>>221 の主張は
Σ[k=1 to n-1]Mod(k^2,n) ≦ n(n-1)/2
と同じですね。
連続する n-1 個の平方数があると、これらの n による剰余の平均は n/2 以下だ　というものです。

一般に、平方剰余の和　≦　平方非剰余の和　ですが、
平方剰余の和　＝　平方非剰余の和　となれば、

Σ[k=1 to n-1]Mod(k^2,n) = n(n-1)/2

となります。これは恐らく、対称的つまり、「pが平方剰余の時、n-pも平方剰余」の時だと思います。