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分からない問題はここに書いてね460

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0452１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 18:53:37.77ID:cce83oWe
>>450

私は、交点のx座標を求めなさいという問いに対して、x=2と解答するのも違和感があります。
この場合は問題文中にxがあるので、その反論だとなかなか説得力を感じ得ません。
そもそもこの場合だと、x=2でも全く違和感がないのが普通なのでしょうか？その辺りの自信もないのでどなたかお願いします。
0453１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 18:55:12.10ID:cce83oWe
>>451

ダメな理由が確かに見つからないんです。ですが違和感が0というわけでもなく書き込ませてもらった次第です。
0454１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 19:12:56.32ID:qWGy1lbr
>>448
交点の座標を求めよということは問題文に曲線または直線の方程式があるはずで、そこにx,yの文字が用いられているであろうから
xy平面であることは明らかで、何の問題もないであろう。

例えば「xの方程式 2x=5 の解を求めよ」との問題で、5/2 と答えるのが正解で x=5/2 と書くのは違和感があるとでもいうのか？これと同じことだぞ。
「5/2」はこの方程式の解だが「x=5/2」はこの方程式の解ではないからな。
0455１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 19:16:58.53ID:FRXVIMl9
>>452
> >>450
>
> 私は、交点のx座標を求めなさいという問いに対して、x=2と解答するのも違和感があります。

違和感はない。
しいて言うなら、交点のx座標を求めなさいという問いに対する答えとしては、
交点のx座標は2である。と答えるのが良い気がする、という程度。
それと同じ意味を指していると読み取れる答えならば、正解とするのが妥当。

そして、x=2と答えるのも、2と答えるのも、まともな文章になっていない時点で違和感がある。
0456１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 19:27:00.50ID:V+0qMkPB
>>452
整理すると
直線y=ax+bと直線y=cx+dの交点の座標を求めなさい。
1) (2, 5)
2) (x, y)　=(2, 5)
3) x=2, y=5

1はOKってことだとおもうけど、2、3は減点かゼロってこと？
0457１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 19:30:21.21ID:E3RuoH8H
(2,5) とだけ書かれていた場合、どちらが x 座標でどちらが y 座標かわからないので
むしろその「答え」のほうが問題
0458１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 19:46:20.31ID:V+0qMkPB
たとえばトライ中学生の講義だとこんなかんじ
ttps://youtu.be/Juoc2EHIfLc?t=341
何の説明もなく>>456の1みたいな書き方してる
0459１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 19:48:22.54ID:cce83oWe
ご回答いただいた皆様ありがとうございます。私としては、>>456
で書かれてるように思っていました。

方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。どんな問題集の解答にもそのような書き方はなかったもので。また、x座標を求めなさいと言われてx=2と答えるのは、y軸に平行な直線を表しているように思えて違和感がありました。
学校の先生に聞いても、「マルだよマル」とだけ言われたので、こちらで質問させていただきました。もう少し勉強してみます。ありがとうございました。
0460１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 19:55:26.36ID:c9kHryWL
これは難しい問題だな
厳密に言えば不正解だけど、正直そこまで厳密に理解してる人はそうそういない
0461１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 20:18:26.52ID:E3RuoH8H
>>459
>(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、

そうとは限らない
実際、 (y, x) = (5, 2) と書いても何の問題もない
それとも教科書か何かにそのように定義されているのか？
「記号 (・, ・) の左側は必ず x 座標で、右側は必ず y 座標にしなければならない」とでも？
そうでなければただの思い込みでしょう
掛け算の順序問題と同じ
0462１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 21:24:31.85ID:qWGy1lbr
>>459
＞方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。
ダブルスタンダードだな。その前半の解釈なら「座標は(2,5)です。」という意味で(x,y)=(2,5)と書くという解釈になるのではないか？

