公理主義では、全てが公理から組み立てられるんだ Kenneth Kunen先生のPDFを2つ挙げておいたから、しっかりお勉強しましょうね ？ 英語まだ習ってない? 藤田 博司 (翻訳)の訳本があるから見てね （これ定評があるみたいだね（＾＾） 0385現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日) 10:23:13.23ID:mjl0bfS3>>383 >However, the class existence axioms of NBG are restricted so that they only quantify over sets, rather than over all classes. >This causes NBG to be a conservative extension of ZF.
https://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_extension Conservative extension (抜粋) In mathematical logic, a conservative extension is a supertheory of a theory which is often convenient for proving theorems, but proves no new theorems about the language of the original theory. Similarly, a non-conservative extension is a supertheory which is not conservative, and can prove more theorems than the original. Contents 1 Examples 2 Model-theoretic conservative extension (引用終り)
要は（＾＾ conservative extension：often convenient for proving theorems, but proves no new theorems about the language of the original theory non-conservative extension：can prove more theorems than the original ってこと ZFCに対し、NBGは conservativeで、ZFCGは non-conservative です
（参考：本スレより転載） Inter-universal geometry と ABC予想 52 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588702281/606 (抜粋) 606 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/05/09(土) 17:57:38.91 ID:/BYRDNlz ＞案の定ZFCGがZFCの保存的拡大だのZFCの9個の公理だの間違えまくってる と書いてガゼで主張しただけだよ。 IUT-4で以下を修正しており、指摘で修正が必要であったのは、この箇所だよ。 concerning the “conservative extensionality” of ZFCG relative to ZFC, i.e., roughly speaking, that“any proposition that may be formulated in a ZFC-model and, moreover, holds in a ZFCG-model infact holds in the original ZFC-model” (引用終り) 0386現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日) 10:36:56.83ID:mjl0bfS3>>383 まず訂正 I n category theory, a category whose collection of objects forms a proper class (or whose collection of morphisms forms a proper class) is called a large category. ↓ In category theory, a category whose collection of objects forms a proper class (or whose collection of morphisms forms a proper class) is called a large category.
この手法を任意の自然数 n で拡張し、n-圏（n-category、n 次圏）を定義することができる。さらに順序数 ω に対する ω-category と呼ばれる高次圏もある。 空間を圏で表す (O, ?) が順序集合のとき、これを次のような圏 CO と同一視することができる：obj(CO) = O とし、p, q ∈ O = obj(CO) について p ? q のとき、およびそのときに限り p から q への射がただ 1 つ存在する、として CO における射を定める。 ここで順序関係の推移律が射の合成に、反射律が恒等射に対応している。特に位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。
G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、Hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。
圏論 圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。 例えば、グロタンディーク宇宙 U における2つの集合の和集合も U の内部にある。同様に、共通部分、順序対、冪集合などもまた U の内部にある。これは上記の上部構造に類似している。 グロタンディーク宇宙の利点は、それが実際の集合であって固有類ではないことである。グロタンディーク宇宙の難点は、厳密さを欲するなら、グロタンディーク宇宙を捨てなければならないことである。
最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。 対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが固有類を用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。例えば、すべての U-small 圏の圏は宇宙 U の内部において、すべての対象の集合と射の集合の圏の圏になる。 すると通常の集合論の独立変数が、すべての圏の圏に適用される。さらに誤って固有類に対して言及する心配もなくなる。なぜならグロタンディーク宇宙は非常に広大であり、これはありとあらゆる数学的構造を充足させるからだ。
グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。" この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。 つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。
（>>385より） （参考：本スレより転載） Inter-universal geometry と ABC予想 52 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588702281/606 (抜粋) 606 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/05/09(土) 17:57:38.91 ID:/BYRDNlz ＞案の定ZFCGがZFCの保存的拡大だのZFCの9個の公理だの間違えまくってる と書いてガゼで主張しただけだよ。 IUT-4で以下を修正しており、指摘で修正が必要であったのは、この箇所だよ。 concerning the “conservative extensionality” of ZFCG relative to ZFC, i.e., roughly speaking, that“any proposition that may be formulated in a ZFC-model and, moreover, holds in a ZFCG-model infact holds in the original ZFC-model” (引用終り)
それから ”On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by” は、Axiom7～9以降の式を簡便に記載するために用いる 記号⊆,Φ,S,∩,SING(x)の定義について語ってるだけ （Axiom6とは関係ないｗ）
The axiom schema of replacement is not necessary for the proofs of most theorems of ordinary mathematics. Indeed, Zermelo set theory (Z) already can interpret second-order arithmetic and much of type theory in finite types, which in turn are sufficient to formalize the bulk of mathematics. Although the axiom schema of replacement is a standard axiom in set theory today, it is often omitted from systems of type theory and foundation systems in topos theory.
