分からない問題はここに書いてね459

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 23:29:17.49

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね458
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 16:10:51.37

乙です

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 16:28:45.97

円x^2+(y-1)^2=1に外接し，x軸にも接する円の中心をPとするとき，点Pの軌跡を求めよ。
ただし，円の中心Pがy軸上にあるときは除くものとする。
↑
おそらく楕円になりそうですが、焦点が外接点なのか、x軸との接点なのかわけわかりません。
自分にとっては解き方教えてもらわないと絶対無理だろの問題です。
解き方を教えていただけないでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 17:43:32.38

>>3
放物線じゃね？

円Ｐの半径をrとすると、円Pは外接するんだから、Pと(0,1)との距離はr+1
そこから式を立てたらいい

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 18:00:35.88

中心間の距離を使ってどのような式を立てればよいんでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 18:23:45.92

放物線C:y=x^2上の点Pにおける接線の上に、PX=1をみたす点Xをとる。ただしXのx座標はPのx座標より大きいとする。
PがC上を動くとき、Xが動いてできる曲線を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/02(木) 05:42:45.20

三角形の内接円と傍接円の共通接線４本のうち３本は三角形の辺ですが
残り一本は外接円の（傍接円の逆の位置の）頂点での接線に平行なことを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/02(木) 10:25:52.91

外接円の頂点？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/02(木) 11:03:55.19

ああ、わかった。
△ABCの∠Aの二等分線とBCの交点をP、
外接円のAにおける接線と直接BCの交点をQとする。
AB<ACとしてよい。
∠QAB=x、∠PAB=∠PAC=yとする。
∠WAP=x+y。
接弦定理により∠ACB=x。
∴APQ=x+y。
よって辺BCを直接APについて反転させた直線lと直線APのなす角もx+y。
∴l//AQ。
一方で直線BCは内接円と辺BCに接する傍接円の両方に接し、直線APはこの２円の中心を通るからlはもまたこの２円に接する。□

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/02(木) 20:45:46.51

>>3
円の中心を P(x,y)、半径をr>0 とすれば
　x^2 + (y-1)^2 = (r+1)^2,
　|y| = r,
これより
　P(x,y) = (±2√r, r)
よって
　y = xx/4,　　(x≠0)

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/02(木) 21:14:03.67

>>6
P(p,p^2) におけるCの接線は
　y = 2p(x-p) + pp,
　X(p + 1/√(1+4pp), pp + 2p/√(1+4pp)) = (x,y)
　
　xx-y = 1/(1+4pp),
に
　p = x - √(xx-y),
を入れて
　(xx-y){1 + 4[x-√(xx-y)]^2} = 1,
変な問題だな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/03(金) 11:15:51.08

>>7
内接円と傍接円Aの辺以外の共通接線　//　傍接円Bと傍接円Cの辺以外の共通接線
でもあった

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/03(金) 14:34:43.44

V を有限次元ベクトル空間とする。
V' を V の双対空間とする。
U^0 := {φ ∈ V' | φ(u) = 0 for all u ∈ U} とする。

U と W を V の部分空間とし、 W^0 ⊂ U^0 とする。

U ⊂ W を証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/03(金) 16:47:41.35

任意のU要素 u を持ってくる.
適当な直和分解: V=W+W’ に対して u= w + w’.
任意の φ ∈ W^0(⊂U^0) に対して φ(w’)=φ(u)-φ(w) = 0
よって w’=0 (そうでなければ φ(w’)=1 となる φ(∈W^0)が構成できる)
ゆえに u=w ∈ W, 即ち U ∈ W である.

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/03(金) 16:49:03.82

誤: U ∈ W である.
正: U ⊂ W である.