＞(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してる
この認識が誤りである理由は、>>461が指摘する点だけではない。
そもそも細かいことを言えば「(x,y)座標が(2,5)である」ことと「x座標が2でy座標が5である」ことは同値ではあるが異なる命題なので
「交点の座標を求めよ」との問題の答えとして「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは最適な答え方ではない。正解の許容範囲ではあるが。
「交点のx座標とy座標を求めよ」という問題であれば、答えに「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは妥当だろう。
0465１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 21:51:02.94ID:E3RuoH8H
>>464
ふーん、じゃあ誤解の恐れがなければそれでもいいかもね
しかし、 (x, y) = (2, 5) のほうが正確な表現であることは間違いないので、
間違っても「蛇足でありバツ」ではない
むしろそのように解答する生徒のほうがあなたよりも数学を理解していると言えるでしょう
0466１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 22:01:43.33ID:sqOEFPjz
座標を求めるなら(2,5)が一番正確だが、
(x,y)=(2,5)と書かれてもまあ伝わる
0467１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 22:30:35.78ID:sqOEFPjz
ちなみに厳密にいえば、方程式の解を「x=2」みたいに書き表すのも間違い
方程式の解は変数に代入すると等号が満足されるような値のことであって、だから「解は2である」という表現のほうが正しい
ただ歴史的にずーっと「x=2」と書いてるし、そこまでキッチリ考えてる人が殆どいない
だから伝わるような書き方であれば良いということになる
0468１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 22:31:40.85ID:RCsCqPnq
>>465
その、「正確な表現」というのがよくわからないだけです。(●,●)で、座標を表すということは教科書に書いてあるので。だから蛇足というのは、(x,y)=(●,●)という書き方だと、「座標は座標は●●です」のように、同じことを二回書いてることになるから違和感があり、どんな教科書や問題集でも(x,y)=(,)のような書き方はしてないのだと思っています。
なぜ喧嘩腰なのか上から目線なのかはわかりませんが、私も友達同様中学生です。
0469１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 22:59:50.78ID:E3RuoH8H
>>468
なんだ中学生だったのか
つい採点する側の人かと思って厳しめに書いてしまった
なぜ (x,y) = (●,●) と書くべきかと言うと、
「 (●,●) で座標を表すとき、左側が x 座標で右側が y 座標」というのは中学校か、せいぜい高校まででしか通用しない「常識」だから
数学で (●,●) と書いたとき、これは必ずしも座標を意味するわけではなくて、一般には「順序対」というものになる
これは
「(a1, b1) = (a2, b2) となるのは a1 = a2 かつ b1 = b2 のとき、かつそのときに限る」
というように = が定義されていて、 (x, y) = (2, 5) というのは x = 2 かつ y = 5 の略記にすぎない
だから、 (y, x) = (5, 2) と書いても問題はない
また、 Wikipedia にあるように、「記号の意味は文脈に完全に依存」していることにも注意しないといけない
例えば、実数直線上の開区間を表すのに全く同じ記号を使う
0470１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 23:10:51.38ID:cXGUeLEg
>>469
おおよそ合ってるんだけども、大学数学をかなり勉強していてもこう思うのは正直無理もない
(x,y)=…という書き方は方程式の解と同様厳密ではない
確かに直交座標系は順序対などを使って定義されるが、直交座標系を定義した時点で順序対のどちらがx軸かということが定義されている
そして順序対の左側がx軸であるということは、おそらく暗黙の了解
というのも高校数学では暗黙の了解は意外とある
例えば1/Xというのは高校数学までは多項式とは扱われないが、R[X]を多項式環と定める(特に、R[1/X]は考えない)とは言及していない

要するにあんまり細かいことは先生側も知らないので、とりあえず迎合するしかない
0472１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 23:29:45.55ID:E3RuoH8H
>>470
座標系の問題を言い出すとさらにややこしくて、高校でも極座標（系）をやるでしょ？
2次元の極座標では点の座標を動径 r と偏角 θ を使って (r, θ) で表すわけだから、直交座標と極座標が混在しているとき、
特に角度をラジアンで表すときは、 (2, 5) と書かれただけでは直交座標なのか極座標なのか判別できない
0473１３２人目の素数さん
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2020/06/15(月) 23:49:37.70ID:cXGUeLEg
>>472
確かにわからないけど、そういう例は他にもある
例えば基底を忘れてしまうと線型写像の表現行列は何を表しているか分からなくなるが、基底が暗黙の了解で定まっていれば、表現行列をそのまま書いても問題はない

整理すると、(2,5)は暗黙のうちに直交座標系が定義されているので、そこは言及されているものとすれば一番正しい書き方
(x,y)=(2,5)のような書き方は、まあ厳密に言えば正しくないが、意味は伝わるし分かりやすいので問題ない
ただこう書くべきとは(数学的には正しくないので)俺には言えないかな

現実的な問題としては、先生が数学的に何が正しいのかわかるとは思えないから、うまーく周りに合わせるしかないというのが回答だけど
0474１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 00:05:48.41ID:3yLgVs0A
みなさま色々なご意見ありがとうございました。
今当たり前のことがのちに当たり前ではなくなるのかと、色々怖くなりましたが勉強になりました。
0476１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 03:43:30.88ID:4svmpCM1
A=a+√((a+b)(a+c))
B=b+√((b+c)(b+a))
C=c+√((c+a)(c+b))
とする