（>>371より ｗｗ（＾＾； ） （参考） https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF 2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen (抜粋)
P10 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
P11 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free, ∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y) The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions. On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x) y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y) (引用終り) 0405現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日) 11:57:50.86ID:mjl0bfS3>>403 おサル必死 Kenneth Kunen 先生、知ってますかぁ～！ ｗｗ（＾＾； 0406IUT応援団 団員2020/05/10(日) 11:59:59.82ID:vZYbiwt9 置換公理が必要な場合
ここ誤読しているんじゃね？ ”Although the axiom schema of replacement is a standard axiom in set theory today, it is often omitted from systems of type theory and foundation systems in topos theory.” ｗｗ（＾＾； 0408IUT応援団 団員2020/05/10(日) 12:03:36.33ID:vZYbiwt9>>404 団長～、この文章、読「め」ましたか？
”The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.”
https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF 2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen (抜粋) P10 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y) P11 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free, ∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y) The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions. On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x) y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y) (引用終り)
＜補足＞ １．確かに、これは ”define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:” で、これらを定義しているのだが ２．例えば、”x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)”で、⇔の右辺は On the basis of Axioms 1,3,4,5＆ Axiom 6. Replacement Scheme のみを組合わせて 左辺の ”x ⊆ y”が定義できます と読むべきもの ３．つまり、公理主義だから、公理で決められていないものを、天下りで 論理式 ψ で与えるわけにはいかないのです 迂遠でも、一歩一歩、ひとつづつ 公理を組合わせて ”x ⊆ y”などを えっちら おっちら 数学を展開するのに必要な定義を全て（のみならず全ての定理や命題）を 公理から 構築すべき or 構築できる それぞ、公理主義です
https://en.wikipedia.org/wiki/Singleton_(mathematics) Singleton (mathematics) (抜粋) In mathematics, a singleton, also known as a unit set,[1] is a set with exactly one element. For example, the set {null?} is a singleton containing the element null. The term is also used for a 1-tuple (a sequence with one member).
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88 単集合 (抜粋) 数学における単集合（たんしゅうごう、英: singleton; 単元集合、単項集合、一元集合）あるいは単位集合（unit set[1]）は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。 例えば、{0} という集合は単集合である。
性質 ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組みの中では正則性の公理が「自身を元とする集合」が存在しないことを保証するから、単元集合とその単元集合を含む集合とは必然的に異なる数学的対象を意味するものとなる[1]。 つまり、1 と {1} とは同じものではないし、空集合のみからなる単項集合 {?} は 空集合 ? ではない。また、例えば、{{1, 2, 3}} のような集合も、ただ一つの集合を元（その元自身は単集合ではない）として持つ単集合である。 単集合であることと、その集合の濃度が 1 であることは同値である。自然数の集合論的構成において、自然数の 1 とは単集合 {0} のことと定義される。 公理的集合論において、対の公理からの帰結として単元集合の存在が導かれる。即ち、任意の集合 A に対して、A と A に対して対の公理を適用すれば {A, A} なる集合の存在が保証されるが、これは A のみを元に持ちそれ以外の元は持たないから、単元集合 {A} に他ならない。 ここで A は任意の集合でよい、といっても集合がそもそもまったく存在しない場合には意味がないが、空集合の公理があれば少なくとも空集合 ? は集合になるから、A = ? ととって先の議論は正当化できる。 任意の集合 A と単集合 S に対し、A から S への写像はちょうど一つだけ存在する（それは A の各元を S の唯一の元へ写すものである）。従って任意の単元集合は集合の圏にける終対象である。 (引用終り) 以上 0417IUT応援団 団員2020/05/10(日) 13:29:30.11ID:vZYbiwt9>>415 ＞空集合が、公理から導けないとすれば、空集合の存在を公理にする必要がある ＞しかし、その必要はないと Kenneth Kunenは いうのです