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/03(金) 17:52:54.33

>>１４

ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/03(金) 22:10:32.47

0---3
長さ3の数直線があり、一方の端の座標を0、他方を3とする
数直線上に2点X,Yをランダムに配置する
X,Yの座標をそれぞれx,yとしこのときx,yの距離が1以下になる確率を求めよ

*(条件から0≤x≤3,0≤y≤3のうち |x-y|≤1を満たす面積を考えれば幾何的に解けますがこの方法は置いておき)
この問いを連続型の確率分布とみて解く場合、どのように解けばよいでしょうか
次の確率密度関数のようなものが成り立(ちそう)だと思いましたが、
この後どうすればよいか or 根本から間違っているのでしょうか、ご教授下さい
f(x)= { (1+x)/3 (0≤x≤1)
2/3 (1≤x≤2)
(4-x)/3 (2≤x≤3)
0 (x≤0, 3≤x)

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/03(金) 23:01:27.95

fはX=xの下でYがxの1近くになる確率だからfにX=xとなる確率密度=1/3を掛けて積分する

∫[0,3]P(X=x）*P(max(0,x-1)<Y<min(x+1,3)│X=x)dx
=∫[0,1]P(X=x）*P(0<Y<x+1│X=x)dx
+∫[1,2]P(X=x）*P(x-1<Y<x+1│X=x)dx
+∫[2,3]P(X=x）*P(x-1<Y<3│X=x)dx
=∫[0,1]1/3*(x+1)/3dx+∫[1,2]1/3*2/3dx+∫[2,3]1/3*(4-x)/3dx
=1/9{(2^2-1^2)/2+2(2-1)+(4(3-2)-(3^2-2^2)/2}=5/9

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/03(金) 23:03:58.32

> *(条件から0≤x≤3,0≤y≤3のうち |x-y|≤1を満たす面積を考えれば幾何的に解けますがこの方法は置いておき)

置いておくも何もこの↑発想が連続型の確率分布を前提としたものです.
[0,3] の線分上に一様ランダムに置かれるものとすれば
f(x,y) = 1/9 (0≤x≤3,0≤y≤3)
f(x,y) = 0 (それ以外)
となるでしょう. ( ∬dxdy f(x,y) = 1 )
～を満たす領域S上での積分 ∬[(x,y)∈S] dxdy f(x,y) が～が起きる確率と解釈されます.
その結果として「幾何学的な "面積比率" を計算すればいいよ」という事になるわけです.

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/03(金) 23:27:09.76

幾何的に解くのは、二次元の一様分布F(x,y)=1/3^2を考えて、xとyが条件を満たす所を積分し
高さが1/3^2、面積が3*3-2*2の柱体の体積を求めるのと同じことだよね

f(x)を使うのは、xを固定してF(x,y)を切ってyが条件を満たす確率を求めてから、
ｘで累次積分するわけで同じことをやっている

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 00:25:45.42

000～999の中の数字の総数は？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 00:34:17.47

>>21
3000

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 00:55:22.18

>>22
3×1000＝3000ですよね
けど3×1000になる意味が分からないんです

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 02:34:27.35

数学に詳しい人に聞きたいです。

命数の垓の次って?か??のどちらですか？
読み方は(じょ、し、ぢょ、ちょ)のどれですか。

Google検索結果等でも意見が分かれたままなのではっきりしてほしいです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 07:50:53.14

>>23
000～999っていうのは000、001、002、……、998、999という1000個の数のことじゃないの？
1個あたり3つの数字が使われていてそれが1000個あるんだから3000

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 09:33:24.66

ど底辺の私に教えて欲しいのですが、

10個の景品を求めて150人で抽選します。
抽選には家族3人で参加します。
家族のうち誰か1人でも当たれば良いとして
何分の一くらいの確率になりますか？

5分の1ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 10:21:11.37

黒碁石が3個と白碁石が147個入っているツボからランダムに10個取ったときに
黒がx個である確率はC[3,x]C[147,10-x]/C[150,10]だから
x=0の確率はC[147,10]/C[150,10]=Π[k=3,12](150-k)/Π[k=0,9](150-k)
=Π[k=10,12](150-k)/Π[k=0,2](150-k)=140*139*138/(150*149*148)

