https://arxiv.org/pdf/2004.13108.pdf PROBABILISTIC SZPIRO, BABY SZPIRO, AND EXPLICIT SZPIRO FROM MOCHIZUKI’S COROLLARY 3.12 TAYLOR DUPUY AND ANTON HILADO Date: April 30, 2020. P14 Remark 3.8.3. (1) The assertion of [SS17, pg 10] is that (3.3) is the only relation between the q-pilot and Θ-pilot degrees. The assertion of [Moc18, C14] is that [SS17, pg 10] is not what occurs in [Moc15a]. The reasoning of [SS17, pg 10] is something like what follows: P15 (2) We would like to point out that the diagram on page 10 of [SS17] is very similar to the diagram on §8.4 part 7, page 76 of the unpublished manuscript [Tan18] which Scholze and Stix were reading while preparing [SS17]. References [SS17] Peter Scholze and Jakob Stix, Why abc is still a conjecture., 2017. 1, 1, 1e, 2, 7.5.3 ( http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTch-discussions-2018-03.html ) [Tan18] Fucheng Tan, Note on IUT, 2018. 1, 2 つづく 0005現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/20(土) 21:12:13.84ID:OXXW5633 つづき
なお
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Tan%20---%20Introduction%20to%20inter-universal%20Teichmuller%20theory%20(slides).pdf Introduction to Inter-universal Teichm¨uller theory Fucheng Tan RIMS, Kyoto University 2018 To my limited experiences, the following seem to be an option for people who wish to get to know IUT without spending too much time on all the details. ・ Regard the anabelian results and the general theory of Frobenioids as blackbox. ・ Proceed to read Sections 1, 2 of [EtTh], which is the basis of IUT. ・ Read [IUT-I] and [IUT-II] (briefly), so as to know the basic definitions. ・ Read [IUT-III] carefully. To make sense of the various definitions/constructions in the second half of [IUT-III], one needs all the previous definitions/results. ・ The results in [IUT-IV] were in fact discovered first. Section 1 of [IUT-IV] allows one to see the construction in [IUT-III] in a rather concrete way, hence can be read together with [IUT-III], or even before. S. Mochizuki, The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations. S. Mochizuki, Inter-universal Teichm¨uller Theory I, II, III, IV.
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/daigakuin/Tan.pdf 教員名: 譚 福成（Tan, Fucheng） P-adic Hodge theory plays an essential role in Mochizuki's proof of Grothendieck's Anabelian Conjecture. Recently, I have been studying anabeian geometry and Mochizuki's Inter-universal Teichmuller theory, which is in certain sense a global simulation of p-adic comparison theorem.
・LabCusp：山下サーベイ P224 For v ∈ V, a label class of cusps of †Dv is the set of cusps of †Dv lying over a single non-zero cusp of †Dv (Note that each label class of cusps consists of two cusps). We write LabCusp(†Dv) for the set of label classes of cusps of †Dv. Note that LabCusp(†Dv) has a natural F*l-torsor structure (which comes from the action of F×l on Q in the definition of X in Section 7.1).
・絶対ガロア群：山下サーベイ P166 We write GK for the absolute Galois group of K for an algebraic closure K.