(ab+bc+ca)(A+B+C)=ABCを示せ

展開すれば確かにそうなるんですが、他に良い説明あれば教えてください
0477１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 03:51:17.21ID:G/kW9rJq
平面上に定点Oをとり、Oを原点とする2次元座標を導入することを考える。

（1）a,b,c,dを正の実数とし、2次元の定ベャNトルuおよびvｂ=(a,b),v=(c,d)と定める。ただしuはどのような実数kに対してもu≠kvを満たす。
s,tを実数とし、原点<0,0>を始点としてsu+tvが表す位置を座標<s,t>と定める（また、点<s,t>とも呼ぶ）。
特にs,tが共に整数のとき、点<s,t>を格子点と呼ぶ。
a,b,c,dのとり方に依らず、ある2つの格子点が存在し、その2点間の距離を無理数とする整数s,tがとれることを示せ。
ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。

（2）引き続き、（1）で定めた座標を考える。
さらにOを原点とする極座標{r,θ}を定める。ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
このとき、a,b,c,dのとり方に依らず、{r,θ}=<s,t>かつ<s,t>≠<0,0>となる実数の組(r,θ,s,t)が少なくとも1つ存在すると言えるか。
0478１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 04:52:38.21ID:NJOHSbaF
lim［n→♾］（1+1/n）^n=e=2.7182818284590...
lim［n→♾］（1+1/-n）^-n=e=2.7182818284590...
であることを証明せよ。但し
a:=1/a^n（0≠a ∉R,n ∉N）
0479１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 05:19:34.62ID:iW1kgSuD
xyz空間の単位円周C:x^2+y^2=1(z=0)上を、半径rの円板Dが以下のようにして動く。

(a)Dの中心は円周C':x^2+y^2=1(z=r)上を(1,0,r)から反時計回りに1周する。
(b)Dは平面z=0と常に垂直である。
(c)DとCの接点をPとすると、PにおけるDの速度ベクトルの向きは、PにおけるCの接線を反時計回りにθ回転させた方向と一致する(0≦θ<2π)。

Dが動いてできる曲面を分類せよ。
0480１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 11:26:38.90ID:pgPo+umu
>>478
一行目の前半はeの定義の表現のうちの1つであり、定義なのだから証明のしようがない。
eの他の定義との同値性を証明せよというのならわかるが、それならそれでeの定義が別に述べられていないとどうしようもない。
一行目の後半はeの近似値を小数点以下13桁求めよとのことだが、これもeの定義が明確でないとどうしようもない。
二行目は、一行目が示せれば直ちにわかることである。
但し書きはaの定義のように見えてaを用いている以上定義になっておらず、そもそも∉という表現ではaやnが一体何なのかわからない。
aは多分虚数なんだろうがそれならわざわざa≠0を書く必要がない。nは自然数ではない複素数ということなのか？複素数ではないことまであり得るのか？

総じて問題の趣旨が全く分からない。まさに分からない問題であると言えよう。
0481１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 11:50:33.53ID:pgPo+umu
>>477
(1)
＞ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。
この距離の定め方なら、<1,0>=1u+0vと<0,1>=0u+1vの距離は√2だから無理数である。
しかし、この問いであれば1～2行目に何の意味もないな。

(2)
いまいち意味の取りにくい文章であるが
＞ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
この条件を満たすようにとるだけなのだから、少なくとも1つどころかいくらでも存在するだろう。
0482１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 12:10:30.96ID:MA7a0AZ4
>>476
まず
　A - a = A'　　B - b = B'　　C - c = C'
　s = a+b+c,　　t = ab+bc+ca,　　u = abc,
とおく。

(右辺) - (左辺) = ABC -t(A+B+C)
　= (A'+a)(B'+b)(C'+c) - t(A'+B'+C'+s)　　　(← 展開する)
　= {A'B'C' + aB'C' + bC'A' + cA'B'-a(b+c)A' -b(c+a)B' -c(a+b)C' +u} -st
　= A'B'C' - (st-u)
　　+ a{B'C'-(b+c)A'} + b{C'A'-(c+a)B'} + c{A'B'-(a+b)C'},