【大吉】 · 2020/04/04(土) 10:25:54.42

>>21
1999-1000+1=1000

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 10:30:52.62

>>27わかりません……園児に教えるレベルでお願いします…

【小吉】 · 2020/04/04(土) 10:57:15.70

前>>28
>>3第1象限に円を描いていくと、
｡оΟノ↑このように中心はx軸から遠ざかり、第2象限でもy軸と線対称に同様な図形が描けるから、放物線になる。
y=ax^2とおくと、
x^2+(y-1)^2=1と合同な外接円をx軸とも接するとき中心は(2,1)だから、
これを代入し1=a･2^2
1=4a
a=1/4
∴y=x^2/4

【男の娘】 · 2020/04/04(土) 11:08:25.06

前>>30
その玉は、
その小さな玉は、
こっちがx軸上を原点からどんなけ離れようとも、
Pがどんなけx軸から離れようとも、
点(0,1)に居ながらにしてクルッと首だけ180°見渡して絶対真うしろにはまわりこませねえ。
せやで楕円にはならない。

【大凶】 · 2020/04/04(土) 11:19:10.18

前>>31
なんどもその玉の写メを撮ろうとしたけど、遠巻きに撮るかモザイクがやっと。
2年間つかず離れず、結局名前はわからないまま。
いつかまた逢える日を楽しみにしてる。
原点でな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 12:03:26.31

>>25
1個あたり3つの数字というのはどういう事ですか？
0～999で1000個の数があって、000～999の場合、0が000になるのは分かりますが、999は999のままじゃないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 12:20:24.72

>>29
簡単に考えていいなら、石を一つ取って戻しを10回繰り返したと考えると楽
全てが白でない確率は1-(147/150)^10=1-(1-1/50)^10≒1-(1-10/50)=1/5

あるいは、たった一人でチャレンジする場合の当たる確率は10/150=1/15で低いので
三人でチャレンジする場合は複数人が当たる確率は低いと見て無視して単に三倍して1/5

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 12:55:35.86

>>24

10^24 は秭(禾弟？）または𥝱(禾予？）読みは「じょ」

なお、SI単位系では yotta と呼ぶらしい。ヨタ話ですが････

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 13:06:41.71

>>34
分かりやすくありがとうございます。
確率論なんかの難しいことは全くわからないのですが
考え方は間違ってなさそうで良かったです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 16:30:28.75

>>26
1-(1-10/150)^3
=0.186962962963

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 17:08:30.33

>>26, >> 37
確率: P{3人とも外れる}
　= [外れ140個から3つ選ぶパターン総数] / [全150個から3つ選ぶパターン総数]
　= (140*139*138) / (150*149*148)
P{3人の誰かが当たる}
　= 1 - P{3人とも外れる}
　= 1 - (140*139*138) / (150*149*148) = 5186 / 27565
　= 0.18813...

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 17:39:37.42

別の考え方
P{3人の誰かが当たる}
　= P{3人のうち誰か1人が当たる} + P{3人のうち誰か2人が当たる} + P{3人のうち3人が当たる}
　= C{3,1} P{3人のうち指定済の1人が当たり, 2人が外れる}
　　　 + C{3,2} P{3人のうち指定済の2人が当たり, 1人が外れる}
　　　　+ C{3,3} P{3人のうち指定済の3人が当たる}
　= ( 3* 10*140*139 + 3* 10*9*140 + 1* 10*9*8 ) / (150*149*148)
　= 5186 / 27565
　= 0.18813...