・エルミート・ミンコフスキーの定理： https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite%E2%80%93Minkowski_theorem In mathematics, especially in algebraic number theory, the Hermite?Minkowski theorem states that for any integer N there are only finitely many number fields, i.e., finite field extensions K of the rational numbers Q, such that the discriminant of K/Q is at most N. The theorem is named after Charles Hermite and Hermann Minkowski. This theorem is a consequence of the estimate for the discriminant √ {|d_{K}| >= {n^{n}/{n!}(π/4)^{n/2} where n is the degree of the field extension, together with Stirling's formula for n!. This inequality also shows that the discriminant of any number field strictly bigger than Q is not ±1, which in turn implies that Q has no unramified extensions. References Neukirch, Jurgen (1999). Algebraic Number Theory. Springer. Section III.2 （多分訳本あり） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B3%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 ミンコフスキーの定理は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、 原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。 ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。 凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F 二次形式
・ザリスキの主定理： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B6%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%82%AD オスカー・ザリスキ 主な業績は、ザリスキ位相の導入やザリスキの主定理（英語版）の証明を含む可換環論と代数幾何の融合である。 弟子に、ダニエル・ゴーレンシュタイン、広中平祐、ミハイル・アルティン、デヴィッド・マンフォード、ロビン・ハーツホーンら著名な数学者がたくさんおり、優れた指導者でもあった。 https://en.wikipedia.org/wiki/Zariski%27s_main_theorem Zariski's main theorem In algebraic geometry, Zariski's main theorem, proved by Oscar Zariski (1943), is a statement about the structure of birational morphisms stating roughly that there is only one branch at any normal point of a variety. It is the special case of Zariski's connectedness theorem when the two varieties are birational. Zariski's main theorem can be stated in several ways which at first sight seem to be quite different, but are in fact deeply related. Some of the variations that have been called Zariski's main theorem are as follows: 略 The name "Zariski's main theorem" comes from the fact that Zariski labelled it as the "MAIN THEOREM" in Zariski (1943). 略
・チェボタレフの密度定理： https://en.wikipedia.org/wiki/Chebotarev%27s_density_theorem Chebotarev's density theorem Chebotarev's density theorem in algebraic number theory describes statistically the splitting of primes in a given Galois extension K of the field {\displaystyle \mathbb {Q} of rational numbers. Generally speaking, a prime integer will factor into several ideal primes in the ring of algebraic integers of K. There are only finitely many patterns of splitting that may occur. Although the full description of the splitting of every prime p in a general Galois extension is a major unsolved problem, the Chebotarev density theorem says that the frequency of the occurrence of a given pattern, for all primes p less than a large integer N, tends to a certain limit as N goes to infinity. It was proved by Nikolai Chebotaryov in his thesis in 1922, published in (Tschebotareff 1926). Contents 1 History and motivation 2 Relation with Dirichlet's theorem 3 Formulation 4 Statement 4.1 Effective Version 4.2 Infinite extensions 5 Important consequences
Important consequences The Chebotarev density theorem reduces the problem of classifying Galois extensions of a number field to that of describing the splitting of primes in extensions. Specifically, it implies that as a Galois extension of K, L is uniquely determined by the set of primes of K that split completely in it.[6] A related corollary is that if almost all prime ideals of K split completely in L, then in fact L = K.[7] https://tsujimotterはてなぶろぐ/entry/how-to-use-chebotarev-density-theorem tsujimotterのノートブック 2018-12-13 ガロア表現とChebotarevの密度定理の使い方 動機と参考文献 きっかけは以前から勉強していた 岩澤理論 でした。どうしても理解したい定理 があって，その証明にガロア表現が出てきます。 特に今回のテーマである 「ガロア表現の同値性」 が関わってくるのですが，その同値性を示すのにどうやら 「Chebotarevの密度定理」（あとで出てきます）が使えるらしいのです。 私の印象ですが，割とこの辺の知識は常識みたいに扱われることが多く，証明にも空気のように「Chebotarevの密度定理より」と書いてあったりします。いったいどうしてChebotarevの密度定理が使えるのかと不思議に思っていました。 しばらく勉強していくうちに，ガロア表現の同値性にChebotarevの密度定理が関係する「理屈」がわかってきました。そのことがとても嬉しくてこの記事を書いています。 (引用終り) 以上 0014現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日) 10:13:18.39ID:W0WIc7wX ・「微分」＆「小平・スペンサー写像」 下記ABC予想入門 PHP 黒川＆小山 P205に スピロ予想 ”一般の関数体版でも「微分」が「小平・スペンサー写像」として表れてくる。 望月氏の論文は、「F1体上の微分」を「F1体上の小平・スペンサー写像」として構成するところが、最大の要点 （第4章末尾のコラムを参照）であり ここに数百ページ（以前のものを合わせると千ページ）に達する 壮大な数学宇宙が広がっている。”とあります。 （参考） https://www.php.co.jp/books/detail.php?isbn=978-4-569-81067-6 ABC予想入門 PHP 2013/03/18 著者 黒川信重≪東京工業大学教授≫／小山信也≪東洋大学教授≫著 アマゾン書評 島津利一 5つ星のうち5.0 これは面白い グロタンディークの後継者 望月新一教授 の数学を分かりやすく歴史も踏まえて説明しています。 2013年6月8日に日本でレビュー済み (抜粋) 丁寧に、一般向けに書かれた優しい数学の本でした。 しかし、もっと勉強したい人用に書かれた後ろの数学的内容を理解するには根気が必要でしょう。 「数論入門」と考えて読むには最適の本です。ただし、その内容をきちんと理解するには数学科２年生くらいの知識を必要とします。 イデアル論 素元 と 既約元の異なること、複素関数論 リーマン面 楕円関数論 等の簡単な知識があれば、すいすいと読める内容です。 数学を志す学生は、後ろの別章をキチンと追ってみるといいと思います。 勿論 そういう数学を全く知らなくても分かるように書かれているのも特徴です。 この本を読んで、望月新一教授のHPを覗きたくなり、行ってみました。 確かに、グロタンディークの後継者が登場している雰囲気が伝わってきました。 (引用終り)
>・LabCusp：山下サーベイ P224 For v ∈ V, a label class of cusps of †Dv is the set of cusps of †Dv lying over a single non-zero cusp of †Dv (Note that each label class of cusps consists of two cusps).
