分からない問題はここに書いてね459

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 23:29:17.49

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね458
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 17:16:06.43

Aの逆行列Bが存在しないとは幾何的にはどういう意味なのか教えて下さい。
3次以下の場合、行列Aによって点Pが移った先を点Qとすると、点Qを点Pに移す行列は存在しないのでしょうか。あるいはBでない行列Cが存在して、QをPに移すのでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 17:30:21.81

服部「位相幾何学」を読んでいて以下の証明がわからないのでご教示ください
CW複体Xとその部分複体Aについて、Aを含むXの開集合Vで、AがVの変位レトラクトであるようなものが存在する

(Aが閉集合のときそのようなVがとれることを(X,A)がカラー空間対であると定義すると、
部分複体は閉集合なので(X,A)がカラー付き空間対であることを示してほしいです)
使えそうな定理としては
１．(X,A)がカラー付き空間対のときそれをf:A→Yで張り合わせた接着空間X∪Yについて
(X∪Y,Y)はカラー付き空間対であること
２．CW複体の対(X,A)についてX^q∪AはX^(q-1)∪AにX-Aに含まれるqセルを張り合わせたものに等しい
ただしX^qはXのq切片とする
あたりです、よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 21:05:38.77

>>800
でけた。
Xのセル数についての帰納法
Xの極大セルSをとり
T=A∩S、Y=X＼intS、B=A＼intT
とおく。
BのYでの近傍Vと
G:V×I→Vを
G(v,0)=b、G(v,1)∈B、G(b,i)=b
ととる。
Aの開近傍UとGの拡張F:U×I→Uを定める。
S⊂Aである時にはU=V∪S、F(u,i)=uと定める。
S⊂Aでないとする。
O∈intSを選びU=V∪S＼{O}、
F(y,i)=y (i<1/2)、
F((1-λ)O+λθ,i)
=(1-2i)((1-λ)O+λθ)+2iθ (i<1/2,θ∈∂S,λ∈(0,1))、
F(u,i)=F(F(u,1/2),2i-1) (i≧1/2)
と定めれば求める条件を満たす。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 21:32:32.93

>>801
途中訂正
U={(1-λ)θ+θO | θ∈∂S∩V, θ∈(0,1)} ∪ V
以下同文

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 22:25:17.04

係数 a,b, ... c などは複素数

xは複素数

このとき、複素数の多項式 f(x) = ax^n + bx^(n-1) + .... + c

がf(x) = 0 を満たすxを持つことを証明せよ。
(そのときの x がどんな値かは求めなくてもよい)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 22:26:36.12

>>799
点Qを点Pに移す行列は存在する。行列Bは存在しない。Bが存在しないから「Bでない」という条件を満たすことがそもそも不可能なため行列Cは存在しない。
そもそも空間内の特定の2点P,Qについて、点Qを点Pに移す1次変換は無数に存在する。もしAの逆行列が存在したとしても、点Qを点Pに移す変換はAの逆行列以外にもいくらでもある。

Aの逆行列が存在するなら、QをPに戻す行列Cが「点Pに依存せず、行列Aにだけ依存して」定まる。ということ。
Aの逆行列が存在しない場合でも、点Pに依存していいのなら点Pの値ごとに個別の行列Cを与えてQをPに戻すことはできる。一意ではないが。
要するに、逆行列が存在しないということは単射でないのだから、逆に戻そうとしたらそれは写像ですらなくなるだろう。

例えば、Aの逆行列をA~、点Pの移った先をA(P)と記述するなど、どれが何に依存して定まっているのかを明確に記述することは大事。これを怠るからごちゃごちゃになる。

Aの逆行列が存在しないとき
「任意の点Pに対して P=B(A(P))」を満たす行列Bは存在しないが
任意の点Pに対して「P=B(A(P))」を満たす行列Bは存在する
ということ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 22:56:59.10

