用の話だろ……上から目線で的外れな指摘って恥ずかしいやっちゃな>>246
*をテンソル積としてr(a*b)=(ra)*bと(a*b)r=a*(br)は異なる(整数倍では一致)ってだけでしょ >>245
右に有るRと左に有るRてだけ
別に右左で無く1番2番でもイイが？ >>246
>いや右手系と左手系だって言われたら2ch～5chで尋ねる前に検索しなさいよ
R otimes R otimes R
ならどう言うつもり？ 大体1次元方向に伸びるだけでなくても良いわけで
Rの積が可換だからグラフのノードにR置いて
辺で（Z上の）テンソル積とかでもイイ 繋がり方は関係ない
識別できれば良いから1次元で充分 Z/4Z×Z/6Z×Z/9Zの指数3の部分群の個数の求め方を教えてください。
あと、群論を独学しているのですが、演習不足で中々定着しません。おすすめの演習書あれば教えてください。 >>254
G=Z/4Z×Z/6Z×Z/9Zの指数3の部分群はHom(G,Z/3Z)の0でない元と一対一に対応するから、その数は#Hom(G,Z/3Z)-1
ここで
Hom(G,Z/3Z)
= Hom(Z/4Z×Z/6Z×Z/9Z,Z/3Z)
= Hom(Z/4Z,Z/3Z)×Hom(Z/6Z,Z/3Z)×Hom(Z/9Z,Z/3Z)
= {0}×Hom(Z/3Z,Z/3Z)×Hom(Z/3Z,Z/3Z)
となる
一般にnが3の倍数でなければHom(Z/nZ,Z/3Z)={0}
n=3mの時には短完全列
0→Z/mZ→Z/nZ→Z/3Z→0
にHom(～,Z/3Z)をヒットして得られる左完全列
Hom(Z/3Z,Z/3Z)→Hom(Z/nZ,Z/3Z)→Hom(Z/mZ,Z/3Z)
の最後の→は0写像になる(∵Z/mZの生成元は3+mZ)
故にnが3の倍数のときはHom(Z/3Z,Z/3Z)とHom(Z/nZ,Z/3Z)は同型になる 再帰的定義って集合論的にどうやってるの？
例えば加法N×N→Nを定義する時にm+nを
m+0=m
m+s(x)=s(m+x)
とやるけど、これで何で({m}×N)×Nの部分集合が定義できるのか分からない >>256
公理的集合論の外のと中のがあるけど
中のは置換公理か何か使うんでしょ >>256
m+ := { (m,n,k)∈({m}×N)×N | m+n=k } ⊆ ({m}×N)×N
じゃアカンの? >>257
そんな感じのアレか
>>258
m+の定義に+が使われてるけど俺が分からないのは写像+:N×N→Nの存在をどうやって証明するかというところ 増大部分関数列{(m,0,m)}⊂{(m,0,m),(m,1,m+1)}⊂{(m,0,m),(m,1,m+1),(m,2,m+2)}⊂... の和集合とか？
プログラム意味論での再帰関数の定義は、そんな感じだった >>259
こう書けばいいか？
mを任意の自然数とする。
数学的帰納法の定理より、plus_m:N→Nが一意に存在して、
plus_m(0)=m
plus_m(S(n))=S(plus_m(n))
が成り立つ。
(mに応じたplus_mの存在が単なる存在ではなく、一意に存在するから、選択公理を使わずして)列(plus_m)_{m∈N}が取れる。
+:N×N→Nを(m,n)→plus_m(n)
で定義すれば良い。 同一のことだが、こうとでも書けるかな
上述の一意存在により、
PLUS：N→(写像：N→N) を m→plus_m で定義出来る
+：N×N→N を (m,n)→PLUS(m)(n) (=plus_m(n)) で定義すれば良い 全く同一のことだが、
+ ：= { ((m,n),k)∈(N×N)×N | plus_m(n)=k }
と定義すれば良い 合ってるか分からないけど
a_0=a,a_{n+1}=f(a_n)となる列(a_n)を定義する
これには任意のn∈Nに対して(x^n_m)が一意的に存在して(((x^n_m)が長さn+1の有限列)∧x_0=a∧(m<n→x^n_{m+1}=f(x^n_m)))が成り立てばa_n=x^n_nとして定義できる
以下上記の条件を∀n∈N,P(n)と書く
(x^0_m)はx^n_0=aとしてP(0)
P(n)ならば,m<=nに対してはx^{n+1}_m=x^n_m,m=n+1に対してはx^{n+1}_m=x^n_nとしてP(n+1)
よって数学的帰納法により∀n∈N,P(n)が示せた 後ろから2行目x^{n+1}_m=x^n_nはx^{n+1}_m=f(x^n_n)のtypo 数式のマナーとして、添字が先、冪乗が後
もうこの時点でイラついたわ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
