面白い問題おしえて～な 30問目

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/04(月) 20:26:59.10

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 19:18:17.09

０．５を算出する前提

Aが優勝する以後の勝敗の順列（１を勝ちとする）は以下の２０通り。

> (dat3=dat[apply(dat,1,sum)==3,]) # Aあと３勝の仕方　末尾に連続する0は無視
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 0 0 0 1 1 1
[2,] 0 0 1 0 1 1
[3,] 0 0 1 1 0 1
[4,] 0 0 1 1 1 0
[5,] 0 1 0 0 1 1
[6,] 0 1 0 1 0 1
[7,] 0 1 0 1 1 0
[8,] 0 1 1 0 0 1
[9,] 0 1 1 0 1 0
[10,] 0 1 1 1 0 0
[11,] 1 0 0 0 1 1
[12,] 1 0 0 1 0 1
[13,] 1 0 0 1 1 0
[14,] 1 0 1 0 0 1
[15,] 1 0 1 0 1 0
[16,] 1 0 1 1 0 0
[17,] 1 1 0 0 0 1
[18,] 1 1 0 0 1 0
[19,] 1 1 0 1 0 0
[20,] 1 1 1 0 0 0

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 19:19:27.58

Aが優勝する以後の勝敗の順列＝Aが優勝するときの第二試合以後の勝敗の順列

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 23:55:27.94

>>223
続き

白玉がｎ個出る前に、黒玉がｋ(k<m)個でる確率は
黒玉が連続してk個出て、白玉が連続してn個出る確率のC[n+k-1,k]倍なので、

C[n-1+k,k]*{m*(m+1)*...*(m+k-1)}*{n*(n+1)*...*(2n-1)}/{(n+m)*(n+m+1)*...*(2*n+m+k-1)}
=C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k]

黒玉が0個からm-1個までの和を取れば、求める確率なので、

Σ[k=0,m-1]{C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k]}

が求めるもの。
m,nに適当な数字を入れてWolfram先生に計算してもらったところ、
m,nに関係なく、　1/2　になるようです。予想は正しそうですが、証明はちょっと難しい。

【だん吉】 · 2019/12/24(火) 00:11:35.58

前>>225
>>226それはどうかな。
俺は俺が勝つために投げたし、みんな勝つために打ったり守ったり走ったりしたと思う。結果的に7割勝つとわかった。それ以上でもそれ以下でもない。
最初Aに負けて、どうなるかと思った。もうだめなんじゃないかとさえ思ったよ。
それで運命が決まったとは思わないけど、運命というものがあるのなら、あるいはそうかもね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 00:23:22.12

超幾何定理の香りが漂うような‥‥

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 02:18:50.81

>>230
優勝するにはAはあと３勝必要だがBはあと４勝必要と運命づけられちゃったと言えない？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 03:01:07.37

ポリヤの壺っていう有名問題？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/24(火) 13:29:13.67

前>>230
>>232だから、運命なんてわかんないよ。勝ってるうちに強くなるかもしれないし、試合の前とあとではもう違うんだぜ。運命なんて変えてやるよ。みんなそう思ったと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 14:19:00.00

>>229
ｍ，ｎを１～１０からランダムに選んで１０万回のシミュレーションをしてみました。

Polya_Urn <- function(k=1e5){
mn=sample(1:10,2)
m=mn[1]
n=mn[2]
a=rep(0:1,c(m,n))
b0=b1=0
sim <- function(){
while(b0<m & b1<n){
b=sample(a,1)
a=c(a,b)
if(b==1){b1=b1+1}else{b0=b0+1}
}
b1==n
}
c(Prob=mean(replicate(k,sim())),m=m,n=n)
}

> Polya_Urn()
Prob m n
0.50125 8.00000 10.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50022 9.00000 5.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50065 3.00000 8.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.49939 2.00000 4.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.49657 1.00000 9.00000

ｍ，ｎに関わらず、０．５になるようです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 14:20:51.91

>>234
ターミネーターのセリフだな。
The future is not set. There is no fate but what we make for ourselves.