楕円曲線が少ないという概念は、楕円曲線の全体からなる「楕円曲線のモジュ ライ空間 moduli space と呼ばれる集合を理解して初めて成立する。 モジュライ空間は、楕円曲線の集合に、ある数学的な解釈をいれたものである。 したがって、それを理解するためには、まず楕円曲線を理解する必要がある。 そして、その前に、数学における図形という概念を理解する必要がある。楕円 曲線も、またその全体集合であるモジュライ空間も、現代数学においては１つ の図形（多様体）とみなされる。そして、それらは、いずれも、ある空間に群 が作用したときの基本群 fundamental group とみなされるのである。
定義 2.33. Ep が Fp 上の楕円曲線となる（i.e. ?(Ep) ?= 0）時, E は p で良い還元を持つ（has good reduction at p）と呼ぶ. 逆に Ep に特異点が出現し, Fp 上の楕円曲線でなくなる（i.e. ?(Ep) = 0） 時, E は p で悪い還元を持つ（has bad reduction at p）と呼ぶ. 補足 2.34. 上の状況で, それぞれの p を「良い素数/悪い素数」（good prime/bad prime）と呼ぶ事 もある. ?(E) の素因子のリストは, 悪い素数のリストに一致する. 更に, 悪い還元の時には Ep に特異点が出現するが, その特異点には 2 種類あった事を思い出そう （命題 2.8 及びその直前の文脈. c4 が 0 か否かでノード型かカスプ型に分かれるのであった）. その ため, 悪い還元を更に 2 つに分類する. 定義 2.35. E が p で悪い還元を持つとする. Ep がノード型の特異点を持つ時, E は p で乗法的（半 安定）還元を持つ（has multiplicative (semistable) reduction at p）と呼ぶ. Ep がカスプ型の特異点 を持つ時, E は p で加法的（不安定）還元を持つ（has additive (unstable) reduction at p）と呼ぶ. これを用いて導手を定義する. 判別式が「悪い素数のリスト」を与えていたのに対し, 導手は 「悪い素数のリスト＋還元の様子」を与えており, しかも不変量となる. (引用終り) 0032現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/23(火) 09:44:26.90ID:ack77tVS>>25 失敗につき 再投稿
(2) Grothendieck's Philosophy これらが有機的に積み重なって、 Galois-Teichmuller塔 を形成する。Grothendieckは、これの構造を知ること、特に、次元の小さいいくつかの場 合(M0,4, M0,5，M1,1, M1,2) を詳細に研究し、それらをブロック遊び(le jeu de Lego)のよう に積み上げて、一般のMg,nの場合を記述することを提唱した。
(3)パンツ分解、Grothendieck-Teichmuller群とそれらの精密化
位相幾何的にはm.d.c.は、各3(格別)点付きP1成分をパンツと見立てて貼り合わせるこ とによりリーマン面上のpants分解と対応する: 目標は、うまく略という対応を構成して、Galois表現の塔 略 を具体的に記述することである。次の対応、がある: 位相幾何 vs 代数幾何 Pants分解 vs cusp of Mg,n (or max. deg. marked curve) Quilt Q/P vs tangential base point 結論としては、M0.4， M0,5, M1,1, M1,2だけを使って、すべてのMg,n に対するガロア表現 を記述できる。
The modified Szpiro conjecture states that: given ε > 0, there exists a constant C(ε) such that for any elliptic curve E defined over Q with invariants c4, c6 and conductor f (using notation from Tate's algorithm), we have max{｜c_4｜^3 , ｜c_6｜^2 } =< C( ε )・ f^{6+ε}
In the theory of elliptic curves, Tate's algorithm takes as input an integral model of an elliptic curve E over Q }Q , or more generally an algebraic number field, and a prime or prime ideal p. It returns the exponent fp of p in the conductor of E, the type of reduction at p, the local index
cp=[E(Q p):E^0(Q p)], where E^0(Q p) is the group of Q p}Q p-points whose reduction mod p is a non-singular point. Also, the algorithm determines whether or not the given integral model is minimal at p, and, if not, returns an integral model with integral coefficients for which the valuation at p of the discriminant is minimal.
