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1002コメント486KB

分からない問題はここに書いてね460

レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
0884１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/06(月) 05:46:30.48ID:IqOckpzP
>>882
計算機に解かせた。
> f <- function(x) atan(x) + acos(2/3)
> uniroot(f ,c(-10,10),tol=1e-15)$root
[1] -1.118034
> -sqrt(5)/2
[1] -1.118034
>
0885１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/06(月) 06:44:49.42ID:IqOckpzP
>>879
library(pracma)
east=c(4,0,3)
south=c(0,-3,2)
(nv=pracma::cross(east,south)) # c(9,-8,-12) 外積=法線ベクトル
"
dot(c(x,y,z),nv)==0
9x-8y-12z=0 平面の式
z=(9x-8y)/12
fn <- function(x,y) 9*x - 8*y # 最大値でいいので/12は無視
x=cosθ, y=sinθとおいて
"
fn <- function(theta) 9*cos(theta) - 8*sin(theta)
curve(fn(x),-pi,pi)
(th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
> (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
[1] -0.726642

°で表示すると
> th*180/pi
[1] -41.63352
東から南に向かって41.6°の角度が最大の勾配
0886１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/06(月) 06:56:57.48ID:IqOckpzP
>>885
勾配０の方向のθは（degree表示)

> uniroot(fn,c(-pi,0))$root*180/pi
[1] -131.6335

> uniroot(fn,c(0,pi))$root*180/pi
[1] 48.36646
0888１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/06(月) 09:51:08.02ID:yUYT+NI/
恥ずかしながら、どう着手したらいいか分かりません...。
小学生レベルの私に解法ご教示ください。

出発地点から峠を越えて目的地に着き、すぐに来た道を通って出発地点に戻った。
行きは6時間半を要し、帰りは7時間半を要した。
出発地点から目的地までの道のりを求めよ。
ただし、峠を上るには毎時6kmで歩き、下るには毎時8kmで歩くとする。
0890１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 10:22:07.61ID:uh4BMQna
>>888
出発地点から峠までの道のりをx(km)
峠から目的地までの道のりをy(km)
と置いて式を２つ立て、そこからxとyを求め、x+yを回答する
0891イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/07/06(月) 11:10:10.22ID:EjjkoMDB
前>>883
>>888
道のりをＬkmとすると、
峠までの道のりlkmと峠から目的地までの道のり(Ｌ-l)kmについて、
行きはl/6+(Ｌ-l)/8=6.5
帰りは(Ｌ-l)/6+l/8=7.5
辺々24倍し4l+3Ｌ-3l=156
l+3Ｌ=156――①
4Ｌ-4l+3l=180
4Ｌ-l=180――②
①+②より、
7Ｌ=336
∴Ｌ=48(km)
0892１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 11:22:28.24ID:s8I58AGk
>>888
これは問題がいやらしいな。

行き帰りでコストが異なる非対称の距離の問題、
それをあえて、身近な坂道で例えて
簡単そうに見せかけている。
出題者のねちっこい性格を表している。
0893１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 11:28:58.13ID:s8I58AGk
>>888
行きの上り 斜面を x km 、 下り斜面 を ykm とする。
（帰りは、この 上りと下りを逆にすればよい）