>>803
Cは代数的閉体なので自明
いじょ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 23:06:06.02

>>803
代数学の基本定理を証明せよと来たか……

重要定理なんだからググればいくらでも解答は得られるだろうけど、
きちんと本を読むなり講義を受けるなりしてちゃんと学んだほうがええと思うで。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 23:47:48.09

f(0) を計算した結果を点O
f(1000000) を計算した結果を点P

Oを中心に半径1の小さい円を描く
Oを中心に、かつ、Pを通るような半径の大きい円を描く

f(0) を中心とする円を小さい円から大きい円へ広げていくと、
必ず原点 (0+0 i) を通るような大きさの円が描ける。
よって f(x) = 0 を満たすような複素数x は必ず存在する

だいたい、そんな漢字？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 23:50:48.05

幾何学的に表現すると
こんな感じでええんか

点O を中心にして半径の大きさをちょっとずつ伸ばして
円を書いていくと、原点を通る円を必ず1つは描ける。

原点を通る円が描けるってことは、
f(x) = 0 を満たすxが存在するってことで。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 00:31:16.98

a,tを実数、nは自然数の定数とする。xについての方程式
(x-1)(x-2)...(x-n)+a=0
が相異なるn個の実数解x_1,x_2,...,x_nをもち、それらはi=1,2,...nに対してi-t≦x_i<iを満たすと仮定する。
このときtを動かしt→+0とすれば、それに伴いa→0となる。ではa/(t^p)が0でない定数に収束するような実数pを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 00:54:12.31

K/Cを有限次ガロア拡大とする。
G=Gal(K/R)の2-sylow群をHとしてHの固定体をLとする。
この時L/Rは次数が奇数の代数拡大であるが、Rは次数が奇数の真の代数拡大を持たないからL=Rであり、H=Gである。
特にGは冪零群である.
群の降鎖列G=G0⊃G1⊃‥を[Gi:G(i+1)]=2ととる。
対応する体の昇鎖列をR=K0⊂K1⊂‥Kn=Kをとる。
K1はRの二次拡大だからCである。
n≧2ならK2はCの真の二次拡大であり矛盾する。
よってn=1でありK=Cである。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 00:58:24.99

>>801
ありがとうございます
同様に考えてセルが無限個あっても最高次のセルがある時は示せそうですね

問題はS^∞のような無限次元のCW複体の時にどうするかですが…
検討もつかないので分かる人いたら引き続きよろしくお願いします

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/05/12(火) 00:59:11.87

前>>789省略せず途中も書いて。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/05/12(火) 01:06:18.60

前々>>787難しい。スマホきつい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 01:58:02.89

>>811
一緒じゃないの？
A=X0⊂ 1⊂‥
X=∪ Xi,X(i+1)=Xi∪Di (Diはある次元のDisk)
としてAのXiねおける開近傍UiとFi:Ui×[0,1]→Uiを
・Fi(u,0)=u
・Fi(u,1)∈U(i-1)
・Fi(a,t)=a
・U(i+1)∩Xi = Ui
と>>801の方法に類するようにとる。
ただしGからFを作るときは
F((1-λ)O+λθ,t)=(1-t)((1-λ)O+λG(θ,t))+tG(θ,t)
としてFがGの拡張になるように(F(i+1)がFiの拡張になるように)作れば良い。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 08:37:43.77

>>803
f(x)がn次式のとき、複素平面のn重被覆となるから
f(x)=0は重複度を含めて、n個の解を持つ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 08:40:45.64

>>814
>>801だと極大セルSを取ったことが重要で
極大でないセルを取り除いたものについては同様に構成するのは難しそうだと思ったのですが
(S^2の各次元2個ずつのセル複体を考えると、1セルを取り除いたところでの0セルの近傍をとっても
S^2全体での近傍にはうまく拡張できないですよね)

有限次元でAの近傍が拡張としてどんどん作っていけるので、その帰納極限として無限次元の近傍も構成できる的な感じでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 11:30:03.48