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 14:23:54.14

計算するまでもなく1/2になるとわかるような考え方がありそうに思えるのだが全然思いつかない

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 05:17:44.73

確率 n/(n+m)　で白玉を引いて壺の中の白玉が一つ増える、あるいは、
確率 m/(n+m)　で黒玉を引いて壺の中の黒玉が一つ増える、と言う操作（現象）を

確率1で、白成分が、n/(n+m)、黒成分が、m/(n+m)　で構成されているキメラ玉を壺に投入する操作と同等
と考えると、白玉が2n個(相当)になるのと、黒玉が2m個(相当)になるのは、同時なので、
どちらが勝つのかが 1/2 づつになるのは当然と　強弁できる　かな．．．？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 07:37:46.51

ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明

http://shiatsumat.hat　enab　og.com/entry/2014/12/08/183943　（空白は除去してください）

ってあるのだけど、私には理解できなかった。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 07:39:57.44

>>239

urlがうまく貼れなかったので

ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明

で検索してください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 09:02:05.31

>>239-240
この問題はポリヤの壺の発展形。
残念ながらそのリンクの先の証明だけでは無理です。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 20:37:42.24

>>225
優勝するにはAは現時点の勝率3/7であと３勝、Bは現時点の勝率4/7あと４勝しなくちゃいけない

どちらが有利か、という問題だと思う。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/26(木) 15:55:13.35

前>>234
>>242Bのほうが有利だね。たとえAが第1戦から3連勝したって最終戦に勝つ確率は6割。それに比べBは先にも言ったように7割。わずかだがBの監督が宙に舞う姿を想像するね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 18:02:51.71

例えば残り四試合で「Ａが勝ち」で勝負がつくときのパターンとそれに伴う計算式は次
○○●○　：(3/7)*(4/8)*(4/9)*(5/10)
○●○○　：(3/7)*(4/8)*(4/9)*(5/10)
●○○○　：(4/7)*(3/8)*(4/9)*(5/10)
各因子を分数として見ると、各々は異なるが、分子側全体、分母側全体として見ると、
これらは数字の並べ替えに過ぎず、全て同じ値を持つ。この点に注目して、解答を作ると、

残り三試合で「Ａが勝ち」で終了
○○○　　：(3/7)*(4/8)*(5/9)=5/42

残り四試合で「Ａが勝ち」で終了
[●○○]○　　：C[3,1]*(4/7)*(3/8)*(4/9)*(5/10)=1/7
(“[]”は[]内の並べ替えを意味する)

残り五試合で「Ａが勝ち」で終了
[●●○○]○　　：C[4,2]*(4/7)*(5/8)*(3/9)*(4/10)*(5/11)=10/77

残り六試合で「Ａが勝ち」で終了
[●●●○○]○　　：C[5,3]*(4/7)*(5/8)*(6/9)*(3/10)*(4/11)*(5/12)=25/231
5/42+1/7+10/77+25/231=1/2

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/26(木) 18:04:24.76

前>>243
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Aが勝って優勝する確率は(3/7)(4/8)(5/9)=5/42――①
第2戦Aが勝って第3戦A級が勝って第4戦Bが勝って第5戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)=1/21――②
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Bが勝って第5戦Bが勝って第6戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)(5/11)=5/231――③
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Bが勝って第5戦Bが勝って第6戦Bが勝って第7戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)(6/11)(6/12)=1/77――④
①+②+③+④=1/6+8/231=93/462=31/154
Aが優勝する確率は3100/154=1050/77＜(2割ない)
Bのほうが有利。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 18:17:11.99

>>243
>たとえAが第1戦から3連勝したって

Aはシリーズ開始後はあと３勝すればいいのだから
Aの勝ちを１負けを０で表示すると
Aが優勝するには第２試合以後は
> dat3[17:20,]
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 0 0 0 1
[2,] 1 1 0 0 1 0
[3,] 1 1 0 1 0 0
[4,] 1 1 1 0 0 0
の４通り

