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分からない問題はここに書いてね460

レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
0812１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/03(金) 14:05:04.37ID:1bUTMl+p
6x6=36
8x8=64
10x10=100
36+64=100
これって、整数論か文字式で合理的な理由説明できる? それともただの偶然?
0813１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/03(金) 14:15:17.85ID:l9EAO2Py
>>812
(6, 8, 10) はピタゴラス数だから
原始ピタゴラス数 (3, 4, 5) の2倍
ちなみに、
n^2 + (n+2)^2 = (n+4)^2
を満たす n は 6 と -2 のみ
0815１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/03(金) 14:34:16.95ID:1bUTMl+p
中一で習うような(a+b)^2とかの式でキレイに変形してみたら当たり前だよねって説明出来るか否かかな。

>>813,814を検索してみて
ピタゴラス数を作る公式は上の式とかに似てますね。
0816１３２人目の素数さん
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2020/07/03(金) 14:39:53.26ID:lBvnkrP8
>>815
次の等式は展開すればすぐわかる:
(d(a^2-b^2))^2 + (2dab)^2 = (d(a^2+b^2))^2


つまり X=d(a^2-b^2), Y=2dab, Z=d(a^2+b^2) とおけば
X^2 + Y^2 = Z^2 が成立している

d=2, a=2, b=1 とすれば X=6, Y=8, Z=10
つまり 6^2 + 8^2 = 10^2
0817１３２人目の素数さん
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2020/07/03(金) 14:41:44.92ID:1bUTMl+p
九九の対角線と、最初の三桁の自然数の間の関係が、特別美しく見えたと言う私の"感想"と。
とりあえず、三平方の定理が自然数同士で成り立つ事に合理的な理由があるのは分かりました。
聞きたかったニュアンスとしては、"偶然ではない"ように"感じ"ます。
0819１３２人目の素数さん
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2020/07/03(金) 14:52:22.56ID:SJNnbIMQ
>>817
九九の対角線ってのは平方数だからある種の美しさはあるだろうが
最初の三桁の自然数が美しいってのは不思議な感性をしているね。
10進法が他のn進法に比べてそんなに美しいのだろうか。
0820１３２人目の素数さん
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2020/07/03(金) 15:03:17.34ID:1bUTMl+p
>>816
ありがとうございます。

最初に全体4で割っておくと、
(A-B)^2+4AB=(A+B)^2
で100%中一数学ですね。


>>819
あとは、偶然って定義とかあったっけ。
0821１３２人目の素数さん
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2020/07/03(金) 15:12:52.37ID:SEzJko/d
>>811
私は以下のように考えました。

ツナ、タマゴ、ハム、チーズをそれぞれ、簡単のため、a, b, c, dとして、
例えば、容器の左の縦列に上から順番に(a, b, c, d)と詰めるとすると、右の縦列には、上から順番に、
(b, a, d, c)、(b, c, d, a)、(b, d, a, c)、
(c, a, d, b)、(c, d, a, b)、(c, d, b, a)、
(d, a, b, c)、(d, c, a, b)、(d, c, b, a)
の9通りが考えられ、左の縦列の並べ方は、4！通りあり、それらの対称性から、各々9通りの右縦列の詰め方があるので、全部で、9×4！通りあるが、回転させて同じ詰め方が各々2通りあるので、2で割って、
(9×4！)÷2=108通り

が答えになると思ったのですが、合っているでしょうか？

何だか、色々と考えにくく、結局、泥臭い地道な解法を取ったのですが、別解として何かもっとスパッと簡単に解く方法はないでしょうか？他に別解として、どのような解法がありますでしょうか？