題意により
　A'B'C' - (st-u) = A'B'C'- (a+b)(b+c)(c+a) = 0,
　B'C' - (b+c)A' = 0,
　C'A' - (c+a)B' = 0,
　A'B' - (a+b)C' = 0,
だから、確かにそうなる。
0483１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 12:47:20.18ID:4svmpCM1
>>482
ありがとうございます。
うーん、やはりどこかである程度の展開は頑張らないとダメなんでしょうかね…
0484１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 13:21:53.96ID:4svmpCM1
いま少し思ったのは
a,b,cについて斉次式なので其々を1/√(ab+bc+ca)倍したものを改めてa,b,cとおいて
それについて示しても良さそうですね

この場合、ab+bc+ca=1であり
A=a+√(a^2+1)
B=b+√(b^2+1)
C=c+√(c^2+1)
について

A+B+C=ABC

を示せばよい
(もしかすると余計に難しくなったかもしれません)
0486１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 13:58:13.62ID:MA7a0AZ4
いま少し思ったのは
ab+bc+ca=1 で規格化すると
　a = 1/tanα,　b = 1/tanβ,　c = 1/tanγ,
　α+β+γ = π,　(⊿の3つの角)
とおける。このとき
　A = 1/tan(α/2) = tan((π-α)/2),
　B = 1/tan(β/2) = tan((π-β)/2),
　C = 1/tan(γ/2) = tan((π-γ)/2),
また
　(π-α)/2 + (π-β)/2 + (π-γ)/2 = (3π-α-β-γ)/2 = π,
よって　⊿の3つの角だから
　A+B+C = ABC.
0487１３２人目の素数さん
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2020/06/16(火) 14:06:56.22ID:4svmpCM1
>>486
今ちょうど同じ方針で考え始めてました！

三角形条件のときのtanの関係式知らないんですが、何か良いサイトか参照先ありますでしょうか？
0488１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/16(火) 14:16:40.58ID:4svmpCM1
いや、単純に3変数の加法定理でいいのか

tan(α+β+γ)=(ab+bc+ca-1)/(abc-(a+b+c))=0

よりα+β+γ=nπ(nはある整数)

cot((α+β+γ)/2)(AB+BC+CA-1)=ABC-(A+B+C)=0
0489１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/16(火) 16:02:39.30ID:NXbumSQO
3次元空間の異なる位置に点P_1,P_2,...,P_nを置いていく。
1≦i<j≦nなる任意の自然数i,jに対して、2点間の距離d(P_i,P_j)が有理数であるとき、点P_1,P_2,...,P_nはどのように配置されているか。
ただしn≧2とする。
0490１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/16(火) 17:47:19.31ID:LARge507
領域の不変性という以下の定理がブラウアーの不動点定理の系として得られるようなのですが
その証明が見つかりません
どこに載っているという情報だけでもいいのでご存知の方いたら教えてください

(領域不変性)R^nの開集合Uからの単射連続写像f:U→R^nは中への同相であり、f(U)はR^nの開集合
0491１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/16(火) 18:31:32.44ID:pgPo+umu
>>489
n=3のとき　一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす
n=4のとき　一直線上にあるかまたは正四面体の頂点をなす
それ以外のとき　すべて一直線上にある。
ただし正三角形や正四面体の1辺の長さは有理数であり、一直線上に並んでいるときはそのうち1点を原点とする数直線とみなしたときの有理数に対応する点上に並んでいる。


任意の3点P_s,P_t,P_uを選ぶ。これらが同一直線上にないとき、3点を頂点とする三角形P_sP_tP_uが存在する。
条件よりこの三角形の3辺はすべて有理数なので、余弦定理から cos∠P_s,cos∠P_t,cos∠P_u はすべて有理数である。
cosの値が有理数となる三角形の内角は60°,90°,120°のみであるから、内角の和が180°になるためにはすべて60°の正三角形しかありえない。
すなわち、P_1～P_nのうち任意の3点を選ぶとそれらは一直線上にあるかまたは正三角形の頂点上になければならない。

つまり、n≧3のとき一直線上にない点が1点でもあればその点は他の任意の2点との距離が等しいとなる。
3次元空間内でこの条件を満たせるのは正三角形と正四面体のみであるから、上記の解答となる。
0492１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/16(火) 18:40:27.03ID:vq+fSYnv
>>491
>n=3のとき　一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす

