「GREEN JUKEBOX」編は、これまでロックバンド「SEKAI NO OWARI」（セカオワ）のFukaseさん、「RADWIMPS（ラッドウィンプス）」の野田洋次郎さん、「back number（バックナンバー）」の清水依与吏（いより）さんらが出演し、自身の人気曲のアコースティックバージョンを披露してきた。
型無しラムダ計算 20年ほど時代を下り，1930年代に話題を移そう．若き日の Alonzo Church は，自由変数を用いない*19形式論理学の記法あるいは計算体系として，ラムダ計算を提案する． 初出は1932年の A Set of Postulates for the Foundation of Logic であるようで，表題からも分かる通り，この頃の Church はラムダ計算を論理学の基礎として据えようと考えていたらしく，項として種々の論理定項を含んでいる． しかし，このオリジナルの体系は証明力が強すぎたため，後に Stephen Kleene と John Barkley Rosser らにより矛盾を導くことが証明された*20．
単純型付ラムダ計算 1940年に発表された A Formulation of the Simple Theory of Types という論文が，型付きラムダ計算の初出とされている． ラムダ計算と階型理論を統合することで，どのような嬉しい性質が生じるのかはこの論文には記されていないが，ともかく Church は 従来のラムダ計算に加えて，型という概念を導入する．
同意（＾＾ １）IUTの「同義反復的解決」（>>603）が、ラッセルのパラドックス同様の自己言及（二階述語）と見て ２）「基礎付けの公理は、ラッセルのパラドックスを防ぐために導入された」という俗説に 引っ掛かって ３）基礎付けの公理に絡んで、“∈-structure”とか あるいは ”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).” などと 言い訳を言っている気がする 俗説に 引っ掛かってｗ（＾＾；
（参考） http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨ LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS Shinichi Mochizuki April 2020 P1 Abstract Finally, we examine - albeit from an extremely naive/non-expert point of view! - the foundational/settheoretic issues surrounding the vertical and horizontal arrows of the log-theta-lattice by introducing and studying the basic properties of the notion of a “species”, which may be thought of as a sort of formalization, via set-theoretic formulas, of the intuitive notion of a “type of mathematical object”. These foundational issues are closely related to the central role played in the present series of papers by various results from absolute anabelian geometry, as well as to the idea of gluing together distinct models of conventional scheme theory, i.e., in a fashion that lies outside the framework of conventional scheme theory. Moreover, it is precisely these foundational issues surrounding the vertical and horizontal arrows of the log-theta-lattice that led naturally to the introduction of the term “inter-universal”.
P3 Finally, in §3, we examine - albeit from an extremely naive/non-expert point of view! - certain foundational issues underlying the theory of the present series of papers. Typically in mathematical discussions [i.e., by mathematicians who are not equipped with a detailed knowledge of the theory of foundations!] - such as, for instance, the theory developed in the present series of papers! - one defines various “types of mathematical objects” [i.e., such as groups, topological spaces, or schemes], together with a notion of “morphisms” between two particular examples of a specific type of mathematical object [i.e., morphisms between groups, between topological spaces, or between schemes].
P6 Indeed, from the point of view of the “∈-structure” of axiomatic set theory, there is no way to treat sets constructed at distinct levels of this ∈-structure as being on a par with one another. On the other hand, if one focuses not on the level of the ∈-structure to which a set belongs, but rather on species, then the notion of a species allows one to relate - i.e., to treat on a par with one another - objects belonging to the species that arise from sets constructed at distinct levels of the ∈-structure. That is to say, the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).
P8 Acknowledgements: I would like to thank Kentaro Sato for useful comments concerning the set-theoretic and foundational aspects of the present paper,
P67 Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species In the present §3, we develop - albeit from an extremely naive/non-expert point of view, relative to the theory of foundations! - the language of species. Roughly speaking, a “species” is a “type of mathematical object”, such as a “group”, a “ring”, a “scheme”, etc.
In some sense, this language may be thought of as an explicit description of certain tasks typically executed at an implicit, intuitive level by mathematicians [i.e., mathematicians who are not equipped with a detailed knowledge of the theory of foundations!] via a sort of “mental arithmetic” in the course of interpreting various mathematical arguments. In the context of the theory developed in the present series of papers, however, it is useful to describe these intuitive operations explicitly
P68 - where n ranges over the natural numbers. On the other hand, by the axiom of foundation, there do not exist infinite descending chains of universes V0 ∋ V1 ∋ V2 ∋ V3 ∋ ... ∋ Vn ∋ ... - where n ranges over the natural numbers.