ご教示のほど宜しくお願い致します。
0822１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/03(金) 15:15:29.90ID:l9EAO2Py
5 進法で考えれば 3^2 + 4^2 = 10^2
同様に 13 進法で考えれば 5^2 + C^2 = 10^2
…
記数法や n 進法の話はともかく、自然数の組 (a, b, c) に対して
a + b = c
は全ての c ≧ 2 について a, b が存在するが
a^2 + b^2 = c^2
を満たす c は限られる（例えば c = 6 は不可能）し、
a^n + b^n = c^n (n ≧ 3) なら一つもないこと（フェルマーの最終定理）を考えれば
美しいかもしれない
0823１３２人目の素数さん
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2020/07/03(金) 17:46:47.84ID:zd8ES0Nb
dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
のyを求めたいのですが。
もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。
0826１３２人目の素数さん
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2020/07/03(金) 19:38:01.08ID:pJJSArnZ
nを3以上の自然数とするとき、
a^n+b^n=c^n+{2^(n-1)}*ab*cos(∠A)
を満たす自然数a,b,cおよび実数Aは存在するか。
ただしa,b,c,Aは以下の条件を満たす。

（条件）a,b,cはある1つの三角形の3辺の長さとなる。その三角形を△ABCとしたとき、a=BCであり、∠A=∠BACである。
0827１３２人目の素数さん
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2020/07/03(金) 21:14:35.09ID:90y63y3Z
>>810
120通り

(1)回転しても同じになるのが24通り
> x2mat(pm1[idx1[24],])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 1 2 3 4

(2)回転すると別の並べ方
> x2mat(pm1[216,])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2


(1)+(2)が216通り
(1)が24通りなので

（216-24)/2 + 24 = 120通り
0828１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/03(金) 21:16:16.50ID:90y63y3Z
>>810
プログラムを組んで数えさせた。

library(gtools)
pm=unique(permutations(8,8,v=rep(1:4,2),set=FALSE))
x2mat <- function(x) matrix(x,ncol=4,byrow=T) # vector-> matrix
x2mat(c(2,1,3,4,1,3,4,2)) # demo
fn <- function(x){
y=x2mat(x)
all(
all(1:4 %in% y[1,]), # 1st row includes all of 1:4
all(1:4 %in% y[2,]), # 2nd row includes all of 1:4
all(apply(y,2,diff)!=0) # difference in each column is not zero
)
}
idx=which(apply(pm,1,fn))
length(idx)
x2mat(pm[idx[100],]) # demo
"
identical after rotation : 'symmetric'
1234 1234
4321 4321

different after rotatio : 'asymmeric'
2134 2431
1342 4312
"
pm1=pm[idx,]
x2mat(pm1[216,]) # demo
fn1 <- function(x){
(y=x2mat(x))
(z=matrix(c(rev(y[2,]),rev(y[1,])),ncol=4,byrow=T)) # after rotation
all(y==z)
}
idx1=which(apply(pm1,1,fn1))
x2mat(pm1[idx1[24],])

s_as=length(idx) # symmetric + asymmetric
sym =length(idx1) # symmetric

(s_as-sym)/2 + sym

> (s_as-sym)/2 + sym
[1] 120
0829１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/03(金) 21:24:39.95ID:90y63y3Z
>>821
(a,b,c,d)　
(d,c,b,a)
だと回転させても回転前と同じになるから、こういうのを含めて２で割ると過小評価になると思う。
0832１３２人目の素数さん
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2020/07/03(金) 22:33:22.82ID:7lES8FSM
証明の行間って英語でどう書くのですか？
行間の英訳を検索すると行と行の間の空白部分の英訳が出てしまうのですが、日本語のニュアンスとしては、証明の詳しさ的な感じですよね
0834１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 11:44:56.83ID:JsPC4r8O
fをアッカーマン関数とする. 以下を証明せよ.
(1)x+y+1<=f(x, y).
(2)f(x,y)<f(x,y+1)<=f(x+1,y).
(3)任意のa,b∈Nに対してc∈Nが存在して任意のy∈Nに対してf(a,f(b,y))<f(c,y).
(4)原始的関数g:N^n→Nに対してc∈Nが存在してg(x_1,...,x_n)<f(c,max(x_1,...,x_n)) (ただしn=0のときmaxの値は0とする).