【反例】P_1 = (0, 0, 0), P_2 = (3, 0, 0), P_3 = (3, 4, 0)
0495１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/17(水) 01:14:00.51ID:dd2G4ZPa
>>480
すまん、a ∉Rはミス、a ∈Rだったわ
その二行目は一行目が示せれば直ちにわかるっていうのを具体的に教えてほしい
アホすぎてわからん
0496１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/17(水) 01:22:00.02ID:TiPmT7LZ
>>478
>♾: PERMANENT PAPER SIGN (中性紙マーク)
nが中性紙に近づくとはどういう意味なのか知りたい
0497１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/17(水) 02:10:01.92ID:jU+nQbRs
>>478
>♾: PIG OR BOAR'S NOSE SIGN (豚・猪の鼻マーク)
nが豚・猪の鼻に近づくとはどういう意味なのか知りたい
0498１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/17(水) 10:40:03.36ID:3vfYYD40
>>495
つまり>>478のlim［n→∞](1+1/n)^n=e から lim［n→∞](1-1/n)^(-n)=e を示せばええんやな？

n=N+1 とおくと、n→∞ のとき N→∞ である。
(1-1/n)^(-n)={1-1/(N+1)}^(-N-1)
={N/(N+1)}^(-N-1)
={(N+1)/N}^(N+1)
=(1+1/N)^(N+1)
=(1+1/N)*(1+1/N)^N
→1*e=e
0499１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/17(水) 11:08:25.33ID:RULVX7n4
今まで恋人がいなかった時間と、これから巡り会うまでの時間は無関係だとすると、
恋人に巡り会うまでの待ち時間の分布μは指数分布になる。つまり任意のs,t>0に対し、μ([s+t,∞))/μ([s,∞))=μ([t,∞))となると書いてあるのですが、
μ([s,∞))は何を表しているのでしょうか？
0503１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/17(水) 13:42:07.58ID:lMu+/WT6
BC=a,CA=b,AB=c,0<a≦b≦cの△ABCにおいて、∠CAB=α,∠ABC=β,∠BCA=γとする。
以下のx,y,zの大小を比較せよ。

x=(b/a)^2+(c/b)^2+(a/c)^2
y=(β/α)^2+(γ/β)^2+(α/γ)^2
z={βγ/(α^2)}^2+{γα/(β^2)}^2+{αβ/(γ^2)}^2
0504１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/18(木) 09:42:13.50ID:CYG0FbB2
(1/a)+(1/b)-(1/c)=1/d
を満たす自然数の組(a,b,c,d)を考える。
以下の各場合について、このような(a,b,c,d)が無数に存在するかどうかを判定せよ。

（1）a=b=c=d

（2）a,b,c,dのうち、3つの数は等しい。残りの数はそれらと異なる。

（3）a,b,c,dのうち、ある2つの数は等しい。この数をx,残りの2数をy,zとすれば、x≠y≠zである。

（4）a,b,c,dはすべて異なる。
0505１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 10:51:55.03ID:pULdTssQ
２変数多項式f(x,y)が任意のx,y,zに対して以下の二条件を満たすときの一般解を求めよ
（１）　f(x,y)=f(y,x)
（２）　f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))
0506１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 12:14:49.53ID:yuRO46b1
>>504
　1/a + 1/b = 1/c + 1/d,

(1)　無数にある。
(2)　ない。
(3)　無数にある。　(x,y,z) = (3n,2n,6n)　(4n,3n,6n)
(4)　無数にある。　(a,b; c,d) = (2m-1,2m+1; m, m(2m-1)(2m+1))
0507１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 12:32:12.75ID:yuRO46b1
(3)　無数にある。　(x,y,z) = ((2m-1)n, mn, m(2m-1)n)
(4)　無数にある。　(a,b; c,d) = ((2m-1)n, (2m+1)n; mn, m(2m-1)(2m+1)n)

*)　１組あれば、そのa～dをn倍したものも可
0508１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 15:21:21.18ID:F4jhkTZx
有限生成アーベル群の 部分群は有限生成である事を示してください。
明らかな命題かと思ったのですが証明が思いつきません。
0509１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 15:52:50.07ID:PKg1Ay6A
>>508
補題
L→M→N
が短完全列でL,Mが有限生成ならMも有限生成。
∵)x1‥xlがLの生成元、z1‥znがNの生成元となるものをとるとき、y1‥ylをM→Nによる像がz1‥znになるものをとれば、Mはx1‥xlとy1‥ynで生成される。

