現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
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いや、図示できないからじゃなく正則性公理に反するからw バカ過ぎw ヒルベルトの無限ホテルが、正則性公理に反する?w >>18 に書いたように 無限の部屋 無限の箱 が、数学では考えられる 同じように 無限の枚数の壁が考えられる 壁が } の形をしていると思いなよ。これが右 これと対になった無限枚数の壁 { が左にある 真ん中にΦを入れて { ・・・{Φ}・・・} 正確な図示じゃない? そりゃぁ、そうだ 無限枚数の壁には描けない ヒルベルトの無限ホテルも、正確に絵にすることはできませんね でも、数学的には考えられるぜ 正則性公理に反する?w ヒルベルトの無限ホテルがか? >>20 訂正 無限枚数の壁には描けない ↓ 無限枚数の壁は、正確に描けない あと、∈の無限上昇列は、 正則性公理には反しないことは 前スレで議論したけどな >>20 それから、数学的な定義としては、極限が使えると 前スレに書いたよ Ωが次の性質を持つ限りZFCと両立することはできません。 ・Fを x∈F⇔∃x1∋x2∋‥‥∋xn, x1=Ω, xn=x によって定められる集合とするときFの任意の要素はシングルトンか空集合。 ・Ωは有限Zermelo ordinal numberではない。 >ヒルベルトの無限ホテルが、正則性公理に反する?w おまえ数学の前に国語なんとかしろw ∈無限降下列が正則性公理に反すると言ってるのに ∈無限上昇列は正則性公理に反しないと主張するバカw 数学以前に国語が壊滅の白痴w >>18 >集合の{}の無限多重も考えられるさ {}の無限重は、”図形”として存在するだろうけど だからといってそれが集合を表す、とはいえない まず、x=0を中心として 最も内側のカッコをx=-1/2とx=1/2に その外側にカッコをx=-2/3とx=2/3に その外側にカッコをx=-3/4とx=3/4に ・・・ つけるとしよう この場合、一番外側のカッコは存在しない だから、一番外側のカッコを外して その要素を取り出せない これでは集合だといえない だからといってx=-1とx=1にカッコをとってつけたら ωが極限順序数である、という定義に反する なぜなら、中の要素がたった一つしかなく それがωの前者ω-1になってしまうから ωを集合として定義するには 「最も外側のカッコは存在するが、 その中の要素全体の最大値は存在しない」 という条件を満たさなくてはならない 要素の数が有限だと、最大値が存在してしまうから 当然要素の数は無限でなくてはならない >想像力なさすぎ 君こそ思考力ゼロだな ・最も外側のカッコがなければ集合にならない ・最も外側のカッコがあっても、その中の 要素全体の最大値があったら、 極限順序数にならない この2点に気づけないのは致命的 君には数学は無理 やめたほうがいい >>20 >無限の枚数の壁が考えられる >壁が } の形をしていると思いなよ。これが右 >これと対になった無限枚数の壁 { が左にある >真ん中にΦを入れて >{ ・・・{Φ}・・・} >>18 に書いたように、{}をつけた場合 最も外側の{}は存在しない この時点でワンアウト で、とってつけたように外側に{}をつけても 要素が1つしかないから、そこで前者が決まってしまい ωが極限順序数である、という定義に反する この時点でツーアウト ここから抜け出すには 最も外側の{}の中の要素中に最大値が存在しないようにするしかない そのためには要素は少なくとも無限個必要 これ以外のアイデアを提案してもスリーアウトだよ >>23 >数学的な定義としては、極限が使える でも、君は極限順序数の作り方知らないよね 素人が勝手に”俺様極限”デッチあげた挙句がこのザマだよね 極限として意味ある方法を考えたら、 極限順序数の濃度は1にはならないよ 残念だったね 君には数学は無理 諦めてここから出ていきな これ以上何を書いても恥かくだけだよ >>20 >>24 カッコを外側から内側に無限個つけた集合は正則性公理に反しますね ただ、これはそもそも順序数でないですけどね 0、−1、−2、・・・は整列集合じゃないですから >>18 >ヒルベルトの無限ホテル >>22 >∈の無限上昇列は、正則性公理には反しない 第三の勘違い 誕生の予感・・・ ヒルベルトの無限ホテルにはω号室はございません 部屋番号は全て自然数でございます 同様に無限上昇列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈・・・ の空集合{}以外のどの項も有限重の{}のシングルトンです 無限重シングルトンはどこにも現れません >>24 >Ωが次の性質を持つ限りZFCと両立することはできません。 >・Fを >x∈F⇔∃x1∋x2∋‥‥∋xn, x1=Ω, xn=x >によって定められる集合とするときFの任意の要素はシングルトンか空集合。 >・Ωは有限Zermelo ordinal numberではない。 (前スレ>>961 より) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 (抜粋) <ノイマン構成> ・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。 suc (a):=a∪{a} このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。 <Zermelo構成>(前スレ>>725 より) 他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 0 := {} 1 := {0} = {{}} 2 := {1} = {{{}}} 3 := {2} = {{{{}}}} (引用終り) なので、<Zermelo構成>も<ノイマン構成>も ∈-数列 0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω ("→ω"の意味は、ωに向けてずっと続くってことね) (なお、ωは、超限順序数で、いわゆる”有限”ではない) で、「0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω」は、<Zermelo構成>も<ノイマン構成>も全く同じ だから、この<Zermelo構成>を否定することはできません (∵<Zermelo構成>を否定すると、<ノイマン構成>も同様に否定されるから) 但し、 <ノイマン構成>においては、ω=N(自然数の集合)なので n∈ω(=N)は、可 というか <ノイマン構成>なら、任意のm<nで、m∈n成立 (∵<ノイマン構成>では、後者関数の定義が、それ以前の全てを要素からなる集合だから(前スレ966)) 一方、<Zermelo構成>においては、もともと、任意のm<nで、m∈n不成立 (∵<Zermelo構成>では、後者関数の定義が、異なるため) だから、もともと、”n not∈ω(=x1=Ωかな)”なのです(nは、任意の自然数) これは、後者関数の定義の問題なのです (なので、<Zermelo構成>もZFC内で成立します) つづく >>33 つづき あとは、<ノイマン構成>と異なり、<Zermelo構成>で「ω=N(自然数の集合)」以外のωの定義が可能かってことね <Zermelo構成>では、「0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω」の極限として、ωを定義すれば良い この論法は、<Zermelo構成>以外の後者関数でも使えるよ 以上 >>34 補足 これは、下記の極限順序数の定義 「順序数全体の成す類において順序位相(英語版)に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)」 と同じかな(^^ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 (抜粋) 特徴付け 極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる: ・順序数全体の成す類において順序位相(英語版)に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 (引用終り) >>33 訂正 (∵<ノイマン構成>では、後者関数の定義が、それ以前の全てを要素からなる集合だから(前スレ966)) ↓ (∵<ノイマン構成>では、後者関数の定義が、それ以前の全ての要素からなる集合だから(前スレ966)) かな コピペでウェブサイトから文の一部を切り取ってくると、繋がりがおかしくなっていた(^^; >>35 補足 >極限順序数 >極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる: >・順序数全体の成す類において順序位相(英語版)に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 順序位相(英語版)に関する極限点だから、極限順序数と呼ぶのかな?(^^ >>33 >∈-数列 >0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω >("→ω"の意味は、ωに向けてずっと続くってことね) >(なお、ωは、超限順序数で、いわゆる”有限”ではない) →ω は必要ありません つまりωが存在しないとしても 0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・ は無限列です ><Neumann構成>では、後者関数の定義が、それ以前の全ての要素からなる集合だから これは嘘ですね Neumann構成の後者関数はx∪{x} つまり、xに自分自身を要素として追加した集合です 結果として自分より小さい順序数全てを要素とする集合になってるだけ ><Zermelo構成>においては、もともと、任意のm<nで、m∈n不成立 これも嘘ですね まず、自然数nの場合、n-1<nですが、n-1∈n Zermelo構成の後者関数x+1={x}から明らかですね >だから、もともと、”n not∈ω(=Ω)”なのです(nは、任意の自然数) これはいえませんね ωは極限順序数ですから、そもそも前者であるω-1が存在しません もし、自然数の場合と同様に 「前者以外の要素を持たない」 と言い切ってしまうと、そもそも前者が存在しない場合 「いかなる要素も持たない」 ということになり空集合になってしまいます 順序数として必要な性質 「ωから任意の自然数nへの有限∈降下列が存在する」 を満たしているならば 「いかなる自然数nについても n<m<ωかつm∈ωとなる 自然数mが存在する」 必要があります したがって ・ωは少なくとも無限個の自然数を要素として持つ ・要素中の最大値は存在しない という2つの性質を満たす必要があります したがってn ∈ωとなるnは無限個あります 上記の性質を満たすnの配置を いくらでも疎らにすることはできますが 有限個にはできません >>34 ><Zermelo構成>では、 >「0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・」の極限として、 >ωを定義すれば良い (注、”→ω”は無駄なので削除) 肝心の極限の定義がないので無意味ですね 少なくともZermeloのΩはシングルトンにはなりません なぜなら、極限順序数の定義に反する”前者”の存在が導かれるから Ωの要素として 「単調増大する自然数の無限列の項」 をとればいいですが、有限列にはできません なぜなら列中の最大値が存在してしまい そこがΩの”前者”になってしまうから >>35 >>37 順序位相を持ち出しても 「(Zermeloの自然数nがシングルトンだから) ZermeloのΩがシングルトン」 というナイーブな主張は正当化できませんね シングルトン=前者の存在、となりますから 数学はナイーブな直感だけで分かるほど 甘っちょろいもんじゃありませんよ 直観でしか考えられない白痴に数学は無理、諦めろ どうしても諦めたくなければチラシの裏でやれ >>39 結果としてできたΩは ・Fを x∈F⇔∃x1∋x2∋‥‥∋xn, x1=Ω, xn=x によって定められる集合とするときFの任意の要素はシングルトンか空集合。 この性質を満たしますか? 以前満たすと言っていたはずですが。 >>42 私は◆e.a0E5TtKEではありません まずΩは無限集合だからシングルトンではありません 次にΩの要素はZermeloの自然数だから 0(={})以外はシングルトンです (Ωは必ずしも全ての自然数を要素とする必要はないので 0が要素でない場合、いかなる要素もシングルトンです) 上記のΩが正則性公理を満たすことは明らか まずΩは無限集合だからシングルトンではありません 次にΩの要素はZermeloの自然数だから 0(={})以外はシングルトンです (Ωは必ずしも全ての自然数を要素とする必要はないので 0が要素でない場合、いかなる要素もシングルトンです) 上記のΩが正則性公理を満たすことは明らか 結論 Neumann構成で 「いかなる順序数も自分より小さい順序数全てを要素として持つ」 は成立する 一方 Zermelo構成で 「いかなる順序数も自分の前者となる順序数のみを要素として持つ」 は成立し得ない (極限順序数では、前者が存在しない) >>40 何を訳の分からんことを 言っているのかね? ノイマン構成によるωだって 結局は、極限なんだよ いかなる前者の存在もありえず、よってωは後者関数による生成ではない その極限の存在を認めるのが、無限公理ですよ Zermelo構成に同じ 結局は、極限なんだよ Zermelo構成による後者関数の極限 lim n→∞ suc(n) が存在する それを、可算多重シングルトンωと名付ける(数学的には定義するだな) あのさ Zermelo構成対する批判は ノイマン構成についても当てはまるんだぜ よく覚えておけよw(^^ (>>35 より再録) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 (抜粋) 特徴付け 極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる: ・順序数全体の成す類において順序位相(英語版)に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 (引用終り) スレ主は論理記号も読めないんだから当然今まで出てきてる貴方の主張に対する反論も一切理解できてないんだよね? なのに何でそんなに自信満々に反論できるん? >>47 >結局は、極限なんだよ >Zermelo構成による後者関数の極限 >lim n→∞ suc(n) が存在する >それを、可算多重シングルトンωと名付ける(数学的には定義するだな) 何、トンデモなことを言っているのかね?(嘲) シングルトン、と言い切った瞬間 トンデモ ω={x} ⇔ x=ω-1 ない筈の前者が現れた これこそトンデモ >Zermelo構成対する批判はNeumann構成についても当てはまるんだぜ Zermelo構成でもNeumann構成でもωは存在する 馬鹿の貴様が 「Zermelo構成は常にシングルトン!」 と嘘八百をほざきつづけるから 「極限順序数でもシングルトンだったら 前者が存在することになり矛盾する」 とバッサリ首を刎ねてやったまで Zermelo構成でのωは無限集合 これでωから任意の自然数nへの∈下降列ができる 馬鹿の貴様はそういうこと全然考えてなかっただろ? そこが数学のスの字も知らんトーシロのヌケサクなんだよ 貴様みてぇな馬鹿に数学なんか分からねぇから諦めてクタバリやがれ >>48 >(◆e.a0E5TtKEは)何でそんなに自信満々に反論できるん? シャア・アズナブル「馬鹿だからさw」 >>50 シャア君は 黒髪に染めてまでの就活はどーだったの?面接落ちしたの?? 「お坊ちゃんだからさ!w」←? コネも生かせず面接落ちとか、 他人様のおバカを嗤ってる場合なの? そんな事だから、あのインド人の彼女に逃げられちゃったんじゃないの? よっこらしょ。 ∧_∧ ミ _ ドスッ ( )┌─┴┴─┐ / つ. 終 了 | :/o /´ .└─┬┬─┘ (_(_) ;;、`;。;`| | このスレは無事に終了しました ありがとうございました もう書き込まないでください >>49 >シングルトン、と言い切った瞬間 トンデモ >ω={x} ⇔ x=ω-1 >ない筈の前者が現れた これこそトンデモ おまえ、定義と名付けが逆転しているぞ (>>47 より引用開始) 結局は、極限なんだよ Zermelo構成による後者関数の極限 lim n→∞ suc(n) が存在する それを、可算多重シングルトンωと名付ける(数学的には定義するだな) (引用終り) それでは、数学は出来ないぞ もう一度書く Zermelo構成による後者関数の極限 lim n→∞ suc(n) を、可算多重シングルトンωと名付ける(数学的に定義する) ってこと これを否定したいなら、 Zermelo構成による後者関数の極限 lim n→∞ suc(n) が、正則性公理に反すること証明してみなよ おっさんw(^^; いや、極限と定義するなら位相を定義しないと。 そのためにはまずZermelo順序数のなす集合を定義しないといけなくなって定義が循環します。 >>55 >いや、極限と定義するなら位相を定義しないと。 >そのためにはまずZermelo順序数のなす集合を定義しないといけなくなって定義が循環します。 なんか極限分かってない? 極限をいうためには、有限部分の定義だけで済む Zermelo順序数の有限部分の定義は明白 (というか、Zermeloに限らず、様々な後者関数で定義可能) 有限部分の定義から、極限 lim n→∞ suc(n) が出るよ 確かに、n→∞の部分で下手すると循環論法だが しかし、公理的な構成という枠を外せば(つまり、”∞”の構成が別の手段で終わった後で) いろんな後者関数の極限が定義できる 数学として普通だよ >>57 違います。 まず感情的に反射的に反論する前に得意の検索で調べてからにしたら? Z(i)をi番目のZermelo ordinal numberとして Z(ω)=lim Z(i) と定義するなら ・Ω=lim Z(i)は考えている位相空間の中で ∀U:nbd of Ω ∃n0 ∀n≧n0 Z(n)∈U を満足するものです。 しかもこれが定義になるにはそのようなΩの一意性も保証されなければなりません。 では位相空間はなにに設定するのですか? 近傍族はなんですか? そもそも数学の定義ってわかってますか? 「×××とは×××の事である」 という文章が定義として成立するには二個目の×××の中の概念は全て定義済みのものでなければなりません。 あなたがΩの定義になんらかの極限概念を用いるなら、まずその位相空間を定義しなければなりません。 >>54 >おまえ、定義と名付けが逆転しているぞ 相変わらず訳のわからんことほざいてるなこいつ >Zermelo構成による後者関数の極限 >lim n→∞ suc(n) が存在する >それを、可算多重シングルトンωと名付ける シングルトンでない無限集合を シングルトンと名付ける●違い まあ、どうせ減らず口叩く馬鹿は 「関数でないのにδ関数」 「群でないのに量子群」 「体でないのに一元体」 とかいいだすんだろうが、 この件については、わざわざ 「シングルトン」 と嘘偽りを騙る理由がない >それでは、数学は出来ないぞ 定義も証明も読まない馬鹿は 数学出来たためしがない シングルトン、つまり要素が唯一、と言い切った瞬間 ω={x} ⇔ x=ω-1 ない筈の前者が現れた これこそトンデモ >>57 >極限をいうためには、有限部分の定義だけで済む >Zermelo順序数の有限部分の定義は明白 >有限部分の定義から、極限 lim n→∞ suc(n) が出るよ 嘘はいけないな ●違い君 有限部分は自然数だから全部後続順序数 suc(x)={x}は後続順序数についてしか述べてない しかし、ωは極限順序数 ω={x}となるxが存在するなら、 ωはxの後続順序数になってしまい矛盾 だからチラシの裏でやれと言ってるのに 人の忠告を素直に聞かないから恥をかくことになる >>61 チラ裏じゃツッコミが入らないじゃないか! 間違いを指摘される為にも晒すんだろ ツッコミ万年募集中なんだよ ツッコまれなかったら、 (逃げ切ってるな? 当たってる可能性残ってるかな?) って。 後、「より正確な知識が有る方、見解万年募集中です♪」なんだよ >>58 >では位相空間はなにに設定するのですか? >近傍族はなんですか? ほいよ(^^ (>>35 より再録) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 (抜粋) 特徴付け 極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる: ・順序数全体の成す類において順序位相(英語版)に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 (引用終り) "順序位相(英語版)" より、下記 まあ、確かに、 (a,∞)とか”∞”が定義されていないと、 循環論法になるけど、 ”∞”が先に別の仕方で定義されていれば、これで良いだろ https://en.wikipedia.org/wiki/Order_topology Order topology (抜粋) In mathematics, an order topology is a certain topology that can be defined on any totally ordered set. It is a natural generalization of the topology of the real numbers to arbitrary totally ordered sets. If X is a totally ordered set, the order topology on X is generated by the subbase of "open rays" (a,∞)={x | a<x}} (-∞,b)={x | x<b}}( for all a, b in X. Provided X has at least two elements, this is equivalent to saying that the open intervals (a,b)={x | a<x<b}} together with the above rays form a base for the order topology. The open sets in X are the sets that are a union of (possibly infinitely many) such open intervals and rays. A topological space X is called orderable if there exists a total order on its elements such that the order topology induced by that order and the given topology on X coincide. The order topology makes X into a completely normal Hausdorff space. The standard topologies on R, Q, Z, and N are the order topologies. Contents 1 Induced order topology 2 An example of a subspace of a linearly ordered space whose topology is not an order topology 3 Left and right order topologies 4 Ordinal space 5 Topology and ordinals 5.1 Ordinals as topological spaces >>63 補足 1.確かに、”公理的”に、自然数Nから、続いて順序数ωを定義していくときに、ノイマンの後者関数が一番すっきりしている 2.だが、後者関数の選び方には、他の流儀もあるという 3.順序数ωは、本質的に極限順序数であり、極限で定義することは、おかしなことはなにもない(>>63 ) 4.いま問題になっていることは、このように、ノイマンの後者関数以外を使った場合に、極限でωを定義したときに、正則性公理に反するかどうかだ 5.それは「反しない」というのが私の主張ですよ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 (抜粋) <ノイマン構成> ・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。 suc (a):=a∪{a} このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。 <Zermelo構成>(前スレ>>725 より) 他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 まだわからんのかな? 今順序数を定義してるんだよね? 順序数の集合なぞ現段階で定義されてないんだよね? 順序数の集合すら定義されてないこの時点で、「順序数全体の集合の位相」なんて利用できるハズないでしょ? 頭使ってコピペしてる? ボットかなんか? >>63 >ほいよ ◆e.a0E5TtKE が「ほいよ」といったらウソ八百 自然数全体の集合で順序位相をとる で、∩(n∈N)(n,∞) をとったらどうなるか? 