面白い問題おしえて～な 30問目
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A:現時点での勝率は3/7であと3勝が必要
B:現時点での勝率は4/7であと４勝が必要
勝率は通算成績で決まり現時点でA３勝B４勝である。 >>249
>>244の内容は >>223の投稿時に作っていたものです。数字の羅列が主なので、結論としては同じ、>>223
のみの投稿にしました。しかし、その内容や考え方は、>>229で生かされています。
よかったら、過去の投稿も読み直してみてください。
偶然か？ との疑問がありましたが、一定の条件下で起こる必然現象でしょう。
これが「ポリアの壺問題」の帰結です。
あるいは、もっとシンプルに、次のような思考実験が考えやすいかもしれません。
直方体型の水槽がある。水槽には水が入れられており、水は「（垂直な平面による）仕切り」により
二つの区画に分けられている。この仕切りは、自由に動くようになっている。単に位置が可変というだけでは無く、
二つの区画に分けられている水の「高さ」が同じになるように、自動的に動くようになっている。
この水槽に水を入れ、外に置いておいた。昨夜、雨が降っていたので、水槽に入っている水の量が増えているはずだが、
仕切りの位置は、どうなっているだろうか？
（仕切りの右側に雨粒が入るか、左側に入るかは、各区画の面積に比例、つまり、各区画に入っている水の量に比例する）
答え ほとんど動いていないはず。 そう？
どっちかにビチャってよっちゃってそうだけど。 >>253
じゃ、こんなのはどう？
交換してもらった名刺が１０００枚ある。五十音順に並べることにした。
１００枚ほど並べ終わった時、何を思ったか、自分の名刺も加えてみた。
上から３０％位の位置に挿入された。
さて、１０００枚全てを並べ終わったとき、自分の名刺は、どの辺りにあるか？ >>256
それならいけるのかな？
しかし本問は最初の発生した偏りが系に正帰還して偏りを拡大させていくモデルだからなぁ。
例えば今回は(a,b)の状態から始めてa+b-1回目の時点では
Aが起こる回数がa回以上の確率
=Bが起こる確率がb回以上の確率
=1/2
という事が成り立つようだけど、この状態は本当にずっとたもたれるのかな？
例えばna+nb-1回やったとき相変わらず
Aが起こる回数がna回以上の確率
=Bが起こる確率がnb回以上の確率
=1/2
という関係はたもたれ続けるのかな？
yesのような、noのような‥‥ 今(a,b,n)=(2,1,2)でやってみたらわずかにaが4回以上起こる確率の方がbが2回以上起こる確率を上回ってる気がする。
手計算だから間違ってるかもだけど。
やっぱり偏りは拡大していく気もする。 正弦定理から
sine(?) = sine(36°)/sine(72°)*sine(84°- ?)
これをコンピュータで解いて?=30 >>260
角度を計算するRのスクリプト
foo <- function(x=36,y=24){
sine <- function(x) sin(x/180*pi)
f <- function(z) sine(z) - sine(x)/sine((180-x)/2)* sine(180-y-(180-x)/2-z)
round(uniroot(f,c(0,180))$root,3)
}
> foo(36,24)
[1] 30 複素数平面でもベクトルでも三角比でも初等幾何で解く事にこだわらなければ似たり寄ったり。
でも初等幾何のテクニック勉強するのってどっかで見切りつけないとキリないんだよな。 前>>245記憶にございません。俺の脳が勝手に携帯のボタンを押したんだ。意味わかんない。メネラウスとかのほうがいい。
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>>254ありきたりな正弦定理はおもしろくないんでこのスレじゃNG。
いよいよメネラウスやっとくれ。 前>>266
84-？=24+？
2？=84-24
？=60/2=30
疑う余地はない。
その前の二等辺三角形をメネラウスでお願いします。 >>266
俺はありきたりな偏角とプログラムを使うとこういうのが図示計算できて楽しめた。
