面白い問題おしえて～な 30問目
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
>>812
いや、時間を求める関数はわかっているよ。
複素平面で絶対値を計算して速度で割っただけ。
関数化するとこんな感じ。
f=function(x) x/vs + abs(x-z)/vw
あとは、ニュートン法でRに最小値の数値解をださせるだけ。 >>800
でもこの問題問題文の文章からして正解は>>784の4.6033388‥だと思う。
やはり数学的に厳密に解釈しようとすれば>>754のようにならざるを得ないし、だとすると正解は>>784になるしかないと思う。
多分そのサイトの解答はa/b>π+1のとき捕獲可能であるの証明に誤りがある(Bの最適な逃走戦略を見つけきれてない)のだと思う。
そのサイト答えがπ+1としか書いてないからわかんないけど。 他人の解答を見る気はないって言ってるからほっとくしかないんだろうが、
監視員から(8m,8m)にかかる時間を計算すればいい。>>788よりかかるぞ >>817
最後は監視員がプールの水を抜いて最速は１０秒という答を出すのだと思うんだんが。 >>818
１０秒じゃなくて５√２秒（＝7.071秒）だった。 前>>811
>>760問題。
>>771を再度検証する。
プールの端を直角に折れて斜め45°に飛びこむ場合。
プールの対角線上のじゅうぶん遠いところに、救出に最長時間が必要な地点があると考える。
x秒かかるとすると最初に監視員がいるコーナーからx(m)離れている。
縁を端まで行くと10/2=5(秒)かかる。
コーナーで折れて最長時間が必要な救出地点を斜め45°に見る縁まで、
{x/√2-(10-x/√2)}/2
=x/√2-5(秒)
水に入って(10-x√2/2)√2(秒)泳ぐ。
救出時間で等式を作ると、
5+x/√2-5+(10-x√2/2)√2=x
x/√2+10√2-x=x
10√2=(2-1/√2)x
分母を払って、
20=(2√2-1)x
x=20(2√2+1)/7
=10.93835060……(秒)
＜10.53849……(秒)
60°のときに及ばない。
やっぱり一様分布か。 >>777
#A^#B=#A^B=#{f:B→A}
0^0=#Φ^Φ=#{f:Φ→Φ}=1 >>775
>偏角が0なら実数という法則を成立させるには0の偏角=0と定義でいいと思うけど。
０の偏角に０が有ればいいでしょ >>807
答えが異なっていたのでアップしたが、致命的なミスを発見
×：極値を取るのはx=a±b/√3だから、プラスを取って代入し、a/2+((5/6)√3)b
○：極値を取るのはx=a±b/√3だから、マイナスを取って代入し、(1/2)a+((√3)/2)b
これにより、以下も訂正
×：min{√(a^2+b^2),a/2+((5/6)√3)b,(√3/2)(10-a)+5+b/2} 0<a<10,0<b<10
○：min{√(a^2+b^2),(1/2)a+((√3)/2)b,(√3/2)(10-a)+5+b/2} 0<a<10,0<b<10
×：最も時間がかかる場所は、方法(a)と方法(c)で必要な時間が同じで、かつ、x=y上
×：つまり、sqrt(a^2+b^2)=(√3/2)(10-a)+5+b/2,a=b を解いて
○：最も時間がかかる場所は、方法(b)と方法(c)で必要な時間が同じで、かつ、x=y上
○：つまり、(1/2)a+((√3)/2)b=(√3/2)(10-a)+5+b/2, a=b を解いて
○：a=b=5+5/√3=7.88675...、時刻は5+10/√3=10.77350269... 前>>821
縁から60°方向に飛びこむとき、救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)/√3}/2+(10-x/√2)(2/√3)=x
分母を払って、
10√6+x√3-10√2+x+40√2-4x=2x√6
10√6+30√2=x(2√6+3-√3)
x=(10√6+30√2)/(2√6+3-√3)
=10.8516423……(秒)
45°は超えたけどなぁ。これ以上は、もしや手前から飛びこむか。プールサイド2倍速で走ってこけてもなんにもならんからね。 前>>826
>>751
いい勘してる。さすが俺。
4.6倍かぁ。すごいね。
その速さを引きだしたBもたいしたもんだ。 >>784
π = tanθ -θ
= cot(π/2 -θ) -θ
≒ 1/(π/2 -θ) -(π/2 -θ)/3 - θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3)(π/2 -θ),
より2次方程式
(2/3)(π/2 -θ)^2 -(3/2)π(π/2 -θ) +1 = 0,
これを解いて
(π/2 - θ) = 0.218991
θ = 1.351805
マクローリン展開
cot(x) = 1/x -(1/3)x -(1/45)x^3 -(2/945)x^5 - ････ 1/cos(1.351805)=4.60309‥‥
その近似だと求められてる6桁一致までいかないね。 前>>827縁と水中の速度比が2:1だからカットする縁と水中の距離の比が1:2になる最適な地点から最適な角度で飛びこむとかなりのタイムを期待できる。救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)/2}/2+(10-x/√2)(√5/2)={x/√2-(x/√2)/2}/2+(x/√2)(√5/2)
分母を払って、
