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分からない問題はここに書いてね460

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0233１３２人目の素数さん
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2020/06/02(火) 15:36:46.69ID:iA0eGlWC
詳しくも何も…
(1,2,3,4) で生成される部分群 H を計算して、 (1,2) を含む右剰余類を計算するだけ
0234１３２人目の素数さん
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2020/06/02(火) 20:26:25.58ID:TPydHgX/
任意の ε>0 に対応して番号Nが定められて
　m>N, n>N　なるとき　|a_m - a_n| < ε
なることを俗に「コーシー列」と云う････

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　第１章、§6　p.11　定理8
0235１３２人目の素数さん
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2020/06/02(火) 23:10:11.98ID:NhHP3q63
なんで「俗に」と断ってるのかと思ったらカントールが導入したからなのか
0237１３２人目の素数さん
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2020/06/03(水) 01:34:46.82ID:A/oBSiFD
aは正の実定数とする。
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをPとする。
Pのx座標およびy座標をaで表せ。
0239１３２人目の素数さん
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2020/06/03(水) 11:03:29.92ID:Qk11SEl/
微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？
0240１３２人目の素数さん
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2020/06/03(水) 11:16:16.44ID:qGrSmPS7
>>239
> 微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？

f(x)=x^2 （xは有理数）
f(x)=0 (xは無理数)
とか。

連続な関数で、ということなら、高木関数を二乗して周期的に拡張したら？
0243１３２人目の素数さん
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2020/06/03(水) 19:22:01.89ID:Qk11SEl/
>>240－241
ありがとうございました。

開集合とは限らない集合A(⊂ R^n)上でfが微分可能であることの定義ですが、以下の2つの定義は同じことでしょうか？

1. Aの内部で微分可能。
Aの境界の点aで微分可能であるとは、線形写像λで、任意の正の実数εに対して、0 < |x - a| < δとなるようなx∈Aが|f(x) - f(a) - λ(x - a)|/|x - a| < εとなるような
正の実数δが存在するようなものが存在することである。

2.Aを含む開集合B上で微分可能な関数でそのAへの制限がfに等しいようなものが存在する。
0244１３２人目の素数さん
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2020/06/03(水) 20:11:09.58ID:Vo8/q3R+
正規分布N(μ,σ^2)に従うX1,...,Xnがあったとき、対数尤度関数のヘッセ行列が半負定値だということは示せますか？
0245１３２人目の素数さん
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2020/06/03(水) 20:21:06.34ID:Vj2o+qIA
>>216
では〔問題〕です。
(1)
∂{-(n+z cosθ)sin(nθ-z sinθ)}/∂θ
　= - zz(sinθ)^2･cos(nθ-z sinθ)
　+ z(sinθ) sin(nθ-z sinθ)
　+ (zz-nn) cos(nθ-z sinθ)
　= {zz(∂/∂z)^2 + z(∂/∂z) + (zz-nn)} cos(nθ-z sinθ),
を示せ。
(2)
　zz･J "(z) + z･J '(z) + (zz-nn)J(z) = 0,
を示せ。
0246１３２人目の素数さん
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2020/06/03(水) 22:10:32.84ID:TQOEN1pN
同次形微分方程式　
(1)dy/dx＝2y/x+x/y

(2)dy/dx＝x+2y/2x+y

一階線型微分方程式とベルヌーイの微分方程式

(1)dy/dx+2ycosx=sinxcosx

(2)dy/dx-2xy＝e^x2

(3)dy/dx+y＝3e^x・y^3
　
この辺解いてくれる方いらっしゃいますか？
0248１３２人目の素数さん
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2020/06/04(木) 00:07:29.07ID:Utt0lBXH
局所系の係数版のポアンカレ双対定理を円周S^1について直接計算して確かめろという問題がわからず困っています
S^1上の局所系Sとしては、x∈S^1としてS_xが整数Zと同型になる場合は2種類の局所系があり
(特性準同型π_1(S^1)=Z→Aut(Z)が1を±1にうつすものの2つあるので)
その場合のホモロジーとコホモロジーについては具体的に計算して双対定理が成り立つことはわかりました