ええ Axiom 3 分出公理図式 ∃y∀x(x ∈ y ↔ x ∈ z ∧ ϕ(x)) を使えばできますね
問題：φ（x）としてどんな式を書けばいいでしょう？
ヒント１ ￢を使います ヒント２ 一部は上記のAxiom 3の図式中にすでに書かれてます
ああ、こんなの、数学科に入る1年生なら、３秒で答えられるなｗ 0418現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日) 14:25:53.85ID:mjl0bfS3>>417 必死の論点ずらしご苦労さん （>>410再録） https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF 2007/10/29 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen (抜粋) P10 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y) P11 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free, ∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y) The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions. On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x) y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y) (引用終り)
＜補足＞ １．確かに、これは ”define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:” で、これらを定義しているのだが ２．例えば、”x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)”で、⇔の右辺は On the basis of Axioms 1,3,4,5＆ Axiom 6. Replacement Scheme のみを組合わせて 左辺の ”x ⊆ y”が定義できます と読むべきもの ３．つまり、公理主義だから、公理で決められていないものを、天下りで 論理式 ψ で与えるわけにはいかないのです 迂遠でも、一歩一歩、ひとつづつ 公理を組合わせて ”x ⊆ y”などを えっちら おっちら 数学を展開するのに必要な定義を全て（のみならず全ての定理や命題）を 公理から 構築すべき or 構築できる それぞ、公理主義です
おサルは The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions. On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x) y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)
これを x ⊆ y def⇒ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ def⇒ ∀z(z not∈ x) y = S(x) def⇒ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y def⇒ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) def⇒ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)
と いうように 読んだらしいな つまり、左辺のx ⊆ y などを、「∀z(z ∈ x → z ∈ y)」と定義する その「∀z(z ∈ x → z ∈ y)」は、天下りに与えられるものだと
確かに、普通の数学本ならそうかも しかし、Kenneth Kunenの”The Foundations of Mathematics”は公理的集合論を説く教科書であり ZFC公理系から、いかに集合論を構築するのか？ という視点で読むべきもの
SING(x) (x is a singleton) も、与えられた公理から導くか、さもなければ 最初から公理として与えるか？ 二択しかありません！ （多分ｗ、ZFCでは ”singleton”の存在は 公理から導かれると思います。Kenneth Kunenの”The Foundations of Mathematics”には、そう書いてあるようですよｗ）
ZFC = Axioms 1–9. ZF = Axioms 1–8. ZC and Z are ZFC and ZF, respectively, with Axiom 6 (Replacement) deleted. Z －, ZF －, ZC －, ZFC － are Z , ZF, ZC , ZFC, respectively, with Axiom 2 (Foundation) deleted
Most of elementary mathematics takes place within ZC － (approximately, Zermelo’s theory). The Replacement Axiom allows you to build sets of size ℵω and bigger. It also lets you represent well-orderings by von Neumann ordinals, which is notationally useful, although not strictly necessary.