行きに要した時間より式A、 帰りに要した時間より式B

A. x/6 + y/8 = 6.5
B. x/8 + y/6 = 7.5

見やすいように両辺を 24倍して
A … 4x + 3y = 24 * 6.5
B … 3x + 4y = 24 * 7.5

ここで、 （A + B） とすると
より 7x + 7y = 24 * (6.5+7.5) が得られる。

7 * (x+y) = 24 * 14
(x + y) = 24 * 14 ÷ 7 = 48

答え 48 km
0894１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 11:51:46.37ID:ET+hu8oz
>>888
帰りのほうが長い時間かかっているので帰りのほうが上りの距離が長い
つまり峠の頂点は出発地点に近い側にある
出発地点から峠までの距離と同じ距離だけ峠から下った地点をAとすると、行きに出発地点からAまでにかかる時間と帰りにAから出発地点までにかかる時間は同じ
従って行きと帰りの差1時間は、行きにAから目的地までにかかる時間と帰りに目的地からAまでかかる時間の差
この区間は行きは下りなので時速8km、帰りは上りなので時速6km
例えば48kmをそれぞれの速さで進むと6時間と8時間かかるから2時間差（※）
だから「Aから目的地」は24km(X）ってことになる
ここを行きは3時間、帰りは4時間かけて歩いている
残りの「出発地点からA」は上りと下りが同じ距離であり、行きも帰りも3時間半
例えば上りも下りも24kmずつだとそれぞれ4時間、3時間かかるので計7時間(※）
なので「出発地点からA」上りも下りも12kmずつの計24km(Y）
よって「出発地点から目的地」はXとYを足して48km
また出発地点から峠まで12km、峠から目的地まで36kmなので検算してみると、
行きは上りに2時間下りに4.5時間で計6.5時間、帰りは上りに6時間下りに1.5時間で計7.5時間で合っている
※のところは計算しやすい数値を用いているだけ
0895イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/07/06(月) 12:18:17.93ID:EjjkoMDB
前>>891
小学生は作文の時間に、たとえば感想文とかを書くとき、ちょっと書ける子でも3行60文字ぐらいで詰まる。したがって答案に使う文字数もそのぐらいにしたほうがいい。
0896１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/06(月) 13:20:23.54ID:b/qHWYwf
現実的には48km歩いて直ちに行きと同じペースで引き返すとか無理ゲー
0898875
垢版 |
2020/07/06(月) 14:05:23.49ID:/0aqWtmc
補足です
f(x) のn階導函数を求めよ

(1) f(x) =1 /{x(x+1)}
(2) f(x) = cos2xcos4x
0899１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/06(月) 14:14:43.88ID:uITHUiBq
>>898
「n階導函数を求めよ」とかいう問題は一般項を推測できれば帰納法で証明できることが多いよね
もし一般項の推測ができないなら、具体的に f'(x), f''(x), f'''(x), f^(4)(x), … を書いてみれば
誰か推測してくれるかもよ
まさかこの程度の計算もせずに書き込んでいるわけじゃないでしょ？
0901１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 14:56:04.73ID:HPDcrjtp
>>888
本問では、峠の両側の勾配に大差ない（平均で見て）と思われる。
場所によって勾配が大きく変わる場合も

「ある場所を上るときの速さは、そこを下るときの速さの 3/4 とする」

とすれば、所要時間は求まる。
(行き)
　出 → 峠　2時間
　峠 → 目　4時間半
(帰り)
　目 → 峠　6時間
　峠 → 出　1時間半
0902１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 15:13:44.59ID:cE8uMBSB
>>898
(1) 1/{x(x+1)}=(1/x)-1/(x+1) と部分分数分解してから微分し始めるとよい
(2) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
0903888
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2020/07/06(月) 15:47:33.22ID:mK7KZ70L
皆さま、ご回答ありがとうございます！
理解できるよう内容確認させて頂きます！
0904１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 15:59:54.57ID:qGWlc6nd
次の函数の3階導函数を求めよ
① cosxcos3x

②e^x sinh2x (x > 0)
0906１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 16:09:19.43ID:y/W8tFYs
R^nの部分距離空間Aの点aが孤立点だとします。{a}はAの開集合ですが、違和感があります。{a}が開集合であるということが何かの役に立つんですか？
0907１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 16:21:21.76ID:vZuo8Rqd
かつ閉集合でもあるからいいんじゃない
閉かつ開に違和感持ったらp進解析できないよ
0909１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 18:16:54.23ID:cE8uMBSB
>>904
(1) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
(2) {e^(3x)-e^(-x)}/2 の形から微分していけばよい。
0910１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/06(月) 18:55:05.17ID:zrqa/esz
（無限）連分数ですべての実数が表記できるというのは、証明は簡単ですか？
0911１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/06(月) 21:00:06.32ID:uITHUiBq
>>910
ググれば出てくるし初等的だけど簡単ではないかも
大体こんな感じか