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 19:11:42.72

>>37
非復元だからこれは誤答

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 20:07:08.38

円Aの内部に円Bがあり両円の中心を結んだ直線と円Aの交点をN_0とする。
N_0を通る円Bの接線（２接線のどちらか）と円Aの交点をN_1とする。
N_1を通る円Bの接線と円Aの交点（のうちN_1じゃない方を）をN_2とする。以下同様に接線を引き続けたときに
N_0に戻ってくるためには両円の半径の比rと中心間の距離dがどのような条件を満たせばよいか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 21:14:36.81

>>33
元の問題の「数字の総数」が何を意味しているのかをはっきりさせてくれないと答えようがない
>>25は000には0という数字が3つ使われているという意味で回答している
000で1つの数字、001も002も999もそれぞれに1つの数字ととらえるのであれば000～999には1000個の数字がある

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/04(土) 23:47:00.34

>>42
すみません。納得しました。
ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 01:20:49.38

黒点が等間隔で一辺に各頂点を含んで7個ずつ置かれている正三角形があり、内部にも等間隔で黒点が並んでいる
この時、正三角形の内部、返上から黒点を3つ選んだ時、正三角形は全部で何個できるか？
8C3でダメなのは何でですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 01:30:53.05

すみません
8C3じゃなく、8C4ではなぜダメなのか、です

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 01:54:39.24

a^b+b^c=c^a
を満たす自然数a,b,cを全て求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 05:26:57.67

分からない問題というより質問なんですが、
虚数iってZFC公理系からどう厳密に構成するんでしょうか

現代数学のほとんどはZFC公理系から作れると聞いたのですが、iの作り方についてはいくらググっても調べられませんでした

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 06:17:15.66

R^2に適当に演算入れたときの(0,1)とか
多項式環の剰余環R[x]/(x^2+1)におけるxの像とか

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 06:27:03.26

>>48
すみません下は勉強不足で分からないですが、上は確かに複素数の演算規則さえ与えればR^2と思えるということですか
なるほどありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 08:13:50.07

>>44
問の設定が合ってるか自信ないが↓このように計算してみた.

{含まれる正三角形の個数}
= #size1+#size1’　+#size2+#size2’　+#size3+#size3’　+#size4　+#size5　+#size6
= (6*7+5*6　+5*6+3*4　+4*5+1*2　+3*4　+2*3　+ 1*2) / 2
= 78

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 11:17:37.25

>>46
ABC予想で証明できる？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 12:00:56.17

正の数aの平方根のうち非負のものを√aと表す。
この定義に基づいて、0<x<yならば√x<√yを証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 12:02:45.61

>>50
回答ありがとうございます
各点を結ぶので、斜めの形の正三角形も考慮する必要があります

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 13:13:37.91

>>53
斜めは気づきませんでした.
正三角形が入った籠を数えると数えやすくなるでしょう.

#{斜め正三角}
= ( 4*5 + 3*4+2*3+1*2 + 2*3 + 1*2 ) / 2 * 2　=　 48

もう少しスマートな数え方があるといいのですが...

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 14:12:20.30

>>54
回答ありがとうございます
この問題、解答だと、9C4で答えを出しているのですが、8C4だとどこの正三角形が考えられないのかがイマイチ分からないです

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 14:13:41.19

>>52
√x = 0 と仮定すると x = (√x)^2 = 0　となり題意と矛盾する。
∴　√x > 0,
同様にして　√y > 0,
辺々たして　√y + √x > 0
一方、題意により y-x > 0,
∴　√y - √x = (y-x)/(√y + √x) > 0,
∴　√y > √x.

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 14:28:56.62

〔補題〕
m,n が自然数ならば
　m^n - n^m = 0　　　　　(m=n または｛m,n}={2,4｝のとき)
　(m^n-n^m)/(m-n）> 0　　(m≠n かつ（m=1 または n=1 または m+n≦5）のとき)
　(m^n-n^m)/(m-n）< 0　　(m≠n かつ（m≧2 かつ n≧2 かつ m+n≧7）のとき)

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 14:31:28.31

>>55
9C4 や 8C4 どういう背景からでてきたのか気になります.
模範解答に何の解説も無いのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 14:36:43.94