上記の問題の(4)のgが原始帰納法によって定義された関数である場合の証明が分かりません. どなたかよろしくお願いします.
0835１３２人目の素数さん
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2020/07/04(土) 13:22:03.60ID:bJzWIHZ7
実数xに対して、"x"はxの小数部分を表すものとする。
任意の正の数εに対して、不等式
"(3^n)/(2^m)"<ε
を成立させる自然数m,nが存在することを示せ。
0836１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 13:30:40.47ID:OUWbM4MU
ある集合が開集合であるかどうかは絶対的なものではなく、それを含む空間に依存するということですが、
原点を中心とする半径1の開球が開集合でなくなるような容れ物ってありますか？
0838１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 13:34:41.79ID:OUWbM4MU
単位開球⊂X⊂R^3で単位開球がXで開集合でなくなるようなXは存在しますか？という質問です。
0839１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 13:48:33.01ID:bpBdqHUs
Xの空間としての位相がR^3から自然に入れたものなら開球は(というかR^3の開集合でXに含まれるものならどんなものでも)開集合

ただしXとしてR^3とは全く関係ない位相を入れた空間と思うなら開球が開集合でなくなることはある
0840１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 14:02:12.96ID:VlSg+iRT
>>835
3/2^m → 0 (m → ∞) なんだから当然じゃね
n と m に自然数以外の条件ないの？
あと普通 x の小数部分は {x} か frac(x) じゃね
0841１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 14:13:28.20ID:bpBdqHUs
多分、整数部分が0でない想定なんだろうけど
その場合は
3^(2^n)=(2^n)k+1
からわかる
0842１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 14:53:51.99ID:8jzJFpef
>>835
正数xについて常に"x"<xであるから、"(3^n)/(2^m)"<εが成り立つためには(3^n)/(2^m)<εが成り立てば十分である。
n=1とし、3/ε<2^M となるような自然数m=Mをとればよい。

>>836
いくらでもあるが簡単な例としては、R^3空間にR^3自身と空集合のみを開集合とする位相を入れればよい。密着位相というやつだな。
0843１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 15:04:26.96ID:VlSg+iRT
>>838
例えば、 X := {x ∊ R^3 | |x| ≦ 2} とすれば （単位開球） ⊂ X ⊂ R^3
ここで |x| は R^3 のユークリッドノルムとする。
o(ε) := {x ∊ R^3 | ε ≦ |x| ≦ 2}
に対し、
S := {o(ε) | ε ∊ R}
を準開基として生成される X の開集合系を O とするとき、
位相空間 (X, O) について単位開球は開集合ではない。
0845１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 15:11:11.88ID:oAKLKcEG
>>824

＞＞dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
＞＞のyを求めたいのですが。
＞＞もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。

本当にこのままです。
0846１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 15:32:03.11ID:oAKLKcEG
>>825
あなたが見てきたのは本に書いている解ける微分方程式です。
分からないなら、分からないで構いません。
0847１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 15:33:47.71ID:EP1Xe6XC
どちみち虹の微小量として消して計算するしかないんじゃない？

dy = (1－y^2)dx
y(x) = (e^(2 x) - e^(2 c))/(e^(2 c) + e^(2 x))
0848１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 15:53:31.18ID:VlSg+iRT
とあるサイトに

「一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，
　たとえば， x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」

と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
0849１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 16:15:39.74ID:8jzJFpef
ディオフォントス方程式の整数解の一般解法は存在しないことが証明されているから未解決ではないぞ。
ある特定のディオフォントス方程式についてということなら、解けるものも解けないものも解く方法が見つかっていないものもあるだろう。
0851１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 16:24:33.26ID:VlSg+iRT
>>848
再掲します