しかしS_xが一般の加群のときには局所系としてはどのようなものがあるのかがそもそもわかりません
どのように考えればよいのか教えてください
0249１３２人目の素数さん
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2020/06/04(木) 00:09:37.35ID:9uYllowd
lim(1+2^n)^1/n
n→∞
の解法がわかりません
どなたか教えてください；；
0250１３２人目の素数さん
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2020/06/04(木) 00:32:31.83ID:Mr+nuLRr
上から抑えるのに1+2^n≦2^n+2^n=2^(n+1)を使う
下からは1を落とせばいい
0251１３２人目の素数さん
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2020/06/04(木) 01:20:36.10ID:UZmO2K4a
２項公式から
{2 + 1/(n*2^(n-1))}^n = 2^n + 1 + ････

∴　2 < (1+2^n)^(1/n) < 2 + 1/(n*2^(n-1)),
0252１３２人目の素数さん
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2020/06/04(木) 01:27:16.68ID:UZmO2K4a
>246
大学の課題は「大学学部レヴェル質問スレ」でやれ
と言いたいが生憎 複素函数論の入口辺りで渋滞してるので･･･

同次形
(1) は y(x) = x･u(x) とおけば
　dy/dx = u(x) + x(du/dx),
　y(x) = ±x√(Cxx-1),　　　(C>0)

(2) は x-y=u, x+y=v　とおけば
　dy/dx = {(dv/du)-1}/{(dv/du)+1},
　(x+2y)(2x+y) = (3v-u)/(3v+u),
より
　dv/du = 3v/u,
　v = Cu^3,
　x+y = C(x-y)^3,

一階線形方程式は
(1)
　{y･e^(2sin(x))} ' = e^(2sin(x))sin(x)cos(x),
　y･e^(2sin(x)) = (1/4){2sin(x)-1} e^(2sin(x)) + C,
　y = (1/4){2sin(x)-1} + C･e^(-2sin(x)),
(2)
　{y･e^(-xx)} ' = 1,
　y･e^(-xx) = x + C,
　y(x) = (x+C)e^(xx),
(3)
　非線型項 y^n があれば y^(1-n) = u(x)　とおく。
　本問では 1/yy = u(x)
　du/dx -2u = -6 e^x,
　{u･e^(-2x)} ' = -6 e^(-x),
　u･e^(-2x) = 6 e^(-x) + C,
　1/yy = u(x) = 6 e^x + C e^(2x),
0253１３２人目の素数さん
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2020/06/04(木) 02:33:46.45ID:z+kFYubS
>252
ありがとうございます！「大学学部レヴェル質問スレ」の存在を初めて知りました！
解けなかったので助かりました！
0254１３２人目の素数さん
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2020/06/04(木) 06:38:08.69ID:5HIsplv4
統計学です！解いて欲しいです！
ある新聞社が内閣の支持率を調べるために全国の有権者から無作為に1000人を抽出する世論調査を企画している。全体の内閣支持率を0.3とした時、この世論調査における標本の内閣支持率Pの平均と分散の正規分布に従う時
平均と分散を求めよ。また、この世論調査による支持率がP>=0.33となる確率を求めよ
0256１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 08:16:48.90ID:Yp3HIN/j
aは正の実定数とする。
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをP(p,f(p))とする。

（1）p=2αを示せ。

（2）3次方程式(x-b)^3-3(a^2)(x-b)+c=0を解け。
0257１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 08:52:21.17ID:5HIsplv4
>>255
ありがとうございます！
0258１３２人目の素数さん
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2020/06/04(木) 10:45:27.66ID:9uYllowd
>>251
>>250
解けました！
ありがとうございます
0259１３２人目の素数さん
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2020/06/04(木) 12:53:13.13ID:Pgvxf920
>>255
1億回シミュレーションして検算

> n=1000
> k=1e8
> p=rbinom(k,n,0.3)/n
> mean(p)
[1] 0.2999973
> var(p)
[1] 0.0002100855
> mean(p>=0.33)
[1] 0.02158068
0260１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 15:43:46.46ID:42DHXRSz
グラフの形状を考えれば自明ですが数式で示すにはどうしたら良いでしょうか。
上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。

a,b,cは実定数とする。
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
がx=mで極大値、x=Mで極小値をとるならば、m<Mであることを示せ。
0261１３２人目の素数さん
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2020/06/04(木) 16:57:02.52ID:/UqpSIUW
>>260
x=mで極大値、x=Mで極小値をとるから
f'(m)=f'(M)=0 かつ f''(m)<0 かつ f''(M)>0