（参考） https://fuchino.ddo.jp/misc/kikaku03.pdf 数学の基礎としての集合論 vs. 数学としての集合論 渕野 昌 (Saka´e Fuchino) 神戸大学大学院 システム情報学研究科 このテキストは，著者の中部大学在職中の 2003 年 9 月 24 日に，千葉大で開かれた数学 会の秋季総合分科会の企画特別講演として講演したものの予稿に若干手を加えたものです． (抜粋) P5 次の基礎の公理と呼ばれるものも，通常の数学の議論ではほとんど用い られることがないものである． （基礎の公理） 空集合でない任意の集合 x に対し，y ∈ x で，どんな z ∈ x をとってきても z ∈ y とならないようなものが存在する． 基礎の公理から，すべての集合 x に対し x ∈ x とはならないことがわかる． また，集合の列 x0, x1, x2, . . . で，xn ∋ xn+1 がすべての n ∈ N に対し 成り立つなら，x = {xn : n ∈ N} とすると，x は基礎の公理の反例になってしまう． したがって，基礎の公理のもとでは，このような集合列は存在しない． 基礎の公理は技術的な理由で付け加えられた公理と言えるが， この公理を集合論の公理系に加えることの妥当性は， (1) x ∪ P(x) ∪ P(P(x)) ∪ ・ ・ ・の7任意の部分集合が ∈ に関する極小元を持つような集合 x の全体が基礎の公理を含む集合論の公理系を満たすものになること ? 特にこのことから，ZFC から基礎の公理を除いたものが矛盾しないなら，（基礎の公理も含む）ZFC も矛盾しないことがわかる； (2) 上で定義した N, P(N), . . . など集合論の枠組の中で通常の数学を展開するのに必要となる集合は，すべて (1) のような性質を持つものになっていること； (3) 基礎の公理での性質を満たさない集合の存在を保証する公理を集合論の他の公理に付け加えても (1) の性質を持つ集合に関しては何ら新しい結論が得られないこと8，により保証されている，と考えることができる．
注8つまり，このような拡張された公理系は集合論の公理系の一種の保守拡大になっている． 0464現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日) 22:50:34.72ID:mjl0bfS3>>463 >（基礎の公理） >基礎の公理から，すべての集合 x に対し x ∈ x とはならないことがわかる．
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation Well-founded relation (抜粋) Induction and recursion When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction.
https://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction Epsilon-induction (抜粋) In mathematics, {\displaystyle \in }\in -induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction. Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction. It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction. 0465１３２人目の素数さん2020/05/10(日) 23:58:59.57ID:ANF/kJTD>>456
（参考） http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨ LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS Shinichi Mochizuki April 2020 P67 Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species In the following discussion, we shall work with various models - consisting of “sets” and a relation “∈” - of the standard ZFC axioms of axiomatic set theory [i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice - cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3]. 0468１３２人目の素数さん2020/05/11(月) 05:39:31.43ID:kXMTgaMHhttps://youtu.be/XrqV98VkCRk0469現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/11(月) 07:27:24.71ID:AHfZgdJQ>>468 投稿ありがとう 新垣結衣ちゃん 1988年（昭和63年）6月11日[3] -か
https://en.wikipedia.org/wiki/Stack_(mathematics) Stack (mathematics) (抜粋) In mathematics a stack or 2-sheaf is, roughly speaking, a sheaf that takes values in categories rather than sets. Stacks are used to formalise some of the main constructions of descent theory, and to construct fine moduli stacks when fine moduli spaces do not exist. Descent theory is concerned with generalisations of situations where isomorphic, compatible geometrical objects (such as vector bundles on topological spaces) can be "glued together" within a restriction of the topological basis. In a more general set-up the restrictions are replaced with pullbacks; fibred categories then make a good framework to discuss the possibility of such gluing. The intuitive meaning of a stack is that it is a fibred category such that "all possible gluings work". The specification of gluings requires a definition of coverings with regard to which the gluings can be considered. It turns out that the general language for describing these coverings is that of a Grothendieck topology. Thus a stack is formally given as a fibred category over another base category, where the base has a Grothendieck topology and where the fibred category satisfies a few axioms that ensure existence and uniqueness of certain gluings with respect to the Grothendieck topology. Contents 1 Overview 2 Motivation and history 3 Definitions 4 Examples 5 Quasi-coherent sheaves on algebraic stacks 6 Other types of stack 0481現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/11(月) 11:52:09.28ID:zmgc47N7>>478 必死の論点ずらし、おつです で、ZFCの公理の数を、指折って数えて見なよ、チコちゃんよｗｗ（＾＾； 0482IUT応援団 団員2020/05/11(月) 12:03:02.99ID:zRqOWOEd>>481 団長～、自分の誤りから目をそむけたら 数学は一生理解できませんよぉ
Axiom 3. Comprehension Scheme. For each formula, ϕ, without y free, ∃y∀x(x ∈ y ↔ x ∈ z ∧ ϕ(x))
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ϕ, without B free, ∀x ∈ A ∃!y ϕ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A ∃y ∈ B ϕ(x, y)
”formula, ϕ, without y free,” ”formula, ϕ, without B free,”