とあるサイトに

「 x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」

と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
0854１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 16:34:24.79ID:VlSg+iRT
引用の仕方が良くなかったですかね
ヒルベルトの第10問題（が否定的に解決されたこと）について書かれているサイトの文章だったので
「たとえば，～」が現在でも具体例として有効なのかどうかがわかりません
0855１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 17:55:23.51ID:9wc4jh9T
∫dx/(1 - x^2)^(3/2) って、計算可能でしょうか？
0857１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 18:28:49.31ID:9wc4jh9T
>>856
なんと、こんな便利なサイトが……！！　とても助かりました、ありがとうございます。
0861１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/04(土) 19:23:29.13ID:Fvn4+d+y
き、きっと>>823は無限次元多様体上のすべての次元の微分形式からなる多元環における方程式なんだよ
え？>>850？そんなもん知らんな
0863１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 11:41:48.76ID:6pnuWzuz
∫[0,∞] exp(-x^3) dx
の値は知られていますか？
-x^3の場合の記述が見つからなかったので、ここでお聞きしました。
0865１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 14:47:10.85ID:6pnuWzuz
xyz空間の６点A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),E(0,0,1),P(a,b,c)を頂点とするn面体Kを考える。

（１）c<0の条件のもとで、Kが凸n面体となるような実数a,b,cの範囲を求めよ。

（２）△PABの重心をG、△PECの重心をHとする。a,b,cが（１）で求めた範囲を動くとき、線分GHが通過する領域をＸとする。Ｘを平面z=t(ｃ≦t≦1)で切った切り口の面積を求めよ。切り口が1点や線分である場合、または存在しない場合の面積は0とする。

（３）Kの体積を求めよ。
0866１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 17:20:29.39ID:2QM6mHlN
定積分の問題です。

mathematicaで Integrate[Sin[ax]x/(1+x^2)^c,{x,0,∞}](ただし aは正の実数,cは実数)
とすると、

(2^(1/2-c) a^(-1/2+c) Pi^(1/2)BesselK[-3/2+c,a])/Gamma[c]（ただしｃ>1/2)
と出てきます。

これを証明したいのですが、できません。

留数を使うと思うので、そちらの文献を少しは調べてみたのですが、、、。

どなたか、上の定積分の証明をお分かりの方がいれば、
ご教示のほど、よろしくおねがいいたします。
0867１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 17:55:46.16ID:mES7tl/s
>>847
御解答ありがとうございます。

おっしゃる通りです。
私の計算でもwolframの計算でもその解答です。
しかし
dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
のydxdyを無視してはいけないことに気付きました。
近似解でも良いから求められないでしょうか。
0868１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 18:45:55.97ID:LpPEvrn4
有名な話で恐縮ですが、ガンマ関数と解析接続の
γ(-1)=-1/12=Σ1/n^(-1)=Σn=∞
という式はどう解釈すれば良いでしょうか。
計算していけばγ(-1)=-1/12となるのは納得できます。となるとΣ1/n^aにおいてa<0を考えたことに誤りがあるのでしょうか。
ご教示お願いいたします。
0869１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 18:47:02.00ID:wQ7bH17G
何かをモデル化してその数式を導いたなら、モデル化か数式化がおかしいとしか言えない
近似も何も、モデル化や数式化が近似なのだから、その数式になるせめてもう一歩手前が分からんことにはどうにもならない
0871１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 19:04:31.69ID:iV7kmL62
>>864 に従って
　x^n = t　とおく。
∫[0,∞] exp(-x^n) dx
　= (1/n)∫[0,∞] t^(1/n -1) exp(-t) dt
　= (1/n)Γ(1/n)
　= Γ(1+1/n),
n=1 のとき　Γ(2) = 1,
n=2 のとき　Γ(3/2) = (√π)/2 = 0.886226925452758････
n=2.166226964260763････ で最小値 0.8856031944108887
n→∞ のとき 正方形（1×1）に近付く。
数学者にとっては 2x2=4 と同じくらい明らか。(Kelvin)
0872１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 19:44:07.30ID:iV7kmL62
>>855
(1)
∫ dx/(1 - x^2)^(3/2) = ∫{1/√(1 - x^2) + x^2 /(1 - x^2)^(3/2)} dx
　　= x/√(1-x^2),
(2)
　x = tanh(t)　とおく。
(3)
　x = sinθ とおく。
0873１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 22:15:33.76ID:rpUuAKzr
有病率が0.5%の疫病で10人の集団感染が認めれらたとき再生産数の期待値の計算はこれで正しい？

n=10
p=0.005

感染源がi人である確率は nCi*pi*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n
i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i