助けてください。測度論の完備性についての質問です。L^1（X）の点列｛f_n｝が与えられた時、
g_l（x）=|f_n_1（x）|＋Σ（k=1～l）|f_n_k+1（x）-f_n_k（x）| ∈ L^1（X）となるのは何故でしょうか？教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 11:31:57.13

>>816
>>800の2.を使えばいいでしょ？
コレからCW複体の列X0⊂X1⊂‥を
・X0=A、∪Xi=X
・X(i+1)はXiに単体を貼り付けたもの
となるように構成できる。
だから示すべきは
補題
(X,A)がCW複体対、Y=X∪Dをある∂D^q→Xで単体DをXに接着した空間とする。
UがAのXでの開近傍、F:U×I→UがAのUにおけるUの強変位レトラクトを与えるとき、 AのYにおける開近傍VとG:V×I→VでAのVにおけるVの強変位レトラクトを与えるものが取れる。
∵O∈intDを任意に選び
V=U∪{(1-λ)O+λθ | λ∈(0,1)、θ∈U}、
G((1-λ)O+λθ ,t)=(1-t)((1-λ)O+λF(θ,t))+tF(θ,t)
後は↑コレで構成した開近傍とレトラクトの帰納的極限を取ればよい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 11:33:39.40

>>805-806 >>815
確認だけど、幾何学的な説明としては
>>803 のイメージで…あっているよね？

これって証明としてアリだよね、論理に不備はないよね？
ただの整合性を確認するためのデモンストレーションじゃなくて。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 11:35:53.91

レベルが低くてすいません…

高校生への複素数の多項式の説明として
もう1回詳しく述べます。

問い.

複素数の多項式 f(x) = ax^n + bx^(n-1) + .... + c
がある。
f, x, 係数a, b, c... は全て複素数である。

この多項式 f(x) が f(x) = 0 を満たすxを1つ以上持つことを証明せよ。
(そのときの x がどんな値かは求めなくてもよい)

回答.
・任意の複素数 x = a + b i と
・複素数 f(x) = A + B i

変数がa,b, A,B, と4つあるので
説明のために複素平面を左と右に1枚ずつ用意する。

1. xの値を適当に決めて、左の複素平面へ点を打つ。
同時にf(x) を計算して右の複素平面に点 "x→ f(x)" を1つずつ打つ。

この作業を x=0 から x = 非常に大きい値まで繰り返す。
例として、 f(0) ～ f( 100 + 100i ) までに対して
右側の複素平面に x → f(x) の点を計算して書き込んでいく。

xが0 の時の f(x) である f(0) = z とする。
また、これに対応する点 (右側の複素平面上の点) を点Zとする。
右側の複素平面で
点Zを中心にし、コンパスで非常にさな円を描く (例として半径1の円)。
そこから半径を少しずつ大きくしながら、大量に円を描いていく。

そのうちに、原点 (0+0 i) を通る円が現れる。

よって、 f(x) = 0 を満たす複素数 x が (左の複素平面) に必ず存在している。

(x の値は不明のままだが f(x) = 0 を満たす複素数が
必ず存在するのが直感的にあると分かる)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 11:42:29.26

多項式 f(x) = ax^n + bx^(n-1) + .... + c

がf(x) = 0 を満たすxを持つことを証明せよ。

これ、複素数の多項式じゃなく、
実数の多項式の時は条件付きでしか成立しないんだよね。
(高1 の教科書レベルだけど)
xに乗る次数nが「奇数」であるという条件が必須。

複素数にしたら条件なしで成立するって不思議。

実数の世界の制約が厳しすぎるのか…、
複素数アリの世界は制約がゆるすぎるのか…。

複素数は何でもありやな。 ( '～')