https://i.imgur.com/RMvD2IF.jpg >>263
パターンは絞れるんじゃない？
正三角形を作るとか >>269
それが数学を勉強していくのに不可避ならやるんだけど、少なくともこの手の問題は解答するためのアルゴリズムも見つかってるので数学の研究のメインに上がってる事もないし。
ソロバンみたいなもの。
勉強して無駄とは言わないが、あまり不必要に難しすぎるやつやってもしょうがない。 >>264
ω=exp(2π/3i)、log(x)を0以下の実数を除くところで定義するとして
Σω^n/n=-1/ωlog(1-ω)‥‥①
Σω^(2n)/n=-1/ω^2lig(1-ω^2)‥‥②
(ω①-②)÷(1-ω)=答え 前>>267
>>254題意の図を内角が左上A72°左下B96°右下C78°右上D84°となるよう4頂点を決め、ABの中点をE、ADの延長線とBCの延長線の交点をF、ACとBDの交点をGとし、BAの延長線とCDの延長線の交点をH、AE=BE=1、BG=xとすると、
ADは一辺ABの正五角形の対角線だから1+√5
AD=BD=BC=1+√5
Aを起点にメネラウスの定理より、(AG/GC)(CB/BF)(DDA)=1――①
Bを起点にメネラウスの定理より、(BG/GD)(DA/AF)(FD/DB)=1――②
F(12°)を起点にメネラウスの定理より、――③
H(6°)を起点にメネラウスの定理より、――④
①②③④より、x=2
△ABGはAB=GBの二等辺三角形で∠BAG=∠BGA
84°-？=？+24°
2？=84°-24°=60°
∴？=30°
②と③が同じになったから④が必要で、これでできるだろう。正弦定理でもいいよ。x=2が言えれば。けどチェバとメネラウスだけで解けたらおもしろい。 前>>273
AB=GBさえわかれば答えは出る。メネラウスと考えるのが自然。AE=BE=1として、AD=BD=BC=1+√5
実際に比がわからなくても△ABGは二等辺三角形になるしかない。時間なければx=2しかない。チェバとメネラウスで二等辺三角形でいい。
∠BAG=∠BGA
84°-？=24°+？
2？=84°-24°
？=30°あってる。 前>>274わかったからこっちにも書く。
>>254別解。
折れ線の左上をA、右上をB、左下をCとすると、
AB=BC、∠ABC=36°
AB=BC=CD、∠BCD=36°となるDをとり、
AB=BC=CD=DE、∠CDE=36°となるEをとると、
AB=BC=CD=DE=EA、∠DEA=36°となる。
∠BAEの二等分線を引くとCDと直交し、折れ線の端に達するから、
？=90°-(36°+24°)
=30°
∴示された。 東京で高さ10mの垂直な梯子に上ると、地上にいる人より何秒早く初日の出を見ることができるか。
【条件】
地球を半径6400kmの完全な球体とする。
ビルなどの建物はない。
東京を北緯35度とする。
自転軸は23.4度傾いている。
公転による影響は無視する。
観測者の身長は無視する。
１日を23時間56分4秒とする。 >>276
地球半径をRとすると、高さhのところから地平線を見下ろす
角度θは、地心と観測者と地平線を結ぶ直角三角形を作れば
tanθ＝√(2hR-h^2)/R
h/R<<1, θ<<1で近似すれば
θ≒√(2h/R)
ラジアンを秒角に直せば、
θ（秒角）≒2.06×10^5√ (2h/R)
h=10m,R=6.4×10^6mを代入して計算すると
θ≒364秒角
（ちなみに、地平線までの距離が√(2hR)≒3600√h メートル
ってのは、豆知識）
あとは、しちめんどくさいので、だいたいで。
太陽の赤緯は無視して、緯度φでの、相当する日周運動の
回転角だけ求めると、
θ/cosφ ≒387秒角
地球の自転の角速度は360度/日=15度/時=15秒角/秒
で近似できるので、
387/15≒26秒だけ早く初日の出を拝める。 >>277
あ、間違えた。φに23.4度を入れちゃってたわ。 35度で計算
しなおすと、
θ/cosφ≒444秒角なので、
444/15=30秒だけ早く初日の出を拝める。 前>>275
30秒で10mは登れると思うけど、木登りするよりは地上で30秒待って拝むかな。