P74 Remark 3.3.1. (i) One well-known consequence of the axiom of foundation of axiomatic set theory is the assertion that “∈-loops” a ∈ b ∈ c ∈ ... ∈ a can never occur in the set theory in which one works. On the other hand, there are many situations in mathematics in which one wishes to somehow “identify” mathematical objects that arise at higher levels of the ∈-structure of the set theory under consideration with mathematical objects that arise at lower levels of this ∈-structure. In some sense, the notions of a “set” and of a “bijection of sets” allow one to achieve such “identifications”. That is to say, the mathematical objects at both higher and lower levels of the ∈-structure constitute examples of the same mathematical notion of a “set”, so that one may consider “bijections of sets” between those sets without violating the axiom of foundation. In some sense, the notion of a species may be thought of as a natural extension of this observation. That is to say, the notion of a “species” allows one to consider, for instance, speciesisomorphisms between species-objects that occur at different levels of the ∈-structure of the set theory under consideration - i.e., roughly speaking, to “simulate ∈-loops” - without violating the axiom of foundation. (引用終り) 以上 0628現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水) 15:57:54.40ID:uMe8boWM>>623 粋蕎さん レスありがとう（＾＾ 0629１３２人目の素数さん2020/05/13(水) 16:11:17.68ID:YxiDM0Si>>624 ZFCではラッセル・パラドックスを防いでるのは分出公理図式
正則性公理（基礎の公理） 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ： 正則性公理はジョン・フォン・ノイマンによって導入された（1925年）。 0635現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水) 17:22:53.90ID:uMe8boWM>>624 補足 > ”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).”
１．”violating the axiom of foundation ”は、当然ながら、公理系の中では許されない ２．では、”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops””とは、具体的に何なのか？ IUTでどういう役割を果たすのか？ きっと重要なのでしょうね、望月先生は一生懸命書いてあるから ３．なんとなく、”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops””を成り立たせるための仕掛けが、IUT IIIまでにしてあって そこ、ショルツ先生に理解されなかったのでは？ きっと、奇妙に見えることをしているのでは？ で、ショルツ先生から「奇妙にしか見えない！」と ずばり指摘されて 「おまえは 分かっていない！！」と つい叫んでしまった 望月先生だった
具体圏として 環の圏 Ring は具体圏（英語版）、すなわちその対象は集合に追加の構造（いまの場合、加法と乗法）を入れたものであり、その射はそれら構造を保つ写像である。環の圏から集合の圏への自然な忘却函手（英語版） U: Ring → Set が、各環をその台となる集合へ写すことによって（つまり、加法と乗法という演算を「忘れる」ことによって）与えられる。 この忘却函手の左随伴 F: Set → Ring は各集合 X に X の生成する自由環を対応させる自由函手である。
環の圏を、アーベル群の圏 Ab 上の、あるいはモノイドの圏（英語版）[要リンク修正] Mon 上の具体圏と見ることもできる。具体的に、乗法あるいは加法をそれぞれ忘れることによって、二つの忘却函手 A: Ring → Ab および M: Ring → Mon が得られる（つまりA は環の加法群を取り出す函手、M は環の吸収元付き乗法モノイドを取り出す函手である）。 この二つはいずれも左随伴を持つ。A の左随伴は、任意のアーベル群 X に対し（それを Z-加群と見て）テンソル環 T(X) を割り当てる函手である。また M の左随伴は、任意のモノイド G に整係数モノイド環 Z[G] が対応する。
射について 数学においてよく知られた多くの圏と異なり、環の圏 Ring の任意の二対象の間には必ずしも射が存在するわけではない。これは（単位的）環準同型が単位元を保つという事実の反映である。例えば、零環 0 = {0} から任意の非零環への射は存在しない。環 R から S への射が存在するためには、S の標数が R の標数を割り切ることが必要条件である。
射集合が空となることがあってさえ、それでも始対象が存在するから、環の圏 Ring は連結（英語版）である。
部分圏について 環の圏 Ring はいくつも重要な部分圏を持っている。例えば、可換環、整域、主イデアル環、体それぞれの全体の成す充満部分圏などが挙げられる。
体の圏 体の圏 Field は、すべての可換体を対象とする CRing の充満部分圏である。体の圏はほかの代数圏のようにはよく振る舞わない。特に「自由体」（すなわち忘却函手 Field → Set の左随伴となるもの）は存在しない。したがって、Field は CRing の反映的部分圏ではない。
体の圏 Field は有限完備（英語版）でも有限余完備でもない。特に、Field は積も余積も持たない。
動機 環はその環上の加群を通じて研究されることが一般的である。これは加群が環の表現と見做せるからである。すべての環 R は環の積による作用によって自然に R 加群の構造を持つので、加群論的な研究方法はより一般的で有益な情報をもたらす。このような訳で、環についての研究はその環上の加群の成す圏を研究することによってしばしば為される。
https://en.wikipedia.org/wiki/Morita_equivalence Morita equivalence (抜粋) Significance in K-theory If two rings are Morita equivalent, there is an induced equivalence of the respective categories of projective modules since the Morita equivalences will preserve exact sequences (and hence projective modules). Since the algebraic K-theory of a ring is defined (in Quillen's approach) in terms of the homotopy groups of (roughly) the classifying space of the nerve of the (small) category of finitely generated projective modules over the ring, Morita equivalent rings must have isomorphic K-groups. 以上 0646現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水) 21:48:24.01ID:fChrPFrq>>644-645