[ ] をガウス記号とする。
実数 x に対し、 x の連分数 α を以下の「操作」によって再帰的に定める。
操作
a_0 := [x] とする。
x - a_0 = 0 ならば、 α := a_0 として操作を終える。
x - a_0 ≠ 0 ならば、 b_1 := 1/(x - a_0) として、
a_1 := [b_1] とし、操作 A(1) を実行する。
ここで、操作 A(n) は以下のように再帰的に定める。
操作 A(n)
b_n - a_n = 0 ならば、 α := a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n)))))) として操作を終える。
b_n - a_n ≠ 0 ならば、 b_{n+1} := 1/(b_n - a_n) として、
a_{n+1} := [b_{n+1}] とし、操作 A(n+1) を実行する。

以上の操作が有限回で終わるとき、 α は有限連分数であると言う。
そうでないとき、 α は無限連分数であると言い、
α := lim[n→∞] a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n))))))
とする。

【定理】全ての実数 x に対し、 x の連分数 α が存在して、 α = x が成り立つ。
（証明の方針）
(1) x が有理数のとき、 α は有限連分数となることを示し、実際に α = x となることを示す。
(2) x が無理数のとき、 α は無限連分数となることを示し、極限値 α は収束して α = x が成り立つことを示す。
0912１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/06(月) 22:07:54.10ID:fgaeIocv
πだとこんな感じ

> pi
[1] 3.1415926535897931

> 3+1/(7+1/(15+1/(1+
+ 1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+
+ 1/(1+1/(3+1/(1+1/(14+1/(3
+ +1/(3+1/(23+1/(1+1/(1+
+ 1/(7+1/(4+1/(35+
+ 1/(1+1/(1+1/(1+1/2)))))))))))))))))))))))
[1] 3.1415926535897931
0914１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 00:37:20.29ID:gyGhnLCq
2.34567=2+(3+(4+(5+(6+7/10)/10)/10)/10)
みたいな要領で無限小数を無限連分数に表していくのは簡単なんだけど、普通はこの形を連分数とは言わないからなぁ…
分子が全部1で分母の方に連なっていく形の連分数で表そうとすると、それなりに手間がかかるのか。
0916１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 01:31:23.54ID:DRPGbRnk
f(x)は[0,∞)で定義された実数xについての関数で、少なくとも1回は微分可能な関数とする。
g(a,x)は[0,∞)で定義された実数aおよびxについての関数で、aでもxでも少なくとも1回は微分可能な関数とする。
I(a) = ∫[0,∞] g(a,x)/f(x) dx
とするとき、I(a)が連続でないようなf(x)およびg(a,x)の例を1つ挙げよ。
0918イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/07/07(火) 02:08:51.21ID:BoTxtUvK
前>>895
>>865(2)
ヒットエンドラン♪
長さ√2/3
傾き(0,1,1)
GHの単位ベクトルは(1/√2)(0,1,1)
体積の微分かな？
0919１３２人目の素数さん
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2020/07/07(火) 04:45:31.33ID:LT2FasoV
多様体をユークリッド空間に埋め込んで議論している本は
杉浦　解析入門2
ミルナー　微分トポロジー講義
ギルマン、ポラック　微分位相幾何
以外にありますか？
0920１３２人目の素数さん
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2020/07/07(火) 05:06:33.15ID:8QVuUDNk
>>903
ワイの>>893 の説明が一番わかり易いから
他は無視してええぞ。

三角定規を置いて、それを山に見立てる。
左側の斜面の長さを x km、 右側の斜面の長さを y km
として考えたら、一目瞭然。
0921１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 06:09:38.27ID:8QVuUDNk
ゲームの課金ガチャを引いて、
だいたい、どういう中身が出てくるのかを
おおざっぱに紹介する動画を作ろうと思った。
しかし、何個くらい引くのがいいのか分からん。

で、それを一般化すると
以下のような問題に落とし込めたので
どなたかお願いします。その数だけのガチャを引いて紹介動画にします。

・問1.1
全5色のいずれかの色のついた球が
入った巨大な袋がある。
（袋は巨大であり、大量の数の球が入っている）
その5色が何色かは分からない。
（ e.g. 例えば、 ｛赤、青、緑、紫, 水色｝ かもしれない)