狼男が何人いるかが気になる。だれか明確な答えを出してほしい。スレは20ぐらいで埋もれてる。
三日目終わって村人全員死んだらしい。毎夜12時に集まって狼男をつきとめようとしたみたいなんやが衆人監視のもとやと襲いよらへんらしい。
でも変身したらわかるはずやし、俺は村人の4人に1人が狼男や思うんやが、正解はなんなのか、だれかが出した3人という答えはなんなのか、解答する村人が俺以外死んだのかおらんなってしもて、今なぞのまま年が暮れようとしとります。 月5,000円で授業や問題集でわからない問題を当方に質問し放題の教室をやっています。
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pyosimu@choco.laまでご連絡ください。よろしくお願いします。 前>>279
>>253せやろ。俺も何べんか言うたんやで。Bのほうにビチャッて寄ってまうやんなぁ。 やっと>>223できた。
めちゃめちゃ難しい解答になったけど。
今日帰ったらできた解答あげます。 災害が発生していたるところに重症被災者がいる。消防署から出動して救急センターに患者を搬送する
消防署から救急センターへの距離は100km 救急車のガソリンは50L、患者を乗せない状態では燃費は10km/L、患者を乗せての燃費は5km/Lである
患者を救える地域の面積はいくらになるか？ いや違う。
消防署と救急救命センターは離れてるのか。 燃費が同じなら消防署と病院を焦点とする楕円内になる
ところをひねったわけね。
現実問題としてはガソリンの残量でも燃費が変わるけど。 >>286
＞ガソリンの残量でも燃費が変わる
どんな関係になるのでしょうか？
それが分かればそれを組み入れて計算してみたいので。 >>285
消防署から被災地に赴いてそこで被災者を収容して救急センターに送るという設定。 >>288
ちょっと、調べてみた
例えば、ガソリンタンクが60Lだとすると、レギュラーガソリンの1Lの重さは0.75kgなので、60Lが満タンになると45kg、半分の30Lだと22.5kgとなる。
その差22.5kgがどのくらい燃費が悪化するのか気になるところだが、実は満タンにした場合と半分にした場合とでは、0.84％ほどしか燃費は悪化しないのだ。
https://bestcarweb.jp/feature/column/97520 カウンタックみたいに軽量本体＋大容量タンク＋ガソリンバラ撒きだと案外無視できないんでね >>289
理解しますた。
つまりa=100kmとして
極方程式
r/10+√(r^2+a^2-2arcosθ)/5≦50
を満たす領域の面積を求めよ。
ですな。 消防署を原点、被災地の座標を(x,y)として
√(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 ≦ 50
なのはわかるけど、
極形式は？？？ 方程式 √(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 = 50をWolfram先生に解いてもらって
y=f(x)の形にして、積分して面積を求めると
> integrate(y,-100,700/3)$value*2
[1] 83693.05
１億回モンテカルロシミュレーション結果は
> k=1e8 ; mean(replicate(k,gc(runif(2,-Gas*FE1,Gas*FE1))))*(2*Gas*FE1)^2
[1] 83691.74 消防署から患者までの距離と患者から病院までの距離の２倍の和が、
消防署からたどり着ける最大距離に等しい地点の内側にあればいい。
なので、到達最大距離が病院までぎりぎり行ける程度だと、病院周
りのほぼ円形の領域をカバー（消防署からの距離はほぼ一定だから）。
到達最大距離が病院のはるかむこうまで行けるくらいあると、中間
点を中心にしたほぼ円形の領域をカバー（どっちの地点からの距離
もほぼ一定だから）。
最大到達距離が病院までの距離の２倍に等しい場合が一番円形から
はずれそう。 wolfram先生に書いてもらうとほぼ円なのはわかる。
でも円じゃないよね？
多分。 前>>281
>>283なんで円なのかわからんな。牧草を食む山羊か？ 杭につながれた。