Bはあと４勝しなくちゃいえないからAが第1戦から3連勝したら
２戦目以後は
1 1 0 0 0 0 （Aの勝ちが1)
でしか優勝できない。

前者は0.1991342
後者は0.01515152
となる。

計算式は
g <- function(x){ # Aの勝敗数列の起こる確率
(tva=cumsum(x)+3) # Aの通算の勝利数
win=c(3,tva)/(7:13) # 試合前の勝利確率
lose=1-win # 負ける確率
(y=rbind(win,lose)[,1:6]) #最終勝率は不要なので除く
p=rep(1,6)　# p : 通算勝率の入れ子
for(i in 1:6){
j=ifelse(x[i]==1,1,2) # 勝負によりwin/loseを選択する
p[i]=y[j,i]
if(tva[i]==6) break #　シリーズ前２勝＋シリーズ４勝で終了
}
cat(p,'\n') # 通算勝率の変遷
return(prod(p)) # その変遷が起こる確率
}
sum(apply(dat3,1,g)) # 可能な順列の確率を総和

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 18:33:04.52

>>244
>218ですが、計算ありがとうございました。
きりのいい数字になってびっくりしました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 18:38:23.54

>>244
>各因子を分数として見ると、各々は異なるが、分子側全体、分母側全体として見ると、これらは数字の並べ替えに過ぎず、全て同じ値を持つ。

全く気づきませんでした、プログラムできればいいと愚考してましたので。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 18:45:38.70

>>244
正解だと思うのですが
5/42+1/7+10/77+25/231=1/2
って偶然でしょうか？
>219の疑問は残ります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 19:11:06.56

>>245
いつも楽しいレスをありがとうございます

>244が正解だと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 19:24:21.76

A:現時点での勝率は3/7であと3勝が必要
B:現時点での勝率は4/7であと４勝が必要
勝率は通算成績で決まり現時点でA３勝B４勝である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 19:28:03.16

>>249

>>244の内容は　>>223の投稿時に作っていたものです。数字の羅列が主なので、結論としては同じ、>>223
のみの投稿にしました。しかし、その内容や考え方は、>>229で生かされています。
よかったら、過去の投稿も読み直してみてください。

偶然か？　との疑問がありましたが、一定の条件下で起こる必然現象でしょう。
これが「ポリアの壺問題」の帰結です。

あるいは、もっとシンプルに、次のような思考実験が考えやすいかもしれません。

直方体型の水槽がある。水槽には水が入れられており、水は「（垂直な平面による）仕切り」により
二つの区画に分けられている。この仕切りは、自由に動くようになっている。単に位置が可変というだけでは無く、
二つの区画に分けられている水の「高さ」が同じになるように、自動的に動くようになっている。

この水槽に水を入れ、外に置いておいた。昨夜、雨が降っていたので、水槽に入っている水の量が増えているはずだが、
仕切りの位置は、どうなっているだろうか？　
（仕切りの右側に雨粒が入るか、左側に入るかは、各区画の面積に比例、つまり、各区画に入っている水の量に比例する）

答え　ほとんど動いていないはず。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 22:38:05.18

そう？
どっちかにビチャってよっちゃってそうだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 22:39:20.70

https://i.imgur.com/JwmkoBt.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 23:26:25.52

30°

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 00:18:11.16

>>253

じゃ、こんなのはどう？

交換してもらった名刺が１０００枚ある。五十音順に並べることにした。
１００枚ほど並べ終わった時、何を思ったか、自分の名刺も加えてみた。
上から３０％位の位置に挿入された。
さて、１０００枚全てを並べ終わったとき、自分の名刺は、どの辺りにあるか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 00:39:47.46

