交換法則と結合法則が成り立てば項の順序を変えても括弧をどのように付けても和は等しいってどう示す？
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A+B＝B+A
と
（A+B）＋C＝A+（B+C）
が成り立てば項の順序や括弧の付け方によらず和は等しいって本には書いてますけど、
項の数が上記のように2、3個ならそりゃ分かりますよ？
でも1+2+3+4+・・・+Nみたいに項の数が多くなると、項の順序の変え方や括弧の付け方が爆発的に増えるじゃないですか。
例えば
(3+1)+(2+4)+7+(10+9+(20+(30+40))+8)
みたいに、括弧の中に入れ子で括弧を付けた式も可能な訳じゃないですか？
そりゃ感覚的には分かりますけど、
N個の項の和のあらゆるパターンの項の順序と括弧の付け方に対して和が等しくなる事を非感覚的に証明する事って出来るんですか？ いやほんと地味にムズくないですか？
大学の入試問題に出てもおかしくないっすよこれ +はあくまで二つの数をドッキングさせるという意味しかありません
1+2+3+4
このようにあなたは書いてますけどどのような意味でしょう？
どこから計算すればいいのかが曖昧になってしまっていますね
普通は左から計算すると思うので本当ならこう書く必要があるでしょう
((1+2)+3)+4
でも、もしかしたら右から計算する人もいるかもしれませんね
1+(2+(3+4))
普通はですね、これらの値は同じになるとわかっているから、カッコを外して1+2+3+4と書くわけです
あなたはもう疑問を提示している時点で、カッコの付け替えは自由にして良いという事実を使っているわけですね
結論としては、当たり前、で良いんじゃないですかってことですね >>1
＞項の順序の変え方や括弧の付け方が爆発的に増えるじゃないですか。
順序は順列の問題で答えが分かってるので
Ｑ．ｎ個の数の加算でカッコのつけ方は何通り？
例
２個 １通り
３個 ２通り
・・・ >>1じゃないですが
スミマセン、ググりました・・・
括弧をカッコよく数えよう！（はてなブログ） そういや大学時代、代数学の講義は半群・モノイドの定義と一般結合法則の証明からはじまったなあ >>6,8,9,10
やっと理解できました・・・ありがとうございます！
（）は+が何と何をドッキングさせるかを明示するための補助的なものであって、ちゃんと()を省略せずに書けば+と()の数は同じ
つまり+あるところにそれに紐づく()がある
どんな()の付け方をしようが、計算が終わる一歩手前の段階は(X+Y)の形になっている
これらのポイントに加えて交換法則と結合法則を使えば、どんな()の付け方をした式も
(・・・(((1+2)+3)+4)+・・・+N)に帰着させる事ができる
項の順序が入れ替わっていた場合は、
式に出てくる項を左から順にa1、a2、・・・、aNと置いといて、上記にならって一旦
(・・・(((a1+a2)+a3)+a4)+・・・+aN)の形に変形する。
この時、Nが最後尾にはなく(・・・（(・・・)+N)+X)・・・）となっていれば、
結合法則を使って
（・・・((・・・）+(N+X))・・・）
次に交換法則を使って
（・・・((・・・）+(X+N))・・・）
もう一度結合法則を使って
(・・・（(・・・)+X)+N)・・・） ←Nを一つ右に移動する事に成功
これを繰り返していけばNを式の一番右に持っていくことが出来る。
この方法でN-1を右から2番目に、N-2を右から3番目に、・・・とやっていけば、
やはり最終的に(・・・(((1+2)+3)+4)+・・・+N)に帰着させることが出来る！！！
よって交換法則と結合法則が成り立てば項の順序や括弧の付け方をどのように変えても和は等しいって訳ですね！！！！！！！！！！
いや〜地味にムズいわこれｗ むしろ、非結合的演算のほうがカタラン数とかと関連して面白いし難しいし楽しいと思うがなあ 別に難しく考えなくても、先に一般化された結合法則を証明しておけば、
和は括弧のつけ方に依らないんだから、単に
a_1 + a_2 + … + a_n
と書けるわけで
これより、項の順序を変えても和が変わらないことは交換法則から明らかと言える
もし明らかじゃないと思うなら、項数に対する帰納法で示せばいい 圏論などで広義のコヒーレント性みたいなの示すことって出来ないんかな？
「自然な」構造の入った圏での自然な図式の可換性は(経験的には)小さな図式を組み合わせて示せる(綺麗に内側を埋める)けど、その手順は場当たり的になってる気がする
メタな意味での「自然な」をどう定式化するかムズそうではあるけど 演算●について交換法則と結合法則が成り立てば
f(x,y) = g^(-1)(g(x)●g(y))
とおけば
(1) f(x,y) = f(y,x)
(2) f(f(x,y),z) = f(x,f(y,z))
を満たす。 参考書
[1] H.デリー著「數學ノ勝利：過去二千年間ニ亘ル數學文化ノウチヨリ選ビタル著名壹百題」
Heinrich Do"rrie 共立出版 (1942/Oct) 高津巖 譯 (原著 1933)
略して「数学100の勝利」ともいう。
[2] N.ブルバキ：「数学原論 集合論」3章, §5, 演習11 (1956, 1969)
[3] 数学セミナー, エレ解１ (1964/Feb)
数セミ増刊「数学の問題」第１集, 日本評論社 (1977/Feb) ●56
[4] 奥津敬一郎・成田正雄：数理科学, ２(2), p.36-39 (1964/Feb) サイエンス社
日本文法への数学の応用（助詞 ’の’ による連体修飾形の構造について）
[5] N.S.：数学セミナー, NOTE (1970/Feb)
N.S.：数セミ増刊「数学の問題」第２集, 日本評論社 (1978/May)
付録-13 「くくり方の数」p.189
[6] C．ベルジュ 著「組合せ論の基礎」サイエンス社 (1973/Apr)
Claude Berge (ｻｲｴﾝｽ ﾗｲﾌﾞﾗﾘ 数学 = 9) 野崎昭弘 訳
[7] 野崎昭弘：数学セミナー, p.44-50 (1976/Feb)
「計算数学ｾﾐﾅｰ, 経路の問題と母関数」
[8] 山本幸一：数学セミナー, p.18-24 (1976/Oct)
「括弧 − その組合せ論的な考察」
[9] 細井 勉：数セミ増刊「数学の問題」第２集, 日本評論社 (1978/May) ●101
[10] 清水達雄：数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984/Sep)
「括弧の問題」p.63-66
[11] 清水達雄：数学セミナー (1984/Oct)
「ラメ氏よりリウヴィユ氏への書簡抄」
[12] 清水達雄：数学セミナー (1984/Nov)
「括弧の問題 追記」 >>17
代数(A,f) と 代数(B,●) があって
g：A → B
が同型写像ならば
演算ｆと演算●も同型 １つの項のみに依存するものを「写像、関数、変換 etc.」といい
２つの項に依存するものを「演算」とよぶ。
２つの写像を続けて行うことは、写像に対する一種の演算である。(連結)
この演算は結合法則をみたしている。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