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 13:05:30.63

>>820（>>803）
全体的に意味のないことをしているとしか思えないが、とくに
＞そのうちに、原点 (0+0 i) を通る円が現れる。
＞よって、 f(x) = 0 を満たす複素数 x が (左の複素平面) に必ず存在している。
ここの論理の飛躍が意味不明すぎる。

>>805-806 あたりで十分に妥当な返答が得られているんだから、きちんと勉強しようよ。
ろくにわかっていない人物から説明されるであろう高校生とやらが不憫でならない。

そもそも、問いの時点で「fが複素数」とかいう意味不明な条件を付けくわえていたり
証明をしようとしているのに「直感的にあると分かる」とか言い始めたり
人に数学を説明できるだけの素養が身についているとは思えない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 13:20:10.61

>>822
すいません、大学の数学は知りません。
高校生までの知識で高校生向けに
説明しようとしたらこうなりました。

反省します、書き込みを控えます。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 13:21:23.25

高校で教えるならリウヴィルの定理を使った証明を紹介して、複素解析へのモチベーションにすればいい
三角関数 sin, cos は実数の範囲では有界だが、複素数に拡張すると有界にならないこともついでに紹介しておけばいい

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 13:27:48.39

>>824
PTA & 教委｢余計な事を教えるな、余計なカリキュラムを組むな！｣

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 13:33:33.95

>>825
【余談】と断った上でプリントにのせて配布する形なら良いでしょう
「テストや入試とは関係ないけど、もし興味があれば読んでみてね」って言っておけばいいよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 14:07:49.62

>>822
すいません、
証明じゃなくて
整合性を確認する視覚的なデモンストレーションです。

ごもっともです、
「f が複素数」というのは訂正します
正確には、 …
関数f は複素数xを扱い、f(x)も複素数となり、
複素平面上で表される点である…と強調したかった

直感的という言葉も訂正します → 視覚的にと置き換えてください

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 14:19:24.66

「整合性を確認する視覚的なデモンストレーション」としてもイマイチだなあ
それって結局、 n 次の多項式関数 f(x) は任意の複素数値 α をとるってことでしょ？
要するに、任意の複素数 α に対して、 n 次の多項式関数
g(x) = f(x) - α
が g(x) = 0 満たす x を1つ以上持つということを暗に使っているわけで

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 14:30:27.44

>>822

そこの論理は飛躍していません、そのままです。

やっていることは、実数x で
多項式 f(x) = x^n + x^n-1 + ...
が「nが奇数の場合」 f(x) = 0 をみたすxを1つ以上持つことを証明するのと同じです。

x に 0からとても離れた負の値、とても離れた正の値の2つを代入して、
f(負の値) と f(正の値) 、この2つの点を結ぶ線を描くと
どこかで x軸を横切らざるをえない。
よって、 f(x) = 0 となるような実数x が存在する。

これを複素平面上で、
中心Zでとても小さい円 → とても大きい円でやっているだけッス。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 14:38:46.80

あかん、ワイがアホすぎるのか。

何が分からないのかが分からない、
いちおう、大卒なのに (´・ω・`)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 14:43:43.81

そのデモンストレーションで整合性が確認できるとは思えない。

「代数学の基本定理の証明方法のうちの１つを取り上げて、その証明方法の整合性を視覚的なデモンストレーションで確認する」
のであれば、まず先にその証明を述べる必要があるだろう。

「代数学の基本定理そのものの整合性を確認する」のであれば、代数的な方法を用いるべきであろう。

代数学の定理を証明するために解析的な手段を用いることの整合性を確認するのか？全然そのようには見えないが。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 14:49:40.41