20√2+2x-10√2+x+20√10-2x√5=2x-x+2x√5
30√2=-2x+4x√5
15√2=(2√5-1)x
x=15√2(1+2√5)/19
x=(15√2+30√10)/19
=6.10955438……(秒)
＜10.8516423……(秒)
速すぎる。わからん。 対角線上が到達に一番時間がかかることが分かったけど
監視員の近くにいればプールサイドを通らず直接ジャンプして水中を進めばいいんじゃないかと思う。
https://i.imgur.com/HKGGF8V.jpg
図でいうと青のOXZ1でなくて緑のOZ3を選択。
どれくらい近くだと直接ジャンプすべきかをプログラムで探索させたけど直接ジャンプの方が時間がかかるようだ。
プールサイドの歩行速度が遅ければ直接ジャンプの方が速いはずと考えて探索させると
水泳速度を１として歩行速度が√２以下なら監視員の近くは直接ジャンプが速いようだ。
√２が正しいのか、どれくらい近ければ直接ジャンプすべきなのかは、また後で考える。 >>826
プールの水を凍らせてスピードスケートにすれば最速だよね。 >>760の問題はどっかのAO入試の問題らしいけどどこのなんだろ？
程よい解き心地の良問だね。
このスレの住人には結構受かりそうにないのがいるなww 自分は立式や最適な飛び込み角度を考えるのに、ホイヘンスの原理やスネルの法則を考えたな わかったかも。前>>830最適な角度で飛びこんで10.85を切る。救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)(1/t)}/2+(10-x/√2)√(1+t^2)/t)=x
分母を払って、
10t√2+2tx-20√2+x+10√130-2x√(1+t^2)=2tx√2
x=
あとは5秒以内にこっち側の縁から飛びこんで連立。
目標。
x=10.7……(秒)
＜10.8516423……(秒) そうだな。
スネルの法則知ってれば最速到達の経路は一瞬で出る。
でもAO入試でスネルの法則よりって書いて許してもらえるか微妙だから法則で求めた領域が正しい事の検証の論述は必要だろうけど、それでもまともに円の通過領域求めたり所要時間最小の角度を微積で求めたりするよりははるかに楽になるね。 >>833
検索したら東京工業大学。
うかりそうもない計算マニア？は東京大学卒の芸人と聞いております。 プールの中の対角線上の点だけを考える
https://i.imgur.com/PzEhEtn.jpg
緑のOZがroute 1 青のOXZをroute 5 赤のOPYZをroute 7 として（番号は区別さえできればなんでもいい）
対角線上のｘ座標(=y座標同じ)とプールサイドの走行速度（陸上速度）をグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/PzEhEtn.jpg
対角線上の位置に関わらず走行速度がある値（多分√２）以下では直接プールに飛び込むのが最速。
それ以上になると
プールサイドの１辺の途中からプールにジャンプ(OXZの青ルート）
か
プールサイドの２辺めの途中からプールにジャンプ（OPYZの赤ルート）
になるようだ。
青ルートと赤ルートの境界をグラフにしたのが
https://i.imgur.com/sr5I5ea.jpg
以上、本日の観察日記でした。 >>841
> 青ルートと赤ルートの境界をグラフにしたのが
2つのルートの境界線は>>799の通り角から伸びる直線 Bが円周を描き続けるのは反則負けだとしても、こういうふうに渦巻曲線を描いて円周に近づいてAのスキを見計らって円周に直行すれば捕まらない気がする。
https://i.imgur.com/r5LTRy4.jpg >>842
>841の曲線グラフは横軸が対角線上の点の座標(x=yの点の値)
縦軸は陸送速度0.5から4m/秒で描いてみた。
>799はプールの座標で縦横10m >>843
それBは初期状態よりも不利になってるよね >>828 を改良
π = tanθ - θ = cot(π/2 -θ) - θ ≒ 1/(π/2 -θ) -θ
より
π/2 - θ ≒ 1/(π+θ) ≒ 2/(3π) = 0.2122
(1/45)(π/2 -θ)^2 ≒ 0.001
ここまで準備して
π = tanθ -θ
= cot(π/2 -θ) -θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/3)(π/2 -θ) -(1/45)(π/2 -θ)^3 -θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3)(π/2 -θ) -(1/45)(π/2 -θ)^3
≒ 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3 - 0.001)(π/2 -θ),
より2次方程式
(2/3 -0.001)(π/2 -θ)^2 -(3/2)π(π/2 -θ) +1 = 0,
これを解いて
(π/2 - θ) = 0.2189803
θ = 1.35181605
a = 1/cosθ = 4.603323 前>>835
こっち側の縁から飛びこんで直角に飛びこむよりもショートカットするときの水中と縁の辺の比を1:tとすると、
x={x(1-t)/√2}/2+x√(1+t^2)/√2
2√2=1-t+2√(1+t^2)
t+2√2-1=2√(1+t^2)
t^2+2(2√2-1)t+9-4√2=4t^2+4
3t^2-2(2√2-1)+4√2-5=0
t={2√2-1+√(9-4√2-12√2+15)}/3