f'(x)は2次以下の多項式で、x=m,Mを根にもち、3次の係数が3だから
f'(x)=3(x-M)(x-m)=3x^2-3(M+m)x+3Mm
したがって f''(x)=6x-3(M+m)

f''(m)<0 より m<M (f''(M)>0 からも同じ m<M が得られる)
0262１３２人目の素数さん
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2020/06/04(木) 17:00:56.88ID:eoDnCkjr
>>260
純粋に代数的に示すのは無理じゃね？
普通に導関数の符号を調べるのが一番早そう
0264１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 18:37:03.63ID:X1b8kr8I
範囲Dが√x+√y ≦ 1, x≧0, y≧0で
x=r(cosθ)^4, y=r(sinθ)^4としたときの
rとθの範囲を教えて下さい.
0≦r≦1は分かるのですが, θの範囲が分かりません．
0265１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 19:34:27.66ID:y85xeNzV
>>260
3x^2+2ax+b=0の解　x=(-a±√(a^2-3b))/3　の一方がmでもう一方がM
どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM　ということなので、
f(m)>f(M)　で決めることになる。

f(x)=x^3+ax^2+bx+c=(3x^2+2ax+b)(3x+a)/9 + (2b/3-2a^2/9)x+c-ab/9
と変形すると、上の解を入れたときの値は、第一項が消えて、
f(m)=(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9
f(M)=(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9　と表せる。
この二つの大小は、(2b/3-2a^2/9)が正か負かに依ることが判る。
3x^2+2ax+b=0の解から、a^2>3b　が　この問題の前提になっている（極大、極小を持つ）
ので、(2b/3-2a^2/9)　が負であることが確定。
つまり、f(m)>f(M)　ならば、m<M　がいえる。

二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント
0272１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 20:59:12.27ID:/UqpSIUW
>>260
確かに>>263の指摘の通り>>261は説明不足でした。あと「3次の係数→2次の係数」も間違いですね。すみません。

「一般に二回微分可能な関数f(x)について、f(x)がx=tで極大値をとるならばf''(t)≦0である。>>260のf(x)について f''(m)=3(m-M)≠0 であるから f''(m)＜0」
を追記する必要があります。

3次関数について極大値＞極小値が成り立つのを認める前提であれば>>265の方針も良いのだと思います。
0274１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 21:14:23.00ID:eoDnCkjr
>>265
興味深い議論だが、

>3x^2+2ax+b=0の解　x=(-a±√(a^2-3b))/3　の一方がmでもう一方がM
>どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM　ということなので、
>f(m)>f(M)　で決めることになる。

>二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント

これって循環論法じゃない？
実際、5次関数とかなら、 f(m) ≦ f(M) となるような m, M のペアが存在することもあるわけだし
f(m) > f(M) はどうやって証明するの？
0275１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 21:42:15.32ID:eoDnCkjr
>>262
この方針による証明も書いておこう

まず、仮定より m ≠ M である（もし m = M ならその近くで f(x) が定数になってしまうので）。
f(x) の導関数 f'(x) は（2次の係数が正なので）下に凸な2次関数であり、 x 軸との交点は高々2つである。
仮定より f'(m) = f'(M) = 0 であるので、 f'(x) の x 軸との交点はちょうど2つであり、それらを α, β (α < β) とすると、
下に凸な2次関数の性質から、
x < α または β < x のとき、 f'(x) > 0
α < x かつ x < β のとき、 f'(x) < 0
となる。ゆえに、 f(x) は x = α で極大値、 x = β で極小値をとるので、 m = α < β = M が成り立つ。
0276１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 21:57:14.07ID:nBS1qh/q
>>260
一言でいうと f(x)をf ' (x)で割り算すれば解決しますが 以下は詳細:
f ' (x) = 0 は異なる2つの実数解を持つので a^2 ＞ 3b がいえる.
それらをs,tとおく (s＜t)
sが極大値をあたえる点で, tが極小値を与える点である
よって示すべきものは f(s)＞f(t) である
多項式f(x)を f'(x)で割り算したときの余りをr(x)とおく.
r(x)の1次の係数を計算すると 2(3b-a^2)/9
a^2＞3b より これは負であることがいえるので
f(s)-f(t)=r(s)-r(t)＞0 だから r(s)＞r(t)
■
0277１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 22:05:46.22ID:nBS1qh/q
書いたあとに気づいたが >>265 と同じ方法だった
>>265 の人は「二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負」
という記述の部分で誤解されたみたいだが
それは単に数式で起こった現象をあえて言葉でも説明しているだけで
>>265 の方法はこれで既に正しいとおもう
人によっては f'(s)=f'(t)=0, s＜t なら sが極大値をあたえる点であることなどは
追加で説明が必要かもしれないが それは例えば >>275 のラスト4行
0278１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 22:12:36.51ID:eoDnCkjr
>>277
>人によっては f'(s)=f'(t)=0, s＜t なら sが極大値をあたえる点であることなどは
>追加で説明が必要かもしれないが それは例えば >>275 のラスト4行