救命救急は急がないかんのだろ。せやで速い計算以外はいらんだよ。可能性のみ考えよう。
救急車のガソリンは50L。めいいっぱい使うとして、行きが(50/3)Lで(500/3)㎞、現場から救急センターまでが(100/3)Lで(500/3)㎞の直線軌道。だれがそげなときに円形に迂回するもんか。二等辺三角形が描ける。
消防署と救急センターの中間地点は双方から50㎞の地点。その道から垂直に、ピタゴラスの定理により、√{(500/3)^2-50^2}㎞遠ざかった地点が救急できる最遠方地。
∴救える面積=50×√{(500/3)^2-50^2}
=50^2√{(100-9)/9}
=2500√91/3
=7949.49335(k㎡)
0.01k㎡=1ヘクタールだから、79万4949ヘクタール救える。車道まで搬送してくれ。それが条件で。 >>296
ガソリン２０リットルという条件でやってみそ。（消防署からの
最大到達距離が病院までの距離の２倍ってケース）
カスプができるから。 前>>297
>>299まさに8000k㎡ぐらいじゃね？ 80ヘクタール行くか行かないかぐらいじゃないかな？ 前>>300訂正。
80ヘクタール→80万ヘクタール >>289
ヒントギボン。
どうあがいても楕円積分になるorz。 一辺の長さが1の正方形が重ならずに7個入る最小の正方形の一辺の長さはいくらか >>302
すいません、確固たる正解すら持ってない自作問題なので何がヒントになるのかすらわかりません。 >>294
俺もwolfram先生の助けでやってみたけど（y^2に関する２次方程式になるから、それを解くだけ）
y = ± (1/3 sqrt(-9 x^2 + 2400 x - 10000 (2 sqrt(6 x + 2200) - 113)))
というグラフの内部。
-100≦x≦700/3で積分するとたしかに83693.046になるね。
グラフを描かせてみると、長半径500/3,短半径160で中心が (200/3,0 )にある楕円で極めて
よく近似できる（求める領域より若干膨らんでいるが）。この楕円の面積は83776で、誤差0.1％未満。 結局面積はどうあがいても完全楕円積分になる。
一般解は楕円関数使わないと表示できない。
パラメータに特殊な値を入れた場合特殊値が綺麗な値で出る事もあるだろうけど作者が適当な直で作ってみたという問題で偶然キレイな特殊値になる事は考えづらいね。 >>296
ガソリン50Lで描画すると横径（消防署と病院を結ぶ方向） 360、 縦径347.5505の結果が返ってきたから、円じゃないね。 >>309
とりあえず、カスプができる形（ガソリン20l）の場合には極座標形式で
r≦800/3{cosθ- 1/2)
と、きれいに書ける。こういう曲線って名前あるんだっけ？
面積も高校数学レベルで積分できて
∫[-π/3->π/3] (800/3)^2(cosθ-1)^2dθ=(800/3)^2(2π-3√3) >>311
写し間違えた、面積は
∫[-π/3->π/3] (1/2)(800/3)^2(cosθ-1)^2dθ=(1/8)(800/3)^2(2π-3√3) >>310
だから、楕円でよく近似できる。つ>>307 >>313
へー、パスカルのカタツムリかぁ。
lが負だから、内側のほうに対応するね。
ありがとう。 前>>301
>>303
3個のブロック直列で並べその両サイドに2個のブロックを並べると、
2個のブロックと3個のブロックの対角線はピタゴラスの定理により、
最小限√(3^2+2^2)=√13ないといけない。
一辺3の正方形より小さくはできない。
底辺2高さ3の平行四辺形が一辺3の正方形に入らないのと同じぐらいできない。
∴最小の一辺の長さは3 ガソリン20 L のときは
√(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 = 20から x=rcosθ y=rcosθとして
r について r/10 + 1/5 sqrt((r cos(θ) - 100)^2 + r^2 sin^2(θ)) = 20 を解けば
r = 400/3 (2 cos(θ) - 1)
んで、パスカルの蝸牛になるのか。
ようやく、理解できました。 イナの解答で数学の世界で通用するものがでた事はない。 >>303の答え＝３