Tate's algorithm also gives the structure of the singular fibers given by the Kodaira symbol or Neron symbol, for which, see elliptic surfaces: in turn this determines the exponent fp of the conductor E.
Tate's algorithm can be greatly simplified if the characteristic of the residue class field is not 2 or 3; in this case the type and c and f can be read off from the valuations of j and Δ (defined below).
Tate's algorithm was introduced by John Tate (1975) as an improvement of the description of the Neron model of an elliptic curve by Neron (1964).
Contents 1 Notation 2 The algorithm 3 Implementations
Notation Assume that all the coefficients of the equation of the curve lie in a complete discrete valuation ring R with perfect residue field and maximal ideal generated by a prime π. The elliptic curve is given by the equation
冒頭からワカランｗ（＾＾； Tate 捻り “Zb(1)”？ 下記かな？ https://en.wikipedia.org/wiki/Tate_twist Tate twist (抜粋) In number theory and algebraic geometry, the Tate twist,[1] named after John Tate, is an operation on Galois modules. For example, if K is a field, GK is its absolute Galois group, and ρ : GK → AutQp(V) is a representation of GK on a finite-dimensional vector space V over the field Qp of p-adic numbers, then the Tate twist of V, denoted V(1), is the representation on the tensor product V?Qp(1), where Qp(1) is the p-adic cyclotomic character (i.e. the Tate module of the group of roots of unity in the separable closure Ks of K). More generally, if m is a positive integer, the mth Tate twist of V, denoted V(m), is the tensor product of V with the m-fold tensor product of Qp(1). Denoting by Qp(?1) the dual representation of Qp(1), the -mth Tate twist of V can be defined as V ◯X Q_p(-1)^{◯X m}. References 'The Tate Twist', in Lecture Notes in Mathematics', Vol 1604, 1995, Springer, Berlin p.98-102 (引用終り) 以上 0040現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/25(木) 07:22:39.99ID:odZewMPY 下記 （2015-02）は、目を通しておくと良いと思う http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html 望月 出張・講演 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(2015-02).pdf 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い （2015-02） （京都大学数理解析研究所 2015年02月）
Mochizuki, Shinichi (2002a), “A survey of the Hodge-Arakelov theory of elliptic curves. I”, in Fried, Michael D.; Ihara, Yasutaka, Arithmetic fundamental groups and noncommutative algebra (Berkeley, CA, 1999), Proc. Sympos. Pure Math., 70, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 533?569, ISBN 978-0-8218-2036-0, MR1935421 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/A%20Survey%20of%20the%20Hodge-Arakelov%20Theory%20of%20Elliptic%20Curves%20I.pdf A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I Shinichi Mochizuki October 2000
§1.5. Future Directions §1.5.1 Gaussian Poles and Diophantine Applications
In some sense, the most fundamental outstanding problem left unsolved in [Mzk1] is the following: How can one get rid of the Gaussian poles (cf. §1)? For instance, if one could get rid of the Gaussian poles in Theorem A, there would be substantial hope of applying Theorem A to the ABC (or, equivalently, Szpiro’s) Conjecture.