主張
M'が有限生成アーベル群Mの部分加群ならM'も有限生成アーベル群。
∵)Mの生成元の個数mによる帰納法。
Mが巡回群のときは容易。
m<Mで成立するとしてm=Mとする。
M部分加群LをM-1元で生成され、N=M/Lが巡回群であるようにとる。
M'がMの部分加群のとき、L'=L∩M'とおけば準同型定理によりN'=M'/L'はNの部分加群である。
帰納法の仮定からL'、N'は有限生成であり、補題からM'も有限生成である。
0510１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 16:47:27.86ID:MooqUMpf
>>508
可換環R上の加群Mに対して、任意のMの部分加群が有限生成加群であるとき、ネーター的であると定義する
0→A→B→C→0をR加群の完全列としたとき、AとCがネーター的であればBもネーター的である(実は同値、証明は略)
言い換えればAによるCの拡大がネーター的となる
可換環Rがネーター的であることを、R自身の加群としてネーター的であることと定める
Rがネーター環であれば、環の直和を完全列における拡大とすることで、任意の自然数n≧1に対してR^nがネーター的となる
したがって、もしRがネーター環であれば、任意のR上の有限生成加群Mにはネーター加群であるR^nからの全射R-線型写像が存在するので、Mもネーター的となる…①

特にRとして有理整数環Zを取る
有限生成アーベル群とはZ上の有限生成加群に他ならず、Zはネーター環であるので、①よりZ上の有限生成加群はネーター的であり、したがって言い換えれば、有限生成アーベル群の任意の部分加群が有限生成アーベル群となる
最後に、任意の可換環Rに対して、ある0以上の自然数nに対してRがZ/nZに同型であれば、部分加群と部分群は同値となる
よって有限生成アーベル群の任意の部分群が有限生成アーベル群となることが示せた
0512１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 17:14:13.95ID:F4jhkTZx
>>509 ありがとうございます。理解できました。
>>510 ネーター云々は私にはレベルが高すぎました。申し訳ない。

M :=＜s1,s2,..,sM＞,　M' ⊂ M
L := ＜s2,..,sM＞ ⊂ M
N := M/L = ＜[s1]＞
L':= L∩M' {有限生成 ∵L'⊂L}
N':= M'/L' {有限生成 ∵M'/L'≃(M'+L)/L ⊂ M/L=N}
完全系列: 0→ L'=L∩M' → M' → M'/L'=N' → 0
補題より M' は 有限生成
0513１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 17:40:23.24ID:O0ypD0fT
数直線上の点0に点Pが置かれている。
サイコロを振り、出た目の数だけPを数直線の正の方向に動かす。
例えばサイコロを3回振り、出た目が順に3,2,4である場合、Pは点3、点5、点9の順に止まる。
以下、サイコロは無限回振られるものとし、その仮定のもとでPが点nに止まる確率をa[n]とする。

（1）数直線上の点kを1つ選ぶ。その点にPが止まった場合、賞金が得られるとする。賞金を得る確率を最大化するよう、kの値を定めよ。

（2）lim[n→∞] a[n]を求めよ。
0516１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 20:42:46.67ID:++bXFhVL
n=6のとき最大
(∵ 全てのコウは前6項の平均なのでその最大を超えることはなく、等号成立は前6項が等しい時のみ。)

(0,1 % 1)
(1,1 % 6)
(2,7 % 36)
(3,49 % 216)
(4,343 % 1296)
(5,2401 % 7776)
(6,16807 % 46656)

(0,1.0)
(1,0.16666666666666666)
(2,0.19444444444444445)
(3,0.22685185185185186)
(4,0.2646604938271605)
(5,0.30877057613168724)
(6,0.36023233882030176)
0518１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 21:51:08.22ID:ScdplQZO
>>517
それはタンジェントの加法定理になってるから
x=tanα
y=tanβ
f(x,y)=tan(α+β)

他にもf(x,y)=min(x,y)とかokだよね
0519１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 22:14:48.20ID:ScdplQZO
可換かつ結合的な演算●があるところへ全単射gがあれば
f(x,y)=g^-1(g(x)●g(y))
として可換かつ結合的な演算を得られるのか

>>511 はg(x)=ax+bで、●として通常の積を採用したものになってる

>>517 はg(x)=arctanxで、●として通常の和を採用したものになってる
0520１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 22:58:37.92ID:MpFvMcz/
>>516
lim[n→∞] a[n]　はわかりますか？
直感的に1/6かなと思うのですが、きちんとした証明を与えられません。
0522１３２人目の素数さん
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2020/06/19(金) 05:06:07.60ID:GCb30kF+
X1, ...., Xnをベルヌーイ分布に従う独立な確率変数
T(X) = X1 + ... + Xn
とすると、
X1,......,Xn,Tの同時確率分布が
P(X1=x1,......,Xn=xn,T=t)=P(X1=x1)......P(Xn=xn)
となる理由を教えて下さい。
0526１３２人目の素数さん
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2020/06/19(金) 14:32:01.89ID:IfhMapdU
>>503
　x ≦ y ≦ z,