空集合ですよwwwwwww ∞が得られると思った◆e.a0E5TtKEは正真正銘の馬鹿w >”∞”が先に別の仕方で定義されていれば、 先に何も定義されてないのでダメwww >>64 >順序数ωを定義していくときに、ノイマンの後者関数が一番すっきりしている ωはノイマンの関数で定義されてると誤解する馬鹿www >順序数ωは、本質的に極限順序数であり、極限で定義することは、おかしなことはなにもない >ノイマンの後者関数以外を使った場合に、極限でωを定義したとき・・・ シングルトンになるというのがウソ、間違い 正則性公理とかいう以前の誤り そもそもシングルトンならω={x}となり x=ω-1となってしまうから ωが後続順序数になってしまい矛盾 正しい極限ωは自然数の元を含む無限集合なら何でもいい 無限集合なら最大値が存在しないから (逆にシングルトンでなくても 有限集合だったら最大値があるからダメ) >>65 (>>57 より再録) 確かに、n→∞の部分で下手すると循環論法だが しかし、公理的な構成という枠を外せば(つまり、”∞”の構成が別の手段で終わった後で) いろんな後者関数の極限が定義できる 数学として普通だよ >>65 >順序数の集合すら定義されてないこの時点で、 >「順序数全体の集合の位相」なんて利用できるハズないでしょ? 馬鹿はわけもわからず極限とわめいてるだけだからw 集合Nに順序位相入れたって、ωなんか出てこないしw Nはコンパクトじゃないので、 いかなる点列も収束するなんて 虫のいいことは期待できません 逆にNをコンパクト化するのに、 点を追加する必要があるが それは何だ?ってことです でも馬鹿は「一点コンパクト化!」 って言葉しか知らないから 具体的な実現は不可能でしょう だから数学なんか興味もたなきゃいいのに 知的好奇心ゼロの白痴が(嘲) Zermelo構成でのωが満たすべき性質 「ωから任意のnへの有限∈降下列が存在する」 その場合ωの要素は無限個 何故なら ∀n∈N∃m∈ω.n<m を満たさなくてはならないから >>67 何言ってんのかまったくわかりません。 公理主義無視すると? あなたの解釈ではZermeloは公理主義を無視してZermelo順序数を提唱した事になってるんですか? ンなわけないでしょ? まぁあなたが自分の趣味でそういう数学を創設したいなら勝手にすればいいとは思いますが、それはもはやZermeloが提出したアイデアでも何でもありません。 公理主義数学でも現代公理主義集合論でも何でもないものを論じたいならお好きにどうぞ。 _,,,,,,,,,,,,_ , :'"´ _... --、 `゙丶、 / _.. - '' ..: .:.::ヽ /:, ' ` 、 .:.:::::', i:' __ .. ` 、.. .:.:::', ! ,,:='''´ : . : .:.:::::,!_ !,,:=、 _,,,,,_, : ` 、r',r ヽ ! _.. ; ´ ̄ : . ! iヽ :| l'´- / -、 : ! ー 'ノ ! r_ r=ノ . : :r-ィ' ヽ `__............ : ! l ', , '___,,.--‐'´ . :,' | ヽ 、 ̄,,.. 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'" : : : : l、! \ `ニi"´::::.... ! \―--- .... ,. -‐'''''"´/ l、:::: :. ... _,,ノ `i / / |、`゙''ー---―''":::/ . l バカは公理主義がどうたらって言われてもチンプカンプンだろうな なんせ∈の定義すらわかってないレベルだもんな 71-73はスレの先住民なのかな? まさか、糞二次爺、、、? いつも喪女スレをキティ嵐するしか能が無いから。。。 ばーか!二次男!ばーか!w ↑って罵りが懐かしいですか? メモ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A7%8B%E6%88%90%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%9B%86%E5%90%88 ゲーデルの構成可能集合 クルト・ゲーデルによって導入された、集合論の公理を満たすモデル上で空集合から帰納的に構成していける集合のことである。より正確な定義は後に述べる。 性質 ・L は全ての順序数を含む最小の ZFC のモデルである。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 順序数に関するフォンノイマンの定義(英語版)を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。順序数からなる空でない集合の合併は最大元を持たないから、常に極限順序数である。フォンノイマン基数割り当て(英語版)を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number#Von_Neumann_definition_of_ordinals Von Neumann definition of ordinals https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99 フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。 数学の集合論とその周辺分野において、フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。 整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。 [1] 特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。Vの集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。 メモ追加 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_ (%E6%95%B0%E5%AD%A6) 宇宙 (抜粋) 構造 (もしくはモデル) の宇宙(うちゅう、英: Universe)とは議論領域のことである。 宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。 通常の数学 与えられた X (カントールの場合には、 X = R) の部分集合を考えれば、宇宙は X の部分集合の集合の存在を要請する。 (例えば、X の位相は X の部分集合の集合である。) 