0608132人目の素数さん
2020/03/11(水) 21:30:44.12ID:zi4olkqu(与式) = ∫[0,1] P_L(x) dx
= [ {1/(2^L・L!)}(d/dx)^(L-1)・(xx-1)^L ](x=0,1)
Lは奇数とする。
x=1 のとき
L個の(xx-1)因子のうち、少なくとも1個は微分を免れるから、0
x=0 のとき
(xx-1)^L の中の x^(L-1) の係数は2項公式により
(-1)^((L+1)/2) C(L, (L-1)/2)
= (-1)^((L+1)/2) L! /{((L+1)/2)! ((L-1)/2)!}
= -(-2)^((L-1)/2) L! (L-2)!! /{((L+1)/2)! (L-1)!}
(2^L・L!) で割って
= -(-1/2)^((L-1)/2) (L-2)!! /{2 ((L+1)/2)! (L-1)!}
(L-1) 回微分すると (L-1)! 倍になる。
x=0 は下限で -1 倍する。
(-1/2)^((L-1)/2) (L-2)!! /{2 ((L+1)/2)!}