Section 2: The Theta Convolution
In fact, returning to the theory of the Gaussian on the real line, one may recall that one “important number” that arises in this theory is the integral of the Gaussian (over the real line). This integral is (roughly speaking) √π. On the other hand, in the theory of [Mzk2], Gaussians correspond to “discrete Gaussians” (cf. [Mzk2], §2), so integrals of Gaussians correspond to “Gauss sums.” That is to say, Gauss sums may be thought of as a sort of discrete analogue of √π. Thus, the appearance of Gauss sums in the theory of [Mzk2] is also natural from the point of view of the analogy of the theory of [Mzk1] with the classical theory of Gaussians and their derivatives (cf. §1.2).
(引用終り) 以上 0043現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/26(金) 07:30:43.23ID:zl2qUDG1 参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0 p進数 (抜粋) 有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 p に対して p 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある（例えば p 進量子力学を参照）。
「p 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q 進数や l 進数などと表現されることもある。
概要 有理数体 Q から実数体 R を構成するには、通常の絶対値の定める距離 d∞(x, y) = | x - y | に関して有理数体を完備化するのであった。 それに対し、p 進付値より定まる距離（p 進距離）dp によって有理数体を完備化したものが p 進数体 Qp である。p 進数と実数は異なる特徴を持つ別々の数体系である一方で、数論においては極めて深い関係を持つ対象であると捉えられる。 有理数から実数を構成する過程は、小数展開に循環しない可算無限桁を許すことを意味する。 p 進数体 Qp における小数展開の類似物は p 進展開である。p 進数の中で考えた有理数は p の高い冪を因数に含めば含むほど小さいと考えられ、p 進数の p 進展開は、p 進整数（ぴーしんせいすう、p-adic integer）を可算無限桁の整数と捉える見方を与える。 これにより、実数の場合と並行して、p 進数は有理数の算術まで込めた拡張であることを見ることができる。
実数体 R と p 進数体 Qp をひとまとまりにしたアデールの概念が扱われることもある。 有理数体のアデール AQ は簡単に言えば、実数体 R と全ての素数 p にわたる p 進数体 Qp との位相まで込めた直積である。 有理数体 Q はそのアデール AQ のなかに（対角線に）埋め込むことができる。 有理数体をアデールに埋め込んで考えることは、有理数体を素数（と無限遠）を点とする空間 Spec Z 上の代数関数体として捉えるという視点を与える。 ここでは、Qp は有限素点 p における局所的な振る舞いを、R は無限遠での振る舞いを表すものとして並行に扱われる。このような解析的な取り扱いにおいては、p 進展開はテイラー展開の類似物であると考えられる。
実数体と p 進数体は有理数体の完備化であるが、一般の代数体でも同様の完備化が考えられる。 以上 0045現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土) 18:06:58.85ID:jEjJjPRO 「タイヒミュラー空間の基礎のキソ」なるほど http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/ 川平 友規 Tomoki Kawahira / Department of Mathematics / Tokyo Institute of Technology http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/works/Kawahira12Teich.pdf タイヒミュラー空間の基礎のキソ 名古屋大学大学院多元数理科学研究科 川平 友規 第47回函数論サマーセミナー 2012年8月27日 0046現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土) 18:20:32.87ID:jEjJjPRO これは、あまり関係なさそうだが、貼る メモ 「複素力学系におけるラミネーション理論 変形と剛性」 http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/ 川平 友規 Tomoki Kawahira / Department of Mathematics / Tokyo Institute of Technology http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/works/Kawahira09Nagoya.pdf 複素力学系におけるラミネーション理論 変形と剛性 1 December 2009 名古屋大学大学院多元数理科学研究科 川平 友規 0047現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土) 18:35:51.11ID:jEjJjPROhttps://bluexlab.tokyo/1267 bluexlab 2019.10.03 2019.10.04MATH パーフェクトイド空間（Perfectoid Spaces）とは？理論の概要と参考文献をご紹介【数論幾何の天才Peter Scholze氏の理論】 (抜粋) 「パーフェクトイド空間って一体何？」、「最近、数論幾何の分野でよく聞くパーフェクトイド空間って？」
The geometric vein in the study of Teichmuller space was revived following the work of William Thurston in the late seventies, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmuller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.