>>44
この問題、ニフティサーブのフォーラムで出されていたのを思い出します。
「正置な正三角形」という概念を導入します。
正置な正三角形とは、文字通り、一辺は水平で、この辺の上方に頂点を持つ「向き」に
置かれた正三角形です。そして、
・サイズｎの正置な正三角形には、ｎ個の正三角形が属す
が言えます。（傾いたものを含む）ある正三角形があると、その正三角形の三つの頂点全てを含む
正置な正三角形がただ一つだけ定まります。このように、一つの正置な正三角形に定まることを指して、
「属す」と表現してます。ちょっと考えてみれば、自明なことです。

従って、サイズｋの正置な正三角形がいくつあるかを数え上げ、それをｋ倍して総和をとれば、求めたいものが求まります。
サイズ1,2,3,...,6の正置な正三角形は、それぞれ、21,15,10,6,3,1個あるので、
1*21+2*15+3*10+4*6+5*3+6*1=21+30+30+24+15+6=126

一辺の頂点の数がn+1(=サイズがn)であれば、サイズnの正置な正三角形は、C[n+1,2]個あるので、
Σ[k=1,n](n+1-k)*C[k+1,2]=C[n+3,4]
が答えとなります。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 14:38:41.85

https://imgur.com/a/6tcbMmr

３（２）ですが、
「Bを計算せよ」とはどういうことなんでしょうか

f(x)＝log(1+x)(1-x)＝log(1+x)＋log(1-x)

f'(x)＝1/(1+x) － 1/(1-x)

f(n)(x)＝{((-1)^(n-1))(n-1)︕}/(1+x)^n － (n-1)︕/(1-x)^n

より

ｎが奇数のとき f(n)(0)＝0
ｎが偶数のとき f(n)(0)＝-2・(n-1)︕

f(x)＝－2Σk=1〜∞(ｘ^2k)/2k

でいいのですか？

(1)の結果を利用するとはどういうことを言ってるのでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 14:51:18.19

>>58>>59
回答ありがとうございます
下に2段分黒点を追加して、一辺9個ずつの正三角形にし、その底辺について9つの点から4個の点を選び、それをABCDとします。この時、Cの左隣の黒点をC'とし、AとC'からは右上に向かって、Dは左上に線を引きます
この時、C'とDの線がぶつかったところからC'は真左に向かって線を伸ばし、これが作られる三角形の底辺となります
またBはAC'Dを固定した時、 C'を含む残りの点から選ぶことができ、これが斜めの三角形などの個数の代わりになります(このやり方では斜めの三角形を直接表すことが出来ないので、代替している)
よって9C4となるみたいです
2段追加して考えているのですが、1段追加しただけで、8C4とすると、どこで不備が出てくるのかが分からないです

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 14:52:01.93

(1)の結果でxに-x^2を代入(xの範囲には注意)
それで正しい変形になってるかどうかは級数展開の一意性からわかる

58 · 2020/04/05(日) 14:58:41.74

>>59 ありがとうございます.

Σ[k=1,n] k * #{正置正三角形 size:k}
=Σ[k=1,n] k * C[n-k+2,2]
=Σ[k=1,n](n+1-k)*C[k+1,2]
ここまでは理解できました.
=C[n+3,4]
この最後の式変形がちょっと考えて診たのですが分かりません. (常識なのでしょうか...)
どうかご教授願います.

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 15:09:52.76

中略しただけです。
結果が、「たまたま」コンビネーションを使って簡単に書けるので、それを用いただけですが、
「たまたま」ではなく、何らかの「必然性」が背後に隠れている気はしますが、ちょっと不明です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 16:01:53.81

すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明してくれ～

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 16:24:00.56

ポエムにもほどがあるだろ

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 17:00:21.27

>>64 ありがとうございます.
必然性のある関係式が得られました. (参考 [wikipedia: 二項係数])

1/(1-x)^a = Σ[m=0,∞] a(a+1)..(a+ m-1)/m! x^m
= Σ[m=0,∞] C[a-1+m, m] x^m = Σ[m=0,∞] C[a-1+m, a-1] x^m

