>>886
準備1: オイラーφ関数
　φ(5^10) = 5^9 (5-1) = 5^9*2^2

準備2: ユークリッド互除法
　1745224 *2^10 - 183 *5^10 = 1 　{計算方法は省略}

2^{2^{2^{2^{2^{2 }...} ≡ 0　(mod 2^10)　 {∵2の因子の多さは明らか...}

2^{2^{2^{2^{2^{2 }...}
≡ 2^{ 2^{ 1024*64 } (mod 5^9*2^2) }} 　(mod 5^10) {∵フェルマーの小定理}
≡ 2^{ 406736 } 　(mod 5^10) 　{※}
≡ (1-5)^203368 　(mod 5^10)
≡ 1 + (-5)*C{203368,1} + 5^2* C{203368,2} +... +(-5)^9 *C{203368,9}　(mod 5^10)
≡ 5788111　(mod 5^10)

中国人剰余定理より
2^2^2^2^2^2 ≡ 0*(-183*5^10) + 5788111*(1745224*2^10)　(mod 2^10*5^10)
≡ (57*10^5 + 88111)* (17*10^5*45224)* 1024 (mod 10^10)
≡ ((57*45224 + 88111*17)*10^5 +88111*45224 )*1024 (mod 10^10)
≡ 421427437428736 (mod 10^10)
≡ 7437428736 (mod 10^10)

∴ 2^2^2^2^2^2 = ..... 7437428736

※ ここは多倍長計算可能な数式ソフトに任せた。
常識的な桁数で済ませたいなら後半と同様に (1-5)^{ 1024*32 } (mod 5^9) etc. を計算したらよい。