>>254
どうするのかね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 00:48:43.03

>>256
それならいけるのかな？
しかし本問は最初の発生した偏りが系に正帰還して偏りを拡大させていくモデルだからなぁ。
例えば今回は(a,b)の状態から始めてa+b-1回目の時点では
Aが起こる回数がa回以上の確率
=Bが起こる確率がb回以上の確率
=1/2
という事が成り立つようだけど、この状態は本当にずっとたもたれるのかな？
例えばna+nb-1回やったとき相変わらず
Aが起こる回数がna回以上の確率
=Bが起こる確率がnb回以上の確率
=1/2
という関係はたもたれ続けるのかな？
yesのような、noのような‥‥

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 01:06:52.23

今(a,b,n)=(2,1,2)でやってみたらわずかにaが4回以上起こる確率の方がbが2回以上起こる確率を上回ってる気がする。
手計算だから間違ってるかもだけど。
やっぱり偏りは拡大していく気もする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 04:08:56.09

正弦定理から
sine(?) = sine(36°)/sine(72°)*sine(84°- ?)
これをコンピュータで解いて?=30

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 04:35:00.38

>>260
角度を計算するRのスクリプト
foo <- function(x=36,y=24){
sine <- function(x) sin(x/180*pi)
f <- function(z) sine(z) - sine(x)/sine((180-x)/2)* sine(180-y-(180-x)/2-z)
round(uniroot(f,c(0,180))$root,3)
}

> foo(36,24)
[1] 30

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 07:56:21.74

>>254
複素平面で考えた方が楽かな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 13:18:10.46

複素数平面でもベクトルでも三角比でも初等幾何で解く事にこだわらなければ似たり寄ったり。
でも初等幾何のテクニック勉強するのってどっかで見切りつけないとキリないんだよな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 03:32:40.72

https://i.imgur.com/5h7NnER.jpg

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/28(土) 04:12:27.40

前>>245記憶にございません。俺の脳が勝手に携帯のボタンを押したんだ。意味わかんない。メネラウスとかのほうがいい。
￣￣]/＼______∩∩_
____/＼/ ,,､､(___))|
￣￣＼/ 彡-_-ﾐっ / |
￣￣|＼＿U,~⌒ヽ､| |
□　| ∥￣￣U~~U | / )
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__________________∥//
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣_/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/28(土) 04:44:49.28

前>>265
>>254ありきたりな正弦定理はおもしろくないんでこのスレじゃNG。
いよいよメネラウスやっとくれ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/28(土) 05:01:41.28

前>>266
84-？=24+？
2？=84-24
？=60/2=30
疑う余地はない。
その前の二等辺三角形をメネラウスでお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 08:39:20.04

>>266
俺はありきたりな偏角とプログラムを使うとこういうのが図示計算できて楽しめた。

https://i.imgur.com/RMvD2IF.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 08:44:27.76

>>263
パターンは絞れるんじゃない？
正三角形を作るとか

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 08:56:38.74

>>264
0.851606

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 09:04:29.72

>>269
それが数学を勉強していくのに不可避ならやるんだけど、少なくともこの手の問題は解答するためのアルゴリズムも見つかってるので数学の研究のメインに上がってる事もないし。
ソロバンみたいなもの。
勉強して無駄とは言わないが、あまり不必要に難しすぎるやつやってもしょうがない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 10:46:59.12

>>264
ω=exp(2π/3i)、log(x)を0以下の実数を除くところで定義するとして
Σω^n/n=-1/ωlog(1-ω)‥‥①
Σω^(2n)/n=-1/ω^2lig(1-ω^2)‥‥②
(ω①-②)÷(1-ω)=答え