主要な関心が X であっても、 X よりもかなり大きな宇宙が必要とされることになる。 上記のアイデアに続いて、X の宇宙としての 上部構造 が要請される。 物事を単純に保つために、自然数の集合 N は所与として SN を形成し、N 上の上部構造をとってもよい。これはしばしば通常の数学の宇宙であると考えられる。通常研究される数学のすべてはこの宇宙の要素を参照していると考えるということである。 集合論 SNは通常の数学の宇宙であるという主張に正確な意味を与えることは可能である。すなわち、それはツェルメロ集合論のモデルである。 公理的集合論は元来1908年にエルンスト・ツェルメロによって開発された。ツェルメロ集合論は"通常の"数学を公理化することができるため、カントールによって三十年早く始められたプログラムを達成して、確実に成功した。 しかし、ツェルメロ集合論は公理的集合論および数学基礎論、特にモデル理論における他の研究のさらなる発展にとって不十分であった。劇的な例として、上述の上部構造プロセスの記述はツェルメロ集合論においてそれ自身実行できないことが挙げられる。 最終ステップとして、無限和 (infinitary union) としてのSを形成するための置換公理が必要である。 置換公理は、ツェルメロ=フレンケル集合論を形成するように1922年にツェルメロ集合論に付加された。 この公理集合は今日最も広く受け入れられている。 そのため、通常の数学がSNにおいてなされるのに対し、SNの議論は"通常の"数学を越えてメタ数学の領域となる。 つづく >>82 つづき 圏論 圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。 例えば、グロタンディーク宇宙 U における2つの集合の和集合も U の内部にある。同様に、共通部分、順序対、冪集合などもまた U の内部にある。 これは上記の上部構造に類似している。グロタンディーク宇宙の利点は、それが実際の集合であって固有類ではないことである。グロタンディーク宇宙の難点は、厳密さを欲するなら、グロタンディーク宇宙を捨てなければならないことである。 最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。 すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが固有類を用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。 すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。例えば、すべての U-small 圏の圏は宇宙 U の内部において、すべての対象の集合と射の集合の圏の圏になる。 すると通常の集合論の独立変数が、すべての圏の圏に適用される。さらに誤って固有類に対して言及する心配もなくなる。なぜならグロタンディーク宇宙は非常に広大であり、これはありとあらゆる数学的構造を充足させるからだ。 グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。 " この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。 以上 >>70 >公理主義無視すると? >あなたの解釈ではZermeloは公理主義を無視してZermelo順序数を提唱した事になってるんですか? 公理主義と、 公理による自然数〜超限順序〜実数などの公理的構成と これは、話が別 ごちゃごちゃになってますよ カントールの集合論は 自然数〜実数ありきで始まった そして、間違っていなかった 適切な後者関数ならば、その極限は存在する ノイマン以外の後者関数でもね ノイマンの後者関数と同じですよ >>85 もしあなたがZermelo順序数が現代数学の枠内で議論されているというのであればそのルールに従って議論してください。 定義する文章にはすでに定義済みの言葉のみしか使えません。 極限という言葉を用いるなら、どのような集合にどのような位相を入れて論じるのか定めないで行う事はできません。 >>87 >もしあなたがZermelo順序数が現代数学の枠内で議論されているというのであればそのルールに従って議論してください。 >定義する文章にはすでに定義済みの言葉のみしか使えません。 いま21世紀 20世紀はじめ 1901〜1920年代の議論をこのスレで繰り返す必要はないでしょ そういう過去の数学の成果は全部使っていいんだよと ここは、大学のゼミでもなんでもない おっさんずゼミは、私は参加しませんので 悪しからず(^^; >>88 違います。 あなたのような位相空間を定義しないで極限を使うなどと言う事は数学では許されません。 20世期だろうが、21世期だろうが関係ありません。 数学である以上未定義の言葉で定義を与えても意味ありません。 繰り返す必要はないとわけのわからない事を言ってますが、Zermelo順序数を定義もされていない位相空間の謎の極限で定義してる文章なんてこの世に存在しません。 もうすでにあなたが論じているのはZermelo順序数でも何でもない謎の何かについて語っているので「改めてここで再定義する必要はない。」などと言う類の論は一切立ちません。 あなたが独自に唱えている論なのだからどんなに何を検索しても答えはありません。 あなた自身が答えを与えるしかありません。 あなたの順序数の構成に使っている位相空間を定義してください。 >>81 闇雲に検索してるね >ゲーデルの構成可能集合 これは関係ない >極限順序数 これもフォン・ノイマン構成に関する記述なので ツェルメロ構成とは関係ない >>82 >宇宙 まったく関係ない >集合論 …{{}}…は集合ですらない したがって 「シングルトン」(唯一の元を持つ集合) とはいえない {{},{{}},{{{}}},…} なら、ツェルメロ構成のωを表す集合 として正当化できる (ただその場合、ツェルメロ構成による順序数を 「より小さい順序数への有限∈降下列を有するもの」 として定義しなおしたほうがいい) >>83 >圏論 …{{}}…を圏論で正当化できると思うのは妄想だろう そもそも…{{}}…とかいうナイーブなアイデアを捨てればいい ナイーブでありつづけることは馬鹿の極み >>85 >公理による自然数〜超限順序〜実数などの公理的構成 >カントールの集合論は自然数〜実数ありきで始まった >適切な後者関数ならば、その極限は存在する も・し・か・し・て 「可算順序数は全部実数!」 