(左側)
〔補題〕　⊿の辺と角は同順序
　0 ≦ (b-a)/2R = sinβ - sinα　　　(←正弦定理)
　　= 2sin((β-α)/2)cos((α+β)/2)　　(←和積公式)
　　= 2sin((β-α)/2)cos((π-γ)/2)　　(←α+β+γ=π)
　　= 2sin((β-α)/2)sin(γ/2),　etc.　　(終)

よって題意より
　0 < α ≦ β ≦ γ,
sin は上に凸だから
　1 > sinα /α ≧ sinβ /β ≧ sinγ /γ,

これより
　1 ≦ b/a = sinβ / sinα ≦ β/α,
　1 ≦ c/b = sinγ / sinβ ≦ γ/β,

f(u,v) = uu + vv + 1/(uv)^2　とおくと
　x = f(b/a, c/b)
　y = f(β/α, γ/β),
f(u,v) は u≧1, v≧1 では単調増加
∴　x ≦ y,

(右側)
　uvw=1 のとき　u+v+w ≦ u/w + v/u + w/v,　････ (*)
∴　y ≦ z,

*)　佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店(2013)
　　p.26　演習問題1.75
0528１３２人目の素数さん
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2020/06/19(金) 19:29:00.40ID:IfhMapdU
(補題) の略証
　a/sinα = b/sinβ = c/sinγ,　　(←正弦定理)

・α,β,γ ≦ 90°のとき (鋭角△、直角⊿)
　sin は 0～90°で単調増加だから成立。

・θ > 90°のとき (鈍角⊿)
　　θ ' = 180°- θ = (他の2角の和)
　および 他の2角は鋭角だから、正弦定理より
　(a,b,c) と (他の2角, θ') は同順序。
　(他の角) < θ' < θ だから θ ’→ θ としてよい。

*)
　(u/w + u/w + w/v)/3
　= (u/w + u/w + uww)/3　　(← uvw=1)
　≧ u,　　　　　　　　　(← AM-GM)
巡回的にたす。
0529波の人
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2020/06/20(土) 14:08:16.68ID:vxR4m7V3
桜じゃありません。本当にわからないです
(y^2＋1/y^2)/x^2＝1
の関数はどんなグラフになりますか？
この式がどこからどうでたかというと
y^2＋x^2＝r^2 の円の式の変形です
この円の式が一点を中心に回帰する理由がもしr^2のせいなら、r^2をx^2に変えて、グラフは2次元なので他の2要素をyに習合したら波形になるかもと考えた中学生並感の考えです
このyをm、xをsにそれぞれ置き換えたら(三角関数など使わずに)物理の単位で表せるようにならないかという展望なのですが、スレチすいません
とにかく、(y^2＋1/y^2)/x^2＝1で波になるか、または成らないとしたらこのような形式で波になる三角関数など使わない式を教えて欲しいのです

よろしくお願いします。
0531１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 14:19:53.37ID:CtYe69Zx
0<a<b<1、0<c<d<1、(a,b)と(c,d)を両端とする線分をLとする。
2つの放物線
C:y=px^2
D:y=(1/p)(x-1)^2
がともにLと共有点を持つような実数pの条件をa,b,c,dで表せ。
0532イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/06/20(土) 15:15:20.09ID:m+z4y6nz
前>>386
>>531
(a-1)^2/p＞b＞pa^2のとき、
pc^2＞d＞(c-1)^2/p
pa^2＞b＞(a-1)^2/pのとき、
(c-1)^2/p＞d＞pc^2
辺々掛けてc^2(a-1)^2＞bd＞a^2(c-1)^2
またはa^2(c-1)^2＞bd＞c^2(a-1)^2
0535１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 17:09:54.07ID:Y1MEvwr9
>>530
>>533
ありがとうございます。波にならないですね

(y^2+1/y^2)=(x^2+1/x^2)
この式ならどうでしょう？このサイトでもグラフ化されなかったのですが
0537１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 17:23:14.86ID:Y1MEvwr9
色々式変えてみたのですが、yとxだけで波になるのは難しいようですね