>>829
なんかの研究会でSEGの古川がDeriveで視覚的にみせていた
それをみて一松先生が頷いていた

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 17:10:29.09

f(0)から、ε＞０をとって|z|=εとなるf(ε)の像を描くと面白いかもしれない
この程度ならエクセルで図も書ける

「証明方法の整合性を視覚的なデモンストレーションで確認する」といわずに、
「ナイーブな方法で、f(z)=0となるzを見つけてみる」といえばいい

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 17:11:13.94

訂正

f(0)から、ε＞０をとって|z|=εとなるf(z)の像を描くと面白いかもしれない
この程度ならエクセルで図も書ける

「証明方法の整合性を視覚的なデモンストレーションで確認する」といわずに、
「ナイーブな方法で、f(z)=0となるzを見つけてみる」といえばいい

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 17:48:51.05

>>829
そのような方法で「確認」するのは無理がある
多項式関数が零点を持つからたまたま上手くいくだけ
例えば、複素指数関数 exp は整関数だが、零点を持たない
しかし、
exp(x+iy) = e^x (cos(y) + i sin(y))
だから、 exp は 0 以外の任意の複素数値をとることができる
もし、 exp に対して同様の方法を使うと、
exp(z) = 0 となる複素数 z が存在することが「確認」できてしまうのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 19:58:50.70

部屋で冷蔵庫開けっぱなしにすると、部屋の温度上がるってホントなんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 20:17:13.40

>>831
ところで、代数学の基本定理の「純粋に」代数的な証明ってある？
俺が知っている「代数的」な証明は、
「奇数次実数係数の多項式は少なくとも1つ実数の根を持つ」
を使っているんだよね
で、↑の証明には中間値の定理が必要だから、やっぱり解析的な手段が使われているんだよね

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 20:31:06.07

何を持って代数的と思うかだね
実数の定義がそもそも代数的じゃないように思えるし、そこが原因な気もする

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 20:39:52.06

>>838
確かに「実数係数」の時点で連続性の概念が必要だな

じゃあ少し問題を変更して、
「有理数係数の多項式は少なくとも1つ根を持つ」
なら、純粋に代数的に証明できる？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 20:44:13.11

QからRの構成って代数的にできんのかな
そこで解析的な手法を使うしかないなら難しいかも
俺が知ってるのはQのコーシー列で構成するか、デデキントの截斷の二つだけど、いずれも解析的手法 or Qの順序構造を使用していて、代数的には構成できてない

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 20:48:21.26

>>839
訂正
「有理数係数の多項式は少なくとも1つ根を持つ」
↓
「有理数係数の多項式は少なくとも1つ複素数の根を持つ」

代数的閉包に根を持つのは自明だからね
あるいは、
「有理数体Qの代数的閉包（代数的数体）は複素数体Cに含まれる」ことを純粋に代数的に証明せよ
と言ってもいいかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 20:50:50.72

>>839
有理数の範囲では解持たないことあるから微妙な問いのような
既約多項式の解として代数的数を定義するならばそれは定義だから自明なはず

むしろ代数的数たちが体をなすことを基本定理というべきな気もしてきた

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 20:52:25.47

>>841
あ、訂正きてたか
複素数も実数から作られるから解析的範疇に入るのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 20:53:16.90

>>818
拡張として構成しているのでその帰納的極限が取れるわけですね
やっと理解できました
何回も説明していただきありがとうございます、助かりました

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 21:48:52.88

円Cに内接する△ABCと、弧ABの中点L、弧BCの中点M、弧CAの中点Nを考える。
△ABC∽△LMNとなる条件を述べ、また特に合同となる場合の△ABCの形状を述べよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 21:49:19.81

工房です。

https://imgur.com/a/mdhyxq8

この問題の回答の仕方を教えてください！

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 21:50:36.13

がんばってけいさんすればいいよ！

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 22:19:21.85

>>845 弧AL=弧LB=s、弧BM=弧MC=t、弧CN=弧NA=u とする。

△ABC∽△LMN
⇔∠A=∠L かつ ∠B=∠M かつ ∠C=∠N
⇔弧BC=弧MN かつ弧AC=弧LN かつ弧AB=弧LM
⇔2t=t+u かつ 2u=s+u かつ 2s=s+t
⇔t=u かつ u=s かつ s=t
⇔s=t=u