={2√2-1+√(24-16√2)}/3={2√2-1+2√(6-4√2)}/3
={2√2-1+2√(6-2√8)}/3
={2√2-1+2(√4-√2)}/3
={2√2-1+2(2-√2)}/3
={2√2-1+4-2√2)}/3
={2√2+3-2√2)}/3
=1
あれ？ 45°かぁ。
45°より60°のほうが速かったはず。あいだのt=4/7ぐらいでぎりぎり10.7秒台が出るか思たけど。
60°──x=10√6+30√2)/(2√6+3-√3)
=10.8516423……
45°──x=20(2√2+1)/7
=10.93835……
今日はここまで。 前>>847
向こう縁から1:t:√(1+t^2)の直角三角形を描くようにショートカットするとき、救出時間は、
5+{x/√2-(10-x/√2)t}(1/2)+(10-x/√2)√(1+t^2)
これを=xとおいてよいかどうかがわからない。
=xとおいて解くと、
x=20√2･√(1+t^2)/{2√2-1-t+2√(1+t^2)}
x'の分子=0とすると、
4t-t√2+√2=0
|t|=(1+2√2)/7
=0.546918161……
x=10√(58+4√2)/(6-2√2+√(29+2√2))
=9.05288297……(秒)
まぁ迅速な値。 >>845
AもBも定速で常時動いているけど、いつでも向きを変えることができるから最高速度までは実質速度可変ってことを見逃していました。 半径a/bの円より外側の地点から外に出てしまうとBはAとの偏角差を0にされたらアウトです。
そこから以降はAはBと偏角のが0になるようにだけしていればBは脱出できません。
フェイントかけてAを出し抜くとかは無しです。
そんなの許してしまうとどんなに速度差があっても脱出可能になって数学の問題にならないので、それが無しは暗黙の了解でしょう。 そもそもAもBもその時点で選べる戦略が、ちょうどその時点（まで）の挙動に依存して良いという前提なら、
二人の戦略が競合する場合があるんだよなあ
多少ネタバレになるかもだけど、例えば速度a>1の点A(-1,0)と速度1の点B(1/a,0)がそれぞれ
A: 三点B,O,Aが常に一直線上に来るように動く。
B: 最初は速度ベクトル(1/√2,1/√2)で動く。もしAと重なれば、その瞬間速度ベクトルのy座標の符号を変える。
というものであれば、これを満たす両者の挙動は存在しないわけだから…
（そして実際某所に書かれてあった答えもこのような戦略に依存していた）
この問題を正確に解くには、こういう連続的時間の上での『戦略』を正しく定式化する必要がありそう。
まあでもこの辺は、例えば
『時間tにおける戦略は、ある正の数cに対して、時間t-c以前のゲームの状態のみから決定されるものでなければならない』
みたいにすれば解決しそうだし、速度の臨界値には影響ないことも示せそうだからそれほど問題ではないのかも知れないが 上記の逃げきれるかっていう設定の問題見て
コンウェイのAngel problemっていうゲームを思い出した
https://en.wikipedia.org/wiki/Angel_problem >>851
そう、ルール次第ではデッドロックは起こりうると思う。
しかし元問題にはその点の規定はないので両者は
「相手の行動を見越して反応する」
「相手の戦略を知ってる事を利用して行動する」
のは無しにしても
「相手の行動に所要時間0で反応する」
はありにしないと問題文に合わない。
反応のための所要時間についての規定はないんだから。
つまりAの側のt<Tにおける行動がBのt<Tにおける行動のみによって決まる以上はルール上OKとするものだと思うし、だとすれば>>850は許される捕獲戦略になる。
相手の行動に対して何か有限の時間cが必ず必要ならBは円周までの所要時間がc/2の点まで近づいたあと、Aが反応できない時間を利用して必ず脱出できてしまう事になって数学の問題にならない。 >>853
一律の下限を設けるのは確かに問題に合わないね
一方時間Tに対してt<Tの全ての情報を使って良いとしたら、
それはそれで点A(t)や点B(t)の連続性からA(T),B(T)についての情報も言えてしまうことになって、
結局>>851のような問題を孕んでしまうことになるから、例えば
『時間Tに対してT-c以前までの状況に依存できるAの戦略S_cを適切に定めれば、
c→0の時に、Bが円周率にたどり着いた時の二点A,Bの距離の上限D_cが0に収束する』
ことをもって『捕まえられる』こととする方法とか、もしくは
『そもそも状況Jにおける反応時間cはJに依存して良い』
とすれば、Aの速度が臨界値より大きければ距離の誤差なくしっかりBを捕まえられるはず >>854
いや、本問では>>853の設定ではある臨界値Kが存在して
a/b<KならBの側に必ず脱出戦略がある。
a/b>KならAの側に必ず脱出阻止戦略がある。
が成立します。
ちなみにBが動けなくなるのも脱出阻止成功してるのでAの勝ちです。 >>855
ああそうか、考えてみればそもそもデッドロックが起こり得ない戦略というのも可能なのか…ごちゃごちゃと申し訳ない 問題が、
Aの速さがBの速度の何倍以上ならBを捕まえられるか
ではなく
何倍以上ならBを逃がさないか、又は、何倍までならBは必ず逃げられるか
ならデッドロックを考えなくていいのでは？
> そもそもAもBもその時点で選べる戦略が、ちょうどその時点（まで）の挙動に依存して良いという前提なら、
> 二人の戦略が競合する場合があるんだよなあ
>>784の戦略が過去の状態に依存しない最適戦略だと思う
後は、脱出点が僅かでもずれれば捕まってしまうことを示せれば良さそう >>857