Σ[m=0,∞] C[p+q-1+m, p+q-1] x^m = 1/(1-x)^{p+q}
= 1/(1-x)^p * 1/(1-x)^q
= Σ[m=0,∞] { Σ[k=0,m] C[p-1+k, p-1] C[q-1+m-k, q-1] } x^m
= Σ[m=0,∞] { Σ[k=1,m+1] C[p-2+k, p-1] C[q+m-k, q-1] } x^m

x^m の係数を比較して
C[p+q-1+m, p+q-1] = Σ[k=1,m+1] C[p-2+k, p-1] C[q+m-k, q-1]

m=n-1,　p+q=5,　q=2　 ∴ p=3 の代入により
C[n+3,4] = Σ[k=1,n] C[k+1,2] (n+1-k)

初等的には >>61 のイメージから得られると予想するのですが
そもそも内容が理解できていません...

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 17:01:51.56

>>60
・ラグランジュの剰余
　R_n = (x^n)f^(n)(ξ)/n!
・コーシーの剰余
　Ｒ_n = x^(n-1)(x-ξ) f^(n)(ξ)/n!
などがある。ただし ξは0とxとの中間の或る値である。

どれを使うのか分かるはずだが････

高木貞治：「解析概論」改訂第三版，岩波書店 (1961)
　第2章 §25, 定理28, p.61～67

・余談
旧ソ連の物理学者I.タム(1895～1971) はロシア革命直後、ゲリラ隊につかまったとき
これを知っていて助かったらしい。

数セミ増刊「100人の数学者」日本評論社 (1989)　p.116

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 17:29:57.31

>>67
回答ありがとうございます
説明が下手で申し訳ございません
どこか言って頂ければ補足します
よろしくお願いします
後、8C4ではなく、8C3としたらダメなのか？
が正しいです

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 17:39:22.02

どこというか... どうイメージしたらいいのか分かりませんでした.
いえこちらの理解力が不足しているだけなのですが,
できれば軽く絵を描いてもらえると助かります.

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 17:50:30.70

はよせい(｀_´)

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 18:08:56.66

すみません　初めてなので下手ですが。。
AとC'とDの線でできた正三角形を基準に考えるんだと思います
間違えてたらすみません

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 18:09:20.40

>>56
ありがとうございます。
中学3年生はx<y⇒√x<√yを使っていますが、証明なしで使うのは良いと思いません。
しかし証明は中学3年生には難しいと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 18:18:20.49

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 20:20:09.24

>>74 やっと理解できました. B の置き場に困っていたのでしょうか.
それならもう一段足せば良いでしょう.
そして C, D から斜め上に伸ばす直線の方向を1回だけ変えるのです.
サイズ k の正置正三角形に対して B の置き場が k 個できます.
図で分かると思います. ここから C[9,4] が浮かんで来ます.

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 20:42:46.76

>>60
いちいち新たにlog(1-x^2)の微分の計算などせずとも、
先に作っておいたlog(1+x)の級数があるのだから-x^2で置換して利用しろってことでしょ
ラグランジュの剰余項なら、0<θ<1として、Rn(x)=(-1)^(n-1)x^n/n/(1+θx)^nだから、
xが負のとき、│Rn(x)│<(-x)^n/n/(1+x)^n=(-x/(1+x))^n/n
xが正のとき、│Rn(x)│<x^n/nだから、-1/2<x<1ならばRn(x)→0

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 21:41:44.50

>>76
ありがとうございました

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 23:52:28.85

>>75
一辺の8コずつの点で8C3と考えた時、9C4と比べて作れない三角形って具体的にどういうのがありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/05(日) 23:56:59.70

>>46
1, 1, 2

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 01:14:07.56

>>78
3段増ではなく 1段増で考えて底辺の全 8 黒点から A, B, C を拾います.
Aから右上, Bから右上, Cから左上方向に直線を伸ばします.
そこから正置正三角形 (底辺が水平な△)を構成するのは以前と同じです.
全ての正置正三角形がこれで尽くされるのは明らかです.
よってその総数は C[8, 3] = 56 になります.