「袋から球を1つ取り出し、その色を記録し、球を破壊する。
これを繰り返す」

全5色のうち、4色が判明したら終了とする。
4色が分かるまでに、何回の操作が必要か？
（または、何回の操作が必要だと見積もられるか？）

・問1.2
色の数を全100色にして、
100色のうち80色が判明するまで続ける。
その場合は、何回の操作が必要か？
（メモ。 80色が必要なので最低でも80回以上なのは分かるんですが…）
0924１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 08:01:20.77ID:xPi9MVYZ
答えを教えて欲しいです。


１．正常な硬貨を無造作に投げることを2000回続けたとき，表の出る回数の期待度数は1000であることは自明である．それでは，表の出る回数がそこから60回以上ずれる確率を求めよ．なお２項分布の正規分布近似とカイ二乗分布を使う

2.平均がμ=22.0, 分散が未知の正規母集団から大きさ５の標本の特性Ｘの値が

24.3 18.9 23.7 23.0 17.4 であった

(i) このとき, 不偏分散U2を求めよ．

(ii) F が講義資料第８回目（p.8) の式としたときＦの実現値F0を求めよ．

さらに，確率Pr {F >F0}を求めよ．
0926１３２人目の素数さん
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2020/07/07(火) 08:11:12.21ID:xPi9MVYZ
>>925
すみません。
2の問題は無視して下さい。
0927１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 08:19:21.62ID:8QVuUDNk
>>923
完全にランダムであり、同じ確率です。

割合に関しては、各色はいずれも とても大量の個数が、
同じ割合で偏りなく入っています。
大量の個数なので1万や1億個の球は誤差とします、
よって、袋の中の各色の割合は1億個取り出したとしても、
変わらないものとします。

ひょっとして、条件が不足しているのかな。
もしも条件が必要ならば、

「統計的に95%以上の確率で5色のうち4色を出すには、何回の操作が…」

と読み替えてください。
0928１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 08:20:39.38ID:8QVuUDNk
>>923
>>927の条件をつければ
計算できると思います。
0931１３２人目の素数さん
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2020/07/07(火) 10:37:19.69ID:BqvccBWc
まぢ意味不
1.10個の球が袋に入っている。このうち3個が赤である。袋から1個取り出したらまた戻す。初めて赤球を取り出すまでにかかった回数をXとする。
(1)P(X=4)を求めよ
(2)確率変数Xの平均を求めよ。（公式を使う）
2.10個の球が袋に入っている。このうち6個が赤である。袋から一度に5個取り出したときの赤球の個数をXとする。Xの確率分布表を書きなさい。（例3のようにX=kのとりうる範囲に注意）
0932１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 11:07:50.05ID:gyGhnLCq
>>931
1.(1) 1~3回目が赤以外かつ4回目が赤。(7/10)^3*(3/10)
1.(2) 使うべき公式とやらが書いてないので、どんな解答を要求されているのかわかりません。
2.P(X=k)=6Ck*4C(5-k)/10C5 で k=0~5 でかけばよい。
0933イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/07/07(火) 11:39:31.32ID:BoTxtUvK
前>>918
>>921
七夕🎋なんで五色といえば、
赤、白、黄色、青が緑、黒か紫の５つ。
期待値の問題じゃないかな。
五色の玉が1/5ずつ袋に入っているとして1回目なにを引こうが1色わかる。
2回目2色目がわかる確率は4/5
３回目3色目がわかる確率の3/5と、
4回目4色目がわかる確率の2/5をかければどうだ。
4×3×2/5^3=24/125
2割弱か。そんなもんだろ。
0934１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 11:42:01.50ID:8QVuUDNk
>>933
計算機、スプレッドシートで手計算してみる！
0935イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/07/07(火) 12:09:13.58ID:BoTxtUvK
前>>933
>>921
4(24/125)+5(24/125)(1/5+2/5+3/5)+6(24/125)(……
7ぐらいまでやればわかるかも。
0937１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 12:16:41.12ID:8QVuUDNk
アカン、スプレッドシート？が
アホすぎて計算ができひん。