Σ{(n-i)/i * nCi*pi*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*pi*(1-p)^(n-i) = 8.887473379

手計算は面倒なのでプログラムして計算
R0 <- function(n,p){
i=1:n
w=dbinom(i,n,p)
r0=(n-i)/i
sum(r0*w)/sum(w)
}
R0(10,0.005)

> R0(10,0.005)
[1] 8.887473379
0874１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 22:35:01.86ID:rpUuAKzr
（脱字修正）

有病率が0.5%の疫病で10人の集団感染が認めれらたとき再生産数の期待値の計算はこれで正しい？

n=10
p=0.005

感染源がi人である確率は nCi*p^i*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n
i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i

Σ{(n-i)/i * nCi*p^i*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*p^i*(1-p)^(n-i) = 8.887473379

手計算は面倒なのでプログラムして計算
R0 <- function(n,p){
i=1:n
w=dbinom(i,n,p)
r0=(n-i)/i
sum(r0*w)/sum(w)
}
R0(10,0.005)

> R0(10,0.005)
[1] 8.887473379
0875１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 22:39:23.42ID:zaLNiyGh
f(x) のn階導函数を求めよ

(1) f(x) =1 /x(x + 1)
(2) f(x) = cos2xcos4x
0876１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 22:40:55.41ID:zaLNiyGh
arctanx + arccos 2/ 3 = 0 を満たす x を求めよ.

cosarcsinx の導函数を求めよ.
0877１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 22:47:28.53ID:zaLNiyGh
f(x) =1/ 2x(x^2 −1) (x < 0)
x(e^x − 3/ 2) (x ≥ 0)のとき


(1) f′(0)を求めよ.
(2) f′(x)を求めよ.
(3) f ∈ C＾n(R)としたとき, 最大のn ∈N∪{0}を求めよ
ただし、以上のうちで定まらないものがあればその理由を述べよ
0879１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 23:34:34.60ID:6pnuWzuz
A君が坂の途中のP地点に立っている。
A君がP地点から東に歩いたときの勾配は3/4であり、南に歩いた時の勾配は2/3であった。
この坂の勾配が最もきついのはP地点から見てどの方角か。
0880１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/05(日) 23:40:10.31ID:XbdysAQ6
>>875
(1)(1/x)(x+1)か1/{x(x+1)}か微妙な表記なのでスルーしておく。
(2)積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい。
>>876
(前半)これも (arccos2)/3 か arccos(2/3) か怪しい表記だが、どちらにせよ答えは x=-tan(arccos2/3)
(後半)-sin(arcsinx)/√(1-x^2)
>>877
これも (1/2)x(x^2-1) か {1/(2x)}(x^2-1) か 1/{2x(x^2-1)} か微妙な表記なのでスルーしておく。
0881１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 00:04:29.66ID:/c2y1QbB
>>879
坂の形状がわからないので、坂が平面であると勝手に決めつけて答えてみる。