したがって、△ABC∽△LMNと△ABC≡△LMNと△ABCが正三角形であることはすべて同値である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 22:39:24.28

複素関数です、よろしくお願いします
https://i.imgur.com/WdyhYqP.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 23:08:11.92

>>849
M = 1 で成り立たないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 23:12:22.97

>>849
等比数列の和の公式から、公比 e^(2πi/M)≠1 のときは
Σ[n=0~(M-1)]e^(2πin/M)=(e^(2πi)-1)/(e^(2πi/M)-1)
e^(2πi)=1 だから分子=0で終わり
公比1のときはM=1に限るから>>850の通り

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 23:19:58.31

>>849
a=e^(2πi/M)とする。M>1のとき
1+a+a^2+...+a^(M-1)=(1-a^M)/(1-a)であるが
a^M=1なので、求める式は0

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 23:24:54.94

>>849
じゃあ M > 1 のときに示そうか
M で割る意味は全く分からんが

e^(2πin/M) (n = 0, 1, … , M-1) は方程式
x^M - 1 = 0
の相異なる M 個の解になっているから、 M > 1 ならば、解と係数の関係から、
それらの総和は 0 であることがわかる

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 23:57:31.69

e^(i2π/M）を掛けても（nがずれるだけで）和Sは変わらない。
　Se^(i2π/M）= S,
M>1 のとき e^(i2π/M）≠1

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 00:53:59.81

>>845
∠A = t,　∠B = u,　∠C = s,
とおくと
　s+t+u = 180ﾟ

∠L =（t+u)/2 = 60ﾟ +（60ﾟ-∠C)/2,
∠M =（u+s)/2 = 60ﾟ +（60ﾟ-∠A)/2,
∠N =（s+t)/2 = 60ﾟ +（60ﾟ-∠B)/2,

60ﾟに向かって（1.5倍）寄ってくるので、
正三角形以外は相似にならない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 15:46:12.76

グラフ理論で閉路c6の直径、半径はどちらも3ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 16:37:28.87

多様体上の関数が点pで最大値をとるなら微分は0は成り立ちますか？
成り立つなら証明を教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 17:10:26.09

>>857
任意のγ(0)=pである経路γ:R→Mについてd/dt(f(γ(t))=0 at t=0.

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 17:19:19.68

a[n]=0.999999...（小数点以下に9がn個）とする。a[n]<p<a[n+1]を満たす有理数からなる集合をS_nとする。
S_nの要素のなかで、既約分数の形で表したときの分母の桁数が最小になるもの1つとり、その分母の桁数をN[n]とする。
lim[n→∞] N[n] = +∞ は成り立つか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 17:23:45.66

お話ぶった切って申し訳ないのですが以下の疑問について教えて頂ける方はいらっしゃいますでしょうか？

①自然数1からnまでの約数の個数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？

②自然数1からnまでの約数の個数の逆数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？

よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 17:26:25.58

あとこれもお願いします！

約数関数の公式ですが、この関数に出てくるμやγと言った記号は何を意味しているのでしょうか？

https://i.imgur.com/FpyitS6.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 17:32:41.45

>>861
μは（νも）ただの自然数（1からnまで）だろ
γはその画像には出てきてないから知らん

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 18:06:49.25

>>862
なるほど、γじゃなかったですね見間違いしました

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 20:25:50.62

>>831-844
なんだか知らんが
>>820 から建設的な話に発展して良かったわ。
ちなみに、皆の話している内容は
まったくワイの頭に入らん。

大学レベルの解析学の知識なのかな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 22:16:19.22

>>864
いわゆる代数学の基本定理。
簡単なようで難しい。
ガウスは生涯で四つだか六つだか本質的に異なる証明を与えたとか。
大筋として
・複素関数論使う(リュービルの定理使うなど)
・代数的位相幾何学系でやる
・ガロア理論使う
2番目は直感的にはすぐそりゃそうだと思えるけど、数学的に厳密化するのは結構難しい。
1番目が多分意外と1番簡単。
3番目は数学科でないと無理。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 22:17:59.29