動作の軽いプログラミング言語を使った
再帰関数が必要だわ、書ける人は >>921を100色でやってみてほしい。

i 回の繰り返しで、
100色のうち、80色目の色が揃ったら停止させる。
i が いくらの時に80色目が出たか。
そのスクリプトを10周くらい回して、その平均値を教えてクレメンザ。
0938１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 12:28:25.82ID:8QVuUDNk
>>922 が答えなの？
ありがとうございます！

計算してみました。

式 100/100+100/99+‥+100/21

= 80個の総和 = 1 + 1.01 + 1.02 + ... = 158.9.... ≒ 159

つまり、159回 やったら100色のうち、80色は
確率的には判明するんですね。 ありがとうございます。
ガチャを159回やります。
0939１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 12:34:24.58ID:LSsU1iyt
いや、だから期待値なら>>922が即答してるよ
期待値の計算を書き込もうと思ってスレ見てみたらすでに書かれてた

確率pで起きることは何回の試行で起きるかという期待値は1/pで与えられる
5色の場合、
1色目は何色でもいいので確率1だから1回で出る
2色目は残りの4色どれかが出る確率が4/5だから5/4回、3色目は5/3回、4色目は5/2回
合わせて1+5/4+5/3+5/2=77/12
5色全部出るまでの期待値はさらに5回
0940１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 12:56:15.86ID:8QVuUDNk
>>922 >>939
サンクス！！

・5色のうちの4色 6.4 回
・10色のうちの8色 14 回
・50色のうちの40色 79 回
・100色のうちの80色 159回
・500色のうちの400色 803回

8割の色を出すには、色数 x 1.61 個 ほど
引けばいいようです。
0942１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 13:07:49.84ID:bx7umG9D
>>921
シミュレーションしてみた。

> sim <- function(n=5,m=4){ # n色のうちm色判明で終了
+ record=NULL # 記録された色
+ color=0 # 記録された色の種類
+ count=0 # 試行回数
+ while(color!=m){ # m色記録されないなら
+ count=count+1 # １個取り出して
+ record=unique(append(record,sample(n,1))) # 記録に追加して重複抹消
+ color=length(record) # 記録された色の種類
+ }
+ return(count) # 試行回数を返す
+ }
>
> mean(replicate(1e6,sim())) # 百万回繰り返して平均を求める
[1] 6.414439
>
0943１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 13:12:25.88ID:bx7umG9D
>>924
１．　単に足し算して求めた
> sum(dbinom(c(0:(1000-60),1060:2000),2000,0.5))
[1] 0.0077771189019787117
0944１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 13:26:21.82ID:bx7umG9D
>>924
正規分布近似

> n=2000
> p=0.5
> mu=n*p
> sd=sqrt(n*p*(1-p))
> pnorm(1000-60,mu,sd)+pnorm(1000+60,mu,sd,lower=FALSE)
[1] 0.0072903580915356404

カイ二乗分布を使うという記述の意味がわからん。
0947１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 14:06:09.05ID:bx7umG9D
>>931
(1) 幾何分布なのでdgeo(4-1,3/10)
(2) p=3/10 で期待値の公式は1/p=10/3
(3)超幾何分布なので
> data.frame(X=0:5,Pr=dhyper(0:5,6,4,5))
X Pr
1 0 0.00000000000
2 1 0.02380952381
3 2 0.23809523810
4 3 0.47619047619
5 4 0.23809523810
6 5 0.02380952381
0948１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 14:26:47.24ID:bx7umG9D
>>931
百万回のシミュレーション解

bag=rep(1:0,c(3,7))
sim <- function(){
ball=0
count=0
while(ball==0){
count=count+1
ball=sample(bag,1)
}
return(count)
}
re=replicate(1e6,sim())

> mean(re==4) # (1)
[1] 0.102998
> mean(re) # (2)
[1] 3.338686
0949１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 14:35:25.66ID:bx7umG9D
>>931
２．のシミュレーション解

bag=rep(1:0,c(6,4))
sim <- function(x) sum(sample(bag,5))
re=replicate(1e6,sim())
table(re)/1e6

1 2 3 4 5
0.024026 0.237994 0.476124 0.238167 0.023689
0950１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 15:40:26.43ID:8QVuUDNk
>>941-946
みなさん、ありがとうございます。