とか馬鹿丸出しなこと言わんだろうね? そもそも任意の実数列が収束するわけではない 実数全体はコンパクトではないから まさに0.1,2,3,・・・という列は収束しない! も・し・か・し・て 「確かに実数や複素数としては収束しない しかし!拡大実数がある!リーマン球面がある!」 とかこれまた馬鹿丸出しなこと言わんだろうね? 実数や複素数の一点コンパクト化では誤魔化せないぞ! ωはツェルメロ構成でも存在する しかし、それはシングルトンではない なぜなら、ωには前者が存在せず、 ωより小さいいかなる順序数n(=自然数)も n<m<ωとなる順序数m(=自然数)を持つから これが数学における真理だ >>88 >20世紀はじめ1901〜1920年代の議論を >このスレで繰り返す必要はないでしょ また口から出まかせで適当な年号言ってるな 馬鹿は自分の間違いに気づけず いつまでもだらしなく言い訳する 大変みっともない >>90 >Zermelo順序数でも何でもない謎の何か 馬鹿がZermeloのωだ!といってる …{{}}…は最も外側の{}が存在しないから 集合ではないな ついでにいうと、外側の{}をつけると ωの前者が存在してしまい、極限順序数でなくなるから誤り >>89 >あなたのような位相空間を定義しないで極限を使うなどと言う事は数学では許されません。 言っている意味が分からない 1.あなた、大学教員の免許でも持っているのか、大学教員かね? 数学研究者? なんでもない、ただの名無しさんでしょ? 2.あなたが、位相空間という概念を発明したの? 論文書いたの? 貴方の言っている”位相空間”なる概念は、どこかのテキストからのパクリでしょ? 3.だったら、私と同じ立場じゃない? >>63 に引用した”Order topology”読みなさいよ どこの馬の骨とも分からない、 おそらくは、大学教員でもなく、プロの数学研究者でもない、ただの名無しさん バカの5CHの数学板で、大学のゼミごっこかい? ここは、大学のゼミでもなんでもない おっさんずの ゼミ 「ごっこ」には、私は参加しませんので 悪しからず(^^; >>96 わからないでしょうね。 定義すると言う意味わかってないからです。 こんなの大学の教員云々なんて話ですらない。 大学の数学科の一回生レベルの話。 その話にすらあなたついていけていないレベルなんですよ。 >>97 ここは、大学じゃない 定義が分かっていないのは、あなたですよ >>83 補足 グロタンディーク宇宙 U が出来上がってしまえば その中で、極限は定義できる それだけのこと もちろん、それは、Zermelo構成の論文が1900年初期の論文で意図した、無限集合の構成とは流れが逆だ しかしいま、問題にしていることは、ある何かの後者関数の極限 lim n→∞ suc(n) が存在すれば、それは正則性公理に反するのかどうかということ Zermeloの意図の無限集合の構成に拘らずに、純粋に”極限 lim n→∞ suc(n) が存在すれば、それは正則性公理に反するのかどうか”だけが問題なのです Zermeloの意図の無限集合の構成に拘れば まだ、極限は定義されていないとなるが それは いま問題にしていることとは無関係 >>98 大学であろうとなかろうと数学にかわりはありません。 定義文の右辺に未定義の概念が入って良い数学など存在しません。 正直こんなの大学の数学のレベルの話じゃありません。 数学なんて全然縁のない文系の人でもそりゃそうだと思える話です。 あなたはそのレベルですら理解できてないんですよ。 >>96 >言っている意味が分からない アタマ悪いもんな >”Order topology”読みなさいよ limの構成法を全く知らん奴がいくら読んでも 妄想するだけ 精神の病が悪化するだけ >大学のゼミごっこかい? >ゼミ 「ごっこ」には、私は参加しません ゼミ以前に、大学1年の実数の定義でつまづいた君には数学は無理 ∈の定義も知らんとか知的好奇心ゼロ 君ただ見栄はりたいだけだろ >>99 >グロタンディーク宇宙 U が出来上がってしまえば・・・ そのUの中に、君が妄想する…{{}}…はないよ 1.x ∈ U, y ∈ x ⇒ y ∈ U( U は推移的集合) 2.x, y ∈ U ⇒ {x, y} ∈ U 3.x ∈ U ⇒ x のベキ集合 P(x) ∈ U 4.{x_α}α∈Iが U の元の集合で I ∈ U ⇒∪(α∈I) x_α∈U 1~4のどれをどれだけつかってもできない 4をよく見てみ 和集合∪(α∈I) x_αが出てくるだろ これが答えだよ 極限はf(x)={x}の操作を無限回反復することじゃない 無限公理で生まれた無限集合を使って和をとるんだ その無限公理だって、別にX∪{X} の無限回反復じゃない {}∈ω&x∈ω⇒x∪{x}∈ω とすることで、 有限回反復でできた集合を全部含む集合ω の存在を主張してるだけ 定義読めよ なんで文章読まないで勝手な妄想するの? 自惚れてんの? >>99 >ある何かの後者関数の極限 lim n→∞ suc(n) が存在すれば、 >それは正則性公理に反するのかどうか 正しい極限をとれば、正則性公理には反しない そしてsuc(x)={x}としたとき lim n→∞ suc(n)は…{{}}…ではなく{{},{{}},{{{}}},…} グロタンディーク宇宙Uの定義4を見たろ? ωを無限公理による集合(suc(x)=x∪{x}) x_αをα+1重{}(1重{}は{})として ∪(α∈ω) x_αがZermelo構成のΩだから >>100 ◆e.a0E5TtKEはとにかく定義も確認せず勝手に妄想したがる 正真正銘の●違い野郎だからな アタマ悪いというかオカシイ >>63 >https://en.wikipedia.org/wiki/Order_topology >Order topology ”Order topology”が読めないとな?w(^^; まあ、下記でも嫁めw https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88 順序構造と位相構造 全順序集合の位相 順序位相 全順序集合A に対し、無限半開区間 (-∞ ,b)={x∈ A | x<b} (a,∞ )={x∈ A | a<x} 全体の集合を準開基とする位相を順序位相(order topology)という[注 1]。 例えば、通常の大小関係 <= によって実数全体の集合 Rを全順序集合と見ると、その順序位相は通常の距離により定められる位相と同等になる。 >>105 順序数を定義する。 順序を定める。 位相を定める。 極限が定まる。 ですね。 