東をx軸正の向き、南をy軸正の向き、上をz軸正の向き、A君の位置を原点としたxyz座標空間上で、坂平面の方程式を ax+by+cz=0 とする。
xz平面との交線が z=(3/4)x だから a=(-3/4)c 、yz平面との交線が z=(2/3)y だから b=(-2/3)c 。坂平面の方程式は 9x+8y-12z=0
この坂平面とxy平面の交線は y=-(9/8)x で、これに垂直な直線 y=(8/9)x が求める方角である。
すなわち南東方向に真東からみてarctan(8/9)の方角。
0883イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/07/06(月) 02:27:41.24ID:EjjkoMDB
前>>800
>>865
(1)x+y+z＜1
x-y+z＜1
-x-y+z＜1
-x+y+z＜1
の領域にPがある。
∴a+b+c＜1
a-b+c＜1
-a-b+c＜1
-a+b+c＜1
(2)保留
(3)(1/3)×2×1+(1/3)×2×c=(2+2c)/3
0884１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 05:46:30.48ID:IqOckpzP
>>882
計算機に解かせた。
> f <- function(x) atan(x) + acos(2/3)
> uniroot(f ,c(-10,10),tol=1e-15)$root
[1] -1.118034
> -sqrt(5)/2
[1] -1.118034
>
0885１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 06:44:49.42ID:IqOckpzP
>>879
library(pracma)
east=c(4,0,3)
south=c(0,-3,2)
(nv=pracma::cross(east,south)) # c(9,-8,-12) 外積=法線ベクトル
"
dot(c(x,y,z),nv)==0
9x-8y-12z=0 平面の式
z=(9x-8y)/12
fn <- function(x,y) 9*x - 8*y # 最大値でいいので/12は無視
x=cosθ, y=sinθとおいて
"
fn <- function(theta) 9*cos(theta) - 8*sin(theta)
curve(fn(x),-pi,pi)
(th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
> (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
[1] -0.726642

°で表示すると
> th*180/pi
[1] -41.63352
東から南に向かって41.6°の角度が最大の勾配
0886１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 06:56:57.48ID:IqOckpzP
>>885
勾配０の方向のθは（degree表示)

> uniroot(fn,c(-pi,0))$root*180/pi
[1] -131.6335

> uniroot(fn,c(0,pi))$root*180/pi
[1] 48.36646
0888１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 09:51:08.02ID:yUYT+NI/
恥ずかしながら、どう着手したらいいか分かりません...。
小学生レベルの私に解法ご教示ください。

出発地点から峠を越えて目的地に着き、すぐに来た道を通って出発地点に戻った。
行きは6時間半を要し、帰りは7時間半を要した。
出発地点から目的地までの道のりを求めよ。
ただし、峠を上るには毎時6kmで歩き、下るには毎時8kmで歩くとする。
0890１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 10:22:07.61ID:uh4BMQna
>>888
出発地点から峠までの道のりをx(km)
峠から目的地までの道のりをy(km)
と置いて式を２つ立て、そこからxとyを求め、x+yを回答する
0891イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/07/06(月) 11:10:10.22ID:EjjkoMDB
前>>883
>>888
道のりをＬkmとすると、
峠までの道のりlkmと峠から目的地までの道のり(Ｌ-l)kmについて、
行きはl/6+(Ｌ-l)/8=6.5
帰りは(Ｌ-l)/6+l/8=7.5
辺々24倍し4l+3Ｌ-3l=156
l+3Ｌ=156――①
4Ｌ-4l+3l=180
4Ｌ-l=180――②
①+②より、
7Ｌ=336
∴Ｌ=48(km)
0892１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 11:22:28.24ID:s8I58AGk
>>888
これは問題がいやらしいな。

行き帰りでコストが異なる非対称の距離の問題、
それをあえて、身近な坂道で例えて
簡単そうに見せかけている。
出題者のねちっこい性格を表している。
0893１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 11:28:58.13ID:s8I58AGk
>>888
行きの上り 斜面を x km 、 下り斜面 を ykm とする。
（帰りは、この 上りと下りを逆にすればよい）