数行でかけるんですね。
こっちは スプレッドシートを500行 並べて
総和 SUM（A:B） と 総乗 PRODUCT(A:B) して
>>940 の値を求めた。

1.61 ？ くらいに漸近するような感じ
0952１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 15:51:31.28ID:8QVuUDNk
>>921 の問題
>>922 が一瞬で答えてくれた。

色の数n を増やして
実際に計算してみると
>>940 のように おおむね 1.6+ あたりへ
漸近していくのが見て取れる

5色のうち4色 →
10億色のうち8億色と 色数を大きくしていくと

ln (e!) x (a/b) ! = 1.63789......
に漸近するんかな？
0953１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 15:56:43.91ID:8QVuUDNk
>>942
すんません。
もっと大きな数
10億色のうち8億色 とか 10兆色のうち8兆色で
計算していただけませんか！

おそらく、 10兆 x 1.63789 回になる
0954１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 16:04:51.88ID:8QVuUDNk
ln (e!) x (a/b) !

↑ 根拠はないけど、
電卓いじってたらこの数式が頭に浮かんだ。

全a色の球が入った巨大な袋から、
取り出して色を記録していって、b色が判明するのに必要な
試行回数の期待値。
a（およびb）が 非常に大きい整数であれば、

a x {ln (e!) x (a/b) !} 回

のような気がする。
0955A欄既卒 ◆iD93.8lby6
垢版 |
2020/07/07(火) 16:20:10.61ID:8QVuUDNk
大学で 「確率」とか「解析学」を
履修した理系の人たち、いませんか？

>>921 → >>922 で問題は解けて納得したけどさ。

>>940 から俺が閃いた 漸近する値 についてのナゾの式
（>>951 および >>952） の内容は正しいのか？

間違っているなら、「漸近する値が間違っているぞ」
という反例を挙げて欲しい。

10兆色のうちの8兆色 とかで計算してさ。
0956１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 16:43:48.89ID:bx7umG9D
>>940
１０００色までやってみた。
https://i.imgur.com/CSDDMr0.png
線形回帰で係数をもとめたら 1.609356


> # n種類のガチャからm種類を集めるまでの期待値
> collector <- function(n=100,m=80,print=TRUE){
+ library(gmp)
+ x=(n-m+1):n
+ x=as.bigq(x)
+ y=sum(n/x)
+ if(print) print(y)
+ return(asNumeric(y))
+ }
> collector(5,4)
Big Rational ('bigq') :
[1] 77/12
[1] 6.416666667
> collector(100,80)
Big Rational ('bigq') :
[1] 10075468010284923492783367185945796008025/63382159299738615604121644486647548688
[1] 158.963786
> n=1:1000
> r=0.8
> y=sapply(n,function(x)collector(x,round(r*x),print=F))
> plot(n,y,bty='l',col='gray')
> lm=lm(y~n) ; lm

Call:
lm(formula = y ~ n)

Coefficients:
(Intercept) n
-1.941193 1.609356
0957１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 17:11:00.80ID:bx7umG9D
>>955
10億色のうち8億色でやってみた
> collector(1e9,8e8,F)
[1] 1609437910

１兆でやろうと思ったら
> collector(1e12,8e11,F)
Error: cannot allocate vector of size 5960.5 Gb
と怒られたｗ
0958１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 17:22:49.18ID:wjRMaac8
内田伏一の集合と位相の問題8.7が分かりません。集合Eの巾集合をXとする。写像φ:X->Xが包含関係による順序を保つ写像であれば、Eの部分集合E_0でφ(E_0)=E_0となるものが必ず存在することを示せ。
0959１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 17:24:30.65ID:wjRMaac8
E_0をφ(A)⊂Aとなるような全集合の共通部分とします。するとφ(E_0)⊂E_0が成り立つことまでは分かりました。等号が成り立つのはなぜですか？
0960１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 17:43:00.85ID:xkZAJeQx
φ(A)⊂Aなら
φ(φ(A))⊂φ(A)
となりφ(A)も方程式φ(X)⊂Xを満たす集合。
しかしE_0はかな方程式を満たす最小集合
0962１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 19:09:06.17ID:7vxztQCR
>>808 の計算