では極限を使わずに順序数を定義してください。 あなたの主張はループしてます。 >>105 >”Order topology”が読めないとな? 読めてないのは◆e.a0E5TtKE 貴様だよき・さ・ま 論理的思考ができない奴は何読んでも無駄 https://www.youtube.com/watch?v=ZML6ARut2SY >>105 追加 自然数に関していろいろな後者関数が、存在するという aの後者関数:=suc(a) 漸化式風に書けば a_n+1:=suc(a_n) ですわ で、自然数や実数が既に得られて、順序位相も決まった ノイマンの方法でいいでしょ ところで、自然数に使う後者関数の取り方はいろいろあるという(下記) とすれば、後者関数の極限 lim n→∞ suc(a_n) が存在することになんの不思議もない 極限 lim n→∞ suc(a_n) が、正則性公理に反するだぁ〜?w それ、おサルのタワゴトでしょw(^^; (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。 これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 ペアノの公理 存在と一意性 一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。(レーヴェンハイム=スコーレムの定理) 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。 >>108 >自然数や実数が既に得られて、 なんで実数が出てくるんだ?馬鹿か? >順序位相も決まった 有限順序数だけの空間で順序位相いれようがなにしようが ωなんか出てくるわけないのに何考えてんだ?この馬鹿w >極限 lim n→∞ suc(a_n) が、正則性公理に反するだぁ〜? 貴様のウソ極限が 1.そもそも集合でない (最外側のカッコがない・・・{{}}・・・) 2.極限順序数の定義に反する (最外側のカッコだけとってつけてシングルトンだと言い張った場合) のいずれかになる 正則性公理に反するとかいう以前の話 (ちなみに正則性公理に反するのは2.でさらに 延々と外側のカッコを外せる場合だが そもそも一個でも外側にカッコがついてて 中身が要素一個の時点で極限順序数でないから その先の話なんかいくらしても無駄) suc(x)={x}としたとき lim n→∞ suc(n)は…{{}}…ではなく {{},{{}},{{{}}},…} グロタンディーク宇宙Uの定義4の通り ωを無限公理による集合(suc(x)=x∪{x}) x_αをα+1重{}(1重{}は{})として ∪(α∈ω) x_αがZermelo構成のΩ >>105 順序数そのものが定まってないのにノイマンの方法もへったくれもありません。 >>110-111 >順序数そのものが定まってないのにノイマンの方法もへったくれもありません。 おまえら、全然読めてないね(^^ ”The standard topologies on R, Q, Z, and N are the order topologies.”な ”The standard topologies”な ”The standard”な! ww(^^ (>>63 より) https://en.wikipedia.org/wiki/Order_topology Order topology (抜粋) The open sets in X are the sets that are a union of (possibly infinitely many) such open intervals and rays. A topological space X is called orderable if there exists a total order on its elements such that the order topology induced by that order and the given topology on X coincide. The order topology makes X into a completely normal Hausdorff space. The standard topologies on R, Q, Z, and N are the order topologies. あと (>>63 より) "順序位相(英語版)" より、下記 まあ、確かに、 (a,∞)とか”∞”が定義されていないと、 循環論法になるけど、 ”∞”が先に別の仕方で定義されていれば、これで良いだろ >>113 だれかな? おサルは、複数IDを使った前科があるからな〜w(^^ 逆だろ バカを袋叩きだろww おサル 問題をわざと、論点そらししているな いま問題にしていることは 後者関数suc(a)で n→∞の極限 すなわち 極限 lim n→∞ suc(a) が正則性公理に反する というのがおサルの主張 そんなことはないというのが、 オレだよおれw(^^; >>112 読めてないって論理記号も読めてない、数学の勉強もする気ないって言ってるくせになに言ってるんですか? 数学の教科書あるなんて一冊も読んだことないんでしょ? なんでそんな根拠のない自信満々なの? _,,,,,,,,,,,,_ , :'"´ _... --、 `゙丶、 / _.. - '' ..: .:.::ヽ /:, ' ` 、 .:.:::::', i:' __ .. ` 、.. .:.:::', ! ,,:='''´ : . : .:.:::::,!_ !,,:=、 _,,,,,_, : ` 、r',r ヽ ! _.. ; ´ ̄ : . ! iヽ :| l'´- / -、 : ! ー 'ノ ! r_ r=ノ . : :r-ィ' ヽ `__............ : ! l ', , '___,,.--‐'´ . :,' | ヽ 、 ̄,,.. ''´ : .:/ !、 ',  ̄ . : , :'": : ト、\ ヽ.. .. : : :_,,. '" : : : : l、! \ `ニi"´::::.... ! \―--- .... ,. -‐'''''"´/ l、:::: :. ... _,,ノ `i / / |、`゙''ー---―''":::/ . ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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