本問では考えなくてもいいかもしれません。
より一般化して
・Aが選びうる戦略関数SとBが選びうる戦略関数Tを持ち寄って何が起こるか実験する。
実験とは
f=S(g)、g=T(f)‥‥①
なるf,gを求める事、すなわち両者とも持ち寄った戦略に応じた行動をするf,gを見つけること、それは相手の行動を戦略に従っての行動であるもの。
その結果の評価関数E(f,g)を両者が自分にとって最大になるようなS,Tを見つけるというゲームの理論としての定式化を考えた場合には、一般に①が解無しになってしまい、問題の定式化に失敗する事もあります。
それをデッドロックと表現しました。
本問ではありません。
そういう事態が発生しない戦略関数が臨界値を界に必ず見つかります。
ちなみにピッタリ臨界値のときは多分A勝ちのハズです。 >>784 だと、ちょうど時刻TでAOBが一直線上に並んだとして、"反転"する判断を下すのはT以降のいつか、という問題があるんだよね
ちょうどT秒の時点では、三点が一直線上に並んでるというだけで、今後反転するかどうかの判断は下せない訳だから
だから、状況Jに依存する時刻c(J)秒前に既に逆転していたならば向きを変更する、という様な戦略にする必要があるってことを言いたかった
適切に関数c(J)>0を定めれば >>784 が必勝戦略であり続けられることの証明は、ちょっと骨が折れそうなのでパスだけど… >>859
反転と言うけれど、Aが直線BOの通過したかで判断すればいいのでは？ 仮に
BOAが直線の時は、BはOB方向へ移動する
としたら、Bの脱出に影響あるだろうか？ >>860
通過とは、通ること？通り過ぎること？（字面からしておそらく後者だとは思うけど…）
単純に通るだと、Aが常に三点AOBが一直線上に並ぶ戦略をとることで"反転"の判断を連続的に下し続けてしまうからデッドロックとなる。
もし通り過ぎることだとしても、Aの偏角をθ(t)、一直線上に並んだ時刻をTとおくと、例えば t>0 に対して
θ(t+T)=θ(T)+(a/√2)･tsin(logt)
みたいな動き方をした場合、Tに任意に近い時刻で無限に反転が起きている訳だから、
同じくBの動き方が問題になってしまう うーん、私が今持ってる答え再検討したんですが、どうも>>858の一番素直な意味にとってしまうとデッドロック発生しますね。
すいません。
あくまで私の持ってる解は>>754の意味においてです。
>>858の意味でのデッドロックが絶対発生しない戦略があるかどうかは私わかりません。 >>862
速度が臨界値ならBはAから逃げられないとして、
臨界値未満の時は計算してないけど、
BOAが直線の時BがOB方向へ移動して、
AがOB上から外れたら、その時点でOBと垂直、Aと逆方向の円周上の点に向けて動けばどうだろうか？
速度に応じたAのOB上からのズレの許容量が示せればいいんだけれど
ついでだけれど、AがOB上を保つとき、BがOB方向へ移動するのは問題ないはず 前>>848
>>640問題。
>>753この方針で早く解かなきゃ。
Aが222.59°-180°=42.59°のときBは直線軌道に変え、その瞬間Aは逆回りする。
Bがそのまま直線軌道なら>>753の方針で解けばいいんだけど、そのまま直線軌道よりAから遠ざかるように反対の円弧をとる。
円弧の中心は直線軌道に垂直な直線上にあり、
一つ目の分岐点と到達点が同じ距離になる半径。
Aがまたある地点で折り返す可能性があるかないか。もしもあるならBはまた逆の円弧をとればいい。
AもBも長くなり、A/Bはある値に収束するのか、それともA/B→+∞か。 とは言え>>858の意味でも（勿論>>754の七行目のような制約は課した上で）
デッドロックが起こらない戦略の存在は示せると思うので、特に何もなければ厳密性についてはこのくらいにします…
後で似たような状況を再現するために単純な類題を出すかもだけど、疲れてるのでしない可能性のが高いかもなので当てにしないでください >>864
Aが>>862の前者のパターンで動くなら、おそらくそれでOKだと思う。
しかしAが後者のパターンで動く時、Bのその戦略に則った挙動の存在とか一意性って、中々自明でないような… >>866
そうですね。
>>858の意味でのデッドロックも発生しない戦略ありそうですね。
とは言え私元サイトカンニングしてるので書くのは控えます。 >>846
第０近似
π/2 - θ ≒ 0, θ ≒ π/2 = 1.570796
第１近似
π/2 - θ ≒ 0.2122066 = 2/(3π), θ ≒ 1.358590
第２近似
π/2 - θ ≒ 0.21877444 θ ≒ 1.35202189
= 1/{(3/2)π - 4/(9π)}
第３近似
π/2 - θ ≒ 0.21897959 θ ≒ 1.35181674
>>784
π/2 - θ = 0.218979522 θ = 1.35181680432 前>>865
>>640問題。
Aは逆回りしてもBが予定変更して逆の円弧を逃げると思って逆回りしない。
Bは直進して222.59°の外周で捕まえられる。
>>753この方針で解かなきゃ。Bの逃走距離を円弧B+直線Bとすると、
円弧B=2πR[(180-2{60-30(25.18/60)}/360](4259/22259) =(π/cos47.41°)(85.18/360)(4259/22259)r
=0.210164978……･r
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)R
Rcos47.41°=r/2より、
R=r/2cos47.41°