まさにそこの説明が>>260の問題で求められていることなのでは？
それがいえれば m = s < t = M なので>>260の証明は終わる
0279１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/04(木) 23:17:10.66ID:eoDnCkjr
ちなみに f(m) > f(M) は m < M と同値です
実際、平均値の定理から
f(m) - f(M) = (m - M)f'(c)
となるような m と M の間の定数 c が存在するが、>>275の考察より f'(c) < 0 なので、
f(m) - f(M) > 0 ⇔ m - M < 0
0280１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 00:35:26.42ID:a0X9VG4+
>>274
>> これって循環論法じゃない？
そんなことはない。
三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になるが、
三次の係数が負の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは正になる。

このことを、「f(x)=x^3+ax^2+bx+c」という設定からスタートしたことに
「則し」、それにあわせて答えただけ。

極大とは、その近隣で、最大ということ。極小とは、その近隣で最小ということ。
極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
三次関数においては、極大値と極小値の大小関係は、　極大値　＞　極小値　で確定。

四次関数、五次関数、．．．なら、隣合っているかどうかは、個別に判断しなければならない。
従って、265のような議論はできない。
0281１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 05:47:30.27ID:gPkvRYC5
>>269
　x=1/t とおく。以上

>>270
日本ぢゃ未だにＮ(np, np(1-p)）で近似するのか････こりゃ参った。
先進国ではＮ(np+(p-1/2), (n+1)p(1-p)) を使うらしいが。
これ、計算が（見かけより）重いから（大した量でもないが）、
安物の教科書では端折ったり誤魔化したりしてるけど、
スターリングの公式と (1+1/m)^(m+1/2) = e を使って丁寧にやれば
きっちり合うものだ。
一度じっくり取り組むと力になるよ～
0287１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 08:55:22.78ID:a3w5V/C1
>>286
無作為に選ぶとその確率は756/792=0.9545455
1000万回シミュレーションして検算。

> g=c(rep(1,7),rep(0,5))
> mean(replicate(1e7,sum(sample(g,5)) >= 2))
[1] 0.9545951
0289１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 10:29:10.37ID:jT734fJW
>>280
>三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる

そのことを証明しなければ意味がない

>極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
>三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。

それがまさに f(m) > f(M) であり、>>279にあるように、それは m < M と同値
あなたが言っていることはまさに循環論法か、
あるいは>>260は自明と言っているだけ
0290１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 11:24:13.17ID:xBFmnZ1b
X=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)
Y=(gx^2+hx+i)/(jx^2+kx+l)

xを消去したときにX,Yの二次式になるための係数の条件を知りたいのですが
どっかにないでしょうか？
0291１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 11:35:09.49ID:jT734fJW
>>280
さらに言えば

>極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。

『極大と、極小が「隣合っている」』を
「実数 R の部分集合上で定義された実関数 f(x) に対し、 f(x) の極大点 m と極小点 M が存在し、
　ある区間 I が存在して m ∊ I かつ M ∊ I かつ、他の極値点は I に属さない」
と解釈すると、これは全然自明じゃない
例えば、 f(x) として不連続な関数
f(x) = |x| (x > -1), -|x+2| - 2 (x < -1), 0 (x = -1)
を考えると、 f(x) は x = -2 で極大値 -2, x = 0 で極小値 0 をとり、これらは「隣合っている」が、　f(-2) < f(0)
したがって、『極大と、極小が「隣合っている」』の定義を明確にした上で、
どのような関数に対して主張が成り立つか考え、その主張を証明しなければならない