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/28(土) 12:59:15.34

前>>267
>>254題意の図を内角が左上A72°左下B96°右下C78°右上D84°となるよう4頂点を決め、ABの中点をE、ADの延長線とBCの延長線の交点をF、ACとBDの交点をGとし、BAの延長線とCDの延長線の交点をH、AE=BE=1、BG=xとすると、
ADは一辺ABの正五角形の対角線だから1+√5
AD=BD=BC=1+√5
Aを起点にメネラウスの定理より、(AG/GC)(CB/BF)(DDA)=1――①
Bを起点にメネラウスの定理より、(BG/GD)(DA/AF)(FD/DB)=1――②
F(12°)を起点にメネラウスの定理より、――③
H(6°)を起点にメネラウスの定理より、――④
①②③④より、x=2
△ABGはAB=GBの二等辺三角形で∠BAG=∠BGA
84°-？=？+24°
2？=84°-24°=60°
∴？=30°
②と③が同じになったから④が必要で、これでできるだろう。正弦定理でもいいよ。x=2が言えれば。けどチェバとメネラウスだけで解けたらおもしろい。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/28(土) 13:46:27.37

前>>273
AB=GBさえわかれば答えは出る。メネラウスと考えるのが自然。AE=BE=1として、AD=BD=BC=1+√5
実際に比がわからなくても△ABGは二等辺三角形になるしかない。時間なければx=2しかない。チェバとメネラウスで二等辺三角形でいい。
∠BAG=∠BGA
84°-？=24°+？
2？=84°-24°
？=30°あってる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/31(火) 05:45:20.19

前>>274わかったからこっちにも書く。
>>254別解。
折れ線の左上をA、右上をB、左下をCとすると、
AB=BC、∠ABC=36°
AB=BC=CD、∠BCD=36°となるDをとり、
AB=BC=CD=DE、∠CDE=36°となるEをとると、
AB=BC=CD=DE=EA、∠DEA=36°となる。
∠BAEの二等分線を引くとCDと直交し、折れ線の端に達するから、
？=90°-(36°+24°)
=30°
∴示された。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 07:46:34.16

東京で高さ10mの垂直な梯子に上ると、地上にいる人より何秒早く初日の出を見ることができるか。
【条件】
地球を半径6400kmの完全な球体とする。
ビルなどの建物はない。
東京を北緯35度とする。
自転軸は23.4度傾いている。
公転による影響は無視する。
観測者の身長は無視する。
１日を23時間56分4秒とする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 11:39:22.11

>>276
地球半径をRとすると、高さhのところから地平線を見下ろす
角度θは、地心と観測者と地平線を結ぶ直角三角形を作れば
tanθ＝√(2hR-h^2)/R　
h/R<<1, θ<<1で近似すれば
θ≒√(2h/R)
ラジアンを秒角に直せば、
θ（秒角）≒2.06×10^5√ (2h/R)
h=10m,R=6.4×10^6mを代入して計算すると
θ≒364秒角
（ちなみに、地平線までの距離が√(2hR)≒3600√h メートル
　ってのは、豆知識）
あとは、しちめんどくさいので、だいたいで。
太陽の赤緯は無視して、緯度φでの、相当する日周運動の
回転角だけ求めると、
θ/cosφ ≒387秒角
地球の自転の角速度は360度/日=15度/時=15秒角/秒
で近似できるので、
387/15≒26秒だけ早く初日の出を拝める。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 11:41:59.06

>>277
あ、間違えた。φに23.4度を入れちゃってたわ。 35度で計算
しなおすと、
θ/cosφ≒444秒角なので、
444/15=30秒だけ早く初日の出を拝める。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/31(火) 14:41:15.29

前>>275
30秒で10mは登れると思うけど、木登りするよりは地上で30秒待って拝むかな。

狼男が何人いるかが気になる。だれか明確な答えを出してほしい。スレは20ぐらいで埋もれてる。

三日目終わって村人全員死んだらしい。毎夜12時に集まって狼男をつきとめようとしたみたいなんやが衆人監視のもとやと襲いよらへんらしい。
でも変身したらわかるはずやし、俺は村人の4人に1人が狼男や思うんやが、正解はなんなのか、だれかが出した3人という答えはなんなのか、解答する村人が俺以外死んだのかおらんなってしもて、今なぞのまま年が暮れようとしとります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 15:42:46.50