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)r/2cos47.41°=0.840496067……･r
Aが222.59°でBを捕まえるときのAの追跡距離、円弧Aは、
円弧A=2πr(222.59/360)
=3.88492838……･r
速度比A/B=3.88492838……･r/(0.210164978……･r+0.840496067……･r)
=3.88492838……r/1.050661045……r
=3.88492838……/1.050661045……
=3.69759954……(倍)
Bは半径より5％ばかり長い距離を逃げる。
AはBを円周の222.59°の方向で捕まえるのに3.7倍近い速度が必要。 （自作問題：正解ないかも）
お菓子を持った人がやってきて
「あなたの言うことが正しければ飴玉かチョコをあげる、間違っていれば何もあげない」と言われた。
お菓子を持った人は決して嘘をつかない正直者か、必ず嘘をつく嘘つきのどちらかである。
（お菓子をもった人は自分が正直者か嘘つきかは分かっているが、あなたには分からない。）
この人からチョコをもらうには何と言えばよいか？ 「この文が真ならば私はあなたからチョコをもらう」みたいなのは無し？（参考：カリーのパラドックス） >>872
お菓子を持った人の命題がまさにそれだから、ありです。
自分で考えた正解も条件文になった。 コレは解あるの？
嘘つきというのを「自分が述べた事は必ず嘘であるし、嘘になる様に行動する人」という意味だとして、お菓子持ってきた人の述べた事の否定は「、」で区切られた二つの命題と考えた場合は
「あなたの言うことが正しくても飴玉もチョコもあげないかもしれない、間違っていても何かあげるかもしれない」
でコレを正しい命題になる様に行動すると仮定しても何言っても必ずチョコもらえる方法はない気がする。
「、」を「かつ」で結ばれた一文と考えたらもっと無理になる。 いや、でも流石に正しい事言ったのに何かくれたら嘘つきの行動にはならないのかな？
この人の行動の条件は
「あなたが正しい事を言ったら何もあげない、あなたが間違った事を言ったらなにか(今回ならチョコか飴玉)をくれる」
という条件を満たすように行動する。
ですか？ 昨日言ってた簡単な類題
～～～～～～～～
数直線上の二点P,Qが以下のような勝負をする。
両者とも時刻0の時点では原点に位置し、時刻が1に達するまで、両者は数直線上を自由に動く 。
ただし、点Pは速さ1以下、点Qは速さa以下でしか動くことができない。
（ a > 1 は固定する）
ここで点Xの時刻t_0における速さは
limsup_(t→T) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| )
により定める（点t_0におけるリプシッツ係数と呼ぶことにする）。
時刻1の時点で二点が一致した時、すなわち P(1)=Q(1) が成り立った時はQの勝利。
そうでない時はPの勝利とする。
このゲームにおいてQは、勝利するためにどのような戦略を立てるべきか。
～～～～～～～～
>>754の意味での必勝法を第一種必勝法、
>>858の意味での必勝法を第二種必勝法と仮に置いた時、点Qの戦略Tを
T(f)=f ( f:[0,1]→R は点Pがとり得る任意の挙動)
と定めればこれは第一種必勝法にはなるけど、第二種必勝法にはならない。
（∵点Pの戦略Sを
S(g)(t)= -t ( g(t)=t for∀t∈[0,1] の時)
S(g)(t)= t (それ以外)
と定めればデッドロックが起こってしまう） だとすると
「あなたは私に飴玉をくれる」
かな？
嘘つきの選択肢が
①何もあげない
②飴玉をあげる
③チョコをあげる
④飴玉とチョコをあげる
とする。
①を選択してしまうと「あなた」が間違ったことを言ったのに何もくれなかったので行動原理に反する。
②④を選択してしまうと「あなた」が正しい事ことを言ったのな何かくれたので行動原理に反する。
③のみが間違った事を言った(飴玉はあげなかった)のに何かあげるという行動原理に適合できる。 >>876 訂正
誤
limsup_(t→T) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| )
正
limsup_(t→t_0) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| ) >>877
「あなたは私に飴玉をくれる」
それだと、正直者からチョコがもらえないよ。何ももらえないかもしれない。 >>874
P：あなたの主張は正しい
Q：お菓子をあげる
正直者なら
P⇒Q ∧ ￢P⇒￢Q
嘘つきならその否定だｋら
￢（P⇒Q ∧ ￢P⇒￢Q）
￢（P⇒Q）∨ ￢（￢P⇒￢Q）where P⇒Q ≡ ￢（P∧￢Q）
￢￢（P∧￢Q）∨ ￢￢（￢P∧￢￢Q）
（P∧￢Q）∨ （￢P∧Q）
（主張は正しい∧お菓子をもらえない）または（主張は間違っている∧お菓子をもらえる） 前>>870
>>640問題。
>>742冒頭欠けてるって書いたけど欠けてなかった。
>>740でAとBの到達点を求め、
>>870でBの逃げる距離を短くするという流れでいいと思う？
3.69759954……倍であってる？ >>874
正直者と判明しているときは、あなたは私に飴をくれない が正解になる。 >>879
あ、しまった。
相手が正直者の可能性もあるのか。 実際には >>876 のゲームで点Qの第二種必勝法は存在して、点Qの戦略Tを次のように定めれば良い。
～～～～～～～～
f:[0,1]→R を点Pの挙動とする。