>三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。

これも、なぜ三次関数ならそれらが「隣合っている」のか考え、その主張を証明しなければならない
0292１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 12:11:32.48ID:a0X9VG4+
>>289

>> >三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる
>> そのことを証明しなければ意味がない

なるほど、>>265は、将にそれを示したのだが、遠回しだと理解できないようだな。
だから、循環論法うんうんと粘着してくるんだろう。多くの人にとっては、265の
繰り返しと写るだろうが、補足する。

二つの停留点は、(m,f(m)),(M,f(M))。
具体的には、(m,(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9),(M,(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9)
この二点の傾きは、
{f(M)-f(m)}/(M-n)={(2b/3-2a^2/9)M-(2b/3-2a^2/9)m}/(M-m)=(2b/3-2a^2/9)
これが負であることは、三次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cが極値を持つという
問題の設定から、f'(x)=0　→、3x^2+2ax+b=0　の解　が二つの実数解を持つ
という条件、つまり、D/4=a^2-3*b>0 を使うと出てくる。　というだけ。

投稿者（出題者）は、f(x)=x^3+ax^2+bx+cと提起した。
それに則して答えるのが、当たり前。5次関数や不連続な関数を持ってきて、
反論の為の反論を行うのは止めなさい。
0293１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 12:23:48.56ID:jT734fJW
>>292
なるほど
確かにそれなら

>三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる

は証明できているね
ただし、それから従うのは
{f(M)-f(m)}/(M-n) < 0
だけであって、あなたは
f(m) - f(M) > 0 ⇔ m - M < 0
を証明しただけにすぎない
したがって、あなたの議論は>>260の証明にはなっていない
0294１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 13:23:07.29ID:a0X9VG4+
260の証明になっていないと思っているのはあなただけではないだろうか？

260投稿者が、>>265あるいは、>>292の内容で納得するかどうかポイントになるが、
納得しない場合は、f(x)=x^3+ax^2+bx+c　において、何が極大で、何が極小かを問うことになる。

つまり、二つの停留点があることを確認してもらい、一方を極大、一方を極小としたとき、
極大値　＞　極小値
となるように、極大（値）、極小（値）を命名しただけであることを納得してもらうことになる。

もしかしたら、「納得できない。上に凸だと極大だ」とか言うのかもしれない。
つまり、「停留点に於ける微係数が負なら極大」ということになるが、その方針での回答が将に、>>275だ。

しかし、260の投稿者は、
>> グラフの形状を考えれば自明ですが数式で示すにはどうしたら良いでしょうか。
>> 上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。
と書いている。
投稿者は、275のような理解はできているが、f(x)=x^3+ax^2+bx+c　としたとき、
a,b,c　等の関係から、それを示すのはどうすればいいのか？　と疑問を持ったのでは無いのか？
275の回答で投稿者が納得するなら、それでもいいが、納得できないからこそ、問題を投稿したのでは？
だからこそ、265のような回答を作った。
0295１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 13:26:07.71ID:a0X9VG4+
×：「停留点に於ける微係数が負なら極大」
○：「停留点に於ける二次微係数が負なら極大」
訂正します
0296１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 13:35:18.32ID:jT734fJW
>>294
>極大値　＞　極小値

これは一般には成り立たないので、
なぜ f(x)=x^3+ax^2+bx+c なら成り立つのかということが説明できなければ意味がない
また、同様な式変形による厳密な証明は、>>272で与えられている