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【牛】 · 2020/01/02(木) 04:05:49.59

前>>279
>>253せやろ。俺も何べんか言うたんやで。Bのほうにビチャッて寄ってまうやんなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 08:16:02.11

やっと>>223できた。
めちゃめちゃ難しい解答になったけど。
今日帰ったらできた解答あげます。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 10:12:05.15

災害が発生していたるところに重症被災者がいる。消防署から出動して救急センターに患者を搬送する
消防署から救急センターへの距離は100km　救急車のガソリンは50L、患者を乗せない状態では燃費は10km/L、患者を乗せての燃費は5km/Lである
患者を救える地域の面積はいくらになるか？

【豚】【321円】 · 2020/01/02(木) 10:23:45.53

3Lあれば10km往復できるという意味？

【底辺】【14円】 · 2020/01/02(木) 10:25:39.41

いや違う。
消防署と救急救命センターは離れてるのか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 11:11:31.37

燃費が同じなら消防署と病院を焦点とする楕円内になる
ところをひねったわけね。

現実問題としてはガソリンの残量でも燃費が変わるけど。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 11:38:54.19

>>286
そういうことです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 11:42:20.76

>>286
＞ガソリンの残量でも燃費が変わる

どんな関係になるのでしょうか？

それが分かればそれを組み入れて計算してみたいので。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 12:02:49.81

>>285
消防署から被災地に赴いてそこで被災者を収容して救急センターに送るという設定。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 12:41:20.00

>>288
ちょっと、調べてみた

例えば、ガソリンタンクが60Lだとすると、レギュラーガソリンの1Lの重さは0.75kgなので、60Lが満タンになると45kg、半分の30Lだと22.5kgとなる。

　その差22.5kgがどのくらい燃費が悪化するのか気になるところだが、実は満タンにした場合と半分にした場合とでは、0.84％ほどしか燃費は悪化しないのだ。

https://bestcarweb.jp/feature/column/97520

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 12:50:42.72

カウンタックみたいに軽量本体＋大容量タンク＋ガソリンバラ撒きだと案外無視できないんでね

【１等場違い】【303円】 · 2020/01/02(木) 12:53:17.79

>>289
理解しますた。
つまりa=100kmとして

極方程式
r/10+√(r^2+a^2-2arcosθ)/5≦50
を満たす領域の面積を求めよ。

ですな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 13:35:14.30

消防署を原点、被災地の座標を(x,y)として
√(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 ≦　50
なのはわかるけど、
極形式は？？？

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 14:33:35.44

方程式　√(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 = 50をWolfram先生に解いてもらって
y=f(x)の形にして、積分して面積を求めると

> integrate(y,-100,700/3)$value*2
[1] 83693.05

１億回モンテカルロシミュレーション結果は
> k=1e8 ; mean(replicate(k,gc(runif(2,-Gas*FE1,Gas*FE1))))*(2*Gas*FE1)^2
[1] 83691.74

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 16:04:45.98

消防署から患者までの距離と患者から病院までの距離の２倍の和が、
消防署からたどり着ける最大距離に等しい地点の内側にあればいい。

なので、到達最大距離が病院までぎりぎり行ける程度だと、病院周
りのほぼ円形の領域をカバー（消防署からの距離はほぼ一定だから）。
到達最大距離が病院のはるかむこうまで行けるくらいあると、中間
点を中心にしたほぼ円形の領域をカバー（どっちの地点からの距離
もほぼ一定だから）。

最大到達距離が病院までの距離の２倍に等しい場合が一番円形から
はずれそう。

【ﾆﾀﾞｰ】【122円】 · 2020/01/02(木) 17:05:21.21

wolfram先生に書いてもらうとほぼ円なのはわかる。
でも円じゃないよね？
多分。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/01/02(木) 19:08:08.94