この場合、逆さまや斜め向きの正三角形はカウントされません.

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 01:42:04.94

>>80
実際に点を書いてやってみたんですが、8C3と9C4では見かけ上、作れる三角形に差はないように思えてしまうんですが、どこで違いが出てるのでしょうか？
理解が遅くて申し訳ないです
よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 02:12:36.15

>>81

>>75 にて「サイズ k の正置正三角形に対して B の置き場が k 個できます. 」
と書きました.

サイズ k の正置正三角形に内接する正三角形を考えてみましょう.
元の△と合わせて k 個の正三角形が得られます.
逆に斜めや逆さま正三角形に外接する正置正三角形が一意に決まることは明らかです.
よってA,C の間を Bが動くことで全ての正三角形がカウントされます.
(斜め△は煩雑なので絵には描かなかっただけです)

例えばサイズ4 の場合を見れば内接正三角形の数え方が分かると思います.

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 02:30:43.85

いきなり！ステーキのスクラッチの当たり確率ハズレ確率のことで揉めています
誰か来てください！
お願いしますm(_ _)m
今の所、下記のスレで>>33から>>118までの議論です

いきなりステーキ Part.23
http://matsuri.5ch.net/test/read.cgi/kbbq/1585980246/33-

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 02:49:51.03

>>79
証明はどうやるんでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 03:35:39.13

・計算機サイト
http://wolframalpha.com
・数学板@2ch時代から続く数学板@5chに於ける数式の表記法の一覧
http://mathmathmath.dote ra.net
・激しくガイシュツ問題一覧
https://web.archive.org/web/20181107033930/http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.html

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 04:07:09.05

>>46
1,1,2だけっぽいね
証明には取り組んでないけどかなり難しそう

75 · 2020/04/06(月) 09:49:30.13

図を書き直してみたら気づきました, Bの置き場を作るには 2段増設のままでもできますね.
C 発の直線だけ折り曲げればいいです.

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 14:14:06.72

>>82>>87
回答ありがとうございます
1段増設でも問題なさそう、と思ってしまってるのですが、2段増設で9C4と1段増設で8C4
(すみません。8C3ではなく、8C4でした。頭が混乱して、色々と訂正してしまい、申し訳ございません)
とでは作れる三角形に違いがないように見えてしまっているのですが、どこで具体的な違いがあるのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 14:58:41.93

>>88
1段増だけでは正置△を一番下に置いた時に Bの置き場が足りなくなります.
例えば
右下にサイズ1 の正置△を置きました. Bを置く余地はゼロです.
左下にサイズ3 の正置△を置きました. Bを置く余地は 2つしかありません.
このままではどうにもならないのです.

あえて意味を見出すなら
サイズ 5 (一辺に 6点) の黒点△から作れる正△の配置数が C[8,4] になります.

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 16:53:11.97

>>44
１辺の長さがkの△向きの正三角形内には置けるが、それ未満の大きさの正三角形には向きを変えることなく置けない、かつすべての頂点が三角格子点の上に有る、
そういう条件の正三角形はちょうどk通りだけある

１辺の長さnの△向きの正三角形内に、そのようなk通りの正三角形を置ける位置は、各々Ｃ[n-k+2,2]箇所あるので、正三角形の総数は、それらのk=1からk=nまでの総和である
よって正三角形の総数は
Σ{k=1→n}kＣ[n-k+2,2] ①
に等しい。