Quadratic differentials and the Bers embedding Main article: Schwarzian derivative Main article: Bers slice
In algebraic geometry, a moduli space of (algebraic) curves is a geometric space (typically a scheme or an algebraic stack) whose points represent isomorphism classes of algebraic curves. It is thus a special case of a moduli space. Depending on the restrictions applied to the classes of algebraic curves considered, the corresponding moduli problem and the moduli space is different. One also distinguishes between fine and coarse moduli spaces for the same moduli problem.
The most basic problem is that of moduli of smooth complete curves of a fixed genus. Over the field of complex numbers these correspond precisely to compact Riemann surfaces of the given genus, for which Bernhard Riemann proved the first results about moduli spaces, in particular their dimensions ("number of parameters on which the complex structure depends").
Genus 1 Main article: Moduli stack of elliptic curves
Boundary geometry Here the vertices of the graph correspond to irreducible components of the nodal curve, the labelling of a vertex is the arithmetic genus of the corresponding component, edges correspond to nodes of the curve and the half-edges correspond to the markings. The closure of the locus of curves with a given dual graph in {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}\overline {{\mathcal {M}}}_{{g,n}} is isomorphic to the stack quotient of a product {\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}}\prod _{v}\overline {{\mathcal {M}}}_{{g_{v},n_{v}}} of compactified moduli spaces of curves by a finite group. In the product the factor corresponding to a vertex v has genus gv taken from the labelling and number of markings {\displaystyle n_{v}}{\displaystyle n_{v}} equal to the number of outgoing edges and half-edges at v. The total genus g is the sum of the gv plus the number of closed cycles in the graph.
https://www.acadsci.fi/mathematica/Vol24/parkkone.pdf Annales Academia Scientiarum Fennica Mathematica Volumen 24, 1999, 305?342 THE OUTSIDE OF THE TEICHMULLER SPACE OF ¨ PUNCTURED TORI IN MASKIT’S EMBEDDING Jouni Parkkonen Universityof Jyv¨askyl¨a, Department of Mathematics
http://www.maths.gla.ac.uk/~mbourque/papers/2dim.pdf TOY TEICHMULLER SPACES OF REAL DIMENSION 2: THE PENTAGON AND THE PUNCTURED TRIANGLE YUDONG CHEN, ROMAN CHERNOV, MARCO FLORES, MAXIME FORTIER BOURQUE, SEEWOO LEE, AND BOWEN YANG ABSTRACT. We study two 2-dimensional Teichmuller spaces of surfaces with boundary and marked points, namely, the pentagon and the punctured triangle. We show that their geometry is quite different from Teichmuller spaces of closed surfaces. Indeed, both spaces are exhausted by regular convex geodesic polygons with a fixed number of sides, and their geodesics diverge at most linearly.
>Some defenders of IUT like to point out that Scholze and Stix didn’t give their precise objection until 2018. But this phenomenon, given that it was noticed by most people who read the paper seriously, should have been turned up by the refereeing process before then. This is, I think, the starting point for ethical concerns about the refereeing process. (For instance, OP’s comment suggests that the editors could have asked a series of referees, ignoring those who have negative commentary, until they found someone willing to say it is good.)
http://www.numdam.org/item/AST_1990__183_/ Seminaire sur les pinceaux de courbes elliptiques (a la recherche de ≪Mordell effectif≫) Spziro Lucien (ed.) Asterisque, no. 183 (1990) , 146 p.
与えられた楕円曲線の有理点の個数の大きさを予想しているのがBirch and Swinnerton-Dyer予想です。 Birch and Swinnerton-Dyer予想（BSD予想）は、楕円曲線の有理点の大きさが、 L関数と呼ばれる関数で記述されると予想しています。 この予想は、幾何学的な対象の数論的な情報と L関数の関係を調べるという、整数論と呼ばれる数学分野の中心的なテーマの１つであり、今後取り組むべき重要な７つの問題としてクレイ数学研究所により選ばれたミレニアム懸賞問題の１つでもある、とても大切な問題です。