正n角形Sの頂点を　S_k（cos(2kπ/n), sin(2kπ/n)）
正(n+2)角形Tの頂点を　T_k（cos(2kπ/(n+2)), sin(2kπ/(n+2))）
とおく。
　辺S_{k-1}S_k と 辺T_{k-1}T_k の交点をU
　辺S_{k-1}S_k と 辺T_k T_{k+1} の交点をV
とおく。

Uは辺T_{k-1}T_k 上にある。　↑u = (1-L)↑t_k + L ↑t_{k-1},
Vは辺T_k T_{k+1}上にある。　↑v = (1-m)↑t_k + m ↑t_{k+1},
U,Vは辺S_{k-1}S_k にある：
　↑u・↑s_{k-1/2} = ↑v・↑s_{k-1/2} = cos(π/n),
ここに　↑s_{k-1/2} = (↑s_{k-1} + ↑s_k)/(2cos(π/n)),
これを解いて
　L = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
　　/ {cos(2(k-1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},
　m = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
　　/ {cos(2(k+1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},

△(U T_k V) = (1/2)UT_k・VT_k sin(∠UT_kV)
　= L m * (1/2)T_{k-1}T_k・T_kT_{k+1} sin(∠T_{k-1} T_k T_{k+1})
　= L m *△(T_{k-1} T_k T_{k+1}),
ここで
　T_{k-1}T_k = T_k T_{k+1} = 2sin(π/(n+2)),
　∠(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = π - 2π/(n+2),
より
　△(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = 2{sin(π/(n+2))}^2 sin(2π/(n+2)),
0963１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 19:12:12.43ID:7vxztQCR
>>808
ただし k=(n+1)/2 のときは
　台形(trapezoid) = h {2sin(π/(n+2)) + h/tan(2π/(n+2))},
　h = cos(π/(n+2)) - cos(π/n),
0964１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 19:50:07.32ID:xkZAJeQx
p(a,b)
=Σa/(a-k)
≒∫[0,b]1/(1-x/a)dx
=-alog(1-b/a)
だから
b=[4a/5]
でa→∞のとき
lim p(a,b)/a = -log(1/5) = log(5)
かな
0965１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 19:59:46.44ID:V0zbgviH
鳩の巣原理という超自明なものから証明される命題が超自明に見えないのはなぜ？？
0966１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 20:31:00.79ID:bx7umG9D
>>965
昭和のうちは、部屋割り論法という呼称だったけどいつから鳩の巣原理に呼称が変わったんだろう？
次はどんな呼称に変わるのだろうなぁ？
0967１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 21:17:50.33ID:YXX3xhBe
放物線C上を点Pが、D上を点Qが、それぞれ独立に動く。
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
このときPQの長さを最小とするようなP,Qの位置を述べよ。

…というような問題で、よくなんの断りもなしに
「PQが最小だから、PでのCの接線とQでのDの接線が平行でなければならない」…(A)
と書いているのを見かけます。
チャート式などの受験参考書に見られます。

(A)は前置きもなしに自明と扱って良いのでしょうか？よろしくお願いします。
0968１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/07(火) 23:27:30.77ID:gyGhnLCq
>>967
このくらいなら出題者・採点者の方針次第のように思う。
論証不足として減点されても文句は言えないレベルだが、大目に見て減点なしとする採点基準の場合もあるだろうな。
自明として扱わずにきちんと論証しておいたほうが無難だとは思う。

受験参考書とのことなので大学受験あたりの話なのかと思うが、主要な大学ほどこういう微妙な判断を要する出題は避ける傾向はあるかもしれない。
ほんの些細なことでも各種予備校からのクレームは厳しいからな。