前>>281
>>283なんで円なのかわからんな。牧草を食む山羊か？　杭につながれた。
救命救急は急がないかんのだろ。せやで速い計算以外はいらんだよ。可能性のみ考えよう。
救急車のガソリンは50L。めいいっぱい使うとして、行きが(50/3)Lで(500/3)㎞、現場から救急センターまでが(100/3)Lで(500/3)㎞の直線軌道。だれがそげなときに円形に迂回するもんか。二等辺三角形が描ける。
消防署と救急センターの中間地点は双方から50㎞の地点。その道から垂直に、ピタゴラスの定理により、√{(500/3)^2-50^2}㎞遠ざかった地点が救急できる最遠方地。
∴救える面積=50×√{(500/3)^2-50^2}
=50^2√{(100-9)/9}
=2500√91/3
=7949.49335(k㎡)
0.01k㎡=1ヘクタールだから、79万4949ヘクタール救える。車道まで搬送してくれ。それが条件で。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 19:56:11.71

>>296
ガソリン２０リットルという条件でやってみそ。（消防署からの
最大到達距離が病院までの距離の２倍ってケース）
カスプができるから。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 00:42:42.99

>>298
やってみました。

https://i.imgur.com/ZXyRNxb.jpg

【かん吉】 · 2020/01/03(金) 01:06:05.99

前>>297
>>299まさに8000k㎡ぐらいじゃね？　80ヘクタール行くか行かないかぐらいじゃないかな？

【ゾヌ】 · 2020/01/03(金) 01:10:11.85

前>>300訂正。
80ヘクタール→80万ヘクタール

【大吉】【43円】 · 2020/01/03(金) 05:04:55.90

>>289
ヒントギボン。
どうあがいても楕円積分になるorz。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 06:50:06.38

一辺の長さが1の正方形が重ならずに7個入る最小の正方形の一辺の長さはいくらか

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 07:19:37.42

>>302
すいません、確固たる正解すら持ってない自作問題なので何がヒントになるのかすらわかりません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 11:21:51.29

>>298
ガソリン量を１０から３０まで救えるエリアを描かせてみました。

https://i.imgur.com/FHA0vfv.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 12:11:23.26

５０まで増やしてみた。

https://i.imgur.com/5hFKvzw.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 12:22:08.26

>>294
俺もwolfram先生の助けでやってみたけど（y^2に関する２次方程式になるから、それを解くだけ）
y = ± (1/3 sqrt(-9 x^2 + 2400 x - 10000 (2 sqrt(6 x + 2200) - 113)))
というグラフの内部。
-100≦x≦700/3で積分するとたしかに83693.046になるね。
グラフを描かせてみると、長半径500/3,短半径160で中心が (200/3,0 )にある楕円で極めて
よく近似できる（求める領域より若干膨らんでいるが）。この楕円の面積は83776で、誤差0.1％未満。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 12:24:29.45

>>305,306
乙です。

【桁はずれ】【78円】 · 2020/01/03(金) 13:04:55.11

結局面積はどうあがいても完全楕円積分になる。
一般解は楕円関数使わないと表示できない。
パラメータに特殊な値を入れた場合特殊値が綺麗な値で出る事もあるだろうけど作者が適当な直で作ってみたという問題で偶然キレイな特殊値になる事は考えづらいね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 13:09:36.78

>>296
ガソリン50Lで描画すると横径（消防署と病院を結ぶ方向）　360、　縦径347.5505の結果が返ってきたから、円じゃないね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 13:53:16.17

>>309
とりあえず、カスプができる形（ガソリン20l）の場合には極座標形式で
r≦800/3{cosθ- 1/2)
と、きれいに書ける。こういう曲線って名前あるんだっけ？

面積も高校数学レベルで積分できて
∫[-π/3->π/3] (800/3)^2(cosθ-1)^2dθ=(800/3)^2(2π-3√3)