>>865
＞ガウスは生涯で四つだか六つだか本質的に異なる証明を与えたとか。

平方剰余の相互法則ではなく？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 22:41:13.87

ガウスによる代数学の基本定理の証明は4つらしい
全部見たことはないけど

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 23:20:03.08

>>867
wikiにはそうあるね
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/13(水) 23:25:09.89

他のスレで見た問題なんですが手も足も出ないので教えて下さい

a_(n+1)=a_n - (1/a_n)
a_1=2とする
(1) a_nは収束しないことを示せ
(2) a_nは非有界であることを示せ

1は収束値をaとすると、a=a-1/aとなるaがないことから分かるのですが、2はどうやって示せばいいのでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 00:22:42.93

>>859
a[n］<1 は単調増加で
　lim[n→∞］a[n］= 1,
とする。　p∈S_n ならば
　a[n］< p < 1
pの分母をMとすれば
　p ≦ 1 - 1/M,
　1 - 1/M > a[n],
　M > 1/(1-a[n]),
　N[n］≧ -log(1-a[n]),　　　(常用対数)
　lim[n→∞］N[n］= +∞

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 01:19:22.85

>>869
y=x-1/xのグラフでも見てみたら？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 04:49:29.76

>>594
>>759
桑野耕一「ラグランジュ恒等式とは何か」
　　数学セミナー、連載（2006年4月号～）

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 07:26:05.04

745です。
最終的に4人で応募して、二人当たりました！
総応募数は、46名でした！

計算してくれた皆様ありがとうございました！

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 07:45:25.91

>>871
x-1/xは非有界ですが、それとa_nが非有界かは別ではないでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 09:47:17.29

>>871
確かにグラフを見れば直観的には明らかな気もするが、
数列 a_n が有界の範囲内で「ループ」する可能性が排除できなくね？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 10:36:56.62

>>873
神です。

このスレを見て、君の家族ために
当選確率をいじっておきました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 11:54:11.60

>>874.875
y=xとy=x-1/xとでx=2からどう動いていくかを見る

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 12:02:04.18

負になるところは正に折り曲げて

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 12:21:20.10

>>877
いや分かるけどね
2 → 3/2 → 5/6 → -11/30 → 779/330 → …
って感じで、 x の絶対値が 0 に近づくと次の x - (1/x) の絶対値は大きくなる

でもそれが本当に有界にならないことを示すのはまた別の難しさがあるのでは
エクセルで a_1000 まで計算してみても、絶対値は 50 を超えないみたいだし

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 12:55:26.28

>>869

1/a_{n}　=　b_{n}　等として、b_{n}で挙動を見た方が扱いやすいと思われる。
b_{n}の動きを見るグラフは、y=x/(1-x^2)

0<|b_{n}|< 1　なら、|b{n+1}|>|b_{n}|
1<|b_{n}|< √2　なら、|b{n+1}|>√2
√2<|b_{n}|　なら、|b{n+1}|<√2

という挙動を取る。|b_{n}|=0,√2の場合は、停滞／振動するが、そうでない場合は、
特定の周期を持つか、あるいは、(正負を考えて)六つの範囲を、行き来することが確認できる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/14(木) 13:45:44.48

>>857
微分可能でなきゃダメだろ
証明は背理法とεδで簡単

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 03:29:08.79

[2(vt/√5 -1)a+(vt/√5)b]×(2a+b)=0
t=4/√5×v
どなたかこの数式の途中式お願いします

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 04:20:26.55

>>745
3人とも外れ
(32*31*30)/(45*44*43) = 0.34954193093728　　>>747 >>751
1人だけ当たり
3*(32*31*13)/(45*44*43) = 0.45440451
2人が当たり
3*(32*12*13)/(45*44*43) = 0.17589852
3人とも当たり
(11*12*13)/(45*44*43) = 0.020155038