＜ Species＞ http://bergeron.math.uqam.ca/wp-content/uploads/2013/11/book.pdf Introduction to the Theory of Species of Structures Fran，cois Bergeron, Gilbert Labelle, and Pierre Leroux November 25, 2013 0650現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水) 23:02:56.82ID:fChrPFrq>>648 ブタに真珠 も いやね、＜ Species＞と
IUT IV（>>624） ”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).” の関係というか、繋がりを探しているが
もし そうであれば、２階述語という話だが 圏論は、”高階論理との親和性がある”（>>614）というから それなら、問題ないのかも？ もう少し調べてみよう（＾＾； 0652現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/14(木) 07:39:00.45ID:xfdjzzyp あんまり関係ないが、メモ貼る https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_combinatorics Algebraic combinatorics (抜粋) Algebraic combinatorics is an area of mathematics that employs methods of abstract algebra, notably group theory and representation theory, in various combinatorial contexts and, conversely, applies combinatorial techniques to problems in algebra.
Contents 1 History 2 Scope 3 Important topics 3.1 Symmetric functions 3.2 Association schemes 3.3 Strongly regular graphs 3.4 Young tableaux 3.5 Matroids 3.6 Finite geometries
History The term "algebraic combinatorics" was introduced in the late 1970s.[1] Through the early or mid-1990s, typical combinatorial objects of interest in algebraic combinatorics either admitted a lot of symmetries (association schemes, strongly regular graphs, posets with a group action) or possessed a rich algebraic structure, frequently of representation theoretic origin (symmetric functions, Young tableaux). This period is reflected in the area 05E, Algebraic combinatorics, of the AMS Mathematics Subject Classification, introduced in 1991.
Scope Algebraic combinatorics has come to be seen more expansively as an area of mathematics where the interaction of combinatorial and algebraic methods is particularly strong and significant. Thus the combinatorial topics may be enumerative in nature or involve matroids, polytopes, partially ordered sets, or finite geometries. On the algebraic side, besides group and representation theory, lattice theory and commutative algebra are common. 0653現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/14(木) 07:57:19.75ID:xfdjzzyp>>637 ><ローヴェア理論>
下記の Lawvere Ph.D. thesis は、一読の価値あるな ”The authors comments are F. William Lawvere, 2004.”の部分だけでも、読んでおく価値がある！（＾＾ http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5abs.html Functorial Semantics of Algebraic Theories and Some Algebraic Problems in the context of Functorial Semantics of Algebraic Theories F. William Lawvere Originally published as: Ph.D. thesis, Columbia University, 1963 and in Reports of the Midwest Category Seminar II, 1968, 41-61, The authors comments are F. William Lawvere, 2004. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_algebra Universal algebra (sometimes called general algebra) is the field of mathematics that studies algebraic structures themselves, not examples ("models") of algebraic structures. For instance, rather than take particular groups as the object of study, in universal algebra one takes the class of groups as an object of study. History Starting with William Lawvere's thesis in 1963, techniques from category theory have become important in universal algebra.[9] Footnotes 9 Lawvere, William F. (1964), Functorial Semantics of Algebraic Theories (PhD Thesis)
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory Category theory Historical notes Main article: Timeline of category theory and related mathematics https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics Category theory may be viewed as an extension of universal algebra, as the latter studies algebraic structures, and the former applies to any kind of mathematical structure and studies also the relationships between structures of different nature. 0654１３２人目の素数さん2020/05/14(木) 09:37:15.56ID:yUsAr7Ai>>640 ＞可能性は、３つ ＞１．ショルツのいうように、IUTは全然ダメ。箸にも棒にもかからない。修正不能 ＞２．多少ギャップはあるが、成立しており、修正可能 ＞３．パーフェクトに成立している