この式①はＣ[n+3,4]に等しい。

n=7 のときはＣ[n+3,4]=210 となる

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 17:02:02.94

>>90
なお、正三角形の向きが△しか許されないとすると、正三角形の総数は
Σ{k=1→n}Ｃ[n-k+2,2]
となる。この式はＣ[n+2,3]に等しい

>>44の問題は、正三角形を置く向きに、辺の長さに比例した自由度があるためnの次元かひとつ増えると解釈できる

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 17:51:52.01

>>44で書かれているような黒点は平面 x+y+z=n 上の非負整数格子点　等として扱うことができます。
この問題の場合は、n=6に相当します。(x,y,z)=(a,b,c)を、“abc”と　コンマや括弧を省略して表すと、
28個の黒点には、次のような座標が当てられます
　　　　　　 600
　　　　　 510 　 501
　　　　 420 　 411 　 402
　　　 330 　 321 　 312 　 303
　　 240 　 231 　 222 　 213 　 204
　 150 　 141 　 132 　 123 　 114 　 105
060 　 051 　 042 　 033 　 024 　 015 　 006 　　(正三角形状になるように、適当にスペースを挿入して下さい)
この問題の答えは、126個で、n=6の時のC[n+3,4]に一致しますが、この、C[n+3,4]　といえば、
x+y+z+w+t=n-1　の非負整数解の個数と見ることもできます。
そこで、x+y+z+w+t=n-1　の非負整数解と、黒点三つからなる正三角形を、一対一に対応できないか？
という疑問というか衝動が湧くことは、不思議なことでは無いと思いますが、恐らく、
x+y+z+w+t=n-1　の非負整数解(x,y,z,w,t)=(a,b,c,d,e)に対し、
三点 P(a+d+1,b+e,c),Q(a,b+d+1,c+e),R(a+e,b,c+d+1) で構成される正三角形を当てれば、よいと思われます。
ちなみにこの三点は、正置な正三角形 P'(a+d+e+1,b,c),Q'(a,b+d+e+1,c),R'(a,b,c+d+e+1)
に、それぞれ、(-e,e,0),(0,-e,e),(e,0,-e) を加えて（＝正置な正三角形を回転させて）作ったものです。
これが正しければ、C[n+3,4]のような形で表現できることの説明にもなります。
>>67　さん。関係式ありがとうございました。やはり「必然性」ありましたね。納得です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 19:02:57.37

正置な正三角形だけを数えるなら、月見団子状に積まれた団子の、土台以外の団子が、
正置な正三角形と一対一に対応できます。

土台以外の団子に対し、その団子を直接または間接的に支える、「最小限の土台の団子の固まり」に
当たる三角形がそれです。

方程式　x+y+z+w=n-1　の非負整数解は、四次元空間内で、正四面体状に配置された格子点にあたります。

方程式　x+y+z+w=n-1　の解　(x,y,z,w)=(a,b,c,d)に対し、
(a+d+1,b,c),(a,b+d+1,c),(a,b,c+d+1)　を当てれば、これらは必ず正置な正三角形になります。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 20:57:32.17

はよせい(｀_´)

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 21:14:23.92

1+i/10≦log(x)≦1+(i+1)/10
を満たすxの最小値をm_i、最大値をM_iとする。

（1）i=0,1,...,9について、M_i - m_iの値はすべて相異なることを示せ。

（1）iは0以上9以下の整数とする。
iがこの範囲を動くとき、M_i - m_iを最大とするiを求めよ。

（2）（1）と同様に、M_i - m_iが4番目に大きくなるようなiを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 22:29:47.49

>>90
回答ありがとうございます
理解できました。BとCをBとC'のように考えていたのがダメだったという事ですね
助かりました
ありがとうございました

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 22:31:17.16

>>89
回答ありがとうございます
理解できました。BとCをBとC'のように考えていたのがダメだったという事ですね
助かりました
ありがとうございました

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 22:31:53.02

すみません。間違えて投稿してしまいました

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/06(月) 22:37:00.35

>>89～93
改めまして、回答ありがとうございます
おかげ様で、理解できました

平面上の格子点として、捉えて考えるのは僕にはちょっとまだ無理そうです…

沢山の方に協力頂きまして、ありがとうございました！

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/07(火) 00:50:04.42

Mathpixはwolframより使える

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/07(火) 02:44:37.58

>>73
対偶　√x≧√y>0　⇒　x≧y
ならすぐ出ますが。。。