もし見つかりましたら教えてください
0540１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 17:44:21.51ID:Y1MEvwr9
>>539
微分記号そのものを指数化すると円や波にできるんですか！
…でも物理の単位を作りたいのでNGです
0541１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 17:48:32.89ID:hsq8T7LL
テイラー展開を有限項で切れば途中までは波っぽくなるだろうけど
数学的には>>538だな
0543１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 18:02:40.03ID:3GFxA0wR
>>540
単位なんか時定数かければ揃えられる

((2π/T)^2)y + (d/dx)^2 y == 0
xの単位が秒なら、周期Tの単位も秒
0544１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 18:19:07.40ID:rSe2B6jP
T=0 ｔ＝T
Φ→（１＋ｒ）ΦY０
Y０→YT（U）＝uY0　　（PU時）
→YT（D）＝ｄY０　（PD時）
C０→CT（U）
　→CT（D）
市場は完全流動的、売値＝買値、取引コスト０、無裁定と仮定する。
時刻ｔ＝０に於ける安全証券（銀行預金等）額をΦ０、原資産 (株等)の価格
をY０、この原資産の (コール)オプシ ョンの価格をC０、オプション行使価
格を Kとする。そしてこの時刻ｔ＝０で、この安全債権と原資産をΔ０単
位保有するポートフォリオを組んだとする。 このときｔ＝０における全資
産X０は
　X０：＝Φ０＋Δ０Y0
である。オプション契約時刻ｔ＝０、オプション満期時刻ｔ＝T以外の時刻は考えず、
市場利子率 (銀行利子率)を ｒ≧０、満期時刻ｔ＝Tで原資産価格は確率Puで、YT（U）＝uY0,
u>1と値上がりし、確率PdでYT（D）＝ｄY０,0□ｄ＜１と値下がりするとする。時刻ｔ＝Tでのオプション価格をCTとする。
そして時刻ｔ＝Tでの総資産をXTとおく。即ち
　　XT：＝（１＋ｒ）Φ０＋Δ０TY
である。ここにYT、CT、XTはそれぞれ値
YT＝YT（U）,YT（D）　CT＝CT（U）,CT（D）　XT＝XT（U）,XT（D）
を取る確率変数である。
以上のことから次の（１）～（４）を証明せよ
（１）０□ｄ＜１＋ｒ＜u
（２）X０＝C０
（３）XT=CT
（４）CT＝（YT－K）^＋：＝｛YT－K（YT－K≧０）｝
　　　　　　　　　　　　　　｛　　０（YT－K<０）｝
0545１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 18:21:08.89ID:RpizhPTb
y = 4 (-1)^[x/π] {x/π} (1-{x/π})

[ z ] = floor(z)　∈ Z　は z を超えない最大の正数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
0547１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 18:47:41.85ID:gxQjJnHj
三角関数は、単振動とかで現れる波そのものなんだから、三角関数使いたくないということは、
すなわち、単振動とか扱えないものを作りたいということでしょ。
何がやりたいの？
0548１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 19:00:42.19ID:RpizhPTb
>>545
y = 1 - 2(4 {x/π} (1-{x/π}) )^2

[ z ] = floor(z)　∈ Z　は z を超えない最大の整数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
0550１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 19:43:09.76ID:RpizhPTb
>>535　>>539
g(x,y) = y^2 + 1/(y^2) - x^2 - 1/(x^2)
　= (y^2 - x^2) + (x^2 - y^2)/(xy)^2
　= (y^2 - x^2){(xy)^2 - 1}/(xy)^2
　= (y-x)(y+x)(xy+1)(xy-1)/(xy)^2,
よって
　y = ±x,　　　(45°線、原点を除く)
　y = ±1/x,　　(直角双曲線)
の4つに退化する。
0551１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 19:49:27.58ID:B6UCbhfA
>>537
y=x(x-1)は下向きの山が一つあります

y=x(x-1)(x-2)は上向きの山一つ、下向きの山2つあります

y=x(x-1)(x-2)(x-3)は上向きの山1つ、下向きの山2つあります

こんな感じでどんどん山を増やしてって無限個の山を作れば、波の形も再現できそうですね

波は、このようなxに関する無限次関数として表すことができるということが数学的に証明されています

で、このようにして作った波というのは、実は三角関数として表すことができるということもわかります
逆に、三角関数以外では波は作れないのですよ

ですから、三角関数をお勉強しましょうね
近道はないのです
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