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 13:59:28.22

>>311
写し間違えた、面積は
∫[-π/3->π/3] (1/2)(800/3)^2(cosθ-1)^2dθ=(1/8)(800/3)^2(2π-3√3)

【底辺】【260円】 · 2020/01/03(金) 14:01:28.49

>>309
それならパスカルの蝸牛曲線

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E8%9D%B8%E7%89%9B%E5%BD%A2

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 14:02:32.66

>>310
だから、楕円でよく近似できる。つ>>307

**311** · 2020/01/03(金) 14:06:30.62

>>313
へー、パスカルのカタツムリかぁ。
lが負だから、内側のほうに対応するね。

ありがとう。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 14:40:00.16

>>313
か…かぎゅう曲線（鼻ホジ）

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 15:28:18.21

ガソリン２０L曲線とパスカルの蝸牛を重ねてみた。

https://i.imgur.com/L2wwgOJ.jpg

【大吉】 · 2020/01/03(金) 15:38:42.03

前>>301
>>303
3個のブロック直列で並べその両サイドに2個のブロックを並べると、
2個のブロックと3個のブロックの対角線はピタゴラスの定理により、
最小限√(3^2+2^2)=√13ないといけない。
一辺3の正方形より小さくはできない。
底辺2高さ3の平行四辺形が一辺3の正方形に入らないのと同じぐらいできない。
∴最小の一辺の長さは3

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 15:54:31.51

3っぽいのはともかく、↑って解答になってるの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 16:22:52.20

ガソリン20 L のときは

√(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 = 20から x=rcosθ y=rcosθとして

r について r/10 + 1/5 sqrt((r cos(θ) - 100)^2 + r^2 sin^2(θ)) = 20 を解けば

r = 400/3 (2 cos(θ) - 1)

んで、パスカルの蝸牛になるのか。

ようやく、理解できました。

【中級国民】【263円】 · 2020/01/03(金) 17:17:21.61

イナの解答で数学の世界で通用するものがでた事はない。

【ぽん吉】【166円】 · 2020/01/03(金) 17:29:56.03

wikiによると>>303の答えは3みたいだけどまぁ簡単な面白い証明があるのかないのかはどうなんだろうねぇ？
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Square_packing_in_a_square

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 17:33:59.69

>>322
( ﾟ∀ﾟ)つhttps://www2.stetson.edu/~efriedma/squinsqu/

【さん吉】 · 2020/01/03(金) 17:52:08.58

>>303は前>>318で俺が証明した。

【末吉】【111円】 · 2020/01/03(金) 18:06:57.30

相変わらず馬鹿だなぁ

**哀れな素人** · 2020/01/03(金) 19:04:23.94

>>303の答え＝３

なぜなら、なるべく狭い範囲に、重ならないように、並べるためには、
少なくともどこか１箇所は、縦方向（あるいは横方向）に、
３個並べなければならないが、その場合、どうしても、
１辺の長さは３になってしまうから。

あるいは、なるべく狭い範囲に、重ならないように、並べるためには、
円に近いような並べ方をするしかないが、
その場合、>>318のような並べ方をするしかなく、
その場合、辺の長さをｘとすると、３≦ｘ≦5√2/2

**311** · 2020/01/03(金) 19:30:33.87

>>283
っちゅうことで、問題をこう変えてはいかが？

砂漠の基地Aからもうひとつの基地Bに向かって出かけた戦車がGPSの故障で
進路を見失ってさまよった挙げ句にガス欠で止まってしまった。別の戦車で
基地Aからこの戦車へ救助に向かい、燃料を分け与えて一緒に基地Bに行く
ことになった。しかし、戦車にはAB間をちょうど往復できるだけしか燃料
は積めない。AB間の距離をRとして、Aを原点とする極座標形式で救出可能な
領域を示し、その面積をRを使って表しなさい。
ただし、戦車の燃費はいずれも同じものとする。