行きに要した時間より式A、 帰りに要した時間より式B

A. x/6 + y/8 = 6.5
B. x/8 + y/6 = 7.5

見やすいように両辺を 24倍して
A … 4x + 3y = 24 * 6.5
B … 3x + 4y = 24 * 7.5

ここで、 （A + B） とすると
より 7x + 7y = 24 * (6.5+7.5) が得られる。

7 * (x+y) = 24 * 14
(x + y) = 24 * 14 ÷ 7 = 48

答え 48 km
0894１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 11:51:46.37ID:ET+hu8oz
>>888
帰りのほうが長い時間かかっているので帰りのほうが上りの距離が長い
つまり峠の頂点は出発地点に近い側にある
出発地点から峠までの距離と同じ距離だけ峠から下った地点をAとすると、行きに出発地点からAまでにかかる時間と帰りにAから出発地点までにかかる時間は同じ
従って行きと帰りの差1時間は、行きにAから目的地までにかかる時間と帰りに目的地からAまでかかる時間の差
この区間は行きは下りなので時速8km、帰りは上りなので時速6km
例えば48kmをそれぞれの速さで進むと6時間と8時間かかるから2時間差（※）
だから「Aから目的地」は24km(X）ってことになる
ここを行きは3時間、帰りは4時間かけて歩いている
残りの「出発地点からA」は上りと下りが同じ距離であり、行きも帰りも3時間半
例えば上りも下りも24kmずつだとそれぞれ4時間、3時間かかるので計7時間(※）
なので「出発地点からA」上りも下りも12kmずつの計24km(Y）
よって「出発地点から目的地」はXとYを足して48km
また出発地点から峠まで12km、峠から目的地まで36kmなので検算してみると、
行きは上りに2時間下りに4.5時間で計6.5時間、帰りは上りに6時間下りに1.5時間で計7.5時間で合っている
※のところは計算しやすい数値を用いているだけ
0895イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/07/06(月) 12:18:17.93ID:EjjkoMDB
前>>891
小学生は作文の時間に、たとえば感想文とかを書くとき、ちょっと書ける子でも3行60文字ぐらいで詰まる。したがって答案に使う文字数もそのぐらいにしたほうがいい。
0896１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 13:20:23.54ID:b/qHWYwf
現実的には48km歩いて直ちに行きと同じペースで引き返すとか無理ゲー
0898875
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2020/07/06(月) 14:05:23.49ID:/0aqWtmc
補足です
f(x) のn階導函数を求めよ

(1) f(x) =1 /{x(x+1)}
(2) f(x) = cos2xcos4x
0899１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 14:14:43.88ID:uITHUiBq
>>898
「n階導函数を求めよ」とかいう問題は一般項を推測できれば帰納法で証明できることが多いよね
もし一般項の推測ができないなら、具体的に f'(x), f''(x), f'''(x), f^(4)(x), … を書いてみれば
誰か推測してくれるかもよ
まさかこの程度の計算もせずに書き込んでいるわけじゃないでしょ？
0901１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 14:56:04.73ID:HPDcrjtp
>>888
本問では、峠の両側の勾配に大差ない（平均で見て）と思われる。
場所によって勾配が大きく変わる場合も

「ある場所を上るときの速さは、そこを下るときの速さの 3/4 とする」

とすれば、所要時間は求まる。
(行き)
　出 → 峠　2時間
　峠 → 目　4時間半
(帰り)
　目 → 峠　6時間
　峠 → 出　1時間半
0902１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 15:13:44.59ID:cE8uMBSB
>>898
(1) 1/{x(x+1)}=(1/x)-1/(x+1) と部分分数分解してから微分し始めるとよい
(2) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
0903888
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2020/07/06(月) 15:47:33.22ID:mK7KZ70L
皆さま、ご回答ありがとうございます！
理解できるよう内容確認させて頂きます！
0904１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 15:59:54.57ID:qGWlc6nd
次の函数の3階導函数を求めよ
① cosxcos3x

②e^x sinh2x (x > 0)
0906１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 16:09:19.43ID:y/W8tFYs
R^nの部分距離空間Aの点aが孤立点だとします。{a}はAの開集合ですが、違和感があります。{a}が開集合であるということが何かの役に立つんですか？
0907１３２人目の素数さん
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2020/07/06(月) 16:21:21.76ID:vZuo8Rqd
かつ閉集合でもあるからいいんじゃない
閉かつ開に違和感持ったらp進解析できないよ
0909１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/06(月) 18:16:54.23ID:cE8uMBSB
>>904
(1) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
(2) {e^(3x)-e^(-x)}/2 の形から微分していけばよい。
0910１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/06(月) 18:55:05.17ID:zrqa/esz
（無限）連分数ですべての実数が表記できるというのは、証明は簡単ですか？
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
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