なぜなら、なるべく狭い範囲に、重ならないように、並べるためには、
少なくともどこか１箇所は、縦方向（あるいは横方向）に、
３個並べなければならないが、その場合、どうしても、
１辺の長さは３になってしまうから。
あるいは、なるべく狭い範囲に、重ならないように、並べるためには、
円に近いような並べ方をするしかないが、
その場合、>>318のような並べ方をするしかなく、
その場合、辺の長さをｘとすると、３≦ｘ≦5√2/2 >>283
っちゅうことで、問題をこう変えてはいかが？
砂漠の基地Aからもうひとつの基地Bに向かって出かけた戦車がGPSの故障で
進路を見失ってさまよった挙げ句にガス欠で止まってしまった。別の戦車で
基地Aからこの戦車へ救助に向かい、燃料を分け与えて一緒に基地Bに行く
ことになった。しかし、戦車にはAB間をちょうど往復できるだけしか燃料
は積めない。AB間の距離をRとして、Aを原点とする極座標形式で救出可能な
領域を示し、その面積をRを使って表しなさい。
ただし、戦車の燃費はいずれも同じものとする。 >>223
以下を通じて確率過程(Xi,Yi)は
P((X(i+1)Y(i+1))=(c,d) | X0,Y0,‥,Xi=a,Yi=b)
=P(X(i+1),Y(i+1)=(c,d) | (Xi,Yi)=(a,b))
=a/(a+b) if (c,d)=(a+1,b)
. b/(c+d) if (c,d)=(a,b+1)
. 0 otherwise
をみたす離散Markov過程とする。
F(a1,‥,ap; b1,‥,bq;x)はgeneralised hypergeometric function とする。(Fの下付き文字は略する。)
(a～b)はa,a+1,‥,bの赤とする。例えば(3～5)=3・4・5=60である。
補題1
任意のa,b,m,n,iに対し
P(∃j (Xj,Yj)=(a+m,b+n) | (Xi,Yi)=(a,b))
= C[m+n,m](a～b+m-1)(b～b+n-1)/(a+b～a+b-1)
(∵) 容易。□
補題2
任意のa,b,cに対し
P(∀i Xi<c | (X0,Y0)=(a,b)) = 0
(∵) 補題1より得られる。□
補題3
任意のa,b,n≧0に対し
P(∃i Xi<2a, Yi=2b | (X0,Y0)=(a,b))
=Σ[n≧0]P(∃i (Xi,Yi)=(2a-1,b+n) X(i+1)=Xi+1 | (X0,Y0)=(a,b))
(∵) 補題2による。□
主張4
任意のa,bに対し
P(∃i Xi<2a, Yi=2b | (X0,Y0)=(a,b))
=(a+b-1)!(a～2a-1)(b～2b-1)/(a!b!(a+b～2a+2b-1)
. a F(2b, a+b, 1; b+1,2a+2b; 1)
(∵) 補題3 の右辺を整理するだけである。□
定理5
任意のa,bに対し
P(∃i Xi<2a, Yi=2b | (X0,Y0)=(a,b))
=P(∃i Xi=2a, Yi<2b | (X0,Y0)=(a,b))
=1/2
(∵) 主張4により
a F(2b, a+b, 1; b+1,2a+2b; 1)
=b F(2a, a+b, 1; a+1,2a+2b; 1)
を示せば十分である。
ここでgeneralized hrpergeometric functionの積分表示とEulerの公式により
a F(2b, a+b, 1; b+1,2a+2b; 1)
= a Γ(b+1)/(Γ(1)Γ(b)) ∫t^(1-1)(1-t)^(b-1)F(2b,a+b;2a+2b;t)dr
=ab ∫(1-t)^(b-1)F(2b,a+b; 2a+2b;t)dt
=ab ∫(1-t)^(b-1)(1-t)^(a-b)F(2a,a+b; 2a+2b;t)dt
と変形されるが、この変形の逆を辿って主張は得られる。□
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Generalized_hypergeometric_function 戦車を問題に出すと、日教組から文句が出るかもね。
連中は、ぐんくつの音がどうのとかで、幻聴が聞こえて大変らしいｗ >>327