t_0=0, g(0)=0 と定める。
(i) nが偶数かつ t_n<1 の時、
g(t_n)+a(t-t_n)-f(t) ≦ (a-1)(1-t)
を満たす最大の実数 t∈[t_n,1] を t_(n+1) と定め、t∈[t_n, t_(n+1)] の時の g(t) の値を
g(t)=g(t_n)+a(t-t_n)
により定める。
(ii) nが奇数かつ t_n<1 の時、
g(t_n)-a(t-t_n)-f(t) ≧ -(a-1)(1-t)
を満たす最大の実数 t∈[t_n,1] を t_(n+1) と定め、t∈[t_n, t_(n+1)] の時の g(t) の値を
g(t)=g(t_n)-a(t-t_n)
により定める。
(iii) t_n=1 の時、そこで数列 {t_i} を打ち止める。
仮に {t_i} が無限列であっても 1-t_(n+1) ≦ (1-t_x)/a より lim_(n→∞) t_n=1 であるから、
全ての t∈[0,1) に対して g が定まる。連続性により g(1) も定まる。
このようにして定めた g を S(f) とする。
～～～～～～～～
このgは |g(t)-f(t)|≦(a-1)(1-t) を満たすことがわかるから、特に g(1)=f(1).
ゆえに、少なくとも第一種必勝法を与えることがわかる。 >>884 が第二種必勝法でもあることは以下のようにしてわかる。
（証明）
点Pの戦略Sを任意に定める。集合Wを
W={a∈[0,1] : 点Pの挙動gであって T(S(g))(t)=g(t) for∀t∈[0,a] を満たすものが存在する}
と定める。0∈W は明らか。
>>754 の七行目の原則から、Wが最大値を持つこともわかる。
Wの最大値wが1より小さいと仮定し、T(S(g))=g (t∈[0,w]) を満たすgを一つとる。
S(g) に対して>>884のように定められる実数列 {t_n} について、
(i) t_n=w を満たすnが存在しない時、wの定義からwの任意の近傍で
not ( T(S(g)) ≡ T(S(T(S(g)))) )
を満たす必要があるため、
S(T(S(g))) に対して884のように定められる実数列 {t'_n} は w=t'_n (for∃n) を満たさねばならない。
(ii) あるnについて t_n=w が成り立つ時、754 の七行目の原則から、
S(T(S(g))) について884のように定められる実数列 {t'_n} について t_i=t'_i (i≦n) を満たす必要があるから、
∀t∈[t_n, min(t_(n+1),t'_(n+1))] についてT(S(T(S(g))))(t) = T(S(g))(t).
これはwの定義と矛盾。
(i)と(ii)よりw=1でなければならないので、T(S(g))=g を満たすgが存在。ゆえにTは第二種必勝法。□ >>876 訂正
>>754 の七行目の制約から、デッドロックを起こすための点Pの戦略Sは
S(g)(t)= -t ( 0のある近傍で g(t)≡t の時)
S(g)(t)= t (それ以外)
とすべきでした つまるところ >>884 の戦略は
「常に速さaで走り、『ココを過ぎてしまうと点Pに逃げ切られてしまう』ような二つの点のどちらかに当たったらその瞬間方向を反転させる」
というもの。『』を満たす二つの点の感覚は 2(a-1)(1-t) だから、
（t=1以外で）反転が無限に行われるという状況が起こらないようになっていて、
これがデッドロックが起こらないための鍵になっている。
このような方法は >>640 の問題にも応用できて、例えば点Aの速さaが臨界値Kを上回る時、
『点Aがココを過ぎてしまうと点Bに逃げ切られてしまう』ような点（点Bの場所によっては存在しないことも有り得る）
にぶち当たった時だけ方向転換する、という戦略にすれば良い。
『』内の二点を具体的に計算できればおそらく証明もそう難しくはない。
一方点Aの速さが臨界値を下回れば、先程と違って点Aの位置に応じて
『点Bが"この線に触れてしまう"と（引き返さない限り）点Aに捕まってしまう』
という、言わば限界曲線が定まる。
この場合点Bの戦略を、単純に限界曲線に当たった瞬間方向転換しながら直進する、としただけでは上手くいかない。
（∵この限界曲線は点Aと繋がっているので、点Bは方向転換しながら直進した先で結局点Aにぶち当たることになる。）
つまり例えば
『点Bがこの線の（線上を含めた）内側にいれば、少なくとも点Aと偏角がδ>0以上離れている位置で円周に到達できる』
ような別の限界曲線を用意して、その内側を方向転換しながら直進する、等のように点Bの戦略を定めれば解決する。 π = tanθ - θ
a < 1/cosθ = 4.603323
の時のBの必勝戦略の存在性は示すべきことだけれど、
a ≧ 1/cosθの時のBの必勝戦略の非存在性は示されたっけ？ >>871
できたかも。^は否定として
H:正直者、L=^H:嘘つき、
A:飴玉もらえる、C:チョコもらえる。
としてあなたの発言として
Y=(H∧(C∨^A))∨(L∧A)
「あなたは正直者で(私にチョコくれるか飴玉くれない)、
またはあなたは嘘つきで私に飴玉くれる。」
とする。
公理は
H∧Y→C∨A、H∧^Y→^C∨^A、L∧Y→^C∧^A、L∧^Y→C∨A。
H∧Y→Cなのでこの時はチョコもらえる。
H∧^Y=H∧(L∨(^C∨A))∧(H∨^A)→A
によりコレは2番目の公理に反する。
L∧^Y→^Aと4番目の公理からこの時チョコもらえる。
L∧Y→L∧(L∨(^C∧A))∧(H∨^A)→A
