0309132人目の素数さん
2020/02/25(火) 18:29:53.04ID:KHilL9zo>>302
(1) πは (円の周長)/(直径) とする。
単位円に内接する正8角形を考え、頂点を
(1,0) (1/√2,1/√2) (0,1) ・・・・
とする。一辺の長さをLとすると
π > 4L = 4√{(1/2)+(1-1/√2)^2} = 4√(2-√2) > 4/√(√3) = 3.0393
*) 2-√2 > 1/√3 = 0.57735
単位円に内接する正12角形を考え、頂点を
(1,0) ((√3)/2,1/2) (1/2,(√3)/2) (0,1) ・・・・
とする。一辺の長さをLとすると
π > 6L = 6√{(1/2)^2 + (1-(1/2)√3)^2} = 6√(2-√3) > 6√{(√7)/10} = 3.0862
*) 2-√3 > (1/10)√7 = 0.264575
(2)
(1+1/n)^n = Σ[k=0,n] C[n,k] (1/n)^k
= Σ[k=0,n] {n(n-1)・・・・(n-k+1)/(n^k)} (1/k!)
< Σ[k=0,n] 1/k!
< Σ[k=0,∞] 1/k!
< 1 + 1 + (1/2)Σ[k=2,∞] 1/3^(k-2)
= 2.75
n→∞ とする。