>となるように、極大（値）、極小（値）を命名しただけであることを納得してもらうことになる。

定義を勝手に変更されましても

あとは、「同値な主張を仮定して議論しても意味がない」とだけ
0297１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 13:37:26.01ID:wTPNLp/M
投稿者が納得するかと数学的な証明になっているかというのは異なる
もちろん数学的な証明になっていないとしても投稿者が納得することも多々あるが、ここは数学板だから全く別の人から突っ込まれるのも必然だ
0299１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 14:44:57.47ID:jT734fJW
2次関数なら「平方完成」によってちょうど1つの極値点を持つことと、
2次の係数によってその極値が極大か極小か（さらに最大か最小か）までわかるが、
3次関数だとそのように代数的に示すのは難しくて、微分を使うと簡単だというのは面白い
所謂「立方完成（立体完成）」を使って（微分を使わずに）同様に確認できるだろうか？
0300１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 17:29:24.36ID:jT734fJW
>>299
一応できなくはないかな
f(x)=x^3+ax^2+bx+c を「立方完成」すれば、
X^3 + pX + q
の形に書けるので、この形の3次関数について、
X = ±√(-p/3) の小さいほうが極大点になり、大きいほうが極小点になることを直接計算して示せば良い
ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない
式変形が好きな人はチャレンジしてみると良いかも
0301１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 17:40:26.98ID:jT734fJW
>>300
>ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない

よく考えたら p < 0 は明らかだった
もし p ≧ 0 なら、 X^3 + pX + q は X について狭義単調増加だから、極値点は存在しない
0302１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 17:59:18.82ID:tQwvLtjk
確率論がまったくわからないので教えてください！
事象空間Fの公理
（i）Ω ∈F((ii)よりØ ∈F)
（ii）A ∈ F→A^C ∈ F
（iii）Ai ∈ F（i=1,2...）→ ∪Ai ∉ F
確率（測度）Pの公理
P:Ω→［0,1］に対して
（1）0□P（A）□1 for all A ∈ F
（2）P（Ω）=1
（3）Ai ∈ F（i=1,2...）with A ∩Aj= Ø（i≠j）

上記の公理を使いP（A^C）＝1－P（A）を証明せよ
0305１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 21:21:00.03ID:VYyezARq
>>303
すいません、わかりません
どうすればいいですか？
0306１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/05(金) 21:47:08.05ID:jT734fJW
もし俺が知っている公理と同じなら、補集合の定義を考えれば明らかだが
0309１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 00:16:40.41ID:bNUuWuEC
整数b,cで、b^2-4c≧0を満たすものを考える。
2次方程式 x^2+bx+c=0 の解の1つが(-1+√33)/8より大きく0.6より小さくなるようなb,cのうち、|b|+|c|が最小となるものを求めよ。
0310１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 00:19:31.45ID:I/Bajz2G
>>260
三次の係数が正負どちらでも考察できるように、
f(x)=dx^3 + ax^2 + bx +c
と変更。これを、x=pの周りでテイラー展開すると、
f(x)=d(x-p)^3 + (3 d p+a)(x-p)^2 + (3 d p^2+2 a p+b)(x-p) + d p^3 + a p^2 + b p +c

x=pを極値とし、そこから少しだけずれたx=p+εでの値との差は、
f(p+ε)-f(p)=dε^3 + (3 d p+a)ε^2 + (3 d p^2+2 a p+b)ε
だが、pは極値なので、(3 d p^2+2 a p+b)は0。第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、
f(p+ε)-f(p)≒ (3 d p+a)ε^2
となる。x=pが極大なのか、極小なのかは、3dp+aの正負で決定される。
（(3 d p+a)が負なら極大で、(3 d p+a)が正なら極小）

pは、{-a±√(a^2-3bd)}/(3d)　のどちらか。
(3 d p+a) に p={-a-√(a^2-3bd)}/3dを　代入すると、-√(a^2-3bd)<0 なので、極大
(3 d p+a) に p={-a+√(a^2-3bd)}/3dを　代入すると、√(a^2-3bd)>0 　なので、極小

従って、m={-a-√(a^2-3bd)}/3d ,　M={-a+√(a^2-3bd)}/3d　となる。
dが正なら、m<M　だし、dが負なら、m>Mとなる
0311１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 00:50:02.12ID:pfv3JzJm
>>302
俺の知ってる公理とは違うけど、俺の知ってる公理では
A∪A^c=Ω(非交和)より1=P(Ω)=P(A)+P(A^c)
0312１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 01:08:18.45ID:0/4QKsok
>>310
>第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、

実際のところ、 ε がどれくらい小さければ無視できますか？
基準となる量を明示的に書けますか？
0313１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 01:29:27.83ID:RyPojoqR
>>309
　(-1+√33)/8 = 0.593070
f(x) = xx +bx +c とおくと、題意より
　f((-1+√33)/8)･f(0.6) < 0,
これより
　(b,c) = (-(9+5n),5+3n)　　|b|+|c| = 14+8n,
　(b,c) = (23+5n,-(14+3n))　|b|+|c| = 37+8n,
は題意を満たす。nは非負整数 (n≧0)。
最小の解は
　(b,c) = (-9,5),　|b|+|c| = 14,　(9-√61)/2 = 0.594875
0314１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 01:52:00.37ID:FDjhvHjP
>>312
> 基準となる量を明示的に書けますか？