は3番目の公理に反する。 Aの逃走阻止戦略はBの逃走戦略よりは簡単なハズだよね。
基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
ただしデッドロックが起きないように注意すると。 >>890
それは、Aの逃走阻止戦略が存在するならば、
> 基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
はAの逃走阻止戦略になると言っているだけで、
Aの逃走阻止戦略の存在性には触れてないよね >>891
厳密に書くと>>887みたいにしんどくなるだろうね。
でも逃走戦略よりは簡単だと思う。 >>889
>871です
用意した答は、
あなたが正直ならば飴玉をくれないし、あなたが嘘つきならば飴玉をくれる >>892
具体的な戦略の厳密な厳密な構築について言っているんじゃ無いんだけど
予想されている上限候補
1/cosθ ≒ 4.603323
π = tanθ - θ
が上限(上界)であることの証明は、具体的な戦略の明示より重要なんじゃない？ >>892
いや、具体的に構成できるんだから存在は明らかでしょ？
存在するとしたらこの形しかないという主張じゃなくてこうやれば構成できる=存在するなんだから。
具体的に構成出来ることは抽象的に存在するための十分条件でしょ？ >>895
具体的ってこれのこと？
> 基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
この戦略はa=4の時でも立てられるけど、当然逃走阻止戦略にはならないぞ
同様にa=5の時もこの戦略は立てられるけれど、これが逃走阻止戦略になるかどうかは証明すべきことであって、証明できなければ存在するかは不明 1/cosθ≒4.60332
について示されているのは、
任意のa<1/cosθに対して逃走阻止戦略が存在しないことと、
>>784のBの戦略に対しては任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止できることだけで、
任意のBの戦略、任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止戦略が存在することは示されていなく、
具体的に構築された戦略が、任意のBの戦略、任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止戦略になることを示されてもいないかと ついでだけれど
> 存在するとしたらこの形しかないという主張
こんなことも言っていないよ
存在が証明されているならば、この形は条件を満たすといっているわけで、「条件をみなす形はこの形しかない」と他の形の存在を否定なんてしていない
「構成する」には、その構成したという形が条件を満たしていることを証明する必要がある
証明しなければ、
> この戦略はa=4の時でも立てられるけど、当然逃走阻止戦略にはならないぞ
なんてことになるし、
a=4.7の時にBの逃走戦略が存在し、逃走阻止戦略にはならないかもしれない いや、書いてもいいんだけど逃走阻止戦略は具体的に書けるんだよ。
a/b>臨界値の場合。
ピッタリのときは知らないけど。
オレ元サイトカンニングしてるから書かない方がいいと思って控えてるんだよ。
元サイトの出題形式だとa/b=臨界値のときは無視していいルールになってる。
もしかしたらその場合は双方にデッドロックなしの戦略はないかもしれない。
少なくとも逃走戦略は無さそう。
逃走阻止戦略はあるかもしれないけど見つけてない。 あ、ちなみにa/b=臨界値のときも
∃S:戦略関数 ∀g f=S(g)で逃走阻止される
は正しい。
のでデッドロックを回避しないといけないという条件付けて突然逃走可能になるってことはないだろうと思う。
でもこのSはTをうまく取られるとデッドロックする。
スティルメイトの方がカッコ良かったかな？
というわけでa/b=臨界値の場合は完全に現時点でオープンです。 点Bが直交座標(X,Y)、極座標(r,θ) (ただしr>1/K) にいる時、
|φ-θ| ≦ θ~ := arctan(√(K^2r^2-1)) - √(K^2r^2-1) + π (1)
で与えられる偏角φの範囲が、点Bが動くにつれてどう変化するかを考える。
ただし K≒4.6033 は >>894 等で与えられている臨界点とする。
つまり、r=1 の時 θ~=0になることに注意。
点Bの点(x,y)付近での微小な動きを再現するため、便宜的に B(t)=(x+x't, y+y't) と定める。（ただし x'^2+y'^2=1）
この時、
dθ/dt = (xy'-yx')/(r^2),
dθ~/dt = -((xx'+yy')/(r^2))√(K^2r^2-1)
であるから、計算により
|dθ/dt ± dθ~/dt| ≦ K
という評価を得る。
したがって、点Bが速さ1以下で動く限り、不等式(1)でφが動ける範囲の両端を定める二点は、速さK以下でしか動けない。
以上から、点Aの速さが臨界点を上回るならば、点Aは偏角 φ∈R/2πZ が(1)を満たす範囲で動き回れば良い。
（具体的にどう動き回るかは、例えば887の方法を使えば良い） Kは臨界点というより臨界値って書いた方がよかった…あと二行目の右端の(1)は式番号です 前>>881
>>640問題。
3.69759954……倍じゃだめかぁ。 何度も申し訳ない、>>901 のdθ/dtおよびdθ~/dtは、どちらもt=0の時の値です 国税・労基と書いてあったので公務員試験の問題らしいです。
ある幼稚園で、砂場で遊んでいたA,B,C,D 部屋で遊んでいたE,F,Gの７人の中に、
