高校数学の質問スレPart405
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【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレPart404
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1585495190/ >>949
いやダメかｗ
というか逆に反例がわかった
±√2±1
の4つからどの2つを選んでも条件が成立しない
(どの2つを選んでも条件の不等式が等号になる)
>>948 >>895
不成立でした、すみません
これ不成立のときの反例が仮定の4次元空間の中で測度0(1次元集合)だから計算機では見つけにくいだろうな
有理数内の反例だと(1/2,-2,-1/3,3)とかか >>906
有理数の反例は必ずどこかに10進無限小数を含むから10進有限小数刻みの探索では反例を見つけられない >>953
いや、それ以前にコードにバグがあったｗ
× abs(a*b) > abs(a-b)
○ abs(a*b + 1) > abs(a-b) >>954
それ以前に、の使い方が間違ってる
「バグがあったが、それ以前に有限小数探索では探せない」
が正しい >>955
計算機は無理数も内部では小数計算していると思うんだが。 √2の2乗を2と返さないのが普通のプログラム
> (sqrt(2))^2-2==0
[1] FALSE
> (sqrt(2))^2-2>0
[1] TRUE
小数点以下14位で丸めてようやく正しくなった。
> round(sqrt(2)^2,14)-2==0
[1] TRUE >>895
つまり
〔補題〕
相異なる4つの実数 x_1 〜 x_4 が与えられたとき、
その中から |ab+1|≧|a-b| を満たす a≠b を選べる。
等号成立は{arctan(x_i)} が π/4 ずつ異なるとき。
>>949
どこに鳩がいるん？ >>956
指摘したことはその話とは関係ない
男であろうが男でなかろうが、それ以前に人間としてダメ
バグがあろうがバグがなかろうが、それ以前に小数探索(通常の計算機探索)ではダメ
「それ以前に」の後ろにはより広い範囲の問題が来るってこと >>958
949の証明は間違ってるから忘れてくれ
その鳩の部分が変だと思って考え直したんよ 巣箱に２匹以上の鳩を入れるのは動物虐待。
昔の呼称の方がいいな。 >>953
そのレスはなんか変な言い分で気になったがレスが飛び飛びで話の流れがわからないからどういう意味か他の人にもわかるように説明してほしい >>962
「蜂の巣原理」もあるらしい。
巣穴に2匹以上の蜂を入れると超満員････
[エレ解スレ３．654,659-662,665-667,670] 計算機のことよく知らんけど
問題の反例は等号のときしかないから
10進有限小数で「>」判定してる場合、永遠に「TRUE」を返すんじゃないの？
例えば上の反例も
x_1=0.5000
x_2=-2.0000
x_3=-0.3333
x_4=3.0000
として入力すると
|ab+1|>|a-b|の解はあるか？と判定させると
a=x_1 b=x_3のとき
左辺=0.83335 右辺=0.83330だから解になってて
「TRUE」
と返すように思ったんだが もし小数第何位からを誤魔化して判定させたら、
「FALSE」
は見つかるようになるけど
逆に間違った反例が大量に生まれて、その中から正しいものを見つけられない気がした 反例さがすなら
|ab+1| ≦ |a-b| かつ
|ac+1| ≦ |a-c| かつ
‥‥
|cd+1| ≦ |c-d|
やろ？
どの２組も|1+xy|>|x-y|を満たさないんやから
反例が有理数の範囲にないなら代数的数学科を扱えるライブラリ持ってないとキツい
そこまでして計算機使う意味ない >>967
それでやっても同じ話じゃないの？
ほしい反例は無限小数を必ず含む(とはいえ有理数解もあるぞ！)から入力は近似値になる
近似値では、その6つの不等式すべてを成立させるものは存在しない
不等式の成立条件に誤差を許すと、今度はいくつも反例が出てくるだろうけど、その中で本当の反例になってるものを見つけられない >>963
まとめるとこうかな
ある不等式の反例を探す
数学的にその反例は存在するが必ず無限小数による表示が必要である
有限小数での近似では反例ではなくなってしまう
近似値でも反例として計算機が拾うように不等式の条件を緩めてしまうと今度は大量のウソの反例が見つかってしまい本当の反例が埋もれてしまう
だから計算機は小数計算によって反例を見つけられない
と思った話 >>968
いや、代数処理パッケージが有れば誤差0で計算できる >>970
それはそうでしょ
有理数を整数の組として計算するような探索すれば見つかる
だから何度も「小数計算で」と書いてる >>971
いや、代数的計算できるパッケージあっても一緒と言われたので
一緒じゃないよと Q(√n) で計算できるパッケージってあるんかな？ あれ？
もしかして有理数だつたら誤差0だと思ってる？
違うよ
代数的計算処理できるパッケージが有れば全ての代数的数を誤差0で計算できる
もう少しマジレスすると本問は
(ab+1)+A^2=(a-b)^2,
(ac+1)+B^2=(a-c)^2,
‥‥
cd+1)+F^2=(c-d)^2
が実数解a,b,c,d,A,B,C,D,E,Fを持つか、それを計算機で判定するような一般的アルゴリズムは存在するか？
になる
いわゆるヒルベルトの第20問題
であるティンの部分的肯定的解決があるので作ろうと思えば原理的にはこの手の代数的方程式が実数解持つかどうか判定してくれるライブラリも作れなくはない
ただ計算量が爆発的に上がっていくので実用的には無理だけど
少なくともこの問題解くのに計算機使うのは向かないね >>972
話を撹乱させるの上手いな
それでやっても同じ、というのは
>反例さがすなら
> |ab+1| ≦ |a-b| かつ
> |ac+1| ≦ |a-c| かつ
> ‥‥
> |cd+1| ≦ |c-d|
> やろ？
のとこについての話
> 反例が有理数の範囲にないなら代数的数学科を扱えるライブラリ持ってないとキツい
反例は有理数の範囲にもある >>975
反例有理数の範囲にあんの？
なら有理数の範囲で誤差0だけで探せるやん？ なんかこのテーマ横から見てただけやけど反例として
(a,b,c,d)=(?,?,?,?)