そりゃあ書けるでしょ。
例えば、|ε|<(3 d p+a)/(2d)とかで良いっしょ。

でも、具体的な表示を見なくてもオーダー考えれば良いというのが微積の便利なとこなのに、何でいちいち聞くの？
0315１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 11:16:16.50ID:0/4QKsok
>>314
ありがとうございます
おかげで、具体例でちゃんと成立していることが確認できました
0316１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 16:20:26.00ID:n3K4YLbj
1から6の目が等確率で出るサイコロをn回振ったときの、k回目（k=1,2,...,n）に出た目をa[k]とする。
いま小数点以下第k桁目の数字がa[k]であり、整数部分が0である実数を考えたい。
例えばn=3で、1回目に6、2回目に3、3回目に5が出た場合、そのような実数は0.635である。
n→∞としたとき、このような実数の期待値の極限を求めよ。
0318１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 19:29:24.21ID:dnuHAH8y
シミュレーションしてみた。

> E <- function(n,k=1e5){
+ sim <- function(x) sum(sample(6,x,replace = TRUE) * 0.1^(1:n))
+ mean(replicate(k,sim(n)))
+ }
> E(10)
[1] 0.38918789171006402
> E(100)
[1] 0.38942027966393805
> E(1000)
[1] 0.38884678526292493

7/18でいいみたい。
0320１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 19:48:39.89ID:tmPQ1XGR
実数を成分とし,
2行2列で行列式が1である行列の全体の集合は、
行列の和と実数倍によってベクトル空間となるか。

どのように説明すればいい？
0322１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 20:09:36.39ID:RyPojoqR
SL(2,R) も SO(2) も和については閉じてないんぢゃ？

[ cosθ, sinθ]　　+　　[cosθ, -sinθ]　=　[2cosθ, 0]
[ -sinθ, cosθ]　　　　[sinθ, cosθ] 　　[0, 2cosθ]

行列式 = (2cosθ)^2 ≠ 1,

思い違いかな？
0323１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/06(土) 20:12:01.97ID:3GP6u7Kw
ここにいる人って自分の興味で数学勉強してるの?
それとも学業とか仕事なのかな
0325１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/07(日) 04:47:04.16ID:iuWMJ9OX
>>322
実数倍についても閉じてない。
　det(cA) = c^2 det(A) = c^2 ≠ 1,

ケッタイな問題だな。
0327１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/07(日) 09:49:17.21ID:9yUbaQlI
三角形ABCの内接円のBC,CA,AB上の接点を各々D,E,Fとする.
内接円上の任意の点GをとりGの内接円との接戦と直線ABとの交点をH、
DGとEFとの交点をIとすると３点H、I、Cは同一直線上にあることを示せ。
0328１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/07(日) 16:33:04.63ID:YxIQHYV+
微分の定義
ｄｙ/ｄｘ：＝lim[△ｙ→０]△ｙ/△ｘ
において△ｙ＝０となっても良かったが、右辺定義の分母は△ｘ≠０であった。
証明では
ｄｚ/ｄｙ：＝lim[△ｙ→０]△ｚ/△ｙ
が現れ△ｙ≠０でなければならないはずだが・・・
これを解決せよ

証明の部分は書いてないんだけどこの場合どうすれば解決できるのか、わかる方教えてください
0329１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/07(日) 16:40:28.37ID:h2/tqLC4
随分と変わった定義だな
0330１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/07(日) 17:08:49.99ID:axvUCwvb
>>328
最初は恐らくlim ⊿y→0の誤りかな
要するに論理では変数の記号が重複するとおかしなことになるということで、違うものには違う記号を使う
0332１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/07(日) 17:58:46.76ID:1GHLlal/
同じ記号が使われていても、文脈によって意味が変わるってことだろ
「集合の任意の元 a, b, c に対し…」と書かれていても、 a, b, c が相異なるとは限らないのと同じ
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