逆上がりができる子が２人いることが分かっている。
そこで、A～Gに尋ねたところ、それぞれ以下の発言をした。
ただし、７人うち、本当のことを言っているのは２人だけで、あとの５人は間違ったことを言っていた。これらのことから確実にいえるのはどれか。
A：Bは逆上がりできるよ。
B：Aは間違ったことを言っているよ。
C：AもBも２人とも間違ったことを言っているよ。
D：砂場で遊んでいた子の中には逆上がりできる子はいないよ。
E：私は逆上がりできない。
F：逆上がりができるのは２人とも砂場で遊んでいた子だよ。
G：EとFの少なくともどっちかは本当のこと言っているよ。
問題は簡略化してみた。
正直者と確定できるのは誰か？
逆上がりができると確定できるのは誰か？ BよりB∧notA ∨ notA∧B。
よってAかBのどちらかは正直で正直は残り1人。
さらにnotC。
GのときはE∨Fで残る正直が1人に矛盾。
よってnotG。
さらにnotE、notF。
よって残る正直者はD
A,Bはどちらが正直でも矛盾しないので確定できない。
以上により確定的正直者はD。
確定的に逆上がりができるのはE。 >>906
Dが正直だから砂場にいたBは逆上がりができないからAは嘘つきと確定できる。よって正直者はBとD。 >>907
砂場で遊んでた人の情報もあったのか。
見てなかったorz。 前>>903問題>>640
7時x分の短針の方向の外周でAがBを捕まえたとすると、
AがBを追った距離は、
2πr(7+x/60)/12=(420+x)πr/360
Bが逃げた距離は、
7時から9時の60°のうちの(1-x/120)を底角に持つ二等辺三角形を含む扇形の弧で、
その中心角は、
180°-2(1-x/120)60°
=(60+x)°だから、
2πR(60+x)/360
=πr(60+x)/180
二等辺三角形を二等分した直角三角形についてピタゴラスの定理より、
Rcos(60-x/2)°=r/2
Rを消してBが逃げた距離は、
2πR{(60+x)°/360°)
=2πr(60+x)/360･2cos(60-x/2)°
=πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
速さの倍率は距離に比例し、
A/B=(420+x)πr/360÷πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
={(420+x)/(60+x)}cos(60-x/2)°
={7-6x/(60+x)}cos(60-x/2)°
x=25.17のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.18のとき、
A/B=3.53691531……(倍)
x=25.19のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
7時25.18分すなわち、
7時25分10秒8の短針の方向の外周で捕まえればAのBに対する速さの倍率は最大になる。
中心角でいうと、
360°{(7+25.18/60)}/12
=222.59°の方向の外周。
Aがもう逆回りしないとなったときBは逃走ルートを直線にすることで逃走距離を短くする。
Bの逃走距離を円弧B+直線Bとすると、
円弧B=2πR[(180-2{60-30(25.18/60)}/360](4259/22259)
=(π/cos47.41°)(85.18/360)(4259/22259)r
=0.210164978……･r
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)R
Rcos47.41°=r/2より、
R=r/2cos47.41°
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)r/2cos47.41°=0.840496067……･r
Aが222.59°でBを捕まえるときのAの追跡距離、円弧Aは、
円弧A=2πr(222.59/360)
=3.88492838……･r
速度比A/B=3.88492838……･r/(0.210164978……･r+0.840496067……･r)
=3.88492838……r/1.050661045……r
=3.88492838……/1.050661045……
=3.69759954……(倍) 東京都の公務員試験の過去問
ある料理店で、料理人Aが考案した新しい料理のレシピを50人の料理人に教えて
いくことにした。料理人は7月１日から毎日１人ずつ、新しい料理のレシピを教
えてもらっていない料理人に教えていき、新しい料理のレシピを教えてもらった
料理人は、教えてもらった翌々日から毎日１人ずつ、新しい料理のレシピを教え
てもらっていない料理人に教えていくとき、新しい料理のレシピを50人の料理人
に教え終わる日はいつか？ >>910
何年の？
なんか最近その手の悪質なデタラメ多いんだけど？ >>912
ホントにこれ試験問題なん？
意味がかなり微妙な表現があってとても試験問題の品質にはないけど。
料理人Aは最初の1人に教えた後も教え続けるのか、だとすると料理人A自信はレシピを考案した翌々日から教え始めるという制限をうけるのか、そもそもレシピを考案した日からかぞえるのか、最初の1人に教え始めたひから数えるのかもわからん。
こんな文面で試験として通用するハズない。 >>913
公務員受験予備校にあったから、過去問なんじゃないの？ レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