r <= 4/3R(2cos(θ)-1)
8/9 (2 π - 3 √3) R^2 日帝打倒革命軍の戦車ならきれいな戦車だから問題ないんでね La+ @QiDUiNSkTzJpSff
0の0乗は1ですよ！
俺が知ってる中で唯一0だけから0以外を作り出す方法
午前0:53 2020年1月3日 任意の自然数nに対し, 区間[0,4]で定義された関数f_n(x)を次のふたつによって定める
1. f_1(x) = x(x-3)²/4
2. f_{n+1}(x) = (-1)^{[n/3]+[(n+2)/3]} ･ f_1(f_n(x))
(ここで [x] は x を超えない最大の整数)
このとき, xの方程式 f_2020(x)=a が [0,4] に少なくとも1つの実根をもつための実数 a の条件を求めよ 前>>324
>>303
6つにしたら3よりちっさなるかなぁ？ 前>>338
>>303
7つの正方形を並べた発想は面白い。けど対角線とか斜めの長さの意外な逆転現象とか面白い部分が見あたらない。
それとも面白さに気づいてないだけなのか。
まさか立方体におさめよという問題でもあるまいし。
5つにしたら一辺2√2の正方形におさまる。新しい発見があったらまた報告したいと思います。
2√2=2.82842712……＜3 前>>339
>>303それとも一個一個微妙に角度を変えることで、わずかに3より小さくした一辺2.9いくつの正方形におさまるというのか。 以下の条件を満たす立方体と平面の組は存在するか：
立方体の各頂点と平面の距離が0,1,2, .., 7である >>335
0^x =0
x^0=1
0^0=1とした方が辻褄が合うことが多い 問、1からnまでの自然数をランダムに並べ大きな桁の数を作るとき、平方数になるものはあるか。ただし、nは2以上とする。
例、n=2のとき、12と21は平方数ではない。
n=3のとき、123と132と213と231と312と123は平方数ではない。
n=12のとき、123456789101112や121110987654321などは平方数？ 頂点を(±1,±1,±1)としてよい。
この点をP±±±とする。
ベクトルnで
n・P---:P-++:P+-+:P--+=-7:5:3:-1
となるものが存在すれば条件をみたす図形は存在する。
n=(x,y,z)とすればこれは
-x-y-z:-x+y+z:x-y+z:x+y-z=-7:5:3:-1
は解を持つから求める図形は存在する。 >>344
１からnまでのn個（n≧2）の自然数を順不同に並べてできる自然数の中に
平方数となるものはあるか？
ってことね。とりあえずn=4のときにもないな。 >>347
n=8のときは73256481,34857216,81432576,13527684,65318724かな >>347
n=9: 30個の解[714653289,375468129,361874529,..]
n=10: [57926381041,24891057361,28710591364,75910168324,59710832164,27911048356,14102987536]
これ以降は制約が強くなるから減っていきそうだけど… >>349
n=9のとき 確かに30個ありました。
> apply(permn[re,],1, function(x) sum(beki*x))
[1] 139854276 152843769 157326849 215384976 245893761 254817369 326597184
[8] 361874529 375468129 382945761 385297641 412739856 523814769 529874361
[15] 537219684 549386721 587432169 589324176 597362481 615387249 627953481
[22] 653927184 672935481 697435281 714653289 735982641 743816529 842973156
[29] 847159236 923187456 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