いずれにせよ、数学の学習において本に自明と書いてあることを自力できちんと論証できるようにしておくことはとても大切である。
0970１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 01:39:18.47ID:E7sQrDhL
>>962-963

n 面積
-----------------------
3 1.113653769170520
5 0.397944967183052
7 0.187485749191523
9 0.105399738651839
11 0.066428110136527
13 0.045288462094167
15 0.032681482667606
31 0.006502342848450
63 0.001434131704510
127 0.000336211588037
255 0.000081395165854

n>>1　では　～ 5/n^2
0971イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/07/08(水) 03:28:31.71ID:ODJ2yoWq
前>>941
>>967
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
y=x^2+1のP(p,p^2+1)における接線をy=2x+aとおくと、
2p+a=p^2+1
p^2-2p-a+1=0が重解を持つためにa=0,p=1
P(1,2)が判明。
PQの式はy=-(1/2)(x-1)+2
x=2y^2+2
=1-2y+2
=3-2y
=3-(√3-1)
=2-√3
Q(2-√3,(√3-1)/2)が判明。
0972１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 04:38:30.25ID:wpJjzlbG
>>956-957
すいません、
私の思いつきは的外れでしたね、
失礼しました。
0973イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/07/08(水) 04:53:28.69ID:CkzpZnuD
前>>971訂正。勇足おわび致す。かたじけない。
>>967
P(1/2,5/4)
Q(5/4,1/2)
ピタゴラスの定理より、
PQ=√(3/4)^2+(3/4)^2
=3√2/4
0974１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 07:34:45.40ID:I3BoIViR
>>967
思考停止のプログラムでの数値解

> PQ <- function(xy){
+ x=xy[1]
+ y=xy[2]
+ P=c(x,x^2+1)
+ Q=c(2*y^2+2,y)
+ sqrt(sum((P-Q)^2))
+ }
>
> opt=optim(par=c(0,0),fn=PQ,method='Nelder')
> x=opt$par[1]
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
0977１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 08:32:40.16ID:0bsbQgCs
正の実数xに対して{x}はxの小数部分を表す。aを正の無理数とする。
（1）n=1,2,...のそれぞれに対し、{na}はすべて異なることを示せ。
（2）（1）と同様にa*{na}を考えたとき、a*{ka}=a*{ma}となる相異なる自然数の組(k,m)が少なくとも1組存在する場合がある。aはどのような無理数か、考えうる全ての場合を求めよ。
0978１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 08:37:03.05ID:wpJjzlbG
みんな頭いいな。

ここの方って中高生向けの数学オリンピックとその予選、
ああいう偏ったタイプの問題を解く自信はありますか？
ああいうのって大学以上の数学とは別ものですよね？

ちなみに、おれが学生の頃は
旧い練習問題のコピーがクラスで流行ってた。
1.5 問くらいしか解けんかったわ。 余裕で予選落ちだ。
0979１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 09:34:26.90ID:wuJIFs5H
>>977
(1)異なる自然数k,mに対して{ka}={ma}と仮定すると ka-ma=(k-m)a が整数となるが、k-m≠0であるからこれはaが無理数であることに矛盾する。
(2)a*{ka}=a*{ma} ⇔ {ka}={ma} であるから(1)よりaがどのような無理数であってもこれを満たす相異なる自然数の組(k,m)は存在しない。
0980１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 10:16:11.83ID:XD7Ql8W/
C,Dが交わらない微分可能な関数曲線として、
PQが最小値をとるとき、PでのCの接線とQでのDの接線は平行である
ってどうやって証明できるんだろう？
0981１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 11:22:54.39ID:wuJIFs5H
>>980
条件設定が不十分すぎますが、>>967の話でしょうか？

動点の片方を固定したとき、固定されてないほうの接線がPQに垂直となることを示せば十分ですが
垂直でなければPQを半径とする円と交わるので円の内部の点を取れば最小ではなくなるくらいでよいのではないでしょうか。
0982１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 11:56:09.02ID:M5YUn+y1
X,Yを全順序集合とする。順序を保つ全単射f:X->Yが存在するとき、XとYは順序同型になるか？

なりそうな気がしますがどうでしょうか？
0983１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/08(水) 12:44:39.16ID:AhepFBJk
全順序なら自明じゃね
f が順序を反映することが言えればいいんでしょ？
任意の x, y ∈ X に対して
f (x) ≦ f (y) ならば、 X が全順序なら x ≧ y または x ≦ y だが、
もし x > y なら f が順序を保つことから f(x) ≧ f(y) となるので f(x) = f(y)
これは f の単射性の仮定に矛盾する。
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
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