>>873
4人とも外れ
(33*32*31*30)/(46*45*44*43) = 0.250758341
1人だけ当たり
4*(33*32*31*13)/(46*45*44*43) = 0.434647792
2人が当たり
6*(33*32*12*13)/(46*45*44*43) = 0.252376137
3人が当たり
4*(33*11*12*13)/(46*45*44*43) = 0.057836198
4人とも当たり
(10*11*12*13)/(46*45*44*43) = 0.00438153

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 05:03:14.69

>>882
a,b はヴェクトルで × は外積だな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 08:53:12.90

>>884
そうです、分かりやすいかなと思い勝手に改変しました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 11:25:25.70

>>882
式写し間違えてない？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 12:44:49.65

4/√5とvの外積て何？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 12:54:24.63

[2{vt/√(5) -1}i+{vt/√(5)}j](2i+j)=0

　∴t=4/√(5)v

文面だと分かりづらいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 13:03:31.72

>>888
画像で上げてみては？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 13:50:35.59

自己解決しました！
答えを有理化したら合いました、迷惑をかけて申し訳ないです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 14:43:56.67

>>858
f○γの微分が0になるのはなぜですか？
γによってはf○γがt=0で極値をとらないこともありませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 14:48:08.59

>>888 エスパー
[2{vt/√(5) -1}i+{vt/√(5)}j]・(2i+j)=0 ただしi・j=0, i・i=j・j=1
2{vt/√(5) -1}(i・(2i+j))+{vt/√(5)}(j・(2i+j))=0
4{vt/√(5) -1}+{vt/√(5)}=0
5vt/√(5) -4 =0

　∴t=4/(√(5)v)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 15:12:32.22

>>892
おぉ……ありがとうございます！

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 15:44:59.37

>>891
>>858じゃないけど、微分の定義から明らかでは
d/dt (f(γ(t)) = lim[h→0] ( f(γ(t+h)) - f(γ(t)) ) / h
でしょ？
γ(0) = p で関数 f が最大値をとるなら、常に
f(γ(h)) ≦ f(γ(0))
だから、 h→+0 と h→-0 の極限が一致することから
d/dt (f(γ(t)) = 0 at t = 0
でなければならない

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 16:25:52.52

>>882
a,b をヴェクトルまでは許せるが、
× を内積と解釈するのは？だ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 18:00:13.03

虚数っていう、この言葉が酷い。
imaginary って幻影か何かのように言ってるけど、
ちゃんと複素平面上に点をとれるよね。

i = √-1 これを実在しないと言うなら、
ゼロや負の値なんかもっとimaginary だよ。

発明されたどの概念も
すべては観念上の物に過ぎないから
数学すべてが imaginary や。虚学や！

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 20:00:08.45

負の数もnegative numberと言われてて登場直後は嫌われてたろうと思う
昔の偉い数学者も1-2は0とするのが自然と考えていたようだし
けど借金の計算とかで日常生活で自然と出てきたので受け入れられた

虚数は複素平面で表されるけど、単なるR^2平面と違って足し算だけでなく掛け算構造まで入ってしまってる
日常生活でここまで複雑な情報扱うことはないから、ほとんどの人にとっては方程式の解を表すための便宜的な数で終わってしまってる
結局数学界で受け入れられたのはオイラーの定理、代数学の基本定理、複素解析で非常に綺麗な結果が出るから、数学の中では自然と思われて受け入れられた

虚数を世の中に浸透させるには高校生全員に複素平面だけでは飽き足らず、代数学の基本定理や複素解析を学ばせる必要があるだろう

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 20:40:26.67

複式簿記の方がグロタンディーク構成と保存量の線形代数プロトタイプに思える。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/15(金) 21:30:08.06

1=2の証明