の?が全部有理数の反例あんの？ >>976-977
>>952の最後に書いてる
一般に有理数解はnとmを互いに素として
m/n,-,n/m,(n+m)/(n-m),(m-n)/(m+n) >>915
イナさんは東大農学部を卒業されているとのことですが、生命科学系の博士は全く興味ない？ >>978
それなら有理数が扱える処理系ならしらみつぶしですぐ見つかりそうだけど
有理数使える処理系ならアホほどあるし
今日家帰ったらやってみよ >>980
だからさー、何度も「小数計算で」と書いてるじゃん
有理数を扱える、もしくは無限循環小数の循環性を上手く処理してくれるような探索は仮定してない >>980
スマホでも見つかるやん
import Data.Ratio
allrats = ([0,1]++) $concat [[a%b,b%a,-a%b,-b%a] | a<- [2..],b<-[1..a], gcd a b==1]
examples = [[a,b,c,d] |
i<-[0..], let a= allrats!! i,
j<-[0..i], let b= allrats!! j,
k<-[0..j], let c= allrats!! k,
l<-[0..k], let d= allrats!! l,
(abs $a*b+1)<=(abs$a-b),
(abs $a*c+1)<=(abs$a-c),
(abs $a*d+1)<=(abs$a-d),
(abs $b*c+1)<=(abs$b-c),
(abs $b*d+1)<=(abs$b-d),
(abs $c*d+1)<=(abs$c-d)
]
main = do
mapM_ print $ take 5 examples
-----------
[(-3) % 1,1 % 3,(-1) % 2,2 % 1]
[(-1) % 3,3 % 1,(-2) % 1,1 % 2]
[(-5) % 1,1 % 5,(-2) % 3,3 % 2]
[(-1) % 5,5 % 1,(-3) % 2,2 % 3]
[(-5) % 3,3 % 5,(-1) % 4,4 % 1] 鳩ノ巣原理を使えば簡単に解ける（コロンブスの卵）問題でも
鳩を一匹減らすだけで反例が無数に見つかるのは面白いな 発端となったレス書いておくと、これね(>>908)
>例外をみつけるだけだから、０〜１間を０．１刻みにしてプログラム組んで探させた。
これだと見つからないでしょ、って話
他のやり方(とくに有理数を扱って探索や不等式の分母払った|ab+nm|≦|ma+nb|の形での探索)で見つかるのは当然 >>978
ところでその無数の反例はどうやって見つけたんですか？ 話に乗り遅れた……まぁだいたい理解
プログラムはちゃんと使えば強いけど正しく使わんとね >>983
うーん、鍵となる鳩を減らしてしまったら無数に反例が出てくるのは当然では？
今回のは、むしろ
鳩を減らしたのに「ほとんど全て」で依然成立してることが面白い、と思った >>986
m/n=tanθとして
このθからπ/4ずつズラしていったものが反例になるわけだけど
それらはm/nから加法定理とtan(π/4)=1を使って計算していく >>988
ある主張は十分多い数の鳩を用意すれば簡単に証明できるが、
その主張が成立するためにはその数の鳩より少なくてもよい
（鳩ノ巣原理は使えないので証明は難しい）
という類の主張があったような覚えがあるんですが、
具体例を思い出せませんでした
すみません なるほど、素数を分母分子にして探索させればよかったんだな。
さっそくやってみた。（未検算ｗ）
> for(i in 1:20) F(50)
[1] 5/3 -3/5 -4 1/4
[1] 7/13 -13/7 10/3 -3/10
[1] 13/43 -43/13 28/15 -15/28
[1] 7/41 -41/7 24/17 -17/24
[1] 31/3 -3/31 -17/14 14/17
[1] 7/17 -17/7 12/5 -5/12
[1] 43/5 -5/43 -24/19 19/24
[1] 43/31 -31/43 -37/6 6/37
[1] 37/13 -13/37 -25/12 12/25
[1] 3/7 -7/3 5/2 -2/5
[1] 11/3 -3/11 -7/4 4/7
[1] 13/37 -37/13 25/12 -12/25
[1] 13/43 -43/13 28/15 -15/28
[1] 19/13 -13/19 -16/3 3/16
[1] 43/13 -13/43 -28/15 15/28
[1] 7/43 -43/7 25/18 -18/25
[1] 29/31 -31/29 30 -1/30
[1] 3/31 -31/3 17/14 -14/17
[1] 31/3 -3/31 -17/14 14/17
[1] 41/29 -29/41 -35/6 6/35 草生やす前にまともな知識つけろよ
プログラムは数学的に一つの正道で排除しようとするのはアホの行いだが、アホでも数学できるようにするものではない 前>>944
>>979
5ちゃんで博士が取れるならこんな苦労も、
こんな苦労もするまいに。 図形を1.681の比率で縮小したいのですが、どういう数値をかけたらいいでしょうか？ >>998
ax=b を解けばいいということがわからないのかもしれません。 このスレッドは１０００を超えました。
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